第36课时圆的计算
人教版六年级数学上册第五单元《圆的面积》复习课件
计算下面各圆的周长和面积。
r = 3 cm
C = 2×3.14×3
= 18.84（cm）
S = 3.14×32
= 28.26（cm2）
公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，它 能喷灌的面积是多少？
S = πr2
= 3.14×102 = 3.14×100 = 314（m2）
提 升 点 2 寻找隐含条件求圆的面积
5．(易错题)如图，正方形的面积是18 cm2，这个圆 的面积是多少平方厘米？
3.14×18＝56.52(cm2) 答：这个圆的面积是56.52 cm2。
点拨：正方形的面积是18 cm2，且由图可知正 方形的边长等于圆的半径，所以圆的面积是 3.14×18＝56.52(cm2)。
7．明明发现，将一个圆转化成梯形也可以推导出 圆的面积公式。如图，计算圆的面积。
7.85÷156＝25.12(cm) 3．14×(25.12÷3.14÷2)2＝50.24(cm2) 答：圆的面积是50.24 cm2。
点拨：根据圆的面积公式推导过程可知，把一个 圆平均分成16份，沿半径剪开后，拼成一个近似
.
8cm
3.14×(122 - 82) = 3.14×(144 - 64) = 3.14×80 = 251.2（cm²） 答：圆环的面积是251.2cm2。
右图中的铜钱直径28mm，中间的正方形边长为6mm。 这个铜钱的面积是多少？
r = 28÷2 = 14（mm） 3.14×142 - 62
= 3.14×196 - 36 = 615.44 - 36 = 579.44（mm²） 答：这个铜钱的面积是579.44mm2。
3分线的长度 = 2×3.14×6.75÷2 + 1.575×2 = 21.195 + 3.15 = 24.345 ≈ 24.35（m） 答：3分线的长度是24.35m。
北师大版六年级第一单元圆的知识点、考点整理(黄海成)(word文档物超所值)
3、下列图形中，对称轴最多的图形是（）A、长方形B、正方形C、圆形4、下列图形中，对称轴最少的图形是（）A、长方形B、正方形C、圆形六、考点6：圆的周长、圆周率、直径（半径）的概念和关系。
1、圆（）的长度就是圆的周长。
圆的周长总是直径的（）倍，圆的周长除以直径的商（圆的周长与直径的比值）是一个（）,我们把它叫做（）,用字母（）表示,π是一个（），为了计算简便，通常取近似值（）。
判断：1、圆的周长是它直径的3.14 倍。
（）2、圆的周长是它半径的6.28倍。
（）3、两个圆的周长不同，是因为它们的（）。
A、圆心的位置不同B、圆周率不同C、半径不同七、考点7：圆的周长公式及其应用。
（一）、告诉直径，求周长。
1、一个直径是10米的圆形花坛，它的周长是（）米。
2、一种压路机的前轮直径是1.6米，每分钟转10圈，压路机每分钟前进多少米？（二）、告诉半径，求周长。
1、一种钟表时针长5厘米，走一昼夜走了（）。
2、一个挂钟的时针长3厘米，一昼夜这根时针的尖端走了（）A、18.84cmB、37.68cmC、75.36cm3、汽车车轮的半径是0.3米，它滚动1圈前进多少米？滚动1000圈前进多少米？（三）、告诉周长，求直径。
1、一根长25.12分米的绳子正好绕一树干10圈，这个树干的直径是（）分米。
2、用一个硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周，经过的距离是15.7dm，这个圆的直径是（）。
3、一根长12.56米的绳子正好绕一树干10周，树干横截面的直径是多少？（四）、告诉周长，求半径。
1、用圆规画一个周长是25.12cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（）。
A、8cmB、4cmC、2cm2、用圆规画一个周长是18.84cm的圆，圆规两脚之间的距离应是（）。
A、6cmB、3cmC、4cm3、某景点有一棵古树，周长35分米的绳子绕它一圈，还剩下3.6分米，你能计算出这棵古树横截面的半径吗？八、考点8：圆的面积公式及其应用。
（一）、告诉半径，求面积。
圆的面积计算公式创新教法
［摘要］利用切分重组法来推导圆的面积计算公式，一直是圆的面积教学多年来沿袭下来的“古方”，在其中初步渗透极限思想已成为教学的最大亮点。
为了打破圆形与多边形面积求法理论割裂的尴尬局面，利用圆形与正方形的关联性展开教学，将圆形置于整个面积求法的大背景下，使学生对圆的面积计算公式的认识更加全面深刻。
［关键词］圆的面积；计算公式；极限思想［中图分类号］G623.5［文献标识码］A［文章编号］1007-9068（2018）20-0026-02“圆的面积”是小学几何学习的重点，它是平面线条由直线向曲线过渡的知识转折，线条由直到曲，需要学生的思维有一些突破。
理论上，曲边形应该采用微积分知识求面积，教材采用的实验法推导面积公式，间接渗透了极限思想。
推导出圆的面积计算公式后，教材编排了两道公式应用类习题。
课后，笔者进行了后测。
后测试题如下：（1）如图1，若正方形的面积为36cm2，则圆的面积是多少？（2）若正方形的面积为20cm2，则圆的面积是多少？答题情况如下表。
题号错误人数总人数出错率典型错误第（1）题109011.11%（1）r=36÷4=9cm，3.14×92=3.14×81=254.34cm2。
（2）r=6cm，3.14×62=3.14×12=37.68cm2。
第（2）题759083.33%r=20÷4=5cm，3.14×52=3.14×25=78.5cm2。
一、分析诊断在学习“圆的面积”之前，学生已经学过了简单的平面几何图形的面积，并能够说明白什么是面积。
于是在教学“圆的面积”时笔者就没有复习面积的概念。
后测结果显示，当正方形面积为20cm2时，学生求出正方形的边长为5cm，其实是将面积与周长概念混淆了。
后测数据显示，学生能顺利将平方数“36”分解成6cm×6cm，求出正方形的边长为6cm，观察图形可知，正方形边长等于圆形半径，然后根据圆的面积公式S=πr2，代入数据即可求出圆的面积。
圆面积的解决问题,六年级上册,第36课时
第36课时圆面积的解决问题学习内容课本第69～70页例3，生活中的数学，第73页练习十五第12题。
学习目标学会圆的面积知识解决“外方内圆”和“外圆内方”的问题。
课文讲解例3，解决问题。
“外方内圆”和“外圆内方”的问题，要求正方形和圆之间部分的面积。
引导孩子通过图示寻找正方形和圆之间的关系，探索解决问题的一般规律，并进行化简得出进一步的数学结论。
“做一做”，第1题，巩固练习。
“生活中的数学”，介绍圆在生活中的应用。
圆、圆环的面积计算，是本课的学习基础。
“外方内圆”和“外圆内方”中正方形和圆的面积，是本课的新知。
辅导精要略读课文，了解课文的主要词语：外方内圆，外圆内方。
例3，读题，“外方内圆”、“外圆内方”分别与插图连线，在插图指出“正方形和圆之间部分的面积”。
读步骤。
解决问题有三步骤：“阅读与理解——分析与解答——回顾与反思”。
第一步，阅读与理解。
摘抄条件和问题：两个圆半径都是1m，要求是正方形和圆之间部分的面积。
结合插图理解，左图求的是正方形比圆多的面积，右图求是圆比正方形多的面积。
批注公式：S＝a2，S＝πr2。
第二步，分析与解答。
引导孩子画示意图，分析正方形与圆的关系。
外方内圆。
画边长是4cm的正方形，把正方形对折再对折，找出圆心，画半径是2cm 的圆。
在正方形和圆之间那部分的面积涂色。
分析。
a＝d＝2r，在图标出r＝1m，a＝2m。
这是在正方形里画一个最大的圆。
列式计算。
22－3.14×12＝4－3.14＝0.86（m2）。
外圆内方。
画半径是2cm的圆，画互相垂直的两条直径，直径的端点连接成正方形。
在正方形和圆之间那部分的面积涂色。
分析。
在图中标出所有r＝1m；正方形的边长是未知数，但分成了4个三角形，三角形的a＝h＝1m。
2个同样的三角形可拼成一个小正方形。
这是在圆里画一个最大的正方形。
列式计算。
3.14×12－12×2＝3.14－2＝1.14（m2）。
第三步，回顾与反思。
第36讲-轨迹方程解析版
第36讲 轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程 一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。
二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。
三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式。
