初三数学竞赛辅导材料

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初中数学竞赛辅导资料初中数学竞赛辅导资料初一上目录1数的整除（一） 2倍数约数 3质数合数4 零的特性5a n的个位数6数学符号 7用字母表示数 8 抽屉原则初一下目录9一元一次方程解的讨论10二元一次方程的整数解11二元一次方程组解的讨论12用交集解题13用枚举法解题14经验归纳法15乘法公式16整数的一种分类初二上目录17 奇数偶数18 式的整除19因式分解20 恒等式证明21 比较大小22 分式23递推公式24 连续正整数25 十进制的记数法26 选择题解法(一)27识图28三角形边角性质初中数学竞赛辅导资料初二下目录29概念的定义30概念的分类31勾股定理32中位线33同一法34 反证法35两种对称36三点共线37不等关系38、垂直平行39线段、角相等40线段、角和差倍分41线段的比、积、幂42形如1/a+1/b=1/c问题的证明43面积法44数的整除（二）初三上目录45一元二次方程46完全平方式（数）47配方法48非负数49对称式50 基本对称式51待定系数52换元法53 条件等式54整数解55未知数多于方程的个数56列表法57逆推法58观察法59“或者”“并且”60解三角形初三下目录61函数的图象62绝对值63动态几何的定值64最大最小值65图象法66辅助圆67参数法证平几68选择题(二)69数的整除(三) 70正整数简单性质的复习美文欣赏1、走过春的田野，趟过夏的激流，来到秋天就是安静祥和的世界。

秋天，虽没有玫瑰的芳香，却有秋菊的淡雅，没有繁花似锦，却有硕果累累。

秋天，没有夏日的激情，却有浪漫的温情，没有春的奔放，却有收获的喜悦。

清风落叶舞秋韵，枝头硕果醉秋容。

秋天是甘美的酒，秋天是壮丽的诗，秋天是动人的歌。

2、人的一生就是一个储蓄的过程，在奋斗的时候储存了希望；在耕耘的时候储存了一粒种子；在旅行的时候储存了风景；在微笑的时候储存了快乐。

聪明的人善于储蓄，在漫长而短暂的人生旅途中，学会储蓄每一个闪光的瞬间，然后用它们酿成一杯美好的回忆，在四季的变幻与交替之间，散发浓香，珍藏一生！3、春天来了，我要把心灵放回萦绕柔肠的远方。

《初三数学竞赛辅导》课件

《初三数学竞赛辅导》ppt课件
REPORTING
• 竞赛简介 • 数学知识梳理 • 竞赛题型解析 • 解题技巧与策略 • 模拟试题与答案 • 学生心得体会
目录
PART 01
竞赛简介
REPORTING
竞赛背景
数学竞赛起源于中世纪欧洲的数学研究团体，旨在推动数学研究和教育的发展。
随着时间的推移，数学竞赛逐渐演变为一项国际性的学科竞赛，吸引了来自世界各地的优秀学生参与。
解答题题型特点
解答题难度较大，通常涉及多个知识点和解题技巧的综合运用，需要学生具备较强的分析问题和解决问题的能力。
解题技巧
解答题要求学生先仔细审题，明确题目要求和考察的知识点。然后，根据题目条件和所学知识，逐步推导并解答问题。注意解题步骤的完整性和规范性，以便于检查和纠正错误。
PART 04
解题技巧与策略
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解题思路分析
总结：解题思路是解决问题的关键，需要分析题目给出的条件和要求，找出合适的解题方向。
在解题过程中，首先需要仔细阅读题目，理解题意，然后根据数学知识进行分析和推理，逐步推导出正确的答案。对于一些复杂的题目，可能需要采用多种方法进行尝试和调整，最终找到最合适的解题方法。
答案：见PPT第10页
模拟试题三
01
总结词：难度较低
02
详细描述：本题主要考查了实数的混合运算和代数式的化简。
要求考生熟练掌握实数的四则运算和代数式的变形技巧。
答案：见PPT第15页
03
PART 06
学生心得体会
REPORTING
学生A的经验分享
经验总结
困难克服
学生A认为在数学竞赛辅导课程中，最重要的是理解和掌握基本概念，然后通过大量的练习来巩固这些概念。

奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-46

初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式甲内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围（a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.乙例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程，得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ，得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0，得 5≤m ，即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根丙练习461. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解. (1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)。

初三数学竞赛辅导教学教育资料

1.1 因式分解一、常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）1. ()()()[]22222221c b c a b a bc ac ab c b a -+-+-=---++ 2. ()()111++=+++b a b a ab3. ()2222222c b a bc ac ab c b a ++=+++++（在已知c b a ++和222c b a ++时此公式常变形为()()22222c b a c b a bc ac ab ++-++=++） 4. ()()bc ac ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++2223333 二、例题讲解例1. 已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足bc ac ab c b a ++=++222，试判断△ABC 的形状.例2. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.（2015大同杯第四题）例3. 已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，2220.1a b c ++=，求444a b c ++的值.（2003年宇振杯第3题）例4. 已知0=++c b a ，0333=++c b a ，求证：0555=++c b a三、练习题1. 已知整数a 、b 满足3031096+-=b a ab ，求b a +的值.2. 已知121+=m a ，221+=m b ，3+=m c ，求bc c ac b ab a 222222-+-++的值.3. 已知a 、b 、c 是不全相等的实数，且0≠abc ，abc c b a 3333=++，求：（1）c b a ++的值（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+a b c c a b c b a 111111的值4. 化简：2232232bab a b ab b a a +-+--（2014大同杯第1题）5. 设非零实数a ，b ，c 满足⎩⎨⎧=++=++0432032c b a c b a ，求222c b a ca bc ab ++++的值.（2013年全国初中数学联赛第一试第1题）6. 已知正数a 、b 、c 满足3=++=++=++a c ac c b bc b a ab ，求()()()111+++c b a 的值.7. 已知：5=++c b a ，15222=++c b a ，47333=++c b a ，求()()()222222a ca c c bc b b ab a++++++的值.（2016全国初中数学联赛第二试B 组第2题）1.2 对称式与轮换对称式一、定义1. 一个n 元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

初中数学竞赛辅导资料(66)

初中数学竞赛专题选讲（初三.22）辅助圆一、内容提要1. 经过两个点可以画无数个圆;经过三个点作圆,必须是不在同一直线上的三个点,可以作一个圆，并且只能作一个圆。

2. 经过四点作圆(即四点共圆）有如下的判定定理：① 到一个定点的距离相等的所有的点在同一个圆上（圆的定义）. ② 一组对角互补的四边形顶点在同一圆上。

③ 一个外角等于它的内对角的四边形顶点共圆. ④ 同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆。

推论:同斜边的直角三角形顶点共圆(斜边就是圆的直径）. 3. 画出辅助圆就可以应用圆的有关性质.常用的有：① 同弧所对的圆周角相等.② 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。

③ 圆心角（圆周角）、弧、弦、弦心距的等量关系.④ 圆中成比例线段定理：相交弦定理4. 证明型如ab+cd=m 2常用切割线定理二、例题例1。

已知：点O 是△ABC 的外心，BE ，CD 是高.求证:AO ⊥DE证明:延长AO 交△ABC 的外接圆于F,连接BF 。

∵O 是△ABC 的外心 ∴AF 是△ABC 外接圆的直径，∠ABF=Rt ∠。

∵BE ，CD 是高，∠BDC=∠CEB=Rt ∠.∴B ，C ，E ，D ∴∠ADE=∠ECB=∠F. ∴∠AGD=∠ABF=Rt ∠，即AO ⊥DE 。

例2。

正方形ABCD 的中心为O,面积为1989cm 2，P 为正方形内的一点，且∠OPB=45 ，PA ∶PB=5∶14，则PB=____cm. （1989年全国初中数学联赛题) 解:∵∠OPB=∠OAB=45∴ABOP 四点共圆（同底同侧顶角相等的三角形顶点共圆) ∴∠APB=∠AOB=Rt ∠.在Rt △APB 中，设PA 为5x ，则PB 是14x 。

