折叠问题强化练习
折叠问题练习题(含答案)
折叠问题练习题1.点O 是边长为4的正方形ABCD 的中心，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点．沿对角线AC 把正方形ABCD 折成直二面角D －AC －B ． （Ⅰ）求EOF ∠的大小；（Ⅱ）求二面角E OF A --的大小． 解法一：（Ⅰ）如图，过点E 作EG ⊥AC ，垂足为G ，过点F 作FH ⊥AC ，垂足为H ，则2EG FH ==，22GH =．因为二面角D －AC －B 为直二面角， 22222cos90EF GH EG FH EG FH ∴=++-⋅222(22)(2)(2)012.=++-=又在EOF ∆中，2OE OF ==，22222222(23)1cos 22222OE OF EF EOF OE OF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯．120EOF ∴∠= ．（Ⅱ）过点G 作GM 垂直于FO 的延长线于点M ，连EM ．∵二面角D －AC －B 为直二面角，∴平面DAC ⊥平面BAC ，交线为AC ，又∵EG ⊥AC ，∴EG ⊥平面BAC ．∵GM ⊥OF ，由三垂线定理，得EM ⊥OF ．∴EMG ∠就是二面角E OF A --的平面角． 在Rt ∆EGM 中，90EGM ∠=，2EG =，112GM OE ==， ∴tan 2EGEMG GM∠==．∴arctan 2EMG ∠=． 所以，二面角E OF A --的大小为arctan 2． 2.（2009福建卷文）（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，60DAB ︒∠=，2,4AB AD ==将CBD ∆沿BD 折起到EBD ∆的位置，使平面EDB ⊥平面ABD（I ）求证：AB DE ⊥（Ⅱ）求三棱锥E ABD -的侧面积。
（I ）证明：在ABD ∆中，2,4,60AB AD DAB ︒==∠=2222222cos 23,BD AB AD AB AD DAB AB BD AD AB DE∴=+-⋅∠=∴+=∴⊥又 平面EBD ⊥平面ABD平面EBD 平面,ABD BD AB =⊂平面ABD AB ∴⊥平面EBDDF ⊂ 平面,EBD AB DE ∴⊥ （Ⅱ）解：由（I ）知,//,,AB BD CD AB CD BD ⊥∴⊥从而DE D ⊥在Rt DBE ∆中，23,2DB DE DC AB ====ABCDEFOOFABCDEC DMHGO FA BEGHMABCDEFO1232ABE S DB DE ∆∴=⋅=又AB ⊥ 平面,EBD BE ⊂平面,EBD AB BE ∴⊥ 14,42ABE BE BC AD S AB BE ∆===∴=⋅= ,DE BD ⊥ 平面EBD ⊥平面ABD ED ∴⊥，平面ABD 而AD ⊂平面1,,42ADE ABD ED AD S AD DE ∆∴⊥∴=⋅=综上，三棱锥E ABD -的侧面积，823S =+3.如图，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AA 1=4,M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 点的最短路线长为29，设这条最短路线与C 1C 的交点为N 。
四边形折叠问题专项训练
矩形折叠问题专项训练学习目标：1、理解折叠问题的实质，熟练发现相等的线段和相等的角。
2、能利用已有知识作出正确的推理论证。
3、体会数学中的方程思想、转化思想、数形结合思想.学习重点：折叠的本质、方程的思想.学习难点：通过对不同题型的分析和训练，找到解题的切入点从而突破难点. 探究一：求角的度数1. 将矩形ABCD 的纸片，沿EF 折成如图所示；已知∠ EFG=55º，则∠ FGE= 。
2. 如图，矩形ABCD 沿BE 折叠，使点C 落在AD 边上的F 点处，如果∠ ABF=60º，则∠ CBE 等于（ ）。
(A)15º (B)30º (C )45º (D)60º3、将一矩形纸片按如图方式折叠，BC ，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A 、60°B 、75 °C 、90 °D 、95 °（第1题） （第2题） （第3题）探究二 求线段的长度1、 将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠, 点B 落在点E 处。
求证：AF=CF2、 将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠, 点B 落在点E 处。
若AD=4,AB=3. 求FC 的长度. （已证AF=FC ）B C AD FE D'C'GA B C D E F探究三：求面积3、将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠, 点B落在点E处。
若AD=4,AB=3.求重合部分△AFC的面积.探究四判断位置关系4、将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠, 点B落在点E处。
连接DE，求证：DE∥AC.探究五判断形状5、若将折叠的图形恢复原状，点F与BC边上的M正好重合，连接AM，试判断四边形AMCF的形状，并说明理由。
（六）课堂小结：谈谈你今天的收获吧!巩固练习：求折痕的长1、如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，沿AE折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，求EC的长。
初中折叠的练习题
初中折叠的练习题练习一：折叠长方形1. 折叠一张纸使两个对边平行，并用手指沿着对角线将纸折叠。
展开后纸上留下了一条明显的线。
解析：这条线是纸张对角线的痕迹。
折叠纸张时，我们将纸张沿对角线对折，使两侧的边缘完全重合。
在对角线折叠后，我们可以观察到两侧边缘的堆叠，形成一条明显的线。
练习二：折叠正方形1. 以一张方形纸为例，将其对折并展开，然后将四个顶点分别折叠至纸的中心点。
解析：这个过程中我们可以观察到纸张被分割成四块相等的小正方形，并且每个小正方形都是对称堆叠的。
这种折叠方法可以用于制作纸盒等日常用品。
练习三：折叠三角形1. 将一张纸对折，使两个对边边缘完全重合，并展开。
然后将纸的两个顶点分别折叠至纸的中心点。
解析：我们可以观察到纸的折痕形成了一个等边三角形。
在这个过程中，我们将纸的两个顶点折叠至中心点，形成了一个对称三角形。
这种折叠方法可以用于制作纸飞机等游戏工具。
练习四：折叠多边形1. 以一个等边三角形为例，将其两边的顶点向内折叠至底边的中点。
解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小等边三角形，它嵌套在原始的等边三角形内部。
这样的折叠方法可以被应用于设计艺术、3D模型制作等方面。
练习五：折叠圆1. 以一个正方形纸为例，将其对角线相交的两个顶点折叠至纸的中心点，并展开。
解析：在这个过程中，我们可以观察到折叠后的形状是一个小圆，它完美地嵌套在原始的正方形内部。
这里展示了如何利用纸张折叠技巧来近似表示一个圆。
练习六：折叠动物1. 以一张正方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种动物形状，例如鸟、狗等。
解析：这个练习是一个创意练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种动物形状。
这个过程需要一定的想象力和手工技巧，可以激发创造力和动手能力。
练习七：折叠建筑1. 以一个长方形纸为例，按照特定的折叠方式，可以将其折叠成各种建筑形状，例如房屋、桥梁等。
解析：这个练习是一个设计练习，通过特定的折叠方式，我们可以将纸张折叠成各种建筑形状。
第2章 三角形折叠问题专题练习（答案）
三角形折叠问题专题练习一、选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC 边上的点E处，如果∠A＝26°，那么∠CDE度数为（）A．71°B．64°C．80°D．45°【答案】A2．将一张正方形纸片，按如图所示步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）【答案】B3．将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A4．学剪五角星：如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．如果想得到一个正五角星(如图④)，那垂直A．B．C．D．A．126°B．108°C．100°D．90°【答案】A5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD，则∠A′DB等于（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C6．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果＝6，那么线段BE的长度为（）．6 B．6 2 C．2 3 D．32【答案】D【解析】根据折叠的性质知，CD＝ED，∠CDA＝∠ADE＝45°，∴∠CDE＝∠BDE＝90°，∵BD＝CD，BC＝6，∴BD＝ED＝3，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE＝2BD＝2×3＝32，故选D．7．如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（）A．AB＝BE B．AD＝DC C．AD＝DE D．AD＝EC【答案】B【解析】由折叠知△BAD≌△BED，∴AB＝BE，AD＝DE．ABC是等腰直角三角形，∴∠C＝45°．DEC＝90°，∴∠EDC＝∠C＝45°，∴DE＝EC，∴AD＝EC．∵CD＞DE，∴CD＞AD，故选B．8．如图所示，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D9． 有一张直角三角形纸片，两直角边长AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE (如图)，则CD 等于（ ）A ．254cmB ．223cmC ．74cmD ．53cm【答案】C【解析】设CD ＝x cm ，则AD ＝BD ＝(8－x )cm ，又AC ＝6 cm ，在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得62＋x 2＝(8－x )2，∴x ＝74．二、填空题10．把一张纸按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′＝70°，则∠BOG ＝__________．【答案】55°11．如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B'点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B'＝__________．【答案】40°【解析】由外角定理可得∠1＋∠2＝2∠B'，∴∠B'＝40°．12．如图所示，已知等边三角形纸片ABC ，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED ⊥BC ，则∠EFD ＝__________．【答案】45°【解析】由翻折的性质可知∠AFE ＝∠EFD ．∵△ABC 为等边三角形，∴∠B ＝60°，∠C ＝60°，∠A ＝∠EDF ＝60°． ∵ED ⊥BC ，∴△EDC 为直角三角形．∴∠FDB ＝30°．∴∠AFE ＋∠EFD ＝60°＋30°＝90°． ∴∠EFD ＝45°．13．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，沿直线MN 折叠，使点A 与点B 重合，折痕MN 与AC 交于点D ，已知∠DBC ＝15°，则∠A 的度数是__________．【答案】50°14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，将边BC 沿斜边上的中线CD 折叠到CB ′，如果∠B ＝50°，那么∠ACB ′＝__________．【答案】10°15．如图所示，把△ABC 沿EF 翻折，折叠后的图形如图所示．如果∠A ＝60°，∠1＝95°，那么∠2＝__________．