【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A ，B 的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-.（1）求P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M ､N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积. 【解析】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ， 由题意知(23333AP BP k k x x x ⋅==-≠+-，化简得P 的轨迹方程为(221332x y x +=≠（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//,//AP OM BP ON ， 则直线,AP BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅.因为//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k =-设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y +=，得()222324260m y mty t +++-=....①，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m -+=-=++ 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅===+++-， 所以222262363t t m -=--，得22223t m =+又1212△MONS t y y =-=，所以△MON S =，即MON △例2．（2022·全国·高三专题练习）动点P 到定点()0,1F 的距离与到定直线4y =的距离之比为定值12.（1）求动点P 的轨迹方程：（2）若直线l 与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，且线段MN 被直线210x +=平分，求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】（1）设点()P x y ，12=两边平方，整理得22134x y += 所以动点P 的轨迹方程为22134x y +=；（2）联立22210134x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设点()11M x y ，，()22N x y ，，MN 的中点为012Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0y <<1212012x x y y y +=-⎧⎨+=⎩， 又因为点()11M x y ，，()22N x y ，都在椭圆22134x y+=上，则22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 将上述两个等式作差得22221212034x x y y --+=.则2212221243y y x x -=-- 则()()()()1212121243y y y y x x x x -+⋅=--+，即()()120122413y y y x x -⋅=---所以()0423k y ⋅-=-，即02233333k y ⎛⎛⎫=∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 所以直线l 的斜率的取值范围是23333⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆C ：()22116x y ++=，点1,0A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点()0,1B -作直线MN 交点Q 的轨迹于M ､N 两点，设线段MN 的中点为H ，判断线段AH 与HM 的大小，并证明你的结论. 【解析】（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =. 又4CP CQ QP =+=，∴42CQ QA CA +=>=.∴点Q 的轨迹是以坐标原点为中心，()1,0C -和1,0A 为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2a =，221a b -=∴23b =，∴点Q 的轨迹方程为22143x y +=.（2）结论是：AH HM ≤.①当直线MN 的斜率不存在时，1AH =，HM AH HM <； ②当直线MN 的斜率k 存在时，设MN ：1y kx =-代入到22143x y +=，化简得()2243880k x kx +--=，设()11,M x y ，()22,N x y 则122843k x x k +=+，122843x x k -=+， 此时()111,AM x y =-，()221,AN x y =-，∴()()()()()()12121212111111AM AN x x y y x x kx kx ⋅=--+=--+--()()()()2212122281811(1)224343k k k k x x k x x k k -⋅+⋅+=+-+++=-+++ 222218882204343k k k k k ⎛⎫-+ ⎪---⎝⎭==≤++. ∴90MAN ∠≥︒，点A 在以MN 为直径的圆上或圆的内部，所以AH HM ≤. 综上所述，AH HM ≤.例4.（2021·全国·高三专题练习）点B 是椭圆22221x y a b+=上的动点，(2,0)A a 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为（x ，y ），设B 点坐标为（x 0，y 0）， 则由M 为线段AB 中点，可得00002222202x ax x x a y y y y+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，即点B 坐标可表示为（2x －2a ，2y ）， 因为点B （x 0，y 0）在椭圆22221x y a b+=上，2200221x y a b∴+=， 从而有2222(22)(2)1x a y a b-+=， 整理得动点M 的轨迹方程为22224()41x a y a b-+=.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 【详解】设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2）(1)(2)-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y yy y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 由于弦中点轨迹在已知椭圆内， 联立22412340x y x x y ⎧+=⎪∴=±⎨⎪+=⎩故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：4440()33x y x +=-≤≤例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点(A且与圆(22:12B x y +=相内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程D .（2）直线l 过原点，且与轨迹D 有两个交点,M N .轨迹D 上是否存在一点Q ，使△QMN 为正三角形，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则由条件知：||,||PB r PA r ==，故||||PA PB +=因此，P 的轨迹是以A B ，为焦点，长轴长为.故圆心P 的轨迹方程D 为：2213x y +=.（2）解法一：若直线l 的斜率存在且不为零. 故可设:l y kx =.直线OQ 方程为：1=-y x k由222233313x y x MN k y kx ⎧+=⇒=⇒=⎨+=⎩||MN =同理，得||OQ ==因22|||3913OQ MN k k =⇔=⇔+=+，此时无解. 