2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题
广东省东莞市2020届高三4月模拟自测数学(理)试题试题含答案
2020年东莞市普通高中毕业班模拟自测理科数学一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 已知集合{}{}2230,210A x x x B x x =+-<=->，则A I B= A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)22. 设复数z 满足1iz i =+， 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、 五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半 圆的连接点构成正方形ABCD ，在整个图形中随机取一点，此 点取自正方形区域的概率为 A.22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 21π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x )， 当x >0时，2()log xf x =;且f (m )=2，则m =A. 14B.4C.4或14D.4或14- 5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°， 且a r 为单位向量，(1,1)b =r，则a b +=r rA.5 B. 32. C.1 D. 326. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 2222+1(0)x y a b a b=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为A. 22143x y +=B. 22196x y += C.221164x y += D. 221169x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则(cos)(sin)1212ππ*=A. 32-B. 32C.1D.-1 8。
广东省2020届高三调研测试 数学(理)
2020届高中毕业班调研测试题理科数学一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1、21ii ++＝ A ．3122i - B ．1322i - C ．32i - D 、112i -2．已知集合A ＝｛x ｜x 2＋2x 一3＞0｝，B ＝｛x ｜0＜x ≤4｝，则A ∩B ＝ A ．｛x ｜一3＜x ≤4｝ B ．｛x ｜1＜x ≤4｝ C ．｛x ｜一3＜x ＜0或1＜x ≤4｝ D ．｛x ｜一3＜x ＜一1或1＜x ≤4｝ 3．已知抛物线C ：y ＝3 x 2，则焦点到准线的距离是 A ．16 B ．32 C ．3 D ．134．设3log 5a =，4log 5b =，132c -=，则A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．a ＞c ＞b5．某学校组织高一和高二两个年级的同学，开展“学雷锋敬老爱老”志愿服务活动，利用暑期到敬老院进行打扫卫生、表演文艺节目、倾听老人的嘱咐和教诲等一系列活动．现有来自高一年级的4名同学，其中男生2名、女生2名；高二年级的5名同学，其中男生3名、女生2名．现从这9名同学中随机选择4名打扫卫生，则选出的4名同学中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个 年级的概率是6．函数的部分图象大致是7．《九章算术》是我国最重要的数学典籍，曾被列为对数学发展形响最大的七部世界名著之一。
其中的“竹九节”问题，题意是：有一根竹子，共九节，各节的容积依次成等差数列·已知较粗的下3节共容4升，较瘦的上4节共容3升．根据上述条件，请问各节容积的总和是A 、20122 B 、21122 C 、60166 D 、611668．已知62(1)(1)a x x++的展开式中各项系数的和为128，则该展开式中2x 的系数为A ．15B ．20C ．30D ．359．在以BC 为斜边的直角△ABC 中，AB ＝2，2BE EC =u u u r u u u r ，则AB AE u u u r u u u rg ＝A 、3B 、73 C 、83D 、2 10·在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，点E 为棱BB 1上的点，且BE ＝2EB 1，则异面直线DE 与A 1B 1所成角的正弦值为 A 、52 B 、63 C 、64 D 、7311．将函数g （x ）＝cos2x 一sin 2x 图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再把所得各 点向右平移6π个单位长度，最后把所得各点纵坐标扩大到原来的2倍，就得到函数()f x 的图象，则下列说法中正确的个数是 ①函数()f x 的最小正周期为2π ②函数()f x 的最大值为2， ③函数()f x 图象的对称轴方程为．④设12,x x 为方程()f x 的两个不相等的根，则12||x x -的最小值为4πA ．1·B ．2C ．3D ．412．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：22126x y -=的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ，B 两点（其中点A 在第一象限）．设点H ，G 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则｜HG ｜的取值范围是二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线32()21f x x x =-++在点（1，f （l ））处的切线方程为14．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标X N （100，100），且110＜X ＜120的产品数量为5 436件．请估计该批次检测的产品数量是 件。
广东省2020届高三调研考试I理科数学
广东省2020届高三调研考试I数学（理科）注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}4<=x x A ，{}052≤-=x x x B ，则=B A A.{}40<≤x x B.{}5≤x x C.{}40<<x x D.{}0≤x x 2. 函数83)(-=xx f 的零点为 A.38 B.2log 33 C.83 D.3log 8 3. 若复数iz 21+的虚部为1-，则z 可能为 A.51 B.41 C.31 D.21 4. 为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图（2）所示。
对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是A.他们健身后，体重在区间)100,90[kg kg 内的人增加了2个B.他们健身后，体重在区间)110,100[kg kg 内的人数没有改变C.他们健身后，20人的平均体重大约减少了8kgD.他们健身后，原来体重在区间)120,110[kg kg 内的肥胖者体重都有减少5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.π115B.π140C.π165D.π2156. 最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理。
广东省东莞市2019-2020学年第一学期高三期末调研测试理科数学试题及答案
其中，一定正确的是
A. ①②③
B. ①③
C. ①④
D. ③④
11. 已知圆 O 的半径是 2 2 ，点 P 是圆 O 内部一点(不包括边界)，点 A 是圆 O 圆周上一点，且
( )2
OA OP = 2 ，则 OA + OP 的最小值为
A. 23 2
B.12
C. 25
D.13
2
12. 已知球 O 是正四面体 A − BCD 的外接球，BC = 2 ，点 E 在线段 BD 上，且 BD = 3BE ，过
A．1
B． 3
C． 3
D． 5
4. 已知数列an 为等差数列， Sn 为其前 n 项和， a6 + a3 − a5 = 3 ，则 S7 =
A． 42
B． 21
C． 7
D． 3
5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和
90 后从事互联网行业者岗位分布图(90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间
出生，80 前指 1979 年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 C．互联网行业中从事设计岗位的人数 90 后比 80 前多 D．互联网行业中从事市场岗位的 90 后人数不足总人数的 10％
高三理科数学 第1页（共 4 页）
8. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有 7 颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面 5 颗叫下 珠.若从某一档的 7 颗算珠中任取 3 颗，至少含有一颗上 珠的概率为
A． 5 7
B． 4 7
广东省东莞市中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析
广东省东莞市中学2020-2021学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集集合，则为（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 在平面直角坐标系中,不等式组(是常数)所表示的平面区域的面积是9,那么实数的值为( )A. B. C. D.1参考答案：D3. 设非零向量、、、满足||=||=||，+=，则向量、间的夹角为（）A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°参考答案：B【详解】,,,,,故选B.4.棱长为a的正方体的外接球的体积为（）A． B． C．D．参考答案：答案:D5. 设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为 ( )(A) (B) (C) (D)参考答案：C6. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是棱D1C1的中点，点F在正方体内部或正方体的表面上，且EF∥平面A1BC1，则动点F的轨迹所形成的区域面积是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】分别取棱、、、、的中点、、、、，证明平面平面，从而动点的轨迹所形成的区域是平面，再求面积得解.【详解】如图，分别取棱、、、、的中点、、、、，则，，，平面平面，点在正方体内部或正方体的表面上，若平面，动点的轨迹所形成的区域是平面，正方体的棱长为1，，，到的距离，动点的轨迹所形成的区域面积：．故选：．【点睛】本题考查动点的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．7. 已知集合，则任取(a,c)∈A,关于x的方程有实根的概率（）A. B. C. D.参考答案：B8. 函数的图象是（）参考答案：D9. 设集合则A．[一1，2） B．[2，+∞） C．[一l，2] D．[一1，+∞）参考答案：A解：10. 若存在x使不等式＞成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 将函数的图象向右平移个单位长度，若所得图象过点，则的最小值是.参考答案：移动后，过点，则，所以或，所以或，所以的最小值为。
2020届广东省高三调研(12月)考试数学(理)试题(解析版)