【答案】25°【解析】∵把△ABC 沿EF 翻折， ∴∠BEF ＝∠B ′EF ，∠CFE ＝∠C ′FE ． ∴180°－∠AEF ＝∠1＋∠AEF ， 180°－∠AFE ＝∠2＋∠AFE ．∵∠1＝95°，∴∠AEF ＝12×(180°－95°)＝42.5°．∴∠AFE ＝180°－60°－42.5°＝77.5°． ∴180°－77.5°＝∠2＋77.5°．∴∠2＝25°．16．如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，将△ADE 沿DE 翻折，点A 落在平面内的点A ′处，若∠B ＝50°，则∠BDA ′的度数是__________．【答案】80°【解析】∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°．∵∠ADE＝∠A′DE，∴∠A′DA＝2∠B．∴∠BDA′＝180°－2∠B＝80°．17．如图所示，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝__________．【答案】15°18．如图，△ABC中，D是边AB上的一点，过D作DE∥BC交边AC于点E，过点A作关于直线DE的对称点A'，连结A'D交AC于点O，A'D与AC互相平分．若△DOE的面积为1，则△ABC的面积为__________．A'OEDCBA【答案】1819．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数等于__________．【答案】30°【解析】由题意得，BC＝BD＝AD，∴在Rt△ABC中，BC＝12AB，∴∠A＝30°．20．如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________．【答案】80°【解析】由折叠得AD＝DF，又AD＝BD，∴BD＝DF，又∠B＝50°，∴∠BDF＝180°－50°×2＝80°．．如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为__________．【答案】6－24a22．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________cm．A'CABDE【答案】3【解析】折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD＝A'D，AE＝A'E，则阴影部分图形的周长等于BC＋BD＋CE＋A'D＋A'E＝BC＋BD＋CE＋AD＋AE＝BC＋AB＋AC＝3cm．45︒60︒A′BMAODC。
正方形的折叠问题
连结 BF 并延长交 CD 于点 G，若 AB 10 ，则 EG 的长为（ ）
4
A．
3
B． 2
5
C．
3
D． 3
7．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一点，DE 4 ， AE 8 ，将正方形边 CD
沿 CE 折叠到 CF ，延长 EF 交 AB 于点 G ，连接 CG ， AF ，如下 4 个结论：
D．（
3 2
，
4
2
3）
14．如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 对折至 AFE ，
延长交 BC 于点 G，连接 AG. 则 BG 的长（ ）
A．1
B．2
C． 3
D．3
二、填空题
15．在矩形纸片 ABCD 中， AE CG 2 3 ，点 P，Q 分别是在边 AB，CD 上， BP DQ ， 将 BGP 和 DEQ 分别沿 PG，EQ 翻折，点 D，B 的对应点分别是 D ，B ，若四边形 EDGB
10．如图．已知正方形 ABCD 的边长为12 ．BE EC ，将正方形的边 CD 沿 DE 折叠到 DF ， 延长 EF 交 AB 于 G ，连接 DG ．现有如下 3 个结论；① AG EC GE ；② GDE 45 ； ③ △BGE 的周长是 24 ．其中正确的个数为（ ）
3
A． 0
B．1
C． 2
D． 3
11．如图，已知在正方形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，将正方形的边 CD 沿 DE 折叠到 DF，
延长 EF 交 AB 于点 G，连接 DG．现有如下 4 个结论：①AG＝GF；②AG 与 EC 一定不相
等；③ GDE 45 ；④△BGE 的周长是一个定值．其中正确的个数为（ ）
专题03 折叠问题压轴题(学生版)
专题03折叠问题压轴题一、单选题，折叠后，点C落在AD1．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）B．3C．2D．A2．如图，∠AOB＝30º，∠AOB内有一定点P，且OP＝12，在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是()A．6B．12C．16D．203．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）A．32°B．64°C．65°D．70°4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°5．如图，∠AOB ＝30°，OC 为∠AOB 内部一条射线，点P 为射线OC 上一点，OP ＝6，点M 、N 分别为OA 、OB 边上动点，则△MNP 周长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．6．如图，△ABC 中，∠A ＝20°，沿BE 将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C 落在BE 上的C′处，此时∠C′DB ＝74°，则原三角形的∠C 的度数为（）A ．27°B ．59°C ．69°D ．79°7．如图，将ABC ∆沿DE EF 、翻折，使其顶点A B 、均落在点O 处，若72CDO CFO ∠+∠=，则C ∠的度数为（）A ．36oB ．54oC ．64D ．728．如图，在锐角△ABC 中，∠ACB ＝50°；边AB 上有一定点P ，M 、N 分别是AC 和BC 边上的动点，当△PMN 的周长最小时，∠MPN 的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°9．如图，在ABC 中，AB AC >，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ．若7BC =，2DC =，则AB AC -的值可能是（）A ．7BC ．3D10．折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，折纸过程中既要动脑又要动手．如图，将一长方形纸条首先沿着EF 进行第一次折叠，使得C ，D 两点落在1C 、1D 的位置，再将纸条沿着GF 折叠（GF 与BC 在同一直线上），使得1C 、1D 分别落在2C 、2D 的位置．若23EFB EFC ∠=∠，则GEF ∠的度数为（）A ．30°B ．36︒C ．45︒D ．60︒11．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 边上的动点，则△DEF 的周长的最小值是（）A ．2.5B ．3.5C ．4.8D ．6二、填空题12．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有__种．13．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠D=60°，点E 、F 分别在边AB 、BC 上．将△BEF 沿着直线EF 翻折，点B 恰好与边AD 的中点G 重合，则BE 的长等于_____．14．在平行四边形ABCD 中，AB 2=，AD 3=，点E 为BC 中点，连结AE ，将ABE 沿AE 折叠到△AB´E 的位置，若BAE 45∠=，则点B´到直线BC 的距离为______．15．如图1，在长方形纸片ABCD 中，E 点在边AD 上，F 、G 分别在边AB 、CD 上，分别以EF 、EG 为折痕进行折叠并压平，点A 、D 的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG ，且'ED 在A EF ∠'内部，如图2，设∠A′ED'=n°，则∠FE D′的度数为___________(用含n 的代数式表示)．16．如图，将长方形纸片进行折叠，, ED EF 为折痕，A 与'A B 、与'B C 、与'C 重合，若25AED ∠=︒，则BEF ∠的度数为____________17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝62°，∠BAC 的平分线与AB 的垂直平分线交于点O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合，则∠OEC 为_____度．18．图1是一张足够长的纸条，其中//PN QM ，点A 、B 分别在PN ，QM 上，记()090ABM αα∠=︒<≤︒．如图2，将纸条折叠，使BM 与BA 重合，得折痕1BR ；如图3，将纸条展开后再折叠，使BM 与1BR 重合，得折痕2BR ：将纸条展开后继续折叠，使BM 与2BR 重合，得折痕3BR ；．．．依此类推，第n 次折叠后，n AR N ∠=_______（用含α和n 的代数式表示）．19．如图（1）是由两块形状相同的三角板拼成，已知90BAC ADC ∠=∠=︒，30B ACD ∠=∠=︒，点E 是边BC 上的动点，连结AE ，将三角形ACD 沿直线AE 翻折，点C ，D 的对应点分别为N ，M ，则：（1）如图（2），当点N 恰好落在AB 边上时，AEC ∠的度数是___________；（2）当MN 与三角形ABC 的一边平行时，AEC ∠的度数为________．三、解答题20．如图，直线AB∥CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处．⑴若∠PEF＝48°,点Q恰好落在其中的一条平行线上,则∠EFP的度数为．⑵若∠PEF＝75°，∠CFQ＝∠PFC，求∠EFP的度数．21．如图所示的“钻石”型网格是由边长都为1个单位长度的等边三角组成.(1)若在网格中任取一点，求该点落在阴影部分的概率是多少?(2)请在作图区所给的图中，将一个空白小三角形涂上阴影，使它与原阴影部分组成的图形是轴对称图形.的图中.（画出所有可能的结果，所给的图未必全用).22．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得到折痕EC；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．（1）若∠BEB′＝110°，则∠BEC＝°，∠AEN＝°，∠BEC+∠AEN＝°．（2）若∠BEB′＝m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠AEN的度数．（提示，长方形的四个角都是90°）23．如果两个角之差的绝对值等于45°，则称这两个角互为“半余角”，即若|∠α－∠β|＝45°，则称∠α、∠β互为半余角．（注：本题中的角是指大于0°且小于180°的角）（1）若∠A＝80°，则∠A的半余角的度数为；（2）如图1，将一长方形纸片ABCD沿着MN折叠（点M在线段AD上，点N在线段CD上）使点D落在点D′处，若∠AMD′与∠DMN互为“半余角”，求∠DMN的度数；（3）在（2）的条件下，再将纸片沿着PM折叠（点P在线段BC上），点A、B分别落在点A′、B′处，如图2．若∠AMP比∠DMN大5°，求∠A′MD′的度数．24．（1）填空①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是________；②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线上，那么EMF ∠的度数是_______．（2）解答：①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1B M 或1B M 的延长线上左侧，且80EMF ∠=︒，求11C MB ∠的度数；②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠，B 点与M 点重合，EM ，FM 为折痕，折叠后的C 点落在1A M 或1A M 的延长线右侧，且60EMF ∠=︒，求11C MA ∠的度数．（3）探究：把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠，EB ，FB 为折痕，设ABC α∠=︒，EBF β∠=︒，11A BC γ∠=︒，求α，β，γ之间的数量关系．25．直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F 向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．26．在平面直角坐标系xOy 中，点P （x ，y ）经过变换τ得到点P′（x′，y′），该变换记作τ（x ，y ）＝（x′，y′），其中x ax by y ax by =+⎧⎨=-''⎩（a ，b 为常数）．例如，当a ＝1，且b ＝1时，τ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a ＝﹣1，且b ＝2时，τ（0，1）＝；（2）若τ（1，2）＝（﹣2，0），则a ＝，b ＝；（3）设点P （x ，﹣2x ），点P 经过变换τ得到点P′（x′，y′）．若点P′与点P 关于x 轴对称，求a 和b 的值．27．如图1，三角形ABC 中，64A ∠=︒，90B ∠=︒，26C ∠=︒．点D 是AC 边上的定点，点E 在BC 边上运动，沿DE 折叠三角形CDE ，点C 落在点G 处．（1）如图2，若//DE AB ，求ADG ∠的度数．（2）如图3，若//EG AB ，求ADG ∠的度数．（3）当三角形DEG 的三边与三角形ABC 的三边有一组边平行时，直接写出其他所有情况下ADG ∠的度数．28．已知：M、N分别是∠AOB的边OA、OB上的定点.（1）如图1，若∠O=∠OMN，过M作射线MD//OB(如图)，点C是射线MD上一动点，∠MNC的平分线NE 交射线OA于E点．试探究∠MEN与∠MCN的数量关系；（2）如图2，若P是线段ON上一动点，Q是射线MA上一动点．∠AOB=20 ，当MP+PQ+QN取得最小值时，求∠OPM+∠OQN的值．11。
