广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题(解析版)

2019-2020学年度第一学期高三调研测试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =( )A. {2,3}B. {1,1}-C. {1,2,3}D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得AB【详解】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.，所以{2,3}AB =.故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2.己知()2,m in i m n R i-=+∈，其中i 为虚数单位，则m n +=( ) A. 1- B. 1C. 3D. 3-【答案】D 【解析】 【分析】整理等式为21m i ni -=-,等号左右两边实部、虚部对应相等,进而求得m n + 【详解】由题,21m i ni -=-,所以12m n =-⎧⎨=-⎩,则123m n +=--=-,故选：D【点睛】本题考查相等的复数,考查复数的实部与虚部的定义,属于基础题3.已知向量a ,b 满足1a =，27a b +=,且a 与b 的夹角为60︒，则b =( )A. 1B. 3【答案】A 【解析】 【分析】对2a b +作平方处理,整理后即可求得b 【详解】由题,2222244441cos 607a b a a b b b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=,解得1b =, 故选：A【点睛】本题考查向量的模,考查运算能力4.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =( ) A. 42 B. 21C. 7D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B.【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题. 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是( )整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10% 【答案】B 【解析】 【分析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可判断选项 【详解】对于选项A,由饼状图可得90后占56%50%>,故A 正确；对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的56%39.6%22.176%41%⨯=<,故B 错误； 对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的56%12.3% 6.888%3%⨯=>,故C 正确； 对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的56%13.2%7.392%10%⨯=<,故D 正确, 故选：B【点睛】本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题6.函数()()311x x e f x x e +=-(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数的奇偶性排除A 、C,再由x →+∞时,()f x 的趋向性判断选项即可【详解】由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ； 又因为()()()33311211x xx e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →, 故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，那么()2log 3f 的值为( )A.13B. -3C. 3D. 13-【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质可得()221log 3log 3f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入解析式求解即可 【详解】由题,2log 30>,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()21log 32211log 3log 233f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭, 故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用,考查对数的运算8.如图，我国古代珠算算具算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为( )A57B.47C. 27D.17【解析】 【分析】利用间接法,先找到不含上珠的概率,进而其对立事件概率即为所求【详解】由题,则3537251177C P C =-=-=,故选：A【点睛】本题考查概率的计算,考查间接法求概率,属于基础题 9.已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()f x 的图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小值为( )A.6πB.3π C.2π D. π【答案】C 【解析】 【分析】由条件利用sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律求得()f x 平移后的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论.【详解】解：将函数()2sin(2)6f x x π=+图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度得到函数()2sin 2sin 2266y x x ππθθ⎤⎛⎫⎡=-+=-+ ⎪⎣⎥⎦⎝⎭的图象， 令6x π=，得sin 2136y ππθ⎛⎫=-+=±⎪⎝⎭，2,22k k Z ππθπ∴-=+∈，,()2kk Z θπ∴=-∈，0θ>则θ的最小值为2π，【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题. 10.设α是给定的平面，A B ，是不在α内的任意两点．有下列四个命题： ①在α内存在直线与直线AB 异面；②在α内存在直线与直线AB 相交； ③存在过直线AB 的平面与α垂直；④存在过直线AB 的平面与α平行． 其中，一定正确的是( ) A. ①②③ B. ①③C. ①④D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】根据直线和平面的位置关系,找到反例,即可判断选项 【详解】由题,对于②,当直线//AB 平面α时,②不成立； 对于④,当直线AB ⊥平面α时,④不成立； 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立, 故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判定,熟练掌握直线与平面位置关系的判定定理与定义及推论是解题关键11.已知圆O 的半径是点P 是圆O 内部一点(不包括边界)，点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP ⋅=，则()2OA OP +的最小值为( )A.232B. 12C.252D. 13【答案】C 【解析】 【分析】由2OA OP ⋅=可得212cos OP POA =∠,则当cos 1POA ∠=时, min 2OP =,再根据()2222212OA OP OA OP OA OP OP +=++⋅=+,则将minOP=代入求解即可 【详解】由题,因为cos ,22cos 2OA OP OA OP OA OP OP POA ⋅=⋅⋅=∠=,所以2OP =则当cos 1POA ∠=,即0POA ∠=时,min2OP=, 因为()()2222222222212OA OPOA OP OA OP OP OP +=++⋅=++⨯=+,所以当OP 取得最小值时,()22min251222OA OP ⎛+=+= ⎝⎭, 故选：C【点睛】本题考查向量的数量积的应用,考查向量的模的应用,考查运算能力12.