7.2 二阶电路的零状态响应和全响应
二阶电路阶跃响应和冲激响应讲解
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或设解答形式为： iR 1 Ae100t sin(100t )
50W
定常数
R iR
50 V
2A
iC
i
R
(0
)
diR dt
(0
)
1
iC ?
(0
)
1
iR
50 R
uc
5Ω 解 （1） uc(0－)=25V iL(0－)=5A
（2）开关打开为RLC串 联电路，方程为：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
0
特征方程为： 50P2+2500P+106=0
P 25 j139
uc Ae25t sin(139t )
uc Ae25t sin(139t )
0
A U0 ， arctg
sin
ω，ω０，δ间的关系:
ω0
ω
sin
0
A
0
U
0
δ
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc是其振幅以
0
U0为包线依指数衰减的正弦函数。
t=0时 uc=U0
uc U0
0
U0
e
t
uc零点：t = -，2- ... n- uc极值点：t =0， ，2 ... n
L
di dt
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
16第十六讲 二阶电路的零状态响应和全响应阶跃和冲激响应
等幅振荡 π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 无阻尼 2
δ = cos β ω0 ω = sin β ω0 ω β = arctg δ
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 −δ t i = −C = e sin ω t ωL dt di ω0 u L = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt
(2)求通解 自由分量） 求通解(自由分量 求通解 自由分量）
特征方程
特征根
P 2 + 200 P + 20000 = 0
P= -100 ± j100
通解 i L (t ) = Ke−100t sin(100t + β )
(3)求特解（强制分量，稳态解） 求特解（强制分量，稳态解） 求特解
" iL = 1A
U0 uc uC 0
β
π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 2
等幅振荡 无阻尼
ω0 U 0 e − δt ω
t
i
β π π+β 2π-β πβ 2π π
π-β β
t
uL
ω0 − U 0 e −δt ω
L ４ 、R = 2 临 情 界 况 C
R P = P = P2 = − = −δ 1 2L
uC = e −δ t ( A1 + A2 t )
由初始条件 uC (0 + ) = U 0 → A1 = U 0 解出
du C ( 0 + ) = 0 → A1 ( −δ ) + A2 = 0 dt
A1 = U 0 A2 = δU 0
二阶电路的零状态响应
二阶电路的零状态响应
电路的响应指的是电路在不同输入下的输出情况，分为零状态响
应和零输入响应。
所谓零状态响应，指的是电路从某一时刻开始，经过一段时间后
的输出情况，而这段时间内电路的电容和电感等元件是没有存储能量的。
这种响应与电路的初始状态有关，在输入信号改变前电路中的电
势和电流已经存在了一些初值，这些初值会对电路的响应产生影响。
对于二阶电路而言，其响应可以用二阶微分方程来表示。
二阶微
分方程的通解形式为：
y(t) = C1 e^(αt) + C2 e^(βt)
其中，C1和C2为待定常数，α和β分别为根号下b^2-4ac得到
的两个实数或者共轭复数。
根据初值条件和输入信号，可以解得C1和
C2的值，然后带入通解中即可得到响应的具体表达式。
二阶电路的响应除了受到初值的影响外，还受到电路的频率特性
的影响。
根据电路的传输函数，可以得到电路的幅频特性和相频特性。
在实际应用中，需要调节电路的参数以满足特定的频率响应要求。
总之，二阶电路的零状态响应是电路在一定的初值状态下对输入
信号的响应，需要通过求解微分方程和考虑频率特性，来得到电路的
具体响应情况。
阶电路的零状态和全响应
应用场景比较
阶电路的零状态响应
适用于需要快速响应且初始状态能量较 小或可以忽略不计的场景，如某些控制 系统的快速调节。
VS
阶电路的全响应
适用于需要综合考虑初始状态能量和外部 激励的场景，如某些电力系统的暂态分析 。
