2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级(上)月考数学试卷(12月份)(答案版)
北京市海淀区清华附中上地学校2021届九年级(上)月考数学试题(12月份)
二、填空题
9．若 有意义，则x的取值范围是________．
10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是_____．
11．当k_____时，方程kx2+x=2﹣5x2是关于x的一元二次方程．
①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
②当 时，求m的值．
三、解答题
18．解下列方程：
（1） (x－5)2＝x－5（2） x2+12x+27=0（配方法）.
19．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．
小华的作法如下：
（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；
（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；
（3）连接OM、ON即可
请根据该同学的作图方法完成以下推理：
∵半圆AB
∴是直径．
∵CD是线段AB的垂直平分线
∴OA＝OB（依据：）
∵OA＝OM＝
∴△OAM为等边三角形（依据：）
（1）通过上述阅读，请你求出方程 的解；
（2）判断双二次方程ax4+bx2+c=0(a≠0)根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案)．
①当b2-4ac≥0时，原方程一定有实数根；
②当b2-4ac<0时，原方程一定没有实数根；
③原方程无实数根时，一定有b2-4ac<0．
22．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．
2018-2019学度海淀区初三年中统考数学试题与解析.doc
2018-2019学度海淀区初三年中统考数学试题与解析数学试卷〔分数：120分时间：120分钟〕2018、11学校姓名准考证号【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的、请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置、1、一元二次方程230x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A 、2,1,3B 、2,1,3-C 、2,1,3-D 、2,1,3-- 2、以下图形是中心对称图形的是A 、B 、C 、D 、3、二次函数2(+1)2y x =--的最大值是A 、2-B 、1-C 、1D 、24、⊙O 的半径是4，OP 的长为3，那么点P 与⊙O 的位置关系是 A 、点P 在圆内 B 、点P 在圆上 C 、点P 在圆外D 、不能确定5、将抛物线2y x =沿y 轴向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为A 、22y x =+B 、22y x =-C 、()22y x =+D 、()22y x =-6、扇形的半径为6，圆心角为60︒，那么这个扇形的面积为 A 、9πB 、6πC 、3πD 、π7、用配方法解方程243x x +=，以下配方正确的选项是A 、()221x -=B 、()227x -=C 、()227x +=D 、()221x +=8、二次函数c bx ax y ++=2的图象如下图，那么以下选 项中不．正确的选．．．．项是．．A 、0a <B 、0c >C 、0<12ba-<D 、0a b c ++<9、如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径、假设 33=∠DBC ，那么A ∠等于A 、33B 、57C 、67D 、6610、小明乘坐摩天轮转一圈，他离地面的高度y 〔米〕与旋转时间x 〔分〕之间的关系可以近似地用二次函数来刻画、经测试得出部分数据如下表：以下选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是 A 、7分B 、6、5分C 、6分D 、5、5分 【二】填空题〔此题共18分，每题3分〕11、方程240x -=的解为_______________、12、请写出一个开口向上且经过〔0,1〕的抛物线的解析式_________、13、假设二次函数225y x =-的图象上有两个点(2,)A a 、(3,)B b ， 那么a____b 〔填“<”或“=”或“>”〕、14、如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，∠AOC =100°，那么∠ABC =______°、 15、用一块直径为4米的圆桌布平铺在对角线长为4米的正方形桌面上〔如示意图〕，假设四周下垂的最大长度相等，那么这个最大长度x 为_______取1、4〕、16、如图，O 是边长为1的等边△ABC 的中心，将AB 、BC 、CA 分别绕点A 、点B 、点C 顺时针旋转α〔0180α︒<<︒〕，得到'AB 、'BC 、'CA ，连接''A B 、''B C 、''A C 、'OA 、'OB 、 〔1〕''A OB ∠=_______〬；〔2〕当α= 〬时，△'''A B C 的周长最大、【三】解答题〔此题共72分，第17~26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕17、解方程：232x x =-、18．假设抛物线23y x x a =++与x 轴只有一个交点，求实数a 的值、 19．点〔3,0〕在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，求此抛物线的对称轴、20．如图，AC 是⊙O 的直径，PA ,PB 是⊙O 的切线，A ,B 为切点， 25=∠BAC 、求∠P 的度数、21．x =1是方程2250x ax a -+=的一个根，求代数式23157a a --的值、22、一圆柱形排水管的截面如下图，排水管的半径为1m ，水面宽AB 为1、6m 、由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为1、2m ，求水面下降的高度、 23、关于x 的方程)0(0)3(32>=---a a x a x 、 〔1〕求证：方程总有两个不相等的实数根；〔2〕假设方程有一个根大于2，求a 的取值范围、24、在设计人体雕像时，假设使雕像的上部〔腰以上〕与下部〔腰以下〕的高度的比等于下部与全部〔全身〕的高度比，那么可以增加视觉美感、按此比例，如果雕像的高为2m ，那取2、2〕、25、AB 是⊙O 的直径，AC 、AD 是⊙O 的弦，AB =2，AC AD =1，求∠CAD 的度数、 26、抛物线21y x bx c =++与直线22y x m =-+相交于A (2,)n -、B (2,3)-两点、〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕假设14≤≤-x ，那么21y y -的最小值为________、 27、如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点D 、P 为AB 延长线上一点，2PCD BAC ∠=∠、 〔1〕求证：CP 为⊙O 的切线；〔2〕BP =1，CP =、①求⊙O 的半径；②假设M 为AC 上一动点，那么OM +DM 的最小值为、 28、探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象〔如图1〕和性质，探究函数y =象与性质、下面是小东的探究过程，请补充完整：〔1〕函数y =x 的取值范围是___________；〔2〕如图2，他列表描点画出了函数y =象；图1图2 解决问题：104x b -=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <、假设1b <<1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为〔用“<”连接〕、29、在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 与x 轴负半轴交于点A ，点M 在⊙O 上，将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q 、点N 为x 轴上一动点〔N 不与A 重合〕，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P 、PQ 与x 轴所夹锐角为α、 （1） 如图1，假设点M 的横坐标为21，点N 与点O 重合，那么α=________︒； （2） 假设点M 、点Q 的位置如图2所示，请在x 轴上任取一点N ，画出直线PQ ，并求α的度数； （3） 当直线PQ 与⊙O 相切时，点M 的坐标为_________、图1图2备用图海淀区九年级第一学期期中测评数学试卷参考答案【一】选择题〔此题共30分，每题3分〕【三】解答题〔此题共72分，第17~26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕17、解：2320.x x -+=……………………………………………1分0)2)(1(=--x x 、……………………………………………3分∴01=-x 或02=-x 、∴2,121==x x 、………………………………………………………5分 18、解：∵抛物线a x x y ++=32与x 轴只有一个交点，∴0∆=，………………………………………2分即940a -=、……………………………………………4分 ∴49=a 、……………………………………………5分 19、解：∵点〔3,0〕在抛物线k x k x y -++-=)3(32上，∴k k -++⨯-=)3(33302、………………………………………2分 ∴9=k 、……………………………………………3分 ∴抛物线的解析式为91232-+-=x x y 、∴对称轴为2=x 、……………………………………………5分20、解：∵PA ,PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB 、………………………………………1分∴PBA PAB ∠=∠、………………………………………2分 ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CA ⊥PA 、∴90=∠PAC º、………………………………………3分 ∵25=∠BAC º，∴65=∠PAB º、………………………………………4分∴502180=∠-=∠PAB P º、………………………………………5分 21、解：∵1=x 是方程0522=+-a ax x 的一个根，∴0512=+-a a 、………………………………………2分∴152-=-a a 、…………………………………………3分 ∴原式7)5(32--=a a ………………………………………4分10-=、………………………………………5分22、解：如图，下降后的水面宽CD 为1、2m ，连接OA ,OC ，过点O作ON ⊥CD 于N ，交AB 于M 、…………………………1分∴90ONC ∠=º、∵AB ∥CD ，∴90OMA ONC ∠=∠=º、 ∵ 1.6AB =， 1.2CD =， ∴10.82AM AB ==，10.62CN CD ==、…………………………2分 在Rt △OAM 中， ∵1OA =，∴0.6OM ==、………………………………3分 同理可得0.8ON =、………………………………4分∴0.2.MN ON OM =-=答：水面下降了0、2米、…………………………5分23、〔1〕证明：22)3()(34)3(+=-⨯⨯--=∆a a a 、……………………………1分∵0>a ， ∴2(3)0a +>、即0>∆、∴方程总有两个不相等的实数根、……………………………………………2分 〔2〕解方程，得3,121ax x =-=、……………………………………………4分 ∵方程有一个根大于2，∴23>a、 ∴6>a 、……………………………………………5分24、解：如图，雕像上部高度AC 与下部高度BC 应有2::BC BC AC =，即AC BC 22=、设BC 为x m 、…………………………………1分依题意，得)2(22x x -=、、………………………………………3分 解得,511+-=x 512--=x 〔不符合题意，舍去〕、……4分1 1.2≈、答：雕像的下部应设计为1、2m 、…………………………5分25、解：如图1，当点D 、C 在AB 的异侧时，连接OD 、BC 、………1分∵AB 是⊙O 的直径，∴90ACB ∠=º、 在Rt △ACB 中，∵2=AB ，AC =∴BC =、∴45BAC ∠=º、………………2分 ∵1OA OD AD ===，∴60BAD ∠=º、………………3分∴105CAD BAD BAC ∠=∠+∠=º、………………4分当点D 、C 在AB 的同侧时，如图2，同理可得45BAC ∠=︒，60BAD ∠=︒、∴15CAD BAD BAC ∠=∠-∠=º、∴CAD ∠为15º或105º、…………………5分26、解：〔1〕∵直线m x y +-=22经过点B 〔2，-3〕，∴m +⨯-=-223、∴1=m 、……………………………………………1分 ∵直线22y x m =-+经过点A 〔-2，n 〕，∴5n =、……………………………………………2分 ∵抛物线21y x bx c =++过点A 和点B ，∴⎩⎨⎧++=-+-=.243,245c b c b∴⎩⎨⎧-=-=.3,2c b∴3221--=x x y 、……………………………………………4分 〔2〕12-、……………………………………………5分 27、〔1〕证明：连接OC 、……………………………1分∵∠PCD =2∠BAC ，∠POC =2∠BAC ，∴∠POC =∠PCD 、……………………………2分 ∵CD ⊥AB 于点D ，∴∠ODC =90︒、∴∠POC+∠OCD =90º、 ∴∠PCD+∠OCD =90º、 ∴∠OCP =90º、 ∴半径OC ⊥CP 、∴CP 为⊙O 的切线、……………………………………………3分〔2〕解：①设⊙O 的半径为r 、 在Rt △OCP 中，222OC CP OP +=、∵1,BP CP ==∴222(1)r r +=+、………………………4分解得2r =、∴⊙O 的半径为2、……………………………………………5分②3、……………………………………………7分 28、解：〔1〕1x ≤或2x ≥；……………………………………………2分 〔2〕如下图：……………………………………5分1342x x x x <<<、、……………………………………………7分29、解：〔1〕60、……………………………………………2分〔2〕、……………………………………………3分连接,MQ MP 、记,MQ PQ 分别交x 轴于,E F 、∵将点M 绕点A 顺时针旋转60︒得到点Q ，将点M 绕点N 顺时针旋转60︒得到点P ， ∴△MAQ 和△MNP 均为等边三角形、………………4分∴MA MQ =，MN MP =，60AMQ NMP ∠=∠=︒、 ∴AMN QMP ∠=∠、∴△MAN ≌△MQP 、、………………………………5分 ∴MAN MQP ∠=∠、 ∵AEM QEF ∠=∠，∴60QFE AMQ ∠=∠=︒、∴60α=︒、、 (6)〔3〕〔2，12〕或〔2-12-〕、………………………8分。
北京市海淀区九年级(上)第一次月考数学试卷
九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=1，BD=2，则DEBC的值为（）A. 12B. 13C. 14D. 192.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则cos A的值为（）A. 35B. 53C. 45D. 343.以下事件为必然事件的是（）A. 掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0B. 多边形的内角和是360∘C. 二次函数的图象必过原点D. 半径为2的圆的周长是4π4.某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B. 袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是65.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）A. 32B. 92C. 332D. 336.如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BFA的面积比为（）A. 1：2B. 1：2C. 1：4D. 1：87.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D. 正方体8.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，6）、B（-9，-3），以原点O为位似中心，相似比为13，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A. (−1,2)B. (−9,18)C. (−9,18)或(9,−18)D. (−1,2)或(1,−2)二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若ab=34，则a+bb的值为______．10.△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为______．11.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为______．12.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于______．13.某农场引进一批新麦种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800 粒麦种进行实0.001在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的麦种发芽的概率为．14.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE=______．15.如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A=30°，AB=20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD=______．16.如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为________cm2．（结果可保留根号）．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：4cos30°•tan60°-sin245°．18.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．19.如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点D为BC上一点，BD=2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B．求线段EC的长度．20.已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．21.已知：如图，△ABC中，AC⊥BD于C，BCCD=32，E是AB的中点，tan D=2，CE=1，求sin∠ECB和AD的长．22.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．23.为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第5组10名同学中，有4名男生，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，试用列表法或画树状图的方法求小宇和小强两名男同学能分在一组的概率．24.如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）25.阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC=______；tan∠AOD=______；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD=______．26.如图1，在△ABC中，BC=4，以线段AB为边作△ABD，使得AD=BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC=DE，∠CDE=∠ADB=α．（1）如图2，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α=90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．27.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）28.在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1-x2|的最大值为m，则图形W在x 轴上的投影长度l x=M；若|y1-y2|的最大值为n，则图形W在y轴上的投影长度l y=n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x=|3-1|=2；在y轴上的投影长度l y=|4-0|=4．（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l x______，l y______．（2）已知点C（4，0），点D在直线y=2x+6上，若图形W为△OCD．当l x=l y时，求点D的坐标．（3）若图形W为函数y=x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x=l y≤1时，请直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵AD=1，DB=2，∴AB=AD+BD=1+2=3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴==．故选：B．由AD=1，DB=2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC=AD：AB，则可求得答案．此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．2.【答案】A【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB==5．cosA==，故选：A．根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3.【答案】D【解析】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0，是不可能事件，故此选项错误；B、多边形的内角和是（n-2）×180°，故此选项错误；C、二次函数的图象不一定过原点，故此选项错误；D、半径为2的圆的周长是4π，正确．故选：D．分别利用多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式分别判断得出即可．此题主要考查了多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式等知识，正确把握相关定义是解题关键．4.【答案】D【解析】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项错误；B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，故本选项错误；C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项错误；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为≈0.17，故本选项正确．故选：D．根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．5.【答案】A【解析】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=．故选：A．根据射影定理得到：AC2=AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD 的长度．本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF∽△ABF是解题关键.利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB=DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴△CEF∽△ABF，∴=，∵E为DC的中点，∴==，∴=.故选C.7.【答案】A【解析】解：由题意三视图复原的几何体是三棱柱，故选：A．利用三视图复原的几何体的形状即可．本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：∵点A（-3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（-1，2）或（1，-2），故选：D．根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k解答．本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．9.【答案】74【解析】解：根据比例的合比性质，已知=，则=．已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．熟练应用比例的合比性质．10.【答案】90【解析】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13=30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长=15：5=3：1，∴△DEF的周长为：3×30=90．故答案为90．