已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是( ) A. 89π B.1118πC.512π D.49π 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得,当OE ⊥截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为a ,先求得正四面体的外接球半径为4a ,再求得OE ,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积【详解】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则3DM a =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则3h a =,在Rt OMD 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得6R a =,则666x a a a =-=, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2222611112372d a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以22226112729r a a a⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭, 因为2a BC ==, 所以289r =, 所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A【点睛】本题考查三棱锥的外接球问题,考查空间想象能力与转化思想,考查运算能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置上．13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为6，则输出i 的值为_______．【答案】8 【解析】 【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦满足条件就退出循环,执行语句输出i ,从而到结论【详解】当6n =时,是偶数,则632n ==,011i =+=； 当3n =时,不是偶数,则33110n =⨯+=,112i =+=； 当10n =时,是偶数,则1052n ==,213i =+=； 当5n =时,不是偶数,则35116n =⨯+=,314i =+=； 当16n =时,是偶数,则1682n ==,415i =+=； 当8n =时,是偶数,则842n ==,516i =+=； 当4n =时,是偶数,则422n ==,617i =+=；当2n =时,是偶数,则212n ==,718i =+=故答案为：8【点睛】本题考查循环结构,其中根据已知的程序流程图分析出程序的功能是解答本题的关键 14.已知2cos(2)65πα+=-，则sin(2)3πα-=___________ 【答案】25【解析】 【分析】 利用sin(2)sin(2)362πππαα-=+-转化为已知角的函数值求解即可.【详解】解：sin(2)sin(2)cos(2)366522ππππααα-=+-=-+=，故答案为：25.【点睛】本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.15.若()()431ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______(用数字作答)． 【答案】64 【解析】 【分析】先根据x 的系数为13求得1a =,再令1x =即可求得展开式中各项系数和【详解】由题,x 的系数为104431213C aC a +=+=,则1a =,所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4311164+⨯+=, 故答案为：64【点睛】本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和16.已知函数()111211x x e e x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，，(其中e 为自然对数的底数)，则不等式()()10f x f x +-<的解集为_____． 【答案】72⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 【解析】 【分析】先分别求得()f x -与()1f x -的分段函数形式,再讨论2x ≤与2x >的情况,根据函数单调性求解即可 【详解】由题,欲解()()10f x f x +-<,即()()1f x f x -<-,()22,2131,2x x e e x f x x x --⎧-≤⎪-=⎨-->⎪⎩,()111211x xf e x x e x x --⎧-≤⎪⎨--+>⎩+=⎪-，，,当2x ≤时,()1f x -单调递增,()()max 120f x f -==,()f x -在(],1-∞单调递减,在(]1,2上单调递减,则()()min 10f x f -==⎡⎤⎣⎦,所以满足()()1f x f x -<-,当2x >时,()f x -单调递减,()1f x -在()2,3上递减,在()3,+∞上递增, 则另()()1f x f x -=-,即3121x x --=--+,解得72x =, 所以当722x时,()()1f x f x ->-, 综上,72x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，,故答案为：72⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式,考查分类讨论思想,考查指数型函数的应用三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分．17.已知数列{}n a 中，11a =且()*12621n n a a n n N +=+-∈(1)求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】(1)证明见解析；(2)12334n n n n S +---=【解析】 【分析】(1)根据递推公式可得111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++,即可证明； (2)由(1)1322n n na =⨯-,进而利用分组法求得数列的和即可 【详解】(1)证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132n n a a n +=+-, ∴111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++, 11131222a +=+=,∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为32,公比为3 (2)解：由(1)得,13133222n n n n a -+=⨯=⨯,∴1322n n na =⨯-, 123n n S a a a a =++++……()()12311333312322n n =++++-++++…………()()()23133311112132244n n n n n n --++=-=--12334n n n +---= 【点睛】本题考查由递推公式证明等比数列,考查数列求和,考查运算能力18.如图，在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且2cos 2a C c b -=．(1)求角A 的大小； (2)若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC 的面积．