2020年安徽省池州市高三年级5月份高考模拟理科数学试题(含答案)

105 20 85 ， 105 20 125 ， 2 105 2 20 65 ，
2 105 2 20 145 ， 3 105 3 20 45 ， 3 105 3 20 165 ，
P( X ) P(85 X 125) 0.05 0.14 0.22 0.18 0.08 0.67 0.6827 ， P( 2 X 2 ) P(65 X 145) 1 0.03 0.01 0.96 0.9545 ， P( 3 X 3 ) P(45 X 165) 1 0.9973 ，
2
a
2a
的单调递增区间为 (0, 1) ， ( 1 , ) ，单调递减区为 (1 , 1 ) ，
2a
2a
……………(2 分)
②若 a 2 ，则 f (x) (2x 1)2 0 ，此时 f (x) 的单调递增区间为 (0, ) ， …(3 分) x
③若 a 2 ，由 f (x) 0 ，可得 0 x 1 或 x 1 ，由 f (x) 0 ，可得 1 x 1 ，时 f (x)
设平面
AEB1
的一个法向量为
n
(x,
y,
z)
，则由
n n
AE 0 AB1 0
得
x 2x
3y 2
3z 3y
0 3z
0
，
令 x 3 ，则 y 3 ， z 4 ，即 n ( 3, 3, 4) ……………………（9 分）
易知平面 BB1C1C 的一个法向量为 m (0, 0,1) ……………………（10 分）
因为 h(x) 2ax (a 2) 2 a 2ax2 (a 2)x 2 a (x 1)(2ax a 2) ，
x
x
x
因为 x 1，所以由 h(1) 0 ，可得 2a 1 a 2 0 ，所以 a 2 …………………(8 分) 3
①当 a 2 时，因为 x 1，所以 2ax a 2 2a a 2 3a 2 3 2 2 0 ，
9 sin2 ABD 4 sin2 ADB ， 3sin ABD 2sin ADB ，
所以 sin ABD 2 sin ADB 3
………………(4 分)
由 3sin ABD 2 sin ADB 得 3AD 2AB ，即 3 2 2 AB ，
∴ AB 3 ………………(6 分)
（Ⅱ）设 BC 2x ，则 BD DC x ，
tan AEB AB 3 BE 2
……………（10 分）
∴二面角 A EB1 C1 的大小为 180 AEB
………………（11 分）
tan tan(180 AEB) tan AEB 3 2
即所求二面角的正切值为 3 2
……………………（12 分）
解法二： 由（Ⅰ）知，直线 BC 、 BC1 、 BA 两两垂直，
符合②③，不符合①，所以这套试卷得到好评。 20. 解析：（Ⅰ）由题意知
………………(12 分)
MF1 MF2 MP PF1 MQ QF2 2 MP F1F2 4 ， …………(2 分)
因为 MF1 MF2 F1F2 ，所以动点 M 的轨迹 C 是以 F1 ， F2 为焦点，长轴长为 4 的椭 圆(挖去与 x 轴的交点)． …………………………(3 分)
21．解析：（Ⅰ）定义域为 (0, ) ， f (x) 2ax (a 2) 1 (2x 1)(ax 1) (x 0)
x
x
………………………………………………………(1 分)
①若 0 a 2 ，由 f (x) 0 ，可得 0 x 1 或 x 1 ，由 f (x) 0 ，可得 1 x 1 ，f (x)
x my 1
联立得方程组
x
2
4
y2 3
，消去 x 并整理得 (3m2 1
4) y2
6my 9
0，
36m2 36 3m2 4 144 m2 1 0 ，
y1
y2
6m 3m2
4
，
y1 y2
9 3m2
4
…………（7 分）
AB 1 m2 y1 y2 1 m2 y1 y2 2 4 y1 y2
cos n, m
4
2
7 ， sin
n, m
21 ， tan
n, m
3
……………（11 分）
27 7
7
2
观察知，二面角 A EB1 C1 为钝角，所以所求二面角的正切值为
3 …………（12 分） 2
19．解析：（Ⅰ）平均分 x 65 0.06 75 0.06 85 0.1 95 0.14 105 0.22 115 0.18 125 0.16 135 0.06 145 0.02 105
2020 年池州市普通高中高三教学质量统一监测
理科数学参考答案
命题人：吴成强 罗智国
审题人：李龙兵
