数学(理)二轮复习通用版课时跟踪检测(二十六) “专题六”补短增分(综合练)

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课时跟踪检测(二十六) 正弦定理和余弦定理

课时跟踪检测（二十六）正弦定理和余弦定理[达标综合练]1．在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a ＝( ) A ．1 B.322 C.233D ．2解析：选B 由正弦定理得，a ＝c sin A sin C ＝322.2.△ABC 中，已知面积4S ＝a 2＋b 2－c 2，则角C 的度数为( ) A. 135° B. 45° C. 60°D. 120° 解析：选B 由4S ＝a 2＋b 2－c 2，得4×12ab sin C ＝2ab cos C ，解得tan C ＝1，又角C为△ABC 的内角，所以C ＝45°.3.在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4,23<a <4，则此三角形有( ) A ．无解 B ．一解 C ．两解D ．无穷多解解析：选C 根据正弦定理，可得a sin A ＝csin C ，所以sin C ＝c ·sin A a ＝23a ，因为23<a <4，所以sin C ∈⎝⎛⎭⎫32，1，又由c >a ，则60°<C <120°，有两个C 满足条件，所以此三角形有两解． 4．在△ABC 中， cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选B 因为cos 2B 2＝1＋cos B 2，所以1＋cos B 2＝a ＋c 2c ，有cos B ＝ac ＝a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＋b 2＝c 2，故C ＝π2， △ABC 的形状为直角三角形．5.已知锐角三角形的三边长分别为1, 2, a ，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5) B ．(3,5) C ．(3，5)D ．(5，3)解析：选A 要使锐角三角形的三边长分别为1, 2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a 2－42a>0，1＋4－a24>0，a >0，解得3<a < 5.6.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π解析：选C 设△ABC 的外接圆半径为R ，∵a cos B ＋b cos A ＝4sin C ，∴由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac ＋b ×b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c ＝4sin C ，∴2R ＝csin C ＝4，解得R ＝2，故△ABC 的外接圆面积为S ＝πR 2＝4π.7.如图，点D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°，AC ＝________.解析：∵AB ＝7，AD ＝2，BD ＝1，∠ACB ＝45°， ∴由余弦定理可得cos ∠ADB ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝4＋1－72×2×1＝－12，∵∠ADB ∈(0，π)，∴∠ADB ＝120°， ∴∠ADC ＝180°－∠ADB ＝60°，∴由正弦定理可得AC ＝AD ·sin ∠ADC sin ∠ACB＝2×3222＝ 6.答案： 68．在△ABC 中，给出下列5个命题：①若A B ，则1tan 2A >1tan 2B ；④若A cos 2B ；⑤若A cos 2B ，故①②④正确；若A ＝75°，B ＝30°，则1tan 150°<1tan 60°，∴③错误；∵0<A <B <π，∴0<A 2<B 2<π2，∴tan A 2<tan B2，故⑤正确．答案：①②④⑤9．(2019·浙江高考)在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，点D 在线段AC 上．若∠BDC ＝45°，则BD ＝________，cos ∠ABD ＝________.解析：如图，易知sin C ＝45，sin A ＝35，cos A ＝45.在△BDC 中，由正弦定理可得BD sin C ＝BC sin ∠BDC ，∴BD ＝BC ·sin Csin ∠BDC＝3×4522＝1225. ∴cos ∠ABD ＝cos(45°－A )＝cos 45°cos A ＋sin 45°sin A ＝22×45＋22×35＝7210. 答案：1225 721010.已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积．解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0，又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4，又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.11．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a 3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，解得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.12．(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sin A ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC < 32.因此△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32. [素养强化练]1．[数学运算]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos ∠BCA ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM .若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝( )A.104B.34C.74D.64解析：选B 设∠ACM ＝∠BCM ＝θ，则∠BCA ＝2θ. 又a ＝b cos ∠BCA ，b ＝6CM ＝6， ∴a ＝6cos 2θ，CM ＝1.则由面积关系S △ACM ＋S △BCM ＝S △ABC ，得12×6×1×sin θ＋12×1×6cos 2θ×sin θ ＝12×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0. ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＝34，故选B.2．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14B.5＋14C.5－12 D.5＋12解析：选B 设AB ＝2，AD ＝x ，又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD 2＝AC ·CD ，即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1. 在△ABD 中，由余弦定理得cos 36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB ＝(5－1)2＋22－(5－1)22×(5－1)×2＝5＋14.故选B. 3．[数学运算]已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，且a cos C ＋12c＝b .(1)求A ；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．解：(1)∵a cos C ＋12c ＝b ，由正弦定理得sin A cos C ＋12sin C ＝sin B .又∵sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， ∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12.又∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2sin B 3，c ＝2sin C3，∴l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．。