初三数学折叠练习题
初三数学折叠练习题数学是一门需要反复练习和掌握技巧的学科，特别是对于初三学生而言，数学的学习更加需要注重基础知识的巩固和运用的灵活性。
折叠练习题是一种常见的训练方法，通过将图形进行折叠来观察和推理数学问题。
下面是一些初三数学折叠练习题，希望能够帮助同学们加深对数学知识的理解和运用。
练习一：正方形对折1. 将一张正方形纸张对折，然后再对折。
最终纸张变为四个小正方形，请问每个小正方形的边长是多少？解析：我们可以通过折叠来观察和推理。
首先将正方形的上下两边对折，得到一条折痕。
然后再将左右两边对折，得到另一条折痕。
此时，纸张被折痕分成了四个小正方形，它们的边长都相等。
假设原正方形的边长为a，则第一个小正方形的边长为a/2，第二个小正方形的边长为a/2，第三个小正方形的边长也是a/2，第四个小正方形的边长也是a/2。
因此，每个小正方形的边长都是原正方形边长的一半，即a/2。
练习二：长方体的折叠2. 将一张长方形纸张对折，然后再对折，最后再对折。
最终纸张变成了一个长方体，请问纸张的长、宽、高分别是多少？解析：这个问题涉及到三次对折，我们可以通过折叠来观察和推理。
首先将纸张的上下两边对折，得到一条折痕。
然后再将左右两边对折，得到另一条折痕。
最后再将纸张的上下两边对折，得到第三条折痕。
此时，我们可以发现纸张被折痕分成了六个小矩形，它们的边长、宽、高都不相等。
假设原长方形的长为L，宽为W，则第一个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为W/2；第二个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为W/2；第三个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为L/2；第四个小矩形的长为L/2，宽为W/2，高为L/2；第五个小矩形的长为W/2，宽为L/2，高为W/2；第六个小矩形的长为W/2，宽为L/2，高为W/2。
因此，纸张的长、宽、高分别为L/2、W/2、L/2。
练习三：平行四边形的折叠3. 将一张平行四边形纸张对折，然后再对折，最后再对折。
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自
选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练题（自选）附答案
问题一
已知平行四边形ABCD，其边长分别为AB = 8 cm，BC = 10 cm，AD = 6 cm。
在平行四边形的内部选取一点P，使得AP = 3 cm，BP = 4 cm，CP = 5 cm，DP = x cm。
求x的值。
解答一
根据平行四边形的性质，对角线互相平分。
由题意，可以得到
以下等式：
AP + CP = BP + DP
3 + 5 =
4 + x
8 = 4 + x
x = 4
所以，DP的值为4 cm。
问题二
已知平行四边形EFGH，其边长分别为EF = 6 cm，FG = 8 cm，GH = 12 cm。
在平行四边形的内部选取一点Q，使得EQ = 2 cm，FQ = 3 cm，GQ = x cm，HQ = 9 cm。
求x的值。
解答二
同样根据平行四边形的性质，由题意可以得到以下等式：
EQ + GQ = FQ + HQ
2 + x =
3 + 9
x + 2 = 12
x = 10
所以，GQ的值为10 cm。
总结
通过以上两个问题的解答，我们可以发现在平行四边形中的折叠问题中，如果在平行四边形内部选取的点与已知点之间的距离相等，那么可以利用平行四边形的性质求解未知量。
请注意，在实际折叠过程中，要确保折叠线与平行四边形的边平行，以保证折叠的正确性。
希望以上练习题对你有所帮助！。
折叠问题专题练
A B C D M N PQ 折叠问题1．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为_____ 2．如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于______3、如图，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=°，则AEF ∠=（ ）A ．110° B．115° C．120° D．130°4、如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A´处，若∠A´BC＝20°，则∠A´BD 的度数为（ ） A ．15° B．20° C．25° D．30°5、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于____________度．6 、点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．7．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝ 度.1 A EDCBF8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于_____________。
9.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’=_____。
10、将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点c'处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么∠EFC'的度数为_________。
2022版数学人教A版必修二基础训练：第二章专题强化练5折叠问题Word版含解析
专题强化练5折叠问题一、选择题1.()如下图,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A,D分别是BF,CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADEF沿AD折起,连接BE,BF,CE(如图②).在折起的过程中,以下说法中错误的个数是()①AC∥平面BEF;②B,C,E,F四点不可能共面;③假设EF⊥CF,那么平面ADEF⊥平面ABCD;④平面BCE与平面BEF可能垂直.二、填空题2.(2021贵州遵义高三一模,)如图,正方形ABCD中,AB=2√2,点E为AD的中点,现将△DEC沿EC折起形成四棱锥P-ABCE,那么以下命题中为真命题的是(填序号).①设点O为AC的中点,点M在线段PC上,假设MC=√2PM,那么在折起过程中,P、M、B、O 四点可能共面;②设OD与EC交于点F,那么在折起过程中AC与PF可能垂直;.③四棱锥P-ABCE体积的最大值为4√105三、解答题3.()如图①所示的等边三角形ABC的边长为2a,CD是AB边上的高,E,F分别是AC,BC边的中点.现将△ABC沿CD折叠,使平面ADC⊥平面BDC,如图②所示.(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;(2)求四面体A-DBC的外接球体积与四棱锥D-ABFE的体积之比.4.(2021山西名校高二上期中联考,)如下图,在直角梯形ABCD中,∠BAD=90°,AD∥BC,AD=6,BC=4,AB=2,E,F分别在BC,AD上,EF∥AB.现将四边形ABEF沿EF折起,使得平面ABEF ⊥平面EFDC.(1)当BE=1时,在折叠后的AD上是否存在一点P,使得CP∥平面ABEF?假设存在,求出AP的值;假PD设不存在,说明理由;(2)设BE=x,当x为何值时,三棱锥A-CDF的体积有最大值?并求出这个最大值.专题强化练5折叠问题一、选择题1.B ①连接AC ,取AC 的中点O ,BE 的中点M ,连接MO ,MF ,易证四边形AOMF 是平行四边形,所以AC ∥FM ,所以AC ∥平面BEF ,所以①正确;②假设B ,C ,E ,F 四点共面,因为BC ∥AD ,所以BC ∥平面ADEF ,可推出BC ∥EF ,所以AD ∥EF ,这与相矛盾,故B ,C ,E ,F 四点不可能共面,所以②正确;③连接CF ,DF ,在梯形ADEF 中,易得EF ⊥FD ,又EF ⊥CF ,所以EF ⊥平面CDF ,所以EF ⊥CD ,又CD ⊥AD ,所以CD ⊥平面ADEF ,那么平面ADEF ⊥平面ABCD ,所以③正确;④延长AF 至G ,使得FG =AF ,连接BG ,EG ,易得平面BCE ⊥平面ABF ,过F 作FN ⊥BG 于N ,那么FN ⊥平面BCE ,假设平面BCE ⊥平面BEF ,那么过F 作直线与平面BCE 垂直,其垂足在BE 上,前后矛盾,故④错误.综上所述,只有1个说法错误.应选B .二、填空题2.答案③解析因为点M 在线段PC 上,所以平面PMO 即为平面PAC ,又B ∉AC ,所以P 、M 、B 、O 不可能在同一平面内,所以①不正确.沿EC 折起过程中,假设PF ⊥AC ,因为AC ⊥OD ,所以AC ⊥平面PBF ,所以AC ⊥PB ,而这显然是不可能的,所以②不正确.易知当平面PEC ⊥平面ABCE 时,四棱锥P -ABCE 的体积最大,在Rt △DCE 中,设斜边CE 上的高为h ,那么DE ·DC =EC ·h ⇒h =2√105, 所以V P -ABCE =13×12×(√2+2√2)×2√2×2√105=4√105,所以③正确. 故真命题为③.三、解答题3.解析(1)AB ∥平面DEF.理由:∵E ,F 分别为AC ,BC 的中点,∴AB ∥EF ,∵AB ⊄平面DEF ,EF ⊂平面DEF ,∴AB ∥平面DEF.(2)以DA ,DB ,DC 为棱补成一个长方体,那么四面体A -DBC 的外接球即为长方体的外接球. 设球的半径为R ,那么a 2+a 2+3a 2=(2R )2,∴R =√52a , 于是球的体积V 1=43πR 3=5√56πa 3. 又V A -BDC =13S △BDC ·AD =√36a 3, V E -DFC =13S △DFC ·12AD =√324a 3, ∴V 1V D -ABFE =V 1V A -BDC -V E -DFC =20√15π9. 故四面体A -DBC 的外接球体积与四棱锥D -ABFE 的体积之比为20√15π9.4.解析(1)存在点P ,使得CP ∥平面ABEF ,此时AP PD =32. 当AP PD =32时,AP AD =35, 过P 作MP ∥FD ,与AF 交于M ,连接ME ,那么MP FD =35,又FD =5,∴MP =3.∵EC =3,MP ∥FD ∥EC ,∴MP ∥EC ,且MP =EC ,故四边形MPCE 为平行四边形, ∴PC ∥ME ,∵PC ⊄平面ABEF ,ME ⊂平面ABEF ,∴CP ∥平面ABEF.(2)∵平面ABEF ⊥平面EFDC ,平面ABEF ∩平面EFDC =EF ,AF ⊥EF ,AF ⊂平面ABEF , ∴AF ⊥平面EFDC ,∵BE =x ,∴AF =x (0<x <4),FD =6-x ,故三棱锥A -CDF 的体积V =13×12×2×(6-x )x =-13(x -3)2+3,0<x <4.∴当x =3时,三棱锥A -CDF 的体积有最大值,最大值为3.。
