专题三动态杠杆
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(2)由右图可知随拉开角度θ的增加，l变小，LG变大，根据
杠杆的平衡条件得Fl＝GLG，阻力G不变，所以动力F变 大；由图知l＝cosθL，LG＝12 sinθL， 根据杠杆的平衡条件有：F×cosθL＝G×12 sinθL， 即：F＝12 Gtanθ。
类型二 杠杆再平衡问题
杠杆再平衡的问题，实际上就是判断杠杆在发生变化前后，力和力臂的乘积 是否相等，乘积大的一端下降，乘积小的一端上升。
专项突破 3 动态杠杆 专项解读
杠杆动态平衡是指构成杠杆的某些要素发生变化，而杠杆仍处于静 止状态或匀速转动状态，分析杠杆的动态平衡时，一般是动中取静，根 据杠杆平衡条件，分析比较，得出结论。
类型一 力或力臂变化问题
利用杠杆平衡条件F1l1＝F2l2和控制变量法，抓住不变量，分析变量之 间的关系。
(1)如图甲，杠杆在水平位置，LBA＝2LBC，杠杆平衡，
FLBA＝GLBC，所以G＝
F
LBA LBC
＝10N 2LBC
LBC
＝2×10N＝20N；
(2)杠杆被拉起后，如图乙所示，BA′为动力臂，BC′为阻力臂，阻力不变
为G，△BC′D∽△BA′D′，BC′∶BA′＝BD∶BD′＝1∶2，杠杆
专项练习
1.如图所示，一根质地均匀的木杆可绕O点自由转动，在木杆的右端施 加一个始终垂直于杆的作用力F，使杆从OA位置匀速转到OB位置的过 程中，力F的大小将( C ) A．一直是变大的 B．一直是变小的 C．先变大，后变小 D．先变小，后变大
根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2分析，将杠杆缓慢地由OA位置拉到水 平位置时，动力臂不变，阻力不变，阻力臂变大，所以动力变大。当杠 杆从水平位置拉到OB位置时，动力臂不变，阻力不变，阻力臂变小，所 以动力变小。故F先变大后变小。
木板原来是平衡的，两玩具车同时从O点附近分别向木板的两端匀速 运 动 ， 若 保 持 木 板 平 衡 则 根 据 杠 杆 的 平 衡 条 件 有 ： G1L1 ＝ G2L2 ， 即 ： m1gv1t＝m2gv2t，m1v1＝m2v2，质量较小的车速度较大，故C正确。
3.〈2015·安徽〉如图所示，AB为能绕B点转动的轻质杠杆，中点C处用细 线悬挂一重物，在A端施加一个竖直向上大小为10N的拉力F，使杠杆在水 平位置保持平衡，则重物G＝__2_0__N。若保持拉力方向不变，将A端缓慢 向上提升一小段距离，在提升的过程中，拉力 F将__不__变____(填“增大”“不变”或“减小”)。
【例2】 〈2015·枣庄〉如图所示，杠杆处于平衡状态，
如果将物体A和B同时向靠近支点的方向移动相同的距
离，下列判断正确的是( C )
A．杠杆仍能平衡
B．杠杆不能平衡，右端下沉
Leabharlann Baidu
C．杠杆不能平衡，左端下沉 D．无法判断
【思路点拨】 原来杠杆在水平位置处于平衡状态，如图所示，
此时作用在杠杆上的力分别等于物体A、B的重力，其 对 应 的 力 臂 分 别 为 OC 、 OD ， 根 据 杠 杆 的 平 衡 条 件 可 得 ： mAgOC ＝ mBgOD，由图可知，OC＞OD，所以mA＜mB。当向支点移动相同的距离 ΔL时，两边的力臂都减小ΔL，此时左边为：mAg(OC－ΔL)＝mAgOC－ mAgΔL，右边为：mBg(OD－ΔL)＝mBgOD－mBgΔL，由于mA＜mB，所以 mAgΔL＜mBgΔL；所以：mAgOC－mAgΔL＞mBgOD－mBgΔL，因此杠杆不 能平衡，左端下沉。
低头角度θ/° 细线拉力F/N
0 15 30 45 60 0 7.3 14.0 20.2 25.0
(1)设头颅质量为8kg，当低头角度为60°时，颈部肌肉实际承受的拉力是 __2_0_0__N。
(2)在图乙中画出细线拉力的示意图。 解：如图所示