通用版高考数学二轮复习课时跟踪检测六文2.doc

课时跟踪检测（六）A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·成都模拟)在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝( ) A ．12 B ．18 C ．24D ．30解析：选B ∵a 3＋a 5＋a 7＝a 3(1＋q 2＋q 4)＝6(1＋q 2＋q 4)＝78，解得q 2＝3，∴a 5＝a 3q 2＝6×3＝18.故选B.2．(2017·兰州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( ) A ．36 B ．72 C ．144D ．288解析：选B ∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，∴S 9＝a 1＋a 92＝72.3．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.4．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D ．8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.5．已知S n 是公差不为0的等差数列{}a n 的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 2＋a 3a 1的值为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 设数列{}a n 的公差为d ，则S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d ，故(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，整理得d ＝2a 1，所以a 2＋a 3a 1＝2a 1＋3d a 1＝8a 1a 1＝8. 6．(2018届高三·湖南十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )A ．72B ．88C ．92D ．98解析：选C 由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，所以数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝a 1＋a 82＝a 4＋a 52＝92.7．已知数列{}a n 满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n＜12，2a n－1，12≤a n＜1.若a 1＝35，则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 因为a 1＝35，根据题意得a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，所以数列{}a n 以4为周期，又2 018＝504×4＋2，所以a 2 018＝a 2＝15，故选A.8．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94C ．1D ．2解析：选D 设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝814，化简得a 21q 3＝92，则1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1a 1q3＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q3＝2. 9．(2017·广州模拟)已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6的值是( )A.5－12 B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 3，12a 5，a 4成等差数列可得a 5＝a 3＋a 4，即a 3q2＝a 3＋a 3q ，故q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52(舍去)，所以a 3＋a 5a 4＋a 6＝a 3＋a 3q 2a 4＋a 4q 2＝a 3＋q2a 4＋q2＝1q＝25＋1＝5－12，故选A. 10．(2017·张掖模拟)等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选Ba n a 2n ＝a 1＋n －d a 1＋n －d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ≠0，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.∵a 1－d ＋nd ≠0，∴a na 2n ≠0，∴该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.11．(2018届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD ．大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.12．(2017·洛阳模拟)等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56解析：选C 依题意得，S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1<S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，0<S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n <1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n <0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56，－712，其最大值与最小值之和为56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－712＝14.二、填空题13．(2017·合肥质检)已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项和S 9＝________.解析：由已知，得a 2n ＋1＝4a n a n ＋1－4a 2n ，即a 2n ＋1－4a n a n ＋1＋4a 2n ＝(a n ＋1－2a n )2＝0，所以a n ＋1＝2a n ，又因为a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故S 9＝－291－2＝210－2＝1022.答案：1 02214．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2 017＝________.解析：当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n ＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)S n －S 2n ＝－S n S n －1，∴2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，∴2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1，则S 2 017＝11 009. 答案：11 00915．(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝q (a 1＋a 3)＝5，知q ＝12.又a 1＋a 1q 2＝10，∴a 1＝8.故a 1a 2…a n ＝a n 1q1＋2＋…＋(n －1)＝23n·⎝ ⎛⎭⎪⎫12-12n n ()＝223+22n n n －＝227+22n n －.记t ＝－n 22＋7n2＝－12(n 2－7n )＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722＋498，结合n ∈N *可知n ＝3或4时，t 有最大值6. 又y ＝2t 为增函数，从而a 1a 2…a n 的最大值为26＝64. 答案：6416．(2017·广州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q＝a p ＋a q ，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为________．解析：a 1＝2，对任意p ，q ∈N *，都有a p ＋q ＝a p ＋a q ，令p ＝1，q ＝n ，则有a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n ＋ 2.故{a n }是等差数列，所以a n ＝2n ，S n ＝2×＋n n 2＝n 2＋n ，f (n )＝S n ＋60n ＋1＝n 2＋n ＋60n ＋1＝n ＋2－n ＋＋60n ＋1＝n ＋1＋60n ＋1－1.当n ＋1＝8，即n ＝7时，f (7)＝8＋608－1＝292；当n＋1＝7，即n ＝6时，f (6)＝7＋607－1＝1027，因为292<1027，则f (n )＝S n ＋60n ＋1(n ∈N *)的最小值为292.答案：292B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选D 不妨设a ＞b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p ＞0，ab ＝q ＞0，∴a ＞0，b ＞0，则a ，－2，b 成等比数列，a ，b ，－2成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝－2，a －2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9.2．(2017·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a na 1a 2a 3…a n －1＝2n2n －2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 3．(2017·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，4a 1＋6d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n n ＋2，1S n ＝2nn ＋＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，因此∑k ＝1n1S k ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2n n ＋1.答案：2nn ＋14．(2017·兰州模拟)已知数列{a n }，{b n }，若b 1＝0，a n ＝1nn ＋，当n ≥2时，有b n ＝b n－1＋a n －1，则b 2 018＝________.解析：由b n ＝b n －1＋a n －1，得b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＝a 1，b 3－b 2＝a 2，…，b n －b n －1＝a n －1，∴b 2－b 1＋b 3－b 2＋…＋b n －b n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n，即b n －b 1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＝11×2＋12×3＋…＋1n －n ＝11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n ＝n －1n，∵b 1＝0，∴b n ＝n －1n ，∴b 2 018＝2 0172 018.答案：2 0172 0185．(2017·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n，…，若S k ＝14，则a k ＝________. 解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1＋2＋…＋nn ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n 4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7(n ＝－8舍去)，所以a k ＝78.答案：786．在数列{a n }和{b n }中，a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n ，a 1＝1，b 1＝1.设c n＝1a n ＋1b n，则数列{c n }的前2 018项和为________．解析：由已知a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 得a n ＋1＋b n ＋1＝2(a n ＋b n )，又a 1＋b 1＝2，所以数列{a n ＋b n }是首项为2，公比为2的等比数列，即a n ＋b n ＝2n，将a n ＋1＝a n ＋b n ＋a 2n ＋b 2n ，b n ＋1＝a n ＋b n －a 2n ＋b 2n 相乘并化简，得a n ＋1b n ＋1＝2a n b n ，即a n ＋1b n ＋1a n b n ＝2.所以数列{a n b n }是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n b n ＝2n －1，因为c n ＝1a n ＋1b n ，所以c n ＝a n ＋b n a n b n ＝2n2n －1＝2，数列{c n }的前2 018项和为2×2 018＝4 036.答案：4 036。