由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△ABC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．11.【答案】34【解析】解：如图所示：tanB==．故答案为：．利用锐角三角函数关系直接得出答案．此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．12.【答案】154【解析】解：∵∠AEC=∠BED，∴当=时，△BDE∽△ACE，即=，∴CE=．故答案为．根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．13.【答案】0.98【解析】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，所以可估计这种大蒜发芽的机会大约是0.98．故答案为0.98；利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，由此可估计发芽的机会大约是0.98．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14.【答案】83或32【解析】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD=AC：AE，即8：2=6：AE，∴AE=；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE=AC：AD，即8：AE=6：2，∴AE=．故答案为：或．两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．15.【答案】10【解析】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A=30°，AB=20，∴AE=10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD=10，故答案为：10．过B作BE⊥AC于E，由∠A=30°，AB=20，得到AE=10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．16.【答案】（753+360）【解析】解：根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，∵其高为12cm，根据正六边形的性质易知：底面边长为5cm，∴其侧面积为6×5×12=360cm2密封纸盒的底面积为：×5××6=cm2∴其全面积为：（75+360）cm2．故答案为：（75+360）．根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．17.【答案】解：原式=4×32×3-（22）2=6-12=112．【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18.【答案】证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠ADC=∠BEC，而∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE．【解析】根据等腰三角形的性质，由AB=AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC=∠BEC=90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．19.【答案】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ACD=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC，又∵∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴ABDC=BDEC，∵BC=6，BD=2，∴CD=4，∴84=2EC，解得EC=1．【解析】由条件可得到∠BAD=∠EDC，可证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质可得到=，代入可求得EC．本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得到∠BAD=∠DCE证得△ABD∽△DCE是解题的关键．20.【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，在△ABC中，∵S△ABC=3，BC=2，∴AD=2S△ABCBC=2×32=3，∵∠ABC=135°，∴∠ABD=180°-135°=45°，∴AB=2AD=32，BD=AD=3，在Rt△ADC中，CD=2+3=5，由勾股定理得，AC=AD2+CD2=32+52=34．【解析】过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD=45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．21.【答案】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB=∠ACD=90°．∵E是AB的中点，CE=1，∴AB=2CE=2，BE=CE．∵BCCD=32，∴设BC=3x，CD=2x，∵在Rt△ACD中，tan D=2，∴ACCD=2，∴AC=2CD=4x．在Rt△ABC中由勾股定理，得AB=5x，∵BE=CE，∴∠ECB=∠B，∴sin∠ECB=sin B=ACAB=4x5x=45．∵AB=5x=2，∴x=25，∴AD=AC2+CD2=(4x)2+(2x)2=25x=25×25=455．【解析】先由AC⊥BD，E是AB的中点，CE=1，得出AB=2CE=2，BE=CE．由=，可设BC=3x，CD=2x，在Rt△ACD中，由tanD==2，得出AC=2CD=4x．在Rt△ABC中由勾股定理求得AB=5x，由BE=CE，得出∠ECB=∠B，于是利用正弦函数的定义得出sin∠ECB=sinB===．由AB=5x=2，得出x=，那么由勾股定理得出AD==2x，将x=代入计算即可．本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．设BC=3x后利用勾股定理求得AB=5x是解题的关键．22.【答案】（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，∴BC=CD，GH=EF=FG．又∵点F在BC上，点G在FD上，∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴∠EFB=∠FDC，又∵∠B=∠C=90°，∴△EBF∽△FCD；（2）解：∵BF=3，BC=CD=12，∴CF=9，DF=CF2+CD2=92+122=15，∵△EBF∽△FCD，∴BEBF=CFCD，∴BE=BF⋅CFCD=3×912=94，∴GH=FG=EF=BE2+BF2=154，∴DG=DF-FG=15-154=454，∴tan∠HDG=GHDG=154454=13．【解析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG，然后求出∠EFB=∠FDC，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明；（2）先求出CF，再利用勾股定理列式求出DF，然后根据相似三角形对应边成比例求出BE，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质以及相似三角形的判定方法是解题的关键．23.【答案】解：（1）a=50-4-6-14-10=16．（2）频数分布直方图如图所示：（3）优秀率=16+1050×100%=52%．（4）用A表示小宇、B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：从上图可知共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是P=412=13．【解析】（1）利用总数50减去其它项的频数即可求得；根据计算结果即可补全直方图；（2）根据第三组，第四组的人数，画出直方图即可；（3）根据优秀率=×100%计算即可；（4）利用树状图方表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．24.【答案】解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，在△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°，∴∠ACB=30°，BC=AB=20．在Rt△CBD中，∠CBD=60°，∴CD=CB•sin∠CBD=103（海里）．∵103＞12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．【解析】过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，根据题意求出CD的长，再和岛C 的半径12海里比较大小即可得到问题答案．此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25.【答案】425 5 74【解析】解：（1）如图所示：线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD．∵AD=DE=2，∴AE=2．∵CD⊥AE，∴DF=AF=．∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO．∴CO：DO=2：3．∴CO=．∴DO=．∴OF=．tan∠AOD=．（3）如图3所示：根据图形可知：BF=2，AE=5．由勾股定理可知：AF==，AB==．∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF．∴AO：OB=AE：FB=5：2．∴AO=．在Rt△AOF中，OF==．∴tan∠AOD=．（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF=，AB=，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=，在Rt△AOF中，可以求出OF=，故可求得tan∠AOD．本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．26.【答案】解：（1）AD+DE=4，理由是：如图1，∵∠ADB=∠EDC=∠α=90°，AD=BD，DC=DE，∴AD+DE=BC=4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB=∠CDE=90°，∴∠ADE=∠BDC，在△ADE与△BDC中，AD=BD∠ADE=∠BDCDE=DC，∴△ADE≌△BDC，∴AE=BC，∠AED=∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE=∠DHC，∴∠EGH=∠EDC=90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF=CB=4，EF∥CB，∴AE=EF，∵CB∥EF，∴∠AEF=∠EGH=90°，∵AE=EF，∠AEF=90°，∴∠AFE=45°，∴AF=EFcos45∘=42；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE=EF=BC，∴∠AEM=∠FEM=α2，AM=FM，∴AF=2FM=EF×sinα2=8sinα2．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接 AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE=BC，∠AED=∠BCD．求出∠AFE=45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM=∠FEM=，AM=FM，解直角三角形求出FM即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．27.【答案】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=-x2+bx+c得，−32+3b+c=1c=4解得b=2c=4∴二次函数解析式为y=-x2+2x+4，配方得y=-（x-1）2+5，∴点M的坐标为（1，5）；（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，3k+b=1b=4解得k=−1b=4∴直线AC的解析式为y=-x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=-x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1）∴1＜5-m＜3，解得2＜m＜4；（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）∵MG=1，GC=5-4=1∴MC=MG2+CG2=12+12=2，把y=5代入y=-x+4解得x=-1，则点N坐标为（-1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC，则有MCCP=CDBD∵BD=1，CD=3，∴CP=MC⋅BDCD=2×13=23，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，∵∠PCH=45°，CP=23∴PH=23÷2=13把x=13代入y=-x+4，解得y=113，∴P1（13，113）；同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=-13代入y=-x+4，解得y=133∴P2（−13，133）；②若有△PCM∽△CDB，则有MCCP=BDCD∴CP=2×31=32∴PH=32÷2=3，若点P在y轴右侧，把x=3代入y=-x+4，解得y=1；若点P在y轴左侧，把x=-3代入y=-x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（-3，7）．∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（13，113），P2（−13，133），P3（3，1），P4（-3，7）．【解析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，通过配方法得到点M的坐标；（2）点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的，可先求出直线AC的解析式，将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围；（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数解析式及相似三角形性质，解题的关键是分类讨论三角形相似的不同情况，结合特殊角的使用来求出点P 的坐标．28.【答案】4 3【解析】解：（1）∵A（3，3），∴点A在y轴上的正投影的坐标为（0，3）．∴△OAB在y轴上的投影长度l y=3．∵B（4，1），∴点B在x轴上的正投影的坐标为（4，0）．∴△OAB在x轴上的投影长度l x=4．故答案为：4；3．（2）如图1所示；过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=2x+6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵l x=l y，∴2x+6=4-x，解得；x=-．∴D（-，）．如图2所示：过点D作DP⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=-2x-6．∵PD⊥x轴，∴P（x，0）．∴PC=4-x．∵l x=l y，∴-2x-6=4-x，解得；x=-10．∴D（-10，-14）．综上所述，点D的坐标为（-，）或（-10，-14）．（3）如图3所示：设A（a，a2）、B（b，b2）．则CE=b-a，DF=b2-a2=（b+a）（b-a）．∵l x=l y，∴（b+a）（b-a）=b-a，即（b+a-1）（b-a）=0．∵b≠a，∴b+a=1．又∵0≤a＜b，∴a+a＜1，∴0≤a＜．（1）确定出点A在y轴的投影的坐标、点B在x轴上投影的坐标，于是可求得问题的答案；（2）过点P作PD⊥x轴，垂足为P．设D（x，2x+6），则PD=|2x+6|．PC=|3-x|，然后依据l x=l y，列方程求解即可；（3）设A（a，a2）、B（b，b2）．分别求得图形在y轴和x轴上的投影，由l x=l y可得到b+a=1，然后根据0≤a＜b可求得a的取值范围．本题主要考查的是二次函数的综合应用、解答本题主要应用了图形W在坐标轴上的投影长度定义、一次函数、二次函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，依据l x=l y列出关于x的方程和不等式是解题的关键．。
北京海淀区2018-2019学年初三第一学期期末数学试题及答案
初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分）2019．01题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCABBCA二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）9． x 1 = 0 ， x 2 = 310． π11．2 12． k > 013． (1，2) 14.答案不唯一，如： y =-1x15． M ，N16．三、解答题（本题共 68 分，第 17~22 题，每小题 5 分；第 23~26 题，每小题 6 分；第 27~28题，每小题 7 分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程．17．（本小题满分 5 分）解：原式=2 - 2 ⨯ 1+1 2 2 = 2 ． 218．（本小题满分 5 分）证明：∵ ∠A = ∠C ， ∠AOB = ∠COD ，∴△AOB ∽△COD ．∴AO = AB ．CO CD ∵ A O = 4，CO = 2，CD = 3 ，∴ A B = 6 ．19．（本小题满分 5 分）解：依题意，得 mn 2 - 4n - 5 = 0 ．∴ m n 2 - 4n = 5． ∵ m n 2 - 4n + m = 6 ， ∴ 5 + m = 6 ． ∴ m = 1 ．20．（本小题满分 5 分）解：（1）B ．（2） 0.50 ．3CAOPB21．（本小题满分 5 分）（1） 补全的图形如图所示：（2） 直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．22．（本小题满分 5 分）解：在Rt △DP A 中，∵ t an ∠DP A = AD，PD ∴AD= PD ⋅tan ∠DP A．在Rt △DPB 中，∵ t an ∠DPB = BD，PD∴ B D = PD ⋅ tan ∠DPB ．∴ A B = BD - AD = PD ⋅(tan ∠DPB - tan ∠DP A )． ∵ A B = 5.6 ， ∠DPB = 53 °， ∠DP A = 18 °， ∴ P D = 5.6 ．答：此时观光船到大桥 AC 段的距离 PD 的长为5.6 千米． 23．（本小题满分 6 分）解：（1）∵直线 y = 1x 经过点 A (2，a ) ，2∴ a = 1 ． ∴ A (2，1) 又∵双曲线 y = k经过点 A ，x∴ k = 2 ．（2）①当 m = 1 时，点 P 的坐标为(1，2) ． ∴直线 P A 的解析式为 y = -x + 3 ．∵直线P A与x轴交于点B(b，0)，∴b= 3 ．② b = 1或3 ．24．（本小题满分6 分）解：本题答案不唯一，如：（1）x /cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6y /cm 1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 2.41 1.66 0 （2）y4321O 1 2 3 4 5 6 7 x（3）1.38 或 4.62 ．说明：允许（1）的数值误差范围±0.05；（3）的数值误差范围±0.225．（本小题满分6 分）（1）证明：如图，连接OC ．A∵O E⊥AB ，∴∠EGF = 90 °．∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴∠OCP=90 °． ............. 1分EG F B P OC∴∠E +∠EFG =∠OCF +∠PCF = 90 °．∵O E =OC ，∴∠E =∠OCF ．∴∠EFG =∠PCF ．又∵∠EFG =∠PFC ，∴∠PCF =∠PFC ．∴P C =PF ．（2）方法一：解：如图，过点 B 作BH⊥PC 于点H ．∵O B∥PC ，∠OCP = 90︒，2 2 AG F B OHCAG F H BOCE∴ ∠BOC = 90︒ ． ∵ O B = OC ，P∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °． ∴ ∠BCH = ∠OBC = 45 °．在Rt △BHC 中， B C = 3 ，可得 BH = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ， CH = BC ⋅ cos 45 ° = 3 ．在Rt △BHP 中， tan P = 3，4可得 PH =∴ B P = BHtan P= 4 ．= 5 ． ∴ P C = PH + CH = 7 ． ∴ P F = PC ．∴ FB = PF - PB = PC - PB =2 ． 方法二：解：如图，过点 C 作CH ⊥AP 于点 H ． E∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ， P∴ ∠BOC = 90 °． ∵ O B = OC ，∴ ∠OBC = ∠OCB = 45 °．在Rt △OBC 中， B C = 3 ，可得OB = BC ⋅ sin 45 ° = 3 ． ∴ O E = OB = 3 ．∵ ∠GBO = ∠P ，t an P = 3， 4∴t an ∠GBO = 3． 4在Rt △GBO 中， tan ∠GBO = OG， OB = 3 ．GB∴O G = 9 ， G B = 12 ． 5 5∴E G = OE - OG = 6． 5在Rt △CHP 中， tan P = CH， CH 2 + PH 2 = PC 2 ．PH设CH = 3x ，则 PH = 4x ， PC = 5x ． ∵ P C = PF ，∴ F H = PF - PH = x ．PH 2 + BH 22 ∵ ∠EFG = ∠CFH ， ∠EGF = ∠CHF = 90， ∴△EGF ∽△CHF∴FG = FH = 1 ．EG CH 3∴ F G = 1 EG = 2．3 5∴ FB = GB - FG =2 ． 方法三 ： 解：如图，过点C 作CH ⊥AP 于点 H ，连接 AC ． ∵ O B ∥PC ， ∠OCP = 90︒ ，∴ ∠BOC = 90︒ ． ∴ ∠A = 1 ∠BOC = 45 °. 2在Rt △CHP 中， tan P =CH = 3，EG F H B PH 4A P设CH = 3x ，则 P H = 4x ， P C = 5x ． O在Rt △AHC 中， ∠A = 45 °， CH = 3x ，∴ A H = CH = 3x ， A C = 3 2x ． C∴ P A = AH + PH = 7x ．∵ ∠P = ∠P ， ∠PCB = ∠A = 45︒ ， ∴△PCB ∽△P AC ． ∴PB = PC = BC ．PC PA AC∵ B C = 3 ，∴ x = 7 ， P C = 7 ， P B = 5 ．5∵ P F = PC ， ∴ P F = 7 ．∴ F B = PF - PB = 2 ．26．（本小题满分 6 分）y3 解：（1）①当 a = 1 时， y = 4x 2 - 8x ．21当 y = 0 时， 4x 2 -8x = 0， A解得 x 1 = 0 ， x 2 = 2 ．∴抛物线G 与 x 轴的交点坐标为(0，0) ， (2，0) ．–1 O –1 –2 –3 –41 23 x图 1图 2∴∠DAE = ∠DAC ． ②当 n = 0 时，抛物线G 与线段 AN 有一个交点． 当 n = 2 时，抛物线G 与线段 AN 有两个交点． 结合图象可得0 ≤ n < 2 ． （2） n ≤ -3 或 n ≥ 1 ．27．（本小题满分 7 分）D （1）①证明：连接 AD ，如图 1．∵点 C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A C = AD ． ∵ A B = AC ， BC∴ A B = AC = AD ．∴点 B ，C ，D 在以 A 为圆心， AB 为半径的圆上．② 1α ． 2（2） 证法一：证明：连接CE ，如图 2．D∵ α =60 °，A∴ ∠BDC = 1α = 30 °．2 l∵ D E ⊥BD ，E∴ ∠CDE = 90 ° -∠BDC = 60 °． BC∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ E C = ED ．∴△CDE 是等边三角形． ∴ C D = CE ， ∠DCE = 60 °． ∵ A B = AC ， ∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB ， ∠ACB = 60 °．∵ ∠ACE = ∠DCE + ∠ACD ， ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD ， ∴ ∠ACE = ∠BCD ． ∴△ACE ≌△BCD ． ∴AE =BD ． 证法二：证明：连接 AD ，CE ，如图 2．∵点C 与点 D 关于直线l 对称， ∴ A D = AC ，AE ⊥CD ．12AlDAElBC 图 22（3） 1．3∵ ∠DBC = 1∠DAC ，2∴ ∠DBC = ∠DAE ． ∵ A E ⊥CD ， B D ⊥DE ，∴ ∠BDC + ∠CDE = ∠DEA + ∠CDE = 90 °． ∴ ∠BDC = ∠DEA ． ∵ A B = AC ，∠BAC = 60 °， ∴△ABC 是等边三角形． ∴ C A = CB = AD ． ∴△BCD ≌△ADE ∴ A E = BD ．28．（本小题满分 7 分）解：（1）图 1 中点C 的坐标为 (-1，3) ．（2） 改变图 1 中的点 A 的位置，其余条件不变，则点C 的 纵 坐标不变，它的值为 3 ．（3） ①判断：结论“点C 落在 x 轴上，则点 D 落在第一象限内．” 错误．反例如图所示：② 3 < t ≤ 4 + ．yC（B ） xDAO。