2020届广东省高三调研（12月）考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|4}A x x =<，{}2|50B x x x =-≤，则A B =（ ）A ．{|04}x x ≤<B ．{|5}x x ≤C ．{|04}x x <<D ．{|0}x x ≤【答案】A【解析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】因为{|4}A x x =<，{|05}B x x =≤≤，所以{|04}A B x x ⋂=≤<. 故选：A 【点睛】本题考查两个集合的交集的求法，考查二次不等式解法及交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．函数()38x f x =-的零点为（ ） A ．83B ．33log 2C ．38D ．8log 3【答案】B【解析】由函数零点与方程的根的关系，解方程3x﹣8＝0，即可得解． 【详解】由()0f x =，得38x =，即33log 83log 2x ==. 故选：B 【点睛】本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查指对互化及对数运算，属简单题． 3．若复数12zi+的虚部为-1，则z 可能为（ ） A ．16i -- B ．16i -+C ．13i -D ．13i +【答案】C 【解析】设()12za i a i=-∈+R ，利用复数代数形式的乘除运算化简得a 值可得答案 【详解】 依题意可设()12za i a i=-∈+R ，则2(21)z a a i =++-.当21a +=-时，a-=-，217a+=时，213a-=-；当21故选：C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图（1）所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况，如三维饼图（2）所示.对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是（）A．他们健身后，体重在区间(90kg,100kg)内的人增加了2个B．他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的人数没有改变C．他们健身后，20人的平均体重大约减少了8 kgD．他们健身后，原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少【答案】C【解析】利用饼状图逐项分析即可求解【详解】体重在区间[90kg,100kg)内的肥胖者由健身前的6人增加到健身后的8人.故人增加了2个，故A正确；他们健身后，体重在区间[100kg,110kg)内的百分比没有变，所以人数没有变，故B 正确；他们健身后，20人的平均体重大约减少了⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯=；因为图（2）(0.3950.51050.2115)(0.1850.4950.5105)5kg中没有体重在区间[110kg,120kg)内的比例，所以原来体重在区间[110kg,120kg)内的肥胖者体重都有减少，故D正确故选：C【点睛】本题考查识图能力，考查统计知识，准确理解图形是关键，是基础题 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．115πB ．140πC ．165πD ．215π【答案】A【解析】由三视图可知，直观图是由半个球与一个圆锥拼接，即可求出表面积． 【详解】由三视图可知，该几何体由半个球与一个圆锥拼接而成，所以该几何体的表面积251325115S πππ=⨯⨯+⨯=.故选：A 【点睛】本题考查三视图，考查表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 6．最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的（九章算术也有记载，所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC ∆满足“勾3股4弦5”.其中4AB =.D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD ∆满足勾股定理.则AB AD ⋅=（ ）A ．25144B ．25169C ．16925D ．14425【答案】D【解析】先由等面积得AD ，利用向量几何意义求解即可 【详解】由等面积法可得341255AD ⨯==，依题意可得，AD BC ⊥，则AB 在AD 上的投影为||AD ，所以2144||25AB AD AD ⋅==. 故选：D【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，是基础题 7．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可 【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-，所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B 【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐标错写为08．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且54S =，1010S =，则15S =（ ） A ．16 B ．19C ．20D ．25【答案】B【解析】利用5S ，105S S -，1510S S -成等比数列求解 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以5S ，105S S -，1510S S -成等比数列，因为54S =，1010S =，所以1056S S -=，15109S S -=，故1510919S =+=.故选：B 【点睛】本题考查等比数列前n 项性质，熟记性质是关键，是基础题9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-C ．(1,)-+∞D ．(,1)-∞-【答案】A【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2D【答案】C【解析】由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2b ac a=+，再结合,,a b c 关系求解即可【详解】因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以2b a c a =+，即22c a a c a-=+，则c a a -=，故2c e a ==. 故选：C 【点睛】本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 11．已知函数()32cos f x x x =+，()()2()15xxg x e e=--，若1(,0]x ∀∈-∞，2x ∀∈R ，()()12f x a g x +≤，则a 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞-B ．40,27⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．(,3]-∞-D ．,2794⎛⎤-∞-⎥⎝⎦【答案】D【解析】求导，确定max ()(0)2f x f ==，换元，构造函数求出()()2()15x xg x e e =--的最小值，列不等式求解a 即可 【详解】因为()32sin 0f x x '=->，所以()f x 在(,0]-∞上为增函数，所以max ()(0)2f x f ==.令(0)x t e t =>，()2()(1)5h t t t =--，()(1)(35)h t t t '=+-.当503t <<时，()0h t '<；当53t >时，()0h t '>.所以min 552540()1533927h t h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而max 40()27g x =-.依题意可得40227a +≤-，即9427a ≤-. 故选：D 【点睛】本题考查函数最值的求解，考查换元法的应用，着重考查导数的应用，是中档题，注意最值的转化.12．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．8B ．6C ．8D ．6【答案】A【解析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r .因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =.因为321OD OC CD =-=-=，所以8DM ==. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥.因为QP QB ==即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径R QB ===. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题二、填空题13．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离为8，则P 到x 轴的距离是________. 【答案】6【解析】由抛物线的焦半径公式得则()00,P x y 的坐标，则到x 轴的距离可求．【详解】设点()00,P x y ，则028y +=，即06y =，即P 到x 轴的距离是6. 故答案为：6 【点睛】本题考查抛物线的标准方程，着重考查抛物线定义的应用，是基础题．14．某中学音乐社共有9人，其中高一的同学有4人，高二的同学有3人，高三的同学有2人.他们排成一排合影，则同年级的同学都排在一起的概率为________. 【答案】1210【解析】用捆绑法分析，视三个班为三个元素，再分析高一、高二、高三三个元素的之间的排法数目，进而由分步计数原理计算可得答案． 【详解】由捆绑法可得所求概率23432339941210A A A A P A ==. 故答案为：1210【点睛】本题考查排列、组合的运用及古典概型，涉及分步计数原理的应用，本题实际是相邻问题，可用捆绑法分析求解．15．已知函数2()log )f x x =，则不等式(1)(2)0f x f x ++>的解集为________.【答案】1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】证明()f x 为奇函数，并确定为增函数，去掉函数符号f 列不等式求解 【详解】由题2()log )f x x =定义域为R,2()log )()f x x f x -==-故()f x 为奇函数，则(1)(2)0f x f x ++>等价于(1)(2)f x f x +>-，又()f x 为增函数，所以12x x +>-，解得1,3x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查不等式的求解，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键． 16．在数列{}n a 中，13a =，且()()12(1)22n n n a n a n +-=++- （1）{}n a 的通项公式为________； （2）在1a ，2a ，3a ，，2019a 这2019项中，被10除余2的项数为________.【答案】222n a n n =-+ 403【解析】（1）等式两边同除()1n n +构造数列为等差数列即可求出通项公式； （2）利用通项公式及被10除余2 的数的特点即可求解 【详解】（1）因为()()12(1)22n n n a n a n +-=++-，所以122221n n n a a n a n n n+-+--==+ 2+，即12221n n a a n n +---=+，则2n a n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列且首项为1，差为2，所以212(1)n a n n-=+- 21n =-，故222n a n n =-+（2）因为(21)2n n n a =-+，所以当n 能被10整除或n 为偶数且21n -能被5整除时，n a 被10除余2，所以8,10,18,20,,2010,2018n =，故被10除余2的项数为201014035+=. 故答案为：222n a n n =-+；403【点睛】本题考查数列的通项，考查构造法，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．如图.四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是直角梯形，BC AD ∥，AB AD ⊥，22AD BC ==，四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形.（1）证明；平面11ABB A ⊥平面ABCD ；（2）求二面角1B CD A --的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】（1）证明1AA ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直判定定理证明（2）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建系，求出两个半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可 【详解】（1）证明：因为四边形11ABB A 和11ADD A 均为正方形，所以1AA AD ⊥，1AA AB ⊥. 又AD AB A ⋂=，所以1AA ⊥平面ABCD .因为1AA ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面ABCD .（2）（法—）由（1）知1AA ，AB ，AD 两两互相垂直，故以A 为坐标原点，AB ，A D ，1AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(2,1,0)C ，(0,2,0)D ，则(2,1,0)CD =-，1(0,1,2)CB =-.设(,,)m a b c =为平面1B CD 的法向量，则120,20,m CD a b m CB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1a =，则2b =，1c =，所以(1,2,1)m =.又因为1AA ⊥平面ABCD ，所以1(0,0,2)AA =为平面ABCD 的一个法向量.所以1cos ,6m AA 〈〉==因为二面角1B CD A --是锐角.所以二面角1B CD A --的余弦值为6（法二）过B 作BH CD ⊥于H ，连接1B H .由（1）知1BB ⊥平面ABCD ，则1BB CD ⊥， 而1BHBB B =，所以CD ⊥平面1BB H所以1B H CD ⊥从而1BHB ∠为二面角1B CD A --的平面角.12=⨯，即BH =.所以1B H ==故11cos 6BH BHB B H ∠==. 