人教A版高中数学选修4-5不等式题型全归纳(有答案)
新人教A版高二数学选修4-5第一章不等式 1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式_1
∴3x+4y+5z=2×6=12. ∴3 3 3x·4y·5z≤3x+4y+5z=12.
∴(xyz)max=1165. 答案:1165
当且仅当 x=43,y=1,z=45时等号成立.
课时作业
人教A版数学·选修4-5
复习成功的关键在于
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01 抓思维训练
02 勤于方法总结
03 善于提炼观点
2.已知 x,y∈R+且 x2y=4,试求 x+y 的最小值及达到最小值时 x、y 的值.
解析:∵x,y∈R+且 x2y=4,∴x+y=12x+12x+y≥3 3 14x2y=3 3 14×4=3, 当且仅当x2=x2=y 时等号成立. 又∵x2y=4. ∴当 x=2,y=1 时,x+y 取最小值 3.
1.已知 a,b,c∈R+,证明:a12+b12+c12(a+b+c)2≥27.
证明:因为 a,b,c∈R+,所以 a+b+c≥33 abc>0.
所以(a+b+c)2≥93 a2b2c2. 又a12+b12+c12≥3 3 a2b12c2>0,
所以a12+b12+c12(a+b+c)2≥3 3
13 a2b2c2·9
探究三 平均不等式的实际应用 [例 3] 如图所示,在一张半径是 2 米的圆桌的正中央上空挂一盏 电灯.大家知道,灯挂得太高了,桌子边缘处的亮度就小;挂得 太低,桌子的边缘处仍然是不亮的.由物理学可知,桌子边缘一 点处的亮度 E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦 成正比,而和这一点到光源的距离 r 的平方成反比,即 E=ksirn2 θ, 这里 k 是一个和灯光强度有关的常数.那么究竟应该怎样选择灯的高度 h,才能 使桌子边缘处最亮?
因构造定值时拆分不合理致误
高中数学新人教A版选修4-5 绝对值三角不等式
(1)利用绝对值不等式求函数最值,要注意利用绝对 值的性质进行转化,构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件,它也是解题的 关键.
3. 若 a, b∈R, 且|a|≤3, |b|≤2, 则|a+b|的最大值是________, 最小值是________.
解析:∵|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|, ∴1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.
解:∵a<|x+1|-|x-2|对任意实数恒成立, ∴a<(|x+1|-|x-2|)min. ∵||x+1|-|x-2||≤|(x+1)-(x-2)|=3, ∴-3≤|x+1|-|x-2|≤3. ∴(|x+1|-|x-2|)min=-3. ∴a<-3.即 a 的取值范围为(-∞,-3).
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|A|+|B| 2 1 2 2 = (| A | + | B | +2|A||B|) 4 2
|A|+|B| 1 ≥ (2|A||B|+2|A||B|)=|A||B|,∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|+|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|+lg|B|),④正确. 2 2 答案:A
解析:∵|a+b|=|(b-a)+2a|≤|b-a|+2|a| =|a-b|+2|a|,∴|a+b|-2|a|≤|a-b|,①正确; ∵1>|a-b|≥|a|-|b|,∴|a|<|b|+1,②正确; 1 1 |x| 2 ∵|y|>3,∴ < .又∵|x|<2,∴ < ,③正确; |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|, 左边>0,右边<0,∴原不等式显然成立. ③若|a|=|b|,原不等式显然成立. 综上可知原不等式成立.
最新人教版高中数学选修4-5《绝对值不等式》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、绝对值三角不等式1.定理1 如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.定理1的等号成立的情况具体来说,当a=0或b=0时,或a>0、b>0时,或a<0,b<0时,等号都是成立的,即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外,就是|a+b|<|a|+|b|了.如果把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b,则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立,当且仅当向量a,b不共线时,有|a+b|<|a|+|b|成立.联想发散根据定理1,我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有:(1)如果a,b是实数,那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.(2)|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*).2.绝对值三角不等式所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b,且向量a,b不共线时,所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|.绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示).记忆要诀由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的,所以只要记住定理1,那么这个绝对值三角不等式也就记住了.3.定理2 如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.对于定理2,同学们不但要记住它的形式,还应注意它的特点,尤其要注意它的不等号左边没有字母b,只有右边才有.学法一得要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|,熟悉这种变形,那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了.二、绝对值不等式的解法要熟记简单绝对值不等式的解法,它是解较复杂的绝对值不等式的基础,即要记住:一般地,如果a>0,则有:|x|<a⇔-a<x<a,因此,不等式|x|<a的解集是(-a,a);|x|>a⇔x<-a或x>a,因此,不等式|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞).1.|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式,只要将ax+b看成一个整体,然后套用|x|<a或|x|>a的不等式的解法即可.2.|x-a|+|x-b|≤c和|x-a|+|x-b|≥c型不等式的解法.求解这类绝对值不等式,主要的方法有如下三种:(1)利用绝对值的几何意义;(2)分区间讨论法;(3)构造函数利用函数的图象求解.求解这类绝对值不等式时,可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.误区警示解绝对值不等式切勿盲目地套用某一类解法,一定要注意不等式的形式,要针对不同的形式对号入座采取相应的方法来求解.典题·热题知识点一: 与定理1、2相关的绝对值不等式的判断与证明例1 若|x-a|<m,|y-a|<n ,则下列不等式一定成立的是( )A.|x-y|<2mB.|x-y|<2nC.|x-y|<n-mD.|x-y|<n+m思路分析:注意观察比较|x-y|与|x-a|,|y-a|之间的关系,不难发现通过适当变形就可运用定理1及已知条件来巧妙求解此题了,具体解题过程为:|x-y|=|x-a-(y-a)|≤|x -a|+|y-a|<m+n,故选D.答案:D巧解提示对某些式子进行适当的变形,以便创造条件利用某些定理、公式来解题,这是一种常用的技巧,如此题求解过程中的|x-y|=|x-a-(y-a)|就是变形,而变形的基础是必须要熟悉公式. 例2 已知a 、b 、c 、d 都是实数,且a 2+b 2=m 2,c 2+d 2=n 2(m>0,n>0),求证:|ac+bd|≤222n m +. 思路分析:证明此题时,可将ac 、bd 分别看成整体,那么就可以套用定理1来证明了. 证明:∵a 、b 、c 、d ∈R ,∴|a c+bd|≤|ac|+|bd|≤222222d b c a +++ =222222222r R d c b a +=+++, ∴|ac+bd|≤222R r +. 误区警示如果利用ab≤222b a +来证明此题,就容易出现似是而非的证法,而利用较严格的公式|ab|≤222b a +来证明就不易出错了.因此同学们要注意公式的适时选用. 知识点二: 绝对值不等式的解法例3 解关于x 的不等式|2x-1|<2m-1(m ∈R ).思路分析:要注意对2m-1的正负情况进行讨论.解:若2m-1≤0,即m≤21,则|2x-1|<2m-1恒不成立,此时,原不等式无解;若2m-1>0,即m>21,则-(2m-1)<2x-1<2m-1,所以1-m<x<m. 由上可得:当m≤21时,原不等式的解集为∅, 当m>21时,原不等式的解集为:{x|1-m<x<m}. 方法归纳对于不等号右侧是含有参数的式子的这类绝对值不等式,在求解时一定要通过对参数式子的正、负、零三种情况的讨论来求解.例4 解不等式3≤|x -2|<4.思路分析:此题的不等式属于绝对值的连不等式,求解时可将其化为绝对值的不等式组再求解.解:原不等式等价于⎩⎨⎧<-≥-)2.(4|2|)1(,3|2|x x 由(1)得x-2≤-3或x-2≥3,∴x≤-1,或x≥5.由(2)得-4<x-2<4,∴-2<x<6.如上图所示,原不等式的解集为{x|-2<x≤-1或5≤x<6}.误区警示有些同学求解这类问题时,为了图省事,往往不爱通过画图来寻找解集,总爱耍点小聪明,这是造成求解出错的主要原因.例5 解不等式|x+7|-|x-2|≤3.思路分析:解含有绝对值的不等式,总的思路是同解变形为不含绝对值的不等式,但要根据求解不等式的结构,选用恰当的方法.此题中有两个绝对值符号,故可用绝对值的几何意义来求解,或用分区间讨论法求解,还可构造函数利用函数图象求解.图1解:[方法一] |x+7|-|x-2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到-7对应的点的距离与到2对应的点的距离的差,先找到这个差等于3的点,即x=-1(如图1所示).从图易知不等式|x+7|-|x-2|≤3的解为x≤-1,即x ∈(-∞,-1].[方法二] 令x+7=0,x-2=0得x=-7,x=2.①当x<-7时,不等式变为-x-7+x-2≤3,∴-9≤3成立,∴x<-7.图2②当-7≤x≤2时,不等式变为x+7+x-2≤3,即2x≤-2,∴x≤-1,③当x>2时,不等式变为x+7-x+2≤3,即9≤3不成立,∴x ∈∅.∴原不等式的解集为(-∞,-1].[方法三] 将原不等式转化为|x+7|-|x-2|-3≤0,构造函数y=|x+7|-|x-2|-3,即y=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<-.2,6;27,22;7,12x x x x .作出函数的图象(如图2),从图可知,当x≤-1时,有y≤0,即|x+7|-|x-2|-3≤0,所以,原不等式的解集为(-∞,-1].巧妙变式针对此题,我们可以进行各种不同的题目变式.如:可以将两个绝对值里面的运算符号改变、可以将两个绝对值之间的运算符号改变、可以将“≤”改变为“≥”,还可以将不等号右边的数改成字母等等.变式后题目的求解还是用上述的几种解法.问题·探究误区陷阱探究问题1 对此题“写出不等式|2x-1|<3的解集并化简”,某同学的错解如下:不等式|2x-1|<3的解集是{x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∪{x|2x-1>-3}={x|x<2}∪{x|x>-1}={x|-1<x<2}.探究过程:这位同学解得的结果是正确的,但解法不对.解法中有两处错误,但却歪打正着得出了正确的结果.首先是把绝对值不等式的解法搞错了.这位同学写的求解过程中的两个集合{x|2x-1<3}与{x|2x-1>-3}的中间不应当用并的符号“∪”,而应改为“∩”.这两个集合是应该取交集的.另外,按照这位同学错写的两集合“并”来运算时又解错了.{x|x<2}∪{x|x>-1}的结果应为{x|-∞<x<+∞},而不是{x|-1<x<2}.探究结论:如果按照这位同学的思路求解,可以修改为:不等式|2x-1|<3的解集是: {x||2x-1|<3}={x|2x-1<3}∩{x|2x -1>-3}={x|x<2}∩{x|x>-1}={x|-1<x<2}.不过,更简单的解法应是:不等式|2x-1|<3的解集是:{x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2}.思维发散探究问题2 已知a 、b 、c 是实数,函数f(x)=ax 2+bx+c ,g(x)=ax+b ,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,试探究当x ∈[-1,1]时,|g(x)|≤2.探究过程:这是一个通过关联二次函数、一次函数考查不等式的变换能力的问题,因此在证明中要注意合理应用绝对值不等式的性质定理,由于g(x)是一次函数,可将|g(x)|≤2转化为g(-1)与g(1)与2的关系加以证明,也可挖掘g(x)与f(x)的隐含关系,构造函数模型,寻求整体突破.探究结论:[方法一] 当a>0时g(x)=ax+b 在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1),∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),∴|c|=|f(0)|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,当a<0时,g(x)=ax+b 在[-1,1]上是减函数, ∴g(1)≤g(x)≤g(-1),∵|f(x)|≤1(-1≤x≤1),∴|c|=|f(0)|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2,g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b ,f(x)=bx+c ,∵-1≤x≤1,∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上所述,当x ∈[-1,1]时,|g(x)|≤2.[方法二] ∵x=4)1()1(22--+x x , ∴g(x)=ax+b=a [(21+x )2-(21-x )2]+b(21+x -21-x ) =a [(21+x )2+b(21+x )+c ]-[a(21-x )2+b(21-x )+c ] =f(21+x )-f(21-x ). 当-1≤x≤1时,有0≤21+x ≤1,-1≤21-x ≤0, ∴|g(x)|=|f(21+x )-f(21-x )|≤|f(21+x )|+|f(21-x )|≤2,∴|g(x)|≤2.。