若直线的斜率为零，此时也无解.若直线的斜率不存在，可求出(Q .故Q的坐标为(0) 解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设1122(cos ,sin ),(cos(),sin())22M r r Q r r ππθθθθ++，代入椭圆方程，得222221112cos 3sin 1312sin r r r θθθ+=⇒=+ 同理222312cos r θ=+，由|||OQ OM =得cos 0θ=，故存在这样的点Q，其坐标为(0).例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在ABC中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程.【详解】由已知得()()22,0,22,0A B -， ∵2sin sin 2sin A C B +=，∴由正弦定理得:22BC AB AC +=， ∴1222AC BC AB AB -==<， ∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹以,A B 为焦点，以22为实轴长的双曲线的右支（除去与x 轴的交点）， ∴2,22,6a c b ===，∴顶点C 的轨迹方程为()221226x y x -=>.故答案为：()221226x y x -=>.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点．(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．【解析】（1）设00(,)A x y ，则矩形ABCD 的面积004S x y =. 由220019x y +=得220019x y =-，从而 22222200000199(1)()9924x x y x x =-=--+当2092x =，2012y =时，max 6S =.从而t ABCD 的面积最大，最大面积为6.（2）证明：由00(,)A x y ，00(,)B x y -，1(3,0)A -，2(3,0)A 知直线1AA 的方程为0(3)3yy x x =++① 直线2A B 的方程为00(3)3y y x x -=--② 由①②得22020(9)9y y x x -=--③ 又点00(,)A x y 在椭圆C 上，故220019x y =-④将④代入③得2219x y -=(3,0)x y <-<因此点M 的轨迹方程为2219x y -=(3,0)x y <-<.【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点(3,0)P ，求椭圆的标准方程；（2）ABC 两个顶点,A B 的坐标分别是(6,0),(6,0)-，边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程. 【答案】（1）2219x y +=或221819y x+=，（2）2213616x y +=（6x ≠±），【分析】（1）由题意可得3a b =，然后分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况设出椭圆的方程，再将(3,0)P 代入方程中可求出,a b 的值，从而可求出椭圆的标准方程；（2）设点C 的坐标，再由,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，列方程可求出结果【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以3a b =，若焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9x y b b b+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得1b =，所以椭圆的方程为2219x y +=，若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9y x b bb+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得3b =， 所以椭圆的方程为221819y x +=，所以椭圆的标准方程为2219x y +=或221819y x +=，（2）设点C 的坐标为(,)x y （0y ≠）， 因为边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，所以4669y y x x ⋅=-+-，化简得2249144x y +=，即2213616x y +=（6x ≠±）， 所以顶点C 的轨迹方程2213616x y +=（6x ≠±）， 2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．求动点M 的轨迹方程. 【答案】22(0)y x x =≥和0(0)y x =< 【分析】设出点M 的坐标，根据题意列出,x y 所满足的方程，化简方程可求得M 的轨迹方程. 【详解】设(,)M x y 1||2x =+两边平方可得：211||44x y x -++=+当0x ≥时，化简可得22(0)y x x =≥， 当0x <时，0y =，所以曲线M 的轨迹方程为22(0)y x x =≥和0(0)y x =<.3．（2021·全国·高三专题练习）过点()1,0A -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于P 、Q 两点.求线段PQ 的中点B 的轨迹方程.【答案】()2221y x x =+>【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y ，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ 的中点B 的轨迹方程. 【详解】解：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y代入得()()()211121212222444y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩， 化简得()224211yy y x x ⋅=⇒=++， 又224122y xx y x ⎧=⇒=⎨=+⎩， 所以线段PQ 的中点B 的轨迹方程为()2221y x x =+>.4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2.（1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2). 【分析】（1）由|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程； （2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－2). 【详解】（1）由题知，|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y .（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y r x -＋22y rx -＝0由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－811y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2k r -＝0故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2). 【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设出其坐标.5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆A ：22(2)1x y ++=与点0(2)B ，，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．（1）PAB △的周长为10；（2）圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；（3）圆P 与圆A 外切，且与直线1x =相切(P 为动圆圆心)．