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．18．设函数23()cos sin 2f x x x x =+-，a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知()0f A =，2b =. （1）若a =B ； （2）若2a c =，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 6B π=. (2)【解析】（1）运用二倍角正余弦公式和辅助角公式，化简f （x ），并求得3A π=，再利用正弦定理求得1sin 2B =，可得结论；（2）由三角形的余弦定理得c =结合面积公式，求得b ，c 的关系，即可得到所求三角形的周长． 【详解】 （1）1cos23()2sin 212226x f x x x π-⎛⎫=+-=-- ⎪⎝⎭， 因为()0f A =，所以262A ππ-=，即3A π=.因为sin sin a b A B=，所以sin 1sin 2b A B a ==， 因为(0,)B π∈，所以6B π=或56π， 又b a <，所以6B π=.（2）由余弦定理，可得222(2)222cos3c c c π=+-⨯⨯，即23240c c +-=，解得c =（负根舍去），故ABC ∆的面积为11sin 2sin 223bc A π=⨯=【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦函数的图形和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i ）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii ）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为(01)p p <<，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p 的取值范围.可能用到的参考数据：取40.360.0168=，40.160.0007=. 【答案】(1)60%；(2) （i ）0.12 （ii ） 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i ）利用二项分布求解；（ii ）甲、乙两市上线人数分别记为X ，Y ，得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p .，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为4678560%50++++=.（2）（i ）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A ，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则882241010()0.6(10.6)0.360.16450.01680.160.12P A C C =⨯⨯-=⨯⨯=⨯⨯≈.（ii ）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X ，Y ， 依题意，可得~(40000,0.6)X B ，~(36000,)Y B p . 因为2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市， 所以EY EX ≥，即36000400000.6p ≥⨯， 解得23p ≥， 又01p <<，故p 的取值范围为2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查二项分布的综合应用，考查计算求解能力，注意二项分布与超几何分布是易混淆的知识点.20．已知圆22260x y ++-=的圆心为1F ，直线l 过点2F 且与x 轴不重合，l 交圆1F 于C ，D 两点，过2F 作1F C 的平行线，交1F D 于点E .设点E 的轨迹为Ω. （1）求Ω的方程；（2）直线1l 与Ω相切于点M ，1l 与两坐标轴的交点为A 与B ，直线2l 经过点M 且与1l 垂直，2l 与Ω的另一个交点为N ，当||AB 取得最小值时，求ABN ∆的面积.【答案】(1) 221(0)82x y y +=≠ (2) 【解析】（1）根据三角形相似得到DE BEAD AC=，得到AE +DE ＝4，再利用椭圆定义求解即可（2）设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆联立，由直线1l 与Ω相切得2282m k =+，由1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，得||AB 表达式，结合基本不等式求得M 坐标及2l ，进而得||MN ，则面积可求 【详解】（1）因为12FC EF ∥，所以12FCD EF D ∠=∠. 又11=F C F D ，所以11FCD F DC ∠=∠，则22EDF EF D ∠=∠， 所以2||ED EF =，从而2111||EF EF ED EF DF +=+=.22260x y ++-=化为22(32y x y ++=，所以21EF EF +==>从而E的轨迹为以1(F，2F为焦点，长轴长为右顶点）.所以Ω的方程为221(0)82x y y +=≠.（2）易知1l 的斜率存在，所以可设1l 的方程为(0)y kx m k =+≠，联立22,1,82y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()222148480k x kmx m +++-=.因为直线l 与Ω相切,所以()()222(8)414480km k m∆=-+-=，即2282m k =+.1l 在x 轴、y 轴上的截距分别为mk-，m ，则||AB ====≥= 当且仅当2228k k =，即2k =±时取等号. 所以当212k =时，||AB 取得最小值，此时26m =，根据对称性.不妨取2k =，m=282143M km x k =-=-+，即3M x =-323M y =-⨯+=.联立22,1,82y x x y ⎧=+⎪⎪⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y，得29160x ++=，则39M N N x x x +=-+=-，解得9N x =-，所以8||3M N MN x =-=，故ABN ∆的面积为1823⨯⨯=【点睛】本题考查了椭圆定义求轨迹方程，考查直线和椭圆的关系，考查基本不等式求最值，确定取得最值时直线方程是关键，属于压轴题．21．已知函数2()ln f x bx a x =+的图象在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2a +. （1）讨论()f x 的单调性； （2）当02e a <≤时，证明：222()x f x x e x-<+. 【答案】(1) 见解析 (2)证明见解析【解析】（1）先求导，求出1b =，再分类讨论当0a ≥和0a <时导数的符号变化，即可得出单调性；（2）原不等式即证明22max minln 2x a x e x x -⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭和222()(0)x e h x x x-=>，分别求导确定最大值和最小值即可证明【详解】（1）()2a f x bx x'=+，则(1)22f b a a '=+=+， 解得1b =，22()2(0)a x af x x x x x'+=+=>.当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增. 当0a <时，令()0f x '>，得x >()0f x '<，得0x <<. 所以()f x在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减.（2）证明：要证222()x f x x e x -<+，只要证22ln 2x a x e x x-<.令ln ()02a x e g x a x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则2(1ln )()a x g x x'-=， 当()0g x '>时，得0x e <<；当()0g x '<时，得x e >. 所以max ()()ag x g e e==， 令222()(0)x e h x x x -=>，则232(2)()x e x h x x-'-=. 当()0h x '>时，得2x >，当()0h x '<时，得02x << 所以min 1()(2)2h x h == 因为e02a <≤，所以max 1()2a g x e =≤， 又2e ≠，所以22ln 2x a x e x x-<，222()x f x x e x -<+得证.【点睛】本题考查了导数和函数的单调性和最值的关系，需要分类讨论，考查不等式证明，通常拆分为两个基本函数求最值是常用方法，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），曲线C 的参数方程为3cos 33sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知点P 的极坐标为(2,)π，l 与曲线C 交于,A B两点，求2.【答案】（1）6sin ρθ=；（2）6+.【解析】（1）利用消参数将参数方程化成普通方程，再利用公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化成极坐标方程；（2）将点P 的极坐标化为直角坐标，得点P 为直线参数方程所过的定点，再利用参数的几何意义进行求解. 【详解】解：（1）曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=，即226x y y +=，因为cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以26sin ρρθ=，即6sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为6sin ρθ=.（2）将12,22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得2(240t t -++=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则122t t +=+124t t =.因为点P 的极坐标为(2,)π，所以点P 的直角坐标为(2,0)-，所以212||||6PA PB t t +=++=++=+.【点睛】本题考查曲线的参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、直线参数方程参数的几何意义，考查转化与化归思想的应用，求解是要注意利用直线的参数的几何意义解题时，要保证参数方程为标准形式.23．已知函数()7 1.f x x x =-++ （1）求不等式2()10x f x <<的解集；（2）设[]x 表示不大于x 的最大整数，若[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）(2,4)-；（2）(2,1)--.【解析】（1）将函数()f x 的绝对值去掉等价于62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩再分别解不等式并取交集；（2）利用取整函数的定义，将不等式[()]9f x ≤转化为()10f x <，再利用（1）的结论进行求解. 【详解】（1）62,1,()8,17,26,7,x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x x >得：1,622,x x x <-⎧⎨->⎩或17,82,x x -≤≤⎧⎨>⎩或7,262,x x x >⎧⎨->⎩解得：4x <；由()10f x <，1,6210,x x <-⎧⎨-<⎩或17,810,x -≤≤⎧⎨<⎩或7,2610,x x >⎧⎨-<⎩解得：28x -<<.故不等式2()10 x f x <<的解集为：(2,4)-. （2）依题意可得[()]9f x ≤等价于()10f x <， 由（1）知[()]9f x ≤的解集为(2,8)-. 因为[()]9f x ≤对[,9]x a a ∈+恒成立，所以[,9](2,8)a a +⊆-，所以2,98,a a >-⎧⎨+<⎩解得21a -<<-，所以a 的取值范围为(2,1)--. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、取整函数的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用，第（2）问取整函数不等式的等价转化是求解问题的关键.。
2020-2021学年广东省东莞市市高中学高三数学理模拟试卷含解析