人教A版2019高中数学选修4-5试题:第一章_1.2.1绝对值三角不等式_含答案
1.绝对值三角不等式课后篇巩固探究A组1.设ab>0,下面四个不等式:①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.其中正确的是()A.①②B.①③C.①④D.②④ab>0,∴a,b同号.∴|a+b|=|a|+|b|>|a|-|b|.∴①④正确.2.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于()A.10B.3C.7D.4|3-x|+|x-7|≥|(3-x)+(x-7)|=4,所以函数f(x)的最小值为4.3.已知|a|≠|b|,m=,n=,则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.m≤n,知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.∴≤1≤.∴m≤n.4.若|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是()A.|a+b|+|a-b|>2B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2D.不确定(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2;当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2,综上有|a+b|+|a-b|<2.5.若关于x的不等式|x|+|x-1|<a(a∈R)的解集为⌀,则a的取值范围是()A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,1]D.(-∞,1)|x|+|x-1|≥|x-(x-1)|=1,∴若关于x的不等式|x|+|x-1|<a的解集为⌀,则a的取值范围是a≤1.6.若a,b∈R,且|a|≤3,|b|≤2,则|a+b|的最大值是,最小值是.|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,所以1=3-2≤|a+b|≤3+2=5.17.若不等式|x-4|-|x-3|≤a对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.f(x)=|x-4|-|x-3|,则f(x)≤a对一切x∈R恒成立的充要条件是a大于等于f(x)的最大值.∵|x-4|-|x-3|≤|(x-4)-(x-3)|=1,即f(x)max=1,∴a≥1.+∞)8.不等式≥1成立的充要条件是.≥1⇔≥0⇔(|a|-|b|)[|a+b|-(|a|-|b|)]≥0(且|a|-|b|≠0).而|a+b|≥|a|-|b|,∴|a+b|-(|a|-|b|)≥0.∴|a|-|b|>0,即|a|>|b|.9.设m等于|a|,|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证<2.m等于|a|,|b|和1中最大的一个,|x|>m,∴∴==2.故原不等式成立.10.导学号26394011已知函数f(x)=log2(|x-1|+|x-5|-a).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当函数f(x)的定义域为R时,求实数a的取值范围.函数的定义域满足|x-1|+|x-5|-a>0,即|x-1|+|x-5|>a.设g(x)=|x-1|+|x-5|,由|x-1|+|x-5|≥|x-1+5-x|=4,当a=2时,∵g(x)min=4,∴f(x)min=log2(4-2)=1.(2)由(1)知,g(x)=|x-1|+|x-5|的最小值为4.∵|x-1|+|x-5|-a>0,∴a<g(x)min时,f(x)的定义域为R.∴a<4,即a的取值范围是(-∞,4).B组1.对任意x,y∈R,|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2C.3D.4|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.2.函数f(x)=|2x+1|-|x-4|的最小值等于.y=|2x+1|-|x-4|,则y=作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象(如图),由函数的图象可知,当x=-时,函数取得最小值-.3.已知a和b是任意非零实数,则的最小值为.=4.4.下列四个不等式:①log x10+lg x≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的是.(把你认为正确的序号都填上)x>1,∴lg x>0,∴log x10+lg x=+lg x≥2,①正确;当ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;∵ab≠0,同号,∴≥2,③正确;由|x-1|+|x-2|的几何意义知|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④也正确;综上,①③④正确.5.导学号26394012已知函数f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a||x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1),∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).6.导学号26394013已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,求证:(1)|c|≤1;(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,∴|f(0)|≤1,即|c|≤1.(2)当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数,∴g(-1)≤g(x)≤g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2,g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2,∴|g(x)|≤2.当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数,∴g(-1)≥g(x)≥g(1).∵当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,且|c|≤1,∴g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2.∴|g(x)|≤2.当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,且-1≤x≤1, ∴|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2.综上可知,|g(x)|≤2.。
高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.2基本不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5
2.基本不等式一、选择题1.若a,b,c都是正数,且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )A.-1B.+1C.2+2D.2-2解析:∵a(a+b+c)+bc=4-2,∴(a+b)(a+c)=4-2,∵a,b,c>0,∴(a+c)(a+b)≤,当且仅当a+c=a+b,即b=c时,等号成立.∴2a+b+c≥2=2(-1)=2-2.答案:D2.下列结论中不正确的是( )A.a>0时,a+≥2B.≥2C.a2+b2≥2abD.a2+b2≥解析:选项A、C显然正确;选项D中,2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab≥0,∴a2+b2≥成立;而选项B中,≥2不成立,因为若ab<0,则不满足基本不等式成立的条件.答案:B3.函数y=3x2+的最小值是( )A.3-3B.-3C.6D.6-3解析:y=3x2+=3x2+3+-3,∵3x2+3>0,>0,∴y≥2-3=6-3,当且仅当3x2+3=时,y取得最小值6-3.答案:D4.设x,y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值是( )A.10B.6C.4D.18解析:3x+3y≥2=2=2=18.答案:D5.若x,y>0,且x+2y=3,则的最小值是( )A.2B.C.1+D.3+2解析:=1+,当且仅当时,等号成立,取得最小值1+.答案:C二、非选择题6.若a>3,则+a的最小值为.解析:由基本不等式,得+a=+a-3+3≥2+3=2+3=7,当且仅当=a-3,即a=5(a=1舍去)时,等号成立.答案:77.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,得t2≥2t+3,∴t≥3或t≤-1(舍去).∴≥3.∴ab≥9,当a=b=3时,等号成立.答案:[9,+∞)8.函数y=log a(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则的最小值为.解析:函数y=log a(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),∵点A在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,则×(2m+n)==2++4·+2≥4+2=4+4=8,当且仅当m=,n=时取等号.答案:89.求函数y=(x≥0)的最小值.解:原式变形,得y==x+2++1.因为x≥0,所以x+2>0.所以x+2+≥6,所以y≥7,当且仅当x=1时,等号成立.所以函数y=(x≥0)的最小值为7.10. 若a>0,b>0,且.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解:(1)由,得ab≥2,且当a=b=时等号成立.故a3+b3≥2≥4,且当a=b=时等号成立.所以a3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b≥2≥4.由于4>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.11.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比,现有制箱材料60 m2,问当a,b各为多少时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A,B孔的面积忽略不计)解:设y为流出的水中该杂质的质量分数,则y=,k>0,k为比例系数,依题意,即求a,b的值,使y最小.依题设,有4b+2ab+2a=60(a>0,b>0),所以b=(0<a<30).①于是y====≥=.当a+2=时,等号成立,y取最小值.这时a=6,a=-10(舍去),将a=6代入①,得b=3.故当a为6,b为3时,沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.三、备选习题1.已知a>2,试判断log a(a-1)·log a(a+1)与1的大小关系.解:∵a>2,∴log a(a-1)>0,log a(a+1)>0,且log a(a-1)≠log a(a+1),∴log a(a-1)·log a(a+1)<==1,∴当a>2时,log a(a-1)·log a(a+1)<1.2.一艘船由甲地逆水匀速行驶到乙地,甲乙两地相距s(千米),水速为常量p(千米/时),船在静水中的最大速度为q(千米/时),且p<q.已知船每小时的燃料费用(元)与船在静水中速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为k.(1)把全程燃料费用y(元)表示为静水中的速度v(千米/时)的函数,并指出其定义域;(2)为了使全程燃料费用最小,船的实际前进速度应为多少?解:(1)由于船每小时航行的燃料费用是kv2,全程航行时间为,于是全程燃料费用y=kv2·,故所求函数是y=ks·(p<v≤q),定义域是(p,q].(2)y=ks·=ks=ks·≥ks=4ksp.其中取“=”的充要条件是v-p=,即v=2p.①当v=2p∈(p,q],即2p≤q时y min=f(2p)=4ksp.②当v=2p∉(p,q],即2p>q.任取v1,v2∈(p,q],且v1<v2,则y1-y2=ks=·[p2-(v1-p)(v2-p)],而p2-(v1-p)(v2-p)>p2-(q-p)(q-p)=q(2p-q)>0,∴y1-y2>0.故函数y在区间(p,q]内单调递减,此时y(v)≥y(q),即y min=y(q)=ks.此时,船的前进速度等于q-p.故为使全程燃料费用最小,当2p≤q时,船的实际前进速度应为2p-p=p(千米/时);当2p>q 时,船的实际前进速度为q-p(千米/时).。
第一讲 不等式和绝对值不等式 知识归纳 课件(人教A选修4-5)
A.必要不充分条件
C.充分必要条件 [解析] [答案] 时,则可能有a>b且c>d. A
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
易得a>b且c>d时必有a+c>b+d.若a+c>b+d
利用基本不等式求最值问题一般有两种类型:①和为 定值时, 积有最大值;②积为定值时,和有最小值,在具 体应用基本不等式解题时, 一定要注意适用的范围和条 件:“一正、二定、三相等”. [例 2] ________. y2 x,y,z∈R+,x-2y+3z=0, xz的最小值为
3 1 1 1 1 1 + ≥3 ··. b3 c3 a3 b3 c3 1 1 1 3 即 3+ 3+ 3≥abc. a b c 1 1 1 3 所以 3+ 3+ 3+abc≥abc+abc, a b c 3 而abc+abc≥2 3 abc=2 3. abc·
1 1 1 所以 3+ 3+ 3+abc≥2 3. a b c
2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.
答案:5
3.(2011· 陕西高考)若不等式|x+1|+|x-2|≥a对任意x∈R 恒成立,则a的取值范围是________.
解析:令 f(x)=|x+1|+|x-2|= -2x+1x≤-1, 3-1<x<2, 2x-1x≥2, ∴f(x)≥3. ∵|x+1|+|x-2|≥a 对任意 x∈R 恒成立,∴a≤3.
考情分析
从近两年的高考试题来看,绝对值不等式主要考查 解法及简单的应用,题目难度中档偏下,着重考查学生 的分类讨论思想及应用能力.
解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号,化成不
含绝对值的不等式,其一是依据绝对值的意义;其二是 先令每一个绝对值等于零,找到分界点,通过讨论每一 区间内的代数式的符号去掉绝对值.