(奥数)展开与折叠专项强化
（奥数）展开与折叠专项强化学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共45小题）1．把如图所示的正方体的展开图围成正方体时，“对”字的相对面上的文字是（）A．诚B．信C．考D．试2．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“潜”字所在的面相对的面上标的字是（）A．山B．市C．天D．柱3．当如图这个图案被折起来组成一个正方体，与数字2所在平面相对的平面上的数字是（）A．3B．4C．5D．64．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“建”相对的汉字是（）A．设B．丽C．青D．县5．如图是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字，与“我”字相对的面上的字是（）A．国B．厉C．害D．了6．下列图形中不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．7．下列图形中，能折成正方体的是（）A．B．C．D．8．三个立体图形的展开图如图①②③所示，则相应的立体图形是（）A．①圆柱，②圆锥，③三棱柱B．①圆柱，②球，③三棱柱C．①圆柱，②圆锥，③四棱柱D．①圆柱，②球，③四棱柱9．一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（）A．图2B．图1或图2C．图2或图3D．图1或图310．如果有一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的（）A．B．C．D．11．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（）A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱12．如图，下列四个图形是由已知的四个立体图形展开得到的，则对应的标号是（）A．①②③④B．②①③④C．③②①④D．④②①③13．下列图形（如图所示）经过折叠不能围成正方体的是（）A．B．C．D．14．如图，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A．B．C分别填上适当的数，使它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A．B．C的三个数依次为（）A．1，﹣2，0B．0，﹣2，1C．﹣2，0，1D．﹣2，1，0 15．如图是某几何体的表面展开图，则这个几何体的顶点有（）A．4个B．6个C．8个D．10个16．下列图形可以作为一个正方体的展开图的是（）A．B．C．D．17．如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（）A．三棱柱B．四棱锥C．长方体D．正方体18．下列图形中，不是正方体的展开图的是（）A．B．C．D．19．在全区“文明城市”创建过程中，小颖特别制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“文”字相对的字是（）A．全B．城C．市D．明20．如图所示正方体的平面展开图是（）A．B．C．D．21．下面的平面图形可以折成一个正方体的盒子，折好后，与1相对的数是（）A．3B．4C．5D．622．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，标有“☆“的一面相对面上的字是（）A．神B．奇C．数D．学23．某正方体的每一个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体的表面上，与“国”字相对的面上的汉字是（）A．厉B．害C．了D．我24．如图是一个表面分别标有“郑”、“州”、“中”、“心”、“城”、“市”字样的正方体展开图，则在原正方体中，与“州”相对的字是（）A．中B．心C．城D．市25．下列图形中，不可以作为一个正方体的表面展开图的是（）A．B．C．D．26．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．文B．明C．肇D．庆27．如图图形不能围成正方体的是（）A．B．C．D．28．一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）A．正方体B．三棱锥C．四棱锥D．圆柱29．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（）A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱C．正方体，圆锥，四棱柱，圆柱D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱30．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．31．如图是正方体的平面展开图，每个面上都标有一个汉字，与“爱”字对应的面上的字为（）A．大B．美C．綦D．江32．如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．美B．丽C．南D．海33．去年，深圳市顺利获评第五届“全国文明城市”，为此小刚同学特别制作了一个正方体玩具，其展开图如图所示，则原正方体中与“城”字相对的字是（）A．全B．文C．市D．明34．数学是研究数量关系和空间形式的科学．数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每个公民应该具有的基本素养．一个正方体盒子，每个面上分别写一个字，一共有“数学核心素养”六个字，如图是这个正方体盒子的平面展开图，那么“素”字对面的字是（）A．核B．心C．学D．数35．如图，是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“海”字所在的面相对的面上标的字是（）A．教B．育C．腾D．飞36．如图所示的是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，有“粤”字一面的相对面上的字是（）A．澳B．大C．湾D．区37．正方体展开后，不能得到的展开图是（）A．B．C．D．38．下图中不是正方体展开图的是（）A．B．C．D．39．如图是正方体的展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，则f在（）A．前面B．上面C．右面D．不确定40．如图是一个正方体的展开图，则“数”字的对面的字是（）A．核B．心C．素D．养41．下面哪个图形不能折成一个正方体（）A．B．C．D．42．如图所示正方体的展开图的是（）A．B．C．D．43．如图图形中，是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．44．将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分恰好能折成一个正方体，可以剪去的一个是（）A．3B．4C．5D．645．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）46．一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成正方体后，“我”字对面的字是．47．如图是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“社”在相对面上的字是．48．如图是正方体的表面展开图，“我”的对面的汉字是．49．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是．50．如图是一个长方体的图形，它的每条棱都是一条线段，请你从这些线段所在的直线中找出：（1）一对平行的线段：（写出一对即可）；（2）一对不在同一平面内的线段：（写出一对即可）．。
专题1.2 折叠问题(强化)(原卷版)
专题1.2 折叠问题【例题精讲】【例1】如图，在矩形ABCD 中，8AB =，4BC =，将矩形沿AC 折叠，则重叠部分AFC D 的面积为( )A ．12B ．10C ．8D ．6【例2】一张矩形纸ABCD ，将点B 翻折到对角线AC 上的点M 处，折痕CE 交AB 于点E ．将点D 翻折到对角线AC 上的点H 处，折痕AF 交DC 于点F ，折叠出四边形AECF ．（1）求证：//AF CE ；（2）当BAC Ð= 度时，四边形AECF 是菱形？说明理由．【题组训练】1．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点E 为BC 的中点，将ABE D 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为( )A ．95B ．125C ．165D ．1852．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C¢处，点B落在点B¢处，其中9AB=，6BC=，则FC¢的长为( )A．103B．4C．4.5D．53．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B¢处，若2AE=，6DE=，60EFBÐ=°，则矩形ABCD的面积是( )A．12B．24C．D．4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，6OA=，将ABCD沿直线AC翻折，使点B落在点D处，AD交x轴于点E，若30BACÐ=°，则点D的坐标为( )A．2)-B．3)-C．3)-D．(3,-5．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在直线折叠后展开，折痕为MN；再过点D折叠，使得点A落在MN上的点F处，折痕为DE，则EMFN的值是( )A B1-C．2D．36．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若:2:1BE EC=，则线段CH的长是( )A．3B．4C．5D．67．如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形9．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知1BE=，则EF的长为．10．如图，在矩形纸片ABCD中，6AB=，8BC=，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，FG是折痕，连接BF．（1）求证：四边形BGDF是菱形；（2）求折痕FG的长．11．将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若4AB=，8BC=，求菱形的边长；（3）在（2）的条件下折痕EF的长．12．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM CN=；（2）若CMND的面积与CDND的面积比为3:1，求MNDN的值．13．如图，在矩形ABCD中，15AB=，E是BC上的一点，将ABED沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将ADFD沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且45CE BE=．（1）求AD的长；（2）求FG的长．14．如图所示，在矩形ABCD中，8AB=，6BC=，P为AD上一点，将ABPD沿BP翻折至EBPD，PE与CD相交于点O，且OE OD=，BE与CD交于G点．（1）求证：AP DG=；（2）求线段CG的长．15．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且10AB cm=，8AD cm=，6DE cm=．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．16．如图，正方形ABCD中，6AB=，点E在边CD上，且3CD DE=．将ADED沿AE翻折至AFED，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：ABG AFGD@D；（2）求证：BG GC=；（3）求CFGD的面积．。
