7.2 二阶电路的零状态响应和全响应

i
' L
(t
)
Ke 100t
sin(100t
)
(3) 求特解（强制分量，稳态解）
i
" L
1A
(4) 求全解
iL (t) 1 Ke100t sin(100t )
全解 iL (t ) 1 Ke100t sin(100t )
(5) 由初值定积分常数
iL(0+)=2A , uC(0+)=0 （已知）
di L dt
0
1 L
uL
(0
)
1 L
uC
(0
)
0
diL 100Ke100t sin(100t ) 100Ke100t cos(100t )
dt
i
L
(0
)
2
1 K sin 2
di L dt
0
0
100K sin 100K cos 0
解得 K 2, 45o
iL (t) 1 2e100t sin(100t 45)A (t 0)
8V
(3) 确定解的形式 d2i di 8 12i 12 dt 2 dt 解答形式为：
i i i
通解i' :
特解i'' :
p2+8p+12=0 p1=2 ，p2 =6
i'' =1A
i ' A1e2t A2e6t
解的形式为 i(t ) 1 A1e 2t A2e 6t
(4) 定常数
求 iR(t):
+ 50V
–
R
iR
+
+
uL L C
uC –
– iC
iC
iL (t) 1 2e100t sin(100t 45)A (t 0)
uL
L diL dt
பைடு நூலகம்
100e100t sin100t V
(t 0)
iR (t)
50 uL (t) 50
1
2e 100t
sin100t
A
(t 0)
RLC
d2iL dt 2
L diL dt
Ri L
50
d2iL dt 2
200 diL dt
2 104 iL
2 104
d2iL dt 2
200 diL dt
2 104 iL
2 104
(2) 求通解(自由分量）
特征方程 p2 200 p 20000 0
特征根
p1,2= 100 j100
通解
0 8
1 A1 A2 2A1 6A2
A1 A2
0.5 1.5
i(t ) 1 0.5e2t 1.5e6t A (t 0)
求特解 i''的另一种方法:
i() = 0.5 u1() u1()=2(2-0.5u1())
u1()=2V 2A i()=1A
0.5u1
+ 2W u1 2W
-
稳态模型
2W i
二、全响应
R
已知： iL(0)=2A，uC(0)=0， R=50W， L=0.5H，
+
C=100F 求：iL(t) , iR (t) 。
50V –
iR
+
+
uL L C
uC –
– iC
iC
解：先求iL(t) (1) 列微分方程
50 - L diL dt
R
iL
C
duC dt
uC
uL
L diL dt
整理得：
d2i di dt 2 8 dt 12i 12
二阶非齐次常微分方程
(2) 求初值
0.5u1
2A
+
2W
1/6F
+
uL
u1 2W
-
-
2W i
0+电路模型：
i(0 ) i(0 ) 0
di dt
0
1 L
uL
(0
)
u1 (0 ) 2 2 4V uL (0 ) 0.5u1 (0 ) 2 u1 (0 )
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(0+)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量；
(5) 将初值f(0+)和f (0+)代入全解，定积分常数；
(6) 讨论物理过程，画出波形等。
7.2 二阶电路的零状态响应和全响应
一、 零状态响应
0.5u1
求左图所示电路中
+
2W i1 1/6F
电流 i(t)的零状态响应。 1H
2A
S u1 2W
- 2-i
2W
i
解：(1) 列写微分方程
由KVL
2(2 i) 2i1 6
i1dt
di dt
2i
i1= i 0.5 u1 =i 0.5 2 (2 i) = 2i 2