高考数学二轮复习课时跟踪检测二十六“专题六”补短增分综合练理

课时跟踪检测（二十六） “专题六”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(·山东日照联考)已知函数f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a 是奇函数，则实数a 的值为( )A ．1B ．－1C ．1或－1D ．4解析：选B 由题意知f (－x )＝－f (x )恒成立，则ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 1－x ＋a ＝－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x ＋a ，即－2x 1－x ＋a ＝12x1＋x＋a ，解得a ＝－1.故选B. 2．已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时，f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x )解析：选C 依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，－(x －4)∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.3．已知函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x＋e －x－m cos x ，记a ＝－2f (－2)，b ＝－f (－1)，c ＝3f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．c <a <b解析：选D 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝－m ＝0，即m ＝0. 设g (x )＝xf (x )，则g (x )为R 上的偶函数．当x ≥0时，f (x )＝－e x ＋e －x ，g (x )＝x (－e x ＋e －x)，则g ′(x )＝－e x＋e －x＋x (－e x －e －x)≤0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递减．又a ＝g (－2)＝g (2)，b ＝g (－1)＝g (1)，c ＝g (3)，所以c <a 0，若关于x 的方程f 2(x )－(a ＋2)f (x )＋3＝0恰好有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23－2,23－2)B ．⎝⎛⎦⎥⎤23－2，32C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(23－2，＋∞)解析：选B 由题意可知，当x ≤0时，1<f (x )≤2，f (x )单调递增；当x >0时，f (x )≥0，f (x )在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．作出函数f (x )的图象，如图所示．设t ＝f (x )，则关于t 的方程t 2－(a ＋2)t ＋3＝0有两个不同的实数根，且t ∈(1,2]．令g (t )＝t 2－(a ＋2)t ＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a ＋22－12>0，g 1＝1－a ＋2＋3>0，g 2＝4－2a ＋2＋3≥0，1<a ＋22<2，解得23－2<a ≤32，故选B.5．(·陕西模拟)已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若存在f (a )＝g (b )，则实数b 的取值范围为( )A ．[1,3]B ．(1,3)C ．[2－2，2＋2]D ．(2－2，2＋2)解析：选D 函数f (x )＝e x－1的值域为(－1，＋∞)，g (x )＝－x 2＋4x －3的值域为(－∞，1]，若存在f (a )＝g (b )，则需g (b )>－1，－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0，∴2－2x 0，则f (x 1)的值( )A ．等于0B ．不大于0C ．恒为正值D ．恒为负值解析：选D 由题意得f (x )＝e －x＋log 31x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －log 3x ，方程f (x )＝0，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －log 3x ＝0.则x 0为g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与h (x )＝log 3x 图象的交点的横坐标，画出函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x与h (x )＝log 3x 的图象(图略)，可知当x 1>x 0时，g (x )>h (x )，f (x 1)＝g (x )－h (x )<0，故选D.2．(·昆明检测)已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞)解析：选C 依题意，画出函数的大致图象如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，g x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．3．(·广西三市联考)已知函数f (x )＝e x(x －b )(b ∈R)．若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则实数b 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，83 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，56C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，56D.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞ 解析：选A 由f (x )＋xf ′(x )＞0，得[xf (x )]′＞0，设g (x )＝xf (x )＝e x(x 2－bx )，若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得f (x )＋xf ′(x )＞0，则函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上存在子区间使得g ′(x )＞0成立．g ′(x )＝e x (x 2－bx )＋e x (2x －b )＝e x [x 2＋(2－b )x －b ]，设h (x )＝x 2＋(2－b )x －b ，则h (2)＞0或h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞0，即8－3b ＞0或54－32b ＞0，得b ＜83.4．函数y ＝f (x )图象上不同两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)处的切线的斜率分别为k A ，k B ，规定K (A ，B )＝|k A －k B ||AB |(|AB |为线段AB 的长度)叫做曲线y ＝f (x )在点A 与点B 之间的“近似曲率”．设曲线y ＝1x上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，a (a >0且a ≠1)，若m ·K (A ，B )>1恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：因为y ′＝－ 1x 2，所以k A ＝－1a2，k B ＝－a 2，又|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a ，所以K (A ，B )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2－1a 22⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a －a ＝1a＋a 2>2，1K A ，B <22，所以由m >1K A ，B 得，m ≥22.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞5．(·山东烟台期中)已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋3x ＋1(a ∈R)．(1)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的值； (2)若f (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：(1)由题意可知f (x )＝a ln x ＋1x ＋1＋2，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝a x －1x ＋12＝ax 2＋2a －1x ＋ax x ＋12，x ∈(0，＋∞)．因为f (x )在x ＝2处取得极小值，所以f ′(2)＝0，即4a ＋4a －2＋a ＝0，解得a ＝29.经检验a ＝29时，符合题意．故a 的值为29.(2)f ′(x )＝a x －1x ＋12＝ax 2＋2a －1x ＋ax x ＋12，x ∈(0，＋∞)．由f (x )存在单调递减区间，得当x >0时，f ′(x )<0有解，即当x >0时，ax 2＋(2a －1)x ＋a <0有解，即当x >0时，a <x x 2＋2x ＋1有解，问题等价于a <⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋2x ＋1max ，x >0.因为xx 2＋2x ＋1＝1x ＋2＋1x≤14，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋2x ＋1max ＝14.故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，14. 6．(·成都模拟)已知函数f (x )＝e x，其中e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝kx ＋b ，求k －b 的最小值； (2)当常数m ∈(2，＋∞)时，若函数g (x )＝(x －1)f (x )－mx 2＋2在[0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，证明：x 1＋ln 4e<x 2<m .解：(1)∵曲线y ＝f (x )在点P (x 0，e x 0)处的切线的方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x －x 0e x 0＋e x 0，∴k ＝e x 0，b ＝－x 0e x 0＋e x 0，∴k －b ＝x 0e x 0.设H (x )＝x e x，则H ′(x )＝(x ＋1)e x，由H ′(x )＝0，解得x ＝－1. 当x >－1时，H ′(x )>0，∴H (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当x <－1时，H ′(x )<0，∴H (x )在(－∞，－1)上单调递减． ∴H (x )的极小值为H (－1)＝－1e，∴k －b 的最小值为－1e .(2)g (x )＝(x －1)e x －mx 2＋2.由m >2，x ≥0，g ′(x )＝x (e x－2m )＝0，解得x ＝0或x ＝ln 2m . ∴当x >ln 2m 时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(ln 2m ，＋∞)上单调递增；当0≤x <ln 2m 时，g ′(x )≤0， ∴g (x )在[0，ln 2m )上单调递减， ∴g (x )的极小值为g (ln 2m )．∵g (1)＝2－m <0，ln 2m >ln 4>1，∴g (ln 2m )<0. 又g (0)＝1>0，g (1)＝2－m <0， ∴∃x 1∈(0,1)，使得g (x 1)＝0. 易知当x →＋∞时，g (x )→＋∞， ∴∃x 2∈(ln 2m ，＋∞)，使得g (x 2)＝0， ∴x 2>ln 2m >ln 4，∴x 2－x 1>ln 4－1＝ln 4e ，即x 2>x 1＋ln 4e.易知m >ln 2m ，当x ＝m 时，g (m )＝(m －1)e m －m 3＋2，m >2. 令u (x )＝(x －1)e x －x 3＋2，x >2， ∴u ′(x )＝x e x －3x 2＝x (e x－3x )．令G (x )＝e x －3x ，∴当x >2时，G ′(x )＝e x－3>0， ∴G (x )在(2，＋∞)上单调递增， ∴G (x )>G (2)＝e 2－6>0，∴u ′(x )>0在(2，＋∞)上恒成立，∴u (x )>u (2)＝e 2－6>0，∴当m >2时，g (m )>0. 又g (x 2)＝0，g (x )在(ln 2m ，＋∞)上单调递增， ∴m >x 2.故x 1＋ln 4e<x 2<m 成立．C 组——创新应用练1．(·辽宁五校联考)若a 在[1,6]上随机取值，则函数y ＝x 2＋ax在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是( )A.15 B ．25 C.35D.45解析：选C ∵函数y ＝x 2＋a x ＝x ＋ax 在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增．要使函数y ＝x 2＋ax在区间[2，＋∞)上单调递增，则a ≤2，得1≤a ≤4，又∵1≤a ≤6，∴P (1≤a ≤4)＝4－16－1＝35，故选C.2．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系可用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)表示为( )A ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10B ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310C ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410D ．y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510解析：选B 法一：取特殊值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，故选B.法二：设x ＝10m ＋n (0≤n ≤9)，当0≤n ≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n ＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，当6<n ≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋n ＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1，故选B.3．(·陕西模拟)对于使f (x )≤M 成立的所有常数M ，我们把M 的最小值称为f (x )的上确界，若a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－92B ．92 C.14D ．－4解析：选A ∵a ＋b ＝1，∴－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2a ＋2b b ＝－52－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋2a b ，∵a >0，b >0，∴b 2a ＋2a b ≥2，当且仅当b ＝2a 时取等号，∴－12a －2b ≤－52－2＝－92，∴－12a －2b的上确界为－92，故选A. 4．(·郑州模拟)数学上称函数y ＝kx ＋b (k ，b ∈R ，k ≠0)为线性函数．对于非线性可导函数f (x )，在点x 0附近一点x 的函数值f (x )，可以用如下方法求其近似代替值：f (x )≈f (x 0)＋f ′(x 0)(x －x 0)．利用这一方法，m ＝ 4.001的近似代替值( )A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小关系无法确定解析：选A 依题意，取f (x )＝x ，则f ′(x )＝12x ，则有x ≈x 0＋12x 0(x －x 0)．令x ＝4.001，x 0＝4，则有 4.001≈2＋14×0.001，注意到⎝⎛⎭⎪⎫2＋14×0.0012＝4＋0.001＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14×0.0012>4.001，即m ＝ 4.001的近似代替值大于m ，故选A.5．(·陕西模拟)对于函数f (x )和g (x )，设α∈{x |f (x )＝0}，β∈{x |g (x )＝0}，若存在α，β，使得|α－β|≤1，则称f (x )与g (x )互为“零点相邻函数”．若函数f (x )＝ex －1＋x －2与g (x )＝x 2－ax －a ＋3互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2,4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，73 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，3 D ．[2,3]解析：选D ∵f ′(x )＝ex －1＋1>0，∴f (x )＝ex －1＋x －2是增函数，又f (1)＝0，∴函数f (x )的零点为x ＝1，∴α＝1，∴|1－β|≤1，∴0≤β≤2，∴函数g (x )＝x 2－ax －a ＋3在区间[0,2]上有零点，由g (x )＝0得a ＝x 2＋3x ＋1(0≤x ≤2)，即a ＝x ＋12－2x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1－2(0≤x ≤2)，设x ＋1＝t (1≤t ≤3)，则a ＝t ＋4t－2(1≤t ≤3)，令h (t )＝t ＋4t－2(1≤t ≤3)，易知h (t )在区间[1,2)上是减函数，在区间(2,3]上是增函数，∴2≤h (t )≤3，即2≤a ≤3，故选D.6．设函数f (x )＝e x－1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x－1－x ，f ′(x )＝e x－1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．(2)当x ＝0时，f (x )＝0，对任意实数a ，均有f (x )≥0；当x >0时，f (x )≥0等价于a ≤e x－x －1x2，令g (x )＝e x －x －1x 2(x >0)，则g ′(x )＝x e x －2e x＋x ＋2x3，令h (x )＝x e x －2e x＋x ＋2(x >0)，则h ′(x )＝x e x －e x ＋1，h ″(x )＝x e x>0，知h ′(x )在(0，＋∞)上为增函数，h ′(x )>h ′(0)＝0，知h (x )在(0，＋∞)上为增函数，h (x )>h (0)＝0，∴g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上为增函数．由洛必达法则知，limx →0＋e x －x －1x 2＝lim x →0＋e x －12x ＝lim x →0＋ e x2＝12，故a ≤12.综上，知a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.。

