分类讨论思想在圆中的运用刘晨曦

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分类讨论思想在初中数学解题中的应用

分类讨论思想在初中数学解题中的应用作者：李少洪来源：《新课程·中学》2014年第07期摘要：数学学科非常重视对不同解题思想的运用，根据不同题目的类型与特点，采用最佳且最适合的解题方法，是数学思想运用在解题技巧中的最佳方式。

这不仅有助于提高学生数学解题的效率，也有助于使学生养成定向解题记忆与扩散性灵活运用的习惯，让学生在遇到类似的数学问题时，可以及时搜索大脑中储存的类型化解题思想，从而有效地帮助学生解决所困扰的难题。

就以数学分类讨论思想的思考特点与运用方式为着手点，探析在初中数学解题中学生对分类讨论思想的合理运用与解题效果，从而有效印证分类讨论思想在数学解题中的科学性与必要性。

关键词：分类讨论思想；初中数学解题中的应用；思考特点与运用方式；解题效果分类讨论思想是一种重要的数学思想，更是一种重要的解题策略，它不仅体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，也揭示着数学对象之间的内在规律，有助于学生总结和归纳数学知识。

更重要的是，在面对诸多数学问题时，科学有效、合理有序的分类讨论思想不仅有利于提高学生数学解题的能力，增加学生解题成功的概率，从而达到调动学生学习数学知识的热情与积极性的目的；也有利于提高学生的创新意识和实践能力，使学生真正认识到数学学科的无限魅力，从而在促进初中数学教学优化与升级的同时，高效推进教育改革的完美转型。

一、数学分类讨论思想的思想特点与运用方式1.通过实际讨论，实现思想上的论证例如，在八年级下册针对一元一次不等式的知识点考核衍生的数学问题：某公司为了扩大经营，决定购进5台机器用于生产某种活塞。

现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。

经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过22万元。

据上述例子总结，可以看出分类讨论思想对于实际问题进行讨论论证的特点是对学生思维谨慎性与比较性的实际锻炼。

首先，学生在看到题目时，通过题目的问题提示，即“按该公司要求可以有几种购买方案？”学生可以立即在思想上判断出此题的讨论论证存在多种可能；接着，学生根据题目的要求，对问题进行假设，通过对一元一次不等式的求解，得出假设的可能性结果；最后，根据不等式的求解结果，有针对性地进行分类论证，最终得出符合公司要求的购买方案。

初中数学分类讨论思想在解题中的应用体会

初中数学分类讨论思想在解题中的应用体会作者：祁永前来源：《考试周刊》2013年第75期摘要：分类讨论思想充分体现了归类整理思想及“集零为整，化整为零”思想，是一种非常重要的解题策略与数学思想。

在初中数学解题过程中，有效运用分类讨论思想，有利于学生深入理解数学知识之间的内在规律性，对于培养学生思维的概括性、提高学生思维的条理性具有重要意义。

本文在简要分析初中数学中分类讨论思想原则的基础上，着重分析了分类讨论思想在初中数学中的应用。

关键词：初中数学教学分类讨论思想应用一、初中数学中分类讨论思想应用原则（一）同一性与相称性原则在初中数学解题中运用分类讨论思想，首先要确定分类讨论的对象，而无需对全部对象进行分类，且分类标准应具有一致性，即不能按照多个不同标准进行分类，主次清晰，不重复、不遗漏。

例如，若在对三角形进行分类时，将其分为等腰三角形、锐角、直角、钝角三角形等。

这一分类过程中，就同时使用了两个分类标准：角、边，因此这一分类就不科学。

同时分类要相称，也即是分类之后，分类子项的并集与母项外延相称。

（二）互斥性与多层次性原则互斥性原则主要是指在分类之后，各子项应相互排斥，不能使其中的部分事物同属于一个子项。

例如，某班学生参加田径与球类比赛的学生共7人，其中参加田径比赛有5人，而球类比赛有4人。

由于这7人中，必有2人两项比赛均有参加，若将着7人分类为参加田径与球类比赛两类，则存在逻辑性错误。

同时，在初中数学解题中，分类讨论有一次与多次分类讨论之分，在遇到分类情况较复杂的条件下，可采用“二分法”，将讨论的对象分作两个具有层次性的相互矛盾的概念，逐层分类，直到不必分为止。

二、分类讨论思想在初中数学中的应用（一）分类讨论思想在方程中的应用解方程是初中数学学习的基础，在解题过程中，可运用方程进行位移、消元或转化运算实现求解。

然而在求解方程的过程中，取值的局限性是学生很容易忽视的问题，如指数的幂，含绝对值方程等，往往容易忽略并非所有未知数取值范围皆为实数。

高中数学论文用分类思想讨论圆中的问题

用分类思想讨论圆中的问题用分类思想解圆中的问题常常出现在中考题中，这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养学生严谨周密的逻辑思维能力。

如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。

现收集整理这方面的例题进行分析讨论，供大家参考。

按点与圆的位置关系讨论例1 在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为。

解析：根据点P与⊙O的位置关系有如图1两种可能。

过点P 和圆心O作直线分别与⊙O相交于A、B两点。

PA、PB分别表示圆上各点到P的最长距离和最短距离。

（1）当P点在圆内时如图1（1）直径AB=PA+PB=10㎝（2）当P点在圆外时如图1（2）直径AB=PA-PB=6㎝所以⊙O的半径应为5㎝或3㎝图 1(2)(1)PB图2(2)(1)aa、例2 ⊙O的直径为6㎝，如果直线a上的一点C到点O的距离为3㎝，则直线a与⊙O的位置关系是。