【答案】（1）()221095x y y +=≠；（2）224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；（3）28y x =-【分析】（1）由题意可得到64PA PB AB >=+=，再根据椭圆的定义即可求解； （2）由题意可得到14P A B B A P -=<=，再根据双曲线的定义即可求解； （3）根据抛物线的定义即可求解.【详解】解：（1）由题意知：10PA PB AB ++=， 又4AB =，64PA PB AB ∴+=>=，故P 点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且26a =，24c =， 即3a =，2c =，5b =∴动点P 的轨迹方程为：()221095x y y +=≠； （2）设圆P 的半径为r ，则1PA r =+，PB r =，114r r A B AB P P ∴-=+-=<=，由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支， 且21a =，24c =， 即115,2,2a c b ===，∴动点P 的轨迹方程为：224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭， （3）由题意知：动点P 到定点A 的距离等于到定直线2x =的距离， 故其轨迹为抛物线，且开口向左，4p =， ∴动点P 的轨迹方程为：28y x =-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义.6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知1(0)2A -，，B 是圆：221()42x y -+=(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 【答案】22413y x +=.【分析】先根据题意可知PF PB +正好为圆的半径，而PA PB =，进而可知2PF PA +=．根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，根据A 、F 求得a ，c ，进而求得b ，答案可得． 【详解】作图，则PA PB =，2PF PB +=， ∴2PF PA +=且大于1AF =，即动点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，1a =，12c =，234b =，所以动点P 的轨迹方程为22413y x +=.7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】x 2-28y =1(x ≤-1) 【分析】设动圆的半径为R ,根据圆外切的条件得到|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3,消去R ,得到|MC 2|-|MC 1|=2,根据双曲线的定义得到M 的轨迹，并由定义得到,a c 的值，进而得到方程. 【详解】依题意,知圆C 1的圆心为C 1(-3,0),半径为1,圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径为3. 设动圆的半径为R ,则|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3, 所以|MC 2|-|MC 1|=2<|C 1C 2|,因此,圆心M 的轨迹是以C 1,C 2为左、右焦点的双曲线的左支, 且1,3a c ==, 所以2228b c a =-=.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤-1). 【点睛】本题考查双曲线的定义与标准方程，关键是利用圆相外切的条件，转化为动点到两定点的距离之差等于定值，另外要准确全面掌握双曲线的定义，这里表示的是双曲线的一支. 8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?【答案】2213627x y +=；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程． 【详解】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设圆22650x y x +++=和圆226910x y x +--=的圆心分别为1O 、2O ， 将圆的方程分别配方得：圆()221:34O x y ++=，圆()222:3100O x y -+= 当动圆M 与圆1O 相外切时，有12O M R =+ …① 当动圆M 与圆2O 相内切时，有210O M R =-…②将①②两式相加，得121212O M O M OO +=>，∴动圆圆心(,)M x y 到点10()3,O -和2()3,0O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为点10()3,O -、2()3,0O ，长轴长等于12的椭圆． 设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ； ∴26,212c a ==， ∴3,6c a == ∴236927b =-=∴动圆圆心轨迹方程为2213627x y +=，轨迹为椭圆． 【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．9．（2020·全国·高三（理））已知点M 与两个定点00O (，)，(30)A ，的距离的之比为12. （1）求点M 的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）求点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】（1）点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆；（2）max 2d =，min 2d =【分析】（1）设(),M x y ，利用点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，建立方程，化简可得结果；（2）先求出圆心到直线2130x y +-=的距离d ，最大值为d r +，最小值为d r -. 【详解】（1）设(),M x y ，∵点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，12=，化简可得()2214x y ++=， 即点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆.（2）圆心(1,0)-到直线2130x y +-=距离为d ==点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值为2d r +=，最小值为2d r -=. 【点睛】本题主要考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，且该双曲线过点(2,2). （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1､F 2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程. 【答案】（1）221312x y -=.（2）223x y += 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果； （2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点P 满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程. 