北京市海淀区清华大学附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣y=3B．x+=2C．x2﹣2x+1=0D．x﹣1=02．（3分）把抛物线y=（x+3）2+1向上平移2个单位，抛物线的解析式为（）A．y=（x+3）2﹣1B．y=（x+3）2+3C．y=（x+5）2+1D．y=（x﹣3）2+1 3．（3分）已知，AB是⊙O的弦，且OA=AB，则∠AOB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4．（3分）下列安全标志图中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，如果∠ADE=120°，那么∠B等于（）A．130°B．120°C．80°D．60°6．（3分）平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）7．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9B．（x﹣2）2=9C．（x+2）2=1D．（x﹣2）2=1 8．（3分）如图，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B为切点，点E是⊙O上一点，且∠AEB=65°，则∠P为（）A．75°B．60°C．50°D．45°9．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞3 10．（3分）由四个直径相等的半圆围成的道路如图①所示，小张在道路上匀速行走，他从点C出发，沿箭头所示的方向经过点D再走到点A，共用时40秒，有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小张的走路过程，设小张走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A．点Q B．点P C．点M D．点N二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．（3分）请写出一个开口向下且对称轴为y轴的抛物线的解析式．12．（3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解为．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为．14．（3分）点P（1，y1）和点Q（2，y2）分别为抛物线y=x2﹣3上的两点，则y1y2（用“＞”或“＜”填空）．15．（3分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D 对应的刻度值为60°，则∠BCD的度数为．16．（3分）如图所示，已知P是⊙O外一点，求作经过点P且与⊙O相切的直线．小明的作法如下：连接OP，取OP的中点M，以M为圆心，MO为半径作两段圆弧，分别与⊙O 交于A、B两点，连接PA、PB，PA、PB所在的直线即为所求，小明的作法的依据是：．三、解答题（共12小题）17．（5分）解方程：x2﹣2x﹣8=0．18．（5分）如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：AB=CE．19．（5分）在直径为650mm的圆柱形油桶内装进不足半桶油后其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21．（6分）△ABC与点O在10×10的网格中的位置如图所示，设每个小正方形的边长为1．（1）画出△ABC绕点O旋转180°后的图形；（2）在图中做出△ABC的外接圆⊙M，并标注出外接圆的圆心M．22．（6分）二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C（0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）求二次函数解析式；（2）在同一直角坐标系中作出二次函数的图象；（3）当自变量x取值范围是时，一次函数值大于二次函数值．23．（5分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．24．（6分）已知关于x的方程x2+ax+b=0（b≠0）与x2+cx+d=0都有实数根，若这两个方程有且只有一个公共根，且ab=cd，则称它们互为“同根轮换方程”．如x2﹣x﹣6=0与x2﹣2x﹣3=0互为“同根轮换方程”．（1）若关于x的方程x2+4x+m=0与x2﹣6x+n=0互为“同根轮换方程”，求m的值；（2）已知方程①：x2+ax+b=0和方程②：x2+2ax+b=0，p、q分别是方程①和方程②的实数根，且p≠q，b≠0．试问方程①和方程②是否能互为“同根轮换方程”？如果能，用含a的代数式分别表示p和q；如果不能，请说明理由．25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，弦AD的延长线交直线BC于点C．（1）若AB=10，∠ACB=60°，求BD的长；（2）若点E是线段BC的中点，求证：DE是⊙O的切线．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+mx+n的图象经过点A（﹣1，a）、B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及实数a的值；（2）记抛物线在点A、B之间的部分图象为G（包含A、B两点），直线y=kx+3与G有公共点，结合图形直接写出实数k的取值范围．27．（8分）定义：在平面直角坐标系中，图形F上的点的纵坐标y与其横坐标x 的差y﹣x称为该点的“坐标差”，而该图形上所有点的“坐标差”的最大值称为该图形的“特征值”．（1）①点A（0，1）的“坐标差”为；（直接写出答案）②线段MN：y=2x+1（﹣1≤x≤2）的“特征值”为；（直接出错答案）（2）若二次函数y=﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的公共点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式；（3）直接写出圆心为（2，3），半径为2的圆的“特征值”为．28．（8分）在△ABC中，∠C=60°，AC=BC，点D在线段BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE．（1）①依题意补全图1；②探究线段AB、BD、BE之间的数量关系，并写出证明过程．（2）若AB=6，AD=2，求BE的长（直接写出答案）北京市海淀区清华大学附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．C；2．B；3．C；4．B；5．B；6．D；7．A；8．C；9．D；10．B；二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）11．y=﹣x2+1；12．x1=0，x2=2；13．1；14．＜；15．60°；16．直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端点，且垂直于半径的直线是圆的切线；三、解答题（共12小题）17．；18．；19．；20．；21．；22．0＜x＜3；23．；24．；25．；26．；27．1；1；1+2；28．；。
北京市海淀区2018-2019年初三第一学期期末学业考试
初三第一学期期末水平调研数学2019.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置。
1. 抛物线()213y x =-+的顶点坐标为A.()1 , 3 B.()1 , 3-C.()1 , 3--D.()3 , 12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()4 , 3P ，OP 与x 轴正半轴的夹角为a ，则tan a 的值为A.35 B.45 C. 34D. 433. 方程230x x -+=的根的情况是 A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根D. 只有一个实数根4. 如图，一块含30角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到''A B C D，当B ，C ，'A 在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为A. 150B. 120C. 60D. 305. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2y x=（0x >）的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为 A. 1 B. 2 C. 3D. 46. 如图，在ABC D 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，若 : 2 : 3A D A B =，则ADE D和ABC D的面积之比等于 A. 2 : 3 B. 4 : 9C. 4 : 5D.:7. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘54AC BD cm ==，且与闸机侧立面夹角30PCA BDQ ??.当双翼收起进，可以通过闸机的物体的最大宽度为A.()10 cmB.()10 cmC. 64 cmD. 54 cm8. 在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是A. 1yB. 2yC. 3yD. 4y二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 方程230x x -=的根为 .10.半径为2且圆心角为90的扇形面积为 .11.已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于()1 , 0，()3 , 0两点，则n 的值为 .12.在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=（0k ¹）的图象有两个交点，则k 的取值范围是 .13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点()2 , 4A ，()4 , 0B ，以原点O为位似中心，把OAB D缩小得到''OA B D .若'B 的坐标为()2 , 0，则点'A 的坐标为 .14.已知()11 , y -，()22 , y 是反比例函数图象上两点的坐标，且12y y >，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式 .15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()3 , 0A ，判断：在M ，N ，P ，Q 四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 .16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y =上的一个动点，P 的半径为1，OP 切P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 .三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分；第23-26题，每小题6分；第27-28题，每小题7分）17.计算：()cos 452sin 302-+-18.如图，AD 与BC 交于O 点，AC ??，4AO =，2CO =，3CD =，求AB 的长.19.已知x n =是关于x 的一元二次方程2450mx x --=的一个根，若246mn n m -+=，求m 的值.20.近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一组数据：（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是；A.1100y x= B.100yx=C.132002y x=-+ D.21319400008008xy x=-+（2）利用（1）中的结论计算；当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为米。
2018-2019学年北京一零一中九年级(上)第一次月考数学试卷含答案解析
2018-2019学年北京一零一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．2．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）将直线y＝2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2（x+1）D．y＝2（x﹣1）3．（3分）（2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2014秋•贵阳期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝﹣4C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝﹣4 5．（3分）（2018•钦州模拟）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．1080°6．（3分）（2016秋•宣化县期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3 7．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体平均值为3，中位数为4B．乙地：总体平均值为2，总体方差为3C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体平均值为l，总体方差大于08．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP ＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则＞”是错误的，这组值可以是a＝，b＝．10．（3分）（2018秋•南岗区校级月考）不等式组＞＞的解集为．11．（3分）（2019•罗平县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．（3分）（2016春•黄岛区期末）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象和交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为．13．（3分）（2015春•洛阳期末）一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，则此平行四边形的面积为．14．（3分）（2014秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 y2 ．（用“＜”，“＝”或“＞”号连接）15．（3分）（2018秋•渠县校级月考）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：．16．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是元．三、解答题（本题共52分，17-19题4分，20-23题5分，25题6分，24，26题7分）17．（4分）（2018秋•海淀区校级月考）计算：（1）0+（）﹣1+|2|18．（4分）（2018春•伊川县期末）如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形．19．（4分）（2014秋•海淀区期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．20．（5分）（2012•吉林模拟）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？21．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 17 16 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19（1）补全条形图；（2）月销售额为的人数最多；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为多少合适？A.15万元B.16万元C.18万元D.19万元（4）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售目标定为多少合适？请说明理由．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）Ω星球某学生初二暑假作业中有下面一题：在△ABC中，AB＝BC，BD⊥AC于点D．（1）如图1，当∠ABC＝90°时，若CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．①求证：△BEF是等腰三角形；②求证：BD（BC+BF）；（2）点E在AB边上，连接CE．若BD（BC+BF），在图2中补全图形，判断∠ACE与∠ABC之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE与∠ABC关系的思路．四个同学W，X，Y，Z对结论BD（BC+BF）进行了如下分析：注意到BC＝BA，BF＝BE，BD＝AD＝CD，2BD＝AC等等，于是要证的结论可以变为……并给出了问题（1）②四种不同的证明思路：W：延长EB至点G使得BG＝BC，此时BD即为△GAC的中位线．只需证明GE＝GC；X：延长AB至点H使得BH＝BE，只需证明AH＝AC；Y：延长BA至点K使得AK＝BE，延长BD至点L使得DL＝BD，只需证明BK＝BL；Z：取AE中点M，只需证明BM＝BD．请你对以上四位同学的思路进行分析，并判断哪几位同学的证明思路可以解出问题（2），只写出你的结论，不需要证明．23．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，，，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为．24．（6分）（2015秋•路北区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x ﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC＝15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y＝kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．25．（7分）（2007•宿迁）如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H 分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF＝HG；（2）∠FHG＝∠DAC．26．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．若定义该矩形的垂直于x轴的边的长度为矩形的“身高”，垂直于y 轴的边的长度为矩形的“形宽”，“身高”与“形宽”的比为k，若0＜k＜则称该矩形为“折翼矩形”，若k≤2则称该矩形为“完美矩形”，若k＞2则称该矩形为“魔鬼矩形”．已知点A（0，4），B（4，0）．（1）点A，B的“相关矩形”是（填“折翼矩形”或“完美矩形”或“魔鬼矩形”）；（2）若点P是直线AB上一动点，且点O，P的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出点P的横坐标x P的取值范围；（3）若C（x C，﹣4），可以在△AOB边上找到点Q使得点C，Q的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出x C的取值范围．2018-2019学年北京一零一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）（2018•苏州）下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．2．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）将直线y＝2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2（x+1）D．y＝2（x﹣1）【解答】解：将直线y＝2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝2x+1．故选：A．3．（3分）（2018•苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得x+2≥0，解得x≥﹣2．故选：D．4．（3分）（2014秋•贵阳期末）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后得到的方程为（）A．（x﹣1）2＝4B．（x﹣1）2＝﹣4C．（x+1）2＝4D．（x+1）2＝﹣4【解答】解：把方程x2﹣2x﹣3＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x＝3，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1＝4，配方得（x﹣1）2＝4．故选：A．5．（3分）（2018•钦州模拟）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（）A．540°B．720°C．900°D．1080°【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，∴这个多边形是正八边形，∴该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．故选：D．6．（3分）（2016秋•宣化县期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝﹣1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个根是x＝1．∴设关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的另一根是t．∴1+t＝4，解得t＝3．即方程的另一根为3．故选：D．7．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体平均值为3，中位数为4B．乙地：总体平均值为2，总体方差为3C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体平均值为l，总体方差大于0【解答】解：∵平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，∴A不正确；∵设连续10天，每天新增疑似病例分别为x1，x2，x3，…x10，并设有一天超过7人，设第一天为8人，则S2[（8﹣2）2+（x2﹣2）2+…+（x10﹣2）2]＞3，因为总体方差为3，所以说明连续10天，每天新增疑似病例不超过7人，∴B正确；∵中位数和众数不能确定，∴C不正确；∵当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，∴D不正确；故选：B．8．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP ＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM∠APC＝60°，∠EPN∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设P A＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN（4﹣a），∴MN，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故选：A．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）用一组a，b的值说明命题“若a＜b，则＞”是错误的，这组值可以是a＝﹣1，b＝1．【解答】解：当a＝﹣1，b＝1时，满足a＜b，但＜．故答案为﹣1，1．10．（3分）（2018秋•南岗区校级月考）不等式组＞＞的解集为﹣2＜x＜3．【解答】解：＞ ①＞ ②由①得x＞﹣2，由②得x＜3，故此不等式组的解集为﹣2＜x＜3．故答案为﹣2＜x＜3．11．（3分）（2019•罗平县一模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为4．【解答】解：根据题意得△＝（﹣4）2﹣4k＝0，解得k＝4．故答案为4．12．（3分）（2016春•黄岛区期末）如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象和交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．【解答】解：∵函数y＝2x过点A（m，3），∴2m＝3，解得：m＝1.5，∴A（1.5，3），∴不等式2x≥ax+4的解集为x≥1.5．故答案为x≥1.513．（3分）（2015春•洛阳期末）一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，则此平行四边形的面积为36．