研究生数值分析答案

合集下载

数值分析课后习题及答案

第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

数值分析课后习题答案

0 1
0 10 1 1 0 0 0 1
0 0 12 1 1 2 0 0 0

1 2
0 0 0 1 1 0
1 2

1 2

1 2
1
0 0 0 1 0

1 2

1 2

0
1 2

1 2
0
0
0
341 1 1
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
16 4 8
1
A 4 5 4 , b 2
8 4 22
3
解
16 A 4
4 5
84
44 11
2-3(1).对矩阵A进行LU分解,并求解方程组Ax=b,其中
2 1 1 A1 3 2
4 ,b6
1 2 2
5
解
2 A 1
1 3
1 2

2 11
22
1
5 2
1

3 21来自，所以 A12
1
2 1 1

5 3
2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6x1 4 10 7 0x2 7 5 1 5x3 6
解
3 2 6 4 10 7 0 7 10 7 0 7

r1r2
消元

10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623

数值分析试题及答案..(优选)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---()12x L x -=-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

数值分析课后习题答案

习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。

分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。

求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。

注意，不应先求相对误差再求绝对误差。

有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。

有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。

根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。

解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。

相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。

而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。

（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。

相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。

而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。

（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。

《数值分析》所有参考答案

解：
等价三角方程组
，，
11.设计算机具有4位字长。分别用Gauss消去法和列主元Gauss消去法解下列方程组，并比较所得的结果。
解：Gauss消去法
回代
列主元Gauss消去
15.用列主元三角分解法求解方程组。其中
A= ,
解：
等价三角方程组
回代得
，，，
16.已知，求，，。
解：
, ,
17.设。证明
，(II)
，
当时
当时
迭代格式(II)对任意均收敛
3) ，
构造迭代格式 (III)
，
当时
当时
迭代格式(III)对任意均收敛
4)
取格式(III)
，，，
4.用简单迭代格式求方程的所有实根，精确至有3位有效数。
解：
当时，，
1 2
当时
，
，
，，
1)
迭代格式，
,
当时，，
任取迭代格式收敛于
是中的一种向量范数。
解：
当时存在使得
，
,
所给为上的一个范数
18.设。证明
(1) ;
(2) ;
(3) 。
解：(1)
(2)
(3)
19.设
A=
求，，及，。
解： ,
Newton迭代格式
,
20.设为上任意两种矩阵(算子)范数，证明存在常数
，使得
对一切均成立。
解：由向量范数的等价性知道存在正常数使得
,
=0.187622
[23.015625 , 23.015625+0.187622]

数值分析课后部分习题答案

解
x * = 2.00021 = 0.200021 × 101 ，即 m = 1
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 2 ； y* = 0.032 = 0.32 × 101 ，即 m = 1
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 4 ； z * = 0.00052 = 0.52 × 10−3 ，即 m = −3
1 1 × 10m − n = × 10−3 ， 2 2
由有效数字与绝对误差的关系得即
m − n = −3 ，所以， n = 0 .
1 1 × 10m − n = × 10−3 ，Fra bibliotek2 2=
f [x1 , x2 ,⋯ , x n ]-f [ x0 , x1 ,⋯ , x n−1 ] g[ x1 , x2 ,⋯ , x n ] − g[ x0 , x1 ,⋯ , x n−1 ] + x n − x0 x n − x0
( x − 1)( x − 2)( x − 3) 1 =- ( x − 1)( x − 2)( x − 3) ， (0 − 1)(0 − 2)(0 − 3) 6
x ( x − 2)( x − 3) 1 = x ( x − 2)( x − 3) ， (1 − 0)(1 − 2)(1 − 3) 2 x( x − 1)( x − 3) 1 =- x( x − 1)( x − 3) ， (2 − 0)(2 − 1)(2 − 3) 2 x( x − 1)( x − 2) 1 = x ( x − 1)( x − 2) ， (3 − 0)(3 − 1)(3 − 2) 6

研究生《数值分析》课程作业(二) (含答案)

研究生《数值分析》课程作业（二）姓名：学号：专业： 1、据如下函数值表，建立二次的Lagrange 插值多项式及Newton 插值多项式。

20012222()()()()()()()(1)(2)(0)(2)(-0)(1)593143(01)(02)(10)(12(20)(21)22L x f x l x f x l x f x l x x x x x x x x x =++-----=⨯+⨯+⨯=-+------解：二次 l agr ange插值）Newton 插值多项式：200100120122()()[,](-)[,,](-)(-)555932(0)(0)(1)32()32222N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x =++=-⨯-+--=-+-=-+ ()y f x =2、已知单调连续函数在如下采样点处的函数值*()0[2,4],f x x =求方程在内根的近似值使误差尽可能小。

