2018年高考数学黄金100题系列第13题函数的图像文
高考数学 黄金100题系列 第08题 函数的解析式 文
第8题 函数的解析式I ．题源探究·黄金母题【例1】如图，OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f x ，试求()f x 的解析式，并画出函数()y f t =的图象． 【解析】当01t <≤时，21()tan 6022f t t t =︒=；当12t <≤时，11()2(2)(2)tan 6022f t t t =⨯--︒＝22)t -+当2t >时，1()22f t =⨯．综上知，22,01()2)22t f t t t t <≤⎪⎪=-<≤⎨⎪>精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第13页复习参考题B 组第2题【母题评析】本题以平面几何图形为载体，考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到对学生能力的考查． 【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化，由此也与函数有了紧密联系，也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想，同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标II 】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥． 求a （节选）．【解析】()f x 的定义域为()0，+∞．设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x ，()()g g x ≥1=0,0，故()g'1=0，而()()g'x a g'a x=--1,1=1，得a =1． 【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别．．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题的形式出现，中等偏上难度，往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点，首先明确哪个是自变量x ？哪个是因变量y ，它们对应于几何图形中哪些线段或角，然后若a =1，则()11-g'x =x．当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增．所以x =1是()g x 的极小值点，故()()g x g ≥1=0 综上，a =1．【例3】【2015高考新课标Ⅱ】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）DPCBOAx【答案】B【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时，即04x π≤≤时，tan PA PB x +=；当点P 在CD 边上运动时，即3,442xx πππ≤≤≠时，PA PB +=，当2x π=时，PA PB +=当点P 在AD 边上运动时，即34x ππ≤≤时，tan PA PB x +=，综上可知结合分类讨论的思想进行求解．tan ,042()322tan ,4x x x f x x x x x ππππππ≤≤≤<==⎨<≤<≤由此可知函数()f x 的图象是非直线型的，排除A ，C ．又()()42f f ππ>，排除D ，故选B ．III ．理论基础·解题原理 考点一 函数解析式概念（1）函数解析式定义：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．（2）解析式优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 考点二 基本初等函数的解析式（1）一次函数：,(0)y kx b k =+≠； （2）反比例函数：,(0)ky k x=≠； （3）二次函数：2,(0)y ax bx c a =++≠； （4）指数函数：,(0,1)xy a a a =>≠且； （5）对数函数：log ,(0,1)a y x a a =>≠且； （7）幂函数：,()y x αα=∈R ；（8）三角函数：sin ,cos ,tan ,()2y x y x y x x k π===≠π+． Ⅳ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常在选择题、填空题中均可能出现考查，在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用．【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法（方程法）、图象法、性质法等，这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析，如已知函数模型时，常用待定系数法．【易错指导】（1）因为解析具有定义域、对应法则、值域，而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域；（2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时，确定函数的定义域是一个难点，同时也是一个易错点，因为这类题主要涉及到复合函数问题；（3）利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂，因为这类题实质上是涉及到分段函数问题．（4）求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时，除函数解析式本身要求有意义外，自变量的取值还必须符合实际意义． Ⅴ．举一反三·触类旁通 考向1 利用待定系数法求解析式【例1】已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=，则求()f x =___________．【例2】【改编题】已知函数2n (1)l a x x x bx f =+++在点(1,)(1)f 处的切线方程为4120x y --=，则函数()f x =___________．【解析】因为b x x ax f ++=2)('，则由题意8)1(,4)1('-==f f ，则⎩⎨⎧=++=-=+=42)1('82)1(b a f b f ，解得⎩⎨⎧-==1012b a ，所以110ln 12)(2+-+=x x x x f ． 【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等)，求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较，列出等式，确定待定系数． 【跟踪练习】1．【2017河南安阳一模】已知()'f x 是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数，若方程()'0f x =无解，且()0,x ∀∈+∞， ()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，设()0.52a f =， ()log 3b f π=， ()4log 3c f =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．