∴（5x ）2+(14x ）2=1989. 解得x=3， 14x 。

＝42。

∴PB=42 (cm).例3。

已知：平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB 于E ，AF ⊥BC 于F.求证：AB ×AE+CB ×CF=AC 2。

初中数学竞赛专题选讲(初三.5)对称式

初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abcc b a 1111-++，（xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+. 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1. 含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ，（x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式，∴z y x 111++＋xy+yz+z ，（zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值（1989年泉州市初二数学双基赛题）分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝－abcb ac 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数，得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数，得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m 得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1. 已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（）（A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.练习题参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0，原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0，因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。

初三数学练习题书推荐

初三数学练习题书推荐初三数学是每个学生重要的阶段，良好的数学练习是提高数学能力的关键。

为了帮助初三学生更好地复习数学知识和解题技巧，推荐以下几本数学练习题书。

一、《中考数学习题集》《中考数学习题集》是一本经典的数学习题集，适合初三学生备战中考。

本书按照数学考试的各个知识点进行分类，每个知识点包含大量的典型习题以及详细解析。

通过做这些题目，学生可以全面复习数学各个方面的内容，并加深对知识点的理解。

同时，书中也包含一些考点总结和解题技巧，对学生备考中考非常有帮助。

二、《中学数学竞赛全解析》《中学数学竞赛全解析》是一本专门为喜欢挑战的学生准备的数学题集。

这本书包含了中学数学竞赛中常见的各类数学题目，如几何题、代数题、概率题等。

每道题目都配有详细的解析，解题思路清晰明了，帮助学生掌握解题方法和技巧。

通过做这些题目，学生不仅可以提高自己的数学水平，还可以锻炼自己的思维能力和解决问题的能力。

三、《初中数学竞赛强化训练》《初中数学竞赛强化训练》是一本适合有一定数学基础的初三学生的题集。

这本书内容较为综合，涵盖了初中数学各个方面的知识点。

书中提供了大量的竞赛题目，并给出了详细的解析和解题思路。

这些竞赛题目往往难度较大，挑战性较强，通过解这些题目，学生可以提高自己解决复杂问题的能力。

四、《初中数学奥赛模拟试卷与答案解析精选》《初中数学奥赛模拟试卷与答案解析精选》是一本专注于数学竞赛训练的题集。

书中提供了多套精选的奥赛模拟试卷，涵盖了初中数学奥赛中常见的各类题型。

每套试卷都经过认真挑选，题目设计具有一定难度，并附有详细的解析和解题思路。

这本书的习题不仅有助于锻炼学生的解题思维，还能帮助他们熟悉奥赛试卷的出题风格和要求。

通过阅读上述推荐的数学练习题书，初三学生可以全面复习数学知识点，提高解题能力。

读者可以根据自己的实际情况选择适合自己的书籍进行学习，合理安排时间进行练习。

相信通过坚持不懈的努力，初三学生一定能够取得优异的成绩，顺利完成学业。

初中数学竞赛辅导资料(3)

初中数学比赛指导资料(9)一元一次方程解的议论甲内容大纲1，方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

一元方程的解也叫做根。

比方：方程 2x ＋ 6＝ 0， x （ x-1） =0,|x|=6, 0x=0,0x=2 的解分别是：x= － 3,x=0 或 x=1,x= ±6,全部的数，无解。

2，关于 x 的一元一次方程的解（根）的状况：化为最简方程ax=b 后，议论它的解：当a ≠0 时，有独一的解x= b；a当 a=0 且 b ≠ 0 时，无解；当 a=0 且 b ＝ 0 时，有无数多解。

（∵不论 x 取什么值， 0x ＝ 0 都成立） 3, 求方程 ax=b(a ≠ 0)的整数解、正整数解、正数解当 a ｜ b 时，方程有整数解；当 a ｜ b ，且 a 、 b 同号时，方程有正整数解；当 a 、 b 同号时，方程的解是正数。

