二元一次方程组的解的情况
二元一次方程组的常见解法
二元一次圆程组的罕睹解法之阳早格格创做二元一次圆程组中含有二个已知数，所以解二元一次圆程组的主要思路便是消元，即消去一个已知数，使其转移为一元一次圆程，那样便不妨先解出一个已知数，而后设法供另一个已知数．罕睹的消元要领有二种：代进消元法战加减消元法．一、代进法即由二元一次圆程中的一个圆程变形，将一个已知数用含另一个已知数的式子表示出去，再代进另一个圆程中，真行消元，从而供解．普遍情况下用代进法解圆程组时，采用变形的圆程要尽大概的简朴，表示的代数式也要尽大概的简朴，以好处估计．2x+5y=－21①例1、解圆程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代进①得 2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代进③得：x=8－3×37=－103x=－103所以那个圆程组的解是y=37二、真足代进法当圆程组中的二个圆程存留整数倍数闭系时，用代进法解可将整数倍数闭系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代进另一个圆程．3x－4y=9①例2、解圆程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代进②得 3(4y+9)－10y=3解得 y=－12把y=－12代进③得 3x=4×(－12)+9解得 x=－13x=－13所以圆程组的解是y=－12三、加减消元法即圆程组中二个二元一次圆程中的共一个已知数的系数相等时，让二个圆程相减．如果圆程组中二个二元一次圆程中的共一个已知数的系数互为差异数时则让二个圆程相减．消去一个已知数，得到一个一元一次圆程，那种要领喊加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解圆程组4x－5y=6②解由①×2得 4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得 y=2把y=2代进②得 4x－5×2=6解得 x=4x=4所以圆程组的解为y=2四、真足使用加减法即当二个二元一次圆程中的某一部分真足相共或者标记差异时，不妨把那二个圆程二边相加或者相减，把相共的部分真足消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解圆程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得 (y－1)－ (1－y)＝4－2整治得 2y=4解得 y=2把 y=2 代进①得3(x+2)+(2－1)=4整治得 3x+7=4解得 x=－1x=－1所以圆程组的解为y=2解二元一次圆程组的主要要领有代进法战消元法，果为圆程的形式是多种百般的．所以正在解圆程中一定要小心瞅察圆程中各部分以及各个已知数战它们的系数之间的闭系的找到最烦琐的解题要领．。
二元一次方程组的解的情况及应用-二元一次方程组的应用讲解
知识点一：二元一次方程的理解 知识点二：二元一次方程组的解的情况 知识点三：自己的解 知识点四：与别人同解 知识点五：借用别人的解 知识点六：非负数与二元一次方程组结合 知识点七：同类项的概念与二元一次方程组结合 知识点八：求错的解 知识点九：给出关系的解
巩固练习 1
已知关于x、y的二元一次方程组
3、当
a1 b1
a2
b2
时 方程组有唯一的解
知识点一：二元一次方程的理解 知识点二：二元一次方程组的解的情况 知识点三：自己的解 知识点四：与别人同解 知识点五：借用别人的解 知识点六：非负数与二元一次方程组结合 知识点七：同类项的概念与二元一次方程组结合 知识点八：求错的解 知识点九：给出关系的解
x 2y 1 2x 4y 2
1 2 唯一的解 12
1 2 1 2 4 3
无解
1 2 1 无数多解 2 4 2
练习1：下列方程组中，只有一组解（C ）
（A）3xxy3y1 0
（B）3xxy3y
0
3
（C）3xxy3y1 3 （D）3xxy3y1 3
知识点一：二元一次方程的理解
已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2
(1)当k= -1 时，方程为一元一次 方程；
(2)当k= 1 时，方程为二元一次方
程。
知识点二：二元一次方程组的解的情况
x 2y 1 x 2y 3
x 2y 1 2x 4y 3
x y 5k x y 9k
的解也是二元一次方
程2x+3y=6的解，求k的值。
有相同的解，求a、b的值。
知识点四：与别人同解
学习二元一次方程组时的十个注意点
学习二元一次方程组时的十个注意点一、二元一次方程组的解有以下三种情况：（1）有一个解．例如方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝11，2x ＋3y ＝16 有一个解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2．这个方程组只有这一个解．初级阶段的教学课只研究方程组有一个解的情况．（2）有无数个解．例如方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝11，6x －4y ＝22有无数个解，这是因为方程组中的两个方程实际上是同一个方程（请想想为什么），两个方程只能算一个．（3）无解．例如方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＝11，6x －4y ＝20无解，这是因为将第一个方程的任何一个解代入第二个方程，左边应当是22，它不等于20，这两个方程是互相矛盾的．二、运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题：（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单；（2）若方程组中一个未知数的系数为1（或－1）时，选择这个方程进行变形，用代入法比较简便；（3）当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便；（4）若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成（3）的类型，选择加减消元法比较简便；（5）若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元；（6）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、合并同类项等）．通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑．三、如何突出教学重点从今后的学习与应用考虑，对于大多数学生而言，学习本章主要是要掌握二元一次方程组的解法．因此，本章把二元一次方程组的解法作为重点．教科书中，适当增加了一些例子，主要的例子也不是简单地将解法给出，而是一步一步地进行分析，引导学生在原有知识的基础上，经过认真思考，从二元一次方程组本身的特点中，寻求解决问题的方法和途径，希望这样可以使学生更容易接受、理解，从而更好地掌握它们．有关二元一次方程组的概念比较多，当然，从学习代数方程这个目的出发，这些概念是有其重要意义的，但真正掌握这些概念是有一定困难的．