b c a >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．a b c >> 【答案】D点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用，以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点．有三个关键点： （1）由方程()0f x '=无解，可知函数()f x 在()0,+∞上为单调函数； （2）由()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦（常数），可知()2016log f x x -是定值； （3）对于对数函数log (1)a y x x =>，在真数相同底数不同的函数值中，当01a <<时，底数a 越小，函数值越大；当1a >时，底数a 越大，函数值越小．2．【2018山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知()23g x x =--， ()f x 是二次函数，且()()f x g x +为奇函数，当[]1,2x ∈-时， ()f x 最小值为1，求()f x 的解析式．【答案】()233f x x x =++或()23f x x =-+【解析】试题分析：令()2f x ax bx c =++，而()()()213f x g x a x bx c +=-++-为奇函数，故10,30a c -=-=，解得1,3a b ==， ()23f x x bx =++．其对称轴为2bx =-，根据对称轴和区间[)1,2-的位置关系，分成3类讨论当x 为何值时取得最小值，由此求得函数的解析式．【试题解析】设()()20f x ax bx c a =++≠ ()()()F x f x g x =+则()()222313F x ax bx c x a x bx c =++--=-++-为奇函数∴ ()()F x F x -=-对任意x 恒成立，即()()()221313a x bx c a x bx c --+-=-----∴ ()2130a x c -+-=对任意x 恒成立 1,3a c ∴== ()23f x x bx ∴=++()f x ∴的图象的对称轴为直线2bx =-当[)1,2x ∈-时， ()f x 的最小值为1∴ ()1{ 211b f -<--=或122{ 12b b f -≤-≤⎛⎫-= ⎪⎝⎭或()2{ 221bf ->= ∴ 2{ 131b b >-+=或42{b b b -≤≤-==-或4{4231b b <-++= 即3b =或b =-3b =-（舍）综上可知： ()233f x x x =++或()23f x x =-+点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的图象与性质，考查了函数的奇偶性与单调性．由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得,a c 的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得b 的值． 考向2 利用换元法（或配凑法）求解析式【例3】【改编题】（1）若2211()f x x xx -=+，则()f x =（ ） A ．2()2f x x =+ B ．2()2f x x =- C ．2()(1)f x x =+ D ．2()(1)f x x =- （2）已知x xf lg )12(=+，则()f x =___________．【点评】已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，可考虑令()g x t =，反解出()x h t =，将其代入[()]f g x 的表达式中，再用x 替换t 便可得到函数()f x 的表达式；（2）已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 的表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化． 【跟踪练习】1．【四川省双流中学2017-2018学年高一上学期期中考试】已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()2f 的值为（ ） A ．13 B ．23 C ．3 D ．32【答案】B 【解析】令12x =，则12x =，所以()1221312f ==+，故选B ．2．【山西省实验中学2017-2018学年高一上学期10月月考】若)11f x =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()()222,1f x x x x =-+≥ B ．()()22,1f x x x x =-≥C ．()()222,0f x x x x =-+≥ D ．()()22,0f x x x x =-≥【答案】A考向3 利用函数性质求解析式【例4】已知)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)1(log 2)()(2x x g x f -=+，则函数()f x =___________，()g x =___________．【解析】∵)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，∴)()(),()(x g x g x f x f =--=-．又)1(l o g 2)()(2x x g x f -=+ ①，故)1(log 2)()(2x x g x f +=-+-，即)1(log 2)()(2x x g x f +=+-②．由①②得：)1,1(,11log )1(log )1(log )(222-∈+-=+--=x xxx x x f ，22()log (1)log (1)g x x x =++-＝22log (1)x =-，(1,1)x ∈-．【例5】 函数)(x f y =是R 上的奇函数，满足)3()3(x f x f -=+，当()3,0∈x 时，xx f 2)(=，则当()3,6--∈x 时，=)(x f ___________．【解析】因为)3()3(x f x f -=+，所以函数)(x f 的图象关于直线3=x 对称，即)6()(x f x f -=成立．又)(x f 为奇函数，所以()()(6)f x f x f x =--=-+．设()3,6--∈x ，则()60,3x +∈，则6(6)2x f x ++=，所以6()(6)2x f x f x +=-+=-，即当()3,6--∈x 时，62)(+-=x x f ．【点评】已知函数的某些性质(奇偶性、周期性、对称性等)，可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程：（1）自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将()f x -转换为()f x 、()f x m +（m 为常数）转化为()f x 等． 