2020-2021学年广东省东莞市市高中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在矩形ABCD中，，，两个圆的半径都是1，且圆心，均在对方的圆周上，在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．B． C．D．参考答案：D如图所示，分别连接，则分别为边长为的等边三角形，所以其面积分别为，其中拱形的面积为，所以阴影部分的面积为，所以概率为，故选D．2. 满足约束条件的目标函数的最大值是（）A．－6 B．e＋l C．０ D．e－l参考答案：C3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A． B．C． D．参考答案：A4. 已知函数f（x）＝, 那么在下列区间中含有函数f（x）零点的是A．（，1） B．（，） C．（，） D．（0，）参考答案：C5. 已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l?β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β．其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，将由条件可能推出的其它的结论也列举出来．解答：解：若α∥β，且m⊥α?m⊥β，又l?β?m⊥l，所以①正确．若α⊥β，且m⊥α?m∥β，又l?β，则m与l可能平行，可能异面，所以②不正确．若m⊥l，且m⊥α，l?β?α与β可能平行，可能相交．所以③不正确．若m∥l，且m⊥α?l⊥α又l?β?α⊥β，∴④正确．故选：B．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．6. 某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是( )A．B．C．D．参考答案：D试题分析：从三视图可以得到该几何体为四棱锥,且该四棱锥的底面为正方形且边长为3,从侧视图可得该四棱锥的高为1,所以该四棱锥的体积为,故选D考点：三视图四棱锥体积7. 已知函数为奇函数，，则等于（）A．B． C． D．参考答案：C8. 下列命题中为真命题的是(A).命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题(B).命题“x>1，则x2>1”的否命题(C).命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题(D).命题“若x2>x，则x>1”的逆否命题参考答案：A9. 已知向量，若，则实数m的值是（）A. －1B. 1C. －2D. 2 参考答案：A 【分析】根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意：本题正确选项：A【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.10. 复数z=，则（ ） A ．|z|=2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣iD ．z 的共轭复数为﹣1+i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算，化简复数为a+bi 的形式，然后判断选项即可．【解答】解：复数z====﹣1﹣i ．显然A 、B 、C 都不正确，z 的共轭复数为﹣1+i ．正确． 故选：D ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知参考答案：略12. 圆上到直线的距离为的点的个数是 _ .参考答案：分析：圆方程化为标准式为，其圆心坐标，半径，由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离，由图所示，圆上到直线的距离为的点有4个．13. 从一堆苹果中任取5个，称得它们的质量如下（单位：克）125，124，121，123，127， 则该样本标准差=___________参考答案：2 略 14. 已知，则▲ ．参考答案：试题分析：.15. 若非零向量，，满足+2+3=，且?=?=?，则与的夹角为 ．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用． 【分析】由+2+3=，把用含有的式子表示，结合?=?=?，可得，．然后代入数量积求夹角公式求解．【解答】解：由+2+3=，得， 代入?=?，得，即． 再代入?=?，得，即．∴cos===﹣．∴与的夹角为．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，是中档题．16. 设g （x ）=，则g （g （））=．参考答案：【考点】对数的运算性质．【分析】根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g （g （））的值．【解答】解：∵g （x ）=，∴g （）=ln =﹣ln2＜0， ∴g （g （））=g （﹣ln2） =e﹣ln2==2﹣1 =．故答案为：．【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．17. 如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面为直角三角形。
2020年广东省东莞市-学年度第一学期高三调研测试理科数学试卷
个选择支正确．请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1．若 a 实数，，则 a 等于
1 ai i(2 i)
A．2 B．-1 C．1 D．-2
2．若函数，则是 A．最小正周
期
为
的
奇
函
数
f
( x)
cosf2(xx)
1 2
(x
R)
B．最小正周期为的奇函数
2
C．最小正周期为的偶函数 D．最小 2 正周期为的偶函数
16.（本小题满分 12 分）
f
(x)
sin sin
x x
csions(x2cox)s
cos 2x
2
x
解：（1）因为
…………1 分
…………3 分 …………4 分
=
1 2
[sin
2x
1
cos
2
x]
.
2 2
sin(2x
4
)
1 2
所以，当，即，时，取得最 xs2ixnk(24xf(8x2)4(k)2kZ1)
x)
0
，
·8·
A．１对 B．２对 C．３对 D．４对
f
g( x()x)
ln1x 1 x
９ 数
． 的
已 定
知 义
函 域
为Ｍ，的定义域Leabharlann Ｎ，则＝ ．M N
zxx1 y 10 ． 已 知 变 量
y
2
x,y 满 足 则 的 最
x
y
0
小值是 11 ． 如
右
。 图所
东莞2019—2020学年度第一学期高三调研测试理科数学答案
圆
C
的参数方程为
x
2
2
2 cos （ 为参数）
y 3 2 2 sin
直线 l 的极坐标方程可化为 sin cos 3
cos x sin y
直线 l 的直角坐标方程为 x y 3 0
（2）法一：设曲线 C 上的点 P (2+2 2 cos,3 2 2 sin) ，
又因为 A (0, ) 则 A 2 3
……………………………………………………………6 分
（没写角的范围扣 1 分）
（2）由（1）知 A 2 ，又因为 ABC ，所以 C
3
6
6
所以 AC AB ．
…………………………………………………………………………………7 分
x ex
1
1
的最小值，
满足 t(x)min
0 …8分
t( x)
x(a
1 ex
)
t(x) 在 0, ln a 上单调递减，在 ln a, 上单调递增 …………………………………9分
t( x)min
t ln a
a 2
ln2
a
a ln a
1
30 70 60 40
63
所以没有超过 90% 的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关； ……………………5 分
(2) (i)由题意知： X 的可取值为 5，8，11，15，19，30，则
………………………6 分
P( X 5) 1 ， P( X 8) 1 ， P( X 11) 1 ， P( X 15) 1 ，
2020年广东省东莞市高考理科数学模拟试卷及答案解析
9．已知f（x）＝ ，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣∞，﹣2）
10．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线．将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．
16．如图，O在△ABC的内部，且 + +3 ＝ ，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为．
三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）
17．（12分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+2n，等比数列{bn}满足b2＝a1，b3＝a4．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求数列{anbn}的前n项和Tn．
（1）通过分析可以认为学生初试成绩X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ＝66，σ2＝144，试估计初试成绩不低于90分的人数；
（2）已知小强已通过初试，他在复试中单选题的正答率为 ，多选题的正答率为 ，且每道题回答正确与否互不影响．记小强复试成绩为y，求y的分布列及数学期望．
附：p＜μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
2020年广东省东莞市高考理科数学模拟试卷
截面问题(含详细解析)
几何体截面问题①定义：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)叫做这个几何体的截面. 截面不唯一，好的截面应包含几何体的主要元素！②画法：常通过“作平行线”或“延长直线找交点”作出完整的截面，作截面是立体几何非常重要的研究课题.③思想：作截面是研究空间几何体的重要方法，它将陌生空问题转化为熟悉的平面问题！技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题； 技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。
1．【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为为4π，则该球的半径是（ ）A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即截面圆的周长可得42r ππ=，得2r =，故由题意知(222R r =+，即(222216R=+=，所以4R =，故选：B ．2．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】D 【解析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形， 因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D3．【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A ．89π B ．1118πC ．512π D ．49π 【答案】A【解析】由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-,在Rt AMD V 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则3h a =,在Rt OMD V 中,222DM OM R +=,即222x R ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则22213a R R ⎫+-=⎪⎪⎝⎭,解得R =,则x ==, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===,在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2222111372d a a ⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以22221124729r a a a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭,因为2a BC ==, 所以289r =,所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A4．【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,6,8AB AC AB AC ⊥==，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ， 记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =， 则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+.在ABC V 中，取AC 的中点为E ，连接11,O D O E ， 则1132O E AB ==，124DE AC ==，所以1O D =在1Rt OO D V 中，OD = 由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小， 设此时截面圆的半径为r ，则()22222251312r R OD x x =-=+-+=，所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2R π， 所以21216R π-π=π，228R =， 球的表面积为2112R 4π=π. 故选:C.5．【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】正三棱锥P ABC -，Q 为BC 中点， PA =，2AB =，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为（ ）A ．