【答案】(1)23π；(2)3【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化边为角可得2sin cos sin 2sin A C C B -=,则()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,进而求得角A 即可； (2)由(1)可得6C π=,则AC AB =,设AD x =,则2AB x =,在ABD △中,根据余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅,可得7x =进而求得ABC 的面积即可【详解】(1)因为2cos 2a C c b -=,根据正弦定理,得2sin cos sin 2sin A C C B -=, 即()2sin cos sin 2sin A C C A C -=+,所以2sin cos sin 2sin cos 2sin cos A C C A C C A -=+, 整理得sin 2sin cos C C A -=,因为sin 0C ≠,所以1cos 2A =-,又因为()0,A π∈,则23A π= (2)由(1)知23A π=,又因为6ABC π∠=,所以6C π=,所以AC AB =,因为D 是AC 中点, 设AD x =,则2AB x =,在ABD △中,根据余弦定理,得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅, 即()22227222cos3x x x x π=+-⋅⋅⋅即2749x =,解得7x =,故ABC 的面积2112sin 4sin 73223S AB AC A x π=⋅⋅=⋅⋅= 【点睛】本题考查利用正弦定理与余弦定理解三角形,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力19.如图，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且SAC 的面积为1．(1)若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ； (2)在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --5？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点 【解析】 【分析】(1)利用等腰三角形“三线合一”证明SD ⊥平面PAC ,进而证明平面SCD ⊥平面PAC ；(2)分别以,,OB OC OS 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,设SP SD λ=,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到λ即可【详解】(1)∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ,∴SO ⊥平面ABCD , ∵四边形ABCD 2的正方形,∴2AC =, ∵三角形SAC 的面积为1,∴1212SO ⨯⨯=,即1SO =,∴2SC =∵2CD =,点P 是SD 的中点,∴CP SD ⊥,同理可得AP SD ⊥, 又因为APCP P =,,AP CP ⊂平面PAC ,∴SD ⊥平面PAC , ∵SD ⊂平面SCD ,∴平面SCD ⊥平面PAC (2)存在,如图,连接OB ,易得,,OB OC OS 两两互相垂直,分别以,,OB OC OS 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O xyz -,则()()()()0,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,0A C S D --,假设存在点P 使得二面角P AC D --的5, 不妨设SP SD λ=,∵点P 在棱SD 上,∴ 01λ≤≤, 又()1,0,1SD =--, ∴(),0,SP λλ=--, ∴(),0,1P λλ--,(),1,1AP λλ=-∴-,()0,2,0AC =,设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =,则0n AP n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎨=⎩,令z λ=,可得1x λ=-,∴平面PAC一个法向量为()1,0,n λλ=-,又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =,二面角P AC D --5,∴()225cos ,51OS n OS n OS nλλλ⋅===⋅-+,即23210λλ+-=, 解得13λ=或1-(舍) 所以存在点P 符合题意,点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查利用空间向量处理已知二面角求参问题,考查运算能力20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内(含4小时)每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内(含24小时)收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间(假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．(1)现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的22⨯列联表：完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？(2)(i )X 表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望()E X ；(ii )现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于()E X 的车辆数，求()2P ξ≥的概率．参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】(1)列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；(2)(i )分布列见解析，()1465E X =．；(ii )()812125P ξ≥= 【解析】 【分析】(1)先根据频数分布表填写22⨯列联表,再将数据代入2K 公式求解即可；(2)(i )X 的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,并求得期望；(ii )先求得()314.655P X >=,则3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭,进而求得概率即可【详解】(1)由题,不超过6小时的频率为1001002000.41000++=,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时,则22⨯列联表如下：根据上表数据代入公式可得()221002030104050079427063070604063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．．所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关 (2)(i )由题意知：X 的可取值为5,8,11,15,19,30,则()()()()11115,8,11,15,101055P X P X P X P X ======== ()()7119,302020P X P X ====所以X 的分布列为：∴()111171581115193014.651010552020E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= (ii )由题意得()171314.65520205P X >=++=,所以3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭, 所以()()()23233239227812233555255125125P P P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+= 【点睛】本题考查独立性检验的应用,考查二项分布,考查离散型分布列及期望,考查数据处理能力与运算能力 21.已知函数()()20xf x emx x =+∈+∞，，(其中e 为自然对数的底数)．(1)求()f x 的单调性； (2)若()222xa m g x x e =-=，，对于任意()01a ∈，，是否存在与a 有关的正常数0x ，使得()0012x f g x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭成立？