【跟踪练习】1．【2018江西六校第五次联考】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x =()()1,{ ,0log x x x g x x +≥<，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．1D ．2 【答案】A2．【2017河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：，，，即是最小正周期为的函数，令，则，当时，，，，是定义在上的偶函数，，令，则，，，，当时，函数的解析式为:．所以B 选项是正确的．考点：利用函数的性质求解析式．【思路点睛】根据将换为，再将换为，得到函数的最小正周期为，由当时，，求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式，再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式．考向4 利用方程法（消元法）求函数解析式【例6】【改编2016届湖北龙泉中学等校9月联考】定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 满足:211()2()ln xf x f x x+-=，则()f x =___________．【例7】【改编题】定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足：2()2()9x x g x g x e e+-=+-，则()g x =___________．【解析】（1）∵2()2()9x x g x g x e e +-=+- ①，2()2()9x xg x g x e e ---+=+-，即1()2()29xxg x g x e e -+=+- ②．由①②联立解得()3xg x e =-． 【点评】消元法适用的范围是：题设条件有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则充分利用变量代换，然后联立方程消去其余部分可求得函数()f x 的表达式． 【跟踪练习】1．【2018江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，则()f x 等于A ．1x +B ．1x -C ．21x +D ．33x + 【答案】A【解析】∵()f x 对任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，∴用x -代替式中的x 可得()()231f x f x x --=--，联立可解得()1f x x =+，故选A ．点睛：本题主要考查了函数解析式的求法，属基础题；常见的函数解析式方法：①待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；②换元法：已知复合函数()()f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；③配凑法：由已知条件()()()f g x F x =，可将()F x 改写成关于()g x 的表达式；④消去法：已知()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -之间的关系，通过构造方程组得解． 2．【2017河南新乡三模】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为__________．【答案】1315y x =-（或13150x y --=）考向5 根据图象确定解析式【例8】【2018山东枣庄模拟】函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（ ）A ．()sin f x x x =+B ．cos ()x f x x =C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=-- 【解析】根据已知条件可知，函数()f x 为奇函数，所以应排除D ；函数的图象过原点，所以应排除B ；图象过(,0)2π，所以排除A ；故选C ．【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式，主要有两种题型：（1）根据函数图象求函数的解析式，解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点，求出具体的相关的量的值；（2）根据函数图象，同时给出了多个函数解析式，从中进行选择，解答时通常结合函数的性质，结合排除法进行解决．【例9】【2017安徽江南十校高三3月联考】若函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ )A ．B ．C ．D ．【答案】B点睛：本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征，独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解． 【跟踪练习】【2017四川成都七中6月1日高考热身考试】如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数，给出下列结论：①13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=；③32fπ=；④f =⎝⎭其中正确的结论是：__________．（填上你认为所有正确的结论序号）【答案】②③④考向6 建立解析式识别图象【例10】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为()A B C D【解析】如图所示，作MD OP ⊥，垂足为D ，当02x π≤≤时，在R t O P M∆中，c o s c o s O M O P x x ==．在R t O M D ∆中，1sin cos sin sin 22MD OM x x x x ===；当2x ππ<≤时，在Rt OPM ∆中，cos()cos OM OP x x π=-=-，在R t O P M ∆中，sin()cos sin MD OM x x x π=-=-＝1sin 22x -．综上可知1sin 2,022()1sin 2,22x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C ．【例11】【2017福建厦门双十中学下期热身】如图，半径为2的圆O 与直线MN 切于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中与圆O 交于Q ，设(02)POQ x x π∠=≤≤，旋转扫过的弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致为（ ）【点评】此类试题比较灵活，是近几年考查的热点之一．解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式，然后作出选择，有时也要根据函数的性质（奇偶性、单调性、定义域与值域），利用动态过程中涉及的界点情况作出判断． 