数学(理)二轮复习通用版课时跟踪检测(二十六) “专题六”补短增分(综合练)

课时跟踪检测（二十六） “专题六”补短增分（综合练）

A 组——易错清零练

1．(2018·山东日照联考)已知函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1

D ．4

解析：选B 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立，则ln ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝－ln ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x ＋a ，即－2x

1－x ＋a ＝

1

2x

1＋x

＋a ，解得a ＝－1.故选B. 2．已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时，f (x )＝( )

A ．－log 2(4－x )

B ．log 2(4－x )

C ．－log 2(3－x )

D ．log 2(3－x )

解析：选C 依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，－(x －4)∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.

3．已知函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋e －

x －m cos x ，记a ＝－2f (－2)，b ＝－f (－1)，c ＝3f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )

A ．b

B ．a

C ．c

D ．c

解析：选D 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝－m ＝0，即m ＝0. 设g (x )＝xf (x )，则g (x )为R 上的偶函数． 当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋e －

x ，g (x )＝x (－e x ＋e －

x )， 则g ′(x )＝－e x ＋e －

x ＋x (－e x －e －

x )≤0， 所以g (x )在[0，＋∞)上单调递减．

又a ＝g (－2)＝g (2)，b ＝g (－1)＝g (1)，c ＝g (3)， 所以c

4．设函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3x ＋1(x ≤0)，

|log 4x |(x >0)，若关于x 的方程f 2(x )－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不

同的实数解，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－23－2,23－2)

B ．⎝

⎛⎦⎤23－2，3

2

C.⎣⎡⎭⎫3

2，＋∞ D ．(23－2，＋∞)

解析：选B 由题意可知，当x ≤0时，10时，f (x )≥0，f (x )在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．作出函数f (x )的图象，如图所示．

设t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0有两个不同的实数根，且t ∈(1,2]．令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，

则⎩⎪⎨⎪⎧

Δ＝(a ＋2)2－12>0，

g (1)＝1－(a ＋2)＋3>0，g (2)＝4－2(a ＋2)＋3≥0，

1

解得23－2

2

，故选B.

5．(2018·陕西模拟)已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实

数b 的取值范围为( )

A ．[1,3]

B ．(1,3)

C ．[2－2，2＋2]

D ．(2－2，2＋2)

解析：选D 函数f (x )＝e x －1的值域为(－1，＋∞)，g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞，1]，若存在f (a )＝g (b )，则需g (b )>－1，－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0，∴2－2

B 组——方法技巧练

1．(2018·湖北八校模拟)已知函数f (x )＝e －x ＋log 31x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 1>x 0，则f (x 1)的值( )

A ．等于0

B ．不大于0

C ．恒为正值

D ．恒为负值

解析：选D 由题意得f (x )＝e －x ＋log 31x ＝⎝⎛⎭⎫1e x －log 3

x ，方程f (x )＝0，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫1e x －log 3x ＝0.则x 0为g (x )＝⎝⎛⎭⎫1e x 与h (x )＝log 3x 图象的交点的横坐标，画出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1e x 与h (x )＝log 3x 的图象(图略)，可知当x 1>x 0时，g (x )>h (x )，f (x 1)＝g (x )－h (x )<0，故选D.

2．(2018·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )

A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)

C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)

D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)

解析：选C 依题意，画出函数的大致图象如图所示，实线

部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，g (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤0，

g (x )≥0，

由图可

得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．

3．(2018·广西三市联考)已知函数f (x )＝e x (x －b )(b ∈R )．若存在x ∈⎣⎡⎦⎤

12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则实数b 的取值范围是( )

A.⎝

⎛⎭⎫－∞，83 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，5

6 C.⎝⎛⎭

⎫－32，56 D.⎝⎛⎭

⎫8

3，＋∞ 解析：选A 由f (x )＋xf ′(x )＞0，得[xf (x )]′＞0，设g (x )＝xf (x )＝e x (x 2－bx )，若存在x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤1

2，2上存在子区间使得g ′(x )＞0成立．g ′(x )＝e x (x 2－bx )＋e x (2x －b )＝e x [x 2＋(2－b )x －b ]，设h (x )＝x 2＋(2－b )x －b ，则h (2)＞0或h ⎝⎛⎭⎫12＞0，即8－3b ＞0或54－32b ＞0，得b ＜83

. 4．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别为k A ，k B ，规定K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“近

似曲率”．设曲线y ＝1

x 上两点A ⎝⎛⎭⎫a ，1a ，B ⎝⎛⎭⎫1a ，a (a >0且a ≠1)，若m ·K (A ，B )>1恒成立，则实数m 的取值范围是________．

解析：因为y ′＝－ 1x 2，所以k A ＝－1

a

2，k B ＝－a 2， 又|AB |＝

⎝⎛⎭⎫a －1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a －a 2＝2⎪⎪⎪

⎪1a －a ，

所以K (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪a 2－1a 22⎪⎪⎪

⎪1a －a ＝1a ＋a

2>2，1K (A ，B )<22，所以由m >1K (A ，B )得，m ≥2

2.

答案：

⎣⎡⎭

⎫22，＋∞

5．(2018·山东烟台期中)已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋3

x ＋1

(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的值；

(2)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围． 解：(1)由题意可知f (x )＝a ln x ＋

1

x ＋1

＋2，x ∈(0，＋∞)，