解析：题目中只涉及点C到圆心的距离，并非是圆心到直线a的距离，所以有如图2两种可能。

（1）当直线a与⊙O仅有一个交点C时，点C到点O的距离为3㎝，它与半径相等。

则此直线为⊙O的切线，交点C为切点。

∴直线a与⊙O相切如图2（1）（2）当直线a与⊙O不止个交点时，OC=3 OC是⊙O的半径∴直线a与⊙O相交如图2（2）所以直线a与⊙O的位置关系是相切或相交。

按点在弧上的位置关系讨论例9、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=___________度解析：由于点B可能在优弧ABC上，也可能在劣AC上，所以有如图6（1）、6（2）两种情况。

连接OA、OC，由于PA、PC是⊙0的切线，A、C是切点，∠P=50°，∴∠AOC=1300。

（1）当点B在优弧AC上时，∠ABC=65°，1（360°－130°）=1150 （2）当点B在劣弧AC上时，∠ABC=2所以∠ABC=650或115°例10：在⊙0中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点，判断∠COB与∠CPD的数量关系，并证明你的结论。

与圆有关的分类讨论思想例谈

二ＸＺ
、／３，弦ＡＤ长为、／２．则ＤＣ＝．解析：本题ｌ｛】弦ＡＣ与弦ＡＤ可以在同一个半圆【ｆＪ，也可以分别在两个半圆【１】。故分两种隋况进行分类讨论，讨论过程如下：连接ＢＣ，ＢＤ，ＯＤ．ＡＢ是０Ｏ的直径，
｜
与圆有关的分类讨论思想例谈
甘肃省金昌市第三中学王鹏程
分类讨论，就是当对问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类对象分别进行研究得出每一类的结论，最后综合结果得到整个问题的解答。在ｑ１考ｌ１｜，有关圆的涉及 “ 分类讨论 ”的问题十分常见，因为这类题不仅考查了学生的数学基本知识与基本方法，而且考查了学生思维的深刻性。本文结合近年来中考中出现的一些试题谈一谈分类讨论思想在有关圆的问题中的应用。根据点的位置分类讨论例１在数轴上，点所表示的实数为３，点曰所表示的实数为ｎ，０的半径为２．下列说法中不正确的是（）．
・ ‘ ．
（３Ａ运动的时间为
Ｘ
＝１（秒）综上所述，ＯＡ运动的时
．
问为秒或妄秒。
Ｚ
‘
．
．
ＡＣＢ＝ＡＢ＝９０。．
・．
・
曰：２，ｃ：
，Ｊ４Ｄ＝、／，
ｒ——பைடு நூலகம்——— —— ＝＝：— 一
・．．
、／厂，则弦ＡＢ所对圆周角的度数为（）．
Ａ．３０￣Ｂ．６０￣Ｃ．３０。或１５０￣Ｄ．６０。或１２０￣解析：弦Ａ口所对的圆周角的顶点可以在，４Ｂ所对的优弧上，也可以在ＡＢ所对的劣弧上，故本题应分优弧上的圆周角和劣弧上的圆周