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：则有平行四边形ABCD中，BC＝9，AC＝12，BD＝6，∴OC AC＝6，OB BD＝3，∵OC2+OB2＝36+45＝81，BC2＝81，∴OC2+OB2＝BC2，∴∠BOC＝90°，即AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，则菱形ABCD的面积S BD•OC BD•OABD（OC+OA）AC•BD12×636．故答案为：36．14．（3分）（2014秋•海淀区期中）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x2的图象经过点M（x1，y1），N（x2，y2）两点，若﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，则y1 ＞y2 ．（用“＜”，“＝”或“＞”号连接）【解答】解：由y＝x2可知，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，∵抛物线的对称轴为y轴，∴当x＞0时，y随x的增大而增大，∵﹣4＜x1＜﹣2，0＜x2＜2，∴2＜﹣x1＜4，∴y1＞y2．15．（3分）（2018秋•渠县校级月考）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则写出符合条件的点P的坐标：（﹣2，﹣15），（﹣7，0）．【解答】解：∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）∴（x0+4）≠a（x0﹣1）∴x0＝﹣4或x0＝1，∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）故答案为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）．16．（3分）（2018秋•海淀区校级月考）2014年12月28日开始，北京市公共汽车和地铁按里程分段计价．乘坐地铁（不包括机场线）具体方案如下：6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里．使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠．小李上班时，需要乘坐地铁15.9公里达到公司，每天上下班共乘坐两次，每月按上班22天计算，如果小李每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么小李每月第21次乘坐地铁时，他刷卡支出的费用是4元；他每月上下班乘坐地铁的总费用是179.5元．【解答】解：小李每天上下班的费用为5元，即每天10元，10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8＝4元，10天后花费100元，此时6天花费8×6＝48元，此时合计花费148元，7天后的上午花费148+4＝152元，从第17天的下午开始车费是5×0.5＝2.5元，此时到22天结束还需要乘车11次，需要花费2.5×11＝27.5元，故合计148+27.5＝179.5元．故答案为：4；179.5．三、解答题（本题共52分，17-19题4分，20-23题5分，25题6分，24，26题7分）17．（4分）（2018秋•海淀区校级月考）计算：（1）0+（）﹣1+|2|【解答】解：原式＝21+2+23．18．（4分）（2018春•伊川县期末）如图，四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：∵四边形AEFD是平行四边形，∴AD＝EF，且AD∥EF，同理可得BC＝EF，且BC∥EF，∴AD＝BC，且AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形．19．（4分）（2014秋•海淀区期中）若x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0的根，求代数式2（m﹣1）2+3的值．【解答】解：依题意，得1﹣4m+2m2＝0，∴2m2﹣4m＝﹣1，∴2（m﹣1）2+3＝2（m2﹣2m+1）+3＝2m2﹣4m+5＝﹣1+5＝4．即2（m﹣1）2+3＝4．20．（5分）（2012•吉林模拟）某厂工业废气年排放量为450万立方米，为改善城市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，求每期减少的百分率是多少？【解答】解：设每期减少的百分率为x，根据题意得：450×（1﹣x）2＝288，解得：x1＝1.8（舍去），x2＝0.2解得x＝20%．答：每期减少的百分率是20%．21．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励．为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每个营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：17 18 16 13 24 15 28 26 18 1922 17 16 19 32 30 16 14 15 2615 32 23 17 15 15 28 28 16 19（1）补全条形图；（2）月销售额为15万元的人数最多；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为多少合适？DA.15万元B.16万元C.18万元D.19万元（4）如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售目标定为多少合适？请说明理由．【解答】解：（1）补全图形如下：（2）月销售额为15万元的人数最多，故答案为：15万元；（3）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售目标定为19万元合适，故答案为：D．（4）月销售目标定为22万元合适，理由是：在30人中，达到22万元的11人，比一半的人数稍多，较为容易达到此目标．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）Ω星球某学生初二暑假作业中有下面一题：四个同学W，X，Y，Z对结论BD（BC+BF）进行了如下分析：注意到BC＝BA，BF ＝BE，BD＝AD＝CD，2BD＝AC等等，于是要证的结论可以变为……并给出了问题（1）②四种不同的证明思路：W：延长EB至点G使得BG＝BC，此时BD即为△GAC的中位线．只需证明GE＝GC；X：延长AB至点H使得BH＝BE，只需证明AH＝AC；Y：延长BA至点K使得AK＝BE，延长BD至点L使得DL＝BD，只需证明BK＝BL；Z：取AE中点M，只需证明BM＝BD．请你对以上四位同学的思路进行分析，并判断哪几位同学的证明思路可以解出问题（2），只写出你的结论，不需要证明．【解答】解：W，Y，Z的思路可以解决问题（2）．理由：①W：延长EB至点G使得BG＝BC，连接CG．当BF＝BE时，满足条件：BD（BC+BF），∵BA＝BC，BD⊥AC，∴AD＝DC，∵AB＝CB＝BG，∴BD∥CG，BD CG，∴∠BFE＝∠GCE，∴∠GEC＝∠GCE，∴GE＝GC，此时满足条件BD（BC+BF），∵∠BEF＝∠BFE，∴（180°﹣∠ABC）+∠ACE＝90°﹣∠ACE，∴∠ACE∠ABC．②延长BA至点K使得AK＝BE，延长BD至点L使得DL＝BD，连接KL．同法可证：当BF＝BE时，满足条件：BD（BC+BF），∵∠BEF＝∠BFE，∴（180°﹣∠ABC）+∠ACE＝90°﹣∠ACE，∴∠ACE∠ABC．③取AE中点M，只需证明BM＝BD．同法可证：当BF＝BE时，满足条件：BD（BC+BF），∵∠BEF＝∠BFE，∴（180°﹣∠ABC）+∠ACE＝90°﹣∠ACE，∴∠ACE∠ABC．23．（5分）（2017秋•海淀区校级期末）阅读下面材料：小丁在研究数学问题时遇到一个定义：对于排好顺序的三个数：x1，x2，x3，称为数列x1，x2，x3．计算|x1|，，，将这三个数的最小值称为数列x1，x2，x3的价值．例如，对于数列2，﹣1，3，因为|2|＝2，，，所以数列2，﹣1，3的价值为．小丁进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得到的数列都可以按照上述方法计算其相应的价值．如数列﹣1，2，3的价值为；数列3，﹣1，2的价值为1；…．经过研究，小丁发现，对于“2，﹣1，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，价值的最小值为．根据以上材料，回答下列问题：（1）数列﹣4，﹣3，2的价值为；（2）将“﹣4，﹣3，2”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列，这些数列的价值的最小值为，取得价值最小值的数列为﹣3，2，﹣4；或2，﹣3，﹣4．（写出一个即可）；（3）将2，﹣9，a（a＞1）这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个数列．若这些数列的价值的最小值为1，则a的值为11或4．【解答】解：（1）因为|﹣4|＝4，||＝3.5，||，所以数列﹣4，﹣3，2的价值为．（2）数列的价值的最小值为||，数列可以为：﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4．（3）当||＝1，则a＝0，不合题意；当||＝1，则a＝11或7（舍弃）；当||＝1，则a＝4或10（舍弃）．∴a＝11或4．故答案为：；，﹣3，2，﹣4，；或2，﹣3，﹣4；11或4．24．（6分）（2015秋•路北区期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x ﹣m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC＝15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l：y＝kx+b（k＜0）与抛物线的另一个交点为D．该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于﹣8，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点，∴令y＝0，即x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝m，又∵点A在点B左侧，且m＞0，∴点A的坐标为（﹣1，0）；（2）由（1）可知点B的坐标为（m，0），∵抛物线与y轴交于点C，∴点C的坐标为（0，﹣m），∵m＞0，∴AB＝m+1，OC＝m，∵S△ABC＝15，∴m（m+1）＝15，即m2+m﹣30＝0，解得：m＝﹣6或m＝5，∵m＞0，∴m＝5；则抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5；（3）由（2）可知点C的坐标为（0，﹣5），∵直线l：y＝kx+b（k＜0）经过点C，∴b＝﹣5，∴直线l的解析式为y＝kx﹣5（k＜0），∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，∴当点D在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值为﹣9，不符合题意；当点D在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于﹣8，令y＝﹣8，即x2﹣4x﹣5＝﹣8，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝3，∴抛物线经过点（3，﹣8），当直线y＝kx﹣5（k＜0）经过点（3，﹣8）时，可求得k＝﹣1，由图象可知，当﹣1＜k＜0时新函数的最小值大于﹣8．25．（7分）（2007•宿迁）如图，已知AE、BD相交于点C，AC＝AD，BC＝BE，F、G、H 分别是DC、CE、AB的中点．求证：（1）HF＝HG；（2）∠FHG＝∠DAC．【解答】证明：（1）连接AF，BG，∵AC＝AD，BC＝BE，F、G分别是DC、CE的中点，∴AF⊥BD，BG⊥AE．在直角三角形AFB中，∵H是斜边AB中点，∴FH AB．同理得HG AB，∴FH＝HG．（2）∵FH＝BH，∴∠HFB＝∠FBH；∵∠AHF是△BHF的外角，∴∠AHF＝∠HFB+∠FBH＝2∠BFH；同理∠AGH＝∠GAH，∠BHG＝∠AGH+∠GAH＝2∠AGH，∴∠ADB＝∠ACD＝∠CAB+∠ABC＝∠BFH+∠AGH．又∵∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠ACD，＝180°﹣2∠ADB，＝180°﹣2（∠BFH+∠AGH），＝180°﹣2∠BFH﹣2∠AGH，＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，而根据平角的定义可得：∠FHG＝180°﹣∠AHF﹣∠BHG，∴∠FHG＝∠DAC．26．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．如图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．若定义该矩形的垂直于x轴的边的长度为矩形的“身高”，垂直于y 轴的边的长度为矩形的“形宽”，“身高”与“形宽”的比为k，若0＜k＜则称该矩形为“折翼矩形”，若k≤2则称该矩形为“完美矩形”，若k＞2则称该矩形为“魔鬼矩形”．已知点A（0，4），B（4，0）．（1）点A，B的“相关矩形”是折翼矩形（填“折翼矩形”或“完美矩形”或“魔鬼矩形”）；（2）若点P是直线AB上一动点，且点O，P的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出点P的横坐标x P的取值范围；（3）若C（x C，﹣4），可以在△AOB边上找到点Q使得点C，Q的“相关矩形”是“完美矩形”，直接写出x C的取值范围．【解答】解：（1）点A，B的“相关矩形”的身高为4，“形宽”为4，∴k＝1，∴0＜k＜，∴点A，B的“相关矩形”是折翼矩形；故答案为折翼矩形．（2）如图，∵A（0，4），B（4，0），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，设P（x p，﹣x P+4），由题意：＜||＜2．解得：或；（3）如图：当Q1与A重合时，C1在A的左侧，由题意：，解得x C＝﹣4，当Q2与B重合时，C2在A的右侧，由题意：，解得x C＝4+2，观察图象可知，满足条件的x C的取值范围：。
2018-2019学年北京市清华附中九年级(上)开学数学试卷(8月份)含答案解析
2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）开学数学试卷（8月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）（2014•金华模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．B．x C．x D．x2．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）已知P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定3．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．54．（2分）（2012秋•海淀区期末）如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE：EC＝1：2，则S△AED：S△CEB为（）A．1：B．1：2C．1：3D．1：45．（2分）（2018春•梁山县期末）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．队员1B．队员2C．队员3D．队员46．（2分）（2016春•海淀区期末）若关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2分）（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．（2分）（2018春•丰台区期末）如图，是用图象反映的某地男女生身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系．根据图象，有以下四个推断：①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快③15岁时，男生、女生的身高增长速度达到最高值④13岁以前，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度慢其中合理的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2016秋•淮阴区期末）若3a＝4b，则a：b＝．10．（2分）（2005•沈阳）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是．11．（2分）（2017秋•连云区期末）如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是．12．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝6，S3＝10，则S1＝．13．（2分）（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．14．（2分）（2018春•石景山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为．15．（2分）（2018春•延庆区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB 的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB+PE的最小值是．16．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc ＜0；③m＞2．其中，正确的结论是．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2010•武汉）解方程：x2+x﹣1＝0．18．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）已知：a1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．19．（5分）（2018春•石景山区期末）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：DE∥BF．20．（5分）（2018春•石景山区期末）平面直角坐标系xOy中，直线y x+b与直线y x 交于点A（m，1）．与y轴交于点B（1）求m的值和点B的坐标；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是1，请直接写出点C的坐标．21．（5分）（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝4．求△ABC的面积．23．（6分）（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD 交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB，BD＝2，求OE的长．24．（6分）（2012秋•海淀区期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：（1）可求得m的值为；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为．25．（6分）（2018•北京）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A“或“B“），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．26．（6分）（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．（7分）（2016•西城区一模）在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接P A，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断△QPM的形状并加以证明；（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．28．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x 轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．如图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“伴随矩形”的面积为；（2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON的函数解析式；②当正方形的对角线长度为时，原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值和最小值分别为m和n，则m＝，．n＝．2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）开学数学试卷（8月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）（2014•金华模拟）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．B．x C．x D．x【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，解得：x．故选：B．2．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）已知P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．无法确定【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+1中，k＝﹣2＜0，∴y随着x的增大而减小．∵P1（﹣2，y1），P2（1，y2）是函数y＝﹣2x+1图象上的两个点，﹣2＜1，∴y1＞y2．故选：A．3．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于O点．若∠AOB＝60°，AC＝8，则AB的长为（）A．4B．C．3D．5【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA AC，OB BD＝4，AC＝BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4；故选：A．4．（2分）（2012秋•海淀区期末）如图，AC与BD相交于点E，AD∥BC．若AE：EC＝1：2，则S△AED：S△CEB为（）A．1：B．1：2C．1：3D．1：4【解答】解：∵AD∥BC．∴△ADE∽CBE，∴S△AED：S△CEB＝AE2：EC2，∵AE：EC＝1：2，∴S△AED：S△CEB＝1：4，故选：D．5．（2分）（2018春•梁山县期末）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．如表记录了某校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数与方差s2：根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．队员1B．队员2C．队员3D．队员4【解答】解：因为队员1和2的方差最小，但队员2平均数最小，所以成绩好，所以队员2成绩好又发挥稳定．故选：B．6．（2分）（2016春•海淀区期末）若关于x的方程kx2﹣（k+1）x+1＝0的根是整数，则满足条件的整数k的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：当k＝0时，原方程为﹣x+1＝0，解得：x＝1，∴k＝0符合题意；当k≠0时，kx2﹣（k+1）x+1＝（kx﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝1，x2，∵方程的根是整数，∴为整数，k为整数，∴k＝±1．综上可知：满足条件的整数k为0、1和﹣1．故选：C．7．（2分）（2018•北京）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【解答】解：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x15（m）．故选：B．8．（2分）（2018春•丰台区期末）如图，是用图象反映的某地男女生身高生长速度y（厘米/年）与年龄x（岁）的对应关系．根据图象，有以下四个推断：①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快③15岁时，男生、女生的身高增长速度达到最高值④13岁以前，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度慢其中合理的是（）A．①②B．①③C．②④D．③④【解答】解：①13岁时，男生、女生的身高增长速度相同，故①正确；②13岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快，故②正确；③15岁时，只有男生的身高增长速度达到最高值，故③错误；④在9岁以后，13岁以前，男生的身高增长速度明显比女生的身高增长速度慢，故④错误；故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）（2016秋•淮阴区期末）若3a＝4b，则a：b＝4：3．【解答】解：∵3a＝4b，∴．∴a：b＝4；3．10．（2分）（2005•沈阳）一组数据﹣1，0，1，2，3的方差是2．【解答】解：数据的平均数（﹣1+0+1+2+3）＝1，方差s2[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]＝2．故填2．11．（2分）（2017秋•连云区期末）如图，已知函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2．