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(1)
一、选择题1.若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ,则实数m 的取值范围是 A .(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B .(,4)(1,)-∞-+∞C .(4,2)-D .[4,1]-2.若0a b <<,则下列不等式中一定成立的是( ) A .11a b< B .22a b >C .ln()0b a ->D .22ac bc <3.若实数a >b ,则下列结论成立的是( ) A .a 2>b 2B .11a b<C .ln 2a >ln 2bD .ax 2>bx 24.若0a <b <,则下列不等式中成立的是( ) A .|a |>b -B .1a b< C .a b -<-D .11a b< 5.如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集,则参数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .[)1,+∞C .(),1-∞D .(],1-∞ 6.已知a b R ∈,,且a b >,则下列不等式中恒成立的是( ) A .22a b >B .()lg a b 0->C .a b 22--<D .a 1b > 7.已知实数,a b ,且a b >,则以下不等式恒成立的是( ) A .33a b > B .22a b >C .1133a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D .11a b< 8.若,则下列结论不正确的是A .B .C .D .9.若0a b <<,则下列各式一定..成立的是( ) A .a c b c +>+B .22a b <C .ac bc >D .11a b> 10.已知,a b ∈R ,且2a bP +=,222a b Q +=P ,Q 的关系是( ) A .P Q ≥B .P Q >C .P Q ≤D .P Q <11.若a b >,则下列不等式成立的是( ) A .22a b >B .11a b< C .a b >D .a b e e >12.给出以下四个命题:( )①若a>b ,则 11a b<; ②若ac 2>bc 2,则a>b ; ③若a>|b|,则a>b ;④若a>b ,则a 2>b 2.其中正确的是( ) A .②④B .②③C .①②D .①③二、填空题13.不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立,则实数a 的取值范围为____________. 14.若不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立,则满足条件的实数a 的取值范围______. 15.已知关于x 的不等式1+1ax ax ->在[2,5]有实数解,则实数a 的取值范围为________. 16.若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立,则实数a 的取值范围为________. 17.已知函数,若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是_______.18.若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b 的取值范围是_____ 19.若110a b>>有下列四个不等式①33a b <;②21log 3log 3a b ++>;b a b a -④3322a b ab +>.则下列组合中全部正确的为__________ 20.全集U =R ,且2{}0|6A x x x =-++≥,}0{|34B x x =-->,则()UA B =________.三、解答题21.设函数()2|1||2|f x x x =-+-. (1)求不等式()2f x >的解集;(2)若不等式()(1)f x a x +的解集非空,求实数a 的取值范围. 22.已知()|1||1|f x x x =-++,不等式()4f x <的解集为M . (1)求集合M ;(2)当,a b M ∈时,证明:2|||4|a b ab +<+. 23.已知正实数,x y 满足21x y += (1)解关于x 的不等式52()||2x y x y ++-≤; (2)证明:22114136x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 24.已知函数()36f x x =+,()3g x x =-.(Ⅰ)求不等式()()f x g x >的解集;(Ⅱ)若()3()f x g x a +≥对于任意x ∈R 恒成立,求实数a 的最大值. 25.选修4-5:不等式选讲 已知函数()2f x x =-.(1)解不等式:()()124f x f x +++<;(2)已知2a >,求证:()(),2x R f ax af x ∀∈+>恒成立. 26.已知()|1||21|f x x x =+--. (1)求不等式()0f x >的解集;(2)若x ∈R ,不等式()23f x x a ≤+-恒成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和,它的最小值等于1m +,由题意可得13m +>,解得2m >,或4m <-,故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞,故选A.2.B解析:B 【分析】取特殊值排除ACD 选项,由幂函数的单调性判断B 选项. 【详解】当2,1a b =-=-时,11112a b-=>=-;ln()ln10b a -==;则AC 错误; 当0c时,22ac bc =,则D 错误;因为函数2y x 在(,0)-∞上单调递减,0a b <<,所以22a b >故选:B 【点睛】本题主要考查了由所给条件判断不等式是否成立,属于中档题.3.C解析:C 【解析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意,可知:对于A :当a 、b 都是负数时,很明显a 2<b 2,故选项A 不正确; 对于B :当a 为正数,b 为负数时,则有11a b>,故选项B 不正确; 对于C :∵a >b ,∴2a >2b >0,∴ln 2a >ln 2b ,故选项C 正确; 对于D :当x =0时,结果不成立,故选项D 不正确; 故选:C . 【点评】本题主要考查不等式的性质应用,特殊值技巧的应用,指数函数、对数函数值大小的比较.本题属中档题.4.A解析:A 【解析】 【分析】对于A ,用不等式的性质可以论证,对于B ,C ,D ,列举反例,可以判断. 【详解】∵a <0,∴|a |=﹣a ,∵a <b <0,∴﹣a >﹣b >0,∴|a |>﹣b ,故结论A 成立; 取a =﹣2,b =﹣1,则 ∵21ab=>,∴B 不正确;1==,∴∴C 不正确;112a =-,11b =-,∴11a b>,∴D 不正确. 故选:A . 【点睛】本题考查不等式的性质,解题的关键是利用不等式的性质,对于不正确结论,列举反例.5.A解析:A 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1,即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|<a 有解,由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1, 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1, 所以1<a,即a >1. 故选A本题主要考查绝对值三角不等式求最值,考查不等式的有解问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.C解析:C 【分析】主要利用排除法求出结果. 【详解】 对于选项A :当0a b >>时,不成立;对于选项B :当10a b >>>时,()lg 0a b -<,所以不成立; 对于选项D :当0a b >>时,不成立; 故选C . 【点睛】本题考查的知识要点:不等式的基本性质的应用,排除法的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.7.A解析:A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性判断A ;令1a =,1b =-判断,B D ,根据指数函数的单调性判断C .【详解】因为()3f x x =是增函数,所以由b a >可得33b a >,选项A 正确;当1a =,1b =-时,22a b >不成立,选项B 错误;因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33a b<,选项C 错误,1a =,1b =-时,11a b<不成立,选项D 错误,故选A . 【点睛】本题主要考查不等关系与不等式的性质,属于中档题.利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手:(1)利用不等式的性质直接判断;(2)利用函数式的单调性判断;(3)利用特殊值判断.8.D解析:D 【分析】 不妨令 ,代入各个选项进行验证,找出符合条件的选项.【详解】由题,不妨令,可得a 2<b 2,故A 正确; ,故B 正确;,故C 正确.故D 不正确.故选D . 【点睛】本题主要考查不等式与不等关系,利用特殊值代入法,排除不符合条件的选项,是一种简单有效的方法,属于基础题9.D解析:D 【分析】运用不等式的可加性,可判断A ;由反比例函数的单调性,可判断D ;由0c ,可判断C ;由二次函数的单调性可判断B . 【详解】对于A ,若0a b <<,则a c b c ++<,故A 项错误; 对于D ,函数1y x =在0-∞(,)上单调递减,若0a b <<,则11a b>,故D 项正确; 对于C ,当0c时,ac bc =,即不等式ac bc >不成立,故C 项错误;对于B ,函数2y x 在0-∞(,)上单调递减,若0a b <<,则22a b >,故B 项错误, 故选D . 【点睛】本题考查不等式的性质和运用,考查函数的单调性和反例法,考查推理、判断能力,属于基础题.10.C解析:C 【解析】分析:因为P 2﹣Q 2=﹣2()4a b -≤0,所以P 2≤Q 2,则P≤Q , 详解:因为a ,b ∈R ,且P=2a b +,222a b +,所以P 2=2224a b ab ++,Q 2=222a b +,则P 2﹣Q 2=2224a b ab ++﹣222a b +=2224ab a b --=﹣2()4a b -≤0, 当且仅当a=b 时取等成立,所以P 2﹣Q 2≤0,即P 2≤Q 2,所以P≤Q , 故选:C .点睛:比较大小的常用方法 (1)作差法:一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法:一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.(3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数的单调性得出大小关系. (4)借助第三量比较法11.D解析:D 【解析】分析:根据不等式的性质,通过举例,可判定A 、B 、C 不正确,根据指数函数的性质,即可得到D 是正确的.详解:当1,2a b ==-时,满足a b >,此时2211,,a b a b a b<,所以A 、B 、C 不正确;因为函数x y e =是单调递增函数,又由a b >,所以a b e e >,故选D.点睛:本题主要考查了不等式的性质的应用和指数函数的单调性的应用,其中熟记不等式的基本性质和指数函数的单调性是解答本题的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.12.B解析:B 【解析】分析:根据不等式的性质分别进行判断,注意结合特值法求解. 详解:①若110,a b a b>>>成立,①错误; ②22ac bc >,则a b >,②正确; ③若a b >成立,则a b >成立,③正确;④若0,1a b ==-,a b >成立,则 22a b >不成立,④错误, 正确的命题为②③,故选B.点睛:本题考查不等式的性质的应用,要求熟练掌握不等式性质成立的条件,同时注意运用特值法判断,属于简单题.二、填空题13.【分析】先去绝对值转化为再转化为求的最大值与最小值得到答案【详解】由得又由则则的最大值为的最小值为则故答案为:【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法对数函数的值域的求法还考查了将恒成立问题转化为求最值 解析:()1,7-【分析】先去绝对值,转化为22log 5log 5x a x -<<+,再转化为求2log ,[4,16]y x x =∈的最大值与最小值,得到答案. 【详解】由2log 5x a -<,得22log 5log 5x a x -<<+,又由2log ,[4,16]y x x =∈, 则[2,4]y ∈,则25log x -的最大值为1-,2log 5x +的最小值为7,则17a -<<. 故答案为:()1,7- 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,对数函数的值域的求法,还考查了将恒成立问题转化为求最值问题,转化与化归思想,属于中档题.14.【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于任意实数x 恒成立即即或解得:或故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒解析:(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】首先若满足不等式恒成立,即()min12a x a x a -+≤-++,根据不等式222a ax a x a x a x x -++=-++++,利用含绝对值三角不等式求最小值,最后解不等式求a 的取值范围. 【详解】()32222222a a a a a x a x a x a x x x a x x a x ⎛⎫-++=-++++≥--+++=++ ⎪⎝⎭ 32a≥ , 当2ax =-时,等号成立, ()min 322a x a x a ∴-++=, 若满足不等式21x a x a a -++≥-+对于任意实数x 恒成立,即312a a -+≤ ,即312a a ≥-或312a a ≤- , 解得:25a ≥或2a ≤-. 故答案为:(]2,2,5⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围,意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值,属于中档题型,含有两个绝对值的式子求最值时,参考公式a b a b a b -≤±≤+.15.【分析】根据题意分析可得原问题转化为在上能够成立设求出的最小值分析可得答案【详解】解:根据题意不等式在有实数解即在上能够成立又由则在上能够成立设则在区间上为减函数其最小值为若在上能够成立则;故的取值 解析:3(,)2a ∈+∞【分析】根据题意,分析可得原问题转化为11x a x +>-在[2,5]上能够成立,设1()1x f x x +=-,求出()f x 的最小值,分析可得答案.【详解】解:根据题意,不等式11ax a x ->+在[2,5]有实数解,即111x a x -⨯>+在[2,5]上能够成立,又由[2x ∈,5],则11x a x +>-在[2,5]上能够成立, 设1()1x f x x +=-,则2()11f x x =+-,在区间[2,5]上为减函数,其最小值为()352f =,若11x a x +>-在[2,5]上能够成立,则32a >; 故a 的取值范围是3|2a a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭; 故答案为:3,2a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查分式不等式的解法,关键是将分式不等式转化为整式不等式进行分析.16.【解析】原不等式转化为恒成立设的图像应在的上方右下图可得 解析:6a ≥【解析】原不等式转化为25-1x a x x -≥-- 恒成立,设()2,()51f x x a g x x x =-=---=62,1()4,1x x f x x -≥⎧⇒⎨<⎩的图像应在()g x 的上方,右下图可得(1)(1)6f g a ≥⇒≥ .17.【解析】试题分析:由题意得对任意总成立即对任意总成立而当且仅当时取=则实数的取值范围是考点:基本不等式求最值 解析:()2,π-+∞【解析】试题分析:由题意得()=()f x x a x π-<对任意0x <总成立,即a x xπ>+对任意0x <总成立,而2x xππ+≤-,当且仅当x π=-时取“=”,则实数的取值范围是()2,π-+∞考点:基本不等式求最值18.【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析:(5,7)【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1,2,3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩,解得57b <<19.①③【分析】由条件可知利用作差或是不等式的性质或是代特殊值判断不等式是否正确【详解】则正确故①正确;但不确定和的大小关系所以的正负不确定故②不正确;即故③正确;当时当时故④不正确;故答案为:①③【点解析:①③ 【分析】由条件可知0b a >>,利用作差,或是不等式的性质,或是代特殊值,判断不等式是否正确. 【详解】1100a b a b>>⇒<<,则33a b <正确,故①正确;()()()()()()33213333log 1log 211log 3log 3log 2log 1log 2log 1a b b a a b a b +++-+-=-=++++,()()33log 20,log 10a b +>+>,但不确定1b +和2a +的大小关系,所以()()33log 1log 2b a +-+的正负不确定,故②不正确;0ba >>,0>,(()22b a b a-=+---,20a=-=<<③正确;当1,2a b ==时,33220a b ab +-> 当2,3a b ==时,33220a b ab +-<,故④不正确;故答案为:①③ 【点睛】方法点睛:1.利用不等式的性质判断,把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑,先找到与结论相近的性质,再判断.2.作差(或作商)比较法,先作差(商),变形整理,判断符号(或与1比较),最后判断大小;3.特殊值验证的方法,运用赋值法排除选项.20.【分析】解不等式得集合根据交集和补集的定义写出【详解】解:全集或或即故答案为:【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题是基础题 解析:(,2)[1,)-∞--+∞【分析】解不等式得集合A 、B ,根据交集和补集的定义写出()UA B .【详解】解:全集U =R ,22{|60}{|60}{|23}A x x x x x x x x =-++=--=-,{}||3|40{||3|4}{|7B x x x x x x =-->=->=>或1}x <-,{|21}AB x x =-<-,(){|2U A B x x =-∴<或1}x -,即(,2)[1,)()=UA B -∞--+∞.故答案为:(,2)[1,)-∞--+∞. 【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.三、解答题21.(1)2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【分析】(1)直接分类去绝对值,即可求出()2f x >的解集;(2)去绝对值,得出()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩,画出图象,由于直线(1)y a x =+过定点(1,0)-,结合图象即可得出不等式()(1)f x a x +的解集非空时,a 的取值范围..【详解】解:(1)原不等式等价于1,432x x <⎧⎨->⎩或12,2x x ≤≤⎧⎨>⎩或2,342,x x >⎧⎨->⎩解得不等式()2f x >的解集为2,(2,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.(2)()43,1,,12,34,2,x x f x x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩画出图象,如图所示,其中(1,1)A ,(2,2)B ,直线(1)y a x =+过定点(1,0)-,且绕点(1,0)-旋转时, 由图可得若不等式1()2f x a x ⎛⎫+⎪⎝⎭的解集非空,则3a <-或AC a k ≥, 故实数a 的取值范围为1(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,考查数形结合思想和计算能力. 22.(1)(2,2)M =-;(2)证明见解析. 【分析】(1)分类讨论去绝对值,将函数化为分段函数,再利用()4f x <,即可求解; (2)利用作差法,证明224()(4)0a b ab +-+<,即可证明结论. 【详解】(1)21()1121121xx f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩, 所以()4f x <等价于124x x <-⎧⎨-<⎩或1124x -≤≤⎧⎨<⎩或124x x >⎧⎨<⎩, 21x -<<-或11x -≤≤或12x <<,22,(2,2)x M ∴-<<=-;(2)当,a b M ∈时,即22,22a b -<<-<<,2222224()(4)4416a b ab a b a b +-+=+-- 22(4)(4)0a b =--<,224()(4),2|||4|a b ab a b ab ∴+<+∴+<+.【点睛】本题考查绝对值不等式求解、不等式的证明,分类讨论去绝对值是解题的关键,利用作差法证明不等式,属于中档题. 23.(1)11102x ≤<;(2)证明见解析. 【分析】(1)用x 表示y 并求得x 的取值范围,结合绝对值不等式的解法求得原不等式的解集. (2)化简221141x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭后利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】 (1)21x y +=,且0,0x y >>,故112,02y x x =-<<. 11005222()5122(1)3131222x x x y x y x x x x ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪∴++-≤⇔⇔⎨⎨⎪⎪-+-≤-≤+⎪⎪⎩⎩10211231222x x x x ⎧<<⎪⎪⇔⎨⎪--≤-≤+⎪⎩,解得11102x ≤<.