05
阶电路的零状态和全
响应的实际应用
在电子线路设计中的应用
零状态响应在电子线路设计中用于描述电路在输入信号激励下，仅由动态元件的初始储能所产生的响 应。全响应则描述了电路中所有动态元件的初始储能和输入信号共同作用所产生的响应。
在电子线路设计中，零状态响应和全响应的分析对于理解电路的工作原理、预测性能以及优化设计至 关重要。例如，在设计振荡器、滤波器等电子系统时，需要精确地分析零状态响应和全响应以实现所 需的功能。
在控制系统中的应用
在控制系统中，阶电路的零状态和全 响应用于描述系统对输入信号的动态 响应。零状态响应描述了系统在没有 初始储能的情况下对输入信号的响应， 而全响应则包含了系统所有的动态特 性。
全响应的特点
全响应具有确定性
对于同一阶电路，相同的输入信号必然会得到相同的输出信号。
全响应具有唯一性
对于同一阶电路，不同的输入信号必然会得到不同的输出信号。
全响应具有可逆性
对于同一阶电路，输出信号可以通过反变换得到输入信号。
全响应的求解方法
解析法
通过建立电路的微分方程， 利用数学方法求解全响应。
阶电路的零状态响应是指在电路中不 存在激励信号时，由电路的初值条件 引起的电路响应。
零状态响应仅与电路的初始状态和电 路的动态元件有关，与外部激励无关 。
零状态响应的特点
零状态响应是暂态的，随着时 间的推移，它会逐渐消失或达 到稳态值。
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
ω δ
若R=0，则 0 0
L
t = 0 + uL – C
2
uc
p1, 2 j0
i
–
uC
+
i
t
uC u L U 0 sin(0t ) 2
C i U 0 sin( 0t ) L
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t ) U m cos st
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例
+ R
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
iL
L 微分方程为： +
d 2uC duC LC RC uC U S dt dt
US (t)
uC
- C
特征方程为:
uC u C uC
特解 通解
LCp 2 RCp 1 0
可推 广应 用于 一般 二阶 电路
L R2 临界阻尼， 非振荡放电 C t t
uC A1e
p1t
A2e
p2t
uC A1e
A2te
L R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uC Ae
t
sin(t )
uC ( 0 ) 定常数 由初始条件 duC (0 ) dt
(4)定常数
100t
sin(100t )
iL (0 ) 1 A sin 2 100 A cos 100 A sin 0 uL (0 )
45 A 2
iL 1 2e 100 t sin( 100 t 45 )
二阶电路
K1 ,
uC 0 K1
K
由初始条件
2
uC'
0
K1S1
1 K2
iL 0
C
0
K1
1,
K2 2
4
iL(t) A
3
4t uC t e2t 2te2t V t 0
i
t
C
du t C
L
dt
2
2e2t 2e2t 4te2t 4te2t A t 0
1
e-2t t (s)
0
0.5
1
1.5
2
例1： 已知 uc(0)=0，iL(0)=1A，US=0，iL(t)
求uc(t),iL(t)，t≥0。
+
1H
解：电路的微分方程为：
US-
3Ω +
1F
uC(t) -
d 2uC dt 2
R duC L dt
1 LC
uC
0
特征方程为：S 2 R S 1 0 L LC
特征方程根为：S1,2
R 2L
RC
duC dt
uC
d (t)
uC是跳变和冲激上式都不满足
设uC不跳变，duC/dt 发生跳变
R iL
d( t )
L + uL - +
C - uC
uC(0-)=0 , iL(0-)=0
0
LC
0
d 2 uC dt 2
dt
0
RC
duC
dt
0
dt
0
0 uCdt
0
d (t)dt
0
有限值
L C[ duC dt
1.过阻尼情况
二阶电路算法
二阶电路算法摘要：一、引言二、二阶电路基本概念1.二阶系统的定义2.二阶系统的组成部分三、二阶电路算法1.欧拉公式2.零状态响应的计算方法3.完全响应的计算方法四、二阶电路算法的应用1.交流信号的放大与衰减2.滤波器的设计五、总结正文：二阶电路算法是电子工程和通信工程领域中常用的计算方法，主要应用于二阶系统的分析和设计。