【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），∴不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，故答案为：x＞﹣2．12．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以BC，AB，AC为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3，若S2＝6，S3＝10，则S1＝4．【解答】解：∵△ABC中，∠ABC＝90°，∴AB2+BC2＝AC2，∴BC2＝AC2﹣AB2，∵BC2＝S1、AB2＝S2＝6，AC2＝S3＝10，∴S1＝S3﹣S2＝10﹣6＝4．故答案为：413．（2分）（2018•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴2．∵AC5，∴CF•AC5．故答案为：．14．（2分）（2018春•石景山区期末）已知一次函数y＝kx+b（k＜0），当0≤x≤2时，对应的函数y的取值范围是﹣2≤y≤4，b的值为4．【解答】解：当k＜0时，y随x的增大而减小，即一次函数为减函数，∴当x＝0时，y＝4，当x＝2时，y＝﹣2，代入一次函数解析式y＝kx+b得：，解得，故答案为：415．（2分）（2018春•延庆区期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E是边AB 的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB＝2，则PB+PE的最小值是．【解答】解：连接DE交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE．∴PB+PE的最小值为．故答案为：．16．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc ＜0；③m＞2．其中，正确的结论是①②③．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确；∵ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，即抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝m没有公共点，而二次函数的最大值为2，∴m＞2，故③正确．故答案是：①②③．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）（2010•武汉）解方程：x2+x﹣1＝0．【解答】解：a＝1，b＝1，c＝﹣1，b2﹣4ac＝1+4＝5＞0，x；∴x1，x2．18．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）已知：a1，求代数式a2﹣2a﹣1的值．【解答】解：原式＝（a﹣1）2﹣2，因为a1，所以a﹣1，所以原式＝（）2﹣2＝5﹣2＝3．19．（5分）（2018春•石景山区期末）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE．求证：DE∥BF．【解答】证明：连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵AF＝CE，∴OF＝OE．∴四边形EBFD是平行四边形．∴DE∥BF．20．（5分）（2018春•石景山区期末）平面直角坐标系xOy中，直线y x+b与直线y x 交于点A（m，1）．与y轴交于点B（1）求m的值和点B的坐标；（2）若点C在y轴上，且△ABC的面积是1，请直接写出点C的坐标．【解答】解：（1）∵直线与直线交于点A（m，1），∴，∴m＝2，∴A（2，1），代入y x+b，可得，∴b＝﹣2，∴B（0，﹣2）．（2）点C（0，﹣1）或C（0，﹣3）．理由：∵△ABC的面积是1，点C在y轴上，∴BC×2＝1，∴BC＝1，又∵B（0，﹣2），∴C（0，﹣1）或C（0，﹣3）．21．（5分）（2018•北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0．（1）当b＝a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．【解答】解：（1）a≠0，△＝b2﹣4a＝（a+2）2﹣4a＝a2+4a+4﹣4a＝a2+4，∵a2＞0，∴△＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4a＝0，若b＝2，a＝1，则方程变形为x2+2x+1＝0，解得x1＝x2＝﹣1．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝2，BD＝4．求△ABC的面积．【解答】解：Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB；∴∠ACD＝∠B＝90°﹣∠A；又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∴△ACD∽△CBD；∴CD2＝AD•BD＝8，即CD＝2，∴S△ACB6×2623．（6分）（2018•北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD 交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB，BD＝2，求OE的长．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB BD＝1，在Rt△AOB中，AB，OB＝1，∴OA2，∴OE＝OA＝2．24．（6分）（2012秋•海淀区期末）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：（1）可求得m的值为3；（2）求出这个二次函数的解析式；（3）当0＜x＜3时，则y的取值范围为﹣1≤y＜3．【解答】解：（1）（2）根据题意得：，解得：，则函数的解析式是：y＝x2﹣4x+3，当x＝4时，m＝16﹣16+3＝3；（3）函数的顶点坐标是：（2，﹣1），当0＜x＜3时，则y的取值范围为：﹣1≤y＜3．故答案是：3；﹣1≤y＜3．25．（6分）（2018•北京）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A“或“B“），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．【解答】解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，∴A课程的中位数为78.75，即m＝78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300180人．26．（6分）（2018•北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝4x+4与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【解答】解：（1）与y轴交点：令x＝0代入直线y＝4x+4得y＝4，∴B（0，4），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，∴C（5，4）；（2）与x轴交点：令y＝0代入直线y＝4x+4得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵点B向右平移5个单位长度，得到点C，将点A（﹣1，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣3a中得0＝a﹣b﹣3a，即b＝﹣2a，∴抛物线的对称轴x1；（3）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）且对称轴x＝1，由抛物线的对称性可知抛物线也一定过A的对称点（3，0），①a＞0时，如图1，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＜4，a＞，将x＝5代入抛物线得y＝12a，∴12a≥4，a，∴a；②a＜0时，如图2，将x＝0代入抛物线得y＝﹣3a，∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，∴﹣3a＞4，a＜；③当抛物线的顶点在线段BC上时，则顶点为（1，4），如图3，将点（1，4）代入抛物线得4＝a﹣2a﹣3a，解得a＝﹣1．综上所述，a或a＜或a＝﹣1．27．（7分）（2016•西城区一模）在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接P A，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是等腰直角三角形；（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．①依题意补全图2；②判断△QPM的形状并加以证明；（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．【解答】解：（1）如图1，连接AC，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∠DBC＝45°，∵点M、N分别为BC、AP的中点，∴MN∥AC，∴∠BQM＝∠BOC＝90°，∴△QPM是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形．（2）①如图2，②△QPM的形状是等腰三角形，如图3，延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，∵PB＝CE，∴PB+BC＝CE+BC，即CP＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，在△DCP和△ABE中，∴△DCP≌△ABE，∴∠DPC＝∠E，∵M为BC的中点，∴MB＝MC，∴MB+BP＝MC+CE，即MP＝ME，∴M为PE的中点，∵N为AP的中点，∴MN∥AE，∴∠NMP＝∠E，∴QM＝QP，∴△QPM是等腰三角形．（3）求解思路如下：a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE＝BP，连接AE，如图4．b，由（2）可得QM∥AE，可证．c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而．d，可得．e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′＝BP＝CE，设BP′＝BP＝CE＝x，由AD＝BC＝2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．28．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B在x 轴的正半轴上．若点P，Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P，Q的“伴随矩形”．如图为点P，Q的“伴随矩形”的示意图．（1）若点B（4，0），点C的横坐标为2，则点B，C的“伴随矩形”的面积为6；（2）点M，N的“伴随矩形”是正方形．①当正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B的坐标，并求出直线ON的函数解析式；②当正方形的对角线长度为时，原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值和最小值分别为m和n，则m＝3，．n＝．【解答】解：（1）如图1中，∵A（0，6），B（4，0），∴直线AB的解析式为y x+6，当x＝2时，y＝3，∴C（2，3），∴B，C的“伴随矩形”矩形BFCE的长为3，宽为2，面积为6．故答案为6．（2）①如图2中，∵点M，N的“伴随矩形”是正方形，∴B（6，0），由题意M（3，3），N（5，1）或（1，5），∴直线ON的解析式为y＝5x或y x．②如图3中：∵正方形MENF的对角线为3，∴点F的运动轨迹是直线l′：y＝﹣x+9，点E的运动轨迹是直线l：y＝﹣x+3，作OP⊥直线l于P交直线l′于Q．可得OP，OQ，当点N与B重合时，点F（6，3），此时OF的值最大，最大值3∴原点O与所有正方形上各点所连线段中的最大值m＝3，最小值n，故答案为3，．。
2018-2019学年北京海淀区初三上数学期末试卷及答案
初三第一学期期末学业水平调研数学2019．01学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________注意事项1. 本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分。
2. 在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。
3. 调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。
4. 在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5. 调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回。
一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线213yx 的顶点坐标为A ．1,3B ．1,3 C ．1,3 D ．3,12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点43P ，，OP 与x 轴正半轴的夹角为α，则tan 的值为A ．35 B ．45 C ．34D ．433．方程230x x 的根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC 绕点C 顺时针旋转到△A B C ，当B ，C ，A 在一条直线上时，三角板ABC 的旋转角度为A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 是反比例函数2(0)yx x的图象上的一点，则矩形OABC 的面积为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ， 若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积．．之比等于 A ．2:3B ．4:9C ．4:5D 23xyα1234123PO B'A'C B A ED C BAxy C BAO7．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘==AC BD 54cm ，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为图1 图2 A ．(543+10)cmB ．(542+10)cmC ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是 A ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．方程230x x -=的根为．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于10（，），30（，）两点，则n 的值为．12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=()0k ≠的图象有两个交点，则k 的取值范围是．13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点24A ，，40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA B .若B '的坐xyy 1y 4y 3y 2–1–2–3–4–5–61234–1–2–3–412345OQPBDC A 30°30°闸机箱闸机箱xy1234512345B'BAO标为20，，则点A 的坐标为．14．已知1(1)y ，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y ，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y 上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：0cos452sin302．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ，4AO ，2CO ，3CD ，求AB 的长．19．已知x n 是关于x 的一元二次方程2450mx x 的一个根，若246mn n m ，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一组数据：x （单位：度） … 100 250 400 500 … y （单位：米） … 1.00 0.40 0.25 0.20 …（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；ODCBAxy12–1–212345MAOPQNxy –1–2–3123123QO PA ．1100yxB ．100yxC ．13+2002y xD ．21319400008008x yx（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米． 21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点P .求作：过点P 的⊙O 的切线． 作法：如图，① 作射线OP ；②在直线OP 外任取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B ；③连接并延长BA 与⊙A 交于点C ； ④作直线PC ； 则直线PC 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：∵ BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC =90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长．OPOA参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan53° 1.33≈．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12yx 与双曲线ky x的一个交点是(2,)A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线kyx上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(,0)B b ． ①若1m ，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x 与y 的几组值，如下表： x /cm 0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6y /cm1.43 0.66 0 1.312.59 2.76 1.66 0 的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD =AC 时，AM 的长度约为cm ．25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OEAB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ． （1）求证：PC =PF ；（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，32BC =3tan 4P =，求FB 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844yx ax a ，(1,0),(,0)A N n -．（1）当1a 时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；DC O BAMxy12345671234OFE PBAOC（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上. ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________.（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC 的值．图1 图2 图328．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a ，3b 时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345OlDBCAFABCDlEDABC图1 图2（1）图1中点C 的坐标为； （2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为；（3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形.①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1.若4a ，0b ，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.备用图初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考xy –1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345Oxy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345OA BCDxy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCABBCA第8题：二次函数a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a ︳越大，开口越小，显然a 1<a 2=a 3<a 4,，可知a 1最小。
2018-2019学年北京市清华附中九年级(上)月考数学试卷(10月份)含答案解析
2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）（2018秋•历城区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2分）（2018秋•正定县期末）一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣4B．2，3，4C．2，﹣3，4D．2，3，﹣4 3．（2分）（2018秋•滨湖区期末）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．（2分）（2015秋•涞水县期末）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A．4B．6C．8D．105．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＜y2＜y3 6．（2分）（2018秋•正定县期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的大小为（）A．40°B．50°C．80°D．100°7．（2分）（2017•莘县一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（）A．2：3B．2：5C．3：5D．3：28．（2分）（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分,每小题2分)9．（2分）（2013•芙蓉区校级模拟）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是．10．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）请写出一个开口向下且经过原点的抛物线解析式．11．（2分）（2015秋•北京校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+6化为y＝（x﹣m）2+k的形式，则m+k＝．12．（2分）（2016•余干县三模）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．（2分）（2019•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：．14．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．15．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点B的坐标为B（4，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，CE∥AB，并与抛物线的对称轴交于点E．现有下列结论：①b＞0；②4a+2b+c＜0；③AD+CE＝4．其中所有正确结论的序号是．16．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC ．求作：BC 边上的高AD ．作法：如图2，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为单位作弧，两弧相交于P ，Q 两点； （2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ．线段AD 即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分,第17-20,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27，28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2010•花垣县校级自主招生）用适当的方法解方程x 2﹣5x +6＝0．18．（5分）（2009秋•海淀区期末）已知：k 是方程3x 2﹣2x ﹣1＝0的一个根，求代数式（k﹣1）2+2（k +1）（k ﹣1）+7的值．