探究分类讨论思想在初中数学教学解题中的应用

数学学习与研究2014.18【摘要】分类讨论是归类整理思想的重要体现,分类讨论是初中数学中应用非常广泛的数学解题策略.在实际教学过程中分类讨论思想的应用对于帮助学生掌握数学知识的规律,对于提升学生的概括能力和条理性具有重要意义.分类讨论思想在初中数学教学中占据重要位置,加强分类讨论思想的研究有重要意义.本文将结合苏科版实际案例来详细探讨数学解题过程中分类讨论思想的应用.【关键词】分类讨论;数学教学;应用数学解题能力是学生综合素质的重要表现,数学解题能力的培养是初中数学教学的重要目标.在素质教育不断推进的背景下,数学解题能力的培养更显得重要.传统教学方式下学生解题效率并不高主要原因在于解题能力不高,在新形势下要想适应实际初中数学的实际教学就需要加强分类讨论思想的研究.分类讨论思想是一种专业的数学思想,在数学解题过程中应用分类讨论思想能够帮助学生深刻理解问题本质,学生在解题过程中也将变得更加方便.在今后应该不断加强对分类讨论思想的研究.学生在解题过程中也应该充分利用这种思想.一、分类讨论思想需要坚持的原则在应用分类讨论思想进行解题的过程中学生和教师必须要坚持以下两个原则:一是同一性与相称性原则.针对分类讨论思想的应用首先是要明确对象,只有在明确对象的前提下才能进行科学讨论.讨论对象要根据解题对象来确定.在实际解题过程中不需要对全部对象进行分类,分类过程中标准也应该保持一致.分类标准一致,才能保证对象分类的科学性.例如在对三角形进行分类的过程中如果同时应用角和边这两个分类标准就会导致三角形分类的不科学.应用两种标准分出的类别将会存在交集.二是在实际教学过程中还应该坚持互斥性与多层次性原则.互斥性原则主要指的是分出来的各个子项应该是相互排斥的,两个子项之间应该是没有交集的.层次性原则主要指的是在实际解题过程中有可能会出现多次分类的现象,出现这种现象之后就需要坚持层次性原则.所谓层次性原则主要指的是应用二分法把具有层次性的互相矛盾的概念进行逐层分类,通过这样的方式可以有效提升分类的科学性.二、分类讨论思想的具体应用分类讨论思想在初中数学解题中应用非常广泛,圆中的应用、三角形中的应用、代数中的应用、方程中的应用是比较典型的基础应用.本文将重点探讨这几个方面的应用.(一)圆中的应用.圆本身具有对称性,圆与直线、圆与圆等知识是初中数学中的重要内容.例如在九年级上册第五章中,这一章通篇讲解的是圆的对称性、圆与圆的位置关系、正边形与圆、直线与圆的位置关系等内容.在圆的对称性这个知识点中,经常会遇到这样一个问题,给出两个相交圆半径以及公共弦长,最后求出圆心距.针对这个问题就需要采取分类讨论的思想来解决.我们假设两圆半径分别是4cm,5cm,公共弦长是6cm.此时我们就可以分成两种情况来解题:一是公共弦在两圆心同旁,二是公共弦在两圆心之间,这两种情况所求出来的圆是不同的.在实际解题过程中应用分类讨论的思想来进行解题,可以有效培养学生的分析与归纳能力,对于深化学生的概括性思维能力的培养也具有重要意义.(二)三角形中的应用.在解决三角形问题的过程中经常会应用到分类讨论思想.在一些三角形题目中已知条件不明确,此时就需要应用分类讨论的方式来进行解题.例如在学习直角三角形过程中会遇到以下问题:已知两边是3cm 和4cm 的直角三角形,而后要求求出第三边边长.此时在遇到这个问题之后我们经常会先入为主地得出第三边边长是5的结论,这显然是错误的.在这个问题中已知条件并没有告诉我们哪条是斜边,哪条是直角边,此时就需要运用分类讨论的思想来进行处理.针对这个问题,我们需要假设两种情况来进行讨论,当已知条件中的两边都是直角边的时候,第三边边长就是5cm;当已知条件中4cm 是斜边的时候,得出来的第三边边长则是7√cm.这个问题是一个十分典型的问题,在实际解题过程中学生经常容易忽视第二种情况.因而在实际解题过程中要高度重视分类讨论思想的应用.(三)代数中的应用.初中数学基本上可以分为两部分,一部分是几何,另外一部分就是代数.分类讨论思想在代数中的应用更为广泛,这一点在绝对值分析中最为典型.在七年级上册第二章中有一节是专门讲解绝对值与相反数的.在学习绝对值的过程中就需要合理应用分类讨论思想.通常情况下对于绝对值内的数,要分成小于零、大于零以及等于零这三种情况来进行处理,而在比较大小的时候则需要对字母情况进行深入细致的分类.例如在遇到二次函数的时候,当二次项系数变为零的时候,它将会变成一次函数.在实际解题过程中要把方程化到最简来进行解题,在解题过程中还需要注意分母不为零这一点,在实际工作过程中必须要充分重视这一点.分类讨论思想是初中数学中的基本思想,这一思想在解题过程中占据重要位置,数学解题离不开分类讨论思想的应用.在人们对初中数学教学质量要求越来越高的背景下加强分类讨论思想的研究有重要意义.本文以苏科版实际案例为例详细分析了分类讨论思想在实际解题过程中的应用.在今后教学中教师与学生首先是要把握原则,之后是要结合题中所包含的已知条件来有针对性地分情况进行科学讨论解题.【参考文献】[1]皇甫琴.分类讨论思想在数学解题中的应用[J ].考试周刊,2012(65).[2]史志亚.分类讨论思想在初中数学解题中应用分析[J ].数学大世界(教学导向),2012(11).[3]曾建平.分类讨论思想在解题中应用的原则[J ].数学学习与研究(教研版),2009(5).探究分类讨论思想在初中数学教学解题中的应用◎王志红(江苏省东台市时堰镇中学224211). All Rights Reserved.。

初中数学分类讨论思想在解题中的应用

初中数学分类讨论思想在解题中的应用■甘肃省张掖市民乐县第四中学费博学一、初中数学解题中分类讨论思想的重要作用在数学解题的过程中，分类讨论思想可以看作是一种逻辑划分思想，因此，在对分类讨论思想进行应用的过程中，教师应该引导学生建立起化整为零的思考方式，并在此基础上让其对学习的知识和遇到的习题进行总结，通过这样的方式更好地认清习题和知识的内在联系，最终达到扎实地掌握知识并灵活进行运用的目标。

除了有效提升初中数学教学质量之外，通过引导学生学习和掌握分类讨论思想，可以帮助学生在面对各种问题的时候更加清晰有序地进行思考，不但可以更好地提升学生的解题准确度，也可以大幅度提升学生的解题效率。

学生在不断对问题进行分析和总结的过程中，领会到数学学习的乐趣所在，这对于提升学生的学习积极性和培养学生自主学习的习惯是非常有帮助的。

在初中数学的解题过程中，引导学生应用分类讨论的思想进行解题是非常有必要的。

二、初中数学中分类讨论思想的应用原则（一）互斥性原则在应用分类讨论思想的过程中，互斥性原则一直是最基础也是最核心的原则之一。

在对目标进行分类的过程中，互斥性原则指的是分类之中的各个子项应该保持相互排斥的原则，不能存在某一因素既可以属于这个子项，又可以属于另外一个或者几个子项的情况。

例如在学校开展联欢会的过程中，A 班有16名学生参加了唱歌、舞蹈以及小品演出，参加唱歌演出的学生共有8人，参加舞蹈演出的学生共有5人，参加小品演出的学生共有4人，在这种情况下，如果单纯将17人分别划分为参加唱歌、舞蹈和小品演出的学生，则会出现逻辑上的错误。