高考数学二轮复习课时跟踪检测五“专题一”补短增分综合练理04

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝cos θ＋22＋sin θ－12＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23cos θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sinθ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.15 B.52C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋1－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋1＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

高考数学二轮复习课时跟踪检测(八)“专题二”补短增分(综合练)理

课时跟踪检测（八） “专题二”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(优质试题·湖北八校联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10，S 30＝130，则S 40＝( )A ．－510 B.400 C ．400或－510D.30或40解析：选B 等比数列{a n }中，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，且由题意知，S 20>0，所以S 10(S 30－S 20)＝(S 20－S 10)2，即10(130－S 20)＝(S 20－10)2，解得S 20＝40，又(S 20－S 10)(S 40－S 30)＝(S 30－S 20)2，即30(S 40－130)＝902，解得S 40＝400.2．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，那么S 100的值为( )A ．2 500B ．2 600C ．2 700D.2 800解析：选B 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0⇒a n ＝1，当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2⇒a n ＝n ，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，n ，n 为偶数，于是S 100＝50＋2＋100×502＝2 600.3．(优质试题·海淀二模)在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选B 当a n ＝0时，也有a n ＝2a n －1，n ＝2,3，4，…，但{a n }不是等比数列，因此充分性不成立；当{a n }是公比为2的等比数列时，有a na n －1＝2，n ＝2,3,4，…，即a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，所以必要性成立．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，则b n ＝________.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，因为S n ＝n 2＋1，S n －1＝(n －1)2＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2不符合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝1，2n －1n ≥2，因为b n＝2a n＋1，所以b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝1，1nn ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝1，1nn ≥25．(优质试题·安徽阜阳一中月考)已知一个等比数列{a n }的前4项之积为116，第2,3项的和为2，则数列{a n }的公比q ＝________.解析：设数列{a n }的前4项分别为a ，aq ，aq 2，aq 3，则⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6＝116，aq ＋aq 2＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 4q 6＝116，aq 1＋q＝2，所以(1＋q )4＝64q 2，即(1＋q )2＝±8q ，当q >0时，可得q 2－6q ＋1＝0，解得q ＝3±22，当q <0时，可得q 2＋10q ＋1＝0，解得q ＝－5±2 6.综上，q ＝3±22或q ＝－5±2 6. 答案：3±22或－5±2 6B 组——方法技巧练1．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，且(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，则它的通项公式为( )A ．a n ＝1n ＋1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝n ＋22D.a n ＝n解析：选B 因为(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，所以[(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ](a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }为正项数列，所以(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，即a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝nn ＋1·n －1n ·…·23·1＝2n ＋1.故选B. 2．(优质试题·郑州质检)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：选D 依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22n －12＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n <23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞. 3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)，所以1a n ＋1＝3a n＋1，设1a n ＋1＋t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋t ，所以3t －t ＝1，解得t ＝12，所以1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，又1a 1＋12＝1＋12＝32，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列，所以1a n ＋12＝32×3n －1＝3n2，所以1a n ＝3n －12，所以a n ＝23n －1.答案：a n ＝23n －14．(优质试题·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2＝d ，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2.等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3，所以q ＝3，b n ＝3n －1.数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 即3n －12≤n 2，又n ∈N *，所以n ＝1或2.C 组——创新应用练1．(优质试题届高三·襄阳四校联考)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：(1)构造数列1，12，13，14，…，1n；①(2)将数列①的各项乘以n2，得到一个新数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n .则a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＋…＋a n －1a n ＝( ) A.n 24 B.n －124 C.n n －14D.n n ＋14解析：选C 依题意可得新数列为n 2，n 4，n 6，…，1n ×n2，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n－1a n ＝n 24⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝n 24⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝n 24×n －1n ＝nn －14.故选C.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 018]内的所有“优数”的和为( )A ．1 024B ．2 012C ．2 026D.2 036解析：选C a 1·a 2·a 3·…·a n ＝log 23·log 34·log 45·…·log (n ＋1)(n ＋2)＝log 2(n ＋2)＝k ，k ∈Z ，令0<n ＝2k －2≤2 018，则2<2k ≤2 020,1<k ≤10，所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝221－291－2－18＝211－22＝2 026.故选C.3．(优质试题·南宁、柳州联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第五天走了( )A ．48里B ．24里C ．12里D.6里解析：选C 由题意知该人每天走的路程数构成公比为12的等比数列，记为{a n }，设其前n 项和为S n ，由S 6＝378，得a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 5＝192×124＝12(里)，故选C.4.(优质试题·甘肃张掖一模)如图，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f (x )＝x ＋1x(x >0)的图象上，若点B n 的坐标为(n,0)(n ≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．212C ．216D.220解析：选C 由题意得|A n D n |＝|B n C n |＝n ＋1n，设点D n 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，n ＋1n ，则有x ＋1x ＝n ＋1n ，得x ＝1n (x ＝n 舍去)，即A n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，0，则|A n B n |＝n －1n，所以矩形的周长为a n ＝2(|A n B n |＋|B n C n |)＝2⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋4＋…＋10)＝216.5．(优质试题届高三·上海松江区联考)在一个有穷数列的每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”．已知数列1,2第一次“H 扩展”后得到数列1,3,2，第二次“H 扩展”后得到数列1,4,3,5,2，那么第10次“H 扩展”后得到的数列的所有项的和为( )A ．88 572B ．88 575C ．29 523D.29 526解析：选B 记第n 次“H 扩展”后得到的数列所有项的和为H n ，则H 1＝1＋2＋3＝6，H 2＝1＋3＋2＋4＋5＝15，H 3＝15＋5＋7＋8＋7＝42，从中发现H 3－H 2＝27＝33，H 2－H 1＝9＝32，归纳得H n －H n －1＝3n(n ≥2)，利用累加法求和得H n ＝3n ＋1＋32，n ≥2，所以H 10＝311＋32＝88 575，故选B.6．(优质试题·河北衡水中学检测)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(五)“专题一”补短增分(综合练)理(1)