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B 、C 、E 三点在同一条直线上，连结DC ．求证：BE ＝CD ．20．（5分）（2019•扬州一模）已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x +m 2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．21．（5分）（2017秋•北京期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）设二次函数y1＝x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2＝ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围．23．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD＝2，求BE的长．24．（6分）（2017秋•海淀区期中）如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O 于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．25．（6分）（2013•泰安校级模拟）如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE 绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；（2）若正方形的边长为2a，当CE＝时，S△FGE＝S△FBE；当CE＝时，S△FGE＝3S△FBE．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为；（2）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值；（3）若二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．27．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F．如图，60°≤∠BAC≤120°，△ACF与△ABC在直线AC的同侧．（1）①补全图形；②∠EAF+∠CEF＝；（2）猜想线段F A，FB，FE的数量关系，并证明你的结论；（3）若BC＝2，则AF的最大值为．28．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，中心为点C正方形的各边分别与两坐标轴平行，若点P是与C不重合的点，点P关于正方形的仿射点Q的定义如下：设射线CP交正方形的边于点M，若射线CP上存在一点Q，满足CP+CQ＝2CM，则称Q为点P关于正方形的仿射点如图为点P关于正方形的仿射点Q的示意图．特别地，当点P与中心C重合时，规定CP＝0．（1）当正方形的中心为原点O，边长为2时．①分别判断点F（2，0），G（−32，34），H（3，3）关于该正方形的仿射点是否存在？若存在，直接写出其仿射点的坐标；②若点P在直线y＝﹣x+3上，且点P关于该正方形的仿射点Q存在，求点P的横坐标的取值范围；（2）若正方形的中心C在x轴上，边长为2，直线y=−√33+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于该正方形的仿射点Q在正方形的内部，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围．2018-2019学年北京市清华附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分,每小题2分)1．（2分）（2018秋•历城区期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2．（2分）（2018秋•正定县期末）一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，﹣3，﹣4B．2，3，4C．2，﹣3，4D．2，3，﹣4【解答】解：一元二次方程2x2+3x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，3，﹣4．故选：D．3．（2分）（2018秋•滨湖区期末）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y ＝（x+1）2+2．故选：B．4．（2分）（2015秋•涞水县期末）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE＝2，则AB的长是（）A．4B．6C．8D．10【解答】解：如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BE=12AB，∵OC＝5，CE＝2，∴OE＝3，在Rt△AOE中，AE=√OA2−OE2=4，∴AB＝2AE＝8，故选：C．5．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x﹣1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＜y2＜y3【解答】解：∵y＝﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2，∴对称轴为x＝1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y 1＝y 2＞y 3，故选：A ．6．（2分）（2018秋•正定县期末）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的大小为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【解答】解：∵OB ＝OC∴∠BOC ＝180°﹣2∠OCB ＝100°，∴由圆周角定理可知：∠A =12∠BOC ＝50°故选：B ．7．（2分）（2017•莘县一模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF ＝4：25，则DE ：EC ＝（ ）A ．2：3B ．2：5C ．3：5D ．3：2【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠DEF ，∠AFB ＝∠DFE ，∴△DEF ∽△BAF ，∵S △DEF ：S △ABF ＝4：25，∴DE AB =25， ∵AB ＝CD ，∴DE ：EC ＝2：3．故选：A ．8．（2分）（2012•桂林）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动点P 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP＝t，QB＝2t，故可得S=12AP•QB＝t2，函数图象为抛物线；②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，此时AP＝t，△APQ底边AP上的高保持不变，为正方形的边长4，故可得S=12AP×4＝2t，函数图象为一次函数．综上可得总过程的函数图象，先是抛物线，然后是一次增函数．故选：D．二、填空题（本题共16分,每小题2分)9．（2分）（2013•芙蓉区校级模拟）点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2）．【解答】解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），故答案为：（1，﹣2）．10．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）请写出一个开口向下且经过原点的抛物线解析式y＝﹣x2．【解答】解：开口向下且经过原点的抛物线解析式可为y＝﹣x2．故答案为y＝﹣x2．11．（2分）（2015秋•北京校级期中）二次函数y＝x2﹣2x+6化为y＝（x﹣m）2+k的形式，则m+k＝6．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+6＝x2﹣2x+1+5＝（x﹣1）2+5，∴m＝1，k＝5，∴m+k＝1+5＝6．故答案是：6．12．（2分）（2016•余干县三模）如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是（2，0）．【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）．故答案为：（2，0）．13．（2分）（2019•无棣县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C（0，4），D是OA中点，将△CDO以C为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C与点O重合，写出此时点D的对应点的坐标：（4，2）．【解答】解：∵△CDO绕点C逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′＝OD＝2，∴点D坐标为（4，6）；当将点C与点O重合时，点C向下平移4个单位，得到△OAD′′，∴点D向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为：（4，2）．14．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为4√3．【解答】解：过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，Rt△OAD中，OD＝CD=12OC＝2，OA＝4，根据勾股定理，得：AD=√AO2−OD2=2√3，由垂径定理得，AB＝2AD＝4√3，故答案为4√3．15．（2分）（2018秋•海淀区校级月考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E ．现有下列结论：①b ＞0；②4a +2b +c ＜0；③AD +CE ＝4．其中所有正确结论的序号是 ①③ ．【解答】解：①该函数图象的开口向下，a ＜0，−b 2a ＞0，∴b ＞0，正确；②把x ＝2代入解析式可得4a +2b +c ＞0，错误；③∵AD ＝DB ，CE ＝OD ，∴AD +OD ＝DB +OD ＝OB ＝4，可得：AD +CE ＝4，正确． 故答案为：①③．16．（2分）（2017秋•海淀区期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程．已知：△ABC ．求作：BC 边上的高AD ．作法：如图2，（1）分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为单位作弧，两弧相交于P ，Q 两点； （2）作直线PQ ，交AC 于点O ；（3）以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，与CB 的延长线交于点D ，连接AD ．线段AD 即为所作的高．请回答：该尺规作图的依据是 ①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上； ②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线． ．【解答】解：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．故答案为：①到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；②直径所对得圆周角是直角；③两点确定一条直线．三、解答题（本题共68分,第17-20,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27，28题,每小题5分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．（5分）（2010•花垣县校级自主招生）用适当的方法解方程x2﹣5x+6＝0．【解答】解：方程x2﹣5x+6＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，x﹣2＝0，x﹣3＝0，x1＝2，x2＝3．18．（5分）（2009秋•海淀区期末）已知：k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，求代数式（k ﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7的值．【解答】解：∵k是方程3x2﹣2x﹣1＝0的一个根，∴3k2﹣2k﹣1＝0，∴3k2﹣2k＝1；∴（k﹣1）2+2（k+1）（k﹣1）+7，＝k2﹣2k+1+2（k2﹣1）+7，＝k2﹣2k+1+2k2﹣2+7，＝3k2﹣2k+6，＝1+6，＝7．19．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）将两个大小不同的含45°角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内．从图1中抽象出一个几何图形（如图2），B、C、E三点在同一条直线上，连结DC．求证：BE＝CD．【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90，即∠BAC +∠CAE ＝∠DAE +∠CAE ，∴∠BAE ＝∠CAD ，在△ABE 和△ACD 中，{AB =AC ∠BAE =∠CAD AE =AD，∴△ABE ≌△ACD （SAS ），∴BE ＝CD ．20．（5分）（2019•扬州一模）已知关于x 的一元二次方程x 2+2（m ﹣1）x +m 2﹣3＝0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m 的值．【解答】解：（1）△＝[2（m ﹣1）]2﹣4（m 2﹣3）＝﹣8m +16．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．即﹣8m +16＞0．解得 m ＜2；（2）∵m ＜2，且m 为非负整数，∴m ＝0或m ＝1，当m ＝0时，原方程为x 2﹣2x ﹣3＝0，解得 x 1＝3，x 2＝﹣1，不符合题意舍去，当m ＝1时，原方程为x 2﹣2＝0，解得x 1=√2，x 2=−√2，综上所述，m ＝1．21．（5分）（2017秋•北京期末）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）．（1）在图1中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，直接写出点C的对应点C1的坐标．（2）在图2中，以点O为位似中心，将△ABC放大，使放大后的△A2B2C2与△ABC的对应边的比为2：1（画出一种即可）．直接写出点C的对应点C2的坐标．【解答】解：（1）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示，点C1的坐标（﹣3，1）；（2）放大后的△A2B2C2如图所示（画出一种即可），如图所示C2的坐标（﹣6，﹣2）．22．（5分）（2018秋•海淀区校级月考）设二次函数y1＝x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y ＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y轴对称．（1）求二次函数y2＝ax2+bx+c的解析式；（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围．【解答】解：（1）二次函数y1＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1图象的顶点（2，﹣1），关于y轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1）所以，所求的二次函数的解析式为y2＝（x+2）2﹣1，即y2＝x2+4x+3；（2）由二次函数的解析式为y2＝（x+2）2﹣1可知：开口向上，最小值为﹣1，把x＝0代入则y＝3，∴当﹣3＜x≤0时，y2的取值范围为：﹣1≤y2≤3；23．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE＝∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD＝2，求BE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠ADE ＝∠C ，∠DAE ＝∠BAD ，∴∠ADE ＝∠B ，∴∠AED ＝∠ADB ．∵∠BED +∠AED ＝∠CDA +∠ADB ＝180°，∴∠BED ＝∠CDA ，∴△BDE ∽△CAD ．（2）解∵AB ＝AC ＝5，BC ＝8，CD ＝2，∴BD ＝6．∵△BDE ∽△CAD ，∴BE CD =BD CA ，即BE 2=65， ∴BE =125．24．（6分）（2017秋•海淀区期中）如图，AB 为⊙O 上，过点O 作OD ⊥BC 于点E ，交⊙O于点D ，CD ∥AB ．（1）求证：E 为OD 的中点；（2）若CB ＝6，求四边形CAOD 的面积．【解答】证明：（1）在⊙O 中，OD ⊥BC 于E ，∴CE ＝BE ，∵CD ∥AB ，∴∠DCE ＝∠B ，在△DCE 与△OBE 中{∠DCE =∠BCE =BE ∠CED =∠BEO，∴△DCE ≌△OBE （ASA ），∴DE＝OE，∴E是OD的中点；（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC，∴∠CED═90°＝∠ACB，∴AC∥OD，∵CD∥AB，∴四边形CAOD是平行四边形，∵E是OD的中点，CE⊥OD，∴OC＝CD，∵OC＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴△OCD是等边三角形，∴∠D＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠D＝30°，∴在Rt△CDE中，CD＝2DE，∵BC＝6，∴CE＝BE＝3，∵CE2+DE2＝CD2＝4DE2，∴DE=√3，CD＝2√3，∴OD＝CD＝2√3，∴四边形CAOD的面积＝OD•CE＝6√3．25．（6分）（2013•泰安校级模拟）如图，已知正方形ABCD，点E在BC边上，将△DCE 绕某点G旋转得到△CBF，点F恰好在AB边上．（1）请画出旋转中心G（保留画图痕迹），并连接GF，GE；（2）若正方形的边长为2a ，当CE ＝ a 时，S △FGE ＝S △FBE ；当CE ＝2a+√2a 2或EC =2a−√2a 2 时，S △FGE ＝3S △FBE ．【解答】解：（1）如图：分别作线段BC 、EF 的垂直平分线的交点就是旋转中心点G ．（2）∵G 是旋转中心，且四边形ABCD 是正方形，∴FG ＝EG ，∠FGE ＝90°∵S △FGE =FG 22，且由勾股定理，得2FG 2＝EF 2，∴S △FGE =EF 24． 设EC ＝x ，则BF ＝x ，BE ＝2a ﹣x ，在Rt △BEF 中，由勾股定理，得EF 2＝x 2+（2a ﹣x ）2，∴S △FGE =x 2+(2a−x)24． ∵S △FBE =x(2a−x)2， ①当S △FGE ＝S △FBE 时，则x 2+(2a−x)24=x(2a−x)2，解得：x ＝a ；∴EC ＝a ．②当S △FGE ＝3S △FBE 时，则x 2+(2a−x)24=x⋅(2a−x)2⋅3， ∴2x 2﹣4ax +a 2＝0，解得：x =2a+√2a 2或x =2a−√2a 2． ∴EC =2a+√2a 2或EC =2a−√2a 2． 故答案为：a ； 2a+√2a 2或EC =2a−√2a 2．26．（6分）（2018秋•海淀区校级月考）已知二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c （a ＞0）的图象经过坐标原点O ，一次函数y ＝﹣x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ．（1）c ＝ 0 ，点A 的坐标为 （4，0） ；（2）若二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c 的图象经过点A ，求a 的值；（3）若二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c 的图象与△AOB 只有一个公共点，直接写出a 的取值范围．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c （a ＞0）的图象经过坐标原点O ， ∴当x ＝0时，c ＝0，将y ＝0代入y ＝﹣x +4，得x ＝4，即点A 的坐标为（4，0），故答案为：0，（4，0）；（2）∵二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x +c 的图象经过点A ，点A 的坐标为（4，0）， ∴0＝a ×42﹣（2a +1）×4，解得，a ＝0.5；（3）∵y ＝ax 2﹣（2a +1）x ＝x [ax ﹣（2a +1）]，∴函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x 过点（0，0）和（2a+1a ，0），∵点A （4，0），点O 的坐标为（0，0），二次函数y ＝ax 2﹣（2a +1）x （a ＞0）的图象与△AOB 只有一个公共点，∴−−(2a+1)2a＞0+42，a ＞0， 解得，0＜a ＜12，即a 的取值范围是0＜a ＜12．27．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）已知，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，以AC为边作等边△ACE，直线BE交直线AD于点F．如图，60°≤∠BAC≤120°，△ACF与△ABC在直线AC的同侧．（1）①补全图形；②∠EAF+∠CEF＝60°；（2）猜想线段F A，FB，FE的数量关系，并证明你的结论；（3）若BC＝2，则AF的最大值为4√33．【解答】解：（1）①图形如图1所示；②结论：∠EAF+∠CEF＝60°理由：如图1中，以A为圆心，AB为半径画圆．作AH⊥BE于H．∵AB＝AC＝AE，∴B，E，C在⊙A上，∵△AEC是等边三角形，∴∠EAC＝60°，∴∠EBC=12EAC＝30°，∵AB＝AE，AH⊥BE，∴∠EAH=12∠BAE，∵∠BCE=12∠BAE，∴∠BCE＝∠EAH，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝∠AHF＝90°，∠BFD＝60°，∴∠HAF＝30°，∴∠EAF+∠CEF＝∠EAF+∠EBC+∠BCE＝∠EAF+∠EAH+∠EBC＝30°+30°＝60°．故答案为60°．（2）结论：F A＝FE+FB．理由：如图2中，在F A上取一点K，使得FK＝FE，连接EK．∵FE＝CK，∠EFK＝60°，∴△EFK是等边三角形，∴EK＝EF，∠EKF＝∠KEF＝60°，∵∠AEC＝∠KEF＝60°，∴∠AEK＝∠CEF，∵AE＝EC，EK＝EF，∴△AEK≌△CEF（SAS），∴AK＝FC，∵AD垂直平分线段BC，∴FB＝CF，∴F A＝FK+AK＝FE+FC＝FE+FB．（3）如图3中．∵60°≤∠BAC ≤120°，观察图象可知，当∠BAC ＝60°时，AF 的值最大，此时∵AB ＝AC ＝BC ＝2，AF ⊥BC ，∴AD ＝AB •sin60°=√3，DF ＝BD •tan30°=√33，∴AF =√3+√33=4√33，∴AF 的最大值为4√33． 故答案为4√33． 28．（7分）（2018秋•海淀区校级月考）在平面直角坐标系xOy 中，中心为点C 正方形的各边分别与两坐标轴平行，若点P 是与C 不重合的点，点P 关于正方形的仿射点Q 的定义如下：设射线CP 交正方形的边于点M ，若射线CP 上存在一点Q ，满足CP +CQ ＝2CM ，则称Q 为点P 关于正方形的仿射点如图为点P 关于正方形的仿射点Q 的示意图． 特别地，当点P 与中心C 重合时，规定CP ＝0．（1）当正方形的中心为原点O ，边长为2时．①分别判断点F （2，0），G （−32，34），H （3，3）关于该正方形的仿射点是否存在？若存在，直接写出其仿射点的坐标；②若点P 在直线y ＝﹣x +3上，且点P 关于该正方形的仿射点Q 存在，求点P 的横坐标的取值范围；（2）若正方形的中心C 在x 轴上，边长为2，直线y =−√33+2√3与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于该正方形的仿射点Q 在正方形的内部，直接写出正方形的中心C的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）①如图1中，根据点P关于正方形的仿射点的定义可知：当点在正方形ABCD（边长为4中心为原点O）的内部时（包括正方形的边上），有仿射点，观察图象可知，点F，点G有仿射点，点F的仿射点坐标为（0，0），点G的仿射点坐标为（−12，14）．②如图2中，如图直线y ＝﹣x +3交CD 于K （1，2），交BC 于H （2，1），∴点P 在直线y ＝﹣x +3上，且点P 关于该正方形的仿射点Q 存在，点P 的横坐标的取值范围为1≤x ≤2；（2）如图3中，由题意A （0，2√3），B （6，0）．由（1）可知当边长为4的正方形的顶点D 在线段AB 上时，DE ＝2，∵DE ∥OA ，∴DE OA =BE OB ， ∴2√3=EB6， ∴EB ＝2√3，OE ＝6﹣2√3，∴OC 1＝6﹣2√3−2＝4﹣2√3，∴C 1（4﹣2√3）当边长为4的正方形的边经过点B 时，可得C 4（8，0），观察图象可知：满足条件的正方形的中心C 的横坐标的取值范围为4﹣2√3≤x ≤8．。
北京市海淀区清华附中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠03．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．。
人教版初中数学九年级上册第一次月考试题(北京市海淀区