【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y =±2x ， 则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2=λ，(λ≠0)， 点(2,2)代入得：λ=12， 则双曲线方程为：4x 2﹣y 2=12， 即22312x y -=1. （2）∵F 1,F 2是双曲线22312x y -=1的左右焦点， 过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ， 并且交AF 1于Q ，连接OP ， 如下图所示：则11,2OP FQ OP =//1F Q ， 显然2AQP AF P ∆≅∆ 故|AQ |=|AF 2|，∴|F 1Q |=|AF 1|﹣|AQ |=|AF 1|﹣|AF 2|=2a ， ∴|OP |=a 3=由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 3 所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2=3. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题. 11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的长轴长为220，1）的直线l 与M 交于A ，B 两点，且AP PB =． （1）求M 的方程；（2）求点P 的轨迹方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）x 2+2y 2＝2y ．【分析】（1）根据题意2a ＝222c a =，解方程组即可求解. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线与椭圆联立，求出交点坐标，再根据中点坐标公式消k 即可求出轨迹方程. 【详解】（1）由题意可知，长轴长2a ＝a =e c a ==， 则c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝1，所以椭圆M 的方程为2212x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ）， 联立方程组22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得（1+2k 2）x 2+4kx ＝0， 解得x 1＝0，x 22412k k -=+，y 1＝1，y 2221212k k -=+，由题意可知，P 为AB 的中点，所以22212112k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去k ，整理得x 2+2y 2＝2y ，当斜率不存在时，A （0，1），B （0，﹣1）， 则P （0，0），满足x 2+2y 2＝2y ， 所以点P 的轨迹方程x 2+2y 2＝2y ． 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及求曲线的轨迹方程，属于中档题.12．（2020·全国·高三专题练习）设(1,0)F ，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且2MN MP =，PM PF ⊥，P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程；【答案】24(0)y x x =≠ 【分析】根据且2MN MP =，可得P 为MN 的中点，利用PM PF ⊥，可得0PM PF =，从而可得点N 的轨迹C 的方程； 【详解】解：设(,)N x y ，则由2MN MP =，得P 为MN 的中点， 又因为点M 在x 轴上，点P 在y 轴上， 所以(,0)M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭,2x PM y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1,2PF y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又PM PF ⊥，∴0PM PF = 022y y x ⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24(0)y x x ∴=≠；【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，属于基础题．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【分析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用0∆>求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE ，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x 由12DM DP =知：(),2P x y点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C是以()，)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640k k k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k +=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭又(),OE x y = ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-= 215k < ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭ ∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围.14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点(2,0)E -，(2,0)F ，(,)P x y ，是平面内一动点，P 可以与点,E F 重合.当P 不与,E F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为14-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）[8,10].【分析】（1）当P 与点,E F 不重合时，根据直线PE 与PF 的斜率之积为14-，直接可求出动点P 的轨迹方程；当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P ，最后写出动点P 的轨迹方程； （2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1d =同理：2241n k +=，矩形的另一边长为2d =12S d d =⋅=(]48,10=，综上：[]8,10S ∈. 【详解】解：（1）当P 与点,E F 不重合时， 14PE PFk k ⋅=-，得1224y y x x ⋅=-+-，即()22104x y y +=≠，当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P . 综上，动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1221m d k =+，同理：2241n k+=，矩形的另一边长为22211nd k =+， 122222111m n S d d k k =⋅=⋅=++()()()222224144411kk mnk k k ++=⋅++()()42222224174944411k k k k k ++=⋅=⋅+++(]229448,1012k k=⋅+∈++， 综上：[]8,10S ∈. 【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x 的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC 表示成0x 的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：， 同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号， 所以面积的最小值为8.16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【答案】221(0)43x y y +=≠. 【解析】试题分析：借助题设条件运用椭圆的定义及圆的几何性质进行探求. 