电科固体物理 第二章第三章 例题和习题

a h + k2 + l2
2
，由布拉格反射公式
2d hkl sin θ = mλ ，相应地化为
sin θ =
λ
2a
(mh) 2 + (mk ) 2 + (ml ) 2 。
(5)
可见 sin θ 与衍射面指数的平方和的二次方根成正比。 由已知条件可知，
sin 19.611o : sin 28.136 o : sin 35.156 o : sin 41.156 o : sin 47.769 o = 1 : 1.4050 : 1.7156 : 1.9608 : 2.2061
对于体心立方晶系，衍射面指数的和 m(h + k + l ) 为偶数时出现衍射极大。因此，对应衍射 角由小到大排列的衍射晶面是(110)，(200)，(121)，(220)，(310)，而
12 + 12 + 0 2 : 2 2 + 0 2 + 0 2 : 12 + 2 2 + 12 : 2 2 + 2 2 + 0 2 : 32 + 12 + 0 2 = 1 : 1.414 : 1.732 : 2.00 : 2.236
当h, k , l为偶数时 当h, k , l为奇数时 其他情况
其中 fA、fB 分别为正、负离子的散射因子。并用此结果 说明对于 KCl 晶体，h、k、l 为奇数时衍射消失。 证明：如图所示，为 NaCl 结构晶体的晶胞。晶胞内包含 8 个离子，4 个正离子，4 个负离子，它们的位置表示如下。 正离子：
o
为
a = 3.246 Ǻ。
补充习题：
1. 试分别计算体心立方结构和面心立方结构的固体物理学原胞中三个基矢之间两两夹角分 别为 109º28'和 60º。 2. 证明六角密堆结构中的理想轴长比为
c 8 = ≈ 1.633 。 a 3
3. (1) 画出体心立方和面心立方结构的金属在(100)、(110)、(111)面上的原子排列。(2) 写出 体心立方、面心立方结构中最近邻和次近邻的原子数，若立方边长为 a，写出最近邻和次近 邻的原子间距。 4、六角晶胞的基矢为 a =
倒格子基矢间的点积
→
→
→
→
b1 ⋅ b2 =
→
→
→ → → → 8π 2 ， b2 ⋅ b3 = 0 ， b3 ⋅ b1 = 0 。 2 3a
将以上诸式代入式(2)中，得
⎡ 4 ⎛ h 2 + k 2 + hk ⎞ ⎛ l ⎞ 2 ⎤ ⎟ | h b1 + k b2 + l b3 | = 4π ⎢ ⎜ 2 ⎜ ⎟+⎜c⎟ ⎥ 3 a ⎢ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎝ ⎦
晶胞的体积为
→ → → →
→
→
→
2
2
2
→
→
。
(2)
Ω = a 3 ⋅ ( a 2 × a1 ) = a 2 c sin γ =
倒格子基矢的模
→
→
→
3 2 a c。 2
| a × a | 4π | a × a | 2π ， b3 = 2π 1 2 = 。 b1 = b2 = 2π 2 3 = Ω c Ω 3a
(0,
⎛1 0, 0 ) ， ⎜ , ⎝2
1 ⎞ ⎛1 , 0 ⎟ ， ⎜ , 0, 2 ⎠ ⎝2
1⎞ ⎛ ⎟ ， ⎜ 0, 2⎠ ⎝
1 , 2
1⎞ ⎟； 2⎠
负离子：
⎛1 ⎜ , ⎝2
1 , 2
1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ ⎟ ， ⎜ , 0, 0 ⎟ ， ⎜ 0, 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝
1 ⎞ ⎛ , 0 ⎟ ， ⎜ 0, 0, 2 ⎠ ⎝
−
。
6、试讨论在 X 射线衍射中金刚石结构晶体的消光法则。
d h1h2h3 =
而
2π | K hkl |
→
=
2π | h b1 + k b2 + l b3 |
→ → →
=
2π | h b1 + k b2 + l b3 |
→ → → 2
。
(1)
| h b1 + k b2 + l b3 |2 = [ h 2 b1 + k 2 b2 + l 2 b3 + 2hk (b1 ⋅ b2 ) + 2kl (b2 ⋅ b3 ) + 2lh(b3 ⋅ b1 )]