中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)
中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。
北师大版高中数学必修2 专题强化练 12 折叠问题
北师大版高中数学必修2 专题强化练12 折叠问题1.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45∘，∠BAD=90∘，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列说法正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面ABC2.如图，在矩形ABCD中，AB=√2，BC=2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P．(1) 求证：平面PDE⊥平面PAD；(2) 求二面角P−AD−E的大小．3.已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC= a，得到三棱锥A−BCD，如图．(1) 当a=2时，求证：AO⊥平面BCD；(2) 当二面角A−BD−C的大小为120∘时，求二面角A−BC−D的正切值．⏜的中4.如图①，⊙O的直径AB=4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB=45∘，F为BC点．将⊙O沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图②）．(1) 求证：OF∥平面ACD；(2) 在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．答案1. 【答案】D【解析】因为在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=45∘，所以∠ADC=135∘，因为AD=AB，∠BAD=90∘，所以∠ADB=45∘，所以∠BDC=90∘，所以BD⊥CD．在四面体ABCD中，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，所以CD⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD=D，所以AB⊥平面ACD，又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．【知识点】平面与平面垂直关系的判定2. 【答案】(1) 由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE．又因为AP∩DP=P，所以PE⊥平面PAD．又PE⊂平面PDE，所以平面PDE⊥平面PAD；(2) 取AD的中点F，连接PF，EF，则PF⊥AD，EF⊥AD，所以∠PFE就是二面角P−AD−E的平面角．又PE⊥平面PAD，所以PE⊥PF．因为EF=AB=√2，PF=√(√2)2−12=1，所以cos∠PFE=PFEF =√22．所以二面角P−AD−E的大小为45∘．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、二面角3. 【答案】(1) 在△AOC中，AC=a=2，易知AO=CO=√2，所以AC2=AO2+CO2，所以AO⊥CO．因为 AO ⊥BD ，BD ∩CO =O ，所以 AO ⊥平面BCD ．(2) 折叠后，BD ⊥AO ，BD ⊥CO ，所以 ∠AOC 是二面角 A −BD −C 的平面角，即 ∠AOC =120∘．在 △AOC 中，AO =CO =√2，易得 AC =√6．如图，过点 A 作 CO 的垂线交线段 CO 的延长线于点 H ．因为 BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，CO ∩AO =O ，所以 BD ⊥平面AOC ．因为 AH ⊂平面AOC ，所以 BD ⊥AH ．又因为 CO ⊥AH ，CO ∩BD =O ，所以 AH ⊥平面BCD ，所以 AH ⊥BC ．过点 A 作 AK ⊥BC ，垂足为 K ，连接 HK ．因为 AK ∩AH =A ，所以 BC ⊥平面AHK ．因为 HK ⊂平面AHK ，所以 BC ⊥HK ．所以 ∠AKH 为二面角 A −BC −D 的平面角．在 Rt △AHO 中，易得 AH =√62，OH =√22，CH =3√22． 在 Rt △CKH 中，易得 HK =√22CH =32． 在 Rt △AHK 中，tan∠AKH =AH HK =√6232=√63． 故二面角 A −BC −D 的正切值为 √63． 【知识点】直线与平面垂直关系的判定、二面角4. 【答案】(1) 连接 CO ，由 ∠CAB =45∘，知 ∠COB =90∘，因为点 F 为 BC⏜ 的中点， 所以 ∠FOB =45∘，因此 OF ∥AC ，又 AC ⊂平面ACD ，OF ⊄平面ACD ，所以 OF ∥平面ACD ．(2) 存在，E 为 AD 的中点．理由如下：连接 OD ，OE ，CE ．因为 OA =OD ，所以 OE ⊥AD ．又 OC ⊥AB ，且两半圆所在平面互相垂直，AB 为两平面的交线，所以OC⊥平面OAD．又AD⊂平面OAD，所以OC⊥AD，由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，所以AD⊥平面OCE．又AD⊂平面ACD，所以平面OCE⊥平面ACD．【知识点】平面与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定。
椭圆形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案
椭圆形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案椭圆形中的折叠问题专项练题（自选）附答案问题一在给定的椭圆形纸张上，如何折叠以得到一个正方形？答案：1. 将椭圆形纸张对折，使得两个焦点对齐。
2. 将纸张按照对折线的方向再次对折，使得椭圆形的长轴与纸张的边缘重合。
3. 沿着纸张的边缘剪去多余的部分。
4. 打开剩下的部分，即可得到一个正方形。
问题二在给定的椭圆形纸张上，如何折叠以得到一个等腰三角形？答案：1. 将椭圆形纸张对折，使得两个焦点对齐。
2. 将纸张按照对折线的方向再次对折，使得椭圆形的长轴与纸张的边缘重合。
3. 沿着纸张的边缘剪去多余的部分。
4. 打开剩下的部分，即可得到一个等腰三角形。
问题三在给定的椭圆形纸张上，是否可能通过折叠得到一个完全相同的椭圆形？答案：从几何学的角度来看，不可能通过折叠得到一个完全相同的椭圆形。
因为折叠会改变原始纸张的形状和曲率，无法完全保留原始椭圆的特征。
问题四把一个椭圆形纸张沿着其中一条轴线折叠，能否得到一个长方形？答案：把一个椭圆形纸张沿着其中一条轴线折叠，可以得到一个长方形。
因为椭圆的两个轴线长度不同，所以沿着一个轴线折叠后，就可以得到一个长短边不相等的长方形。
问题五椭圆形的纸张能否折叠成一个正五边形？答案：从几何学的角度来看，椭圆形的纸张无法折叠成一个正五边形。
正五边形的内角是108度，而椭圆形的内角都大于180度，无法通过折叠达到正五边形的角度要求。
以上是关于椭圆形中的折叠问题一些专项练习题及其答案。
希望能对您的学习有所帮助！。
七年级折叠问题例题
七年级折叠问题例题一、折叠问题例题1。
1. 题目。
- 将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG = 55°，求∠1和∠2的度数。
2. 解析。
- 因为AD∥BC，所以∠DEF = ∠EFG = 55°（两直线平行，内错角相等）。
- 由折叠可知，∠DEF = ∠D'EF，所以∠D'EF = 55°。
- 那么∠1 = 180° - ∠D'EF - ∠DEF = 180° - 55° - 55° = 70°。
- 又因为AD∥BC，所以∠1+∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 70° = 110°。
二、折叠问题例题2。
1. 题目。
- 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD 于E，已知AB = 3，BC = 4，求AE的长。
2. 解析。
- 因为四边形ABCD是矩形，所以AD = BC = 4，AB = CD = 3，∠A = ∠C = 90°。
- 由折叠可知，∠C′BD=∠CBD。
- 因为AD∥BC，所以∠ADB = ∠CBD，所以∠C′BD = ∠ADB，所以BE = DE。
- 在Rt△ABE中，根据勾股定理AB^2+AE^2=BE^2，即3^2+x^2=(4 - x)^2。
- 展开得9+x^2=16 - 8x+x^2，移项可得8x = 16 - 9 = 7，解得x=(7)/(8)，所以AE的长为(7)/(8)。
三、折叠问题例题3。
1. 题目。
- 有一张直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。
折叠问题练习题(含答案)
专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE ；第二步：将△ABC 沿折痕 DE 展开，然后将△DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到△DFG ，点 E ，C 的对应点分别是点 F ，G ，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB 交于点 N ，线段 DG 与边 AC 交于点 P.数学思考：（1）求 DC 的长；（2）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究 下列问题：① 如图 2，当 GF ∥BC 时，求 AM 的长；② 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为③ 当△DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线 GF ，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图 ，不写作法，保留 作图痕迹，标记出所有相应的字母）2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论；②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF 的值．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.4．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED；（2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'，①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝√2AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．专题4：折叠问题【典例引领】例：如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．（3）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；（4）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明见解答．【分析】（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；（2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．【解答】解：（1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，∴B'E=B'F，∴AF=AB'+B'F，即DF+BE=AF；（5）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，∵CB∥AD，∴∠AEB=∠EAD，∵∠BAE=∠B'AE，∴∠B'AE=∠DAG，∴∠GAF=∠DAE，∴∠AGD=∠GAF，∴GF=AF，∴BE+DF=AF；图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，需证△ABM≌△ADF，∴∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ΔABE≌AB'E∴∠BAE=∠EAB′，∴∠MAE=∠DAE，∵AD∥BE，∴∠AEM=∠DAE，∴∠MAE=∠AEM，∴ME=MA=AF，∴BE﹣DF=AF．