试题解析：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠． 考点：圆的几何性质及椭圆的定义等有关知识的综合运用．17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(1,2)M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．【答案】250x y -+=． 【解析】试题分析：借助题设条件运用代点消元的思想进行探求. 试题解析：由题意知，M 为PQ 中点，设(,)Q x y ，则P 为(2,4)x y ---，代入230x y -+=， 得250x y -+=．考点：代点消元法求轨迹方程的运用．18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线2212y x -=．过21A （，）的直线与双曲线交于两点1P 及2P ，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程． 【答案】22240x y x y --+= 【分析】设()()111222,,,P x y P x y ，代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P 的轨迹方程．再讨论斜率不存在时是否满足方程即可． 【详解】设()()111222,,,P x y P x y ，代入方程得222212121,122y y x x -=-= 两式相减得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 又设中点P(x y)， 将12122,2x x x y y y +=+=代入，当12x x ≠时得12122202y y y x x x --⋅=- 又121212y y y k x x x --==--代入得22240x y x y --+=当弦12P P 斜率不存在时，其中点20P （，）的坐标也满足上述方程 因此所求轨迹方程是 22240x y x y --+= 【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，属于基础题． 19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点． （1）求ABF ∆的重心G 的轨迹方程； （2）如果2,m ABF =-∆求的外接圆的方程． 【答案】解：①设，，，重心，∴△＞0＜1且（因为A 、B 、F 不共线）故∴重心G 的轨迹方程为（6分）②，则，设中点为∴∴那么AB 的中垂线方程为令△ABF 外接圆圆心为又，C 到AB 的距离为∴∴∴∴所求的圆的方程为（7分）【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，重心G (x ，y )，24{0y x x y m ＝，－＋＝⇒y 2－4y ＋4m ＝0， ∴Δ>0⇒m <1且m ≠－1(A ，B ，F 不共线)， 故12121212152333{433x x y y m mx y y y ＋＋＋－＋－＝＝＝，＋＝＝∴重心G 的轨迹方程为y ＝47133x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且.(2)若m ＝－2，则y 2－4y －8＝0，设AB 中点为(x 0，y 0，) ∴y 0＝122y y ＋＝2，∴x 0＝y 0－m ＝2－m ＝4， 那么AB 的中垂线方程为x ＋y －6＝0， 令△ABF 的外接圆圆心为C (a,6－a )， 又|AB |211k+y 1－y 2|＝6C 到AB 的距离为d 282a －|CA |＝|CF |⇒6)2＋22＝(a －1)2＋(6－a )2⇒a ＝192， ∴C 点的坐标为197,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴|CF |2＝172⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋72⎛⎫⎪⎝⎭2＝1692，∴所求的圆的方程为192x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋72y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＝1692. 20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹方程. 【答案】2240x y x +-= 【分析】先设(,)P x y 2222(2)2(1)x y x y ++-+.【详解】 设(,)P x y ，因为(2,0)A -、(1,0)B ，且2PA PB =，= 整理得2240x y x +-=.即点P 的轨迹方程为2240x y x +-=. 【点睛】本题主要考查轨迹方程，熟记求轨迹方程的一般步骤即可，属于基础题型.21．（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221259x y +=（0y ≠）． 【分析】根据题意可得10BC AC AB +=>，则点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点，求得,,a b c 即可得出答案. 【详解】解：∵ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，周长为18， ∴8AB =，10BC AC +=， ∵108BC AC +=>，∴点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值，且定值大于A ，B 两点间距离， ∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点， ∵210a =，28c =，∴3b =，∴顶点C 的轨迹方程是221259x y +=（0y ≠）．22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程E ；（2）若直线(1)x t t =≠与轨迹E 交于A ，B 两点，直线2BC 交轨迹E 于另一个点M ，连接AM 交x 轴于点N ，试探究；是否存在t ，使得2MC N 的面积等于94？若存在，求出全部的t 值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）221(2)43x y x +=≠（2）存在，137t = 【分析】（1）设动圆P 的半径为r ，根据题意得动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，再根据圆1C 与圆2C 内切于点()2,0，进而得方程221(2)43x y x +=≠； （2）设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，进而根据M ，A ，N 三点共线和221x my =+得121221()N my y x y y =+*+，再联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并结合韦达定理得4N x =，再结合面积得1=M x ，进而得1M x =-，310AM k =，再求解得存在唯一137t =满足题意.（1）解：221:(1)9C x y ++=，222:(1)1C x y -+=设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切所以1231PC r PC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，12124PC PC C C ∴+=>，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，又因为圆221:28C x y x ++=与圆222:20C x y x +-=内切于点()2,0，所以动圆圆心P 的轨迹方程为：221(2)43x y x +=≠ （2）解：设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，则11(,)A x y -∵M ，A ，N 三点共线AM AN k k ∴=，即211211N y y y x x x x +=--，整理得121112()N y x x x x y y -=++ 又221x my =+代入，121221()N my y x y y =+*+ 联立22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩122634my y m -∴+=+，122934y y m -=+ 代入()*可得4N x =， 又229342MC NSy =⇒=，21x =， 因为1t ≠，所以21x ≠-，故21x =-，11310AM N y k x x ∴==±-，由对称性，不妨取310AM k = 3:(4)10ANl y x ∴=-代入椭圆22143x y +=，得276130x x --=1137M x x ∴⋅=-，1137x ∴=， ∴存在唯一137t =满足题意。
