第7讲函数连续及运算2009

第7讲 函数连续性概念及运算性质讲授内容一、函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续．例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为2lim →x ()x f =2lim →x ()()2512f x ==+又如，函数()x f ⎩⎨⎧=0,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=∆，称为自变量x (在点0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为:()()000y y x f x x f y -=-∆+=∆注：自变量的增量x ∆或函数的增量y ∆可以是正数，也可以是0或负数．引进了增量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0=∆→∆y x .由于函数在一点的连续性，也可直接用δε-方式来叙述，即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()ε<-0x f x f ，则称函数f 在点0x 连续．例1 证明函数()()x xD x f =)在点0=x 连续，其中()x D 为狄利克雷函数．证：由()00=f 及()1||≤x D ，对任给的0>ε，为使()()()ε<≤=-x x xD f x f 0，只要取εδ=，即可按δε-定义推得f 在0=x 连续．可以证明函数x sin 、conx 、nx 等在任意一点0x 连续.定义2 设函数f 在某()()()00x U x U -+内有定义．若()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛==-+→→000lim lim x f x f x f x f x x x x ,则称f 在点0x 右(左)连续．定理4.1 函数f 在点0x 连续的充要条件是：f 在点0x 既是右连续又是左连续．例2 讨论函数 ()⎩⎨⎧<-≥+=0,22,2x x x x x f 在点0=x 的连续性.解：因为()()22lim lim 0=+=++→→x x f x x ，()()22lim lim 0-=-=+-→→x x f x x ，而()20=f ，所以f 在点0=x 右连续，但不左连续，从而它在0=x 不连续. 二、 间断点及其分类函数f 不连续的点0x 称为函数的间断点，若0x 为函数f 的间断点，则必出现下列情形之一： （i ）f 在点0x 无定义或极限()x f x x 0lim →不存在；（ii ）f 在点0x 有定义且极限()x f x x 0lim →存在，但()x f x x 0lim →()0x f ≠1.可去间断点若()x f x x 0lim →A =而f 在点0x 无定义，或有定义但()A ≠0x f ，则称0x 为f 的可去间断点．例如，函数()xxx g sin =，由于()1lim 0=→x g x ，而g 在0=x 无定义，所以0=x 是函数g 的可去间断点．例如，对上述的()x x x g sin =，定义：∧g )(x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10,s i n x x x x ，则∧g 在0=x 连续．2．跳跃间断点 若函数f 在点0x 的左、右极限都存在，但()()x f x f x x x x -+→→≠0lim lim 则称点0x 为函数f 的跳跃间断点．例如，对函数()[]x x f = 当n x = (n 为整数)时有[]1lim -=-→n x nx ，[]n x nx =+→lim ，所以在整数点上函数f 的左、右极限不相等，从而整数点都是函数()[]x x f =的跳跃间断点．可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点．第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在．3．函数的所有其他形式的间断点，即函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第二类间断点． 例如，函数x y 1=，当0→x 时，不存在有限的极限，故0=x 是x y 1=的第二类间断点．函数x1sin在点0=x 处左、右极限都不存在，故0=x 是x1sin 的第二类间断点．又如，对于狄利克雷函数()x D ，其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点． 三、区间上的连续函数若函数f 在区间I 上的每一点都连续，则称f 为I 上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．例如，函数x y x y c y sin ,,===和x y cos =都是R 上的连续函数．又如函数21x y -=在)1,1(-每一点处都连续，在1=x 为左连续，在1-=x 为右连续，因而它在[]1,1-上连续．若函数f 在区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点，则称f 在[]b a ,上分段连续．例如，函数[]x y =和][x x y -=在区间]3,3[-上是分段连续的．例3 证明：黎曼函数()()⎪⎩⎪⎨⎧===）内无理数，及（，当，为既约真分数为正整数，，当1010 0,1x q p q p qp x q x R ，在），（10内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续．证：设)1,0(∈ξ为无理数．任给0>ε (不妨设21<ε)，满足ε≥q1的正整数q 显然只有有限个(但至少有一个，如2=q )，从而使()ε≥x R 的有理数)1,0(∈x 只有有限个(至少有一个，如21)，设为n x x ,1取()ξξξξδ---=1,,,min 1n x x ，则对任何()()()1,0;⊂∈δξU x ，当x 为有理数时有()ε<x R ，当x 为无理数时()0=x R 于是，对任何()δξ;U x ∈，总有()()()εξ<=-x R R x R ||，所以()x R 在无理点ξ处连续．现设q p 为 )1,0(内任一有理数，取q 210=ε，对于任何正数δ（无论多么小），在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛δ;q p U 内总可以取到无理数())1,0(∈x ，使得()01ε>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-qq p R x R 所以 ()x R 在任何有理点处都不连续． 四、连续函数的性质定理4.4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,⋅±(这里()00≠x g )也都在点0x 连续．显然，推出多项式函数()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()()x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点都连续．定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续．证：由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在01>δ，使得当10δ<-u u 时有()()ε<-0u g u g ． 又由()00x f u =及()x f u =在点0x 连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有()()100δ<-=-x f x f u u ．于是对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-0x x 时,有()()()()ε<-0x f g x f g ，所以f g 在点0x 连续． 注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表为()()()()0))(lim (lim 0x f g x f g x f g x x x x ==→→．例4 求()211sin lim xx -→．解：()21s i n x -可看作函数()u u g sin =与()21x x f -=的复合．于是得()()()00sin 1lim sin 1sin lim 2121==-=-→→x x x x ．注：若复合函数f g 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而()0x f a ≠或f 在0x 无定义(即0x 为f 的可去间断点)，又外函数g 在a u =连续，则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限，即有))(lim ())((lim 0x f g x f g x x x x →→=，而且对于→x ∞+，-∞→x 或±→0x x 等类型的极限也是成立的．例5 求极限： ()x x x sin 2lim 10-→；()xxx cos 2lim 2-∞→.解：()112s i n l i m 2s i n 2l i m 100=-=-=-→→xxx x x x ；()202c o s lim 2cos 2lim 2=-=-=-∞→∞→xxx x x x .例6求x x x )1ln(lim 0+→，解：xx x )1ln(lim 0+→=x x x 10)1ln(lim +→=])1(lim ln[10x x x +→=1ln =e例7求证11lim0=-→xa x x 例8 求xx x sin 3)21(lim +→，解：xx x sin 30)21(lim +→=xx xx x sin 6210])21(lim[+→=6e一般地。

对于形如)0)(()()(>x u x u x v 的函数（通常称为幂指函数），如果0)(lim >=a x u ，b x v =)(lim ，那么b x v a x u =)()(lim .。