二阶系统是一个具有两个存储元件的电路系统，通常包括电容器和电感器。
这种系统广泛应用于放大器、滤波器和振荡器等电路设备。
首先，我们来了解一下二阶电路的基本概念。
二阶系统是指由两个线性时不变元件组成的电路系统，其中包括一个电感器（L）和一个电容器（C）。
根据电感器和电容器的电压- 电流关系，可以得到二阶系统的微分方程。
这个微分方程是一个二阶微分方程，因此称为二阶系统。
二阶电路算法主要包括欧拉公式、零状态响应的计算方法和完全响应的计算方法。
欧拉公式是将二阶系统的微分方程转换为一个关于时间t 的三角函数的公式。
通过欧拉公式，我们可以求解系统的零状态响应和完全响应。
零状态响应是指在初始时刻，电感和电容的电压为零时，系统的响应。
计算零状态响应的方法主要是根据欧拉公式，求解系统的传递函数，然后通过逆Z 变换得到零状态响应。
完全响应则包括零状态响应和初始状态响应。
初始状态响应是指在初始时刻，电感和电容的电压不为零时，系统的响应。
计算完全响应的方法是将零状态响应和初始状态响应相加。
二阶电路算法在电子工程和通信工程领域具有广泛的应用。
例如，在交流信号的放大与衰减过程中，可以通过调整二阶电路的参数来实现信号的放大或衰减。
此外，在滤波器的设计中，二阶电路算法也发挥着重要作用。
通过改变二阶电路的元件参数，可以实现不同截止频率和不同通带衰减特性的滤波器。
总之，二阶电路算法是一种在电子工程和通信工程领域中常用的计算方法，主要应用于二阶系统的分析和设计。
二阶电路
第七章 二阶电路 §7-1 二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，当电路有电感，又有电容时就是一个二阶电路，二阶电路中给定的初始条件有2个 一、方程及特征根（RLC 串联）022=++C CC u dt du RC dtu d LC特征根为：LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛+-=LC L R L R p 12221-⎪⎭⎫⎝⎛--=零输入响应为：t t P P C e A e A u 2121+= 1．电路的初始条件有三种情况，分别为：①0)0(0)0(≠≠++L C i u ②0)0(0)0(=≠++L C i u ③0)0(0)0(≠=++L C i u我们讨论第二种情况，设0)0()0()0()0(====-+-+L L C C i i u u u2．特征根p 1、p 2有不等负实数根、相等负实数根、一对共轭复数根三种情况，这三种情况决定零输入响应不同。
二、CLR 2>（1P 、2P 有不等负实根）时电路的响应 —是一个非振荡放电过程 1．电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式为：)(2112120t t P P C e P e P P P U u --=LCp p 121=)()()(2121120112210t t t t P P P P C e e P P L U e P e P P P P CU dt du Ci ---=---=-=)(2121120t t P P L e P e P P P U dt di Lu ---==2．响应曲线2112)/ln(P P P P T m -=此时电感电压过0，电流取得最大值m t t 2= 此时电感电压有极值三、CLR 2<（1P 、2P 有共轭复根）时电路的响应—是一个振荡放电过程1．电容上的电压和电流及电感上的电压为： )(2112120t t P P C e P e P P P U u --=[])2)(0)(00t j i t j j e e e e j U ωδβωδβωωω---+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+-+-j e e eU t j t t j t2)()(00βωβωδωω)sin(00βωωωδ+=-t e U t)sin(0t e LU i tωωδ-=)sin(00βωωωδ--=-t e U u t其中：2RLδ=0ω=ω= arctg ωβδ= 2．波形图如下：ttπδ3．理想情况下，,2,1,0,00πβωωδ=====LCR 则：)2sin(00πω+=t U u Ct CLUt L U i 00000sin sin ωωω==C L u t U t U u =+=--=)2sin()2sin(0000πωπω 即等幅振荡放电过程。
二阶电路的零状态响应和全响应
f (0 )
⑤由初始值
df dt
(0 )
定。常数