如果处理不好，会干扰多数学生学习掌握最基本的内容——二元一次方程组的解法．因此，教材中将这些概念分别根据它们的难度、重要性，做了不同的处理，对有一定难度而与近期学习关系不大的概念，就适当地淡化了它们在教科书中的地位，以期降低难度，减轻学习负担，从而使多数学生能真正学有所得．例如，关于二元一次方程有无穷多个解的问题，也就是所谓解的不定性的问题，这是以往初中代数学习的一个难点．一方面，无穷多的问题，学生过去还没有遇到过，而且，对于二元一次方程来说，它的每一个解又是一对数，这一对数还有一定的相关性．让学生比较好地理解这个问题是比较困难的．另一方面，从学习二元一次方程组解法这一基本目的出发，解的不定性的内容也不是急需的，以后学习了直角坐标系，知道二元一次方程可以用直线表示，借助数形结合，再研究二元一次方程的解的个数问题，就会容易得多．基于以上考虑，本章只是通过几个具体的例子，让学生初步了解一个二元一次方程有不只一个解就可以了．又如，关于二元一次方程组的定义，也有一定的难度．一是关于方程组，方程组中未知数的个数与方程的个数存在三种不同的情况，未知数的个数多于、等于或少于方程的个数，这些都涉及，问题就过于复杂了．二是关于二元一次方程组定义本身，即使只有两个方程的情况下，还包括两个都是二元，一个是二元一个是一元，或者两个都是一元这三种可能．因此，才有以往教材的如下定义：由几个一次方程组成并含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组．这个定义中，一是没有限定方程的个数，二是包括了每个方程的元数的多种可能性．让学生认清这些不容易．概括地说，首先，要从学生今后学习与应用的需要出发，确定二元一次方程组的教学重点；其次，要围绕二元一次方程组的解法这个教学重点，把握二元一次方程组有关概念与相关运算的教学深广度，选择安排适当的练习进行训练．四、如何启发思维、培养能力在讲解代入法时，启发学生将由同一个问题列出的一元一次方程与二元一次方程组进行对比，从列方程组的过程中，发现一个未知数可以用含有另一个未知数的代数式表示的关系，进而找出将“二元”转化为“一元”的途径，就可以借助学过的一元一次方程的知识，求解二元一次方程组了．在学生接触了消元的思想之后，又结合像⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝13，3x －2y ＝5这样的例子，从“消元”、“转化”这一目标出发，就不难引导学生发现另一种解二元一次方程组的方法，即加减法了．对于学有余力的学生，在学习三元一次方程组的解法时，应该继续强化学生对“消元”、“转化”思想方法的认识与了解．列方程（组）解应用题对于相当多的学生是有一定困难的，启发学生认真分析问题中的有关数量，从中找出相等关系是十分重要的．教学中，从题目的选配到例题的讲述，都应该注意启发学生的思维．当然这部分的基本教学要求是使学生能灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组．在使学生达到“灵活运用”水平的训练过程中，“消元”、“转化”的思想也是起着重要作用的，“灵活” 的目的就是较好地实现“消元”、“转化”.五、康熙创造的数学术语解方程时，大家总会碰到“元”、“次”、“根（解）”．不过，你知道题目中的数学术语“元”、“次”、“根（解）”（当然只是指汉语译名）是谁创造的？说来你也许不信，是清朝的康熙皇帝．康熙皇帝是一个抱负远大、好学上进的君主，他曾拜比利时的南怀仁等传教士为师，学习天文、数学、地理，还学拉丁文．康熙大帝虽然聪颖过人，但是听外籍教师讲课并不轻松，因为南怀仁等人的汉语和满语水平有限，日常会话还能够勉强对付着，而要将严谨而高深的科学知识表达出来就显得力不从心了，而当时课本多是外文，即使中译本也是半通不通的．这样，学习中就必然有许多精力被消耗在语言沟通上，进度不快．不过，康熙学习很刻苦，也很有耐心，一遍听不懂，就请老师再讲一遍，直至真正弄懂为止．南怀仁在讲方程时句子冗长，吐音又很不清楚，康熙的脑子常常被搞得晕晕糊糊的，怎样才能让老师讲得好懂呢？一阵冥思苦想后，一个妙法突然冒出来．他向南怀仁建议，将未知数翻译为“元”，最高次数翻译为“次”（限整式方程），使方程左右两边相等的未知数的值翻译为“根”或“解”……南怀仁用笔认真地记了下来，随即用这些新创术语换下自己原先使用的繁琐词语：“求二‘元’一‘次’方程的‘根（解）’……”果然扫除了很多障碍，提高数学效率．南怀仁惊疑地盯着康熙，愣怔了一会儿，突然按照西方最亲切的礼节一下子将康熙紧紧抱住：“我读书和教书几十年，无论是老师还是学生，还从来没见过一个像您这样肯动脑筋的人！”康熙创造的这几个数学术语科学而简洁，十分便于理解和记忆，因此一直延用到今天．六、鸡兔同笼问题《孙子算经》是唐初作为“算学”教科书的著名的《算经十书》之一，共三卷，上卷叙述算学记数的制度和乘除法则，中卷举例说明筹算分数法和开平方法，都是了解中国古代筹算的重要资料．下卷收集了一些算术难题，“鸡兔同笼”问题是其中之一．原题如下：令有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉、兔各几何？原书的解法是；设头数是a，足数是b．则b2－a是兔数，a－（b2－a）是雉数．这个解法确实是奇妙的．原书在解这个问题时，很可能是采用了方程的方法．设x为雉数，y为兔数，则有x＋y＝a，2x＋4y＝b，解之得：y＝b2－a，x＝a－（b2－a）．根据这组公式很容易得出原题的答案：兔12只，雉23只．鸡兔同笼问题是一个有趣的算术题，对初学算术四则应用题的学生的逻辑推理能力和运算技巧很有帮助．因而历代算学书中多有引录,但在题目及解题方法上却各有不同．元代《丁巨算法》（1355）中的题目为今有鸡兔一百，共足二百七十二只，只云鸡足二，兔足四，问二色各几何？所附解法与《孙子算经》不同,其方法是“置共一百，以四乘之，得四百，与总足相减，余一百二十八，折半得鸡数．反减得兔．倍一百得二百，减总足，余七十二，折半得兔．反减得鸡，亦通．”这是另一典型的算术解法，先设全部都是兔．则总足数是头数的四倍，得四百．与实际总足敷相减，即知把鸡误当为兔时多计算的足数．每只多算二足，故折半即为鸡数．此题的答案为：鸡64只，兔36只．“鸡兔同笼”问题在民间也广为流传，甚至编入了小说．在我国著名的古典小说《镜花缘》里就有这样一段故事：宗伯府的女主人卞宝云邀请女才子们到府中的小鳌山观灯，当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂灯球，五彩缤纷，宛如列星，高低错藩，竟难分辨其多少．卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬，楼上的灯有两种，一种上做三个大球，下缀六十小球，计大小球九个为一灯；另一种上做三个大球，下缀十八个小球，计大小球二十一个为一灯．楼下的灯也分两种，一种一个大球，下缀两个小球；另一种是一个大球，下缀四个小球．她请米兰芬算一算楼上楼下四种灯各有多少个．米兰芬想了一想，请宝云命人查一下楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球共396个，小灯球共1440个，楼下大灯球共360个，小灯球共1200个．米兰芬按照《孙子算经》中“鸡兔同笼”问题的解法，先算楼下的，她将小灯球1200折半，得600，再减去大灯球360，得240，这是一大四小灯球的灯的盏数．