综上所述，议论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程 ax=b乙例题例 1 a 取什么值时，方程 a(a －2)x=4(a － 2) ①有独一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当 a ≠ 0 且 a ≠2 时，方程有独一的解，x=4a②当 a=0 时，原方程就是 0x= － 8，无解；③当 a=2 时，原方程就是0x=0 有无数多解④由①可知当 a ≠ 0 且 a ≠2 时，方程的解是x=4,∴只要 a 与 4 同号，a即当 a>0 且 a ≠ 2 时，方程的解是正数。

例 2 k 取什么整数值时，方程① k(x+1)=k － 2（ x －2）的解是整数？②（ 1－ x ） k=6 的解是负整数？解：①化为最简方程（k ＋2） x=4当 k+2 能整除 4，即 k+2= ± 1，± 2，± 4 时，方程的解是整数 ∴ k= －1，－ 3，0，－ 4， 2，－ 6 时方程的解是整数。

初中数学竞赛辅导材料目录

初中数学竞赛辅导材料目录一、初中数学竞赛基础知识1.数集及其运算-自然数、整数、有理数、实数、复数的概念及运算性质-数集的表示方法与运算法则2.代数式与方程-一元一次方程与一元一次不等式的解法及应用-一次函数的定义、性质与图像-一元二次方程的解法及应用3.几何基本概念-点、线、面、角的定义与性质-直线、射线、线段、平行线、垂直线的概念与判定-多边形、三角形、四边形的性质4.图形的相似与投影-图形的相似判定条件及相似比的计算-平面图形在对称、旋转、平移、投影中的性质与运用5.数据的整理与表示-数据的收集、整理、描述和分析方法-列联表的制作与应用-分组频数统计图的制作与读图6.立体几何-空间图形的基本概念及性质-空间图形的展开与剖析-空间图形的体积与表面积计算方法二、初中数学竞赛解题技巧与方法1.快速计算技巧-快速计算小技巧的应用（如乘法口诀、整数加减乘除的计算等）-快速计算较大数的方法（如分解因数、整理计算顺序等）2.思维训练与问题解决-近似计算与估算的方法与应用-分析解题条件与利用信息求解问题-数学问题的逻辑和推理方法3.策略与技巧-消元法与代入法的使用-枚举与特例法的应用-逆向思维与反证法的运用4.考试技巧与应试心理-数学竞赛常见题型的解题思路-如何正确阅读题目与审题技巧-考试时间分配与答题顺序规划-心理调适与压力应对方法三、数学竞赛真题及解析1.真题分析与解题方法讲解-分析数学竞赛真题的特点与难点-理解题目要求、辅助线的作法、巧用条件等解题技巧-真题解析与解题思路讲解2.解题思路总结与题型归纳-简述各种常见数学竞赛题型的解题思路-总结解题中常用的技巧与方法-提供大量的练习题目，以加强学生对各类题型的掌握以上为初中数学竞赛辅导材料的目录，通过系统的学习与实践，相信学生们可以提升数学竞赛的能力，取得更好的成绩。