解：1()()y f x x f y -==解：对的反函数进行二次插值1110201122012010210122021(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)()()()()()()()()()(0 2.25)(05)(03)(05)(03)(0 2.25)2 3.54(3 2.25)(35)(2.253)(2.255)(53)(5 2.25)y y y y y y L f y f y f y y y y y y y y y y y y y ---------=++--------+-+-=⨯+⨯+⨯----+-+- 2.945≈()(1)01(1)1()[,]()(,),()[,],()()()()()(1)!,n n n n n n n n f x a b f x a b a x x x b L x x a b f R x f x L x x n a b x ξωξ+++≤<<<≤∈=-=+∈ 3、证明：设在上连续，在内存在，节点是满足拉格朗日插值条件的多项式，则对任何插值余项这里（）且依赖于。

数值分析课后习题答案

7、计算的近似值，取。

利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。

〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。

解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。

因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。

9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。

10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。

解：此算法是数值稳定的。

第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。

〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。

设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。

A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。

证A-1也是单位上〔下〕三角阵。

证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。

R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。

2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。

A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。

数值分析课后答案

1、解：将)(x V n 按最后一行展开，即知)(x V n 是n 次多项式。

由于ni i inn n n n i n x x x x x x x x x x V ...1...1 (1))(21110200---=，.1,...,1,0-=n i故知0)(=i n x V ，即110,...,,-n x x x 是)(x V n 的根。

又)(x V n 的最高次幂nx 的系数为)(...1...1..................1),...,,(101121112222102001101j n i j i n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x V -==∏-≤<≤-----------。

故知).)...()()(,...,,()(1101101------=n n n n x x x x x x x x x V x V6、解：（1）设.)(k x x f =当n k ,...,1,0=时，有.0)()1(=+x f n对)(x f 构造Lagrange 插值多项式，),()(0x l x x L j nj k j n ∑==其0)()!1()()()()(1)1(=+=-=++x w n f x L x F x R n n n n ξ，ξ介于j x 之间，.,...,1,0n j =故),()(x L x f n =即.,...,1,0,)(0n k xx l x kjnj k j ==∑=特别地，当0=k 时，10)(=∑=nj x j l。

（2）0)()1(1)()1()()(0000=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-===∑∑∑∑k j j i j i k j ki i j ii k j nj ki i j knj j x x x x i k x l x x i k x l x x ）利用（。

7、证明：以b a ,为节点进行线性插值，得)()()(1b f ab ax a f b a b x x P --+--=因0)()(==b f a f ，故0)(1=x P 。

研究生数值分析练习题答案

------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装订线左侧不要书写内容允许使用计算器一、填空题（本大题共10小题，每小题 2分，共 20分）1. 若2.71828x e == ，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。

2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。

3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。

4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。

5. 用牛顿迭代法解方程0x x e --=在0.5x =附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<= ，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式时是三次样条函数。

7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。

8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k x e k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。

10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数0.03600有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ D0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩ 2．以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫⎪--⎪ ⎪⎪⎝⎭D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-= 则在数值计算过程中（ C ）。

研究生数值分析练习题答案

允许使用计算器一、填空题（本大题共10小题，每小题 2分，共 20分） 1. 若 2.71828x e ==，取近似值* 2.7180x =，则*x 具有 4 位有效数字。

2.为了提高数值计算精度，应将8格式进行计算。

3.已知n=3时牛顿—柯特斯系数(3)(3)(3)012133,,888C C C ===，那么(3)3C =18 。

4.设3()1f x x x =+-，则函数的四阶差商[0,1,2,3,4]f = 0 。

5. 用牛顿迭代法解方程0xx e在0.5x 附近的近似实根的牛顿迭代格式为)1,0(e 1e )()(1=+--='-=--+n x x x f x f x x nnx x n n n n n n6. 对给定的剖分01:n a x x x b ∆=<<<=，当()s x 满足条件 ()s x 在[a,b]有2阶连续导数且在每个子区间上是个3次多项式时是三次样条函数。

7．用最小二乘法拟合三点()()()0,1,1,3,2,2A B C 的直线是1322y x =+。

8.向量序列()211cos ,sin ,3Tk k xe k k k k -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的极限向量为()0,1,3T9.求积公式 10311()()(1)434f x dx f f ≈+⎰的代数精度为 2 。