然后用360减240，得120，这便是一大二小灯球的灯的盏数．再算楼上的，她先将1440折半，得720，减大灯球396，余324，再除以6，得54，这是缀十八个小球灯的灯的盏数，然后用3乘54，得162，用396减162，得234，用234除以3得78，即下缀六个小球灯的灯78盏．卞宝云让人拿做灯的单子来念，果然丝毫不差．大家莫不称为神算．这个问题若用方程解之自然更简单，但用算术方法解之确也别具一格．一个算术题竟能辗转传抄，世代相授，历经千年而不衰，其内容之有趣，解法之奇巧，不能不说是一个很重要的原因．七、珍尼的宠物珍尼说：“在我饲养的宠物中，除了两只以外所有的动物都是狗，除了两只以外，所有的都是猫，除了两只以外，所有的都是鹦鹉，我总共养了多少只动物？你想出来了吗？”大家苦思良久，迈克突然说：“珍尼只养了三只动物：一只狗，一只猫和一只鹦鹉，除了两只以外所有的都是狗，除了两只以外所有的都是猫，除了两只以外所有的都是鹦鹉．”如果你领悟到“所有”这个词可以指仅仅一只动物的话，头脑中就有了这个问题的答案，最简单的情况：一只狗，一只猫，一只鹦鹉，这个问题也可以用代数形式来表示．令x 、y 、z 分别为狗、猫和鹦鹉的只数，n 为动物的总数，我们可以写出由下面四个方程组成的方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝x ＋2，n ＝y ＋2， n ＝z ＋2， n ＝x ＋y ＋z ．解此方程组有许多方法，显然，根据前三个方程式，可得出x ＝y ＝z ，由于3n ＝x ＋y ＋z ＋6，减去第四个方程，得到n ＝3，因此x ＋2＝3，所以x ＝1，答案可知．由于动物只数只能是正整数，所以可以把珍尼的动物问题看作所谓的丢番图问题（即不定方程）的一个例子，这是一个其方程解必须是整数的代数问题，一个丢番图方程有时无解，有时只有一个解，有时有不止一个或个数有限的解，有时有无穷多个解．下面是一个难度稍大的丢番图问题，同样也与方程组和三种不同的动物有关．一只公鸡价格10元，一只母鸡价格3元，一只小鸡价格0.5元．一个农夫买了100只鸡，每种至少买了一只，总共花了100元，问每种鸡各买了多少只？令x 为公鸡的只数，y 为母鸡的只数，z 为小鸡的只数，可以写出如下方程组：⎩⎨⎧ 10x ＋3y ＋z 2 =100，x ＋y ＋z ＝100．把第一个方程中的各项都乘以2消去分数，再与第二个方程相减，消去z ，这样得到下列方程式：19x ＋5y ＝100．x 和y 可能有哪些整数值？一种解法是把系数最小的项放到方程的左边：5y ＝100－19x ，把两边都除以5，得到y ＝100－19x 5， 再把100和19x 除以5，将余数（如果有的话）和除数5写成分数的形式，结果为：y ＝20－3x －4x 5 ．显然，表达式4x 5 必然是整数，即x 必须是5的倍数，5的最小倍数即是其自身，由此得出y 的值为1，将x ，y 的值带入任何一个原方程，可得z 等于94．如果x 为任何比5更大的5的倍数，则y 变为负数．所以，此题仅有一个解：5只公鸡，1只母鸡和94只小鸡．你只要把这个问题中鸡的价钱改变一下，便可以学到许多初等丢番图分析的知识．例如，设公鸡价钱为4元，母鸡的价钱为2元，小鸡的价钱为13 元，一个农夫准备花100元买1000只鸡，并且每种鸡至少买1只，问他每种可以买多少只？关于这一问题，恰好有三种解，但是如果公鸡价为5元，母鸡价为2元，小鸡价为0.5元呢？那就无解．丢番图分析是数论的一大分支，其实际应用范围极广．有一个著名的丢番图问题，以费马最后定理而著称：设有方程x n ＋y n ＝z n ，其中n 是大于2的正整数，问此方程是否有整数解（如果n ＝2，则称其为毕达格拉斯三元数组，具有自3n ＋4n ＝5n 起始的无穷多组解？）这是一个最著名的数论问题，已经由英国数学家安德鲁·威尔斯于1994年解决．他应用了一种叫做椭圆函数的理论，实际上，他证明的并不是费马定理本身，而是在椭圆函数领域中另一个著名的猜想：谷山-志村猜想，这等于是从侧面攻破了这个300多年的大难题．八、谁善饮酒在法国民间流传着这样一道算题：在一次消夏晚会上有四对夫妇一起饮酒，他们共饮了32瓶啤酒．太太们的记录是：露易丝1瓶，蕾蒂丝2瓶，约瑟芬3瓶，玛丽4瓶．先生们饮的更厉害，马尔勒和自己的妻子饮同样多，让·阿冉饮的是自己妻子的2倍，苏西克斯饮的是妻子的3倍，诺森伯兰饮的是妻子的4倍．猜一猜谁和谁是一家？并排出这四对夫妇饮酒量的名次．我们用列方程组的方法来解这个问题．设马尔勒、让·阿冉、苏西克斯和诺森伯兰的妻子各饮酒x ，y ，z ，u 瓶，则他们各饮酒x ，2y ，3z ，4u 瓶，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋z ＋u ＝10……○1x ＋2y ＋3z ＋4u ＝22……○2 其中，x 、y 、z 、u 分别在1，2，3，4中取值．由○1×4－○2消去u ，得：3x ＋2y ＋z ＝18……○3由于2y 、18为偶数，所以x 、z 或者同为偶数，或者同为奇数．在○3中，由于y 、z ≤4，所以x ＝1，2不可能．若x ＝4，则z ＝2，代入○3求出y ＝2，这也不合题意．因此只能x ＝3，z ＝1，代入○3求出y ＝4，再代入○1求出u ＝2．这样各家及饮酒情况是：⎩⎪⎨⎪⎧ 约瑟芬 3瓶，马尔勒 3瓶；⎩⎪⎨⎪⎧ 玛丽 4瓶，让·阿冉 8瓶； ⎩⎪⎨⎪⎧ 露易丝 1瓶，苏西克斯 3瓶；⎩⎪⎨⎪⎧ 蕾蒂丝 2瓶，诺森伯兰 8瓶． 从上面的分析可以立即看出各对夫妇饮酒量排列次序．九、如何消元解二元一次方程组的关键在于消元，化“二元”为“一元”，将“陌生”的二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，从而求解．同学们在掌握用代入消元、加减消元法的同时，还要注意观察和分析方程组中各方程的结构特点，开拓新思路，采用一些特殊方法，简捷求解，从而提高和培养自已的创新能力，请看：1、整体代入法例1 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3（5x ＋7y ）=4，（1）5x ＋7y ＝2． （2）分析：此题常规解法是先化简再加减消元，虽能达到目的，但不是明智之举，观察发现方程（1）与方程（2）中有相同的代数式5x ＋7y ，所以把方程（2）代入方程（1）中，从而解出x 的值进而求出y 的值，则快人一步！简解：将方程（2）整体代入到方程（1），得2x ＋3×2＝4，所以x ＝—1，将x ＝－1代入（2），得5×（－1）＋7y ＝2，得y ＝1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x =－1，（1）y ＝1． （2）点评：解方程组时，有时可根据题目的特点整体代入，从而达到简化运算的目的，当然不是所有的题目都能像本题一样，直接整体代入，有时须通过仔细观察，抓住方程组的特点，先将它作一些处理，然后再整体代入．2、整体加减法例2 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y 6＋x －y 10 =3， （1）x ＋y 6 －x －y 10 ＝－1．（2）分析：若先去分母，再化简求解，不胜繁冗，观察发现两个方程中都含有x ＋y 6 、x －y 10 ，分别将其看作一个整体，将方程（1）与方程（2）进行整体加减消元，则简单明快．