(2)21,x y +=且 0,0x y >>,2222221114141x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222(12)(12)(1)(1)(12)(1)2x x y y x y y xx y x y +-+-++⋅=⋅=⋅ 1222x y xyxy+++=⨯248844436(2)22xy x y x y =+=+≥+=+⎛⎫⎪⎝⎭. 当且仅当122x y ==时等号成立. 【点睛】解绝对值不等式,可利用公式法,如a b b a b ≤⇔-≤≤.证明不等式,可利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.24.(Ⅰ)93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;(Ⅱ)15. 【分析】(1)两边平方,再利用一元二次不等式的解法即可求出不等式的解集;(2)转化为min (3633)x x a ++-≥对于任意x ∈R 恒成立,利用绝对值三角不等式求出min (3633)15x x ++-=,进而可得答案. 【详解】(Ⅰ)由()()f x g x >,得363x x +>-,平方得()()22363x x +>-,得2842270x x ++>,即()()29430x x ++>,解得92x <-或34x >-. 故不等式()()f x g x >的解集是93,,24⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (Ⅱ)若()()3f x g x a +≥恒成立,即3639x x a ++-≥恒成立. 只需min (3633)x x a ++-≥即可.而()3639363915x x x x ++-≥+--=,所以15a ≤ 故实数a 的最大值为15. 【点睛】不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立(()min a f x ≤即可);② 数形结合(()y f x = 图象在y g x 上方即可);③ ()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立 25.(1)3522⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)详见解析 【解析】试题分析:(1)利用绝对值定义,将不等式等价转化为三个不等式组,它们的并集为所求解(2)证明不等式恒成立问题,实质是求对应函数()()22y f ax af x ax a x =+=-+-最值问题,利用绝对值三角不等式易得函数最小值:y 2222ax a ax a ≥-+-=-,再根据2a >,易得()()2f ax af x +> 试题(1)解:(1)(2)4f x f x +++<,即14x x -+<, ①当0x ≤时,不等式为14x x --<,即32x >-, 302x ∴-<≤是不等式的解; ②当01x <≤时,不等式为14x x -+<,即14<恒成立,01x ∴<≤是不等式的解;③当1x >时,不等式为14x x -+<,即52x <, 512x ∴<<是不等式的解. 综上所述,不等式的解集为3522⎛⎫- ⎪⎝⎭,. (2)证明:2a >,()()22f ax af x ax a x ∴+=-+-22ax ax a =-+-22ax a ax =-+-≥22222ax a ax a -+-=->,()()2x R f ax af x ,∴∀∈+>恒成立.考点:绝对值定义,绝对值三角不等式【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向. 26.(1)(0,2);(2)[2,)+∞ 【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示,后解不等式(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立,则max 23[()]a f x x -≥-,2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,求其最大值即可.【详解】解:(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时,由20x ->得2x >,即解集为∅,当112x ≤≤-时,由30x >得0x >,解集为1(0]2,,当12x >时,由20x ->得2x <,解集为1,22⎛⎫⎪⎝⎭,综上所述,()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立,则max 23[()]a f x x -≥-,令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩,则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭,即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围,中档题.。
(易错题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1.下列结论不正确的是( ) A .若a b >,0c >,则ac bc > B .若a b >,0c >,则c c a b> C .若a b >,则a c b c +>+ D .若a b >,则a c b c ->- 2.若2a ≠-,(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,则m 、n 的大小关系是( ) A .m n =B .m n <C .m n >D .m 、n 关系不确定3.下列命题中,正确的是( ) A .若a b >,c d >,则a c > B .若ac bc >,则a b > C .若22a b c c<,则a b < D .若a b >,c d >,则ac bd >4.设0.3log 0.6m =,21log 0.62n =,则( ) A .m n m n mn ->+> B .m n mn m n ->>+ C .m n m n mn +>->D .mn m n m n >->+5.已知01x y a <<<<,log log a a m x y =+,则有( ) A .0m <B .01m <<C .12m <<D .2m >6.若a b c R ∈,,,则以下命题为真的是( ) A .若a b >,则11a b< B .若a b >,则22ac bc > C .若a b >,则22a b >D .若a b >,则22a b >7.已知1a >,实数,x y 满足x y a a >,则下列不等式一定成立的是( ) A .11x y x y+>+ B .()()22ln 1ln 1x y +>+C .sin sin x y >D .33x y >8.下列四个不等式:①log 10lg 2(1)x x x +>;②a b a b -<+;③2(0)b a ab a b+≠;④121x x -+-≥,其中恒成立的个数是( )A .1B .2C .3D .49.若0a <b <,则下列不等式中成立的是( )A .|a |>b -B .1a b< C <D .11a b< 10.设实数0,0a b c >>>,则下列不等式一定正确....的是( ) A .01ab<< B .a b c c >C .0ac bc -<D .ln0ab> 11.对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是( ) A .若,,a b c d >>则a c b d +>+ B .22a b ac bc >>若,则 C .若,a b >则11a b< D .若,,a b c d >>则ac bd >12.对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A .,a b c d a c b d >>+>+若,则 B .22a b ac bc >>若,则 C .11,a b a b><若则D .,a b c d ac bd >>>若,则二、填空题13.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值,具有社会、经济、生态等几方面的效益,某地街道呈现东-西,南-北向的网格状,相邻街距都为1,两街道相交的点称为格点,若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系,现有下述格点(2,2)-,(2,1),(2,3),(2,4)-,(4,5),(6,6)为垃圾回收点,请确定一个格点(除回收点外)________为垃圾集中回收站,使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 14.给出下列语句: ①若,a b 为正实数,ab ,则3322a b a b ab +>+;②若,a m 为正实数,a b <,则a m ab m b+<+; ③若22a bc c>,则a b >;④当(0,)2x π∈时,2sin sin x x+的最小值为___________. 15.若关于x 的不等式14x x a -++<的解集是空集,则实数a 的取值范围是__________.16.若()f x 是R 上的减函数,且()f x 的图像经过点()0,3A 和()3,1B -,则不等式()112f x +-<的解集是__________.17.若关于x 的不等式215x a x x -+-≥-在R 上恒成立,则实数a 的取值范围为________.18.设x ,y 为实数,满足238xy ≤≤,249x y≤≤,则3x y 的最小值是______. 19.设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈,当[2,2]x ∈-时,记()f x 的最大值为(,)M a b ,则(,)M a b 的最小值为______.20.设函数1()||||f x x x a a=++-(0)a >,若(3)5f <,则a 的取值范围是_____.三、解答题21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,14a =,数列{}n S n是公差为12的等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设21(1)n nb n a =+,求证:对于任意的*n N ∈,12341n b b b +++<. 22.已知正实数,x y 满足21x y += (1)解关于x 的不等式52()||2x y x y ++-≤; (2)证明:22114136x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 23.设函数()212f x x x =-++. (1)求不等式()4f x ≥的解集;(2)若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合,求实数m 的取值范围. 24.已知函数()||,f x x x a a R =-∈. (1)当(1)(1)1f f +->,求a 的取值范围;(2)若0a >,对,(,]x y a ∀∈-∞,都有不等式5()||4f x y y a ≤++-恒成立,求a 的取值范围.25.已知()13f x x x =++-.(1)求直线8y =与函数()y f x =的图象所围图形的面积; (2)若()211f x a a ≥++-对一切实数x 成立,求a 的取值范围. 26.设函数3211()132f x ax bx cx =+++,f x 为()f x 的导函数,(1)2af '=-,322a c b >>.(1)用a ,b 表示c ,并证明:当0a >时,334b a -<<-; (2)若12a =-,2b =,32c ,求证:当1x ≥时,()ln x f x '≥.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B解析:B 【分析】根据不等式的性质,对选项逐一分析,由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项,不等式两边乘以一个正数,不等号不改变方程,故A 正确.对于B 选项,若2,1,1a b c ===,则c ca b<,故B 选项错误.对于C 、D 选项,不等式两边同时加上或者减去同一个数,不等号方向不改变,故C 、D 正确.综上所述,本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质,考查特殊值法解选择题,属于基础题.2.C解析:C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--,两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知,2(2)0m n a -=+>,m n ∴>,故选:C 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小,属于基础题.3.C解析:C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B :若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C :因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4.A解析:A 【分析】根据对数函数的单调性可得0m >,0n <,根据不等式的性质可知m n m n ->+ ;通过比较11m n+ 与1 的大小关系,即可判断m n m n +>,从而可选出正确答案. 【详解】解:0.30.3log 0.6log 10m =>=,2211log 0.6log 1022n =<=,则0mn < ()()20m n m n n --+=->,m n m n ∴->+0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n +=+=<= m n mn ∴+> 故选:A. 【点睛】本题主要考查了对数的运算,对数函数的单调性.在比较对数的大小时,常常结合对数函数的单调性比较大小.对于()log a f x x =,若01a << ,则(1)当01x << 时,()0f x >; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x <; 若1a > ,则(1)当01x << 时,()0f x <; (2)当1x = 时,()0f x =; (3)当1x > 时,()0f x >.5.D解析:D 【分析】首先根据对数的运算得到()log a m xy =,再由不等式的性质及对数函数的性质即可得解. 【详解】解:由题意得()log a m xy =,01x y a <<<<,201xy a ∴<<<,2log 2a m a ∴>=.故选:D 【点睛】本题考查对数的运算及对数函数的性质,不等式的性质,属于中档题.6.D解析:D 【分析】A .举例:取0,0a b ><的值,检验;B .举例:0c ,检验;C .举例:取0,0a b ><的值(注意大小),检验;D .考虑两边同时平方来证明.【详解】A .取1,1a b ==-,所以11a b>,故错误; B .取0c,所以22ac bc =,故错误;C .取1,2a b ==-,所以22a b <,故错误;D .因为0a b >≥,所以22a b >,所以22a b >,故正确. 故选:D. 【点睛】本题考查利用不等式的性质判断命题的真假,难度一般.(1)不等号两边同时乘以一个正数,不等号的方向不会改变;(2)已知两数的大小,比较两个数平方的大小时,要注意考虑数的正负.7.D解析:D 【分析】根据指数函数的单调性,得到x y >,再利用不等式的性质,以及特殊值法,即可求解. 【详解】根据指数函数的单调性,由1a >且x y a a >,可得x y >, 对于A 中,由111()()(1)x y x y x y x y x y xy xy-+--=--=--,此时不能确定符号,所以不正确;对于B 中,当x 1,y 2==-时,2211x y +<+,此时()()22ln 1ln 1x y +<+,所以不正确;对于C 中,例如:当2,32x y ππ==时,此时sin sin x y <,所以不正确; 对于D 中,由33222213()()()[()]024x y x y x xy y x y x y y -=-++=--+>,所以33x y >,所以是正确的.故选D . 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性,以及不等式的性质的应用,其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.8.C解析:C 【分析】依次判断每个选项的正误,得到答案. 【详解】 ①1log 10lg lg 2(1)lg x x x x x+=+>,当10x =时等号成立,正确②a b a b -<+,0b =时不成立,错误 ③,a b =时等号成立.正确④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=,12x ≤≤时等号成立,正确 故答案选C 【点睛】本题考查了不等式性质,绝对值不等式,均值不等式,综合性较强,是不等式的常考题型.9.A解析:A 【解析】 【分析】对于A ,用不等式的性质可以论证,对于B ,C ,D ,列举反例,可以判断. 【详解】∵a <0,∴|a |=﹣a ,∵a <b <0,∴﹣a >﹣b >0,∴|a |>﹣b ,故结论A 成立; 取a =﹣2,b =﹣1,则 ∵21ab=>,∴B 不正确; 21a b -=-=,,∴a b -->∴C 不正确;112a =-,11b =-,∴11a b>,∴D 不正确. 故选:A . 【点睛】本题考查不等式的性质,解题的关键是利用不等式的性质,对于不正确结论,列举反例.10.D解析:D 【分析】对4个选项分别进行判断,即可得出结论. 【详解】 解:由于a >b >0,1ab>,A 错; 当0<c <1时,c a <c b ;当c =1时,c a =c b ;当c >1时,c a >c b ,故c a >c b 不一定正确,B 错;a >b >0,c >0,故ac ﹣bc >0,C 错.lnln10ab>= ,D 对; 故选D . 【点睛】本题考查不等式的性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.11.A解析:A 【解析】分析:根据不等式性质判断命题真假.可举反例说明命题不成立. 详解:因为同向不等式可相加,所以若,,a b c d >>则a c b d +>+, 因为c=0时,22ac bc =,所以B 错; 因为121,12>->-,所以C 错; 因为10,01,100(1)>>-⨯=⨯-,所以D 错; 选A.点睛:本题考查不等式性质,考查基本论证能力.12.A解析:A 【解析】分析:由不等式的性质,逐个选项验证可得答案. 详解:选项①,a b c d >>若,,由不等式的可加性可得a c b d +>+ 故A 正确,选项②22a b ac bc >>若,则,由不等式的性质可得;2c =0时22ac bc >不正确, 选项③a b >若,则11a b <错误,比如12-> ,但1112-> ; 选项④若,a b c d ac bd >>>,则错误,需满足a b c d ,,,均为正数才可以. 故选:A .点睛:本题考查不等式的性质,属基础题.二、填空题13.【分析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和再根据含绝对值三角不等式求最值【详解】设格点的坐标为则根据含绝对值三角式可知横轴方向距离和此时的最小值是14此时三个等号成立的条件是所以时的最小值是纵轴方向的距 解析:(2,4)【分析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和,再根据含绝对值三角不等式求最值. 【详解】设格点的坐标为(),x y ,则26x -≤≤,16y ≤≤, 根据含绝对值三角式+≥-a b a b 可知横轴方向距离和()222246d x x x x x =++-+-+-,()()262422x x x x x =++-+++-+-()()()()26242014x x x x ≥+--++--+⨯=,此时()d x 的最小值是14,此时三个等号成立的条件是26242x x x -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪=⎩,所以2x =时,()d x 的最小值是14,纵轴方向的距离和()123456d y y y y y y y =-+-+-+-+-+-,()()()()()()()1625349d y y y y y y y ≥---+---+---=此时()d y 的最小值是9,三个等号成立的条件是162534y y y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,即3y =或4,当3y =时,此时格点位置是()2,3,是垃圾回收点,舍去,所以4y =,此时格点坐标是()2,4.故答案为:()2,4 【点睛】关键点点睛:本题是具有实际应用背景的习题,本题的关键是正确理解题意,并能转化为横轴距离和纵轴距离,利用含绝对值三角不等式求最值.14.①③【分析】利用作差法可判断出①正确;通过反例可排除②;根据不等式的性质可知③正确;根据的范围可求得的范围根据对号函数图象可知④错误【详解】①为正实数即可知①正确;②若则可知②错误;③若可知则即可知解析:①③. 【分析】利用作差法可判断出①正确;通过反例可排除②;根据不等式的性质可知③正确;根据x 的范围可求得sin x 的范围,根据对号函数图象可知④错误.【详解】①()()()()()()233222222a b a b ab aa b b b a a b a b a b a b +--=-+-=--=-+a b ≠,,a b 为正实数 ()20a b ∴->,0a b +>33220a b a b ab ∴+-->,即3322a b a b ab +>+,可知①正确;②若1a =,2b =,1m =,则2132a m ab m b+=>=+,可知②错误; ③若22a b c c >,可知20c >,则2222a b c c c c⋅>⋅,即a b >,可知③正确; ④当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()sin 0,1x ∈,由对号函数图象可知:()2sin 3,sin x x +∈+∞,可知④错误.本题正确结果:①③ 【点睛】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题,属于常规题型.15.【解析】由题意可知原不等式无解由即填 解析:(),5-∞【解析】由题意可知原不等式无解,由()14x 1x 45x x -++≥---=,即max (14)5a x x <-++=,填(),5-∞。
(完整版)人教版高中数学选修4-5(不等式)课后习题答案
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人教A高中数学选修45课后习题答案(清晰版)
2
因为 ab a2 b2 d 2 ,当且仅当 a b 时等号成立 22
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
d2
所以当矩形为正方形时,面积取得最大值,最大值为
2 14、因为 r 2 ( h )2 R2 ,所以 4r 2 h2 4R2 .