祝学习愉快！。

初三数学练习题册推荐

初三数学练习题册推荐在初三阶段，数学作为一门基础学科，对学生的学习和发展起着重要的作用。

为了帮助初三学生提高数学知识和解题能力，提供一本合适的练习题册是非常必要的。

本文将向大家推荐几本值得阅读的初三数学练习题册。

一、《初中数学竞赛试题集（一）》这本练习题册由中国竞赛数学研究会编著，是专门为初中生准备的数学竞赛试题集。

全书内容丰富，包含了大量的数学竞赛经典试题，涵盖了初中数学的各个知识点和题型。

通过做这些试题，学生可以提高自己的逻辑思维能力和解题技巧，培养数学思维的灵活性和创造性。

二、《初中数学演练与提高（上）》这本练习题册由知名教育出版社编写，是一本系统全面的初中数学练习题集。

书中的习题设计合理，涵盖了初中数学各个知识点和难度层次。

通过反复做题，学生可以加深对数学知识的理解，熟练掌握解题方法。

此外，书中还对每道题目给出了详细的解析和解题思路，有助于学生提高解题的准确性和效率。

三、《中学数学竞赛试题精选与分析》这本练习题册由数学教育专家编撰，主要针对初中生参加各类数学竞赛提供练习。

书中选取了一系列难度适中的数学竞赛试题，并对每道题目进行了详细的解析和分析。

通过做这些试题，学生可以提高自己的解题能力和应试水平，为参加数学竞赛打下坚实的基础。

四、《初中数学竞赛试题解析与技巧》这本练习题册是一本针对初中生参加数学竞赛准备的辅导书，具有很高的实用性。

书中通过对数学竞赛试题的解析和技巧的讲解，帮助学生理解数学知识的应用和解题的规律。

此外，书中还提供了大量的实例和练习题，供学生巩固和提高自己的解题能力。

综上所述，初三数学练习题册在学生的学习中起着重要的作用。

通过选择合适的练习题册，学生可以提高数学知识的掌握程度，培养良好的解题习惯和思维方式。

以上推荐的练习题册，都是经过严格筛选，具有很高的教学和实践价值，希望能对初三学生的数学学习有所帮助。

初中数学竞赛辅导讲义全

初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2．已知 z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n ） aaax ax xO x -++++1133223=21（1- 121+n ） ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

初中数学竞赛辅导资料

返过来也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都没有整数解，
∵〔9，3〕＝3，而3不能整除10；〔4，2〕＝2，而2不能整除1．
一般我们在正整数集合里研究公约数，〔a，b〕中的a，b实为它们的绝对值．
2，二元一次方程整数解的求法：
假设方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解〔即所有的解〕．k叫做参变数．
∵x＝1时，y=7，∴ 是一个整数解
∴通 ∴整数k=0，1，2
把k=0，1，2代入通解，得原方程所有的正整数解
答：甲、乙两种书分别买1和7本或6和4本或11和1本．
丙练习10
1，求以下方程的整数解
①公式法：x+7y=4，5x-11y=3
②整除法：3x+10y=1，11x+3y=4
2，求方程的正整数解：①5x+7y=87， ②5x+3y=110
3，一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4，兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数．
5，以下方程中没有整数解的是哪几个？答：＿＿＿＿＿＿＿＿〔填编号〕
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
解：x= = (1)，
设是整数〕，那么y=1-5k (2)，
把〔2〕代入〔1〕得x=k-2(1-5k)=11k-2
∴原方程所有的整数解是〔k是整数〕
方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解那么通解是〔x0，y0可用观察法〕
3，求二元一次方程的正整数解：
例2求方程5x+6y=100的正整数解