为此，学生在应用分类讨论思想进行解题的过程中，需要充分遵守互斥性原则，避免出现上述的分类错误问题，从而更好地发挥出分类讨论思想的重要作用。

（二）相称性原则除了互斥性原则之外，相称性原则也是学生在应用分类讨论思想的过程中需要遵守的核心原则之一。

相较于互斥性原则，相称性原则更难以被学生所理解，因此需要教师对学生进行一定的帮助和引导。

基于分类讨论思想能力培养的课堂教学——以“圆”的教学为例

***************.com投稿邮箱:***************.com 数学教学通讯2020年9月（中旬）<作者简介:刘俊洁（1979—），本科学历，中小学一级教师，从事初中数学教学工作.所谓数学分类思想,是将数学现象之间的异同点进行分类之后再讨论的一种思想,具有综合性、逻辑性以及探索性等特征,又可称为数学逻辑思想.这种数学思想的形成不是一蹴而就的,它需要从学生的学习习惯及认知水平上逐渐渗透,经历一个漫长的过程,形成思想的螺旋式上升,逐渐丰富学生的内涵而达成.数学分类讨论思想的作用数学分类能培养学生条理性和周密性的思维能力,分类时要确保不能有遗漏或重复;而讨论则是学生观察数学现象与分类情况,探索其中的数学规律和问题.学生掌握这种思想方法将会夯实数学基础,提高学生分析问题和解决问题的能力.这种思想的应用能让一些过于抽象和复杂的数学问题变得简单化,能帮助学生更好地解决数学问题.运用数学分类思想解决数学实际问题时,先要明确哪些数学问题需要用这种思想,哪些问题不需要.不少学生面对问题的时候,难以判断问题是不是需要用到分类讨论思想方法,更没办法从问题呈现的条件与结论分辨出与分类有关的位置或数量关系.因此,遇到问题时,能否快速辨认是否需要使用数学分类讨论思想方法是解决实际问题的关键.笔者从多年的初中数学执教经验出发,以解决“圆”的问题为例,具体谈谈基于分类讨论思想能力培养的课堂教学.以解决“圆”的问题为例圆,既是中心对称图形,又是轴对称图形;具有旋转不变性、任意对称等特殊性.这些特征给学生解决问题带来了一定的难度.而分类讨论的方法正适合解决这种具有多种属性和复杂性的数学问题.因此,笔者在解决与圆有关的问题时渗透分类讨论思想,将问题进行相应的分类与归纳,以帮助学生更清晰地理清问题,从而更好地解决问题.1.直线与圆的位置关系不唯一案例1 已知直线l 上一点P 到圆心O 的距离为5cm ,☉O 的半径也是5cm ,试确定直线l 与☉O 的位置关系.分析部分学生误认为圆心O 到直线l 的距离为OP ,将直线l 上一点P 当作垂足,得到直线l 与☉O 的位置关系是相切,从而出现漏解.解答 (1)当OP ⊥l 时,圆心O 到直线l 的距离为OP.因为OP=5,☉O 的半径也为5,所以圆心O 到直线l 的距离等于☉O 的半径.所以此时直线l 与☉O 相切.(2)当OP 与直线l 不垂直时,圆心O到直线l 的距离小于OP 的长,此时直线l与☉O 相交.综上可知,直线l 与☉O 的位置关系为相切或相交.变式直线l 上一点P 到圆心O 的距离是a ,☉O 的半径为r ,且a=r ,试确定直线l 与☉O 的位置关系.2.弦与弦的位置关系不唯一案例2 在半径为1的☉O 中,弦AB=2√,AC=3√,求∠BAC 的度数.分析这道题主要考查勾股定理和垂径定理,很多学生只能求出其中一个解.事实上,应考虑到圆心与两弦的位置关系,分弦AB 与AC 在圆心O 的同侧或异侧两种情况进行求解.基于分类讨论思想能力培养的课堂教学———以“圆”的教学为例刘俊洁重庆市朝阳中学北校区400700［摘要］分类讨论思想是数学思想的一个分支，它在探究数学概念和解决数学问题中起着重要的作用.文章以“圆”的教学为例，具体阐述了初中数学教学过程中分类讨论思想能力的培养措施.［关键词］圆；初中数学；分类讨论思想63***************.com 投稿邮箱院***************.com数学教学通讯>2020年9月（中旬）教学引导:首先引导学生提取条件中的几何特征,然后结合相应的几何图像来对其加以表述,最后得出相应的几何结论.条件:一点位于一个角的平分线上→OC 为∠AOB 的平分线,点P 是OC 上任意一点.结论:点到角两边的距离相等→过点P 作PD ⊥OA ,垂足为D ,PE ⊥OB ,垂足为E ,则PD=PE.利用上述几何信息可以绘制如图6的几何图形.该图形直观地呈现了∠AOB 的平分线、点P 位于平分线OC 上的位置特性,以及点P 到角两边的距离.根据几何图形可以深刻理解性质定理所表达的内容,同时可以进一步开展性质定理的证明.进行定理证明教学时,同样可结合全等三角形知识,从数学语言角度进行探究,具体如下.已知:如图6,在∠AOB 中,∠AOC=∠BOC (呈现了OC 平分∠AOB 的情形),点P 在OC 上,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E.求证:PD=PE (角平分线上的点到角两边的距离相等).证明:因为PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt △PDO 和Rt △PEO 中,因为∠PDO=∠PEO ,∠DOP=∠EOP ,PO=PO ,⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐所以△PDO ≌△PEO.所以PD=PE (全等三角形的对应边相等).O PA 图6B DC E 完成定理的语言表述和几何证明之后,有必要进一步引导学生对性质定理进行语言对照,从文字语言和几何语言的对比上来理解定理.文字语言:角平分线上的点到角两边的距离相等.几何语言:已知∠AOC=∠BOC ,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,垂足分别为D ,E ,则PD=PE.总之,角平分线的性质定理是数学几何的核心内容,在实际教学中需要充分把握学情,从知识与能力两方面展开教学设计.教学时,可联系旧知情境引入,完成问题的自然引出;抽象数学模型,开展过程探究,引导学生认识性质定理;设计活动语言转化证明,让学生在深刻理解定理的同时提升语言概括能力.以知识传达、方法指导、情感提升为目标的课堂教学是对当下素质教学的贯彻落实,对学生的长远发展有极大的帮助,值得倡导、借鉴.解答过点O 分别作OD ⊥AB ,OE ⊥AC ,垂足分别为D ,E ,则AD=BD=2√2,AE=CE=3√2.所以cos ∠DAO=AD AO =2√2,cos ∠OAE=AE OA =3√2.所以∠DAO=45°,∠OAE=30°.如图1,当AB 与AC 在圆心O 的两侧时,∠BAC=∠DAO+∠OAE=75°;当AB 与AC 在圆心O 的同侧时,∠BAC=∠DAO-∠OAE=15°.所以∠BAC 为75°或15°.图1D C′A O C E B 变式如图2,AB 是☉O 的直径,AB=2,弦AC=2 √,画弦AD ,使AD=1,并求∠CAD 的度数.3.弦与和它所对的圆周角的不唯一案例3 已知☉O 的弦AB 的长和☉O 的半径相等,请求出弦AB 所对的圆周角的度数.图3B A O P P 分析不少学生所给的答案只有30°,究其原因,主要是学生对弦所对的圆周角以及点与圆的位置关系没有完全理解.一个圆上非直径的弦所对的弧有优弧和劣弧,非直径的弦所对的圆周角有钝角和锐角,因此,解题过程中要从优弧、劣弧所对的不同的圆周角这一角度来思考.解答如图3,连接OA ,OB ,因为OA=OB=AB ,所以△AOB 是等边三角形.所以∠AOB=60°.当点P 在优弧AB 上时,∠P=12∠AOB=30°;当点P 在劣弧AB 上时,∠P=180°-30°=150°.所以弦AB 所对的圆周角为30°或150°.变式1 已知O 为△ABC 的外心,若∠BOC=100°,求∠BAC 的度数.变式2 在半径为4的☉O 中,弦AB=43√,求弦AB 所对的圆周角的度数.变式3 在☉O 中,弦AB 分圆成1∶4两部分,求弦AB 所对的圆周角的度数.从上面几个解决圆的问题的例题中可以看出,分类讨论思想方法能把一些繁杂的问题变得简单.学生通过这种思想方法,能快速理清解题思路,明晰解题步骤,让问题变得简单易懂.其实,这种思想方法不仅能用于解决与圆有关的问题,在初中数学几何、方程、函数、概率或绝对值等方面也有运用.实践证明,这种思想方法能力的培养能帮助学生更加周密、全面地解决数学问题.因此,教师在教学过程中,必须从思想上与行动上高度重视分类讨论思想的应用,要将这种思想贯穿课堂的各个环节,让学生掌握,并达到举一反三、触类旁通的学习成效,从而提高学生的学习效率和数学综合素养.（上接第34页）B 图2A C O64。