【强化训练】1、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.动手操作：如图1，在直角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片ABC 使点C 与点A 重合，然后展开铺平，得到折痕DE；第二步：将△ABC 沿折痕DE 展开，然后将△DEC 绕点D 逆时针方向旋转得到△DFG，点E，C 的对应点分别是点F，G，射线GF 与边AC 交于点M(点M 不与点A 重合)，与边AB交于点N，线段DG 与边AC 交于点P.数学思考：（1）求DC 的长；（2）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，试判断MF 与ME 的数量关系，并证明你的结论；问题解决：（3）在△DEC 绕点D 旋转的过程中，探究下列问题：①如图2，当GF∥BC 时，求AM 的长；②如图3，当GF 经过点B 时，AM 的长为③当△DEC 绕点D 旋转至DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线GF，并直接写出AM 的长（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标记出所有相应的字母）【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝74；③AM＝10 3√5【分析】（1）理由勾股定理求出BC即可解决问题．（2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出AK AH =AMAC，求出AK，AH即可解决问题．②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题．③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别以D，G为圆心，DE，CE为半径画弧，两弧交于点F，△DFG即为所求．如图4-1中，连接DM，设DG交AC于T，作TH⊥CD于H，作DK平分∠CDG交TH于K，作KJ⊥DG于J．易证△DEM≌△DHK（AAS），推出EM=HK，只要求出HK即可．【解答】解：（1）如图1中，∵DE⊥AC，∴∠DEC=∠A=90°，∴DE∥AB，∵AE=EC，∴BD=DC，在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+BC2=√62+82=10，∴CD=12BC=5．（2）结论：MF=ME．理由：如图1中，连接DM，∵∠DFM=∠DEM=90°，DM=DM，DF=DE，∴Rt△DMF≌Rt△DME（HL），∴MF=ME．（3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．易知AH=AB⋅ACBC =245，四边形DFKH是矩形，∴DF=KH=3，∴AK=AH-KH=95，∵KM∥CH，∴AKAH =AMAC，∴95245=AM8，∴AM=3．②如图3中，∵DG=DB=DC，∴∠G=∠DBG，∵∠G=∠C ，∴∠MBC=∠C ，∴BM=MC ，设BM=MC=x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2=AB 2+AM 2，∴62+（8-x ）2=x 2，∴x=254∴AM=AC-CM=8-254=74．故答案为74.③尺规作图如图4-1所示．作DR 平分∠CDF ，在DR 上截取DG=DC ，分别以D ，G 为圆心，DE ，CE 为半径画弧，两弧交于点F ，△DFG 即为所求．如图4-1中，连接DM ，设DG 交AC 于T ，作TH ⊥CD 于H ，作DK 平分∠CDG 交TH 于K ，作KJ ⊥DG 于J ．易证△DEM ≌△DHK （AAS ），推出EM=HK ，只要求出HK 即可．∵TE ⊥DE ，TH ⊥DC ，DG 平分∠CDE ，∴TE=TH ，设TE=TH=x ，在Rt △TCH 中，x 2+22=（4-x ）2，∴x=32， ∴DT =√32+(32)2=32√5， ∵DK 平分∠CDT ，KJ ⊥DT ，KH ⊥CD ，∴KJ=KH ，设KJ=KH=y ，在Rt △KTJ 中，y 2+(32√5−3)2=(32−y)2∴y =3√5−6，∴EM=3√5−6∴AM =AE −EM =4−(3√5−6)=10−3√5．2．（2016内蒙古包头市）如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB =90°，AC =4，BC =3，E 、F 分别是AC 、AB 边上点，连接EF ．（1）图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF =3S △EDF ，求AE 的长；（2）如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使M F ∥CA ． ①试判断四边形AE M F 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；（3）如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN =1，CE =47，求AFBF的值．【答案】（1）52；（2）①四边形AE M F 为菱形；②4√109；（3）32． 【分析】试题分析：（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到=（）2，再利用勾股定理求出AB即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE=x ，则EM=x ，CE=4﹣x ，先证明△CME ∽△CBA 得到==，解出x 后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；（3）如图③，作FH ⊥BC 于H ，先证明△NCE ∽△NFH ，利用相似比得到FH ：NH=4：7，设FH=4x ，NH=7x ，则CH=7x ﹣1，BH=3﹣（7x ﹣1）=4﹣7x ，再证明△BFH ∽△BAC ，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出的值．【解答】（1）如图①，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S△AEF≌S△DEF，∵S四边形ECBF=3S△EDF，∴S△ABC=4S△AEF，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵∠EAF=∠BAC，∴Rt△AEF∽Rt△ABC，∴=（）2，即（）2=，∴AE=；（2）①四边形AEMF为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，∵MF∥AC，∴∠AEF=∠MFE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=EM=MF=AF，∴四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，∵四边形AEMF为菱形，∴EM∥AB，∴△CME∽△CBA，∴==，即==，解得x=，CM=，在Rt△ACM中，AM===，∵S菱形AEMF=EF•AM=AE•CM，∴EF=2×=；（6）如图③，作FH⊥BC于H，∵EC∥FH，∴△NCE∽△NFH，∴CN：NH=CE：FH，即1：NH=：FH，∴FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，∵FH∥AC，∴△BFH∽△BAC，∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x=，∴FH=4x=，BH=4﹣7x=，在Rt△BFH中，BF==2，∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，∴=．3．如图1，四边形的对角线相交于点，，，，.（1）填空：与的数量关系为；（2）求的值；（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2）；（3）1.【分析】（1）在△ABD中，根据三角形的内角和定理即可得出结论：∠BAD+∠ACB=180°；（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．由△OAB≌△OED，可得AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，由△EAD∽△ABC，推出，可得，可得4y2+2xy﹣x2=0，即，求出的值即可解决问题；（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．想办法证明△PA′D∽△PBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；【解答】（1）如图1中，在△ABD中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB，∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．（2）如图1中，作DE∥AB交AC于E．∴∠DEA=∠BAE，∠OBA=∠ODE，∵OB=OD，∴△OAB≌△OED，∴AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，∴∠EDA=∠ACB，∵∠DEA=∠CAB，∴△EAD∽△ABC，∴，∴，∴4y2+2xy﹣x2=0，∴，∴（负根已经舍弃），∴．（3）如图2中，作DE∥AB交AC于E．由（1）可知，DE=CE，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，∴DE∥CA′∥AB，∴∠ABC+∠A′CB=180°，∵△EAD ∽△ACB ，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C ， ∴∠DA′C+∠A′CB=180°，∴A′D ∥BC ， ∴△PA′D ∽△PBC ，∴，∴，即∴PC=1．4．Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝7，点P 是边AC 上不与点A 、C 重合的一点，作PD ∥BC 交AB 边于点D ．（1）如图1，将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ，作AE ∥PD ．求证：AE ＝ED ； （2）将△APD 绕点A 顺时针旋转，得到△AP 'D '，点P 、D 的对应点分别为点P '、D '， ①如图2，当点D '在△ABC 内部时，连接P ′C 和D 'B ，求证：△AP 'C ∽△AD 'B ；②如果AP ：PC ＝5：1，连接DD '，且DD '＝√2AD ，那么请直接写出点D '到直线BC 的距离．【答案】(1)见解析；（2）①见解析；②点D '到直线BC 的距离为176或536 【分析】（1）由折叠的性质和平行线的性质可得∠EAD ＝∠ADP ＝∠ADP '，即可得AE ＝DE ；（2）①由题意可证△APD ∽△ACB ，可得APAC =ADAB ，由旋转的性质可得AP ＝AP '，AD ＝AD '，∠PAD ＝∠P 'AD '，即∠P 'AC ＝∠D 'AB ，，则△AP 'C ∽△AD 'B ；②分点D '在直线BC 的下方和点D '在直线BC 的上方AP′AC =AD′AB两种情况讨论，根据平行线分线段成比例，可求PD ＝356，通过证明△AMD '≌△DPA ，可得AM ＝PD ＝356，即可求点D '到直线BC 的距离．【解答】证明：（1）∵将△APD 沿直线AB 翻折，得到△AP 'D ， ∴∠ADP '＝∠ADP ， ∵AE ∥PD ， ∴∠EAD ＝∠ADP ， ∴∠EAD ＝∠ADP '， ∴AE ＝DE（2）①∵DP ∥BC ，∴△APD∽△ACB，∴APAC =ADAB，∵旋转，∴AP＝AP'，AD＝AD'，∠PAD＝∠P'AD'，∴∠P'AC＝∠D'AB，AP′AC =AD′AB，∴△AP'C∽△AD'B②若点D'在直线BC下方，如图，过点A作AF⊥DD'，过点D'作D'M⊥AC，交AC的延长线于M，∵AP：PC＝5：1，∴AP：AC＝5：6，∵PD∥BC，∴APAC =PDBC=56，∵BC＝7，∴PD＝356，∵旋转，∴AD＝AD'，且AF⊥DD'，∴DF＝D'F＝12D'D，∠ADF＝∠AD'F，∵cos∠ADF＝DFAD ＝12D′DAD=√22ADAD√22，∴∠ADF＝45°，∴∠AD'F＝45°，∴∠D'AD＝90°∴∠D'AM+∠PAD＝90°，∵D'M⊥AM，∴∠D'AM+∠AD'M＝90°，∴∠PAD＝∠AD'M，且AD'＝AD，∠AMD'＝∠APD，∴△AD'M≌△DAP（AAS）∴PD＝AM＝356，∵CM＝AM﹣AC＝356﹣3，∴CM ＝176，∴点D '到直线BC 的距离为176若点D '在直线BC 的上方，如图，过点D '作D 'M ⊥AC ，交CA 的延长线于点M ，同理可证：△AMD '≌△DPA ， ∴AM ＝PD ＝356，∵CM ＝AC +AM ， ∴CM ＝3+356＝356，∴点D '到直线BC 的距离为356综上所述：点D '到直线BC 的距离为176或536；。