→ → →
2 2
再将上式代入(1) 式中，得
d hkl
⎡ 4 ⎛ h 2 + k 2 + hk =⎢ ⎜ ⎜ a2 ⎢3 ⎝ ⎣
⎞ ⎛l⎞ ⎤ ⎟ ⎟+⎜c⎟ ⎥ ⎥ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
2
−
1 2
。原式得证。
例题 2
证明在氯化钠结构的离子晶体中晶面族(h k l)的衍射强 度
I hkl
⎧( f A + f B ) 2 ⎪ ∝ ⎨( f A − f B ) 2 ⎪ 0 ⎩
→
→ 3 → a→ → 3 → a→ → a i + j ，b = − a i + j ， c = c k 。求其倒格子基矢。 2 2 2 2
1 2
5、试证正交晶系结构的面间距为： d hkl
⎡⎛ h ⎞ 2 ⎛ k ⎞ 2 ⎛ l ⎞ 2 ⎤ = ⎢⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ ⎦ ⎥ ⎣
2
2
，
由此可得出结论 I hkl
⎧( f A + f B ) 2 ⎪ ∝ ⎨( f A − f B ) 2 ⎪ 0 ⎩
当h, k , l为偶数时 当h, k , l为奇数时 。 其他情况
对于 KCl 晶体， K+和 Cl-的结构一样， 即 Ar 壳层结构， 核外都有 18 个电子， 故 fA = fB， 因而当 h、k、l 为奇数时， I hk l = 0 ，即衍射消失。
从衍射角的正弦之比与衍射面指数的平方和的二次方根之比可以看出，二者比值十分接近， 存在小的偏差，可能是测量误差所致。因此，对应布拉格角小大为序的五条衍射线的衍射面 指数是(110)，(200)，(121)，(220)，(310)。 (2) 将 λ = 1.5405 Ǻ，θ = 19.611 ，(mh, mk, ml)=(110)代入(5)式中，得到钽金属的晶格常数
例题 1：
证明简单六角布拉菲格子中晶面族(hkl)面间距为
⎡ 4 ⎛ h + k + hk d hkl = ⎢ ⎜ ⎜ a2 ⎢ ⎣3 ⎝
2 2
⎞ ⎛l⎞ ⎟ ⎟+⎜c⎟ ⎠ ⎝ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
−
1 2
。 图1
〔解答〕 对于六角晶系， a1 = a 2 = a ≠ a3 = c ， α = 距
β = 90 o ， γ = 120 o ，晶面族(hkl)的面间
例题 3：
用波长为 1.5405Ǻ 的 X 光对钽金属粉末作衍射分析，测得布拉格角小大为序的五条衍 射线，见表 1-1。 表 1-1 序号 θ(˚) 1 19.611 2 28.136 3 35.156 4 41.156 5 47.169
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已知钽金属为体心结构，求 (1) 衍射晶面族的晶面指数；晶格常数 a。 〔解答〕 (1) 对 于 立 方 晶 体 ， 晶 面 族 (hkl) 的 面 间 距 d hkl =
1⎞ ⎟。 2⎠
把上述坐标代入到公式
I hkl ∝ [∑ f j cos 2πn(hu j + kv j + lw j )]2 +[∑ f j sin 2πn(hu j + kv j + lw j )]2 ，
j j
得到晶体衍射的强度为（这里只考虑一级衍射，即 n＝1）
I hk l
⎧ f A [1 + cos π (h + k ) + cos π (k + l ) + cos π (l + h)]⎫ ∝⎨ ⎬ ⎩+ f B [cos π (h + k + l ) + cos πh + cos πk + cos πl ] ⎭ ⎧ f A [sin π (h + k ) + sin π (k + l ) + sin π (l + h)] ⎫ +⎨ ⎬ ⎩+ f B [sin π ( h + k + l ) + sin πh + sin πk + sin πl ]⎭