分类讨论思想在算法中的应用

类处理，若／达到要求则结束，否则就要进行
（责任编辑郭正华）
８
想的学习，特别是在算法中的应用，能体现“ 着
重考查数学能力的要求” 。
一
ｉ一１
Ｓｕｍ一０
ＷＨＩＬＥｉ＜一ｎｓｕｍ— ｓｕｍ＋ｉ
、
在程序框图中的应用
侧，设计求解不等式ｎｚ＋ｂ＞０（ｄ≠
＼
／，
一
两个数的最大公约数。这个算法过程渗透着
Ｉ＞
Ｌ
—
ｌ
— — —
『０
ｌ＜一Ｉ
——Ｔ。。
分类处理问题的思想方法。
数
，
解：６３不是偶数，把９８和６３以大数减小
９８ —６３ —３５：
并辗转相减。
，
用较大的数减去较小的数，然后将
／输人口，６／
山
＜ Ⅱ＞０、、＿二＝ —— ］
差和较小的数构成新的一对数，再用较大的
Ｉ
数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数
和较小的数相等，此时相等的两数便为原来
１４ —７ —７
意识。
二、在算法语句中的应用
故９８与６３的最大公约数是７。
评析：无论是辗转相除法
、
秦九韶算法、
侧２写一个算法程序，计算１＋２＋３＋ … ＋”的值（要求可以输入任意大于１的自然数）。

分类讨论思想在解决圆中计算题的应用

分类讨论思想在解决圆中计算题的应用摘要：本文主要介绍了分类讨论思想在解决园中计算题的应用。

通过对这一应用的阐述和分析，达到提高数学教学效率的目的。

关键词：分类讨论思想；圆中计算题；应用数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。

需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：涉及的数学概念是分类定义的；运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

运用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生研究问题，探索规律的能力。

苏科版初中数学九年级上册第五章《中心对称图形》二中，涉及很多与圆相关的计算问题，学生在解决这些问题的过程中，往往会因考虑不周，或受思维定势的影响而导致误解或漏解，灵活运用分类讨论思想解决这类问题，可以化繁为简，达到事半功倍的效果，下面举例说明分类讨论思想在解决圆的问题中的广泛应用。

一、点和圆相关的问题二、直线和圆相关的问题三、弦与圆周角相关的问题四、弦与弓形高相关的问题五、弦与弓形面积有关的问题例5：在半径为5cm的⊙O中求长8cm的弦所对的弧组成的弓形的面积。

析：此题与前“五”相似，弦所对的两条弧一优一劣，应分大于半圆的弓形和小于半圆的弓形两种情况进行讨论。

解：(略)六、圆内两条平行弦相关的问题七、有公共点的弦夹角问题由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常得清晰，步骤非常得明了。

另一方面在讨论中，可以激发学生学习数学的兴趣。

作者单位：江苏省南师大第二附属初级中学邮政编码：211900。

分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究

分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究摘要：在数学教学过程中，为了能够进一步提高数学教学质量，为学生今后相关数学知识的学习奠定良好的基础。