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝θ＋22＋θ－2＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152 B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋＋π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(五)“专题一”补短增分(综合练)理(1)

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝θ＋22＋θ－2＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152 B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋＋π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

2019高考数学(理)全程备考二轮练习：课时跟踪检测(十五)+“专题四”补短增分(综合练)+word版含解析

课时跟踪检测（十五） “专题四”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·福建龙海程溪中学期末)3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为( )A ．2B ．9C ．72D ．36解析：选C 可分两步：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有A 22种排法；第二步，对男生、女生“内部”分别进行排列，女生“内部”的排法有A 33种，男生“内部”的排法有A 33种．所以排法种数为A 22×A 33×A 33＝72.2．(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位：万元)与销售额y (单位：万元)之间有如下对应数据：根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5，则表中m 的值为( )A ．45B ．50C ．55D ．60解析：选D ∵x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋50＋m ＋705＝190＋m 5，∴当x －＝5时，y －＝6.5×5＋17.5＝50， ∴190＋m 5＝50，解得m ＝60.3．为了了解某校高三学生的视力情况，随机抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组数据的频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生人数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为________．解析：前三组人数为100－62＝38，第三组人数为38－(1.1＋0.5)×0.1×100＝22，则a ＝22＋0.32×100＝54.答案：544．在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，满足MA ―→·MB ―→≤0的概率为________．解析：在边长为2的正方形ABCD 内任取一点M ，满足MA ―→·MB ―→≤0即满足90°≤∠AMB ≤180°的点M 所在的区域为如图所示的阴影部分．根据几何概型的概率计算公式，得MA ―→·MB ―→≤0的概率为12×π×122×2＝π8.答案：π85．某小区有两个相互独立的安全防范系统甲和乙，系统甲和系统乙在任意时刻发生故障的概率分别为18和p .若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为0.25，则p ＝________.解析：记“系统甲发生故障”、“系统乙发生故障”分别为事件A ，B ，“任意时刻恰有一个系统不发生故障”为事件C ，则P (C )＝P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝⎝⎛⎭⎫1－18·p ＋18·(1－p )＝0.25，解得p ＝16.答案：16B 组——方法技巧练1．点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4≤0，a >0，b >0内的任意一点，则使函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数的概率为( )A.13B.23C.12D.14解析：选A 作出不等式组表示的平面区域如图所示，可行域为△OAB及其内部(不包括边OA ，OB )，其中A (0,4)，B (4,0)．若函数f (x )＝ax 2－2bx ＋3在区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞上是增函数，则⎩⎨⎧a >0，－－2b 2a ≤12，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －2b ≥0，则满足条件的(a ，b )所在区域为△OBC 及其内部(不包括边OB )．由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －4＝0，a －2b ＝0，得⎩⎨⎧a ＝83，b ＝43，∴C ⎝⎛⎭⎫83，43，∴S △OBC ＝12×4×43＝83，又S △OAB ＝12×4×4＝8，∴所求的概率P ＝S △OBC S △OAB ＝13.2．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为( )A ．16B ．18C ．32D ．72解析：选D 因为对空位有特殊要求，先确定空位，假设7个车位分别为1234567，先研究恰有3个连续空位的情况，若3个连续空位是123或567，另一个空位各有3种选法，车的停放方法有A 33种，故停放方法有2×3×A 33＝36(种)；若3个连续空位是234或345或456，另一个空位各有2种选法，车的停放方法依然有A 33种，因此此种情况下停放方法有3×2×A 33＝36(种)，从而不同的停放方法共有72种．3．(2019届高三·皖南八校联考)将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”，B ＝“至少出现一个6点”，则条件概率P (A |B )，P (B |A )分别是( )A.6091，12 B.12，6091 C.518，6091D.91216，12解析：选A P (A |B )的含义是在“至少出现一个6点”的条件下，“三个点数都不相同”的概率，因为“至少出现一个6点”有6×6×6－5×5×5＝91种情况，“至少出现一个6点，且三个点数都不相同”共有C 13×5×4＝60种情况，所以P (A |B )＝6091.P (B |A )的含义是在“三个点数都不相同”的情况下，“至少出现一个6点”的概率，三个点数都不同，有6×5×4＝120种情况，所以P (B |A )＝12.4．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为x －甲，x －乙，则x －甲＞x －乙的概率是________．解析：由茎叶图知x －乙＝86＋87＋91＋92＋945＝90，x －甲＝84＋87＋85＋99＋90＋x 5＝89＋x 5.污损处可取数字0,1,2，…，9，共10种，而x －甲＞x －乙时，污损处对应的数字有6,7,8,9，共4种，故x －甲＞x －乙的概率为410＝25.答案：25C 组——创新应用练1．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内接正方形边长为多少步？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内接正方形内的概率是( )A.60289B.90289C.120289D.240289解析：选C 如图，设Rt △ABC 的两直角边长分别为a ，b ，其内接正方形CEDF 的边长为x ，则由△ADF ∽△ABC ，得AF AC ＝DFBC ，即a －x a ＝x b ，解得x ＝ab a ＋b.从而正方形CEDF 的面积为S 正方形CEDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a ＋b 2，又Rt △ABC 的面积为S △ABC ＝ab2，所以所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ab a ＋b 2ab 2＝2ab(a ＋b )2＝2×5×12(5＋12)2＝120289，故选C.2．(2018·广东韶关调研)我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著，有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )A.1415B.1315C.29D.79解析：选A 从10部名著中选择2部名著的方法数为C 210＝45(种)，所选的2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 27＝21(种)，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为C 17C 13＝21(种)，于是事件“所选的2部名著中至少有1部是魏晋南北朝时期的名著”的概率P ＝4245＝1415.3．国际教育信息化会议在山东青岛开幕，为了解哪些人更关注国际教育信息化会议，某机构随机抽取了年龄在25～75岁之间的100人进行调查，经统计“青年”与“中老年”的人数之比为9∶11.(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关；(2)现从抽取的“青年”中采用分层抽样的方法选取9人进行问卷调查，在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注国际教育信息化会议的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)依题意可知，抽取的“青年”共有100×920＝45(人)，“中老年”共有100－45＝55(人)．补全2×2列联表如下：则K2的观测值k＝100×(20×15－30×35)50×50×55×45≈9.091.因为9.091>6.635，所以有99%的把握认为关注国际教育信息化会议与年龄有关．(2)根据题意知选出的9人中关注该会议的人数为9×1545＝3，不关注该会议的人数为9－3＝6，在这9人中再选取3人进行面对面询问，则X的所有可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝C36C39＝2084＝521，P(X＝1)＝C13C26C39＝4584＝1528，P(X＝2)＝C23C16C39＝1884＝314，P(X＝3)＝C33C39＝184.所以X的分布列为E(X)＝0×521＋1×1528＋2×314＋3×184＝1.4．某校倡议为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现负责老师统计了连续5天售出矿泉水的箱数和捐款箱中的收入情况，列表如下：20名的特困生获一等奖学金500元；综合考核21～50名的特困生获二等奖学金300元；综合考核50名以后的特困生不获得奖学金．(1)若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱矿泉水时，预计捐款箱中的收入为多少元？ (2)甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为25，获二等奖学金的概率均为13，不获得奖学金的概率均为415，已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金相互独立，求甲、乙两名学生所获得奖学金之和X 的分布列及数学期望．附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1n x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －. 解：(1)由表得x －＝15×(7＋6＋6＋5＋6)＝6，y －＝15×(165＋142＋148＋125＋150)＝146，∑i ＝15x 2i ＝49＋36＋36＋25＋36＝182，∑i ＝15x i y i ＝7×165＋6×142＋6×148＋5×125＋6×150＝4 420，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i－5x －2＝4 420－5×6×146182－5×62＝20， a ^＝y －－b ^x －＝146－20×6＝26，所以线性回归方程为y ^＝20x ＋26，当x ＝9时，y ^＝20×9＋26＝206，所以y 的估计值为206元．(2)由题意得，X 的可能取值为0,300,500,600,800，1 000，则 P (X ＝0)＝415×415＝16225；P (X ＝300)＝2×415×13＝845； P (X ＝500)＝2×25×415＝1675；P (X ＝600)＝13×13＝19；P (X ＝800)＝2×25×13＝415；P (X ＝1 000)＝25×25＝425.则X 的分布列为所以E (X )＝0×16225＋300×845＋500×1675＋600×19＋800×415＋1 000×425＝600.。