10.若绝对误差限为31102-⨯，那么近似数有 2 位有效数字二、单项选择题（本大题共5小题，每小题 2 分，共 10分）1. 已知实验数据555521111(,)(1,2,3,4,5),15,31,55,105.5,k k k k kk k k k k k x y k x y x x y =========∑∑∑∑其中则用最小二乘法求近似公式01y a a x =+的法方程为（ C ）A 0101153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩B 0101515551531105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩C 0101515311555105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩D 0101531153155105.5a a a a +=⎧⎨+=⎩2．以下矩阵是严格对角占优矩阵的是（ B ）A 3210141011410012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ B 2100131013610113-⎛⎫⎪--⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭C 5210113121410012-⎛⎫ ⎪--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D 4211141021411315⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭3.已知两种递推公式11(1)35(1,2,,20)31(2)(20,,1)55n n n n I nI n I I n n n--=-==-=则在数值计算过程中（ C ）。

数值分析第五版答案(全)

第一章绪论1 •设x 0,x 的相对误差为解：近似值x *的相对误差为而In x 的误差为e In x*进而有 (In x*)2 .设x 的相对误差为2%， xf'(x) 解：设f(x) x n ，则函数的条件数为 C p | | f (x)n 1 x nx n 1又Q f '(x) nx , C p || n n 又Q r ((x*) n) C p r (x*)且 e r (x*)为 2r ((x*)n ) 0.02 n3 •下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字： x ；1.1021, x ； 0.031 , x ； 385.6, x ； 56.430, x ； 7 1.0. 解：x * 1.1021是五位有效数字；x 20.031是二位有效数字； x 3 385.6是四位有效数字；x ； 56.430是五位有效数字；x ； 7 1.0.是二位有效数字。

4 .利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) x ： x 2 x ； ,(2) X ；X ；X 3,(3) X 2/X；. 其中x *,x 2,x 3,x 4均为第3题所给的数。

解:，求In x 的误差。

* e* x* x =e r x* x* 1 In x* In x e* x* 求x n 的相对误差。

1(X 1) 2 10* 1 ,亠 3(X 2) 2 10* 1 1(X 3) 2 10* 1 ,亠 3(X 4) 2 10* 1 1(X 5)102(2) (x ；x ；x ；)* * *X 1X 2 (X 3) 0.2154 3解：球体体积为V — R 3 3则何种函数的条件数为r (V*) C p 9r (R*) 3 r (R*)(1) (x ； * (X 1 ) 1 10 2 1.05 10 * *X 2 X 4)*(X 2) 4 12310 (X 4)3 1.1021 0.031 10 1 1 0.031 385.6 - 104 1.1021 385.610 0.031 13 1 310 3 56.430 10 32 2 10 556.430 56.430 * I * * *X 2I (X 4) X 4 (X 2) nX 45计算球体积要使相对误差限为 C p 啓X 2X 3 * * *X 1X 3 (x 2)1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?1 1又 Q r (V*) 1%1A 6 •设 Y o 28，按递推公式 Y n Y i 1.783 (n=1,2,…) 100 1 _____解：QY n Y n 1 ——冠100 1 ____ 783100故 x 1 28 ,783 28 27.982 55.982人具有5位有效数字x 2 28 、、783 ——1. 28 V783 28 27.9821 210 .设S -gt 2，假定g 是准确的，而对t 的测量有 0.1秒的误差，证明当t 增加时S 的故方程的根应为 x-(,2 28 J783故度量半径R 时允许的相对误差限为?????）=存他= 1 300 计算到Y 00。

硕士课程—数值分析题集(附答案).docx

2009-2010数值分析第一章绪论 (1)第二章函数插值 (2)第三章函数逼近 (5)第四章数值积分与数值微分 (10)第五章解线性方程组的直接解法 (12)第六章解线性方程组的迭代解法 (16)第七章非线性方程求根 (19)第九章常微分方程初值问题的数值解法 (21)第一章绪论1.1要使胸的相对误差不超过0.1%,应取几位有效数字？解：面的首位数字％=4。

设/有n位有效数字，由定理知相对误差限k(.r*)|<—xlO1^ =-xl0^1 r 1 2x4 84-xio1-" <0.1%, 8解得〃Z3.097,即需取四位有效数字.1.2 序列｛/｝满足关系式y,,=10y,_]-l(n = l,2,...),若y0=V2«1.41,计算到M。