初三(上)数学竞赛辅导

九年级数学竞赛辅导材料（上）45、一元二次方程的根46、完全平方数和完全平方式47、配方法48、非负数49、对称式50、基本对称式51、待定系数法52、换元法53、条件等式的证明54、整数解55、未知数比方程个数多的方程组解法56、列表法57、逆推法58、观察法59、“或者”与“并且”60、解三角形初中数学竞赛辅导资料（45）一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数.3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数.特殊的例子有：C=0⇔x 1=0 ， a+b+c=0⇔x 1=1 ， a －b+c=0⇔x 1=－1.二、例题例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题）证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么△1≤0和△2≤0.即⎪⎩⎪⎨⎧++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b由①得b ≥41，b+1 ≥45代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0，即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的.既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.∴方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数.例2. 已知首项系数不相等的两个方程：（a －1）x 2－(a 2+2)x+(a 2+2a)=0和 (b －1)x 2－(b 2+2)x+(b 2+2b)=0 (其中a,b 为正整数)有一个公共根. 求a, b 的值.（1989年全国初中数学联赛题）解：用因式分解法求得：方程①的两个根是 a 和12-+a a ；方程②两根是b 和12-+b b . 由已知a>1, b>1且a ≠b.∴公共根是a=12-+b b 或b=12-+a a . 两个等式去分母后的结果是一样的.即ab －a=b+2, ab －a －b+1=3, (a －1)(b －1)=3.∵a,b 都是正整数， ∴ ⎩⎨⎧=-3111b a ＝－；或⎩⎨⎧=-1131b a ＝－. 解得⎩⎨⎧=42b a ＝；或⎩⎨⎧==24b a . 又解：设公共根为x 0那么⎪⎩⎪⎨⎧=+++--=+++--　②（　①0)2()2()10)2()2()1(22202220b b x b x b a a x a x a 先消去二次项： ①×（b －1）－②×（a －1）得［－（a 2+2）(b －1)+(b 2+2)(a －1)］x 0+(a 2+2a)(b －1)－(b 2+2b)(a －1)=0.整理得（a －b ）(ab －a －b －2)(x 0－1)=0.∵a ≠b∴x 0＝1；或 (ab －a －b －2)＝0.当x 0＝1时，由方程①得 a=1,∴a －1=0，∴方程①不是二次方程.∴x 0不是公共根.当(ab －a －b －2)＝0时，得(a －1)(b －1)=3 ……解法同上.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x 2+mx+n=0的两根差与方程y 2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值. （1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程①两根差是21x x -＝221)x x -（＝212214)(x x x x -+＝n m 42-同理方程②两根差是21y y -＝m n 42- 依题意，得n m 42-＝m n 42-.两边平方得：m 2－4n=n 2－4m.∴（m －n ）(m+n+4)=0∵m ≠n ，∴ m+n+4＝0， m+n ＝－4.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.证明：设方程有一个有理数根n m （m, n 是互质的整数）. 那么a(n m )2+b(nm )+c=0, 即an 2+bmn+cm 2=0. 把m, n 按奇数、偶数分类讨论，∵m, n 互质，∴不可能同为偶数.① 当m, n 同为奇数时，则an 2+bmn+cm 2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0；② 当m 为奇数, n 为偶数时，an 2+bmn+cm 2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0；③ 当m 为偶数, n 为奇数时，an 2+bmn+cm 2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0.综上所述不论m, n 取什么整数，方程a(n m )2+b(nm )+c=0都不成立. 即假设方程有一个有理数根是不成立的.∴当a, b, c 都是奇数时，方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5. 求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1). （1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A 的长为a, 宽为b ，矩形B 的长为c, 宽为d.根据题意，得 k abcd b a d c ==++. ∴c+d=(a+b)k, cd=abk.由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程z 2－(a+b)kz+abk=0 的两个根.△ ＝［－（a+b ）k ］2－4abk＝（a 2+2ab+b 2）k 2－4abk=k ［(a 2+2ab+b 2)k －4ab ］∵k ≥1，a 2+b 2≥2ab,∴a 2+2ab+b 2≥4ab ，(a 2+2ab+b 2)k ≥4ab.∴△≥0.∴一定有c, d 值满足题设的条件.即总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k (k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.解：①用因式分解法求得两个根是：x 1=112+k ， x 2=16－k . 由x 1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.由x 2是整数，得k －1=±1, ±2, ±3, ±6.它们的公共解是：得k=0, 2, －2, 3, －5.答：当k=0, 2, －2, 3, －5时，方程①有两个整数解.②根据韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=+-=--=+k k k k x x k k k k x x 222221221∵x 1, x 2, k 都是整数，∴k=±1，±2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,－1, 2, －2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合.答：当k 取2和－2时，方程②有两个整数解.三、练习451. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0. 那么yx 11 ＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.） 5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1986年全国初中数学联赛题）6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.（1987年泉州市初二数学双基赛题）7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定（1989年全国初中数学联赛题）8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？（1987年全国初中数学联赛题）9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1 （1990年泉州市初二数学双基赛题）10. 已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围. （1997年泉州市初二数学双基赛题）13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根.求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. （1990年泉州市初二数学双基赛题）17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是（）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤1（1995年全国初中数学联赛题）18. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解（1990年全国初中数学联赛题）返回目录参考答案练习451. ①0， ②1， ③－12. 03. 1（舍去－2）4. 52 5. 9q=2p 2 6. 一正一负 7. D 8. a=1,b=－0.5 9. C10. a+b+1=0, a ≠b 11. m=－1，b=2 12.⎩⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧≤=.1,241,1b a b a ： 13. 左边＝a(x 13+x 23)+b(x 12+x 22)+c(x 1+x 2)=……14. 用反证法，设x 1<0,x 2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1, m>1）15. 由韦达定理,把左边化为 p, q16. x 2±3x+2=0 17. C 18. C初中数学竞赛辅导资料为（46）完全平方数和完全平方式一、内容提要一定义1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数.例如0，1，0.36，254，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方.2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式.如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的.例如：在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式.在实数范围（a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式.二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数.2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除..若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数.例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数.又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数.三. 完全平方式的性质和判定在实数范围内如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0；如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式.在有理数范围内当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式.四. 完全平方式和完全平方数的关系1. 完全平方式（ax+b ）2 中当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数；当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数.2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数.例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数.所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别.五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根；② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数.2. 在整系数方程x 2+px+q=0中① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根；② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方.二、例题例1. 求证：五个连续整数的平方和不是完全平方数.证明：设五个连续整数为m －2, m －1, m, m+1, m+2. 其平方和为S.那么S ＝（m －2）2＋（m －1）2＋m 2＋（m+1）2＋（m+2）2＝5（m 2+2）.∵m 2的个位数只能是0，1，4，5，6，9∴m 2+2的个位数只能是2，3，6，7，8，1∴m 2+2不能被5整除.而5（m 2+2）能被5整除，即S 能被5整除，但不能被25整除.∴五个连续整数的平方和不是完全平方数.例2 m 取什么实数时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式？解：根据在实数范围内完全平方式的判定，得当且仅当⎩⎨⎧>-010m △＝时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式 △=0，即（2m ）2－4(m －1)(3m －2)=0.解这个方程，得 m 1=0.5, m 2=2.解不等式 m －1>0 ，得m>1.即⎩⎨⎧>==125.0m m m 或它们的公共解是 m=2.答：当m=2时，（m －1）x 2+2mx+3m －2 是完全平方式.例3. 已知： (x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式.求证： a=b=c.证明：把已知代数式整理成关于x 的二次三项式，得原式＝3x 2+2(a+b+c)x+ab+ac+bc∵它是完全平方式，∴△＝0.即 4(a+b+c)2－12(ab+ac+bc)=0.∴ 2a 2+2b 2+2c 2－2ab －2bc －2ca=0,(a －b)2+(b －c)2+(c －a)2=0.要使等式成立，必须且只需：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-000a c c b b a解这个方程组，得a=b=c.例4. 已知方程x 2－5x+k=0有两个整数解，求k 的非负整数解.解：根据整系数简化的一元二次方程有两个整数根时，△是完全平方数.可设△= m 2 (m 为整数)，即（－5）2－4k=m 2 (m 为整数)，解得，k=4252m -. ∵ k 是非负整数，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-≥-的倍数是42502522m m 由25－m 2≥0，得 5≤m ，即－5≤m ≤5；由25－m 2是4的倍数，得 m=±1, ±3, ±5.以 m 的公共解±1, ±3, ±5，分别代入k=4252m -. 求得k= 6, 4, 0.答：当k=6, 4, 0时，方程x 2－5x+k=0有两个整数解例5. 求证：当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根.证明：（用反证法）设方程有有理数根，那么△是整数的平方.∵△＝（8k ）2－16(k 2+1)＝16（3k 2－1）.设3k 2－1＝m 2 (m 是整数).由3k 2－m 2＝1，可知k 和m 是一奇一偶，下面按奇偶性讨论3k 2＝m 2＋1能否成立.当k 为偶数，m 为奇数时，左边k 2是4的倍数，3k 2也是4的倍数；右边m 2除以4余1，m 2＋1除以4余2.∴等式不能成立.；当k 为奇数，m 为偶数时，左边k 2除以4余1，3k 2除以4余3右边m 2是4的倍数，m 2＋1除以4余1∴等式也不能成立.综上所述，不论k, m 取何整数，3k 2＝m 2＋1都不能成立.∴3k 2－1不是整数的平方， 16（3k 2－1）也不是整数的平方.∴当k 为整数时，方程4x 2+8kx+(k 2+1)=0没有有理数根三、练习461. 如果m 是整数，那么m 2+1的个位数只能是＿＿＿＿.2. 如果n 是奇数，那么n 2－1除以4余数是＿＿，n 2+2除以8余数是＿＿＿，3n 2除以4的余数是＿＿.3. 如果k 不是3的倍数，那么k 2－1 除以3余数是＿＿＿＿＿.4. 一个整数其中三个数字是1，其余的都是0，问这个数是平方数吗？为什么？5. 一串连续正整数的平方12，22，32，………，1234567892的和的个位数是＿＿.（1990年全国初中数学联赛题）6. m 取什么值时，代数式x 2－2m(x －4)－15是完全平方式？7. m 取什么正整数时，方程x 2－7x+m=0的两个根都是整数？8. a, b, c 满足什么条件时,代数式(c －b)x 2+2(b －a)x+a －b 是一个完全平方式？9. 判断下列计算的结果，是不是一个完全平方数：① 四个连续整数的积； ②两个奇数的平方和.10. 一个四位数加上38或减去138都是平方数，试求这个四位数.11. 已知四位数aabb 是平方数，试求a, b.12. 已知：n 是自然数且n>1. 求证：2n －1不是完全平方数.13. 已知：整系数的多项式4x 4+ax 3+13x 2+bx+1 是完全平方数，求整数a 和b 的值.14. 已知：a, b 是自然数且互质，试求方程x 2－abx+21(a+b)=0的自然数解.(1990年泉州市初二数学双基赛题)15.恰有35个连续自然数的算术平方根的整数部分相同，那么这个整数是( )(A) 17 (B) 18 (C) 35 (D) 36(1990年全国初中数学联赛题)练习461. 1，2，5，6，7，02. 0，3，33. 04. 不是平方数，因为能被3整除而不能被9整除5. 5。

