二阶电路的动态响应

实验三：二阶电路的动态响应【实验目的】
1.学习用实验的方法来研究二阶动态电路的响应。

2.研究电路元件参数对二阶电路动态响应的影响。

3.研究欠阻尼时，元件参数对α和固有频率的影响。

研究RLC串联电路所对应的二阶微分方程的解与元件参数的关系。

【实验原理】
用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。

图6.1所示的线性RLC串联电路是一个典型的二阶电路。

可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：
s
2
U
2
=
+
+
c
c
c u
dt
du
RC
dt
u
d
LC（1）初始值为
C
I
C
i
dt
t
du
U
u
L
t
c
c
)
0(
)(
)
0(
=
=
=
-
=
-
-
求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c(t)。

再根据：
dt
du
c
t
i c
c
=
)(可求得i c(t)，即回路电流i L(t)。

式（1）的特征方程为：0
1
p
p2=
+
+RC
LC
特征值为：
2
0222,11)2(2p ωαα-±-=-±-
=LC
L R L R (2)
定义：衰减系数（阻尼系数）L
R
2=
α 自由振荡角频率（固有频率）LC
10=ω
由式2可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。

1．零输入响应
动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。

设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。

(1)
C
L R 2
>，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。

电路响应为：
)
()
()()()(2
1
2
1
120
121
20
t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---=--=
整个放电过程中电流为正值， 且当2
11
2ln
P P P P t m -=时，电流有极大值。

（2）C
L R 2
=，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。

电路响应为
t
t c te L
U
t i e t U t u ααα--=+=00)()1()( t ≥0
(3)
C
L R 2
<，响应是振荡性的，称为欠阻尼情况。

电路响应为
t
e L
U
t i t e U t u d t d d t d
C ωωβωωωααsin )(),sin()(000
--=+==
t ≥0
其中衰减振荡角频率 2
22
0d
2L R LC 1⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
-=αωω ，
α
ωβd
arctan
= 。

（4）当R ＝0时，响应是等幅振荡性的，称为无阻尼情况。

电路响应为
t
L
U t i t
U t u C 000
00sin )(cos )(ωωω== 理想情况下，电压、电流是一组相位互差90度的曲线，由于无能耗，所以为等幅振荡。

等幅振荡角频率即为自由振荡角频率0ω，
注：在无源网络中，由于有导线、电感的直流电阻和电容器的介质损耗存在，R 不可能为零,故实验中不可能出现等幅振荡。

2． 零状态响应
动态电路的初始储能为零，由外施激励引起的电路响应，称为零输入响应。

根据方程1，电路零状态响应的表达式为：
)
()()t ()t (212112121
2t p t p S
t p t p S
S C e e p p L U i e p e p p p U U u ---=---
=）（0t ≥
与零输入响应相类似，电压、电流的变化规律取决于电路结构、电路参数，可以分为过阻尼、欠阻尼、临界阻尼等三种充电过程。

3．状态轨迹
对于图1所示电路，也可以用两个一阶方程的联立（即状态方程）来求解：
L
U L t Ri L t u dt t di C
t i dt t du s L C L L c ---==)()()
()
()(
初始值为
00
)0()0(I i U u L c ==--
其中，)(t u c 和)(t i L 为状态变量，对于所有t ≥0的不同时刻，由状
态变量在状态平面上所确定的点的集合，就叫做状态轨迹。

【实验仪器】
1.计算机一台。

2.通用电路板一块。

3.低频信号发生器一台。

4.交流毫伏表一台。

5.双踪示波器一台。

6.万用表一只。

7.可变电阻一只。

8.电阻若干。

9.电感、电容（电感10mH 、4.7mH ，电容22nF ）若干。

【Multisim 仿真】
1.零输入响应
电容初始电压：5V
过阻尼：R=2kΩ欠阻尼：R=200Ω临界阻尼：R=1348Ω
2.全响应
电容初始电压：5V 电源电压：10V
过阻尼：R=2kΩ欠阻尼：R=200Ω临界阻尼：R=1348Ω
3.零状态响应
电容初始电压：0V 电源电压：10V
过阻尼：R=2kΩ欠阻尼：R=200Ω临界阻尼：R=1348Ω
4.用如图所示电路观测输出的各种响应
（a）欠阻尼：R=200Ω
（b）临界阻尼：R=1348Ω
（c ）过阻尼：R=2k Ω
【实际波形】
焊接电路
L
R 2
R 1
C
信号发生器
图6.8 二阶电路实验接线图
R1=100Ω，L=10mH ，C=47nF 理想临界阻尼时R1+R2=923Ω 即R2=823Ω
1.过阻尼：R2=871Ω
2.临界阻尼：R2=553Ω
3.欠阻尼：R2=0Ω
此时R=100ΩL=10mH C=47nF
振荡周期Td=148us 第一峰峰值h1=2.08V 第二峰峰值h2=0.36V
W d=2πf d=2π/T d=4.24*104 α=1/T d*ln(h1/h2)=1.18*104 理想：W d=4.59*104 α=1*104
【误差分析】
理想状况下当R2=823Ω时，电路处于临界阻尼状态，实际当R2=553Ω时，电路处于临界阻尼状态。

原因在于，在实际电路中，电感也会产生电阻，从而分担了R2的部分电阻，导致实际
临界状态时R2减小。

因为理想状况下
2
2
2
d2L
R
LC
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
=
-
=α
ω
ω，
L
R
2
=
α，而在实际
情况下，因为有电感电阻的存在，导致R大于理想时的电阻，从而减小了w d，而增大了α。

【状态轨迹】
把示波器置于X-Y方式，Y轴输入Uc(t)，X轴输入I L(t)。

过阻尼状态轨迹
欠阻尼状态轨迹
【实验结论】
C L R 2>，响应是非振荡性的，为过阻尼情况。

C L R 2=，响应临界振荡，为临界阻尼情况。

C
L
R 2<，响应是振荡性的，为欠阻尼情况。

欠阻尼响应时，w d 越大，Td 就越小。

改变R 2时，T d 并不改变，因此w d 也不改变。

电阻R 2越大，α越大；反之，R 2越小，α越小。