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7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+
L iL +
微分方程为
LC d2uC RC duC
dt
dt
uC
US
- US
R
特征方程为
uC
-
C
uC uC uC
LCp2 RCp 1 0
特解
通解
特解: uC US
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uC解答形式为
0
过阻尼， 非振荡放电
uC
Ae p1t 1
A e p2t 2
0 临界阻尼， 非振荡放电 uC A1e t A2te t
0 欠阻尼， 振荡放电
uC Ae t sin( t )
返回 上页 下页
3.求二阶电路全响应的步骤
①列写t >0+电路的微分方程。
②求通解。
③求特解。
④全响应=强制分量+自由分量。
uC
US
A e p1t 1
A e p2t 2
( p1 p2 )
uC US A1e t A2te t ( p1 p2 )
uC US Ae t sin(t ) ( p1、2 j)
由初值uC(0Leabharlann ),du(0 dt
)
确定两个常数
uC
US
t
O
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例6-1 求电流 i 的零状态响应。
d2i 8 di 12i 12 dt 2 dt
解答形式为 i i i 第二步求通解 i。
第七章二阶电路
例7-1 下图中US=10V，C=1µF，R=4kΩ,L=1H,
开关S原来闭合在触点1处，t=0时，S由触点1 接至触点2。求(1)uc、uR、i和uL；(2)imax。
解
（1）
L R>2 C
∴放过程是非振荡的。
求出特征根为： p1=-268,p2=-3732 根据公式，可以求得：
u C = (10 .77 e −268 t − 0 .773 e −3732 t )V i = 2 .89 ( e − 268 t − e − 3732 t ) mA u R = Ri = 11 .56 ( e − 268 t − e − 3732 t )V di uL = L = (10 .77 e − 3732 t − 0 .773 e − 268 t )V dt
（2）电流最大值发生在tm时刻，即
p2 ln p1 tm = = 760µs p1 − p2
im = 2.89(e
−268*7.60*10 −4
−e
−3732*7.60*10 −4
)
= 21.9 *10 − 4 A = 2.19mA
L R 2、 < 2 C 、
，振荡放电过程
这种情况下，特征根是一对共轭复数。若令： 2 R 1 R 2 δ= ;ω = − 2L LC 2 L
二、二阶电路的阶跃响应
二阶电路在阶跃激励下的零状 态响应称为二阶电路的阶跃响应， 其求解方法与零状态响应的求解方 法相同。
例7-2 图示电路中，uC(0-)=0,iL(0-)=0, G = 2 *10−3 S
C=1µF,L=1H,iS=1A,当t=0时把开关S打开。试求 阶跃响应iL、uC和iC。
根据零状态的RLC串联电路，以uC为变量， 由KVL可得： 2 d uC duC LC + RC + uC = δ (t ) 2 dt dt t ≥ 0 − （*式） uC (0 − ) = 0, iL (0 − ) = 0 在t≥0+时，有
阶电路的零输入响应零状态响应全响应
微分方程法
通过建立电路的微分方程， 然后求解。
根据电路的数学模型，通 过代数运算求解。
零状态响应的应用场景
电子线路设计
在电子线路设计中，需要根据零状态响应来设计电路，以满足特定 的性能指标。
控制系统分析
在控制系统中，零状态响应是分析系统性能的重要依据。通过对零 状态响应的分析，可以了解系统的动态特性和稳定性。
电子工程
在电子工程中，全响应被用于描述电路的输出响应，如RC电路、 RL电路等。
信号处理
在信号处理中，全响应被用于描述信号的滤波、调制和解调等操 作。
Part
05
阶电路的零输入响应零状态响 应全响应的比较与选择
比较
零输入响应
仅由电路的初始状态产生的响应，不依赖于输入 信号。
零状态响应
仅由输入信号产生的响应，与电路的初始状态无 关。
Part
02
零输入响应
定义与特点
定义
当电路中没有激励信号输入时， 电路的输出响应称为零输入响应 。
特点
零输入响应仅由电路的初始状态 决定，与电路的参数无关。
零输入响应的求解方法
利用三要素法求解
零输入响应由三要素决定，分别为初 始状态、时间常数和衰减系数。通过 求解微分方程或使用卷积积分等方法 ，可以得到零输入响应的表达式。
利用模拟法求解