2024年高考数学总复习第九章直线和圆的方程真题分类36圆的方程
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真题分类36 圆的方程
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真题分类36 圆的方程
高考·数学
Ⅱ.利用几何法或待定系数法求圆的方程 2．(2015·课标全国Ⅱ，7，5 分)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|＝( ) A．2 6 B．8 C．4 6 D．10
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答案：(x－2)2＋(y－3)2＝13 或(x－2)2＋(y－1)2＝5 或(x－43 )2＋(y－73 )2＝695 或(x－85 )2＋(y－1)2＝12659 (以上任一方程或对应的一般方程均可)
设点 A(0，0)，B(4，0)，C(－1，1)，D(4，2)，圆过其中三点共有四种情况．
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＝
65 3
，所以圆的方程为(x－43
)2＋(y
－73 )2＝695 ；
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真题分类36 圆的方程
高考·数学
④若圆过 B，C，D 三点，则线段 BD 的垂直平分线方程为 y＝1，线段 BC
的垂直平分线方程为
Hale Waihona Puke y＝5x－7，联立yy＝ ＝15， x－7，
解得x＝85， y＝1，
则圆心坐标为
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真题分类36 圆的方程
高考·数学
③若圆过 A，C，D 三点，则线段 AC 的垂直平分线方程为 y＝x＋1，线段 AD
的垂直平分线方程为 y＝－2x＋5，联立yy＝ ＝x－＋21x， ＋5， 解得xy＝ ＝7343， ， 则圆心坐标
为(43 ，73 )，圆的半径为
人教版六年级数学上册第5单元圆的周长计算及实际应用附答案
人教版六年级数学上册圆的周长计算及实际应用一、认真审题，填一填。
(每空2分，共26分)1．任意一个圆，它的()和()的比值叫做圆周率，用字母()表示，圆周率是一个固定的数，保留两位小数后的近似值约等于()。
2．如图，圆向前滚动了一周，圆滚动了()cm，这个圆的周长是()cm。
3．一个圆的周长是12.56 m，它的直径是() m，半径是() m。
4．大圆周长是小圆周长的6倍，小圆直径相当于大圆直径的（）（）。
5．要画一个周长是25.12 cm的圆，圆规的两脚叉开的距离应是()cm。
6．一块正方形铁皮，周长是40分米，要剪下一个最大的圆，这个圆的直径是()分米。
7．一只挂钟的分针长10厘米，1小时后，分针走过的距离是()厘米。
8．一个半圆形鱼池的周长是51.4 m，它的半径是()m。
二、火眼金睛，辨对错。
(对的在括号里画“√”，错的画“×”)(每小题2分，共10分)1．两端都在圆上的线段，叫做圆的直径。
()2．所有扇形的面积都是它所在圆的面积的14。
()3．小圆和大圆的半径之比是23，它们的直径之比是32。
()4．圆的半径扩大到原来的2倍，它的周长也扩大到原来的2倍。
()5．直径所在的直线是圆的对称轴。
()三、仔细推敲，选一选。
(将正确答案的序号填在括号里)(每小题2分，共10分) 1．大小不同的两个圆，它们的半径各增加2 cm，和原来的圆相比较，哪个圆的周长增加得多？()。
A．大圆B．小圆C．同样多2．一个半圆形的纸片，它的半径是5 cm，它的周长是() cm。
A．15.7 B．20.7 C．25.73．下图中的阴影部分是扇形的是()。
4．甲圆的半径是6 cm，乙圆的直径是6 cm，则甲、乙两圆直径的比是()。
A．1：1B．1C．2：1D．1：25．下面关于半圆形的周长，说法不正确的是()。
A．是这个圆周长的一半B．是这个圆周长的一半再加上一条直径C．是这个圆周长的一半再加上两条半径四、细心的你，算一算。
(复习讲义)第一单元 圆(知识回顾+百分专练)六年级数学上册常考易错题之讲练测(北师大版)
六年级数学上册常考易错题之讲练测第一单元 圆（知识回顾+百分专练）1、圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。
2、用圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把带有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把带有铅笔的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。
3、圆的各部分名称：圆心通常用字母“o ”表示；半径通常用字母“r ”表示；直径通常用字母“d ”表示。
4、圆有无数条直径，无数条半径；同圆（或等圆）中的直径都相等，半径都相等。
5、同一个圆里半径与直径的关系：同一个圆中，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r=2d 。
6、圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。
7、圆的对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称称轴。
圆有无数条对称轴。
8、综合运用旋转﹑轴对称.平移的知识设计图案。
9、圆的周长的意义：圆的周长是指围成圆的曲线的长。
直径的长短决定圆周长的大小。
10、圆周率的意义：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用宇字母Π表示，计算时通常取3.14。
11、圆的周长的计算公式：如果用C 表示圆的周长，那么C=Πd 或C=2Πr 。
12、圆的周长计算公式的应用：（1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2Πr 。
（2）已知圆的直径，求圆的周长；C=Πd 。
（3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C ÷Π÷2。
（4）已知圆的周长，求圆的直径：d =C ÷Π。
13、圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。
14、圆的面积计算公式：如果用S 表示圆的面积，r 表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是s =Πr 2。
15.圆的面积计算公式的应用：（1）已知圆的半径，求圆的面积：S =Πr 2。
（2）已知圆的直径，求圆的面积：r =2d ， （3）已知圆的周长，求圆的面积：r =C ÷Π÷2 ，s =Πr 2=Π（C ÷Π÷2）2。
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第36课时 圆的计算
【复习要点】 一、正多边形与圆
1、正多边形的定义: 、 的多边形叫做正多边形。
2、正n 边形：如果一个正多边形有n 条边，那么这个正多边形叫做 。
3、正多边形的中心: 是正多边形的中心。
4、正多边形的半径: 是正多边形的半径。
5、正多边形的中心角: 正多边形的每一条边所对的 叫做正多边形的中心角。
6、正多边形的边心距： 到 的距离叫做正多边形的边心距。
7、任何一个正多边形都有一个 和一个 ,这两个圆是 .