，误差有多大？这个算法稳定吗？解：y0 = V2,y* =1.41,|y0 -y*| <^-xl0-2=5 ,于是|/i 一川=|1。

》0 —IT。

〉；+1| = 1。

|光 - 司 < 1。

5卜2-》；| = |10》1一1一10》；+1| = 10卜1一酣〈10逆, 一般地|儿一司<103 因此计算到Mo其误差限为1010^，可见这个计算过程是不稳定的。

1. 3计算球的体积，要使相对误差限为1%,问测量半径R时允许的相对误差限是多少?解:5,、九兀K ~-7tK R_R* R2+R*R + R*2R_R* 37?2R_R*。

，“ ,(v)= _2 ---------- 2 «■«.____________ = _____ 3 = 1% ' 4 f RR- R R 2 R-7lR 3》=一' ,即测量半径R 时允许的相对误差限是一、。

R 300300第二章函数插值2.1、利用如下函数值表构造差商表，并写出牛顿插值多项式。

进而得牛顿多项式为地⑴=f (.%) + /■氏次』吼⑴+ /[.r (p x 1,.r 2]<»2(.r) + /[.r (p x 1,.r 2,.r 3]<»3(.r)1 1 33A^3 (x) = 3 + — (x -1) + — (x -1)(尤)-2(x- l)(x )x2. 2、已知f(-2) = 2, f(-1) = 1, f (0) = 2, f (0.5) = 3试选用合适的插值节点利用Lagrange 二次插值多项式计算f (-o.5)的近似值，使之精度尽可能高。

数值分析课后习题答案

x2 6.6667x2 8.205
再解
1
15 56
x31.785,7得 x35.769
1 25069x4 0.47847x4 1.4872
1 x5 5.3718 x5 5.3718
2-10.证明下列不等式:
(1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;
证明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y
b.用Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=0.
102 x Байду номын сангаасy 1
100y 100
再用列主元Gauss消元法
102 x y 1 x y 2
回代得解: y=1, x=1.
x y
y 1
2
2-8.用追赶法求解方程组:
4 1
x1 100
1 4 1
x2 0
3-8.判定求解下列方程组的SOR方法的收敛性.
2 1 0 0 x1 1
1
0 0
2 1 0
1 2 1
0 12
x2 x3 x4
0 00
解直接可验证系数矩阵A是负定矩阵,所以-A是对称
1-3.为了使101/2的相对误差小于0.01%,试问应取几位有效数字?
解因为101/2=3.162…=0.3162…10,若具有n位有效数字,则其绝对误差限为0.5 101-n ,于是有
r=0.5101-n/3.162…<0.5101-n/3<0.01% 因此只需n=5.即取101/2=3.1623
1 2
0
12 1,
1 2
1 2
0
12

数值分析习题答案_东南大学研究生课程

f ( x) = 1 − x ，求 f ( x1 ) 的绝对误差限和相对误差限。
解： x1 = 0.937
e( x1 ) ≤
1 × 10 − 3 2
1 × 10 − 3 e( x1 ) 2 = 0.534 × 10 − 3 er ( x1 ) = ≤ 0.937 x1
f ( x ) = 1 − x , f ′( x) = e( f ) ≈ f ′( x )e( x ) = −
1 1 1 1 1 ⋅ e( x1 ) ≤ × × × 10 − 3 2 1 − x1 2 1 − 0.937 2
er ( f ( x1 )) ≈
= 0.00397 = 3.97 × 10 −3 5. 取
2.01 ≈ 1.42 ，
2.00 ≈ 1.41 试按 A = 2.01 − 2.00 和
A = 0.01 ( 2.01 + 2.00 ) 两种算法求 A 的值，并分别求出两种算法所
1 er ( R) ≤ × 10 − 2 3
7.有一圆柱，高为 25.00 cm，半径为 20.00 ± 0.05 cm。试求按所给数据计
算这个圆柱的体积和圆柱的侧面积所产生的相对误差限。解：1) V ( R ) = πR 2 h
er (V ) ≈ V ′( R ) ⋅ R R er ( R ) = 2πhR ⋅ 2 er ( R ) = 2er ( R ) V πR h
(3) x1 = 2.747 e( x1 ) ≤
x2 = 6.83
x1 x2 = 18.76201,
1 1 × 10 − 3 , e( x2 ) ≤ × 10 − 2 2 2
e( x1 x2 ) ≈ x2 e( x1 ) + x1e( x2 ) ≤ x2 e( x1 ) + x1 e( x2 )

研究生《数值分析》试卷(带答案)