一、选择题：本题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分。
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 C
B
A
D
A
C
A
B
A
B
C
C
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13． an 2n
14． 672
15． 25
16． 3
三、解答题 ：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分
17.解析：（Ⅰ） 9(1 sin2 ABD) 4(1 sin2 ADB) 5 0 ………………(2 分)
…………………2 分
展开
cos
6
1
左边，有
3 cos 1 sin 1 ，
2
2
…………………………3 分
从而 C2 的直角坐标方程为 3x y 2 0 ． …………………………4 分
(2)k 5
(3)3k
5
(k
0,1, 2,3)
。
理科数学参考答案 第 2 页（共 6 页）
故 Y 的分布列为
Y
0
1
2
3
P 27 54 36
8
125 125 125 125
则 E(Y ) 3 2 6 55
………………(8 分)
（Ⅲ）记该市高三考生的理科数学成绩为 X ，由（Ⅰ）可知， x 105 ，又 20 ，
又 AB ⊥面 BB1C1C
∴ C1B AB ， AB CB B ，
x
y
∴ C1B ⊥平面 ABC ，又 C1B 平面 A1C1B ，所以平面 A1C1B ⊥平面 ABC …（6 分）
理科数学参考答案 第 1 页（共 6 页）
（Ⅱ） CE BC 2 ， BCE 60 ∴ BE 2 ， EC1B1 120 ， C1E C1B1 2 ∴ EB1 2 3 ∴ BE2 B1E2 B1B2 ∴ BEB1 90 ， 即 B1E BE ， 又 AB ⊥平面 BCC1B1 ∴ B1E AE ∴ AEB 为二面角 A EB1 B 的平面角 …………（8 分）
∴综上可得 F1A F1B 为定值 3 。 …（12 分）
AB
12 4
AB
4
AB
4
法二：证明：设
AB
方程
x
y
1 t cos t sin
（
t
为参数，
为倾斜角）………(6
分)
代入椭圆方程得 (3 sin2 )t2 6 cost 9 0 ，
t1
t2
6 cos 3 sin2
， t1t2
设曲线 C
方程为： x2 a2
y2 b2
1 (a
b
0,
y
0) ，则 2a
4，a
2，c
1，b
3，
所以曲线 C 的方程为 x2 y2 1 ( y 0) 43
. ………………(5 分)
（II）法一：证明：由（Ⅰ）得 F1 1,0 ，设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) .
因为 AB 的斜率不为零，可设 AB 的方程为 x my 1 ………………(6 分)
9 3 sin2
………………(8 分)
F1A
F1B
t1t29 3 sin2 ………………(9 分)
AB t1 t2
(t1 t2 )2 4t1 t2
(
6 cos 3 sin2
)2
3
36 sin 2
12 3 sin2
∴ F1A F1B 9 3 AB 16 4
………………(12 分)
3
3
所以 h(x) 0 ，此时 h(x) 在1, 上单调递增，h(x) h(1) 0 ，符合。 ………(9 分)
②当 0 a 2 时， 2 a 1，因为 x 1， x 1 0 ，所以由 h(x) 0 ，得1 x 2 a ，
3 2a
2a
此时 h(x) 在 (1, 2 a ) 上单调递减，所以当 x (1, 2 a ) 时，
………………(3 分)
众数 y 105
………………(4 分)
（Ⅱ）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理科数
学成绩中随机抽取 1 个，理科数学成绩位于[100,120) 内
的概率为 0.22 0.18 0.40 2 ，所以随机变量Y 服从
5
二项分布 Y
B(3, 2) ，故 5
P(Y
k)
C3k
所以可以 BC 、 BC1 、 BA 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，
易得
B(0,
0,
0) ，
C
(2,
0,