通过模拟电路中元件的特性，建立等 效电路模型，然后求解等效电路的零 输入响应。
零输入响应的应用场景
电路分析
零输入响应是分析电路的重要基础，通过分析零输入响应可以了解电路的动态特性和稳 定性。
系统建模
在系统建模中，零输入响应可以用于确定系统的初始状态和稳定性，为后续的系统分析 和设计提供依据。
§7-2RLC串联电路中的零输入响应—过阻尼情况
§7-2 RLC 串联电路中的零输入响应—过阻尼情况7.2.1 RLC 串联电路方程对含有一个电容和一个电感的二阶电路仍运用分解法进行分析。
1. 电路的分解和等效将含有一个电容和一个电感的二阶电路分解为两个互连的单口网络，其中一个单口为电容和电感的串联构成，一个单口为含源线性单口，并将该单口用戴维南等效电路等效. 2. 电路方程的建立由V AR ：22dtu d LC dt di L u dtdu RCRi u dt du Ci c LL cL R cL =====由KVL ：oc c L R u u u u =++则occ c cu u dt du RC dt u d LC =++223.初始条件及的确定)0(c u )0(c u )0()0()0(-+==c c c u u uCi C t i dtdu u L t L t c c )0()()0(00===== 只要已知二阶电路的初始状态和i 及)0(c u )0(L 0≥t 时电路的输入，就可以完全确定0≥t 时的响应。
)(t u c 7.2.2 RLC 串联电路的零输入响应令，则有0)(=t u oc 022=++c c cu dt du RC dt u d LC特征方程： 012=++LC s L R s特征根：LCL R L R s 1-)2(2-22,1±=特征根取值的三种情况：1. 当LC LR 1)2(2>时，，为两个不相等的负实根； 1s 2s 2. 当LC LR 1)2(2=时，，为两个相等的负实根； 1s 2s 3. 当LC LR 1)2(2<时，，为两个共轭的复根，且实部为负； 1s 2s 当特征根为第一种取值时，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况； 当特征根为第二种取值时，响应处于临界振荡状态，称为临界阻尼情况； 当特征根为第三种取值是，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况7.2.3 LC LR 1)2(2>时的响应及其意义 由于此时特征根为两个不相等的实根，故，齐次方程的解为)1(e e )(2121ts t s c k k t u +=1. 由初始条件和确定待定常数k 和。
第七章 二阶电路
2
S（t=0） + uC(t) _ i
R + uR (t) -
iL ( t ) + uL(t) _
R、L、C 串联的二阶电路
一、过阻尼情况——非振荡放电过程
过阻尼的条件 当 R2 L C 率) 。
uC (0 ) U 0
uc uc max
i L i Lmax
iL(t )
t K
振荡放电过程的响应曲线
欠阻尼时的响应曲线
U0 uC(t )
U 0 0 t e
O
-
2
t
iL(t )
振荡放电过程的响应曲线
四、无阻尼的情况
R=0
p1.2
R 1 R 2L 2 L LC
1 p tm ln 2 p1 p2 p1
iL(t ) O tm 非振荡放电过程的响应曲线 t
过阻尼时的响应曲线
+
S（t=0）
R + uR (t) -
iL ( t ) + uL(t) _
uC(t)
U0
_ i R、L、C 串联的二阶电路
uC(t ) I0
能量分析
O tm
iL(t ) t
uC (t )
e j e j cos 2
7-1 二阶电路的零输入响应
一、问题的提出
一阶电路是单纯的吸收或释放能量的响应 二阶电将将出现动态元件之间的能量交换 RLC串联电路的简单物理过程分析
S（t=0） + uC(t) _ i R、L、C 串联的二阶电路 R + uR (t) iL ( t ) + uL(t) _
二阶电路课件PPT
例7-3 电路如图7-1所示。已知R=6, L=1H, C=0.04F, uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流
的零输入响应。
图7－1 RLC串联二阶电路
解：将R，L，C的量值代入式(9-4)计算出固有频率的数值
s1，2
R 2L
R
2
1
3
2L LC
32 52 3 j4
uC
0
其特征方程为
LCs2 RCs 1 0
其特征根为
s1，2
R 2L
R 2L
2
1 LC
电路微分方程的特征根，称为电路的固有频率。当
R，L，C的量值不同时，特征根可能出现以下三种情况
1.
