2021版新高考数学一轮复习讲义：第七章第四讲 直线、平面平行的判定与性质 (含解析)

第四讲直线、平面平行的判定与性质ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，__a∥b____a∥α__a∥α，a⊂β，__α∩β＝b__结论a∥αb∥αa∩α＝∅__a∥b__知识点二面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件__α∩β＝∅____a⊂β，b⊂β，____a∩b＝P，____a∥α，b∥α____α∥β，____α∩γ＝a，____β∩γ＝b__α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α重要结论1．垂直于同一条直线的两个平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，则α∥β”．2．垂直于同一个平面的两条直线平行，即“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”．3．平行于同一个平面的两个平面平行，即“若α∥β，β∥γ，则α∥γ”．双基自测题组一走出误区1．(多选题)下列结论正确的是(BD)A．如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面C．若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥αD．若α∥β，直线a⊂α，则a∥β题组二走进教材2．(必修2P58练习T3)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(D)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α[解析]对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到—个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D．题组三考题再现3．(2019·课标全国Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(B)A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面4．(2019·湖南长沙模拟)设a，b，c表示不同直线，α，β表示不同平面，给出下列命题：①若a∥c，b∥c，则a∥b；②若a∥b，b∥α，则a∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b；④若a⊂α，b⊂β，α∥β，则a∥b．其中真命题的个数是(A)A．1 B．2C．3 D．4[解析]只有①正确，故选A．5．(2019·福建师大附中期中)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是(D)A ．若l ∥α，m ∥α，则l ⊥mB ．若l ∥α，m ⊥l ，则m ⊥αC ．若l ⊥α，m ⊥l ，则m ∥αD ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m[解析] 若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 或l 与m 相交或l 与m 异面；若l ∥α，m ⊥l ，则m ∥α或m 与α相交；若l ⊥α，m ⊥l ，则m ∥α或m ⊂α，∴A 、B 、C 都错，选D ．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 空间平行关系的基本问题——自主练透例1 (1)(多选题)(2020·河南名校联盟质检改编)设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题中，其中正确的是( CD )A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若a ∥α，a ∥β，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD ．若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β(2)(2020·辽宁省沈阳市质监)下列三个命题在“( )”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件是__l ⊄α__．①⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α( )⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ( )⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥m m ⊥α( )⇒l ∥α．[解析] (1)对于A ，若a ∥α，b ∥α， 则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故A 错误；对于B ，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故B 错误；对于C ，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故C 正确；对于D ，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立；故选CD ．(2)①l ∥m ，m ∥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒l ∥α；②l ⊄α，m ⊂α，l ∥m ⇒l ∥α；③l ⊥m ，m ⊥α⇒l ∥α或l ⊂α，由l ⊄α⇒l ∥α.故答案为l ⊄α．〔变式训练1〕(多选题)(2020·吉林省吉林市调研改编)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线、平面中，与平面ACD 1平行的是( ABD )A．直线EF B．直线GHC．平面EHF D．