2018-2019学年北京市海淀区育英学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD ＝1，BD＝2，则的值为（）A．B．C．D．2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．3．（2分）以下事件为必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0B．多边形的内角和是360°C．二次函数的图象必过原点D．半径为2的圆的周长是4π4．（2分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是65．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（）A．B．C．D．36．（2分）如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BF A的面积比为（）A．1：B．1：2C．1：4D．1：87．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若，则的值为．10．（2分）△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为．11．（2分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为．12．（2分）如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE ＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．13．（2分）某农场引进一批新麦种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800 粒麦种进行实验．实验结果如表所示（发芽率精确到0.001 ）：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的麦种发芽的概率为．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝．15．（2分）如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD ＝．16．（2分）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为cm2．（结果可保留根号）三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．18．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD ＝2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B．求线段EC的长度．20．（5分）已知：如图，在△ABC，BC＝2，S△ABC＝3，∠ABC＝135°，求AC、AB的长．21．（5分）已知：如图，△ABC中，AC⊥BD于C，＝，E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB和AD的长．22．（5分）如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）连接DH，如果BC＝12，BF＝3，求tan∠HDG的值．23．（6分）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第5组10名同学中，有4名男生，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，试用列表法或画树状图的方法求小宇和小强两名男同学能分在一组的概率．24．（6分）如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：≈1.4，≈1.7）25．（6分）阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝；tan∠AOD＝；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD＝．26．（6分）如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD ＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB ＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．27．（7分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A （3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，图形W在坐标轴上的投影长度定义如下：设点P（x1，y1），Q（x2，y2）是图形W上的任意两点．若|x1﹣x2|的最大值为m，则图形W在x轴上的投影长度l x＝M；若|y1﹣y2|的最大值为n，则图形W 在y轴上的投影长度l y＝n．如图1，图形W在x轴上的投影长度l x＝|3﹣1|＝2；在y轴上的投影长度l y＝|4﹣0|＝4．（1）已知点A（3，3），B（4，1）．如图2所示，若图形W为△OAB，则l x，l y．（2）已知点C（4，0），点D在直线y＝2x+6上，若图形W为△OCD．当l x＝l y时，求点D的坐标．（3）若图形W为函数y＝x2（a≤x≤b）的图象，其中0≤a＜b．当该图形满足l x＝l y≤1时，请直接写出a的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区育英学校九年级（上）第一次月考数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD ＝1，BD＝2，则的值为（）A．B．C．D．【分析】由AD＝1，DB＝2，即可求得AB的长，又由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得DE：BC＝AD：AB，则可求得答案．【解答】解：∵AD＝1，DB＝2，∴AB＝AD+BD＝1+2＝3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．2．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝＝5．cos A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（2分）以下事件为必然事件的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0B．多边形的内角和是360°C．二次函数的图象必过原点D．半径为2的圆的周长是4π【分析】分别利用多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式分别判断得出即可．【解答】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是0，是不可能事件，故此选项错误；B、多边形的内角和是（n﹣2）×180°，故此选项错误；C、二次函数的图象不一定过原点，故此选项错误；D、半径为2的圆的周长是4π，正确．故选：D．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理以及二次函数的图象的性质以及圆的周长公式等知识，正确把握相关定义是解题关键．4．（2分）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6【分析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项错误；B、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，故本选项错误；C、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，故本选项错误；D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为≈0.17，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝3，AB＝6，那么AD的值为（）A．B．C．D．3【分析】根据射影定理得到：AC2＝AD•AB，把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，又∵AC＝3，AB＝6，∴32＝6AD，则AD＝．故选：A．【点评】本题考查了射影定理．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6．（2分）如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BF A的面积比为（）A．1：B．1：2C．1：4D．1：8【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△CEF∽△ABF，∴＝，∵E为DC的中点，∴＝＝，∴＝．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF∽△ABF是解题关键．7．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．三棱柱B．三棱锥C．长方体D．正方体【分析】利用三视图复原的几何体的形状即可．【解答】解：由题意三视图复原的几何体是三棱柱，故选：A．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，判断三视图复原的几何体的形状是解题的关键．8．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若，则的值为．【分析】已知的比值，根据比例的合比性质即可求得．【解答】解：根据比例的合比性质，已知＝，则＝．【点评】熟练应用比例的合比性质．10．（2分）△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，则△DEF的周长为90．【分析】由△ABC的三边长分别为5，12，13，与它相似的△DEF的最小边长为15，即可求得△AC的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．【解答】解：∵△ABC的三边长分别为5，12，13，∴△ABC的周长为：5+12+13＝30，∵与它相似的△DEF的最小边长为15，∴△DEF的周长：△ABC的周长＝15：5＝3：1，∴△DEF的周长为：3×30＝90．故答案为90．【点评】此题考查了相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键．11．（2分）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为．【分析】利用锐角三角函数关系直接得出答案．【解答】解：如图所示：tan B＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．12．（2分）如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE ＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于．【分析】根据对顶角相等得到∠AEC＝∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当＝时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．【解答】解：∵∠AEC＝∠BED，∴当＝时，△BDE∽△ACE，即＝，∴CE＝．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．13．（2分）某农场引进一批新麦种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800 粒麦种进行实验．实验结果如表所示（发芽率精确到0.001 ）：在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的麦种发芽的概率为0.98．【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，由此可估计发芽的机会大约是0.98．【解答】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在0.98左右，所以可估计这种大蒜发芽的机会大约是0.98．故答案为0.98；【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，点D在AC上，且AD＝2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与原三角形相似，那么AE＝或．【分析】两三角形有一公共角，再求夹此公共角的两边对应成比例即可．点E 位置未确定，所以应分别讨论，△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED．【解答】解：第一种情况：要使△ABC∽△ADE，∠A为公共角，AB：AD＝AC：AE，即8：2＝6：AE，∴AE＝；第二种情况：要使△ABC∽△AED，∠A为公共角，AB：AE＝AC：AD，即8：AE＝6：2，∴AE＝．故答案为：或．【点评】考查相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．需注意的是边的对应关系．15．（2分）如图，线段AB和射线AC交于点A，∠A＝30°，AB＝20．点D在射线AC上，且∠ADB是钝角，写出一个满足条件的AD的长度值：AD＝10．【分析】过B作BE⊥AC于E，由∠A＝30°，AB＝20，得到AE＝10，推出∠ADB＞∠AEB，即可得到结论．【解答】解：过B作BE⊥AC于E，∵∠A＝30°，AB＝20，∴AE＝10，∵∠ADB是钝角，∴∠ADB＞∠AEB，∴0＜AD＜10，∴AD＝10，故答案为：10．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键．16．（2分）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为（75+360）cm2．（结果可保留根号）【分析】根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．【解答】解：根据该几何体的三视图知道其是一个正六棱柱，∵其高为12cm，根据正六边形的性质易知：底面边长为5cm，∴其侧面积为6×5×12＝360cm2密封纸盒的底面积为：×5××6＝cm2∴其全面积为：（75+360）cm2．故答案为：（75+360）．【点评】本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．三、解答题（本题共68分，第17～22题，每小题5分；第23～26小题，每小题5分；第27～28小题，每小题5分）17．（5分）计算：4cos30°•tan60°﹣sin245°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式＝4××﹣（）2＝6﹣＝．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，BE⊥AC于E，求证：△ACD∽△BCE．【分析】根据等腰三角形的性质，由AB＝AC，D是BC中点得到AD⊥BC，易得∠ADC＝∠BEC＝90°，再加上公共角，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可得到结论．【解答】证明：∵AB＝AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠ADC＝∠BEC，而∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰三角形的性质．19．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD ＝2．过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B．求线段EC的长度．【分析】由条件可得到∠BAD＝∠EDC，可证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质可得到＝，代入可求得EC．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC是△ABD的一个外角，∴∠ACD＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，又∵∠B＝∠ADE，∴∠BAD＝∠EDC，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∵BC＝6，BD＝2，∴CD＝4，∴＝，解得EC＝1．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得到∠BAD＝∠DCE 证得△ABD∽△DCE是解题的关键．20．（5分）已知：如图，在△ABC，BC＝2，S△ABC＝3，∠ABC＝135°，求AC、AB的长．【分析】过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，利用△ABC的面积求出AD，再求出∠ABD＝45°，然后利用等腰直角三角形的性质求出AB、BD，再求出CD，利用勾股定理列式求解即可得到AC．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于D，＝3，BC＝2，在△ABC中，∵S△ABC∴AD＝＝＝3，∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝180°﹣135°＝45°，∴AB＝AD＝3，BD＝AD＝3，在Rt△ADC中，CD＝2+3＝5，由勾股定理得，AC＝＝＝．【点评】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．21．（5分）已知：如图，△ABC中，AC⊥BD于C，＝，E是AB的中点，tan D＝2，CE＝1，求sin∠ECB和AD的长．【分析】先由AC⊥BD，E是AB的中点，CE＝1，得出AB＝2CE＝2，BE＝CE．由＝，可设BC＝3x，CD＝2x，在Rt△ACD中，由tan D＝＝2，得出AC＝2CD＝4x．在Rt△ABC中由勾股定理求得AB＝5x，由BE＝CE，得出∠ECB＝∠B，于是利用正弦函数的定义得出sin∠ECB＝sin B＝＝＝．由AB＝5x＝2，得出x＝，那么由勾股定理得出AD＝＝2x，将x ＝代入计算即可．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝∠ACD＝90°．∵E是AB的中点，CE＝1，∴AB＝2CE＝2，BE＝CE．∵＝，∴设BC＝3x，CD＝2x，∵在Rt△ACD中，tan D＝2，∴＝2，∴AC＝2CD＝4x．在Rt△ABC中由勾股定理，得AB＝5x，∵BE＝CE，∴∠ECB＝∠B，∴sin∠ECB＝sin B＝＝＝．∵AB＝5x＝2，∴x＝，∴AD＝＝＝2x＝2×＝．【点评】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，难度适中．设BC＝3x后利用勾股定理求得AB＝5x是解题的关键．22．（5分）如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）连接DH，如果BC＝12，BF＝3，求tan∠HDG的值．【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B＝∠C＝90°，∠EFG＝90°，BC＝CD，GH＝EF＝FG，然后求出∠EFB＝∠FDC，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明；（2）先求出CF，再利用勾股定理列式求出DF，然后根据相似三角形对应边成比例求出BE，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解．【解答】（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B＝∠C＝90°，∠EFG＝90°，∴BC＝CD，GH＝EF＝FG．又∵点F在BC上，点G在FD上，∴∠DFC+∠EFB＝90°，∠DFC+∠FDC＝90°，∴∠EFB＝∠FDC，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△EBF∽△FCD；（2）解：∵BF＝3，BC＝CD＝12，∴CF＝9，DF＝＝＝15，∵△EBF∽△FCD，∴＝，∴BE＝＝＝，∴GH＝FG＝EF＝＝，∴DG＝DF﹣FG＝15﹣＝，∴tan∠HDG＝＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质以及相似三角形的判定方法是解题的关键．23．（6分）为了提高学生书写汉字的能力．增强保护汉字的意识，我区举办了“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：请结合图表完成下列各题：（1）求表中a的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？（4）第5组10名同学中，有4名男生，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，试用列表法或画树状图的方法求小宇和小强两名男同学能分在一组的概率．【分析】（1）利用总数50减去其它项的频数即可求得；根据计算结果即可补全直方图；（2）根据第三组，第四组的人数，画出直方图即可；（3）根据优秀率＝×100%计算即可；（4）利用树状图方表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：（1）a＝50﹣4﹣6﹣14﹣10＝16．（2）频数分布直方图如图所示：（3）优秀率＝×100%＝52%．（4）用A表示小宇、B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：从上图可知共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是P＝＝．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．24．（6分）如图，一艘渔船正自西向东航行追赶鱼群，在A处望见岛C在船的北偏东60°方向，前进20海里到达B处，此时望见岛C在船的北偏东30°方向，以岛C为中心的12海里内为军事演习的危险区．请通过计算说明：如果这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有进入危险区的可能．（参考数据：≈1.4，≈1.7）【分析】过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D，根据题意求出CD的长，再和岛C的半径12海里比较大小即可得到问题答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．由题意可知，在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝20．在Rt△CBD中，∠CBD＝60°，∴CD＝CB•sin∠CBD＝10（海里）．∵10＞12，∴这艘渔船继续向东航行追赶鱼群不会进入危险区．【点评】此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．25．（6分）阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1，他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．请回答：（1）如图1，A，B，C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O．为了求出∠AOD的正切值，小明在点阵中找到了点E，连接AE，恰好满足AE⊥CD于点F，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝；tan∠AOD＝5；解决问题：如图3，计算：tan∠AOD＝．【分析】（1）用三角板过C作AB的垂线，从而找到D的位置；（2）连接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的长，由等腰直角三角形的性质可以求出AF，DF的长，从而求出OF的长，在Rt△AFO中，根据锐角三角函数的定义即可求出tan∠AOD的值；（3）如图，连接AE、BF，则AF＝，AB＝，由△AOE∽△BOF，可以求出AO＝，在Rt△AOF中，可以求出OF＝，故可求得tan∠AOD．【解答】解：（1）如图所示：线段CD即为所求．（2）如图2所示连接AC、DB、AD．∵AD＝DE＝2，∴AE＝2．∵CD⊥AE，∴DF＝AF＝．∵AC∥BD，∴△ACO∽△DBO．∴CO：DO＝2：3．∴CO＝．∴DO＝．∴OF＝．tan∠AOD＝．（3）如图3所示：根据图形可知：BF＝2，AE＝5．由勾股定理可知：AF＝＝，AB＝＝．∵FB∥AE，∴△AOE∽△BOF．∴AO：OB＝AE：FB＝5：2．∴AO＝．在Rt△AOF中，OF＝＝．∴tan∠AOD＝．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用、锐角三角函数的定义，根据点阵图构造相似三角形是解题的关键．26．（6分）如图1，在△ABC中，BC＝4，以线段AB为边作△ABD，使得AD ＝BD，连接DC，再以DC为边作△CDE，使得DC＝DE，∠CDE＝∠ADB ＝α．（1）如图2，当∠ABC＝45°且α＝90°时，用等式表示线段AD，DE之间的数量关系；（2）将线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，连接BF，AF．①若α＝90°，依题意补全图3，求线段AF的长；②请直接写出线段AF的长（用含α的式子表示）．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出即可；（2）①设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，根据SAS推出△ADE ≌△BDC，根据全等三角形的性质得出AE＝BC，∠AED＝∠BCD．