2 根据三个正数的算术—几何平均不等式,得 4R2 2r 2 2r 2 h2 3 3 4r 4h2
1
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
8、因为 a12 x12 2a1x1 , a22 x22 2a2x2 ,……, an2 xn2 2an xn 所以 (a12 a22 an2 ) (x12 x22 xn2 ) 2(a1x1 a2x2 anxn) 即 2 2(a1x1 a2x2 anxn) ,所以 a1x1 a2x2 anxn 1
所以 a3 b3 (a b)ab , b3 c3 (b c)bc , c3 a3 (c a)ca
所以 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b)
3、略.
4、要证明 1 1 1 0 ,即证明 1 1 1
ab bc ca
ab bc ac
12、(1)因为 a,b,c R ,所以
a b
b c
c a
33
a b
b c
c a
3,
b a
c b
a c
33
b a
c b
a c
3
所以 ( a b c )( b c a ) 9 b c aa b c
(2)因为 a,b,c R ,所以 a b c 33 abc 0 , a2 b2 c2 33 a2b2c2 0
人教版高中数学选修4-5《绝对值不等式的解法》
3 1 如图,我们将 B 向右移动 单位至点 B1 2 ,此时 2 B1 与 A 及 B 距离之和增加 1 个单位,同理我们将 A 点 5 1 - 向左移动 个单位到 A1 2 ,这时 A1 与 A 及 B 距离之和 2 也增加一个单位.从数轴上可以看到 A1 与 B1 之间的任何 点(包括点 A1 和 B1)到 A,B 的距离之和均小于等于 4,而 5 3 当 x<- 或 x> 时,x 与 A,B 两点的距离之和都大于 4. 2 2 5 3 - 因而原不等式的解集为 2,2 .
(3)从函数的观点,利用函数图象求不等式的解集.
零点分段 法的步骤: 找零点
分段
讨论
综合
解法二(几何法)x为不等式|x+2|+|x-1|≤4的解x是与数轴上的 点A(-2)及B(1)两点距离之和小于等于4的点. A,B两点的距离为3,因此线段AB上任何一点到A,B距离 之和都等于3,因此都是原不等式的解.但我们需要找到原不 等式解的全体,于是关键在于找到A,B距离之和为4的点.
1 -x-5,x≤- , 2
作出函数 y=|2x+1|-|x-4|的图象, 作出函数 y=|2x+1|-|x-4|的图象, 5 ,2 5 它与直线 y=2 的交点为(-7,2)和 . 3 ,2 . 它与直线 y=2 的交点为(-7,2)和 3 所以|2x+1|-|x-4|>2 的解集为 所以|2x+1|-|x-4|>2 的解集为 5 ,+∞ 5 (-∞,-7)∪ . 3 (-∞,-7)∪ 3,+∞ . +1|-|x (2)由函数 y=|2x -4|的图象可知, (2)由函数 1 y=|2x+1|-|x-4|的图象可知, 9 当 x=- 1 时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值- 9 . 2 2 当 x=- 时,y=|2x+1|-|x-4|取得最小值- . 2 2
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4-5不等式选讲最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件:(1)|a +b|≤|a|+|b|(a,b∈R).(2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|(a,b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+b|≤c,|ax+b|≥c,|x-c|+|x-b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法.ab≤0且|a ab≥0且|a定理2:如果a、b为正数,则≥,当且仅当a=b时,等号成立.定理3:如果a、b、c为正数,则≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、a n为n个正数,则≥,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.4.柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d为实数,则(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.(2)若a i,b i(i∈N*)为实数,则()()≥(i b i)2,当且仅当b i=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得a i=kb i(i=1,2,…,n)时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.1(1)(2)(3)|(4)(5)[2AC[[答案] A3.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是() A.|a+b|+|a-b|>2 B.|a+b|+|a-b|<2C.|a+b|+|a-b|=2 D.不能比较大小[解析]|a+b|+|a-b|≤|2a|<2.[答案] B4.若a,b,c∈(0,+∞),且a+b+c=1,则++的最大值为()A.1 B.C. D.2[∴([5[为-2≤a[解|(1)(2)把这些根由小到大排序,它们把定义域分为若干个区间.(3)在所分区间上,去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出它们的解集.(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解绝对值不等式的关键是恰当的去掉绝对值符号.(1)(2015·山东卷)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4) B.(-∞,1)C.(1,4) D.(1,5)(2)(2014·湖南卷)若关于x的不等式|ax-2|<3的解集为,则a=________.[解题指导]切入点:“脱掉”绝对值符号;关键点:利用绝对值的性质进行分类讨论.[解析](1)当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等当当(2)当当当[对点训练已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.[解](1)当a=-3时,f(x)=当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;当2<x<3时,f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4;所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当?4右|x 1.是(2)[[解析](1)∵|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x-2)|=3,∴a2+a+2≤3,解得≤a≤.即实数a的取值范围是.(2)解法一:根据绝对值的几何意义,设数x,-1,2在数轴上对应的点分别为P,A,B,则原不等式等价于P A-PB>k恒成立.∵AB=3,即|x+1|-|x-2|≥-3.故当k<-3时,原不等式恒成立.解法二:令y=|x+1|-|x-2|,则y=要使|x+1|-|x-2|>k恒成立,从图象中可以看出,只要k<-3即可.故k<-3满足题意.[答案](1)(2)(-∞,-3)解含参数的不等式存在性问题,只要求出存在满足条件的x即可;不等式的恒成立问题,可转化为最值问题,即f(x)<a恒成立?a>f(x)max,f(x)>a恒成立?a<f(x)min.(1)(2)[解-a?a-3≤x≤3.故(2)f不等式的证明方法很多,解题时既要充分利用已知条件,又要时刻瞄准解题目标,既不仅要搞清是什么,还要搞清干什么,只有兼顾条件与结论,才能找到正确的解题途径.应用基本不等式时要注意不等式中等号成立的条件.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则+>+;(2)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.[解题指导]切入点:不等式的性质;关键点:不等式的恒等变形.[证明](1)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(2)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.由a+(1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1.[证明](1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.———————方法规律总结————————[12条件.3.[121[解析]|2x-1|<3?-3<2x-1<3?-1<x<2.[答案](-1,2)2.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=__________.[解析]∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2.[答案] 23.不等式|2x+1|+|x-1|<2的解集为________.[解析]当x≤-时,原不等式等价为-(2x+1)-(x-1)<2,即-3x<2,x>-,此时-<x≤-.当-<x<1时,原不等式等价为(2x+1)-(x-1)<2,即x<0,此时-<x<0.当x≥1时,原不等式等价为(2x +1)+(x-1)<2,即3x<2,x<,此时不等式无解,综上,原不等式的解为-<x<0,即原不等式的解集为.[答案]4[[5.[故[6.[3a-1+2a=[7.若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解,则实数a的取值范围是__________.[解析]∵f(x)=|x+1|+|x-2|=∴f(x)≥3.要使|a|≥|x+1|+|x-2|有解,∴|a|≥3,即a≤-3或a≥3.[答案](-∞,-3]∪[3,+∞)8.已知关于x的不等式|x-a|+1-x>0的解集为R,则实数a的取值范围是__________.[解析]若x-1<0,则a∈R;若x-1≥0,则(x-a)2>(x-1)2对任意的x∈[1,+∞)恒成立,即(a-1)[(a+1)-2x]>0对任意的x∈[1,+∞)恒成立,所以(舍去)或对任意的x∈[1,+∞]恒成立,解得a<1.综上,a<1.[答案](-∞,1)9.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,则++的最小值为__________.[=≥2[10.[即∴[11[解析]∵|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|=(|1-x|+|x|)+(|1-y|+|1+y|)≥|(1-x)+x|+|(1-y)+(1+y)|=1+2=3,当且仅当(1-x)·x≥0,(1-y)·(1+y)≥0,即0≤x≤1,-1≤y≤1时等号成立,∴|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为3.[答案] 312.若不等式|x+1|-|x-4|≥a+,对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.[解析]只要函数f(x)=|x+1|-|x-4|的最小值不小于a+即可.由于||x+1|-|x-4||≤|(x+1)-(x -4)|=5,所以-5≤|x+1|-|x-4|≤5,故只要-5≥a+即可.当a>0时,将不等式-5≥a+整理,得a2+5a+4≤0,无解;当a<0时,将不等式-5≥a+整理,得a2+5a+4≥0,则有a≤-4或-1≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-4]∪[-1,0).[13(1)(2)[解若若若(2)f(x)作出函数f(x)的图象,如图所示.由图象可知,f(x)≥1,∴2a>1,a>,即a的取值范围为.14.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.[解](1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.(2)a+1,0),C(a,a15(1)(2)[解f(x).(2)若a=1,f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;若a<1,f(x)=f(x)的最小值为1-a;若a>1,f(x)=f(x)的最小值为a-1.∴对于?x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,∴a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).16.(2015·福建卷)已知a>0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)(2)[解又(2)(42=即a当且仅当==,即a=,b=,c=时等号成立.故a2+b2+c2的最小值为.。
(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试卷(有答案解析)(3)
一、选择题1.若关于x 的不等式13x x m -++>的解集为R ,则实数m 的取值范围是 A .(,4)(2,)-∞-⋃+∞ B .(,4)(1,)-∞-+∞C .(4,2)-D .[4,1]- 2.若2a ≠-,(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,则m 、n 的大小关系是( )A .m n =B .m n <C .m n >D .m 、n 关系不确定3.如果sin 2a =,1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,0.51log 3c =,那么( ) A .a b c >> B .c b a >>C .a c b >>D .c a b >>4.已知非零实数a ,b 满足||1a b >+,则下列不等关系不一定成立的是( ) A .221a b >+B .122a b +>C .24a b >D .1ab b>+ 5.若实数a >b ,则下列结论成立的是( ) A .a 2>b 2B .11a b<C .ln 2a >ln 2bD .ax 2>bx 26.不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集,则实数a 的取值范围是( ) A .5a ≤B .554a -≤≤C .574a -≤≤D .7a ≤7.已知0a b >>,则下列不等式正确的是( )A b a <B .33a bb a -<-C .lg lg a b b a -<-D .lg lg a b b a ->-8.已知01a <<,01c b <<<,下列不等式成立的是( ) A .b cb ac a>++ B .c c a b b a+>+ C .log log b c a a < D .b c a a >9.设实数0,0a b c >>>,则下列不等式一定正确....的是( ) A .01ab<< B .a b c c > C .0ac bc -<D .ln0ab> 10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=1,则“a 3>5”是“S 3+S 9>93”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件11.若,则下列结论不正确的是A .B .C .D .12.如果a b >,那么下列不等式一定成立的是( ) A .a b >B .33a b >C .11a b< D .22a b <二、填空题13.若0x y >>,则()412x y x y +-的最小值是________.14.已知函数()21f x x x =--,若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立,则实数t 的取值范围是______.15.已知实数,,a b c 满足3a b c ++=,222226a b c ++=,则c 的取值范围是___________. 16.若()f x 是R 上的减函数,且()f x 的图像经过点()0,3A 和()3,1B -,则不等式()112f x +-<的解集是__________.17.若不等式|4||3|x x a +--≤对一切实数x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________18.设()f x x a x =-+,且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立,则实数a 的取值范围为_________.19.