简解：（1）＋（2）得：x ＋y ＝6，（1）－（2）得x －y ＝20，原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝6，x －y ＝20． 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝－7．例3 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 83x ＋79y =241，（1）79x ＋83y ＝245．（2） 分析：对于这样系数较大的方程组，千万别硬做，繁琐难算且易错！观察发现方程组的左边未知数的系数为轮换对称式，分别将两个方程整体相加、减，可构造一个简单方程组，从而简化计算过程．简解：（1）＋（2）得x ＋y ＝3；（1）－（2）得x －y ＝－1，原方程组转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝－1． 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2． 所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2．3、消去常数法例4 解方程⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ＋27y =1，（1）22x ＋24y ＝1．（2）分析：按常规方法是寻找系数x 或y 的最小公倍数，再消元，运算量大，观察发现两个方程的常数项相同，所以两式相减消去常数项，再代入消元可获巧解．简解：（1）－（2）得2x ＝3y ……（3），将（3）代入（1），解得57y ＝1，解得y ＝157 ，再将y ＝157 代入（3），得x ＝138 ．所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝138 ，y ＝157 ．4、整体构造法例5 某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋共用12.7元；若买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹅蛋共用4.7元，求买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需多少元？分析：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格各为x 、y 、z 元，根据题意只能布列2个方程，不能求出x 、y 、z 的值，将x ＋y ＋z 看作一个整体，将每一个方程都构造含有x ＋y ＋z 的式子，从而可整体求出．简解：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格分别为x 、y 、z 元，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ 13x ＋5y ＋9z =12.7，（1）2x ＋4y ＋3z ＝4.7． （2）将方程组可变为⎩⎪⎨⎪⎧ 5（x ＋y ＋z ）＋8x ＋4z =12.7，（3）2（x ＋y ＋z ）＋2y ＋z ＝4.7． （4）（3） ＋（4）×4，即得x ＋y ＋z ＝1.5，故买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需1.5 元．5、增设辅元法例6 解方程组⎩⎨⎧ x 2 = y 3 ＝z 4 ， （1）2x ＋y ＋z ＝22． （2）分析：所谓增设辅元法，就是在解题过程中，把含某个（或某些）字母的式子做为一个整体，用一新的字母表示，从而把一个较为复杂的式子化简，把原题归给为较简单的基本问题，达到化难为易的目的，当方程组中出现“比”的形式或“连比”的形式，通常采用增设辅元法，以简化运算．简解：设x 2 ＝y 3 ＝z 4 ＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，又2x ＋y ＋z ＝22，4k ＋3k ＋4k ＝22，k ＝2，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝6，z ＝8．总之，在解二元一次方程组时，一定要分析题目的特点，灵活运用技巧，才能简化解题过程，化繁为简，提高正确率．十、如何解三元一次方程组什么叫做三元一次方程组如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．如⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＋z ＝3，x －2z ＝5 就是一个三元一次方程组．提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数．解三元一次方程组基本思路解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．提示：三元一次方程组求解方法与二元一次方程组的求解方法类似，可通过对比来理解三元一次方程组的解题思想．解三元一次方程组的一般步骤1．观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；2．利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；3．解二元一次方程组，求得两个未知数的值；4．将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求到第三个未知数的值；5．写出三元一次方程组的解．例如：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＋2z ＝2， ①3x ＋2y －4z ＝3， ②2x －y ＝7 ． ③分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z ，而①、②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z ，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解．解：①×2＋②，得5x ＋8y ＝7④，解③，④组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y =7， 5x ＋8y ＝7． 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1．把x ＝3，y ＝－1代入①，得z ＝1，所以原方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1，z ＝1．。
掌握带有参数的二元一次方程组的解法
掌握带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组是指方程组中含有参数的二元一次方程。
解决这类方程组的关键在于求出参数的取值范围，并找到满足方程组的解。
下面将详细介绍带有参数的二元一次方程组的解法。