强化训练 图形的折叠问题
(建议用时45分钟)基础巩固1．(2022·烟台模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为()A．198B．2C．254D．74D解析：设CE＝x，则AE＝8－x＝EB．在Rt△BCE中，BE2＝CE2＋BC2，即(8－x)2＝x2＋62，解得x＝74．故选D．2．(2022·泰山区模拟)如图，将矩形ABCD折叠，使点C和点A重合，折痕为EF，EF与AC交于点O．若AE＝5，BF＝3，则AO的长为()A． 5 B．35 2C．25D．45 C解析：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD．∴∠EFC＝∠AEF．由折叠得∠EFC ＝∠AFE ， ∴∠AFE ＝∠AEF ．∴AE ＝AF ＝5． 由折叠得FC ＝AF ，OA ＝OC ， ∴BC ＝3＋5＝8． 在Rt △ABF 中，AB ＝52－32＝4， 在Rt △ABC 中，AC ＝42＋82＝45，∴OA ＝OC ＝25．故选C ．3．(2022·舟山)如图，在扇形AOB 中，点C ，D 在AB 上，将CD 沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ．已知∠AOB ＝120°，OA ＝6，则EF 的度数为________；折痕CD 的长为________．60° 46 解析：作O 关于CD 的对称点M ，连接MD 、ME 、MF 、MO ，MO 交CD 于N ，则ON ＝MN ．∵将CD ︵沿弦CD 折叠，∴点D 、E 、F 、C 都在以M 为圆心，半径为6的圆上．∵将CD ︵沿弦CD 折叠后恰好与OA ，OB 相切于点E ，F ，∴ME ⊥OA ，MF ⊥OB ． ∴∠MEO ＝∠MFO ＝90°．∵∠AOB ＝120°，∴四边形MEOF 中，∠EMF ＝360°－∠AOB －∠MEO －∠MFO ＝60°．即EF ︵的度数为60°．∵∠MEO ＝∠MFO ＝90°，ME ＝MF ，MO ＝MO ， ∴△MEO ≌△MFO (HL)．∴∠EMO ＝∠FMO ＝12∠FME ＝30°． ∴OM ＝ME cos ∠EMO ＝6cos 30°＝43．∴MN ＝23． ∵MO ⊥DC ， ∴DN ＝DM 2－MN 2＝62－(23)2＝26＝12CD ．∴CD ＝46．故答案为60°，46．4．(2022·东平月考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，M 是BC 上的点，且CM ＝3，将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C ′处，折痕为MN ，则线段AN 的长是________．4 解析：连接PM ，如图．∵AB ＝6，BC ＝9，CM ＝3， ∴BM ＝BC －CM ＝9－3＝6．由折叠性质得，CD ＝PC ′＝6，∠C ＝∠PC ′M ＝∠PBM ＝90°，C ′M ＝CM ＝3， 在Rt △PBM 和Rt △MC ′P 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝MP BM ＝CP， ∴Rt △PBM ≌Rt △MC ′P (HL)． ∴PB ＝C ′M ＝3．∴P A ＝AB －PB ＝6－3＝3． 设AN ＝x ，则ND ＝9－x ＝PN ． 在Rt △APN 中，AN 2＋AP 2＝PN 2， 即x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4． ∴AN 的长是4． 故答案为4．5．(2021·抚顺)如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ，连接BO ．若AB ＝4，CF ＝5，则OB 的长为________．25 解析：连接AF ，过O 作OH ⊥BC 于H ，如图：∵将矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕EF 与AC 相交于点O ， ∴AF ＝CF ＝5，OA ＝OC ． 在Rt △ABF 中，BF ＝AF 2－AB 2＝52－42＝3，∴BC ＝BF ＋CF ＝8．∵OA＝OC，OH⊥BC，AB⊥BC，∴O为AC中点，OH∥AB．∴OH是△ABC的中位线．∴BH＝CH＝12BC＝4，OH＝12AB＝2．在Rt△BOH中，OB＝BH2＋OH2＝42＋22＝25．故答案为25．6．(2021·巴中)如图，矩形AOBC的顶点A，B在坐标轴上，点C的坐标是(－10,8)，点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于()A．34B．35C．33D．12D解析：∵四边形AOBC为矩形，且点C(－10,8)，∴AC＝OB＝8，AO＝BC＝10，∠C＝∠A＝∠EOB＝90°．∵△BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，∴CD＝DE，BC＝BE＝10．在Rt△OBE中，OE＝BE2－OB2＝102－82＝6．设AD＝m，则CD＝DE＝8－m．∵∠ADE＋∠AED＝∠AED＋∠OEB＝90°，∴∠ADE＝∠OEB．∵∠A＝∠AOB，∴△ADE∽△OEB．∴DADE＝OEBE．即m8－m＝610．解得m＝3．∴DE＝8－3＝5．在Rt△BDE中，DE＝5，BE＝10，∴tan∠DBE＝510＝12．另一种思路：OE＝6，则AE＝4．在Rt△ADE中，(8－m)2＋42＝m2，解得m＝5．∴DE＝5．在Rt△BDE中，BE＝10，∴tan∠DBE＝510＝12．故选D．能力提升7．(2022·宁阳检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为()A．259B．258C．157D．207D解析：作DH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝32＋42＝5．∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE．∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH．∴∠DFH＝∠A．设DH＝3x．在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin A＝35，∴DF＝5x．∴BD＝5－5x．∵△BDH∽△BAC，∴BDAB＝DHAC．∴5－5x5＝3x4．∴x＝47．∴AD＝5x＝207．故选D．8．(2021·泰安)如图，将矩形纸片ABCD折叠(AD＞AB)，使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE．若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为______．4＋22解析：由翻折的性质可知，EB＝EB′，∠B ＝∠AB ′E ＝∠EB ′D ＝90°．在Rt △EBF 和Rt △EB ′D 中，⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝ED EB ＝EB ′，∴Rt △EBF ≌Rt △EB ′D (HL)． ∴BF ＝B ′D ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝∠CDB ′＝∠EB ′D ＝90°． ∴四边形ECDB ′是矩形． ∴DB ′＝EC ＝2． ∴BF ＝EC ＝2．由翻折的性质可知，BF ＝FG ＝2，∠F AG ＝45°，∠AGF ＝∠B ＝90°，∴AG ＝FG ＝2．∴AF ＝22．∴AB ＝AB ′＝2＋22． ∴AD ＝AB ′＋DB ′＝4＋22． 故答案为4＋22．9．(2022·岱岳区模拟)如图，边长为1的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，将△ABE 沿BE 折叠得到△FBE ，BF 交AC 于点G ，求CG 的长．答案：327解析：延长BF 交CD 于H ，连接EH ． ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，∠D ＝∠DAB ＝90°，AD ＝CD ＝AB ＝1． ∴AC ＝AD 2＋CD 2＝12＋12＝2．由翻折的性质可知，AE ＝EF ，∠EAB ＝∠EFB ＝90°，∠AEB ＝∠FEB ． ∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ＝EF ． 在Rt △EHD 和Rt △EHF 中，⎩⎪⎨⎪⎧EH ＝EH ED ＝EF ，∴Rt △EHD ≌Rt △EHF (HL)． ∴∠DEH ＝∠FEH ． ∵∠DEF ＋∠AEF ＝180°， ∴2∠DEH ＋2∠AEB ＝180°． ∴∠DEH ＋∠AEB ＝90°． ∵∠AEB ＋∠ABE ＝90°， ∴∠DEH ＝∠ABE ． ∴△EDH ∽△BAE ． ∴ED AB ＝DH EA ＝12． ∴DH ＝14，CH ＝34． ∵CH ∥AB ， ∴CG GA ＝CH AB ＝34． ∴CG ＝37AC ＝327．10．(2022·天津)将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0,0)，点A(3,0)，点C(0,6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为33，则t的值可以是__________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)答案：(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3(3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<23即可)解析：(1)在Rt△POQ中，∠OQP＝90°－∠OPQ＝60°．根据折叠，知△PO′Q≌△POQ，∴O′Q＝OQ，∠O′QP＝∠OQP＝60°．∵∠O′QA＝180°－∠O′QP－∠OQP，∴∠O′QA＝60°．如图，过点O′作O′H⊥OA，垂足为H，则∠O′HQ＝90°．∴在Rt△O′HQ中，得∠QO′H＝90°－∠O′QA＝30°．由t＝1得OQ＝1，则O′Q＝1．在Rt△O′HQ中，QH＝12O′Q＝12，O′H＝O′Q2－QH2＝32．∴OH＝OQ＋QH＝3 2．∴点O′的坐标为(32，32)．(2)∵点A(3,0)，∴OA＝3．又∵OQ＝t，∴QA＝OA－OQ＝3－t．由(1)知O′Q＝t，∠O′QA＝60°．∵四边形OABC是矩形，∴∠OAB＝90°．在Rt△EAQ中，∠QEA＝90°－∠EQA＝30°．∴QA＝12QE．∴QE＝2QA＝2(3－t)＝6－2t．∵O′E＝O′Q－QE，∴O′E＝3t－6．如图，当点O′落在AB上时，OQ＝O′Q＝t，∠AQO′＝60°，则∠AO′Q＝30°．∴AQ＝12O′Q＝12t．∴t＋12t＝3．解得t＝2．∴t的取值范围是2<t<3．(3)当点Q与点A重合时，AO′＝3，∠DAO′＝30°．∴AD＝AO′cos 30°＝23．则S△ADP＝12×23×3＝33．∴t＝3时，重合部分的面积是33．从t＝3之后重合部分的面积始终是33．当P与C重合时，OP＝6，∠OPQ＝30°，此时t＝OP·tan 30°＝23．