需要数学教师能够进一步发挥分类讨论思想在数学教学过程中的教学价值，调整学生实际学习状态，有效的引导学生树立正确的学习态度。

让学生能够对分类讨论思想有着深入清晰的认识，并在日常数学问题解答过程中能够准确的应用分类讨论思想，逐步培养学生对数学知识的探索性，并对学生个人解题思想进行适当的引导，从而帮助学生找到适合个人的解题技巧和方法，充分发挥分类讨论思想在数学教学活动中的作用，为学生学好其他学科奠定良好的基础，接下来本文将对分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用进行简要论述。

关键词：初中数学；分类讨论思想；运用探究初中阶段是学生学习和发展的重要阶段，在此过程中教师除了要帮助学生完成必要的课程学习以外，还需要对学生个人思想观念方面进行正确的引导，让学生在掌握所学知识的同时，提高学生个人的思想层面。

特别是在数学教学工作当中，教师必须要帮助学生在有限的学习时间内掌握数学解题方法以及技巧，同时也要求学生能够具备基础的数学素养，让学生能够掌握各种解题思想。

这也是当前新课标下数学解题教学工作的重中之重，需要教师能够高度重视分类讨论思想对于学生个人发展的重要影响，并在日常教学活动当中，能够让学生更加清楚的认识和掌握分类讨论思想，并将其合理的应用到日常学习和生活当中。

1.分类讨论思想的概念分析在初中教学过程中为了能够进一步发挥分类讨论思想的教学价值，需要数学教师能够清楚的认识和掌握分类讨论思想这一概念。

分类讨论思想是学生在学习过程中解决问题的主要思维策略之一。

这种数学解题思想主要是将所研究的数学对象按照一定的原则划分为不同的类别，随后再逐步展开研究，最后将研究得到的所有结果进行汇总从而得出答案。

分类讨论思想在数学教学工作中的应用能够进一步将复杂的数学题目转换成几个简单的问题，方便学生及时掌握题干信息，并作出精准解答。

分类讨论思想在圆中的应用

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分类讨论思想在圆中的应用
作者：葛松
来源：《数理化学习·初中版》2012年第11期
数学思想方法是数学的灵魂和精髓，如何在中学数学教材中体现数学思想方法，不失时机地向学生渗透数学思想方法是一个十分重要的问题.分类讨论也是其中一种重要的数学思想.分类讨论是在题目部分条件缺失或不明确的情况下，按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法.掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提
高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须做到不重、不漏.下面就分类讨论的思想方法在圆中的应用做相关归纳与剖析.。

轻轻挑开分类讨论思想的面纱

数学学习与研究2016.6【摘要】分类讨论思想在初中数学经常涉及,有着广泛的应用,其具有很强的综合性、逻辑性、探索性,分类讨论思想不仅仅是一种数学思想、解决问题的工具,对学生能力的考查也有很高的要求,导致学生在解答分类讨论题时经常出现“不会或者不全”,原因主要是学生不知道为何分类讨论,怎么做.笔者根据自己平时的教学,谈谈如何让学生更好掌握分类讨论思想.【关键词】分类讨论思想;分类讨论;概念一、学生的分类之“殇”学生在分类讨论思想应用上常见的错误大致有这几类:(一)分析问题时分类讨论思想的意识不强一个问题基本涵盖条件和结论,分类讨论终究是条件的不确定,导致正确结论无法得出,这时就需要分类讨论,确定条件.例如:一个等腰△ABC 中∠A =80°,那么这个三角形中∠B 是多少度?这是一道初中与等腰三角形有关的常见的题型,但是此题不见得所有学生都能解答出全部情况.部分学生认为∠A 是顶角,所以理所当然得出∠B 是底角,从而得出其度数为50°.(二)分类讨论的原则不清在上面的题中∠A 是底角还是顶角呢?∠A 的属性不清,这时需要对∠A 进行讨论.当∠A 是顶角时,∠B 只能是底角,从而得出∠B =50°.当∠A 是底角时,此时部分学生会理所当然的想到∠B 是顶角,但是还没有对∠B 进行讨论,就会遗漏其他情况.(三)审题不清,主观臆断已知函数(为常数)与轴有公共点,求的取值范围.此题考查一次函数与二次函数的概念,学生审题不清,单从形式上认为本题的函数是二次函数,给出这一题的解很多是根据判别式从而得出的范围.二、分类讨论思想(一)到底是什么每个数学结论都有其成立的条件,每一种数学方法的使用也往往有其适用范围,在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究,还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的,这样字母的取值不同也会影响问题的解决,由上述几类问题可知,就其解题方法及转化手段而言都是一致的,即把所有研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称之为分类讨论思想.(二)数学课本中常见分类讨论思想初中数学课本中已经较多见到分类讨论思想的应用,如有理数这一章的学习,都反复出现分类的“身影”.有理数比较大小,可以分为正数和正数、正数和0、正数和负数、负数和0,负数和负数这几类来进行,绝对值的学习等.七年级作为初中的起始就出现了分类讨论,后面更是频频出现其“身影”,可见分类讨论思想在知识体系中的重要地位.苏科版八年级上第一章《全等三角形》探究全等三角形的条件时也涉及了分类讨论的思想,教师在讲授时应该引导学生分别探究一对元素、两对元素、三对元素时三角形是否全等,同时还需要对每种情况再进行分类讨论,最后总结得出正确结论;苏科版九年级上第二章《圆》,在探究点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系;函数在定义域上的单调性的讨论,也是分类讨论思想的较好体现.(三)教师之任由于在现行教材的知识体系当中,并没有专门的章节介绍分类讨论的数学思想,但它却贯穿于整个知识体系的始终,主要靠教师在传授知识的过程中逐步渗透这一数学思想.而小结课、复习课是系统知识、深化知识的最佳课型,也是渗透分类思想、学会分类方法的最佳时机.应尽可能的将所学知识系统整理、分类归纳.另外,还可设计一些含有分类讨论思想的习题和练习.三、揭开面纱(一)深入了解,其实不难分类讨论思想是按照数学对象的相同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法,掌握分类讨论的方法,领会其实质,对于加深基础知识的理解.提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的.正确的分类必须是周全的,既不重复、也不遗漏.明确分类讨论的动因与讨论的方法,分类时要条理分明,做到分类讨论既不重复也无遗漏,这是解答初中数学中分类讨论问题的基本方法.在解题时,要抓住分类讨论的动因,明确分类讨论的方法.运用分类讨论方法解题的关键就是思辨清楚讨论的动因与讨论的方法,就是为什么要讨论?怎样讨论?思路清了,解题的框架确定了,解题就严密完整、叙述就条理分明.(二)常见形式分类讨论问题是创新性问题之一,此类题综合性强,难题较大,在历年中考试题中多以压轴题出现,对考生的能力要求较高,具有很强的选拔性.综合中考的复习规律,分类讨论的知识点常有三大类:1.代数类:代数有绝对值、方程及根的定义,函数的定义以及点(坐标未给定)所在象限或者二次函数的取值范围等.2.几何类:几何有各种图形的位置关系,未明确对应关系的全等或相似的可能对应情况等.3.综合类:代数与几何类分类情况的综合运用.在初中数学中,有关涉及分类讨论思想的问题很多,题目也比较繁杂.这类问题有没有一种共性?解此类题目有没有一种切实可行的方法?实际上,初中数学中涉及分类讨论的问题大多是对数学概念本身的深入了解和再次挖掘,只要学生了解到这一点,分类讨论问题并不怎么神秘.【参考文献】钱荣妹.从等腰三角形压轴问题管窥分类讨论[J ].中学数学初中版,2014.5.轻轻挑开分类讨论思想的面纱◎刘思武(南京南江中学,江苏南京210038)148. All Rights Reserved.。

