七年级上册分类讨论思想运用

七年级上册分类讨论思想运用

三台县石亭学校廖亚平

教学目标：1、理解分类讨论思想的含义

2、掌握分类讨论的方法，会应用分类讨论思想解决问题

教学重难点：分类讨论的方法和应用

教学设计：

一、情境引入

1、一张桌子有四只角，砍掉一只角后，还剩几只角？

实际上，砍去一只角后可能出现多种情况，我们需分类讨论，列出种种情况，再决定取舍.

2、人们清点钞票时通常先将钞票分类，把相同面值的钞票放在一起；商场里的商品也总是分类摆放；同学们交作业时也是分学科上交……

教师介绍分类讨论思想：当我们所要研究问题的结果有多种情形，而不能归结到同一种模式下的时候，必须按可能出现的所有情况来分别讨论，得出问题在各种情况下相应的结论，最后将各种结论进行汇总，这种处理问题的方法就是分类讨论思想.分类是研究问题的常用方法，通过分类，可以使复杂的问题变得简单明了，易于解决.

二、典例讲解

1 、与有理数集相关的分类讨论

例2计算)

+

(-

26

+

+

+

-

)

+

)

(

16

18

(

14

)

(

解：原式=[][])

+

(-

)

-

+

+

+

+

26

(

16

(

14

)

)

(

18

=14

-

+

44=

)

(

30

点拨：此题是根据各个加数的特点，分成正数和负数，把正数和正数相加，把负数和负数相加，使计算更简便.

例3 一个数的平方与它的绝对值相比较，能够确定它们之间的大小关系吗？

分析：我们知道，对于范围在0到1之间的小数而言，这些数的平方是小于、等于数字本身的；而对于大于1的数，它们的平方是大于这些数本身的．由于题目中所给数的范

围没有明确出来，因而我们无法确定这个数的平方与它的绝对值（我们可以看做是这个数的正值）的大小，所以需要分情况进行讨论．亦可辅助数轴进行讨论.

解：分类的思想是先讨论特殊点，再讨论其他的范围．

不妨设这个数为a .

（1）当a =±1或a =0时，此时│a │＝1或0时，有 a 2=│a │；

（2）当a ＞1或a ＜－1时，此时│a │＞1，有 a 2＞│a │；

（3）当－1＜a ＜0或0＜a ＜1时，此时0＜│a │＜1，有a 2＜│a │.

点评：利用分类讨论思想，再借助于数轴，就可以是取值范围不重不漏．

2、与数轴相关的分类讨论.

数轴上的点到原点的距离是非负的，但位置可能在原点的左侧或右侧，因此涉及到与距离有关的题目时应注意分类讨论。

例4 点A 在数轴上距原点2个单位，将A 点向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时A 点表示的数是 .

点拨：点A 可能在原点的右侧，也有可能在原点的左侧，因此有两种情况，应填0，4-两个数.部分学生往往只考虑点A 在原点右侧的一种情况，忽略另一种情况，原因是没有分类讨论的思想，或不习惯分类讨论.

3、与绝对值相关的分类讨论.

应用绝对值的代数意义去掉绝对值符号时，如果不知道绝对值内的式子（或数）的符号，一定要进行分类讨论。

例4 绝对值不大于10的整数有 个.

点拨：整数包括正整数、零、负整数，不大于10是指小于等于10，除了从0到10共11个整数的绝对值不大于10外，从10-到1-共10个整数的绝对值也不大于10，因而从10-到10的所有整数都符合要求，正确答案应是21. 部分学生只考虑正整数、零，而忘记负整数，因而答案错误，究其原因仍是不具备分类讨论的思想，考虑问题不全面.

例5 如果a 、b 、c 是非零有理数，求c c

b b

a a

++的值

点拨：要去掉绝对值符号，需要对a,b,c 的符号分别进行讨论：当a,b,c 全为正数时等于3；当a,b,c 两正一负时（包括三种情况）等于1；当a,b,c 两负一正时（包括三种情况）等于﹣1；当a,b,c 全为负数时等于﹣3，所以正确答案是﹣1，1，﹣3，3.一些学生容易忽略对a,b,c 进行讨论或讨论部全面.

例6|a|＝5，|b|=3,求a+b 的值

分析：由绝对值的意义得知，a=5或-5，b=3或-3，因此a+b 的值对应由四种情况.

（1）当a=5，b=3时，a+b=8； （2）当a=-5，b=3时，a+b=-2；

（3）当a=5，b=-3时，a+b=2； （4）当a=-5，b=-3时，a+b=-8；

所以a+b 的值为8，-8，2或-2.

点拨：当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，就要按可能出现的所有情况分别进行讨论，得出相应的结论，特别注意讨论所分的各种情况要不重不漏，不互相矛盾.

例 6 解方程：|x-1|=2

分析：(注意：绝对值为2 的数有2个)

解：x-1=2或x-1=-2

则x=3或x=-1

4、与乘方相关的分类讨论.

在研究有理数的乘方时，引导学生按照正数，零和负数的分类进行讨论。负有理数乘方的符号则需从偶次方和奇次方来考虑.

例7 如果22)3(-=a ，则=a .

分析：由于正、负数的偶次幂都是正数，且互为相反数的两数的相同偶次幂相等，所以遇到幂的指数是偶数，要考虑到底数可能是两种情况. 由于等式左边等于9，右边也应是9，而932=，9)3(2=-，所以应填3，3-.若两种情况只考虑到一种，缺乏的仍是分类讨论思想. 5、与几何相关的分类讨论

几何是一门以图形为其探究对象的学科，它主要研究图形的形状、大小及位置关系，分类讨论思想在几何中的应用非常广泛。在几何计数问题中,如数线段或角,也常用分类讨论的方法。按照各部分是否在同一平面内将几何图形分为立体图形和平面图形，使学生接触了几何图形的分类，拓展了学生对几何图形的认识。

例5平面内有三条直线,它们可能有几个交点?

分析:此题是一道分类讨论题,在解答中应先确定位置关系,再找交点个数①当a ∥b ∥c 时没有交点;②当a 、b 、c 交于同一点时,有一个交点;③当其中的两条直线平行时,有两个交点;⑧当三条直线两两相交时,有三个交点.故交点个数可能为:零个,一个,两个,三个. 以上举例不可能涵盖所有的分类讨论问题，还希望同学们能自己动手给与补充，使同学们对分类讨论的思想的理解愈加深刻，掌握的愈加灵活.