13,45ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[],2ππD ．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】因为正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥， 因此正三棱锥P ABC -可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P ABC -外接球的球心，记外接球半径为R ，则2R ==，因为球的最大截面圆为过球心的圆， 所以过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==；又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得122OQ PA ==；由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时，截面圆半径最小为1r ==，所以2min S r ππ==.因此，过Q 的平面截三棱锥P ABC -的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D.6．【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E ，F 分别是棱AD 、BC 的中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（ ）A ．B ．4C ．D ．6【答案】B【解析】将正四面体补成正方体如图，可得EF ⊥平面CHBG ，且正方形边长为由于EF α⊥，故截面为平行四边形MNKL ，且4KL KN +=， 又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥， ∴KN KL ⊥， ∴MNKLS KN KL =⋅Y 242KN KL +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2KL KN ==时取等号， 故选：B ．7．已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，边AB 的中点为M ，过M 且垂直1BD 的平面被正方体所截的截面面积为（ ）A ．2B C ．D ．【答案】A【解析】如图，连结111,,,AC CB AB BC ，易知11CB BC ⊥，111CB D C ⊥，又1111BC D C C ⋂=，则1CB ⊥平面11BC D ，故11CB BD ⊥，同理可证明CA ⊥平面1BDD ，则1CA BD ⊥，又1CA CB C =I ，故1BD ⊥平面1ACB .取BC 的中点E ，1BB 的中点F ，易知平面//MEF 平面1ACB ， 所以1BD ⊥平面MEF ，即MEF V 为所求截面.易知MEF V 为正三角形，边长ME ==故12MEF S ==V 故选：A.8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，设过P ，Q ，R 的截面与面11ADD A ，以及面11ABB A 的交线分别为l ，m ，则l ，m 所成的角为（ ）A ．90︒B ．30°C ．45︒D ．60︒【答案】D【解析】因为，在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q ，R 分别是AB ，AD ，11B C 的中点，取11C D ，1DD ，1BB 的中点分别为G ，F ，E ，连接FG ， FQ ，QP ，PE ，ER ，RG ，根据正方体的特征，易知，若连接PG ，EF ，RQ ，则这三条线必相交于正方体的中心，又////GR EF QP ，所以P ，Q ，R ，G ，F ，E 六点必共面，即为过P ，Q ，R 的截面；所以EP 即为直线m ，FQ 即为直线l ；连接1AB ，1AD ，11B D ，因为1//EP AB ，1//FQ AD ，所以11B AD ∠即为异面直线EP 与FQ 所成的角，又因为正方体的各面对角线都相等，所以11AB D V 为等边三角形， 因此1160B AD ∠=︒.故选：D.9．【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理)试题】如图四面体A BCD -中，2,AD BC AD BC ==⊥，截面四边形EFGH 满足//EF BC ；//FG AD ，则下列结论正确的个数为（ ） ①四边形EFGH 的周长为定值 ②四边形EFGH 的面积为定值 ③四边形EFGH 为矩形④四边形EFGH 的面积有最大值1A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】因为//EF BC EF ⊄，平面BCD ，所以//EF 平面BCD ，又平面EFGH I 平面BDC GH =，所以//EF GH .同理//FG EH ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又AD BC ⊥，所以四边形EFGH 为矩形.所以③是正确的；由相似三角形的性质得EF AF FC FGBC AC AC AD==，， 所以EF FG AF FCBC AD AC AC+=+，2BC AD ==，所以2EF FG +=， 所以四边形EFGH 的周长为定值4，所以①是正确的；212EFGHEF FG S EF FG ⨯⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGH 的面积有最大值1，所以④是正确的.因为①③④正确.故选：D10．【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷)】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．4B C ．4D 【答案】A【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为2，所以其面积为26S ==，故选A. 11．【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】在四面体ABCD 中，3AB BD AD CD ====，4AC BC ==，用平行于AB ，CD 的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值为（ ） A ．43B ．94C ．92D ．3【答案】B【解析】设截面分别与棱,,,AD BD BC AC 交于点,,,E F G H .由直线//AB 平面EFGH ， 且平面ABC I 平面EFGH GH =，平面ABD ⋂平面EFGH EF = 得//GH AB ，//EF AB ，所以//GH EF ，同理可证//EH FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形， 又3AB BD AD CD ====，4AC BC ==， 可证得AB CD ⊥，四边形EFGH 为矩形.设:::BF BD BG BC FG CD x ===，01x <<， 则3FG x =，()31HG x =-，于是2199(1)9,0124EFGH S FG HG x x x x ⎛⎫=⋅=-=--+<< ⎪⎝⎭当12x =时，四边形EFGH 的面积有最大值94. 故选：B. 二、填空题12．【新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2019-2020学年高三第一次诊断性测试数学文试题】 如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 、F 、G 分别为11,,AB AD B C 的中点，给出下列命题：①异面直线EF 与AG 所成的角的余弦值为6；②过点E 、F 、G 作正方体的截面，所得的截面的面积是③1A C ⊥平面EFG④三棱锥C EFG -的体积为1其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）【答案】①③④【解析】取11C D 的中点为点H ，连接GH 、AH ，如图1所示，因为//EF GH ,所以AGH ∠就是异面直线EF 与AG 所成的角易知在AGH V 中，3,AG AH GH ===2cos 36AGH ∠==，①正确；图1 图2 图3矩形EFGH 即为过点E 、F 、G 所得正方体的截面，如图2所示，易知EF EG ==所以EFGH S ==分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立如图3所示直角坐标系,则(2,0,2),(2,1,0),A E(1,0,0),(1,2,2)F G ，1(2,2,2),(1,1,0),(1,1,2)AC FE EG =--==-u u u r u u u r u u u r ， 因为110,0AC FE AC EG ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以11,A C EF A C EG ⊥⊥，又EF ⊂平面EFG ， EG ⊂平面EFG 且EF EG E =I ，所以1A C ⊥平面EFG ，故③正确134(111212)22EFC S =-⨯⨯+⨯+⨯=V ，1113G ECF EFC V S C C -=⋅=V ，④正确. 故答案为：①③④13．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：①四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②对于棱1CC 上任意一点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得//CG 平面1EBD ； ③O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点，在棱1DD 上存在点H ，使//OH 平面1EBD ； ④存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值.其中为真命题的是____________________.（填写所有正确答案的序号）【答案】①③④【解析】①111111112B BED F B BED B BFD B BED V V V V ----=+=,又三棱锥11B BED -为三棱锥11E BB D -,则底面11BB D 不变,且因为1//CC 平面11BB D ,故点E 到底面11BB D 的距离即三棱锥11E BB D -底面的高不变,故三棱锥11E BB D -的体积不变,所以四棱锥11B BED F -的体积不变,恒为定值,故①正确；②当点E 在点C 处时,总有CG 与平面1EBD 相交,故②错误；③由O 为底面ABCD 对角线AC 和BD 的交点,则12DO DB =,设H 为1DD 的中点,则在1D DB V 中1//OH D B ,所以//OH 平面1EBD ,故③正确；④四边形1BED F 的周长为()012C BE ED =+,则分析1BE ED +即可,将矩形11BCC B 沿着1CC 展开使得B 在DC 延长线上时,此时B 的位置设为P ,则线段1D P 与1CC 的交点即为截面平行四边形1BED F 的周长取得最小值时唯一点E ,故④正确；故答案为:①③④14．【2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(文科)试题】 在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.【答案】【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：由正方体的性质可知，1A M NC P ，则1A ，,,M CN N 四点共面， 记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥．连接EF ，则EF MC ⊥， 所以MC ⊥平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，且四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =，MN =12S =⨯=故答案为：。
东莞市2020届第一学期高三期末教学质量检测(理数)