平面A1BC1[解析]首先直线EF、GH、A1B都不在平面ACD1内，由中点及正方体的性质知EF∥AC，GH∥A1C1∥AC，A1B∥D1C，∴直线EF，GH，A1B都与平面ACD1平行，又A1C1∥AC，由面面平行判定易知平面A1BC1∥平面ACD1，由EH∥AB1，AB1∩平面ACD1＝A，∴EH与平面ACD1相交，从而平面EHF与平面ACD1相交，∴C错，故选A、B、D．考点二直线与平面平行的判定与性质——多维探究角度1线面平行的判定例2(2019·辽宁抚顺模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．(1)证明：BE∥平面P AD；(2)求三棱锥E－PBD的体积．[解析](1)证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，F A．由题意知EF为△PDC的中位线，∴EF∥CD，且EF＝12CD＝2．又∵AB∥CD，AB＝2，CD＝4，∴AB綊EF，∴四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF．又AF⊂平面P AD，BE⊄平面P AD，∴BE∥平面P AD．证法二：延长DA 、CB 相交于H ，连PH ，∵AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝4， ∴HB HC ＝AB DC ＝12， 即B 为HC 的中点，又E 为PC 的中点，∴BE ∥PH ，又BE ⊄平面P AD ，PH ⊂平面P AD ，∴BE ∥平面P AD ， 证法三：取CD 的中点H ，连BH ，HE ，∵E 为PC 中点，∴EH ∥PD ， 又EH ⊄平面P AD ，PD ⊂平面P AD ， ∴EH ∥平面P AD ，又由题意知AB 綊DH ，∴BH ∥AD ， 又AD ⊂平面P AD ，BH ⊄平面P AD ， ∴BH ∥平面P AD ，又BH ∩EH ＝H ， ∴平面BHE ∥平面P AD ，∴BE ∥平面P AD ． (2)∵E 为PC 的中点，∴V 三棱锥E －PBD ＝V 三棱锥E －BCD ＝12·V 三棱锥P －BCD ．又∵AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝AB ＝2．又∵CD＝4，∠BDC＝∠BAD＝60°，∴BD⊥BC．∴BC＝CD2－BD2＝23．∵PD⊥平面ABCD，∴三棱锥P－BCD的体积V三棱锥P－BCD＝13PD·S△BCD ＝13×2×12×2×23＝433，∴三棱锥E－PBD的体积V三棱锥E－PBD＝233．名师点拨☞判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点)．(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．注：线面平行的关键是线线平行，证明中常构造三角形中位线或平行四边形．角度2线面平行的性质例3如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1．(1)求证：BC∥EF；(2)求三棱锥B－DEF的体积．[解析](1)证明：∵AD∥BC，AD⊂平面ADEF，BC⊄平面ADEF，∴BC∥平面ADEF．又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF．(2)过点B作BH⊥AD于点H，∵DE ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥BH ． ∵AD ⊂平面ADEF ，DE ⊂平面ADEF ，AD ∩DE ＝D ， ∴BH ⊥平面ADEF ．∴BH 是三棱锥B －DEF 的高．在Rt △ABH 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2，故BH ＝3． ∵DE ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴DE ⊥AD ． 由(1)知BC ∥EF ，且AD ∥BC ， ∴AD ∥EF ，∴DE ⊥EF ．∴三棱锥B －DEF 的体积V ＝13×S △DEF ×BH ＝13×12×1×1×3＝36．名师点拨 ☞空间中证明两条直线平行的常用方法(1)利用线面平行的性质定理，即a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b ． (2)利用平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行． (3)利用垂直于同一平面的两条直线互相平行． 〔变式训练2〕(1)(角度2)如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH ．求证：P A ∥GH ．(2)(角度1)(2019·贵州黔东南州二模)在四棱锥P －ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，点E ，F 分别为BC ，AP 的中点．①求证：EF∥平面PCD；②若AD＝AP＝PB＝22AB＝1.求三棱锥P－DEF的体积．[解析](1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴P A∥MO．又MO⊂平面BMD，P A⊄平面BMD，∴P A∥平面BMD．∵平面P AHG∩平面BMD＝GH，P A⊂平面P AHG，∴P A∥GH．(2)①证明：如图，取PD中点G，连接GF，GC．在△P AD中，G，F分别为PD，AP的中点，∴GF綊12AD．在矩形ABCD中，E为BC的中点，∴CE 綊12AD ，∴GF 綊EC ，∴四边形EFGC 是平行四边形，∴GC ∥EF ． ∵GC ⊂平面PCD ，EF ⊄平面PCD ， ∴EF ∥平面PCD ． ②∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ⊥AB ，AD ∥BC ．又AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ， ∴BC ∥平面P AD ．∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥BP ，平面P AD ⊥平面P AB ． AD ＝AP ＝PB ＝22AB ＝1， ∵AB ＝2，∴AP 2＋PB 2＝AB 2， ∴AP ⊥BP .∵AD ∩AP ＝A ，∴BP ⊥平面P AD ．