高考数学二轮复习课时跟踪检测二十“专题五”补短增分综合练理

课时跟踪检测（二十） “专题五”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(·浙江嘉兴校级期中)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0，其中a ∈R ，则“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若l 1⊥l 2，则a ＋a(a ＋2)＝0，即a(a ＋3)＝0，解得a ＝0或a ＝－3，所以“a＝－3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．故选A.2．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F ，且倾斜角为π2的直线l 与双曲线Γ交于A ，B 两点，O 是坐标原点，若∠AOB ＝∠OAB ，则双曲线Γ的离心率为( )A.3＋72 B.11＋332 C.3＋396D.1＋174解析：选C 由题意可知AB 是通径，根据双曲线的对称性和∠AOB ＝∠OAB ，可知△AOB 为等边三角形，所以tan ∠AOF ＝b 2a c ＝33，整理得b 2＝33ac ，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝a 2＋33ac ，两边同时除以a 2，得e 2－33e －1＝0，解得e ＝3＋396.故选C. 3．(高三·西安八校联考)过点P(2,1)作直线l ，使l 与双曲线x 24－y 2＝1有且仅有一个公共点，这样的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选B 依题意，双曲线的渐近线方程是y ＝±12x ，点P 在直线y ＝12x 上．①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，此时直线l 与双曲线有且仅有一个公共点(2,0)，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx ＋1－2k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－2k ，x 2－4y 2＝4，消去y 得x 2－4(kx ＋1－2k)2＝4，即(1－4k 2)x 2－8(1－2k)kx －4(1－2k)2－4＝0，(*) 若1－4k 2＝0，则k ＝±12，当k ＝12时，方程(*)无实数解，因此k ＝12不满足题意；当k ＝－12时，方程(*)有唯一实数解，因此k ＝－12满足题意．若1－4k 2≠0，即k≠±12，此时Δ＝64k 2(1－2k)2＋16(1－4k 2)[(1－2k)2＋1]＝0不成立，因此满足题意的实数k 不存在．综上所述，满足题意的直线l 共有2条．4．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.解析：①当椭圆的焦点在x 轴上时，则a 2＝4，即a ＝2.又e ＝c a ＝32，所以c ＝3，m ＝b 2＝a 2－c 2＝4－(3)2＝1. ②当椭圆的焦点在y 轴上时，椭圆的方程为y 2m ＋x 24＝1.则b 2＝4，即b ＝2.又e ＝c a ＝32，故1－b 2a 2＝32，解得b a ＝12，即a ＝2b ，所以a ＝4.故m ＝a 2＝16.综上，m ＝1或16. 答案：1或165．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．解析：如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B 两点．连接MC 1，MC 2.根据两圆外切的条件，得 |MC 1|－|AC 1|＝|MA|， |MC 2|－|BC 2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝3－1＝2. 所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离比与C 1的距离大)，可设轨迹方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0，x<0)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y28＝1(x<0)．答案：x 2－y28＝1(x<0)B 组——方法技巧练1．(高三·河南八市联考)已知点M(－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：选C 抛物线的准线方程为x ＝－12，过Q 作准线的垂线，垂足为Q′，如图．依据抛物线的定义，得|QM|－|QF|＝|QM|－|QQ′|，则当QM 和QQ′共线时，|QM|－|QQ′|的值最小，最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝52.2．(·兰州模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t ＞0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3]解析：选D 依题意，设点P(3＋cos θ，1＋sin θ)， ∵∠APB ＝90°，∴AP ―→·BP ―→＝0，∴(3＋cos θ＋t)(3＋cos θ－t)＋(1＋sin θ)2＝0，得t 2＝5＋23cos θ＋2sin θ＝5＋4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－1,1]，∴t 2∈[1,9]，∵t ＞0，∴t ∈[1,3]．3．(·惠州调研)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且直线l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得的弦长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选C 由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d ＝1m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn|，当且仅当m ＝n 时等号成立．所以|mn|≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积S ＝12|mn|≥3，故△AOB 面积的最小值为3.4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1.若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，2＋22 C ．[2－2，2＋2]D.()2－2，2＋2解析：选A 圆O 的半径为1，圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则∠APO ＝30°.在Rt △PAO 中，|PO|＝|AO|sin ∠APO ＝2，又圆M 的半径为1，圆心坐标为M(a ，a －4)， ∴|MO|－1≤|PO|≤|MO|＋1， ∵|MO|＝a 2＋a －42，∴a 2＋a －42－1≤2≤ a 2＋a －42＋1，解得2－22≤a≤2＋22. ∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，2＋22. 5．(·兰州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|2＝8a|PF 2|，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A ．(1,3]B ．[3，＋∞)C ．(0,3)D ．(0,3]解析：选A 根据双曲线的定义及点P 在双曲线的右支上，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m －n ＝2a ，m 2＝8an ，∴m 2－4mn ＋4n 2＝0，∴m ＝2n ，则n ＝2a ，m ＝4a ，依题得|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|，∴2c≤4a＋2a ，∴e ＝ca ≤3，又e ＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．6．(·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py(p>0)交于A ，B 两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y 1＋p 2，|BF|＝y 2＋p2，|OF|＝p2，由|AF|＋|BF|＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF|＝2p ，得y 1＋y 2＝p.k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b2x 1＋x 2a2y 1＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p，∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x. 答案：y ＝±22x C 组——创新应用练1．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O(0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 2．(·贵阳模拟)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52 B.⎝⎛⎭⎪⎫52，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54D.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ 解析：选B 依题意，注意到题中的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x ，且“右”区域是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜bax ，y ＞－ba x所确定，又点(2,1)在“右”区域内，于是有1＜2ba，即b a ＞12，因此题中的双曲线的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 3．(·武汉调研)已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 设实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝ba ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB||OA|.∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴设|OA|＝m －d ，|AB|＝m ，|OB|＝m ＋d.∵OA ⊥BF ，∴(m －d)2＋m 2＝(m ＋d)2，整理得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB||OA|＝m 34m ＝43，解得b a ＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5.4．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为椭圆上的一点．△F 1PF 2中，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R.当点P 在椭圆上运动时，求点R 的轨迹方程．解：如图，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线且点F 2与点Q 关于直线l 对称，由椭圆的光学性质知，F 1，P ，Q 三点共线．根据对称性，|PQ|＝|PF 2|，所以|F 1Q|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a.连接OR ，因为O 为F 1F 2的中点，R 为F 2Q 的中点，所以|OR|＝12|F 1Q|＝a.设R(x ，y)，则x 2＋y 2＝a 2(y≠0)，故点R 的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2(y≠0)．5．(高三·西安八校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过(1,1)与⎝ ⎛⎭⎪⎫62，32两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过原点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，椭圆C 上一点M 满足|MA|＝|MB|.求证：1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2为定值．解：(1)将(1,1)与⎝⎛⎭⎪⎫62，32两点代入椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋1b2＝1，32a 2＋34b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝32.∴椭圆C 的方程为x 23＋2y23＝1.(2)证明：由|MA|＝|MB|，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A ，B 关于原点对称．①若点A ，B 是椭圆的短轴顶点，则点M 是椭圆的一个长轴顶点，此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1b 2＋1b 2＋2a2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. 同理，若点A ，B 是椭圆的长轴顶点，则点M 在椭圆的一个短轴顶点，此时1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝1a 2＋1a 2＋2b2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝2. ②若点A ，B ，M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为y ＝kx(k≠0)，则直线OM 的方程为y ＝－1k x ，设A(x 1，y 1)，则B(－x 1，－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 23＋2y 23＝1，解得x 21＝31＋2k 2，y 21＝3k 21＋2k 2，∴|OA|2＝|OB|2＝x 21＋y 21＝31＋k21＋2k2，同理|OM|2＝31＋k22＋k2，∴1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2 ＝2×1＋2k 231＋k 2＋22＋k231＋k2＝2，故1|OA|2＋1|OB|2＋2|OM|2＝2为定值．。