东莞市2020届第一学期高三期末教学质量检测数 学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1. 已知集合2{|230}A x x x =∈--≤Z ，{|10}B x x =->，则集合A B =IA ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅2. 己知2(,)m in i m n R i-=+∈，其中i 为虚数单位，则m n += A.1- B. 1 C. 3 D. 3-3. 已知向量,a b r r 满足||1,|2|7a a b =+=r r r ，且a r 与b r 的夹角为60o，则||b =rA ．1B ．3C ．3D ．5 4. 已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5633a a a -=+，则7S =A ．42B ．21C ．7D ．35. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图(90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生)，则下列结论中不一定正确的是A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C ．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10％6. 函数31()(1)x x e f x x e +=-(其中e 为自然对数的底数)的图象大致为7. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，那么2(log 3)f 的值为A ．31B ．－3C ．3 D.31-A . OyxOyxB . OyxC .OyxD .8. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为A ．57 B ．47 C ．27 D ．179. 已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()f x 的图象上所有点向右平移θ()0θ>个单位长度，得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小值为A.6π B.3π C.2πD.π10. 设α是给定的平面，,A B 是不在α内的任意两点.有下列四个命题：①在α内存在直线与直线AB 异面； ②在α内存在直线与直线AB 相交； ③存在过直线AB 的平面与α垂直； ④存在过直线AB 的平面与α平行. 其中，一定正确的是A. ①②③B. ①③C. ①④D. ③④ 11. 已知圆O 的半径是22，点P 是圆O 内部一点(不包括边界)，点A 是圆O 圆周上一点，且2=⋅OP OA ，则()2OA OP +u u u r u u u r 的最小值为A.232 B.12 C. 252D.13 12. 已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是A. 89πB. 1118πC. 512πD.49π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上． 13. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数,则对它乘3再加1；如果它是偶数,则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1.右图为研究角谷定理的一个程序框图.若输入n 的值为6,则输出i 的值为_____. 14．已知2cos(2)65πα+=-，则sin(2)3πα-=_____. 15. 若4(3)(1)ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为__________（用数字作答）.16. 已知函数11,1()|2|1,1x x e e x f x x x --⎧-≤=⎨-->⎩(其中e 为自然对数的底数)，则不等式()(1)0f x f x +-<的解集为_____.三、解答题: 本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分. 17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 中，1=1a 且*+12=6+21()n n a a n n N -∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. (本小题满分12分)如图1，在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos 2a C c b -=．（1）求角A 的大小； （2）若6ABC π∠=，AC 边上的中线BD 的长为7，求ABC ∆的面积．19. (本小题满分12分)如图2，在四棱锥S ABCD -中，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，点S 在底面ABCD 上的射影为底面ABCD 的中心点O ，点P 在棱SD 上，且SAC ∆的面积为1．（1）若点P 是SD 的中点，求证：平面SCD ⊥平面PAC ； （2）在棱SD 上是否存在一点P 使得二面角P AC D --的余弦值为5？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力.某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费.上述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：T （小时）(0,4]]5,4(]6,5(]7,6(]8,7(]24,8(频数（车次）10010020020035050以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率.（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研， 记录并统计了停车时长与司机性别的22⨯列联表：图1图2完成上述列联表，并判断能否有的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？ （2）（i ）X 表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X 的概率分布列及期望()E X ；（ii ）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，ξ表示3辆车中停车费用大于()E X 的车辆数，求)2(≥ξP 的概率.参考公式：22()n ad bc k -=，其中n a b c d =+++21. (本小题满分12分)已知函数2(),(0,)xf x e mx x =+∈+∞（其中e 为自然对数的底数）. （1）求)(x f 的单调性； （2）若2m =-,2()2xa g x x e =,对于任意()0,1a ∈，是否存在与a 有关的正常数0x ，使得00()1()2x f g x ->成立？如果存在，求出一个符合条件的0x ；否则说明理由.（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为224650x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()42πρθ+=-． （1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 在C 上，点Q 在l 上，求||PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12f x x x =+--. （1）解不等式1)(≤x f ；（2）记函数)(x f 的最大值为s ，(,,0)s a b c =>，3≥.数学（理科）参考答案一、选择题二、填空题13．8 14．2515．64 16．7(,)2-∞三、解答题17.（1）证明：*+12=6+21()n n a a n n N -∈Q1132n n a a n +∴=+-…………………………………………………………1分111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++∴===+++………………………………5分2nn a ⎧⎫∴+⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为32，公比为3. ……………………………………6分（2）解：由（1）得：111131()3332222n n n n n a a --+=+⨯=⨯=⨯………………………………8分1322n n n a ∴=⨯-………………………………………………………………9分 123123211(3333)(123)2213(13)1(1)3(31)2132244n nn n n S a a a a n n n n n =++++=++++-++++-+-+=-=--L L L L L L 12334n n n +---=………………………………………………………………12分18.解:（1）由2cos 2a C c b -=及正弦定理，得2sin cos sin 2sin A C C B -= ……………1分 即2sin cos sin 2sin()A C C A C -=+ …………………………………………………2分整理得sin 2sin cos C C A -=……………………………………………………………3分因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-………………………………………………………4分又因为(0,)A π∈则23A π=……………………………………………………………6分（没写角的范围扣1分） （2）由（1）知23A π=，又因为6ABC π∠=，所以6C π= 所以AC AB =． …………………………………………………………………………………7分 设AD x =，则2AB x =，在ABD ∆中应用余弦定理，得2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅ ……………9分即277x =，解得1x =，…………………………………………………………………10分故ABC ∆的面积2124sin 323S x π=⋅⋅=． ................................................12分 19.解：（1）∵点S 在底面ABCD 上的射影为点O ，∴SO ⊥平面ABCD ， (1)分Q 四边形ABCD 是边长为2的正方形，2AC ∴=Q 三角形SAC 的面积为1，1212SO ∴⨯⨯=，即1SO =， ……………………2分∴2SC =，Q 2CD =，点P 是SD 的中点，∴CP SD ⊥，同理可得AP SD ⊥ ………………………3分又因为AP CP P =I ，,AP CP ⊂平面PAC∴SD ⊥平面PAC ， ……………………………………………………………………………4分 Q SD ⊂平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面PAC ． ……………………………………5分 （2）如图，连接OB ，易得OB ，OC ，OS 两两互相垂直，分别以OB ，OC ，OS 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()0,0,1S ，()1,0,0D -， …………………………………………6分 假设存在点P 使得二面角P AC D --的余弦值为5不妨设SP SD λ=u u r u u u r，Q 点P 在棱SD 上，∴01λ≤≤， 又()1,0,1SD =--u u u r ， ∴(),0,SP λλ=--u u r，∴(),0,1P λλ--， …………8分设平面PAC 的法向量为(),,x y z =n ，则00AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ，∵(),1,1AP λλ=--u u u r ，()0,2,0AC =u u u r ，∴()1020x y z y λλ⎧-++-=⎪⎨=⎪⎩，令z λ=，可得1x λ=-，∴平面PAC 的一个法向量为()1,0,λλ=-n ， …………………10分 又平面ACD 的一个法向量为()0,0,1OS =u u u r ，二面角P AC D --∴cos ,OS OS OS ⋅===⋅u u u r u u u r u u u rn n n ，即23210λλ+-=， ………………………11分 解得13λ=或1-（舍）.所以存在点P 符合题意，点P 为棱SD 靠近端点S 的三等分点. (12)分 20. 解：（1）2⨯………………………………………3分根据上表数据代入公式可得22100(20301040)500.794 2.7063070604063K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ………4分所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关； ……………………5分(2) (i)由题意知：X 的可取值为5，8，11，15，19，30，则 ………………………6分101)5(==X P ，101)8(==X P ，51)11(==X P ，51)15(==X P ， 207)19(==X P ，201)30(==X P .所以X………………………………………8分111171()581115193014.651010552020E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……………………9分 （2）由题意得1713(14.65)520205P X >=++=…………………………………………10分所以3~3,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭………………………………………………………………………11分所以()()()23233239227812233555255125125P P P C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==+=⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…12分 21. 