(3)请解释：为什么低头角度越大，颈部肌肉的拉力会越大？ 答 ： _人__低__头__的__角__度__越__大__，__G__的__力__臂__越__大_____________________________ 。
1 2
L
(2)木棒的重力作用点在其长度二分之一处，随拉开角度θ的
增加，拉力F将如何变化？并写出拉力F与角度θ的关系式。
解：木棒的重力作用点在其长度二分之一处，随拉开角度θ的增加，拉力
F将变大，F与角度θ的关系式为F＝
1 2
Gtanθ
【思路点拨】
(1)O为支点，沿力F的方向作出力的作用线，从O点作其垂线，垂线段长即F 的力臂。由θ＝60°，得l＝12 L。
2.〈2015·厦门〉用细绳系住厚度不均匀的木板的O处，木板恰好处于静止
状态，且上表面保持水平。如图所示，两玩具车同时从O点附近分别向木
板的两端匀速运动，要使木板在此过程始终
保持平衡，必须满足的条件是( C )
A．两车的质量相等
B．两车的速度大小相等
C．质量较小的车速度较大 D．两车同时到达木板两端
【例1】〈2015·杭州〉如右图所示，一根质量分布均匀的
木棒，质量为m，长度为L，竖直悬挂在转轴O处，在木棒
最下端用一方向始终水平向右的拉力F缓慢将木棒拉动到
与竖直方向夹角为θ的位置(转轴处摩擦不计)，问：
(1)在图中画出θ＝60°时拉力F的力臂l，并计算力臂的大小；
解：F的力臂l如右图所示，力臂的大小为
平衡，所以F′LBA′＝GLBC′，F′＝G
LBC LBA
＝1
2
G＝12
×20N＝10N；
由此可知将杠杆A端缓慢提升一小段距离，力F的大小不变。
4.〈2015·扬州〉 “低头族”长时间低头看手机，会引起颈部肌肉损伤。当头 颅为竖直状态时，颈部肌肉的拉力为零，当头颅低下时，颈部肌肉会产生 一定的拉力。为了研究颈部肌肉的拉力与低头角度大小的关系，我们可以 建立一个头颅模型来模拟实验。如图甲所示，把人的颈椎简化成一个支点 O，用1kg的头颅模型在重力作用下绕着这个支点O转动，A点为头颅模型 的重心，B点为肌肉拉力的作用点。将细线的一端固定在B点，用弹簧测力 计拉着细线模拟测量肌肉的拉力，头颅模型在转动过程中，细线拉力的方 向始终垂直于OB，如图乙所示，让头颅模型从竖直状态开始转动，通过 实验记录出低头角度θ及细线拉力F的数据，如下表：
杠杆的平衡条件得Fl＝GLG，阻力G不变，所以动力F变 大；由图知l＝cosθL，LG＝12 sinθL， 根据杠杆的平衡条件有：F×cosθL＝G×12 sinθL， 即：F＝12 Gtanθ。
类型二 杠杆再平衡问题
杠杆再平衡的问题，实际上就是判断杠杆在发生变化前后，力和力臂的乘积 是否相等，乘积大的一端下降，乘积小的一端上升。
专项突破 3 动态杠杆 专项解读
杠杆动态平衡是指构成杠杆的某些要素发生变化，而杠杆仍处于静 止状态或匀速转动状态，分析杠杆的动态平衡时，一般是动中取静，根 据杠杆平衡条件，分析比较，得出结论。
类型一 力或力臂变化问题
利用杠杆平衡条件F1l1＝F2l2和控制变量法，抓住不变量，分析变量之 间的关系。
(1)如图甲，杠杆在水平位置，LBA＝2LBC，杠杆平衡，
FLBA＝GLBC，所以G＝
F
LBA LBC
＝10N 2LBC
LBC
＝2×10N＝20N；
(2)杠杆被拉起后，如图乙所示，BA′为动力臂，BC′为阻力臂，阻力不变
为G，△BC′D∽△BA′D′，BC′∶BA′＝BD∶BD′＝1∶2，杠杆
专项练习
1.如图所示，一根质地均匀的木杆可绕O点自由转动，在木杆的右端施 加一个始终垂直于杆的作用力F，使杆从OA位置匀速转到OB位置的过 程中，力F的大小将( C ) A．一直是变大的 B．一直是变小的 C．先变大，后变小 D．先变小，后变大
根据杠杆平衡条件F1L1＝F2L2分析，将杠杆缓慢地由OA位置拉到水 平位置时，动力臂不变，阻力不变，阻力臂变大，所以动力变大。当杠 杆从水平位置拉到OB位置时，动力臂不变，阻力不变，阻力臂变小，所 以动力变小。故F先变大后变小。
木板原来是平衡的，两玩具车同时从O点附近分别向木板的两端匀速 运 动 ， 若 保 持 木 板 平 衡 则 根 据 杠 杆 的 平 衡 条 件 有 ： G1L1 ＝ G2L2 ， 即 ： m1gv1t＝m2gv2t，m1v1＝m2v2，质量较小的车速度较大，故C正确。
