第三章 控制系统的时域分析1

一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲 1 线，曲线的初始斜率为− T1，输出量的初始值为 T 。 趋于∞ 输出量c (∞)趋于零 趋于零， 当 t趋于∞时，输出量c (∞)趋于零，所以它不存在 稳态分量在实际中一般认为在t=3T～4T 时过度过 稳态分量在实际中一般认为在 t=3 t= 程结束，故系统过度过程的快速性取决于T的值， 程结束，故系统过度过程的快速性取决于T的值， 越小系统响应的快速性也越好。 T越小系统响应的快速性也越好。 由上面的分析可见， 由上面的分析可见 ，一阶系统的特权性由参数 来表述，响应时间为（ t=0 T来表述，响应时间为（3-4）T；在t=0时，单位阶 跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为 ;单位斜 坡响应的稳态误差为T 值越小， 坡响应的稳态误差为T 。T值越小，系统响应的快 速性越好，精度越高。 速性越好，精度越高。
1 C(t) = e （t≥0） (3-4) t≥0） (3T
t − T
C(t)
由此可见， 由此可见，系统的单位脉冲 响应就是系统闭环传递函数 1 0.368 的拉氏变换。 的拉氏变换。一阶系统的单 T 位脉冲响应曲线如图3 所示。 位脉冲响应曲线如图3-4所示。
1 T
斜率 −
1 T2
C(t) t
T 2T 3T 图3-4 一阶系统的脉冲响应
一阶系踪输入信号而 显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而 t=0 单调上升，在达到稳态后， 单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增 但它们之间存在跟随误差。 长，但它们之间存在跟随误差。即
e(t) = r(t) − c(t) = T(1− e )
经典控制理论中常用的工程方法有
时域分析法 根轨迹法 频率特性法 分析内容 瞬态性能 稳态性能 稳定性
时域分析法在时间域内研究系统在典型输入信 号的作用下， 其输出响应随时间变化规律的方法。 号的作用下 ， 其输出响应随时间变化规律的方法 。 对于任何一个稳定的控制系统， 输出响应含有瞬 对于任何一个稳定的控制系统 ， 输出 响应含有瞬 态分量和稳态分量。 态分量和稳态分量。 由于输入和初始条件引起的， 瞬态分量 由于输入和初始条件引起的，随时间 的推移而趋向消失的响应部分， 的推移而趋向消失的响应部分 ， 它提供了系统在 过度过程中的各项动态性能的信息。 过度过程中的各项动态性能的信息。 是过渡过程结束后,系统达到平衡状 稳态分量 是过渡过程结束后 系统达到平衡状 其输入输出间的关系不再变化的响应部分， 态 ， 其输入输出间的关系不再变化的响应部分 ， 它反映了系统的稳态性能或误差。 它反映了系统的稳态性能或误差。 时域分析法的物理概念清晰， 准确度较高， 时域分析法的物理概念清晰 ， 准确度较高 ， 在已知系统结构和参数并建立了系统的微分方程 使用时域分析法比较方便。 后 ， 使用时域分析法比较方便 。 不过若用它来设 计和校正系统， 计和校正系统 ， 根据系统性能指标的要求来选定 系统的结构和参数，却存在一定的困难。 系统的结构和参数，却存在一定的困难。
2
中已经指出，按照脉冲函数， 阶跃函数、 § 2 - 3 中已经指出 ， 按照脉冲函数 ， 阶跃函数 、 斜坡函数的顺序， 前者是后者的导数， 斜坡函数的顺序 ， 前者是后者的导数 ， 而后者是 前者的积分。 前者的积分。
比较一阶系统对上述信号的输出响应可以发现， 比较一阶系统对上述信号的输出响应可以发现， 脉冲响应、阶跃响应、 脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样 的对应关系。这表明， 的对应关系。这表明，系统对某种输入信号导数 的响应，等于对该输入信号响应的导数。反之， 的响应，等于对该输入信号响应的导数。反之， 系统对某种输入信号积分的响应， 系统对某种输入信号积分的响应，等于系统对该 输入信号响应的积分。 输入信号响应的积分。这是线性定常系统的一个 重要特征，它不仅适用于一阶线性定常系统， 重要特征，它不仅适用于一阶线性定常系统，也 适用于高阶线性定常系统。因此， 适用于高阶线性定常系统。因此，在后面的分析 中，我们将主要研究系统的单位阶跃响应。 我们将主要研究系统的单位阶跃响应。
二、单位斜坡响应 设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t， 设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t， 其拉氏变换为 R(s) = 1 则输出的拉氏变换为
s2 1 1 1 T T C(s) = ⋅ 2= 2− + Ts +1 s s s s + 1 T
t − T t − T
t − T
C(t) = t −T +Te
t − T
图3-2中指数响应曲线的初 1 t=0时 始（t=0时）斜率为 1 . 1 T 斜率 T C(t) 因此， 因此，如果系统保 0.632 0.95 持初始响应的变化速度 不变，则当t=T t=T时 不变，则当t=T时，输出 量就能达到稳态值。 量就能达到稳态值。 T 3T 实际上， 实际上，响应曲线的斜率是 图3-2 一阶系统的单位阶跃响应 不断下降的，经过T时间后，输出量C 不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上 升到稳态值的63.2% 经过3 63.2%。 4T时 升到稳态值的63.2%。经过3T～4T时，C（t）将分 别达到稳态值的95% 98%。可见，时间常数T 95%～ 别达到稳态值的95%～98%。可见，时间常数T反 应了系统的响应速度， 越小，输出响应上升越快， 应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快， 响应过程的快速性也越好。 响应过程的快速性也越好。
由式（ 可知，只有当t趋于无穷大时， 由式（3-2）可知，只有当t趋于无穷大时，响应的瞬 态过程才能结束， 在实际应用中， 常以输出量达到 态过程才能结束 ， 在实际应用中 ， 稳态值的95 95% 98%的时间作为系统的响应时间（ 稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即 调节时间） 这时输出量与稳态值之间的偏差为5 调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5 % 或 2% 。 系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定， 系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定 ， 将 测得的曲线与图3 的曲线作比较， 测得的曲线与图3-2的曲线作比较，就可以确定该系 统是否为一阶系统或等效为一阶系统。 此外， 统是否为一阶系统或等效为一阶系统 。 此外 ， 用实 验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达 稳态值的63 63. 所需的时间， 稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间 常数T 常数T。