∵BC ∥平面P AD ，∴点E 到平面P AD 的距离等于点B 到平面P AD 的距离． ∵S △PDF ＝12PF ·AD ＝12×12×1＝14，∴V 三棱锥P －DEF ＝V 三棱锥E －PDF ＝13S △PDF ·BP ＝13×14×1＝112，∴ 三棱锥P －DEF 的体积为112．考点三 空间两个平面平行的判定与性质——师生共研例4 如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG．[证明](1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG．又因为G，E分别为A1B1，AB的中点，所以A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB．因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG．又因为A1E∩EF＝E，所以平面EF A1∥平面BCHG．[引申1]在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA．[证明]如图所示，连接HD，A1B，因为D为BC1的中点，H为A1C1的中点，所以HD∥A1B，又HD⊄平面A1B1BA，A1B⊂平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA．[引申2]在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D．[证明]如图所示，连接A1C交AC1于点M，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以M是A1C的中点，连接MD，因为D为BC的中点，所以A1B∥DM．因为A1B⊂平面A1BD1，DM⊄平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1．又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形BDC1D1为平行四边形，所以DC1∥BD1．又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因为DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D．名师点拨☞证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义．(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用“垂直于同一条直线的两个平面平行”．(4)如果两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．〔变式训练3〕(2019·南昌模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD ＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝2，AB＝1.设M，N分别为PD，AD的中点．(1)求证：平面CMN∥平面P AB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．[解析](1)证明：∵M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥P A，又MN⊄平面P AB，P A⊂平面P AB，∴MN∥平面P AB．在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，CN＝AN，∴∠ACN＝60°．又∠BAC＝60°，∴CN∥AB．∵CN⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，∴CN∥平面P AB．又CN∩MN＝N，CN，MN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面P AB．(2)由(1)知，平面CMN∥平面P AB，∴点M到平面P AB的距离等于点C到平面P AB的距离．∵AB＝1，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，∴BC＝3，∴三棱锥P－ABM的体积V＝V M－P AB＝V C－P AB＝V P－ABC＝13×12×1×3×2＝33．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升平行中的探索性问题求解策略例5(2019·湖南雅礼中学联考)如图，在等腰梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB ＝2，BC＝1，AD＝3，BP⊥AD，垂足为P，将△ABP沿BP折起，使平面ABP⊥平面PBCD，连接AD，AC，M为棱AD的中点，连接CM．(1)试分别在PB，CD上确定点E，F，使平面MEF∥平面ABC；(2)求三棱锥A－PCM的体积．[解析](1)E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，证明如下：取BP的中点E，CD的中点F，连接ME，MF，EF．∵M，F分别为AD，CD的中点，∴MF∥AC．又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，∴EF∥BC．∵MF∩EF＝F，AC∩BC＝C，∴平面MEF∥平面ABC．(2)∵平面ABP⊥平面PBCD，平面ABP∩平面PBCD＝BP，AP⊥BP，∴AP⊥平面PBCD，取PD的中点E′，连接AE′，ME′，E′C．易知ME′∥AP，PE′＝1，CE′＝1，AP＝1．∴V M－APC＝V E′－P AC，又V A－PCM＝V M－APC，且V A－PCE′＝V E′－APC，∴V A－PCM＝V A－PCE′＝13S△PCE′·AP＝13×12PE′·E′C·AP＝16，∴三棱锥A－PCM的体积为16．名师点拨☞平行中的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．〔变式训练4〕在三棱柱ABC－A1B1C1的棱BC上是否存在一点H，使A1B∥平面AC1H？并证明．[解析]BC上存在点H(即BC的中点)使A1B∥平面AC1H．证明如下：连A1C交AC1于O，则O为A1C的中点连HO，又H为BC的中点，∴HO∥A1B，又OH⊂平面AHC1，A1B⊄平面AHC1，∴A1B∥平面AC1H．。