一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为xy y x y x u 223),(+=，其中，y x ,由统计方法得到，分别为4,2==y x ,统计方法的误差限为0.01,试求出u 的误差限)(u ε和相对误差限)(u r ε.解：)(23)(6)(),()(),()(222y x y x x x y xy y y y x u x x y x u u εεεεε⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂≈6.016.044.001.0)412(01.0)448(=+=⨯++⨯-=0.010714566.03)()(22=≈+=xy y x u u r εε 二.(6分) 已知函数13)(3+=x x f 计算函数)(x f 的2阶均差]2,1,0[f ,和4阶均差]4,3,2,1,0[f .解：21142512)1()2(]2,1[,311401)0()1(]1,0[=-=--==-=--=f f f f f f9232102]1,0[]2,1[]2,1,0[=-=--=f f f0!4)(]4,3,2,1,0[)4(==ξf f三.(6分)试确定求积公式: )]1(')0('[121)]1()0([21)(10f f f f dx x f -++≈⎰的代数精度. 解：记⎰=10)(dx x f I )]1(')0('[121)]1()0([21f f f f I n -++=1)(=x f 时：1110==⎰dx I 1]00[121]2[21=-+=n Ix x f =)(时：2110==⎰xdx I 21]11[121]1[21=-+=n I2)(x x f =时：31102==⎰dx x I 31]20[121]1[21=-+=n I3)(x x f =时：41103==⎰dx x I 41]30[121]1[21=-+=n I4)(x x f =时：51104==⎰dx x I 61]40[121]1[21=-+=n I求积公式)]1(')0('[121)]1()0([21)(1f f f f dx x f -++≈⎰具有3次代数精度. 四.(12分) 已知函数122)(23-++=x x x x f 定义在区间[-1,1]上,在空间},,1{)(2x x Span x =Φ上求函数)(x f 的最佳平方逼近多项式.其中,权函数1)(=x ρ,154))(),((,1532))(),((,34))(),((210-==-=x x f x x f x x f ϕϕϕ. 解：0))(),(())(),((21))(),((1101101100=====⎰⎰--dx x x x x x dx x x ϕϕϕϕϕϕ32))(),(())(),(())(),((112110220====⎰-dx x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ0))(),(())(),((1131221===⎰-dx x x x x x ϕϕϕϕ52))(),((11422==⎰-dx x x x ϕϕ解方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1541532345203203203202210a a a 得⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛15161210a a a 则)(x f 的最佳平方逼近多项式为：1516)(2-+=x x x p 五.(16分) 设函数)(x f 满足表中条件:(1) 填写均差计算表((2) 分别求出满足条件22k k k k 的 2次 Lagrange 和 Newton 差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式)(4x H ,使其满足表中所有条件.并用多项式降幂形式表示.解：12)12)(02()1)(0()20)(10()2)(1()(22+-=----+----=x x x x x x x L12)1)(0(1)0)(1(1)(22+-=--+--+=x x x x x x N 令)2)(1()(12)(24--+++-=x x x b ax x x x H则)2()()2)(1)(()2)(1(22)('4-++--++--+-=x x b ax x x b ax x x ax x x H)1()(-++x x b ax由 ⎩⎨⎧-=+=+⇒⎩⎨⎧=-++-=-=-++-=1220)12(2)2(24)2('2)21)((22)1('44b a b a b a H b a H 解得 5,3=-=b a因此1820143)2)(1()53(12)(23424++-+-=--+-++-=x x x x x x x x x x x H 六.(16分)(1). 用Romberg 方法计算⎰31dx x ,将计算结果填入下表(*号处不填).(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式⎰∑-=≈11)()(k k k x f A dx x f 的Gauss 点k x 与系数k A ,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: ⎰31dx x .解：过点（1，-1）和点（3，1）作直线得 y t x +=所以积分⎰⎰-+=11312dt t dx x由三次Legendre 多项式 )35(21)(33x x x p -= 得得Gauss 点：,515,0,515210==-=x x x再由代数精度得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+==+-==++⎰⎰⎰---32535305155152111220112011210dt x A A dt x A A dt A A A即 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++9/10022020210A A A A A A A解得 ,95,98,95210===A A A所以三点Gauss-Legendre 求积公式为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≈⎰-5159509851595)(11f f f dx x f 因此 79746.2515295298515295211=+++-≈+=⎰-dx t I 七.(14分)(1) 证明方程02ln =--x x 在区间(1,∞)有一个单根.并大致估计单根的取值范围. (2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: 5110||-+<-k k x x ). 解：令 2ln )(--=x x x f),1(,011)('∞∈>-=x xx f > 即)(x f 在区间 ),1(∞ 单调增又 04)(,02ln )2(22>-=<-=e e f f 所以 02ln =--x x 在区间 ),1(∞有一单根 ),1(20e x ∈Newton 迭代公式为1ln 112ln 1-+=----=+k kk k kk k k k x x x x x x x x x 令 20=x 计算得八. (12分) 用追赶法求解方程组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛022112111131124321x x x x 的解.解：由计算公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-===+====-1,,2,,,2,,111111n i c n i b a c b i i ii i i i i i βααβγγβαα得 ,2,1,1,21,1,24321111======γγγββαα25211322212=⨯-=⇒=+ααβγb 52222222==⇒=αββαc c 53521133323=⨯-=⇒=+ααβγb 35333333==⇒=αββαc c 37352144434-=⨯-=⇒=+ααβγb因此 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛135152121137253125121211113112 即 LU A = 令 b Ly = 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-022137253125124321y y y y 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23753214321y y y y令 y Ux =解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛237532113515212114321x x x x 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21104321x x x x九. (12分) 设求解初值问题⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 的计算格式为:)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y ,假设11)(,)(--==n n n n y x y y x y ,试确定参数b a ,的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: )(3h o .（注：原题中)(2h o 错误）解：)],(),([111--+++=n n n n n n y x bf y x af h y y )](')('[)(1-++=n n n x by x ay h x y])('''21)('')('[)(')(2++-++=n n n n n x y h x hy x y hb x hay x y ++-++=)('''21)('')(')()(32n n n n x by h x by h x y b a h x y 对比 ++++=+)('''61)(''21)(')()(321n n n n n x y h x y h x hy x y x y 得 ⎩⎨⎧==+2/11b b a ，即 2/1==b a 时该计算格式具有二阶精度.。