3.〈2015·安徽〉如图所示，AB为能绕B点转动的轻质杠杆，中点C处用细 线悬挂一重物，在A端施加一个竖直向上大小为10N的拉力F，使杠杆在水 平位置保持平衡，则重物G＝__2_0__N。若保持拉力方向不变，将A端缓慢 向上提升一小段距离，在提升的过程中，拉力 F将__不__变____(填“增大”“不变”或“减小”)。
【例2】 〈2015·枣庄〉如图所示，杠杆处于平衡状态，
如果将物体A和B同时向靠近支点的方向移动相同的距
离，下列判断正确的是( C )
A．杠杆仍能平衡
B．杠杆不能平衡，右端下沉
Leabharlann Baidu
C．杠杆不能平衡，左端下沉 D．无法判断
【思路点拨】 原来杠杆在水平位置处于平衡状态，如图所示，
此时作用在杠杆上的力分别等于物体A、B的重力，其 对 应 的 力 臂 分 别 为 OC 、 OD ， 根 据 杠 杆 的 平 衡 条 件 可 得 ： mAgOC ＝ mBgOD，由图可知，OC＞OD，所以mA＜mB。当向支点移动相同的距离 ΔL时，两边的力臂都减小ΔL，此时左边为：mAg(OC－ΔL)＝mAgOC－ mAgΔL，右边为：mBg(OD－ΔL)＝mBgOD－mBgΔL，由于mA＜mB，所以 mAgΔL＜mBgΔL；所以：mAgOC－mAgΔL＞mBgOD－mBgΔL，因此杠杆不 能平衡，左端下沉。
低头角度θ/° 细线拉力F/N
0 15 30 45 60 0 7.3 14.0 20.2 25.0
(1)设头颅质量为8kg，当低头角度为60°时，颈部肌肉实际承受的拉力是 __2_0_0__N。
(2)在图乙中画出细线拉力的示意图。 解：如图所示
(3)请解释：为什么低头角度越大，颈部肌肉的拉力会越大？ 答 ： _人__低__头__的__角__度__越__大__，__G__的__力__臂__越__大_____________________________ 。
1 2
L
(2)木棒的重力作用点在其长度二分之一处，随拉开角度θ的
增加，拉力F将如何变化？并写出拉力F与角度θ的关系式。
解：木棒的重力作用点在其长度二分之一处，随拉开角度θ的增加，拉力
F将变大，F与角度θ的关系式为F＝
1 2
Gtanθ
【思路点拨】
(1)O为支点，沿力F的方向作出力的作用线，从O点作其垂线，垂线段长即F 的力臂。由θ＝60°，得l＝12 L。
2.〈2015·厦门〉用细绳系住厚度不均匀的木板的O处，木板恰好处于静止
状态，且上表面保持水平。如图所示，两玩具车同时从O点附近分别向木
板的两端匀速运动，要使木板在此过程始终
保持平衡，必须满足的条件是( C )
A．两车的质量相等
B．两车的速度大小相等
C．质量较小的车速度较大 D．两车同时到达木板两端
【例1】〈2015·杭州〉如右图所示，一根质量分布均匀的
木棒，质量为m，长度为L，竖直悬挂在转轴O处，在木棒
最下端用一方向始终水平向右的拉力F缓慢将木棒拉动到
与竖直方向夹角为θ的位置(转轴处摩擦不计)，问：
(1)在图中画出θ＝60°时拉力F的力臂l，并计算力臂的大小；
解：F的力臂l如右图所示，力臂的大小为
平衡，所以F′LBA′＝GLBC′，F′＝G
LBC LBA
＝1
2
G＝12
×20N＝10N；
由此可知将杠杆A端缓慢提升一小段距离，力F的大小不变。
4.〈2015·扬州〉 “低头族”长时间低头看手机，会引起颈部肌肉损伤。当头 颅为竖直状态时，颈部肌肉的拉力为零，当头颅低下时，颈部肌肉会产生 一定的拉力。为了研究颈部肌肉的拉力与低头角度大小的关系，我们可以 建立一个头颅模型来模拟实验。如图甲所示，把人的颈椎简化成一个支点 O，用1kg的头颅模型在重力作用下绕着这个支点O转动，A点为头颅模型 的重心，B点为肌肉拉力的作用点。将细线的一端固定在B点，用弹簧测力 计拉着细线模拟测量肌肉的拉力，头颅模型在转动过程中，细线拉力的方 向始终垂直于OB，如图乙所示，让头颅模型从竖直状态开始转动，通过 实验记录出低头角度θ及细线拉力F的数据，如下表：