如果存在，求出一个符合条件的0x ；否则说明理由． 【答案】(1)当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；当2m <-时,()f x 在10,ln 22m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；(2)存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<<【解析】 【分析】(1)求导可得()2'2xf x em =+,分别讨论0m ≥,20m -≤<,2m <-时的情况,进而判断单调性即可；(2)存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭,即0020012x x a e x x e -->,则02001102x x a x e ++-<,设()2112x a x t x x e+=+-,满足()min 0t x <即可,利用导数可得()()()2minln ln ln 112a t x t a a a a =-=+-+-,再设()()2ln ln 12aa a a a ϕ=+-+,利用导函数判断函数性质即可求解【详解】(1)()2'2xf x em =+,①当0m ≥时,()'0f x >恒成立,所以()f x 在0,上的单调递增；②当20m -≤<时,()0x ∈+∞，,()'0f x >,所以()f x 在0,上的单调递增；③当2m <-时,令()'0f x =,得1ln 022m x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭, 当10,ln 22m x ⎛⎫⎛⎫∈-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()'0f x <,()f x 单调递减； 当1ln ,22m x ⎛⎫⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时,()'0f x >,()f x 单调递增；综上所述：当2m ≥-时,()f x 在0,上的单调递增；当2m <-时,()f x 在10,ln 22m ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,()f x 在1ln ,22m ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增 (2)存在,当2m =-时,()22xf x ex =-,设存在与a 有关的正常数0x 使得()0012x f g x ⎛⎫->⎪⎝⎭,即0020012x x a e x x e --> 0200112x x a x e +∴->, ()0200110*2x x ax e +∴+-<需求一个0x ,使()*成立,只要求出()2112x a x t x x e+=+-的最小值,满足()min 0t x <, ∵()1'xt x x a e ⎛⎫=-⎪⎝⎭,∴()t x 在()0,ln a -上单调递减,在()ln a -+∞，上单调递增, ∴()()()2min ln ln ln 112a t x t a a a a =-=+-+-, 只需证明()2ln ln 1102a a a a +-+-<在()0,1a ∈内成立即可, 令()()2ln ln 12a a a a a ϕ=+-+,()21'ln 02a a φ∴=>,∴()a ϕ在()0,1a ∈单调递增, ∴()()()211ln 1ln11102a ϕϕ<=+⨯-+-=, 所以()min 0t x <,故存在与a 有关的正常数()0ln 01x a a =-<<使()*成立【点睛】本题考查利用导函数判断函数的单调性,考查利用导函数处理函数的恒成立问题,考查运算能力与转化思想(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为224650x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4sin πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． (1)写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设点P 在C 上，点Q 在l 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标．【答案】(1)圆C的参数方程：23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，直线l ：30x y ++=；(2)min PQ =此时点P的坐标为()01，【解析】 【分析】(1)整理圆C 的方程为()()22238x y -+-=,即可写出参数方程,利用cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩将直线方程写为直角坐标方程即可；(2)法一：利用参数方程设曲线C上的点()2,3P αα++,利用点到直线距离公式可得24d πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则根据三角函数的性质求处最值,并将α代回求得坐标；法二：min PQ 为圆心到直线距离减去半径,再利用弦与直线垂直的性质得PQ 所在直线为1y x =+,联立直线与圆的方程即可求得交点P 的坐标【详解】(1)圆C 的方程可化为()()22238x y -+-=,圆心为()2,3C ,半径为∴圆C的参数方程为23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数),直线l 的极坐标方程可化为sin cos 3ρθρθ+=-, ∵cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩,∴直线l 的直角坐标方程为30x y ++=(2)法一：设曲线C上的点()2,3P αα++, 点P 到直线l ：30x y ++=的距离：24d πα⎛⎫===++ ⎪⎝⎭,当54πα=时,)min 12PQ =-+=此时点P坐标为0,1,所以min PQ =此时点P 的坐标为0,1法二：曲线C 是以()2,3C 为圆心,半径为, 圆心()2,3C 到直线:30l x y ++=的距离d ==所以min PQ ==此时直线PQ 经过圆心()2,3C ,且与直线:30l x y ++=垂直,1PQ l k k ⋅=-,所以1PQ k =,PQ 所在直线方程为32y x -=-,即1y x =+,联立直线和圆的方程2214650y x x y x y =+⎧⎨+--+=⎩,解得01x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩, 当PQ 取得最小值时,点P 的坐标为0,1,所以min PQ =此时点P 的坐标为0,1【点睛】本题考查圆的普通方程与参数方程的转化,考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化,考查直线上一点到圆的距离最小值问题23.已知函数()12f x x x =+--．(1)解不等式()1f x ≤；(2)记函数()f x 的最大值为s()0s a b c =>，，3+≥． 【答案】(1)(]1-∞，；(2)证明见解析 【解析】【分析】(1)将函数整理为分段函数形式可得()3,121,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,进而分类讨论求解不等式即可； (2)先利用绝对值不等式的性质得到()f x 的最大值为3,再利用均值定理证明即可【详解】(1)由题,()3,121,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩,①当1x ≤-时,31-≤恒成立,所以1x ≤-；②当12x -<<时,211x -≤即1x ≤,所以11x -<≤；③当2x ≥时,31≤显然不成立,所以不合题意：综上所述,不等式的解集为(],1-∞(2)由(1)知()max 123f x x x s =+-+==,3=,6+=, 当且仅当1a b c ===时取等,3+≥ 【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用。