定义运算x ·y ,,1,,x x y m y x y ≤⎧=-⎨>⎩若·m=|m-1|,则m 的取值范围是_____.20.设x ,y 为实数,满足238xy ≤≤,249x y≤≤,则3x y 的最小值是______.三、解答题21.已知函数2()|1|5f x mx a x =-++.(1)当0,1m a ==时,求不等式()|2|f x x -的解集;(2)当1m =时,存在0[0,2]x ∈,使()00|1|f x a x -成立,求实数a 的取值范围. 22.已知函数()211f x x x =--+. (1)解不等式()4f x ≤;(2)记函数()31y f x x =++的最小值为m ,正实数a ,b 满足a b m +=,试求1412a b +++的最小值. 23.(1)设1≥x ,1y ≥,证明:111x y xy xy x y++≤++;(2)设1a b c ≤≤≤,证明:log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++≤++. 24.已知1m ,且关于x 的不等式21x m -≤-的解集为[]1,3. (1)求m 的值;(2)若a ,b 均为正实数,且满足a b m +=,求22a b +的最小值. 25.已知函数()|21|||2g x x x =-+++. (1)解不等式()0g x ≤;(2)若存在实数x ,使得()||g x x a ≥--,求实数a 的取值范围. 26.设x ,y 是两个正数. (1)证明:若12x y +=,则289y x+≥;(2)已知a b c >>,0a b c ++=<【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】由于13x x m -++>表示数轴上的x 对应点到1和m -的距离之和,它的最小值等于1m +,由题意可得13m +>,解得2m >,或4m <-,故实数m 的取值范围是为()(),42,-∞-⋃+∞,故选A.2.C解析:C 【分析】由条件可得22232,6m a a n a a =+-=--,两式作差即可得大小关系. 【详解】(21)(2)m a a =-+,(2)(3)n a a =+-,22232,6m a a n a a ∴=+-=--, 2244(2)m n a a a ∴-=++=+,由2a ≠-知,2(2)0m n a -=+>,m n ∴>,故选:C本题主要考查了利用作差法比较不等式的大小,属于基础题.3.D解析:D 【分析】由题意可知,3sin 2sin 4a π=>,12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭,0.51log 13c =>,从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<1a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=,即0.51log 13c => 121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选:D 【点睛】本题考查比较大小,是比较综合的一道题,属于中档题.4.D解析:D 【分析】||1a b >+两边平方,结合绝对值的性质,可判断选项A 成立;||11a b b >+>+,再由指数函数的单调性,可判断选项B 正确;由212||b b +≥,结合选项A ,判断选项C 正确; 令5,a =3b =,满足||1a b >+,1ab b>+不成立. 【详解】||1a b >+2222||11a b b b ⇔>++>+,A 一定成立; ||11a b b >+≥+122a b +⇒>,B 一定成立;又212||b b +≥,故24||4a b b >≥,C 一定成立; 令5,a =3b =,即可推得D 不一定成立. 故选:D.本题考查不等式与不等关系,注意绝对值性质的应用,通过给变量取特殊值,举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的方法,属于中档题.5.C解析:C 【解析】 【分析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意,可知:对于A :当a 、b 都是负数时,很明显a 2<b 2,故选项A 不正确; 对于B :当a 为正数,b 为负数时,则有11a b>,故选项B 不正确; 对于C :∵a >b ,∴2a >2b >0,∴ln 2a >ln 2b ,故选项C 正确; 对于D :当x =0时,结果不成立,故选项D 不正确; 故选:C . 【点评】本题主要考查不等式的性质应用,特殊值技巧的应用,指数函数、对数函数值大小的比较.本题属中档题.6.A解析:A 【分析】原不等式等价于210x x a ---<,设()21f x x x a =---,则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩,解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<,设()21f x x x a =---,因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集,所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩,解之得5a ≤.故选:A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质,体现化归与等价转化思想,属中等难度题.7.C解析:C 【分析】考虑到,C D 中不等号方向,先研究C ,D 中是否有一个正确。
高中数学 第1讲 不等式和绝对值不等式本讲达标测试 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数
第一讲不等式和绝对值不等式(本卷满分150分,考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分,共60分)1.下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是A.a>b+1B.a>b-1C.a2>b2D.a3>b3解析A项:若a>b+1,则必有a>b,反之,当a=2,b=1时,满足a>b,但不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件;B项:当a=b=1时,满足a>b-1,反之,由a>b-1不能推出a>b;C项:当a=-2,b=1时,满足a2>b2,但a>b 不成立;D项:a>b是a3>b3的充要条件,综上所述答案选A.答案A2.若a>b,x>y,则下列不等式不正确的是A.a+x>b+yB.y-a<x-bC.|a|x>|a|yD.(a-b)x>(a-b)y答案C3.不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是A.[-5,7]B.[-4,6]C.(-∞,-5]∪[7,+∞)D.(-∞,-4]∪[6,+∞)解析解法一当x≤-3时,不等式化为5-x-x-3≥10,即x≤-4;当-3<x<5时,不等式化为5-x+x+3≥10,即8≥10,故x∈∅;当x≥5时,不等式化为x-5+x+3≥10,即x≥6.综上,原不等式的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞),故选D.解法二利用绝对值的几何意义,即在数轴上的点x到5和-3的距离之和不小于10,所以x≤-4或x≥6,故选D.答案D4.若f (x )=x 2-2x -4ln x ,则f ′(x )>0的解集为 A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞)D.(-1,0)解析f ′(x )=2x -2-4x =2(x 2-x -2)x,则f ′(x )>0,也就是2(x 2-x -2)x>0,得-1<x <0或x >2,又f (x )的定义域为(0,+∞), ∴f ′(x )>0的解集为{x |x >2},故选C. 答案C5.若实数x ,y 满足1x 2+1y2=1,则x 2+2y 2有A.最大值3+2 2B.最小值3+2 2C.最大值6D.最小值6解析 由题意知,x 2+2y 2=(x 2+2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2+1y 2=3+2y 2x 2+x 2y 2≥3+22,当且仅当x 2y 2=2y 2x2时,等号成立,故选B.答案B6.函数y =3x +12x2(x >0)的最小值是A.6B.66C.9D.12解析y =3x +12x 2=3x 2+3x 2+12x 2≥ 333x 2·3x 2·12x2=9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x 2=12x 2,即x =2时,等号成立. 答案C7.设x >0,则y =3-3x -1x的最大值是A.3B.3-3 2C.3-2 3D.-1 解析y =3-3x -1x=3-⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +1x ≤3-23x ·1x=3-2 3.当且仅当3x =1x ,即x =33时,等号成立.答案C8.若a 、b ∈R,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是 A.a 2+b 2>2abB.a +b ≥2abC.1a +1b>2abD.b a +ab≥2解析 对A :当a =b =1时满足ab >0,但a 2+b 2=2ab ,所以A 错;对B 、C :当a =b =-1时满足ab >0,但a +b <0,1a +1b<0,而2ab >0,2ab>0,显然B 、C 不对;对D :当ab >0时,由均值定理b a +ab ≥2b a ·ab=2,故选D. 答案D9.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n 层楼,上下楼造成的不满意度为n ;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n 层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析 设第n 层总的不满意度为f (n ), 则f (n )=n +9n ≥29=6,当且仅当n =9n,即n =3时等号成立. 答案C10.已知f (x )是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数, f (2)=0,则不等式xf (x )<0的解集是A.{x |-2<x <0,或x >2}B.{x |x <-2,或0<x <2}C.{x |x <-2,或x >2}D.{x |-2<x <0,或0<x <2} 解析 画出草图,(图略)则当0<x <2或x <-2时,f (x )<0; 当x >2或-2<x <0时,f (x )>0.所以x ·f (x )<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<0x >0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0x <0,即为0<x <2或-2<x <0. 答案D11.若0<x <12,则x 2(1-2x )有A.最小值127B.最大值127C.最小值13D.最大值13答案B12.设0<x <1,a ,b 都为大于零的常数,若a 2x +b 21-x≥m 恒成立,则m 的最大值是A.(a -b )2B.(a +b )2C.a 2b 2D.a 2解析a 2x +b 21-x =⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x +b 21-x [x +(1-x )]=a 2+b 2+a 2(1-x )x +b 2x 1-x≥a 2+b 2+2ab =(a +b )2,当且仅当x 1-x =ab时取等号. 由a 2x +b 21-x≥m 恒成立,可知m ≤(a +b )2. 故m 的最大值是(a +b )2. 答案B二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式|x +1|-|x -3|≥0的解集是________. 解析 由题意得|x +1|≥|x -3|, ∴(x +1)2≥(x -3)2,即8x ≥8,∴x ≥1. 答案 [1,+∞)14.已知不等式|2x -t |+t -1<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,12,则t 的值为________. 解析 |2x -t |<1-t ,t -1<2x -t <1-t ,2t -1<2x <1,t -12<x <12.∴t =0.答案 015.设x ,y 为实数.若4x 2+y 2+xy =1,则2x +y 的最大值是________. 解析 依题意有(2x +y )2=1+3xy =1+32×2x ×y ≤1+32·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +y 22,得58(2x +y )2≤1,即|2x +y |≤2105. 当且仅当2x =y =105时,2x +y 达到最大值2105. 答案210516.下面四个命题:①若a >b ,c >1,则a lg c >b lg c ; ②若a >b ,c >0,则a lg c >b lg c ; ③若a >b ,则2c a >2cb ; ④若a <b <0,c >0,则c a >c b. 其中正确命题的个数为________.解析 ①正确,∵c >1,lg c >0,∴a lg c >b lg c ;②不正确,由于当0<c <1时,lg c <0,a lg c <b lg c ;③正确,∵2c >0,∴2c a >2c b ;④正确,∵a <b <0,∴0>1a >1b ,又c >0,∴c a >c b.答案 3三、解答题(共70分)17.(10分)设不等式|x -2|<a (a ∈N *)的解集为A ,且32∈A ,12∉A .(1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x +a |+|x -2|的最小值.解析 (1)因为32∈A ,且12∉A ,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32-2<a ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-2≥a ,解得12<a ≤32.又a ∈N *,所以a =1.(2)因为|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3,当且仅当(x +1)(x -2)≤0,即-1≤x ≤2时取到等号,所以f (x )的最小值为3. 18.(12分)设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值.解析 (1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f (x )≥3x +2的解集为{x |x ≥3或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得|x -a |+3x ≤0. 此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x -a +3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ,a -x +3x ≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ,x ≤-a 2.因为a >0,所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤-a 2.由题设可得-a2=-1,则a =2.故a 的值为2.19.(12分)设函数f (x )=2|x -1|+x -1,g (x )=16x 2-8x +1.记f (x )≤1的解集为M ,g (x )≤4的解集为N .(1)求M ;(2)当x ∈M ∩N 时,证明:x 2f (x )+x [f (x )]2≤14.解析f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x -3,x ∈[1,+∞),1-x ,x ∈(-∞,1),当x ≥1时,由f (x )=3x -3≤1得x ≤43,故1≤x ≤43;当x <1时,由f (x )=1-x ≤1得x ≥0,故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤43. (2)由g (x )=16x 2-8x +1≤4, 得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x -142≤4,解得-14≤x ≤34. 因此N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-14≤x ≤34. 