分类讨论思想在做有关圆题中的应用

ACO情况2DBA情况1DO CBA86CBA8CAAB＜4cmB AOFE D C BAO F E D CBA分类讨论思想在做有关圆题中的应用分类讨论思想是指在解题过程中，对某一数学对象，根据它本身的本质属性，按照一定的标准分成若干个类型，然后逐一讨论解决的一种思维方法。

做这类题的关键是弄清引起讨论的原因，明确分类讨论的对象和标准，不同的标准分类的结果也不同。

分类要做到不重不漏。

下面我例谈一下分类讨论思想在做有关圆题中的应用。

例1、已知点A 、B ，经过点A 、B 作圆，且半径为2cm 的圆有__________个。

解析：此题没有给出A 、B 两点的距离，故应分情况讨论：①当AB ＞4cm 时,不能作圆;②AB ＝4cm 时,只能作一个圆,圆心为AB 的中点, AB 为直径;③AB ＜4cm 时,心在AB 的中垂线上。

如右图:例2、在半径为5 cm 的圆内有两条相互平行的弦，一条弦长8cm ，另一条弦长6 cm ，则这两条弦之间的距离为__________。

解析：应用垂径定理计算时，圆内两平行弦与圆心的位置关系有两种，如图：易知答案： 7cm 或1cm例3、 △ABC 是半径为2cm 的圆内接三角形，若BC=2cm ，则∠A 的度数为_____________解析：因为已知圆的直径为4cm ，BC=23cm，BC ＜圆的直径，所以△ABC圆中的位置如图所示有两种情况。

构造直角三角形，易求sin ∠，所以锐角∠DOB=600，∠BOC=2∠DOB=1200，再根据同弧或等弧所对的圆心角与圆周角之间关系得答案：600或1200例4、如果矩形纸片两条邻边的长分别为18和30，将其围成一个圆柱的侧面，那么圆柱的底面半径是_____________解析：将纸片围成圆柱时，一种情况是18作为圆柱的底面周长，一种情况是30作为圆柱的底面周长。

由2πR=18或2πR=30得：R=9π或R=15π例5、在Rt △ABC 中，AB=6，BC=8，则这个三角形的外接圆直径是_____________解析：已知Rt △ABC 中没有说明哪一个角为直角，故应分情况讨论：①当∠B=900时，斜边AC=10；②当∠A=900时，斜边BC=8。

3、分类讨论思想(几何二)

分类讨论思想在圆中的运用大丰市实验初中赵文兵分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。

由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。

如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。

因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。

先从几个方面举例说明如下:一、根据点与圆的位置分类例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为。

分析：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。

分为点在圆内和点在圆外两种情况可求得圆O 的直径为2或6。

二、三角形与圆心的位置关系例２：已知∆A B C 内接于圆O ，∠=︒O B C 35，则∠A 的度数为________。

AC图5 图6三、角与圆心的位置关系例3:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。

分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况如图7。

四、圆中两平行弦与圆心的位置关系例4. 圆O 的直径为10cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，C D c m 8，求AB 和CD 的距离。

分析：题中的弦AB 、CD 都比圆O 中的直径小，所以AB 和CD 可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

五、弦所对的圆周角有两种情况例5：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。

分析：弦所对的圆周角有两种情况：（1）弦所对的圆周角的顶点在优弧上；（2）弦所对的圆周角的顶点在劣弧上。

C'ECAD变式练习：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为。

数学人教版九年级上册圆中分类讨论的思想方法

圆中分类讨论的思想方法教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用圆中分类讨论的思想方法是学生在已经掌握“圆的有关性质”，“点和圆的位置关系”、“直线与圆的位置关系”的基础上，进一步拓展圆的知识和数学方法的应用。