一、带有参数的二元一次方程组的表示形式带有参数的二元一次方程组一般可以表示为：方程组1：$a_1x + b_1y = c_1$$a_2x + b_2y = c_2$其中，$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$为已知系数，$x, y$为未知数。
二、参数的取值范围为了求解方程组，首先需要确定参数的取值范围。
通常可以通过观察方程来判断参数取值的范围。
例如，如果方程组中含有分母，并要求分母不等于零，那么就需要确定参数不能为使分母为零的值。
三、带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组的解法可以分为以下几种情况：情况一：参数取某个特定值当参数取某个特定值时，方程组就变成了具有确定解的普通二元一次方程组。
根据二元一次方程的解法，解出该方程组，得到解的具体数值。
情况二：参数存在范围当参数存在范围时，需要根据参数的取值范围进行分类讨论。
具体步骤如下：1. 将方程组化简为标准形式，即求出每个方程的标准形式表达式；2. 根据参数的取值范围，将方程组分为不同的情况；3. 分别针对每种情况，解决方程组，并得到解的范围或具体解。
情况三：参数无限制当参数没有明确的取值范围时，需要利用一些性质和技巧，通过代数运算推导出解的性质。
常用的技巧包括代入法、消元法、矩阵法等。
根据具体问题和方程组的特点，选择合适的方法求解。
总之，掌握带有参数的二元一次方程组的解法，首先要明确参数的取值范围，然后根据具体情况选择合适的解法进行求解。
通过逐步分析和计算，可以得出解的范围或具体解。
在实际问题中，带有参数的二元一次方程组的解法能够帮助我们解决更为复杂的数学和实际应用问题。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。
方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。
将x的值代入方程2中，即可得到y的值。
最终得到方程组的解。
方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。
最终得到方程组的解。
方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。
同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这样的方程组可以使用多种方法，包括消元法、代入法和图解法等。
本文将介绍这些解法的步骤和应用示例。
1. 消元法消元法是一种常用的解二元一次方程组的方法。
它通过将其中一个方程的未知数系数倍乘以另一个方程的系数，使得两个方程中的一个未知数的系数相等或相差一个倍数，进而将自变量消去，从而求得另一个未知数的值。
具体步骤如下：步骤1：观察两个方程，确定哪个未知数系数的倍数可以使得两个未知数的系数相等或相差一个倍数。
步骤2：将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
步骤3：解得一个未知数的值。
步骤4：将求得的未知数代入任意一个方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个示例：例题：解方程组方程1：2x + 3y = 7方程2：3x - 4y = 8解答过程：步骤1：由观察可知，方程1的横坐标系数的倍数可以使得两个方程中y的系数相等，因此我们将方程1的系数倍乘以方程2的系数，得到6x + 9y = 21和3x - 4y = 8。
步骤2：将两个方程相减，得到(6x + 9y) - (3x - 4y) = (21 - 8)。
化简得到3x + 13y = 13。
步骤3：解得x = 1。
步骤4：将x = 1代入方程1中，得到2(1) + 3y = 7。
化简得到3y = 5，解得y = 5/3。
因此，方程组的解为x = 1，y = 5/3。
2. 代入法代入法是另一种解二元一次方程组的常用方法。
它通过将其中一个方程的解代入到另一个方程中，从而求得另一个未知数的值。
具体步骤如下：步骤1：解其中一个方程，得到一个未知数的值。
步骤2：将求得的未知数的值代入到另一个方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个示例：例题：解方程组方程1：3x - 4y = 2方程2：2x + y = 7解答过程：步骤1：解方程1，得到x = (2 + 4y)/3。
步骤2：将x = (2 + 4y)/3代入方程2，得到2(2 + 4y)/3 + y = 7。
二元一次方程组一般式的解
二元一次方程组一般式的解设二元一次方程组为：{a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0移项，变形{a1x+b1y=−c1(1) (a12+b12≠0)a2x+b2y=−c2(2) (a22+b22≠0)用加减消元法解方程的过程：(1)∗b2得：a1b2x+b1b2y=−c1b2 ○1说明：(1)○1同解，(2)○2同解，(1)○3(2)∗b1得：a2b1x+b1b2y=−c2b1 ○2同解，(2)○4同解，理由是方程(1)∗a2得：a1a2x+a2b1y=−c1a2 ○3两边乘以（或除以）不等于0的(2)∗a1得：a1a2x+a1b2y=−c2a1○4同一个数，所得方程与原方程是同解方程。
○1-○2得：（a1b2−a2b1）x+0y=c2b1-c1b2○5说明：○5○1同解，○6○4同解，○4-○3得: 理由是方程两边都加上（或0x+（a1b2−a2b1）y=c1a2-c2a1○6减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程。
疑问：在加减消元法下，○5只剩下一个元x，而○1有两个元x和y,从○5里只能解出x的值不能解出y的值，为什么还说“○5○1同解”？这是因为○5中的y 并非不存在，只是因为它的系数在加减消元法下变成了0，进而使得0y=0,使人误以为这个y不存在。
其实这个y是有它应该有的值的——这个未能显示的y应该有什么值？把从○5中解出的x的值代入○1，解得y的值，再把这个y值代入○5中的0y项,它使○5恒能成立，这个y值就是它应该有的值。
我们可以将加减消元法换成其他方法便能解出能显示的y值。
能显示的y值与y应有值完全一致。
同理，说○6○4同解的理由也是这样。
以上解方程过程，保证了每一步都是同解变形，也就是保证变形前后的两个方程是同解方程。
由○5、○6向上延溯，可推出○5(1)同解、○6(2)同解的结论。
(1)、(2)组成方程组，开始已设定：{a1x+b1y=−c1(1) (a12+b12≠0) a2x+b2y=−c2(2) (a22+b22≠0)相应地亦可将○5、○6组成方程组：{(a1b2−a2b1)x=c2b1−c1b2 ○5(a1b2−a2b1)y=c1a2 −c2a1○6前后两个方程组是同解方程组。
解二元一次方程组的方法
解二元一次方程组的方法二元一次方程组是指含有两个未知数的一次方程组，通常形式为：ax + by = c。
dx + ey = f。
要解这样的方程组，我们可以使用多种方法，下面将介绍几种常用的解法。
方法一，代入法。
代入法是解二元一次方程组常用的一种方法。
我们可以通过将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的未知数的形式，然后代入到另一个方程中，从而得到另一个未知数的值。