8、正多边形的边心距与 相等。
二、弧长和扇形面积
1. 弧长公式：在半径为R 的圆中，n °圆心角所对的弧长的计算公式
2. 扇形面积计算：
方法一：如果已知扇形圆心角为n ，半径为R ，那么扇形面积=s 方法二：如果已知扇形弧长为l ，半径为R ， 那么扇形面积=s 3. 圆锥的侧面积与表面积
（1）如图1：h 为圆锥的 ，a 为圆锥的 ，r 为圆锥的 ，由勾股定理可得：a 、h 、r 之间的关系为：
（2）如图2：圆锥的侧面展开后是一个 ：圆锥的母线是扇形的 ，而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 ；故：圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的面积,即是 ；圆锥的表面积= （圆周率用π表示即可） 4.弓形的面积
（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做 。
（2）弓形的周长＝ （3）弓形的面积
当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，s 弓形= 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，s 弓形 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，s 弓形
【例题解析】
例：已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2． （1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
解析：（1）由S 扇形=2
360
n R p 求出R ，再代入L=180n R p 求得．（2）若将此扇形
卷成一个圆锥，•扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面
是一个以底是直径，•圆锥母线为腰的等腰三角形．解答如下：（1）如图所示：
∵300π=2120360
R π； ∴R=30； ∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm ）（2）如右
图所示：∵20π=20πr ； ∴r=10，R=30。
AD=900100-=202 ∴S 轴截面=
12×BC ×AD=12
×2×10×202=2002（cm 2）；因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2002cm 2． 反思：圆锥、扇形、圆之间的换算是中考中的热点、常考点，需同学们理清平面与立体之间的
变换和实质，熟悉公式并能利用题目中的数据代替公式中的量来解题。
【实弹射击】 一、填空题
1、在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r =_________.
2、正n 边形的中心角的度数是_______.
3、边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.
4、正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.
5、圆锥底面半径为6cm ，母线长为10cm ，则它的侧面展开图圆心角等于 度，表面积为 ；
6、已知扇形的圆心角为150°，它所对弧长为20πcm ，则扇形的半径是 cm ，扇形的面积是 cm 2
； 7、一个扇形的弧长为π20cm ，面积为π2402
cm 则这个扇形的圆心角是 度。
8、若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 度。
9、如图1，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 ；
10、如图2，扇形AOB 的圆心角为600
，半径为6cm , C, D 分别是弧AB 的三等分点，则阴影部分的面积是 .
11、如图3正方形的边长为2，分别以正方形的两个顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分的周长为 ，面积为 . 二、选择题
1、正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）. （A ）两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定
2、圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.
（A ）2:1 （B ）1:2 （C ）4:3 （D ）2:3 3、正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ） （A ）
34 （B ）32
（C ）12 （D ）14 4、在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
5、已知：如图所示，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）. （A ）()21a π- （B ）1π- （C ）
44π- （D ）
2
44
a π-
三、解答题。
1、若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比.
2、 如图，在△ABC 中，以各顶点为圆心分别作⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外，且半径都是2cm ，求图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和．
3、如图，在Rt ABC △中，9042C AC BC ===∠°，，，分别以AC .BC 为直径画半圆，求：图
中阴影部分的面积。
4、如图所示，一个几何体是从高为4m ，底面半径为3cm•的圆柱中挖掉一个圆锥后得到的，圆锥的底面就是圆柱的上底面，圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心上，•求这个几何体的表面积。
5、如图，扇形OAB 的圆心角为120°，半径为6cm.
⑴请用尺规作出扇形的对称轴(不写做法,保留作图痕迹).
⑵若将此扇形围成一个圆锥的侧面(不计接缝),求圆锥的底面积.
A
B
C
D。