高考数学二轮复习课时检测：“专题一”补短增分综合练理

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝θ＋22＋θ－2＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋＋π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

2019版数学(文)二轮复习通用版课时跟踪检测(十一) “专题三”补短增分(综合练) Word版含

姓名，年级：时间：课时跟踪检测（十一）“专题三”补短增分（综合练）A组——易错清零练1．（2018·洛阳模拟）已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为（) A。

错误!π B.错误!πC。

错误!πD．错误!π解析:选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2错误!.因为球O与正四面体的各棱都相切,所以球O为正方体的内切球，即球O的直径为正方体的棱长2错误!，则球O的体积V＝错误!πR3＝错误!π，故选A.2。

（2018·成都模拟)如图，一个三棱锥的三视图均为直角三角形．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ）A．4πB．16πC．24πD．25π解析：选 C 由三视图知该几何体是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，三条侧棱长分别为2,2，4,将该三棱锥补成一个长方体,可知该三棱锥的外接球直径就是长方体的体对角线，所以外接球直径2R＝错误!＝2错误!,则R＝错误!,故该球的表面积为4πR2＝24π，故选C。

3．（2018·陕西模拟）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵"．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为（）A．2 B．4＋22C．4＋4错误!D．4＋6错误!解析：选C 由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC.A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝错误!，∠C＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形,故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2错误!）×2＝4＋4错误!,故选C。

4．(2018·湖南长郡中学月考)正方体的8个顶点中，有4个恰是正四面体的顶点，则正方体与正四面体的表面积之比为________．解析：如图,设正方体的棱长为a，则正方体的表面积为S1＝6a2.正四面体PABC的边长为错误!＝错误!a，则其表面积为S2＝4×错误!×2a×2 a×sin60°＝2错误!a2。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(五)“专题一”补短增分(综合练)理(1)

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝θ＋22＋θ－2＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sinθ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋＋π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(五)“专题一”补短增分(综合练)理(1)

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( ) A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B. 2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝θ＋22＋θ－2＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23θ＋φ≥4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期；④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋＋π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

2019高考数学二轮复习课时跟踪检测(五)“专题一”补短增分(综合练)理(1)

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝θ＋22＋θ－2＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cosC ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S△ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期；③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋＋π6 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。