举个例子，对于方程组：2x + 3y = 8。
x y = 1。
我们可以将第二个方程中的x表示成x = 1 + y，然后代入到第一个方程中，得到：2(1 + y) + 3y = 8。
2 + 2y + 3y = 8。
5y = 6。
y = 6/5。
将y的值代入到x y = 1中，得到：x 6/5 = 1。
x = 11/5。
因此，方程组的解为x = 11/5，y = 6/5。
方法二，消元法。
消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
通过将两个方程相减或相加，消去一个未知数，然后解得另一个未知数的值。
以方程组。
2x + 3y = 8。
x y = 1。
为例，我们可以将两个方程相加，得到：3x + 2y = 9。
然后将这个新得到的方程与原来的其中一个方程相减，消去一个未知数，得到另一个未知数的值。
方法三，克莱姆法则。
克莱姆法则是一种利用行列式来解二元一次方程组的方法。
对于方程组。
ax + by = e。
cx + dy = f。
如果ad bc ≠ 0，那么方程组有唯一解，且解为：x = (ed bf) / (ad bc)。
y = (af ec) / (ad bc)。
方法四，图解法。
图解法是通过在坐标系中画出两个方程的图像，从而找到它们的交点来求解方程组的方法。
通过观察图像的交点坐标，我们可以得到方程组的解。
总结。
解二元一次方程组的方法有很多种，上面介绍的只是其中的几种常用方法。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解方程组，以便高效地求得未知数的值。
解二元一次方程组的方法和步骤
解二元一次方程组的方法和步骤在数学中，二元一次方程组是一种常见的方程形式，它由两个未知数和两个方程组成。
解二元一次方程组的方法有多种，下面将介绍其中的几种常见方法和步骤。
一、代入法代入法是解二元一次方程组的一种基本方法。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数表示为另一个方程中的未知数的函数，然后代入另一个方程，从而得到一个只包含一个未知数的方程，进而求解该方程。
例如，考虑以下二元一次方程组：方程1：2x + 3y = 7方程2：4x - y = 1我们可以将方程2中的y表示为方程1中的未知数x的函数。
通过观察可以发现，方程2中的y可以表示为y = 4x - 1。
将这个表达式代入方程1中，得到2x +3(4x - 1) = 7。
化简后得到14x - 3 = 7，进一步化简为14x = 10，最终解得x = 10/14 = 5/7。
将x的值代入y = 4x - 1，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，该二元一次方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
二、消元法消元法是解二元一次方程组的另一种常见方法。
其基本思想是通过适当的变换，使得方程组中的一个未知数的系数相等或相差一个整数倍，从而将两个方程相减或相加，消去该未知数，进而求解另一个未知数。
考虑以下二元一次方程组：方程1：3x + 2y = 8方程2：2x - 4y = -2我们可以通过适当的变换，使得方程组中y的系数相等或相差一个整数倍。
观察方程1和方程2，可以发现将方程2乘以2得到2(2x - 4y) = 2(-2)，即4x - 8y = -4。
现在我们可以将这个新的方程与方程1相减，得到(3x + 2y) - (4x - 8y) = 8 - (-4)，化简后得到-x + 10y = 12。
进一步化简为x = 10y - 12。
将这个表达式代入方程1中，得到3(10y - 12) + 2y = 8。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，它的一般形式可以表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f都是已知的实数，而x和y则是未知数。
求解二元一次方程的目标是确定x和y的值，使得方程组中的每个方程都成立。
求解二元一次方程的方法多种多样，下面将介绍几种常用的解法。
1. 替换法替换法是一种直观且易于理解的方法。
首先从其中一个方程开始，将其中一个未知数表示成另一个未知数的式子，然后代入另一个方程中，化简得到只包含一个未知数的一元方程，继而求解。
例如，考虑以下二元一次方程组：2x + 3y = 7 (1)5x - 2y = 8 (2)我们可以从方程(1)中解出x：2x = 7 - 3yx = (7 - 3y)/2将得到的表达式代入方程(2)中：5((7 - 3y)/2) - 2y = 87 - 3y - 2y = 8-5y = 1y = -1/5将y的值代入x的表达式中：x = (7 - 3(-1/5))/2x = 3/2因此，该二元一次方程组的解为x = 3/2，y = -1/5。
2. 消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它的基本思路是通过消去一个未知数，将方程组化简为只含一个未知数的一元方程，然后求解该方程得到一个未知数的值，再代入原方程组中求解另一个未知数。
考虑以下二元一次方程组：3x + 2y = 10 (3)2x - 5y = -8 (4)我们可以通过将方程(3)的两倍加到方程(4)上来消去x：(6x + 4y) + (2x - 5y) = 20 - 88x - y = 12 (5)然后，将方程(5)代入方程(3)中消去y：3x + 2(-8 + 5x) = 103x - 16 + 10x = 1013x = 26x = 2将x的值代入方程(3)或(4)中求解y：3(2) + 2y = 106 + 2y = 102y = 4y = 2因此，该二元一次方程组的解为x = 2，y = 2。
二元一次方程组的解三种情形
二元一次方程组解三种情形教学目标1、 理解二元一次方程组的解的三种情况会判断二元一次方程组的解的情况通过引导，以及学生之间的合作交流，让学生学会对知识进行归纳总结，从而激发学生自主学习的兴趣。
重点难点重点：二元一次方程组的解的三种情况；会判断二元一次方程组的解的情况难点：理解二元一次方程组解的情况的判定方法教学过程复习引入：什么叫做方程的解能使方程两边相等的未知数的取值。
如02=-x 的解是2=x思考：是不是所有的一元一次方程都是只有一个解呢解下列一元一次方程（1）122+=-x x （2）12+=-x x （3）)1(222+=+x x 解：122+=-x x 解：12+=-x x 解：2222+=+x x 3=x 30= 00= 有唯一解 无解 有无穷多解 结论：并不是所有的一元一次方程都是只有一个解。
有的可能没有解，可能只有一个解，也有的有无数个解。
那二元一次方程组的解又有几种情况呢（引入课题：二元一次方程组的解的情况）新课讲解先让学生计算下列三个题：（1）⎩⎨⎧=-=+9321752y x y x （2）⎩⎨⎧=+-=-56223y x y x （3）⎩⎨⎧-=+-=-46223y x y x 解得：⎩⎨⎧==16y x ①×2+②得0=9 ①×2+②得：0=0 让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的解的情况：（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷多解 从而得出二元一次方程组的解也有三种情况。