R2
L C
时， s1, s2
为不相等的实根。过阻尼情况。
2.
R2
L C
时， s1, s2
为两个相等的实根。临界阻
uC (t) K1est K2test
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uC(0) 确定。 t=0得到
uC (0) K1
求导，再令得到
duC (t) dt
t 0
K1s K2
iL (0) C
联立求解以上两个方程，可以得到
K1 uC (0)
K2
iL (0) C
s1uC (0)
将 K1, K2的计算结果，代入得到电容电压的零输入
3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出 现在s平面上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的 正弦振荡，其振幅随时间按指数规律衰减，衰减系数 越大，衰减越快。衰减振荡的角频率d 越大，振荡周 期越小，振荡越快。
图中按Ke-t画出的虚线称为包络线，它限定了振幅 的变化范围。
二阶电路的零状态响应和全响应和冲激响应相关知识培训
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
uC Ke t sin(t )
由初始值
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
iL (0 )
定常数A1 , A2 或 K ,
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t >0+ 为零输入响应
LC d 2uC dt 2
RC duC dt
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
解的形式为 i(t ) 1 A1e 2t A2e 6t
(4) 定常数
0 8
1 A1 A2 2A1 6A2
A1 A2
0.5 1.5
i(t ) 1 0.5e2t 1.5e6t A (t 0)
求特解 i''的另一种方法:
i() = 0.5 u1() u1()=2(2-0.5u1())
小结
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(t>0)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量； (5) 将初值r(0+)和r (0+)代入全解，定积分常数； (6) 讨论物理过程，画出波形等。
u1 (0 ) 2 2 4V uL (0 ) 0.5u1 (0 ) 2 u1 (0 )
8V
(3) 确定解的形式 d2i di 8 12i 12 dt 2 dt 解答形式为：
i i i
通解i' :
特解i'' :
p2+8p+12=0 p1=2 ，p2 =6
i'' =1A
7.二阶电路
p1 268,
p2 3732
U0 uC ( p2 e p t p1e p t ) 2). 电容电压: p2 p1
1 2
7-12
(10.77e 268t 0.773e 3732t )V
duC i C 2.89(e 268 t e 3732 t ) mA 电路电流: dt
d.电阻电压响应uR :
RU 0 u R Ri (e p1 t e p2 t ) L( p 2 p1 )
2 uC , i, uL响应曲线
U0 ( p 2 e p1 t p1 e p2 t ) 1). u C p 2 p1 由题可知:p1<0， p2<0，且 |p2| > |p1|，则uC中第一项比第
uR Ri 11.56(e 268t e 3732t )V 电阻电压: di uL L (10.77e 3732t 0.773e 268t )V 电感电压: dt 3). 求电流imax的值: 设电流最大值发生在tm时刻,即:
tm p1 7.60 10 4 s 760 s p1 p2
则
p1 ln p2 tm p2 p1
p1t
pe
pe
2 2
p2t
0
p1 2 ln( ) p2 t 2t m p2 p1
uc i 0 tm 2tm
因此 t = 2tm 时 uL 极小； t > 2tm 后 uL 衰减加快 。
U0
uL
t
3 能量转换关系
7-10