∵P不能与C重合，∴t<23．∴3≤t<23都符合题意．拓展训练11．(2022·青岛)如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC 的平分线交AD于点E，且DE＝4．将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有：________．(填写序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM ＝103；④EM∥AC．①④解析：∵AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∴BD＝DC＝12BC＝8．故①正确．如图，过点E作EF⊥AB于F，EH⊥AC于H．∵AD⊥BC，AB＝AC，∴AD平分∠BAC．∴EH＝EF．∵BE是∠ABD的角平分线，ED⊥BC，EF⊥AB，∴EF＝ED．∴EH＝ED＝4．故②不正确．∵将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合，∴EM＝MC，DM＋MC＝DM＋EM＝CD＝8．设DM＝x，则EM＝8－x．在Rt△EDM中，EM2＝DM2＋DE2，DE＝4，∴(8－x)2＝42＋x2．解得x＝3．∴EM＝MC＝5．故③不正确．设AE＝a，则AD＝AE＋ED＝4＋a，BD＝8，AB2＝(4＋a)2＋82．∵S△ABES△BDE＝12AB·EF12BD·ED＝12AE·BD12ED·BD，∴AEED＝ABBD．∴a4＝AB8．∴AB＝2a．∴(4＋a)2＋82＝(2a)2．解得a＝203或a＝－4(舍去)．∴tan C＝ADDC＝203＋48＝43．∵tan∠EMD＝EDDM＝43，∴∠C＝∠EMD．∴EM∥AC．故④正确．故答案为①④．12．(2022·肥城检测)如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于M，N两点，当B′为线段MN的三等分点时，BE 的长为()A．32B．322C．32或322D．322或355D解析：①当MB′＝13MN时，如图．Rt△AMB′中，AB′＝AB＝3，MB′＝13AB＝1，∴AM＝AB′2－MB′2＝22．∵AD∥BC，AB⊥BC，MN⊥AD，∴四边形ABNM是矩形．∴BN＝AM＝22，MN＝AB＝3．设BE＝x，则B′E＝x，EN＝22－x．Rt△B′EN中，B′N＝MN－MB′＝2，EN2＋B′N2＝B′E2，∴(22－x)2＋22＝x2．解得x＝32 2．∴BE的长为32 2．②当NB′＝13MN时，如图：∵NB′＝13MN＝1，∴MB′＝2．∴AM＝5．设BE＝y，同①可得y＝355．∴BE的长为355．综上所述，BE的长为322或355．故选D．。
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折叠问题强化练习1．如图，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为（）2．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．3．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（）5．已知：如图，四边形AOBC是矩形，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A的坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，C点落在D点处，则D点的坐标为（）6．小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（）+1 +17．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）8．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）9．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，则的值为（）10．如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（）﹣11．如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M是边BC上的点，连接AM．如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是（）12．矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．延长B′E交AB的延长线于M，折痕AE上有点P，下列五个结论中正确的有（）个①∠M=∠DAB′；②PB=PB′；；④MB′=CD；⑤若B′P⊥CD，则EB′=B′P．13．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（）14．如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA在x轴上，边0C在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D的坐标为（）15．如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则CF的长为（）16．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为（）17．在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，如果设折痕为EF，那么重叠部分△AEF的面积等于（）18．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①EF∥AB且EF=AB；②∠BAF=∠CAF；③S四边形ADFE=AF•DE；④∠BDF+∠FEC=2∠BAC，正确的个数是（）二．解答题（共12小题）19．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．20．（1）操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC=2DF，求的值；（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC=nDF，求的值．21．问题解决：如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．类比归纳：在图（1）中，若，则的值等于；若，则的值等于；若（n为整数），则的值等于．（用含n的式子表示）联系拓广：如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设，则的值等于．（用含m，n的式子表示）22．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．23．如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别与边AB，BC所在的直线相交，交点分别为E，F．（1）当PE⊥AB，PF⊥BC时，如图1，则的值为；（2）现将三角板绕点P逆时针旋转α（0°＜α＜60°）角，如图2，求的值；（3）在（2）的基础上继续旋转，当60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论．24．阅读材料如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出的值（用含α的式子表示出来）25．问题情境：如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连结AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．自主探究：（1）当=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．①CF的长为；②求证：AM=FM．（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为，= ．拓展运用：（3）当=2时，求sin∠DAB′的值．26．如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB、AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE、DG．（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；（2）当点C在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数；（3）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=，求点G到BE的距离．27．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E 关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．28．已知：Rt△A′BC′≌Rt△ABC，∠A′C′B=∠ACB=90°，∠A′BC′=∠ABC=60°，Rt△A′BC′可绕点B旋转，设旋转过程中直线CC′和AA′相交于点D．（1）如图1所示，当点C′在AB边上时，判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论；（2）将Rt△A′BC′由图1的位置旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）将Rt△A′BC′由图1的位置按顺时针方向旋转α角（0°≤α≤120°），当A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出旋转角的度数．29．问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C=90°，AC=BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点．问题探究：（1）在旋转过程中，①如图2，当AD=BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．②如图3，当AD=2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由．③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD=nBD时，DP、DQ满足的数量关系为（直接写出结论，不必证明）（2）当AD=BD时，若AB=20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由．30．问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图①，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为直线AB上的一动点（点D不与点A，B重合）连接CD，以点C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，连接BE，试探索线段AB，BD，BE之间的数量关系．小组展示：“希望”小组展示如下：解：线段AB，BD，BE之间的数量关系是AB=BE+BD．证明：如图①∵∠ACB=90°，∠DCE=90°∴∠ACB=∠DCE∴∠ACB=∠DCB=∠DCE﹣∠DCB即∠ACD=∠BCE∵CE是由CD旋转得到．∴CE=CD则在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（依据1）∴AD=BE（依据2）∵AB=AD+BD ∴AB=BE+BD反思与交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：依据2：（2）“腾飞”小组提出了与“希望”小组不同的意见，认为还有两种情况需要考虑，你根据他们的分类情况直接写出发现的结论：①如图②，当点D在线段AB的延长线上时，三条点段AB，BD，BE之间的数量关系是．②如图③，当点D在线段BA的延长线上时，三条线段AB，BD，BE之间的数量关系是．（3）如图④，当点D在线段BA的延长线上时，若CD=4，线段DE的中点为F，连接FB，求FB的长度．。