下面让学生小组讨论：分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系。
必要时把它们乘一乘或者除一除。
）（1）中3522-≠ （2）中526321≠-=- （3）中426321-=-=- （注：在（2）、（3）两个方程组中也要注意观察方程中个常数项的关系）由上我们可以猜想：若方程组中y x ,两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中y x ,两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中y x ,两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解。
二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k 的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5 ③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧
二元一次方程组知识点归纳及解题技巧一、基本定义：二元一次方程定义：一个含有两个未知数，并且未知数的都指数是1的整式方程，叫二元一次方程。
二元一次方程组定义：两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程，叫二元一次方程组。
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个公共解，叫做二元一次方程组的解。
二、解的情况：二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7 y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5 这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
三、二元一次方程的解法：1、一般解法，消元：将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决。
消元的方法有两种：1、代入消元法2、加减消元法3、教科书中没有的几种解法(一)加减-代入混合使用的方法.例：13x+14y=41 (1)14x+13y=40 (2)解:(2)-(1)得x-y=-1 x=y-1 (3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=41y=2把y=2代入(3)得x=1所以:x=1,y=2特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.(二)换元法例3：x:y=1:45x+6y=29令x=t, y=4t 则方程2可写为：5t+6×4t=2929t=29t=1 所以x=1,y=4四、列方程（组）解应用题（一）、其具体步骤是：⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
二元一次方程组的定义和解二元一次方程组
二元一次方程组的定义和解二元一次方程组一、二元一次方程组的定义和解二元一次方程组1、二元一次方程组存有两个未知数，所含每个未知数的项的次数都就是1，并且一共存有两个方程，像是这样的方程组叫作二元一次方程组。
其通常形式就是$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1,\\a_2x+b_2y=c_2,\end{cases}$其中$a_1$，$a_2$不同时为0，$b_1$，$b_2$不同时为0。
2、二元一次方程组的解（1）通常地，二元一次方程组的两个方程的公共求解，叫作二元—次方程组的求解。
（2）二元一次方程组的解的检验检验一组数是不是某个二元一次方程组的解时，可以将这组与数代进方程组中的每个方程，只有当这组数满足用户其中所有的方程时，就可以说道这组数就是此方程组的求解。
（3）书写方程组的解时，必须用“{”把各个未知数的值连接在一起，即写成$\begin{cases}x=a,\\y=b\end{cases}$的形式。
（4）二元一次方程组$\begin{cases}ax+by+c=0,\\dx+ey+f=0\end{cases}$求解的情况当$\frac{a}{d}≠\frac{b}{e}$时，方程组有唯一一组解；当$\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$时，方程组有没有数组求解；当$\frac{a}{d}=\frac{b}{e}≠\frac{c}{f}$时，方程组无解。
3、求解二元一次方程组（1）消元思想二元一次方程组中存有两个未知数，如果解出其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转变为我们熟识的一元一次方程。
我们可以先求出来一个未知数，然后Ploudalm另一个未知数。
这种将未知数的个数由多化少、逐一化解的思想，叫作消元思想。
（2）代入消元法①定义把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
初一二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法考点名称：二元一次方程组的解法二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c>0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①｛6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即 y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即 x=-24/7∴ x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
二元一次方程组的解的情况
二元一次方程组的解的情况
二元一次方程组的解的情况可以分为以下几种：
1. 有唯一解：方程组中的两个方程交于一点，即两直线交于一点，代
表方程组有唯一解。
2. 无解：方程组中的两个方程表示的直线平行，没有交点，代表方程
组无解。
3. 无数个解：方程组中的两个方程表示的直线重合，有无穷多个交点，代表方程组有无数个解。
在解方程组时，我们可以通过联立方程，利用消元法、代入法、加减
法等方法来求解。
根据方程组的系数、常数项与未知数的关系，可以
判断方程组的解的情况。
解二元一次方程组求解x和y的值
解二元一次方程组求解x和y的值二元一次方程组是指含有两个未知数的两个方程的组合。
解二元一次方程组的方法有多种，常见的有代入法、消元法和Cramer法则。
以代入法为例，假设给定的二元一次方程组为：方程1: ax + by = c方程2: dx + ey = f其中a、b、c、d、e和f为已知的系数。