高考数学二轮复习课时跟踪检测五“专题一”补短增分综合练理04

课时跟踪检测（五） “专题一”补短增分（综合练）A 组——易错清零练1．(2018·河北邢台月考)设向量a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，c ＝(x ，－2)．若(2a ＋b)⊥c ，则x ＝( )A ．－127 B ．－3C.76D.73解析：选D 因为a ＝(3,2)，b ＝(6,10)，所以2a ＋b ＝(12,14)．因为c ＝(x ，－2)，且(2a ＋b)⊥c ，所以(2a ＋b )·c ＝0，即12x －28＝0，解得x ＝73，故选D.2．(2018·河南中原名校质量考评)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.π3B.π6 C ．0D.π4解析：选B 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ.因为所得函数为偶函数，所以π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝k π＋π6(k ∈Z)，则φ的一个可能取值为π6，故选B.3．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________. 解析：由正弦定理，得sin B ＝b sin Cc ＝6sin 60°3＝22，因为0°＜B ＜180°，所以B ＝45°或135°.因为b ＜c ，所以B ＜C ，故B ＝45°，所以A ＝180°－60°－45°＝75°.答案：75°B 组——方法技巧练1．已知向量a ，b ，且|a|＝3，a 与b 的夹角为π6，a ⊥(2a －b)，则|b|＝( )A ．2B ．4 C. 3 D ．3解析：选B 如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，〈a ，b 〉＝π6，作OC ―→＝2a ，则BC ―→＝2a －b.由a ⊥(2a －b)可知，OC ⊥BC .在Rt △OCB 中，OC ＝2|a|＝23，cos 〈a ，b 〉＝OC OB ＝23|b |＝32，解得|b|＝4.故选B.2．在△ABC 中，A ＝120°，若三边长构成公差为4的等差数列，则最长的边长为( ) A ．15 B ．14 C ．10D ．8解析：选B 在△ABC 中，A ＝120°，则角A 所对的边a 最长，三边长构成公差为4的等差数列，不妨设b ＝a －4，c ＝a －8(a >8)．由余弦定理得a 2＝(a －4)2＋(a －8)2－2(a －4)(a －8)cos 120°，即a 2－18a ＋56＝0，所以a ＝4(舍去)或a ＝14.3．(2018·广州模拟)已知 △ABC 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(0,1)，(2，0)，(0，－2)，O 为坐标原点，动点P 满足|CP ―→|＝1，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|的最小值是( )A.3－1B.11－1C.3＋1D.11＋1解析：选A 已知点C 坐标为(0，－2)，且|CP ―→|＝1，所以设P (cos θ，－2＋sin θ)，则|OA ―→＋OB ―→＋OP ―→|＝cos θ＋22＋sin θ－12＝4＋22cos θ－2sin θ＝4＋23cos θ＋φ≥ 4－23＝3－1.4．已知AB 为圆O ：(x －1)2＋y 2＝1的直径，点P 为直线x －y ＋1＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意，设A (1＋cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋1)，则B (1－cos θ，－sinθ)，∴PA ―→＝(1＋cos θ－x ，sin θ－x －1)，PB ―→＝(1－cos θ－x ，－sin θ－x －1)，∴PA ―→·PB ―→＝(1＋cos θ－x )(1－cos θ－x )＋(sin θ－x －1)(－sin θ－x －1)＝(1－x )2－cos 2θ＋(－x －1)2－sin 2θ＝2x 2＋1≥1，当且仅当x ＝0时，等号成立，故选A.5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152B.523C ．5 2D ．2 2解析：选C 如图所示，在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝BC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝1，cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0.(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 面积的最大值．解：(1)由cos B sin C ＋(a －sin B )cos(A ＋B )＝0，可得cos B sin C －(a －sin B )cos C ＝0，即sin(B ＋C )＝a cos C ，sin A ＝a cos C ，即sin A a ＝cos C ．因为sin A a ＝sin Cc＝sin C ，所以cos C ＝sin C ，即tan C ＝1，C ＝π4.(2)由余弦定理得12＝a 2＋b 2－2ab cos π4＝a 2＋b 2－2ab ，所以a 2＋b 2＝1＋2ab ≥2ab ，ab ≤12－2＝2＋22，当且仅当a ＝b 时取等号，所以S △ABC＝12ab sin C ≤12×2＋22×22＝2＋14.所以△ABC 面积的最大值为2＋14. 7．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2，∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.C 组——创新应用练1．已知△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，重心为G ，若2sin A ·GA ―→＋3sin B ·GB ―→＋3sin C ·GC ―→＝0，则cos B ＝________.解析：设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，由正弦定理得2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＋3c ·GC ―→＝0，则2a ·GA ―→＋3b ·GB ―→＝－3c ·GC ―→＝－3c (－GA ―→－GB ―→)，即(2a －3c )GA ―→＋(3b －3c )GB ―→＝0. 又GA ―→，GB ―→不共线，所以⎩⎨⎧2a －3c ＝0，3b －3c ＝0，由此得2a ＝3b ＝3c ，所以a ＝32b ，c ＝33b ，于是由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝112.答案：1122．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b|>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，① b ∘a ＝b ·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.② ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b|>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a<1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b)(b ∘a)＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b)<1，即1<a ∘b<2，∴a ∘b ＝32. 答案：323．若f (x )是定义在[0，＋∞)上的函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝sin(πx )，且当x ∈(2，＋∞)时，f (x )＝12f (x －2)，则方程f (x )＝ln(x －1)的实数根的个数为________．解析：根据题意，在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和函数y ＝ln(x －1)的图象如图所示，观察图得两个函数图象的交点个数为3，即方程的根的个数为3.答案：34．在平面直角坐标系xOy 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意P ∈Ω，均有Q ∈Ω，使得OQ ―→＝OP ―→＋a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期．现有以下四个命题：①若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a(k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期； ②若平面点集Ω形成的平面图形的面积是一个非零常数，则Ω不存在向量周期； ③若平面点集Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，则b ＝(1,2)为Ω的一个向量周期； ④若平面点集Ω＝{(x ，y )|[y ]－[x ]＝0}([m ]表示不大于m 的最大整数)，则c ＝(1,1)为Ω的一个向量周期．其中真命题是________(填序号)．解析：对于①，取Ω＝{(x ，y )|x ＞0，y ＞0}，a ＝(1,0)，则a 为Ω的向量周期，但－a ＝(－1,0)不是Ω的向量周期，故①是假命题；易知②是真命题；对于③，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则存在点Q (x P ＋1，y P ＋2)∈Ω，所以b 是Ω的一个向量周期，故③是真命题；对于④，任取点P (x P ，y P )∈Ω，则[y P ]－[x P ]＝0，存在点Q (x P ＋1，y P ＋1)，所以[y P ＋1]－[x P ＋1]＝[y P ]＋1－([x P ]＋1)＝0，所以Q ∈Ω，所以c 是Ω的一个向量周期，故④是真命题．综上，真命题为②③④. 答案：②③④5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ，过A (t ，f (t ))，B (t ＋1，f (t ＋1))两点的直线的斜率记为g (t )．(1)求函数g (t )的解析式及单调递增区间；(2)若g (t 0)＝45，且t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，求g (t 0＋1)的值．解：(1)易知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ，所以g (t )＝f t ＋1－f tt ＋1－t＝f (t ＋1)－f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6.令2k π－π≤π3t ＋π6≤2k π，k ∈Z ，得6k －72≤t ≤6k －12，k ∈Z ，所以函数g (t )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3t ＋π6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －72，6k －12，k ∈Z.(2)由题意得g (t 0)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝45，t 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，所以π3t 0＋π6∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝35，所以g (t 0＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3t 0＋1＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＋π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6－32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3t 0＋π6＝12×45－32×35＝4－3310.。