在零初始条件下， 在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解 微分方程， 微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作 用下的输出响应。 用下的输出响应。 一、单位阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数r(t) 设系统的输入为单位阶跃函数r(t) = 1(t) ,其拉氏 变换为 R(s) = 1 ,则输出的拉氏变换为
s
1 1 1 1 C(s) = . = − 1 Ts +1 s s s+ T
对上式进行拉氏反变换， 对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为
C(t) =1−e
t − T
(t ≥ 0)
(3(3-2)
上式表明，当初始条件为零时， 上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位 阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线, 阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线, 式中的1为稳态分量， 为瞬态分量， 式中的1为稳态分量，− e 为瞬态分量，当t→∞ 瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内， 时 ，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系 统的响应都不会超过起稳态值。 统的响应都不会超过起稳态值。由于该响应曲线 具有非振荡特征，故也称为非周期响应。 具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系 统的单位阶跃响应曲线如图3 所示。 统的单位阶跃响应曲线如图3-2所示。
第三章 控制系统的时域分析
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4 §3-5 §3-6 引 言 一阶系统的时域响应 二阶系统的时域响应 高阶系统的时域响应 控制系统的稳定性 控制系统的稳态误差
§3-1 引 言
分析和设计控制系统的首要任务是建立系 统的数学模型。 一旦获得合理的数学模型， 统的数学模型 。 一旦获得合理的数学模型 ， 就 可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。 可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。
如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐 渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适； 渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作 用到系统的输入信号大多具有突变性质时， 用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选 用阶跃函数较合适。需要注意的是， 用阶跃函数较合适。需要注意的是，不管采用何 种典型输入型号，对同一系统来说， 种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程 所反应出的系统特性应是统一的。这样， 所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可 能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。 能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此 在选取试验信号时，除应尽可能简单， 外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便 于分析处理外， 于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最 不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。 不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、 本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函 脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。 数、脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。
为了研究控制系统的输出响应， 为了研究控制系统的输出响应，必须了解输入信 号的变化形式。在工程实际中，有些系统的输入 号的变化形式。在工程实际中，有些系统的输入 信号是已知的（如恒值系统） 信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系 统来说， 统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变 化的（如随动系统） 因此， 化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分 析和设计， 析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的基 需要选择一些典型试验信号作为系统的输入， 础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入， 然后比较各种系统对这些输入信号的响应。 然后比较各种系统对这些输入信号的响应。常用 的试验信号在第二章已经介绍，它们是阶跃函数 阶跃函数、 的试验信号在第二章已经介绍，它们是阶跃函数、 斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数及正弦函数。 斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数及正弦函数。 这些函数都是简单的时间函数， 这些函数都是简单的时间函数，并且易于通过实 验产生，便于数学分析和试验研究。 验产生，便于数学分析和试验研究。