要求解方程组中的未知数x和y的值，可以先通过其中一个方程，将一个未知数用另一个未知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的一元方程。
具体操作如下：Step 1: 选择其中一个方程，例如方程1，将x用y表示出来。
ax + by = c=> x = (c - by) / aStep 2: 将得到的x表达式代入另一个方程，即方程2中。
dx + ey = f=> d[(c - by) / a] + ey = fStep 3: 将方程2中的y项进行整理，然后解得y的值。
(dy - dby) / a + ey = f=> (de - db)y + aey = af=> y(de - db + ae) = af=> y = af / (de - db + ae)Step 4: 将得到的y值代入到Step 1的x表达式中，解得x的值。
x = (c - b(af / (de - db + ae))) / a至此，已求得方程组中未知数x和y的值。
需要注意的是，如果在进行计算的过程中得到分母为0的情况，则方程组无解。
这种代入法是解二元一次方程组的一种常见方法，对于特定的方程组可能有其他更适用的方法。
总结起来，解二元一次方程组可以通过代入法、消元法和Cramer 法则等多种方法。
在具体应用时，根据具体情况选择合适的方法来求解。
这些解法在代数和数学应用中都有广泛的应用。
二元一次方程组的解有三种不同情况唯一解,无解,无穷多解,
A1x+B1y+C1=0 （1）
A2x+B2y+C2=0
当A1，A2，B1，B2全不为零时
（2）
（1）×B2－（2）×B1得（A1B2－A2B1）x=B1C2－B2C1
讨论：⒈当A1B2－A2B1≠0时，方程组有唯一解
B1C2－B2C1 x = —————— A1B2－A2B1 C1A2－C2A1 y= —————— A1B2－A2B1
⒉当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1≠0 时，方程组无解 ⒊当A1B2－A2B1=0， B1C2－B2C1＝0 时，方程组有无 穷多解。
上述方程组的解的各种情况分别对应的两条直线的 什么位置关系？
A1 B1 时，两条直线相交，交点坐标为 当——≠ —— A2 B2 B1C2－B2C1 C1A2－C2A1 （ , ） A1B2－A2B1 A1B2－A2B1
独立 作业
2.两条直线y=kx+2k+1和x+2y-4=0,的交点 在第四象限，则的取值范围是
小结
拓展
方程组解的情况与方程组所表示的两条 直线的位置关系有何对应关系？
l1 , l2相交 唯一解 直线l1 , l2解方程组无穷多解 l1 , l2重合 l , l 无解 1 2平行
练一练
④直线A1x+B1y+C1=0与直线A2x+B2y+C2=0重合，则必 有 （A）A1=A2，B1=B2，C1=C2
A 1 B1 C1 （B） A 2 B2 C2
（C）两条直线的斜率相等截距也相等 （D）A1=mA2，B1=mB2，C1=mC2，（m∈R，且m≠0）
独立 作业
1.求经过原点及两条直线: L1:x-2y+2=0, L2:2x-y-2=0的交点的直线的 方程.
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二元一次方程组的解的情况（教案）
教学目标
1、理解二元一次方程组的解的三种情况
2、会判断二元一次方程组的解的情况
3、通过引导，以及学生之间的合作交流，让学生学会对知识进行
归纳总结，从而激发学生自主学习的兴趣。
重点难点
重点：二元一次方程组的解的三种情况；会判断二元一次方程组的解
的情况
难点：理解二元一次方程组解的情况的判定方法
教学过程
一、复习引入：
什么叫做方程的解？能使方程两边相等的未知数的取值。
如x 20的解是 x 2
思考：是不是所有的一元一次方程都是只有一个解呢？
解下列一元一次方程
（1）（2）（3）
22( x1)
2 x 2 x 1x2x12x
解： 2x x 2 1解： x x21解： 2x22x2 x30300有唯一解无解有无穷多解
结论：并不是所有的一元一次方程都是只有一个解。
有的可能没有解，可能只有一个解，也有的有无数个解。
那二元一次方程组的解又有几种情况呢？（引入课题：二元一次方程
组的解的情况）
二、新课讲解
先让学生计算下列三个题：
（1）2x
5y17（）x 3 y 2 ①（）x 3y 2①2x3y922x 6y 5②32x 6 y 4 ②
解得：x
6①× 2+②得 0=9①× 2+②得：0=0 y1
让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的
解的情况：
（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解从而得出二元一次方程组的解也有三种情况。
下面让学生小组讨论：
分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？
（在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系。
必要时把它们乘一乘或者除
一除。
）
（1）中25（2）中1
3 2（3）中
1
3 2
23265264（注：在（ 2）、（3）两个方程组中也要注意观察方程中个常数项的关
系）由上我们可以猜想：若方程组中 x, y 两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中x, y 两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中x, y 两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解。
为了验证一下我们的猜想，请同学们自己随便写出几个满足期中任一条件的方程组出来，然后再看看它的解是否和我们的猜想一致呢？
在学生交流讨论过后，引导学生得出以下结论：对于一般的二元一次方程组
{
a1 x b1 y c1①a 2 x b2 y c2②
我们有
(1) (3) (2)a1b1
a2b2
a1b1c1
a2b2c2
a1b1c1
a2b2c2
，二元一次方程组有唯一解；
，二元一次方程组无解；
，二元一次方程组有无穷多解。
三、应用新知
4x ay b
讨论：当 a 、b的取值满足什么情况时，关于x, y的方程组
2x y4（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解
（注：让学生先自由讨论，再请三名上讲台板书自己的解答过程。
并
让其他同学给予修正）
解：由题意知（ 1）当4
a
时,即
2a
4时，即
a
2时方程组有唯一
解；
21
（2）当4
a
b
时 ,即a 2且b8时方程组无解214
（3）4
a
b
时,即 a2且 b 8时方程组无解214
四、作业布置
选择一组 a, c值，使方程组5x y7 ax2y c
（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解
五、板书设计
二元一次方程组的解的情况
a1 x b1 y c1①
{
a 2 x b2 y c 2② 练习：引入部分：
(1)
(2)
(3)。