解：（1）'2()2xf x em =+， ……………………………………………………………1分①当0m ≥时，0)('>x f 恒成立，所以)(x f 在),0(+∞上的单调递增； ……………………2分 ②当20m -≤<时，),,0(+∞∈x 0)('>x f ，所以)(x f 在),0(+∞上的单调递增； ………3分 ③当2m <-时，由0)('=x f 得1ln()022mx =-> 1(0,ln())22mx ∈-时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；1(ln(),)22mx ∈-+∞时，0)('>x f ，)(x f 单调递增； …………4分综上所述：当2m ≥-时，)(x f 在),0(+∞上的单调递增；当2m <-时，)(x f 在1(0,ln())22m-上单调递减，)(x f 在1(ln(),)22m -+∞上单调递增…5分（2）00()1()2x f g x ->0020012xx a e x x e ⇒-->0200112x x a x e +⇒->02001102x a x x e+⇒+-<(*) ………………………………………………………………7分需求一个0x ，使（*）成立，只要求出21()12x a x t x x e+=+-的最小值， 满足min ()0t x <…8分 1()()xt x x a e '=-Q ()t x ∴在()0,ln a -上单调递减，在()ln ,a -+∞上单调递增 …………………………………9分()()2min ()ln ln ln 112a t x t a a a a ∴=-=+-+- ………………………………10分 只需证明()2ln ln 1102a a a a +-+-<在()0,1a ∈内成立即可， 令()()2ln ln 112a a a a a ϕ=+-+- ()21ln 02a a ϕ'⇒=> ……11分()a ϕ∴在()0,1a ∈单调递增()()()211ln 11ln11102a ϕϕ∴<=+⨯-+-=所以min ()0t x <，故存在与a 有关的正常数0ln (01)x a a =-<<使（*）成立 ……12分22. 解：（1）圆C 的方程可化为22(2)(3)8x y -+-=，圆心为(2,3)C ,半径为∴圆C的参数方程为23x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数） …………3分直线l 的极坐标方程可化为sin cos 3ρθρθ+=- cos sin xyρθρθ=⎧⎨=⎩Q ∴直线l 的直角坐标方程为30x y ++= …………5分 （2）法一：设曲线C 上的点P ,3)αα+， …………6分点P 到直线l ：30x y ++=的距离：)24d πα===++ (8)分当54πα=时，min 1)+2PQ =-= …………9分 此时点P 的坐标为(0,1)，所以min PQ =此时点P 的坐标为(0,1). …………10分 法二：曲线C 是以(2,3)C为圆心，半径为 …………6分 圆心(2,3)C 到直线l ：30x y ++=的距离d ==， …………7分所以min PQ ==， (8)分此时直线PQ 经过圆心(2,3)C ，且与直线l ：30x y ++=垂直，1PQ l k k ⋅=-，所以1PQ k =，PQ 所在直线方程为32y x -=-，+1y x =即 …………9分联立直线和圆的方程22+14650y x x y x y =⎧⎨+--+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩ 或 45x y =⎧⎨=⎩ 当PQ 取得最小值时，点P 的坐标为(0,1)所以min PQ =此时点P 的坐标为(0,1). …………10分23. 解：(1)3,1()21,123,2x f x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩， (2)分①当1x ≤-时，31-≤恒成立，所以1x ≤-； ………3分 ②当12x -<<时，211x -≤即1x ≤，所以11x -<≤； ………4分 ③当2x ≥时，31≤显然不成立，所以不合题意；综上所述，不等式的解集为(,1]-∞. ………5分(2) 由(1)知max ()3f x s ==3=………6分由基本不等式可得a cbc ca b bc a ab 222++≥+++++6= ………9分当且仅当1a b c ===3+≥ ………10分。
2020届广东省东莞市高三期末调研测试数学(理)试题
2020届广东省东莞市高三期末调研测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合A B =I （ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅解：由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.，所以{2,3}A B =I .故选：A点评：本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 2．己知()2,m in i m n R i-=+∈，其中i 为虚数单位，则m n +=（ ） A ．1-B ．1C ．3D ．3-解：由题,21m i ni -=-,所以12m n =-⎧⎨=-⎩,则123m n +=--=-,故选：D3．已知向量a r ,b r 满足1a =r ，2a b +=r r ,且a r 与b r的夹角为60︒，则b =r （ ）A ．1B ．3C D 解：由题,2222244441cos 607a b a a b b b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=r r r r r r r r ,解得1b =r,故选：A点评：本题考查向量的模,考查运算能力4．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．3解：由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B.点评：本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.5．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%解：对于选项A,由饼状图可得90后占56%50%>,故A正确；对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的56%39.6%22.176%41%⨯=<,故B错误；对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的56%12.3% 6.888%3%⨯=>,故C正确；对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的56%13.2%7.392%10%⨯=<,故D正确,故选：B点评：本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题6．函数()()311xxef xx e+=-（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．解：由题,()f x 的定义域为{}|0x x ≠,因为()()()()331111x x xx e e f x f x x e x e --++-===---,所以()f x 是偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A 、C ；又因为()()()33311211x x x e f x x x e x e +==+--,则当x →+∞时,3x →+∞,1x e -→+∞,所以()0f x →, 故选：D点评：本题考查函数奇偶性的应用,也可以用特殊值法7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，那么()2log 3f 的值为（ ） A ．13B ．-3C ．3D ．13-解：由题,2log 30>,因为()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()21log 32211log 3log 233f f ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭, 故选：D点评：本题考查函数的奇偶性的应用,考查对数的运算8．如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（ ）A ．57B ．47C ．27D ．17故选：A点评：本题考查概率的计算,考查间接法求概率,属于基础题 9．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()f x 的图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度，得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小值为（ ）A ．6π B ．3π C ．2π D ．π解：将函数()2sin(2)6f x x π=+图象上所有点向右平移(0)θθ>个单位长度得到函数()2sin 2sin 2266y x x ππθθ⎤⎛⎫⎡=-+=-+ ⎪⎣⎥⎦⎝⎭的图象， 令6x π=，得sin 2136y ππθ⎛⎫=-+=±⎪⎝⎭，2,22k k Z ππθπ∴-=+∈，,()2kk Z θπ∴=-∈，0θ>Q则θ的最小值为2π， 故选：C.点评：本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.10．设α是给定的平面，A B ，是不在α内的任意两点．有下列四个命题： ①在α内存在直线与直线AB 异面；②在α内存在直线与直线AB 相交； ③存在过直线AB 的平面与α垂直；④存在过直线AB 的平面与α平行． 其中，一定正确的是（ ） A ．①②③B ．①③C ．①④D ．③④解：由题,对于②,当直线//AB 平面α时,②不成立； 对于④,当直线AB ⊥平面α时,④不成立； 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立, 故选：B点评：本题考查直线与平面的位置关系的判定,熟练掌握直线与平面位置关系的判定定理与定义及推论是解题关键11．已知圆O的半径是P 是圆O 内部一点（不包括边界），点A 是圆O 圆周上一点，且2OA OP ⋅=u u u r u u u r，则()2OA OP +u u u r u u u r 的最小值为（ ）A ．232B ．12C ．252D ．13 解：由题,因为cos ,cos 2OA OP OA OP OA OP OP POA ⋅=⋅⋅=∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r,所以12cos OP POA=∠u u u r ,则当cos 1POA ∠=,即0POA ∠=时,min2OP =u u u r, 因为()(22222222212OA OPOA OP OA OP OP OP +=++⋅=++⨯=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r ,所以当OP u u u r 取得最小值时,()22min25122OA OP+=+=⎝⎭u u u r u u u r , 故选：C点评：本题考查向量的数量积的应用,考查向量的模的应用,考查运算能力 12．已知球O 是正四面体A BCD -的外接球，2BC =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）A ．89πB ．1118πC ．512π D ．49π 解：由题,设平面α为过E 的球O 的截面,则当OE ⊥平面α时,截面积最小, 设截面半径为r ,球的半径为R ,则222r R d =-,因为正四面体棱长为a ,设过点A 垂直于平面BCD 的直线交平面BCD 于点M ,则DM =,令AM h =,OM x =,则x h R =-, 在Rt AMD V 中,222AM DM AD +=,即222h a ⎫+=⎪⎪⎝⎭,则h a =,在Rt OMD V 中,222DM OM R +=,即2223a x R ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,则2221633a a R R ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭, 解得6R a =,则666x a a a =-=, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,因为点E 在线段BD 上,3BD BE =,设BC 中点为N ,则2DM MN =, 所以211333EM BN BC a ===, 在Rt OED △中,222OE OM EM =+,即2222611112372d a a a ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以222261124729r a a a ⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭, 因为2a BC ==, 所以289r =, 所以截面面积为289S r ππ==, 故选：A点评：本题考查三棱锥的外接球问题,考查空间想象能力与转化思想,考查运算能力二、填空题13．“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入n 的值为6，则输出i 的值为_______．解：当6n =时,是偶数,则632n ==,011i =+=； 当3n =时,不是偶数,则33110n =⨯+=,112i =+=； 当10n =时,是偶数,则1052n ==,213i =+=； 当5n =时,不是偶数,则35116n =⨯+=,314i =+=； 当16n =时,是偶数,则1682n ==,415i =+=； 当8n =时,是偶数,则842n ==,516i =+=； 当4n =时,是偶数,则422n ==,617i =+=；当2n =时,是偶数,则212n ==,718i =+=故答案为：8点评：本题考查循环结构,其中根据已知的程序流程图分析出程序的功能是解答本题的关键14．