本节课通过“会诊---观察探究---讨论归纳---类比分析---拓展思维”的途径，进一步培养学生的观察能力，分析、联想能力、合作交流的能力，强化了学生的数学思维能力，培养分类讨论的思想方法，促进了数学修养的提高。

所以这一节无论从知识性还是思想性来讲，在初中几何教学中都占有重要的地位。

2、教学目标根据“新课标”的要求和教材的特点，结合九年级学生的实际水平，我把本节课的教学目标确定为：（1）知识技能：使学生掌握圆的相关知识，会应用分类讨论的思想探究知识。

（2）数学思考：通过“观察会诊，探究、讨论归纳”等活动，积累丰富的数学活动的经验，初步发展学生分类讨论的能力及培养学生创造性思维的能力。

（3）解决问题：培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题（4）情感态度：让学生在动手的过程中体会数学活动的乐趣，让学生在讨论的过程中找到探索数学的成就感，通过圆中分类讨论的思想方法的学习，体会数学对思维能力培养的益处。

3、重点难点：重点：掌握利用分类讨论的思想方法解决圆中的数学问题，难点：在解决圆中的数学问题时不出现漏解的情况通过一系列的探究活动培养学生解决问题的思想方法能力。

二、教法设计根据本节课的内容特点及学生的实际水平，我采用启发式教学、循序渐进的原则、采取类比、观察会诊、探究讨论、归纳拓展等方法，注重创设问题情景，充分暴露思维过程，发展学生的思维能力。

教学形式上充分利用电脑多媒体优化数学课堂教学，从学生常见的思维错误出发，激发学生学习的兴趣，提高课堂效率。

三、学法指导“授人以鱼，不如授人以渔”为培养学生观察、分析、归纳能力，根据本节课的特点，我以常见的思维误区为出发点，以学生活动为主线，让学生自己观察会诊、探究归纳，让他们在学习中学会学习。

初中数学分类讨论思想在解题中的运用

初中数学分类讨论思想在解题中的运用作者：马良雁来源：《中学课程辅导·教师通讯》2018年第13期【内容摘要】教育的改革推动着初中教学模式的创新。

课堂中原有的解题方式，所能够解决的问题有限，对于复杂的问题，就要运用新型的分类讨论思想进行解决。

本文主要针对初中数学分类讨论思想在解题中的运用进行分析，对分类讨论思想在解题中的重要性进行讨论，结合分类讨论思想在解题中的具体应用进行说明。

【关键词】初中数学分类讨论解题学好数学有助于培养学生的逻辑思维能力。

为了培养符合社会需求的人才，就要求学生具备分类讨论的解题能力，在初中数学课堂中应用分类讨论的思想，能够有效地提高学生的学习兴趣，培养学生的思维能力，提高教师的课堂教学水平。

本文在主要讲述了，分类讨论思想的重要性以及其在数学解题中的具体应用。

一、分类讨论思想原则与步骤1.分类讨论思想的原则分类讨论思想就是根据题目要求，将问题分为若干个小问题，并一一解答，最后将这些小问题进行归类汇总的解题方法。

分类讨论思想能够帮助学生理解题目要求，明确解题方法，提高学生的学习能力。

将分类讨论思想应用于初中数学解题中，必须要遵循以下原则：第一，在分类过程中，每一个小问题都是相互独立不能重复。

第二，分类前应该理清思路，避免遗漏。

第三，有层次的进行分类。

只有严格的遵循这三点原则，才能更好的在解题中运用分类讨论的思想①。

2.分类讨论思想的步骤首先，在对题目进行分类之前，必须要对题目有充分的理解，理清解题思路。

然后确定合适的分类标准。

接着依据分类的标准，对问题进行逐级分类，最后，归纳总结，得出结论。

二、在初中数学解题中应用分类思想的重要性及原因1.分类讨论思想在解题中的重要性目前，大部分学校更加注重培养学生的思维能力与实践能力。

传统课堂无法做到这一点。

为顺应发展需求，教师应该在教学中应用分类讨论的思想，培养学生的思维能力。

分类讨论思想在数学解题中十分重要。

但目前，很多学生并不知道如何进行分类解题，这就要求教师改变教学模式，针对分类讨论思想对学生做一个具体的介绍，将课本知识与学生学习情况相结合，有针对性的对学生所遇到的问题进行讲解。

备战2024高考二轮复习讲义第3讲-分类讨论思想在解析几何中的应用

第3讲分类讨论思想在解析几何中的应用在解答某些数学问题时。

有时会遇到很多情况，需要对各种情况加以分类，并逐步求解，然后综合理解，这就是分类讨论法。

分类讨论是一种逻辑方法。

是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零，积零为整的思想，与归类整理的方法有关。

分类讨论思想在数学问题具有明显的。

逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理和概括性。

解析几何中的分类讨论思想涉及到直线的方程、圆与圆的位置关系，圆锥曲线的概念以及性质等问题。

也是高考常考查的知识点。

【应用一】分类讨论思想在直线、圆中的应用1、直线方程的几种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1不含垂直于坐标轴的直线截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用2、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解3、直线与圆的位置关系三种位置关系：相交、相切、相离．相离相切相交图形量化方程观点Δ＜0Δ＝0Δ＞0几何观点d ＞rd ＝rd ＜r【例1.1】（2023四川南充高三模拟）过(2,2)P 作圆22:(1)1C x y -+=的切线，则其切线方程为____________.．【思维提升】涉及到直线的方程问题。

若设直线的点斜式、斜截式方程必须考虑直线的斜率是否存在，特别是直线与圆的位置关系是要验证斜率不存在的情况。