数值分析习题与答案

第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知的相对误差满足，而，故即2.有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

1. 给定的数值表解：计（误差限，因误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知由式由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里8．使，显然，再令由9. 令称为第二类的表达式，并证明是［］上带权解：因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.解：本题给出拟合曲线，即，故法方程系数解得最小二乘拟合曲线为11.满足条件的插值多项式(2) ,).设为互异节点，＝( )，＝( ).(4) 设是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中，则＝( )，＝( )答：（1）（2）（3）（4）习题1.解 6.13）对）求出，按式（）求得2. 用由（6.8）式估计误差，因，故3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(1)(2)(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。

数值分析第5版课后答案

数值分析第5版课后答案该科目：数值分析适合年级：研究生及以上题型一：选择题1. 数值分析的主要研究对象是：A. 数值计算方法B. 数值计算机器C. 数值计算结果D. 数值计算过程2. 数值计算方法不可以解决的问题是：A. 导数的计算B. 积分的计算C. 微分方程的求解D. 等式的求解3. 下述哪个数值计算方法的计算机程序与解析方法的计算机程序相同：A. 数值逼近法B. 插值法C. 求解非线性方程的法D. 数值微积分4. 下述哪个数值计算方法不属于插值法：A. 牛顿插值法B. 拉格朗日插值法C. 分段插值法D. 辗转相消插值法5. 下述哪个数值计算方法不属于数值微积分：A. 数值积分B. 复化求积公式C. 龙贝格求积公式D. 杜汉求积公式答案：1-A、2-D、3-C、4-D、5-D题型二：填空题1. 理解复化求积公式，对于数值积分的准确度影响较大的主要有两个因素。

一是∆x的大小，这个因素可以通过增加______的数量来得到优化，即可以用增加区间的方法来降低误差；二是f(x)在所积区间上的变化率，如果f''(x)变化范围大，则误差大，误差变化规律主要是______型。

2. 当计算公式为∫f(x)dx时，为了防止舍入误差的产生，通常都采取尽可能多的方式使用对偶的数字，这种方法叫______。

3. 当使用拉格朗日插值公式求解区间[3,4]内f(x)=e^x , 求在x=3.5处的插值多项式P(x)，则带入拉格朗日的插值公式，得到答案为P(3.5)=______。

4. 如果插值用的插值点的横坐标相等，这样的插值称为______插值。

5. 当区间划分的精度x越小，则时域精度τ也会________。

答案：1-∆x、振荡、2-对偶数码（Baud complement）、3-e^3.5-0.0881(2)、4-重复、5-增加。

题型三：判断题1. 龙贝格求积公式在划分区间上使用的步长是解析式算出的（）。