求出∠AFE ＝45°，解直角三角形求出即可；②过E作EM⊥AF于M，根据等腰三角形的性质得出∠AEM＝∠FEM＝，AM＝FM，解直角三角形求出FM即可．【解答】解：（1）AD+DE＝4，理由是：如图1，∵∠ADB＝∠EDC＝∠α＝90°，AD＝BD，DC＝DE，∴AD+DE＝BC＝4；（2）①补全图形，如图2，设DE与BC相交于点H，连接AE，交BC于点G，∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE与△BDC中，，∴△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∠AED＝∠BCD．∵DE与BC相交于点H，∴∠GHE＝∠DHC，∴∠EGH＝∠EDC＝90°，∵线段CB沿着射线CE的方向平移，得到线段EF，∴EF＝CB＝4，EF∥CB，∴AE＝EF，∵CB∥EF，∴∠AEF＝∠EGH＝90°，∵AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴AF＝＝4；②如图2，过E作EM⊥AF于M，∵由①知：AE＝EF＝BC，∴∠AEM＝∠FEM＝，AM＝FM，∴AF＝2FM＝EF×sin＝8sin．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解直角三角形，等腰三角形的性质，平移的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．27．（7分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A （3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD 相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（）A．90°B．60°C．45°D．30°2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（）A．2πB．πC．πD．π3．如图4，过正方形ABCD的顶点B作直线l，过A，C作直线l的垂线，垂足分别为E，F，若AE＝1，CF＝3，则AB的长为（）A．B．10C．3D．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝06．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣67．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．11．当k时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB 于点E，则AD的长为．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：）∵OA＝OM＝∴△OAM为等边三角形（依据：）∴∠AOM＝60°（依据：）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（用含m的代数式表示），∠ABO＝°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．26．已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）（1）该二次函数图象的对称轴是直线．（2）若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5时，函数图象的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为，求点M和点N的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1）B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥3时，具有y1≥y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．27．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PE＝PA，PE交CD于F．（1）求证：PC＝PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，若∠ABC＝65°，则∠CPE＝度．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′＝，则称点Q为点P的理想点．例如：点（1，2）的理想点的坐标是（1，﹣2），点（﹣2，3）的理想点的坐标是（﹣2，3）．（1）点（，﹣1）理想点的坐标是；若点C在函数y＝2x2的图象上，则它的理想点是A（1，﹣2），B（﹣1，2）中的哪一个？；（2）若点P在函数y＝﹣2x+4（﹣2≤x≤k，k＞﹣2）的图象上，其理想点为Q：①若其理想点Q的纵坐标b′的取值范围是﹣6≤b′≤10，求k的值；②在①的条件下，若点P的理想点Q都不在反比例函数y＝（m＜0，x＞0）上，求m的取值范围．2018-2019学年北京市海淀区清华附中上地学校九年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每题2分）1．如图可以看作是一个等腰直角三角形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【分析】根据旋转的性质，观察图形，中心角是由8个度数相等的角组成，结合周角是360°求得每次旋转的度数．【解答】解：∵中心角是由8个度数相等的角组成，∴每次旋转的度数可以为360°÷8＝45°．故选：C ．【点评】本题把一个周角是360°和图形的旋转的特点结合求解．注意结合图形解题的思想．2．半径为2、圆心角为30°的扇形的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．πD ．π【分析】直接利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：扇形的面积＝＝π． 故选：D ．【点评】本题考查了扇形面积的计算：扇形面积计算公式：设圆心角是n °，圆的半径为R 的扇形面积为S ，则S 扇形＝πR 2或S 扇形＝lR （其中l 为扇形的弧长）． 3．如图4，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A ，C 作直线l 的垂线，垂足分别为E ，F ，若AE ＝1，CF ＝3，则AB 的长为（ ）A．B．10C．3D．【分析】先利用AAS判定△ABE≌△BCF，从而得出AE＝BF，BE＝CF，最后得出AB 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBF+∠FBA＝90°，AB＝BC，∵CF⊥BE，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠ABE，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS）∴AE＝BF，BE＝CF，∴AB＝．故选：A．【点评】此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法，做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用．4．如图，夏季的一天，身高为1.6m的小玲想测量一下屋前大树的高度，她沿着树影BA由B到A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2m，CA＝0.8m，于是得出树的高度为（）A．8m B．6.4m C．4.8m D．10m【分析】求出AB的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．【解答】解：如图，∵BC＝3.2m，CA＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝0.8+3.2＝4cm，∵小玲与大树都与地面垂直，∴△ACE∽△ABD，∴＝，即＝，解得BD＝8．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝﹣2，x2＝6C．x1＝，x2＝D．x1＝﹣4，x2＝0【分析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a＝﹣，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），∴4a+1＝0，∴a＝﹣，∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程﹣（x﹣2）2+1＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：A．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解，正确的理解题意是解题的关键．6．如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB ＝S△CAB＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB ＝S△CAB＝3，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝3，∵k＜0，∴k＝﹣6．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出a、b的正负情况，再根据二次函数图象与y轴的交点判断出c＝0，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＜0，∴b＜0，∵二次函数图象经过坐标原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数y＝位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象判断出a、b、c的情况是解题的关键，也是本题的难点．8．如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA＝PB+PC；②；③PA•PE＝PB•PC．其中，正确结论的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】根据题意：易得△APC≌△BDC．即AP＝BD，有PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC 正确．同时可得：②错误，同理易得△PBE∽△PAC，故有PA•PE＝PB•PC；③正确．【解答】解：延长BP到D，使PD＝PC，连接CD，可得∠CPD＝∠BAC＝60°，则△PCD为等边三角形，∵△ABC为正三角形，∴BC＝AC∵∠PBC＝∠CAP，∠CPA＝∠CDB，∴△APC≌△BDC（AAS）．∴PA＝DB＝PB+PD＝PB+PC，故①正确；由（1）知△PBE∽△PAC，则＝，＝，+＝+≠1，∴②错误；∵∠CAP＝∠EBP，∠BPE＝∠CPA∴△PBE∽△PAC∴∴PA•PE＝PB•PC，故③正确；故选：B．【点评】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60°．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在实数范围内，若有意义，则x的取值范围x≤．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得1﹣2x≥0，解得：x≤，故答案为：x≤．【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10．有画有等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、长方形、等边三角形五张卡片，背面朝下，颜色、形状、大小都一样，任取一张是中心对称图形的概率是．【分析】由这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵在这5张卡片中是中心对称图形的有平行四边形和长方形这2张，∴任取一张是中心对称图形的概率是，故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．当k≠﹣5时，方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程．【分析】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．【解答】解：∵方程kx2+x＝2﹣5x2是关于x的一元二次方程，∴（k+5）x2+x﹣2＝0，则k+5≠0，解得：k≠﹣5．故答案为：≠﹣5．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．12．若抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2．【分析】根据函数图象的平移规律，可得答案．【解答】解：y＝2x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是y＝2（x+1）2﹣2，故答案为：y＝2（x+1）2﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．13．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是70°．【分析】由旋转的角度易得∠ACA′＝20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC＝∠A′，即可得解．【解答】解：由题意知：∠ACA′＝20°；若AC⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′＝90°，得：∠A′＝90°﹣20°＝70°；由旋转的性质知：∠BAC＝∠A′＝70°；故∠BAC的度数是70°．【点评】此题主要考查了旋转的性质，难度不大．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为68°．【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故答案为：68°．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为3．【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵AE垂直平分OB，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．16．如图，点P、Q分别是正方形ABCD中边CD和AD的中点，动点E从点A向点B 运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F 的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，y与x的大致函数图象如图所示，则△AEF的最大面积为．【分析】由图象确定正方形边长，再表示x＞2时△AEF的面积，讨论△AEF面积的最大值．【解答】解：结合题意和图象可知，x＝2时，点E在AB中点，点Q到D点∴AB＝4当2≤x≤4时，y＝当x＝﹣时，y最大＝故答案为：【点评】本题是双动点函数图象探究题，考查了学生对动点到达临界点前后函数图象的变化意义的理解，解答时注意数形结合．三．解答题（本题共68分，第17-22题，每小題5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17．解下列方程（1）（x﹣5）2＝x﹣5（2）x2+12x+27＝0（配方法）．【分析】（1）先移项得到（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）利用配方法得到（x+6）2＝9，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）（x﹣5）2﹣（x﹣5）＝0，（x﹣5）（x﹣5﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣6＝0，所以x1＝5，x2＝6；（2）x2+12x＝﹣27，x2+12x+36＝9，（x+6）2＝9，x+6＝±3，所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了公式法和配方法解一元二次方程．18．小清为班级办黑板报时遇到一个难题，在版面设计过程中需要将一个半圆三等分，小华帮他设计了一个尺规作图的方法．小华的作法如下：（1）作AB的垂直平分线CD交AB于点O；（2）分别，以A、B为圆心，以AO（或BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点M、N；（3）连接OM、ON即可请根据该同学的作图方法完成以下推理：∵半圆AB∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°【分析】应先做线段AB的垂直平分线，得到半圆的圆心；三等分平角，那么平分而成的每个角是60°根据半径相等，可得到相邻两个半径的端点与圆心组成一个等边三角形．以A为圆心，半径长为半径画弧，就可得到一个另一半径的端点所在的位置，连接它与圆心，就得到一条三等分线，同法做到另一三等分线．【解答】解：∵半圆AB，∴AB是直径．∵CD是线段AB的垂直平分线∴OA＝OB（依据：中垂线的定义）∵OA＝OM＝AM，∴△OAM为等边三角形（依据：等边三角形的定义）∴∠AOM＝60°（依据：等边三角形的性质）同理可得∠BON＝60°∠AOM＝∠BON＝∠MON＝60°，故答案为：AB，中垂线的定义，AM，等边三角形的定义，等边三角形的性质．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，本题用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．19．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．（1）画出△AOB平移后的三角形，其平移后的方向为射线AD的方向，平移的距离为AD的长．（2）观察平移后的图形，除了矩形ABCD外，还有一种特殊的平行四边形？请证明你的结论．【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的△DEC即可；（2）根据图形平移的性质得出AC∥DE，OA＝DE，故四边形OCED是平行四边形，再由矩形的性质可知OA＝OB，故DE＝CE，由此可得出结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）四边形OCED是菱形．理由：∵△DEC由△AOB平移而成，∴AC∥DE，BD∥CE，OA＝DE，OB＝CE，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∴DE＝CE，∴四边形OCED是菱形．【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．20．阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是②（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【分析】（1）先设t＝y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3＝0，运用因式分解法解得t1＝，t2＝﹣3，再把t＝和﹣3分别代入t＝y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．（2）根据阅读新知即可判断①②③．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1＝，t2＝﹣3．当t1＝时，y2＝，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1＝，y2﹣；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程是双二次方程时，可考虑用换元法降次求解．21．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD＝FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD＝DE，再根据E是AD的中点，可得AD＝2CD，依据AD＝BC，即可得到BC＝2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD＝FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC＝2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°，∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝DE，∵E是AD的中点，∴AD＝2CD，∵AD＝BC，∴BC＝2CD．【点评】本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．22．问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）【分析】（1）根据等积线段的定义，可知点D为线段BC的中点，然后根据题目中的条件可以求得AD的长度；（2）根据题意可以分别画出相应的图形，然后根据相应的图形分别求出相应的等积线段．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD＝，∴BD＝＝；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE＝．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形、新定义、勾股定理，解题的关键是明确题目中等积线段的定义，利用数形结合的思想解答问题．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象与直线y＝x+1交于点A （1，a）．（1）求a，k的值；（2）连结OA，点P是函数y＝上一点，且满足OP＝OA，直接写出点P的坐标（点A除外）．【分析】（1）将点A（1，a）代入y＝x+1，求出a的值，得到A点坐标，再把A点坐标代入y＝，求出k的值；（2）设点P的坐标为（x，），根据OP＝OA列出方程x2+（）2＝12+22，解方程即可．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（1，a），∴a＝1+1＝2，∴A（1，2）．∵函数y＝的图象经过点A（1，2），∴k＝1×2＝2；（2）设点P的坐标为（x，），∵OP＝OA，∴x2+（）2＝12+22，化简整理，得x4﹣5x2+4＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2，经检验，x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2都是原方程的根，∵点P与点A不重合，∴点P的坐标为（﹣1，﹣2），（2，1），（﹣2，﹣1）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，两点间的距离公式，正确求出k的值是解题的关键．24．已知，在平面直角坐标系中，点P（0，2），以P为圆心，OP为半径的半圆与y轴的另一个交点是C，一次函数y＝﹣x+m（m为实数）的图象为直线l，l分别交x轴，y轴于A，B两点，如图1．（1）B点坐标是（m，0）（用含m的代数式表示），∠ABO＝30°；（2）若点N是直线AB与半圆CO的一个公共点（两个公共点时，N为右侧一点），过点N作⊙P的切线交x轴于点E，如图2．①是否存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．②当＝时，求m的值．【分析】（1）首先求出直线与x轴交点坐标，进而得出答案，再利用锐角三角函数关系得出∠ABO的度数；（2）①分别利用∠NEB＝90°和∠ENB＝90°，结合切线的性质得出m的值；②首先求出NG：EN＝，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性质，进而得出m的值．【解答】解：（1）当y＝0，则0＝﹣x+m，解得：x＝m，故B点坐标是（用含m的代数式表示），∵一次函数y＝﹣x+m与y轴交于点（0，m），∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°；故答案为：（m，0），30；（2）①如图①，假设存在这样的m的值，使得△EBN是直角三角形．连接NP若∠NEB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∵∠POE＝90°，∴四边形OPNE是矩形，∴PN＝2，∠APN＝90°，在Rt△APN中，PN＝2，∠BAO＝60°，∴PA＝，∴m＝2+，若∠ENB＝90°，∵NE是⊙P的切线，∴∠PNE＝90°，∴点P、N、B三点共线，即点P与点A重合，∴m＝2，综上可知，m＝2或2+；②如图②，连接PN，过点E作，EG⊥AB于G，过点P作，PH⊥AB于H，则PA＝m﹣2，PH＝，∵＝，∴EB＝，EN＝EO＝，EG＝，∴EG：EN＝1：4，∴NG：EN＝，∵∠PNE＝90°，∴∠PNH+∠ENG＝90°，∵∠GNE+∠NEG＝90°，∴∠NEG＝∠PNH，∵∠PHN＝∠EGN＝90°，∴△PHN∽△NGE，∴＝，∴＝，解得：m＝．【点评】此题主要考查了圆的综合以及相似三角形的判定与性质和切线的性质等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．25．如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC＝90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．【分析】（1）①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件；（2）分两种情形分别求解即可解决问题；【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．。