故M ∩N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤34.当x ∈M ∩N 时,f (x )=1-x ,于是x 2f (x )+x [f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]=xf (x )=x (1-x )=14-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122≤14.20.(12分)(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )=5-|x +a |-|x -2|. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥0的解集; (2)若f (x )≤1,求a 的取值X 围.解析 (1)当a =1时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +4,x ≤-1,2,-1<x ≤2,-2x +6,x >2.可得f (x )≥0的解集为{x |-2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x +a |+|x -2|≥4.而|x +a |+|x -2|≥|a +2|,且当x =2时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a +2|≥4. 由|a +2|≥4可得a ≤-6或a ≥2.所以a 的取值X 围是(-∞,-6]∪[2,+∞).21.(12分)设a ,b ,c ,d 均为正数,且a +b =c +d ,求证: (1)若ab >cd ,则a +b >c +d ;(2)a +b >c +d 是|a -b |<|c -d |的充要条件. 证明 (1)因为(a +b )2=a +b +2ab , (c +d )2=c +d +2cd ,由题设a +b =c +d ,ab >cd 得(a +b )2>(c +d )2. 因此a +b >c +d .(2)①若|a -b |<|c -d |,则(a -b )2<(c -d )2, 即(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd . 因为a +b =c +d ,所以ab >cd . 由(1)得a +b >c +d .②若a +b >c +d ,则(a +b )2>(c +d )2, 即a +b +2ab >c +d +2cd . 因为a +b =c +d ,所以ab >cd .于是(a -b )2=(a +b )2-4ab <(c +d )2-4cd =(c -d )2. 因此|a -b |<|c -d |.综上,a+b>c+d是|a-b|<|c-d|的充要条件.22.(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值X围.解析(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x<1时,f(x)=-2(x-1)2<0;当x≥1时,f(x)≥0.所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1).(2)因为f(a)=0,所以a≥1.当a≥1,x∈(-∞,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)<0. 所以,a的取值X围是[1,+∞).。
(压轴题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(有答案解析)
一、选择题1.某单位计划今明两年购买某物品,现有甲、乙两种不同的购买方案,甲方案:每年购买的数量相等;乙方案:每年购买的金额相等,假设今明两年该物品的价格分别为1p 、2p ()12p p ≠,则这两种方案中平均价格比较低的是( )A .甲B .乙C .甲、乙一样D .无法确定2.不等式2122x x a a ++-≥-恒成立,则a 的取值范围是( ) A .[]1,3-B .][),33,(-∞⋃+∞C .(),3-∞D .()3,+∞)3.下列命题中,正确的是( ) A .若a b >,c d >,则a c > B .若ac bc >,则a b > C .若22a bc c <,则a b < D .若a b >,cd >,则ac bd >4.如果sin 2a =,1212b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,0.51log 3c =,那么( ) A .a b c >>B .c b a >>C .a c b >>D .c a b >>5.若实数a >b ,则下列结论成立的是( ) A .a 2>b 2B .11a b<C .ln 2a >ln 2bD .ax 2>bx 26.若0a <b <,则下列不等式中成立的是( )A .|a|>b -B .1a b< C <D .11a b< 7.已知0a b >>,0c >,下列不等式中不.成立的是 A .a c b c +>+B .a c b c ->-C .ac bc >D .c ca b > 8.已知a ,b R ∈,且a b >,则下列不等式恒成立的是( ) A .22a b >B .lg()0a b ->C .11()()22ab<D .1a b> 9.设 1,01x y a >><<则下列关系正确的是 A .a a x y -->B .ax ay <C .x y a a <D .log log a a x y >10.已知,a b ∈R ,且2a b P +=,Q =P ,Q 的关系是( )A .P Q ≥B .P Q >C .P Q ≤D .P Q <11.对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是( ) A .若,,a b c d >>则a c b d +>+ B .22a b ac bc >>若,则 C .若,a b >则11a b< D .若,,a b c d >>则ac bd >12.对于任意实数,,,,a b c d 以下四个命题正确的是 A .,a b c d a c b d >>+>+若,则 B .22a b ac bc >>若,则 C .11,a b a b><若则D .,a b c d ac bd >>>若,则二、填空题13.已知函数f (x )=|x -2|,g (x )=-|x +3|+m .若函数f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方,则m 的取值范围为________.14.已知R a ∈,若关于x 的方程2210x x a a -+++=有实根,则a 的取值范围是__________.15.已知ln ln x y <,则21x y y x-++的最小值为___________________. 16.若1a 2-<<,21b -<<,则-a b 的取值范围是 . 17.已知a R ∈,函数16()f x x a a x=+-+在区间[2,5]上的最大值为10,则a 的取值范围是______.18.设函数2()||(,)f x x a x b a b R =+++∈,当[2,2]x ∈-时,记()f x 的最大值为(,)M a b ,则(,)M a b 的最小值为______.19.已知二次函数f (x )=ax 2+2x+c (x ∈R )的值域为[0,+∞),则11a c c a+++的最小值为_____.20.若函数()f x 满足:对任意一个三角形,只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内,就有函数值()()(),,f a f b f c 也是某个三角形的三边长.则称函数()f x 为保三角形函数,下面四个函数:①()()20f x x x =>;②())0f x x =>;③()sin 02f x x x π⎛⎫=<< ⎪⎝⎭;④()cos 02f x x x π⎛⎫=<<⎪⎝⎭为保三角形函数的序号为___________.三、解答题21.已知函数()211f x x x =-++. (1)解不等式()4f x <;(2)若不等式()2f x log t >对任意x ∈R 恒成立,求实数t 的取值范围. 22.已知函数()|1|2|3|f x x x =--+. (1)求不等式()1f x <的解集;(2)若存在实数x ,使得不等式23()0m m f x --<成立,求实数m 的取值范围.23.已知函数()2123f x x x =++-(Ⅰ)求不等式()f x ≤6的解集;(Ⅱ)若关于x 的不等式()f x a >恒成立,求实数a 的取值范围. 24.已知函数()21f x x m x =++-(0m >). (1) 当1m =时,解不等式()2f x ≥;(2) 当2,2x m m ⎡⎤∈⎣⎦时,不等式1()12f x x ≥+恒成立,求实数m 的取值范围. 25.已知()2121x x x f =++-.(1)若()()1f x f >,求实数x 的取值范围;(2)已知113m n +≤(其中0m >,0n >),求证:43m n +≥. 26.已知函数()|21|||2g x x x =-+++.(1)解不等式()0g x ≤;(2)若存在实数x ,使得()||g x x a ≥--,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】分别计算出两种方案的平均价格,然后利用作差法可得出结论. 【详解】对于甲方案,设每年购买的数量为x ,则两年的购买的总金额为12p x p x +, 平均价格为121222p x p x p p x ++=; 对于乙方案,设每年购买的总金额为y ,则总数量为12y yp p +, 平均价格为12121222p p yyy p p p p =++.因为()()()()221212121212121212420222p p p p p p p p p p p p p p p p +--+-==>+++,所以,12121222p p p p p p +>+.因此,乙方案的平均价格较低. 故选:B. 【点睛】方法点睛:比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一,作差法的主要步骤为:作差——变形——判断正负.在所给不等式是积、商、幂的形式时,可考虑比商2.A解析:A 【分析】利用绝对值三角不等式求得12x x ++-的最小值,由此可得出关于实数a 的不等式,进而可解得实数a 的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得()()12123x x x x ++-≥++-=,当12x -≤≤时等号成立,由于不等式2122x x a a ++-≥-恒成立,则223a a -≤,解得13a -≤≤. 因此,实数a 的取值范围是[]1,3-. 故选:A. 【点睛】本题考查利用绝对值不等式恒成立求参数,考查了绝对值三角不等式的应用,考查计算能力,属于中等题.3.C解析:C 【分析】利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;对于选项B :若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C :因为22a b c c<,整理化简可得20a bc -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.4.D【分析】由题意可知,3sin 2sin 4a π=>,121122b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭,0.51log 13c =>,从而判断,,a b c 的大小关系即可.【详解】3224ππ<<∴3sinsin 2sin 42ππ<<,即12a << 110.523=> 0.50.511log log 132∴>=,即0.51log 13c => 12112b ⎛⎫==< ⎪⎝⎭∴b a c <<故选:D 【点睛】本题考查比较大小,是比较综合的一道题,属于中档题.5.C解析:C 【解析】 【分析】特值法排除A,B,D,单调性判断C 【详解】 由题意,可知:对于A :当a 、b 都是负数时,很明显a 2<b 2,故选项A 不正确; 对于B :当a 为正数,b 为负数时,则有11a b>,故选项B 不正确; 对于C :∵a >b ,∴2a >2b >0,∴ln 2a >ln 2b ,故选项C 正确; 对于D :当x =0时,结果不成立,故选项D 不正确; 故选:C . 【点评】本题主要考查不等式的性质应用,特殊值技巧的应用,指数函数、对数函数值大小的比较.本题属中档题.6.A【解析】 【分析】对于A ,用不等式的性质可以论证,对于B ,C ,D ,列举反例,可以判断. 【详解】∵a <0,∴|a |=﹣a ,∵a <b <0,∴﹣a >﹣b >0,∴|a |>﹣b ,故结论A 成立; 取a =﹣2,b =﹣1,则 ∵21ab=>,∴B 不正确;1==,∴∴C 不正确;112a =-,11b =-,∴11a b >,∴D 不正确. 故选:A . 【点睛】本题考查不等式的性质,解题的关键是利用不等式的性质,对于不正确结论,列举反例.7.D解析:D 【分析】本道题结合不等式的基本性质,加上减去或者乘以大于0的数,不等式依然成立. 【详解】A,B 选项,不等式左右两边同时加上或减去相同的数,不等号不改变方向,故正确;C 选项,不等式左右两边同时乘以一个大于0的数,不等号不改变方向,故正确,而D 选项,关系应该为c ca b <,故不正确. 【点睛】本道题考查了不等式的基本性质,关键抓住不等号成立满足的条件,难度中等.8.C解析:C 【解析】 【分析】利用不等式的性质和函数的单调性,通过特值排除,对四个选项逐一进行分析即可得到答案 【详解】对于A ,令0,1a b ==-,200=,()211-=,满足a b >,但不满足22a b >,故排除 对于B ,令0,1a b ==-,()lg 10a b lg -==,故排除对于C ,1 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数,当a b >时,1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故C 恒成立对于D ,令0,1a b ==-,011a b =<-,故排除 故选C 【点睛】本题主要考查了简单的函数恒成立问题,可以根据不等式的性质和函数的单调性,通过特值排除,属于基础题。
人教A版 选修4-5 基本不等式(经典)
3 3 3
当且仅当a b c时, 等号成立.
若a, b, c R*,
a b c 3abc,
3 3 3
a b c 3 abc
3
Hale Waihona Puke abc abc 3
3
推广:n个正数的算术—几何平均不等式:
若a1 , a2 , a3 , , an R , 则 a1 a2 a3 an n a1a2 a3 an , n 当且仅当a1 a2 a3 an时, 等号成立.
2
6.a 2, b 3, 1 求a b 的最小值 (a 2)(b 3)
求下列式子的最大值
4 2
7. y x (2 x )(0 x 2);
8.若θ为锐角,
2θ的最大值. 求y=sinθcos
9.已知a, b, c R ,
1 1 1 a 求证: b c 9 a b c
2 3
6S 6
6S 答 : 当长方体的长宽高都等 于 时 6 S 6S 体积的最大值为 36
小结:这节课我们讨论了: 一、利用基本不等式求某些函数的最值; 二、利用基本不等式证明不等式 注: 1、利用基本不等式求某些函数的最 值时“一正二定三相等”这三个条件缺 一不可; 2、不能直接利用定理时,要善于转化变 形,通过变形达到化归的目的; 3、多次运用基本不等式时注意等号成立 的条件。
人教版A版高中数学选修4-5排序不等式
6.设a1,a2,…,an为实数,且a1≤a2≤a3≤…≤an,用排 序不等式证明:a1c1+a2c2+…+ancn≤a+a+…+a,其中c1, c2,…,cn为a1,a2,…,an的任一排列.
证明:∵a1≤a2≤…≤an, 由乱序和≤顺序和,即得 a1c1+a2c2+…+ancn≤a1·a1+a2·a2+…+an·an, ∴a1c1+a2c2+…+ancn≤a21+a22+…+a2n.
又因 1>212>312>…>n12, 故由排序不等式,得
a1+2a22+3a32+…+nan2≥b1+b222+b332+…+bnn2
≥1×1+2×212+3×312+…+n·n12
=1+12+13+…+1n.
点评:在证明不等式的过程中,往往将“n个互不 相同的正整数”进行排序,这种排序并不失一般性,是 证明中常常使用的一个技巧.本题较难之处是如何想到 构造新的排列b1,b2,…,bn,这需要考生从正确的方向 进行分析,根据分析的发展逐步想到,充分利用问题的 条件,挖掘条件背后更深的内容,为使用已有经典不等 式创造条件.
这个和数就是问题的数学模型,现要考虑t1,t2,…,t10 满足什么条件时这个和数最小.
解析:等待总时间(分钟)是10t1+9t2+…+2t9+t10.
根据排序不等式,当t1<t2<…<t9<t10时总时间取最小 值.这就是说,按水桶的大小由小到大依次接水,10人等候的 总时间最少,这个最少的总时间是10t1+9t2…+2t9+t10,其中t1 <t2<…<t9<t10.