已知2cos(2)65πα+=-，则sin(2)3πα-=___________ 解：sin(2)sin(2)cos(2)366522ππππααα-=+-=-+=，故答案为：25.点评：本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，关键是要找到已知角和未知角之间的关系，将未知角用已知角表示出来，是基础题.15．若()()431ax x ++展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．解：由题,x 的系数为104431213C aC a +=+=,则1a =,所以原式为()()431x x ++,令1x =,则展开式中各项系数和为()()4311164+⨯+=, 故答案为：64点评：本题考查二项式定理的应用,考查利用赋值法求二项式展开式各项系数和16．已知函数()111211x x e e x f x x x --⎧-≤⎪=⎨-->⎪⎩，，（其中e 为自然对数的底数），则不等式()()10f x f x +-<的解集为_____．解：由题,欲解()()10f x f x +-<,即()()1f x f x -<-,()22,2131,2x x e e x f x x x --⎧-≤⎪-=⎨-->⎪⎩,()111211x x f e x x e x x --⎧-≤⎪⎨--+>⎩+=⎪-，，,当2x ≤时,()1f x -单调递增,()()max 120f x f -==,()f x -在(],1-∞单调递减,在(]1,2上单调递减,则()()min 10f x f -==⎡⎤⎣⎦,所以满足()()1f x f x -<-,当2x >时,()f x -单调递减,()1f x -在()2,3上递减,在()3,+∞上递增, 则另()()1f x f x -=-,即3121x x --=--+,解得72x =, 所以当722x <<时,()()1f x f x ->-, 综上,72x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，,故答案为：72⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，点评：本题考查利用函数单调性解不等式,考查分类讨论思想,考查指数型函数的应用三、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =且()*12621n n a a n n N +=+-∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．解：（1）证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132n n a a n +=+-, ∴111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++, 11131222a +=+=Q ,∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为32,公比为3（2）解：由（1）得,13133222n n n n a -+=⨯=⨯,∴1322n n na =⨯-, 123n n S a a a a =++++……()()12311333312322n n =++++-++++…………。
广东省东莞市金石中学2020年高三数学理期末试题含解析
广东省东莞市金石中学2020年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为（）A．{1，2} B．{1，3} C．{2，3} D．{1，3，9}参考答案：A【考点】程序框图．【分析】分别令a=1，2，3，求出对应的y的值即可．【解答】解：若a=1≤2，此时a=3＞2，y=1，输出1，若a=2≤2，此时a=9＞2，y=2，输出2，若a=3＞2，此时y=1，输出1，故输出的集合是{1，2}，故选：A．2. “”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件参考答案：C略3. 在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为（）A．B． C. D．参考答案：D4. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）（B）（C）（D）参考答案：D题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。
5. 设圆锥曲线的两个焦点分别为、，若曲线上存在点满足：：=4：3：2，则曲线的离心率等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：D因为：：=4：3：2，所以设，，。
因为，所以。
若曲线为椭圆，则有即，所以离心率。
若曲线为双曲线圆，则有即，所以离心率，所以选D.6. 若变量x,y满足约束条件则目标函数Z==x+2y的取值范围是A. [2,6]B. [2,5]C. [3,6]D. [3,5]参考答案：A略7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真的是（）A．若，且，则B．若，且，则C．若，且，则D．若，且，则参考答案：A试题分析：由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理可得答案A是正确的,其余答案都是错误的.故应选A.考点：空间的线面位置关系的判定与性质的运用.8. 命题，命题当时，对任意恒成立，则（）A．“”为假命题；B．“” 为真命题；C．““为假命题；D．“”为真命题参考答案：D9. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A． B． C．D．参考答案：B10. i是虚数单位，复数=( )A．B．C．D．参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数==，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 与直线相切，且与圆相内切的半径最小的圆的方程是参考答案：略12. 若函数y=f(x)的图象与函数g(x)=()x-1的图象关于原点对称，则f(2)=______. 参考答案：13. 某高中有学生2000人，其中高一年级有760人，若从全校学生中随机抽出1人，抽到的学生是高二学生的概率为0.37，现采用分层抽（按年级分层）在全校抽取20人，则应在高三年级中抽取的人数为．参考答案：5【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义和性质，建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级学生的概率为0.37，∴则高二人数为0.37×2000=740人，高三人数为2000﹣760﹣740=500人，则从高三抽取的人数为=5人，故答案为：5．14. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为．参考答案：15. （5分）（2014秋?赤坎区校级月考）若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2=b2=2．则a5b5= ．参考答案：80【考点】：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由已知结合等差数列和等比数列的通项公式求得等差数列的公差和等比数列的公比，然后求得a5，b5，则答案可求．解：由等差数列{a n}满足a1=1，a2=2，得d=1，∴a5=5，等比数列{b n}满足b1=1，b2=2，得q=2，∴b5=24=16，∴a5b5=80．故答案为：80．【点评】：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础的计算题．16. 设的内角的、、对边分别为，且满足，则参考答案：417. 已知向量，，则向量在方向上的投影为．参考答案：﹣3【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的数量积的几何意义求向量的投影．【解答】解：因为向量，，则向量在方向上的投影为；故答案为：﹣3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试
题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，则集合
（）
A．B．C．D．
2. 已知，其中为虚数单位，则（）
A．B．1 C．3 D．
3. 已知向量,满足，,且与的夹角为，则
（）
A．1 B．3 C．D．
4. 已知数列为等差数列，为其前项和，，则
（）
A．B．C．D．
5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（）
整个互联网行业从业者年龄分布饼状图90后从事互联网行业者岗位分布图
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
C．互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%
6. 函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（）
A．B．C．D．
7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么
的值为（）
A．B．-3 C．3
D．
8. 如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（）
A．B．C．D．
9. 已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（）A．B．C．
D．
10. 设是给定的平面，是不在内的任意两点．有下列四个命题：
①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；
③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行．
其中，一定正确的是（）
A．①②③B．①③C．①④D．③④
11. 已知圆的半径是，点是圆内部一点（不包括边界），点是圆圆周上一点，且，则的最小值为（）
A．B．12
C．
D．13
12. 已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且
，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（）A．B．C．D．
二、填空题
13. “角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研
究角谷定理的一个程序框图．若输入的值为6，则输出的值为
_______．
14. 已知，则___________
15. 若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．
16. 已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式
的解集为_____．
三、解答题
17. 已知数列中，且
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和．
18. 如图，在中，内角所对的边分别为，且
．
（1）求角A的大小；
（2）若，边上的中线的长为7，求的面积．
19. 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．
（1）若点是的中点，求证：平面平面；
（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
20. 东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一
（小
时）
频数
100 100 200 200 350 50
（车
次）
区间的概率．
（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的列联表：
男女合计
不超过6
30
小时
6小时以上20
合计100
完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？
（2）（i）表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求的概率分布列及期望；
（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
21. 已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）求的单调性；
（2）若，对于任意，是否存在与有关的正常数
，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．
22. 在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为
．
（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；
（2）设点在上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．
23. 已知函数．
（1）解不等式；
（2）记函数的最大值为，若，证明：．。