初中数学竞赛辅导资料(1)

初中数学比赛指导资料（5）a n的个位数甲内容大纲.1. 整数 a 的正整数次a n,它的个位数字与 a 的末位数的n 次的个位数字同样。

比方2002 3与 23的个位数字都是8。

7位数是 5，620的个位数是6。

3.2， 3， 7 的正整数次的个位数字的律下表：指数12345678910⋯⋯底22486248624⋯⋯数33971397139⋯⋯77931793179⋯⋯其律是： 2 的正整数次的个位数是按2、 4、 8、 6 四个数字循出，即 24k+1与 21， 24K＋2与 22，24K＋3与 23，24K＋4与 24的个位数是同样的（K 是正整数）。

3 和 7 也有似的性。

4. 4， 8，9 的正整数次的个位数，可模拟上述方法，也可以用4＝ 22，8＝ 23，9＝ 32化以 2、3 底的。

5.上所述，整数 a 的正整数次的个位数有以下的一般律：a4K＋m与 a m的个位数同样 (k,m 都是正整数。

乙例例 1的个位数是多少？解：与 32003的个位数是同样的，∵ 2003＝ 4× 500＋ 3，∴ 32003与 33的个位数是同样的，都是7，∴2003 的个位数是 7。

例 2 明 632000＋ 1472002的和能被 10 整除的原由解：∵ 2000＝ 4×500， 2002＝ 4× 500＋ 2∴ 632000与 34的个位数同样都是1，1472002与 72的个位数同样都是9，∴ 632000＋ 1472002的和个位数是0，∴ 632000＋ 1472002的和能被10 整除。

例 3K 取什么正整数，3k＋2k是 5 的倍数？例 4解：列表察个位数的律K ＝1234⋯⋯3 的个位数3971⋯⋯2 的个位数2486⋯⋯3k＋ 2k的个位数55⋯⋯从表中可知，当 K＝ 1，3 ， 3k＋ 2k的个位数是5，∵ a m与 a4n+m的个位数同样（ m,n 都是正整数， a 是整数）;∴当 K 任何奇数， 3k＋ 2k是 5 的倍数。