二层练习
7.已知 a,b,c 为正数,a≥b≥c,求证:
(1)b1c≥a1c≥a1b;
(2)ba3c53+ab3c53+ac3b5 3≥1a+1b+1c.
证明:(1)∵a≥b>0,∴1a≤1b, 又∵c>0,∴1c>0,∴b1c≥c1a, 同理∵b≥c>0,∴1b≤1c, ∵a>0,∴1a>0,∴c1a≥a1b,∴b1c≥a1c≥a1b;
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一、均值不等式在证明中的应用1. (1)已知,,,a b R x y R +∈∈,求证:()222x y x ya b a b++≥+; (2)已知实数,x y 满足:2221x y +=,试利用(1)求2221x y+的最小值。
(1)证:()()2222222222x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+⇒ ⎪⎝⎭()222x y x y a b a b++≥+(当且仅当x y a b =时,取等号); (2)解:()222222222212121922x y x y x y++=+≥=+,当且仅当2213x y ==时,2221x y +的最小值是9。
考点:均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式二、绝对值不等式2. 已知函数254,0()22,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_______. 答案:(1,2)解析:分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像,由图知,0a <时,函数()y f x =与||y a x =无交点,0a =时,函数()y f x =与||y a x =有三个交点,故0.a >当0x >,2a ≥时,函数()y f x =与||y a x =有一个交点, 当0x >,02a <<时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点, 当0x <时,若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切, 则由0∆=得:1a =或9a =(舍),因此当0x <,1a >时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点, 当0x <,1a =时,函数()y f x =与||y a x =有三个交点, 当0x <,01a <<时,函数()y f x =与||y a x =有四个交点, 所以当且仅当12a <<时,函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.考点:单绝对值不等式3. 存在0x < ,使得不等式22x x t <-- 成立,则实数t 的取值范围为_____________答案:9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析:不等式22x x t <-- ,即22x t x -<- ,令11,y x t y =- 的图象是关于x t = 对称的一个V 字形图形,其象位于第一、二象限;222y x =- ,是一个开口向下,关于y 轴对称,最大值为2 的抛物线;要存在0x < ,使不等式22x t x -<- 成立, 则1y 的图象应该在第二象限和2y 的图象有交点,两种临界情况,①当0t ≤ 时,1y 的右半部分和2y 在第二象限相切:1y 的右半部分即1y x t =- ,联列方程22y x ty x =-=- ,只有一个解;即22x t x -=- ,即220x x t +--= ,1480t ∆=++= ,得:94t =- ; 此时1y 恒大于等于2y ,所以94t =-取不到; 所以904t -<≤ ;②当0t > 时,要使1y 和2y 在第二象限有交点, 即1y 的左半部分和2y 的交点的位于第二象限; 无需联列方程,只要1y 与y 轴的交点小于2 即可;1y t x =- 与y 轴的交点为(0,)t ,所以2t < ,又因为0t > ,所以02t << ;综上,实数t 的取值范围是:924t -<< ;故答案为:9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.考点:单绝对值不等式4. 已知函数()|21||2|f x x x a =-++,()3g x x =+. (1)当2a =-时,求不等式()()f x g x <的解集;(2)设1a >-,且当1[,)22a x ∈-时,()()f x g x ≤,求a 的取值范围。
(1)当2a =-时,令15,21212232,1236,1x x y x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-+---=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩, 作出函数图像可知,当(0,2)x ∈时,0y <, 故原不等式的解集为}{02x x <<; (2)依题意,原不等式化为13a x +≤+,故2x a ≥-对1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立,故22aa -≥-, 故43a ≤,故a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.考点:同系数绝对值相加型不等式5. 已知函数()25f x x x =--- (1)证明:3()3;f x -≤≤(2)求不等式2()815f x x x ≥-+的解集。
(1) 3,2()2527,253,5x f x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩当25x <<时,3273x -<-<,所以, 33fx -≤≤ (2)由(1)可知当2x ≤ 时,2()815f x x x ≥-+的解集为空集;当25x <<时,2()815f x x x ≥-+的解集为}{|55x x ≤≤当5x ≥ 时,2()815f x x x ≥-+的解集为}{|56x x ≤≤ 综上:不等式2()815f x x x ≥-+的解集:}{|56x x ≤≤ 考点:同系数绝对值相减型不等式 6. 设函数()212f x x x =+-- (1)求不等式()2f x >的解集; (2)若()211,2x R f x t t ∀∈≥-恒成立,求实数t 的取值范围. (1)由题意得13,21()31,223,2x x f x x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪+≥⎪⎪⎩当12x <- 时,不等式化为32x -->,解得55x x <-∴<-, 当122x -≤<时,不等式化为312x ->,解得112x x >∴<<, 当2x ≥时,不等式化为32x +>,解得12x x >-∴≥, 综上,不等式的解集为{}15x x x ><-或.(2)由(1)得()min 52f x =- ,若x R ∀∈,()2112f x t t ≥- 恒成立, 则只需()2min 51122f x t t =-≥-,解得152t ≤≤ , 综上,t 的取值范围为1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦考点:不同系数绝对值相加减型不等式 7. 设函数()3,0f x x a x a =-+>(1)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集; (2)如果不等式()0f x ≤的解集为{}1x x ≤-,求a 的值。
(1)当1a =时,()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。
由此可得 3x ≥或1x ≤-。
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。
(2) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤此不等式化为不等式组 30x ax a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为0a >,所以不等式组的解集为{}|2a x x ≤-由题设可得=-12a-,故2a = 考点:已知绝对值不等式解求参数 8. 已知函数()|||2|f x x a x =++-.(1)当3a =-时,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2],求a 的取值范围. 答案:(1)当3a =-时,52(2)()|3||2|1(23)25(3)x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩所以不等式()3f x≥可化为2523xx<⎧⎨-≥⎩,或2313x≤≤⎧⎨≥⎩,或3253xx>⎧⎨-≥⎩解得1x≤或4x≥因此不等式()3f x≥的解集为{|1x x≤或4}x≥(2)由已知()|4|f x x≤-即为|||2||4|x a x x++-≤-,也即|||4||2|x a x x+≤---若()|4|f x x≤-的解集包含[1,2],则[1,2]x∀∈,|||4||2|x a x x+≤---,也就是[1,2]x∀∈,||2x a+≤,所以[1,2]x∀∈,22x ax a+≥-⎧⎨+≤⎩,从而1222aa+≥-⎧⎨+≤⎩,解得30a-≤≤因此a的取值范围为[3,0]a∈-.考点:已知绝对值不等式解的范围求参数范围、同系数绝对值不等式相加减9. 已知函数()2121f x x x=++-,(1)若对任意的x有()f x a≥成立,求a的取值范围;(2)若不等式12()02a b a a b f x ++-+≥,对于任意的,a b 都成立,求x 的取值范围。
(1)根据题意,a 小于等于()f x 的最小值由14,211()2,2214,2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩可得min ()2f x = 所以 2a ≤(2)当0a b += 即a b =- 时,20()0b f x -⋅≥ 恒成立,x R ∴∈ 当0a b +≠ 时,由绝对值不等式得性质可得2(2)a b a a b a a b ++≥+-=+ ,当且仅当(2)0a b a +≤ 时取''''= ,21a b a a b++≥+ 恒成立,Q 12()02a b a a b f x ++-+≥ ,21()2a b a f x a b ++≥+ 1()12f x ∴≤ ,()2f x ≤ 1122x -≤≤ 考点:含绝对值不等式的恒成立问题、同系数绝对值相加型不等式10. 已知函数()13f x x x =-++ .(1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()0f x a -≤ 有解,求实数a 的取值范围.(1)()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩则当[]3,1x ∈- 时,()f x 为常数函数.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4 ,∴ 实数a 的取值范围为4a ≥ .方法二:()1313x x x x -++≥--+ ;134x x ∴-++≥ ,等号当且仅当[]3,1x ∈- 时成立.得函数()f x 的最小值为4 ,则实数a 的取值范围为4a ≥ .考点:含绝对值不等式的能成立问题11. 已知实数,x y 满足:11||,|2|,36x y x y +<-<求证:5||18y <. 证明:()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-Q , 由题设11||,|2|,36x y x y +<-<1153||=366y ∴<+.5||18y ∴<. 考点:绝对值的三角不等式12.已知函数()f x =(1)求()(4)f x f ≥的解集;(2)设函数()(3)g x k x =-,k R ∈,若()()f x g x >对任意的x R ∈都成立,求实数k 的取值范围.(1)()f x =|3||4|x x ==-++, ()(4)f x f ∴≥,即|3||4|x x -++9≥,4,349x x x ≤-⎧∴⎨---≥⎩① 或43,349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩② 或3,349,x x x ≥⎧⎨-++≥⎩③ 解得不等式①:5x ≤-;②:无解;③:4x ≥,所以()(4)f x f ≥的解集为{|5x x ≤-或4}x ≥.(2)()()f x g x >即()|3||4|f x x x =-++的图象恒在()(3)g x k x =-图象的上方,可以作出21,4,()|3||4|7,43,21,3x x f x x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩的图象,而()(3)g x k x =-图象为恒过定点(3,0)P ,且斜率k 变化的一条直线, 作出函数(),y f x =()y g x =图象, 其中2,PB k = (4,7)A -,1PA k ∴=-,由图可知,要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方,实数k的取值范围应该为12k-<≤.考点:同系数绝对值不等式相加型、数形结合在含参绝对值不等式中的应用三、证明不等式的基本方法13. 设不等式|21|1x-<的解集是M,,a b M∈.(1)试比较1ab+与a b+的大小;(2)设max表示数集A的最大数.22h=求证: 2.h≥答案:(1)1;ab a b+>+(2)见解析解析:(1)先解出{}|01.M x x=<< (1)()(1)(1)0ab a b a b+-+=-->.问题得证.(2)22 h=可知22h h h≥≥≥, 所以根据不等式的性质,同向正向不等式具有可乘性,从而可证出38h ≥. 故2h ≥.考点:比较法证明不等式14. 已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M .(1)求M ;(2)当,a b M ∈时,证明:24a b ab +<+.(1)解不等式:114x x ++-< ;124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩ ⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-,⇒22x -<<⇒()2,2M =-.(2)需证明:22224(2)816a ab b a b ab ++<++,只需证明222244160a b a b --+>,即需证明22(4)(4)0a b -->2222,(2,2)4,4(4)0,(4)0a b a b a b ∈-⇒<<⇒-<-<⇒22(4)(4)0a b -->,所以原不等式成立.考点:分析法证明不等式15. 设0,0.a b >> 且11.a b a b+=+证明:(1)2a b +≥ ;(2)22a a +< 与22b b +< 不可能同时成立. 由11=a b a b a b ab ++=+,0,0.a b >> 得1ab = (1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥= ,即2a b +≥;(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +< 及0a > 得01a << ,同理01b << ,从而1ab < ,这与1ab = 矛盾,故22a a +< 与22b b +< 不可能同时成立.考点:反证法证明不等式、均值不等式在证明中的应用16. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a n =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设1n n n a b a +=,记数列{}n b 的前n 和为n T ,证明:1032n n T -<-<. 【答案】(1)21n n a =-;(2)详见解析.【解析】试题分析:(1)考虑到n n n S S a -=++11,因此可以利用条件中的式子得到数列}{n a 的一个递推公式,从而即可求解;(2)由(1)可知112121n n n n n a b a ++-==-,211222n n b +-=--,从而可证02n n T -<,进一步放缩可得211122223232n n n n+=<--+⋅⋅,求和即可得证. 试题解析:(1)∵2nn S a n =-,当1=n 时,1111211S a a a ==-⇒= ,又∵1121n n S a n ++=--,与2n n S a n =-两边分别相减得11221n n n a a a ++=--,得()1121n n a a ++=+,又∵112a +=, ∴数列}1{+n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,∴12n n a +=,得21n n a =-; ∵112121n n n n n a b a ++-==-,∴211222n n b +-=--,34211102222222n n n T +⎛⎫-=-+++< ⎪---⎝⎭K ,得02n n T -<,又∵211122223232n n n n +=<--+⋅⋅,∴2111123222n n n T ⎛⎫-=-+++ ⎪⎝⎭K 1113323n =-+>-⋅,∴1032n n T -<-<.四、柯西不等式17. 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{|24}x x << ()1 求实数,a b 的值;()2. ()1 由x a b +<,得b a x b a --<<-则24b a b a --=⎧⎨-=⎩, 解得3, 1.a b =-=()2=≤4===即1t =时等号成立,故min 4=.考点:柯西不等式的代数形式18. 已知函数()|2|,,f x m x m R =--∈且(2)0f x +≥的解集为[]1,1-,(1)求m 的值;(2)若,,,a b c R ∈且111,23m a b c++=求证239.a b c ++≥ (1)(2)0,f x m x x m +=-≥∴≤Q 0,,(2)0m m x m f x ∴≥-≤≤∴+≥的解集是[]1,1- 故1m =.(2)由(1)知1111,,,,23a b c R a b c++=∈ 由柯西不等式得211123(23)()239.a b c a b c a b c ++=++++≥++= 考点:一般的柯西不等式。