1. 整个过程中uC曲线单调下降，电容一直释放储存的电能。 因此称为非振荡放电过程，又称为过阻尼放电。 2. 电感在t<tm时，吸收能量，建立磁场；当t>tm时电感释放能 量，磁场逐渐衰减，趋向消失。 3. 整个过程完毕，uC=0，i=0，uL=0，电容储藏的能量全部 被电阻消耗。 非振荡放电过阻尼:
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0 8
1 A1 A2 2A1 6A2
A1 A2
0.5 1.5
i(t ) 1 0.5e2t 1.5e6t A (t 0)
求特解 i''的另一种方法:
i() = 0.5 u1() u1()=2(2-0.5u1())
u1()=2V 2A i()=1A
0.5u1
+ 2W u1 2W
-
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(0+)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量；
(5) 将初值f(0+)和f (0+)代入全解，定积分常数；
(6) 讨论物理过程，画出波形等。
8V
(3) 确定解的形式 d2i di 8 12i 12 dt 2 dt 解答形式为：
i i i
通解i' :
特解i'' :
p2+8p+12=0 p1=2 ，p2 =6
i'' =1A
i ' A1e2t A2e6t
解的形式为 i(t ) 1 A1e 2t A2e 6t
(4) 定常数
稳态模型
2W i
二、全响应
R
已知： iL(0)=2A，uC(0)=0， R=50W， L=0.5H，
+
C=100F 求：iL(t) , iR (t) 。
50V –
iR
+
+
uL L C
uC –
– iC
iC
解：先求iL(t) (1) 列微分方程
50 - L diL dt
R
iL
C
duC dt
uC
uL
L diL dt
7.2 二阶电路的零状态响应和全响应
一、 零状态响应
0.5u1
求左图所示电路中
+
2W i1 1/6F
电流 i(t)的零状态响应。 1H
2A
S u1 2W
- 2-i
2W
i
解：(1) 列写微分方程
由KVL
2(2 i) 2i1 6
i1dt
u1 =i 0.5 2 (2 i) = 2i 2
求 iR(t):
+ 50V
–
R
iR
+
+
uL L C
uC –
– iC
iC
iL (t) 1 2e100t sin(100t 45)A (t 0)
uL
L diL dt
100e100t sin100t V
(t 0)
iR (t)
50 uL (t) 50
1
2e 100t
sin100t
A
(t 0)
i
' L
(t
)
Ke 100t
sin(100t
)
(3) 求特解（强制分量，稳态解）
i
" L
1A
(4) 求全解
iL (t) 1 Ke100t sin(100t )
全解 iL (t ) 1 Ke100t sin(100t )
(5) 由初值定积分常数
iL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）
RLC
d2iL dt 2
L diL dt
Ri L
50
d2iL dt 2
200 diL dt
2 104 iL
2 104
d2iL dt 2
200 diL dt
2 104 iL
2 104
(2) 求通解(自由分量）
特征方程 p2 200 p 20000 0
特征根
p1,2= 100 j100
通解
di L dt
0
1 L
uL
(0
)
1 L
uC
(0
)
0
diL 100Ke100t sin(100t ) 100Ke100t cos(100t )
dt
i
L
(0
)
2
1 K sin 2
di L dt
0
0
100K sin 100K cos 0
解得 K 2, 45o
iL (t) 1 2e100t sin(100t 45)A (t 0)
整理得：
d2i di dt 2 8 dt 12i 12
二阶非齐次常微分方程
(2) 求初值
0.5u1
2A
+
2W
1/6F
+
uL
u1 2W
-
-
2W i
0+电路模型：
i(0 ) i(0 ) 0
di dt
0
1 L
uL
(0
)
u1 (0 ) 2 2 4V uL (0 ) 0.5u1 (0 ) 2 u1 (0 )