【跟踪练习】1．【2017广西5月份考前模拟】函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A点睛：本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用．解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质，综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误，求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数，进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案．2．【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若OP d =，则函数()d fθ=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D，所以对应图象是D点睛：(1)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“”f ，即将函数值的大小转化自变量大小关系． 考向7 建立解析式解决实际问题【例12】【2018湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示，桶1中的水按一定规律流入桶2中，已知开始时桶1中有a 升水，桶2是空的，t 分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线1nty ae -=（其中n 是常数，e 是自然对数的底数）．假设在经过5分钟时，桶1和桶2中的水恰好相等．求：（1）桶2中的水2y （升）与时间t （分钟）的函数关系式； （2）再过多少分钟，桶1中的水是8a升?【点评】在函数应用题中，建立函数的解析式常常设置在解答题的第（1）题的位置上，只有进行正确的建模，才能解答第（1）题后面的其它小题．而建立函数解析时，一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域．【例13】【2018福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0．1万元/辆．根据市场调查，月销售辆不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x 辆（30x ≤，且x 为正整数），实际进价为y 万元/辆，求y 与x 的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价-进价） 【答案】（1）30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数（2）该月需售出10辆汽车．试题解析：解：（1）由题意， 当05x <≤时， 30y =．当530x <≤时， ()300.150.130.5y x x =--=-+． ∴30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数；当05x <≤时，()323051025-⨯=<，不符合题意，当530x <≤时，()320.130.525x x ⎡⎤--+=⎣⎦，解得： 125x =-（舍去），210x =． 答：该月需售出10辆汽车．【例14】【2018江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时． 设f (x )＝t 1＋t 2．（Ⅰ）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 【答案】（1）()90001000100f x x x=+- 定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}（2）当x ＝75时，f (x )取得最小值．试题解析：解：（1）因为19000t x= ()2300010003100100t x x ==--所以()1290001000100f x t t x x=+=+- 定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}． （2）f (x )＝90001000100x x +-＝()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦， 因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以()9100x x-＞0，100xx-＞0，所以()9100100x xxx -+-6，当且仅当()9100x x-＝100xx-，即当x ＝75时取等号．答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 【跟踪练习】1．【2017湖南株洲一模】某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系()(),0{,C x Af x C B x A x A<≤=+->已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m 的煤气，则其煤气费为____元． 【答案】11．5；点睛：解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件建立方程组从而求出函数解析式中的参数，确定函数的解析式，求出了问题320m 燃气的燃气费中而获解． 2．【2018江苏高邮一中高一上学期第一次学情调研】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图(1)；投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(2)．（注：收益与投资额单位：万元） (1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？【答案】（1）()()108f x x x =≥； ())0g x x =≥ （2），m ax 3y =万元【解析】试题分析：（1）根据图象写出函数()()1,f x k x g x k ==，分别将点()10.125,1,0.5（，） 代入对应函数即可求得12,k k 的值，得到函数关系式（2）根据已知条件写出总投资收益的方程()()208x y f x g x =+-=，将其转化为方程()21238y t =--+，通过x 的取值范围求出t 的取值范围，进而可求出y 的最大值．(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元，依题意得： ()()20y f x g x =+- 8x =()020x ≤≤，令t =(0t ≤≤，则22082t t y -=+ ()21238t =--+， 所以当2t =，即16x =万元时，收益最大， max 3y =万元． 【点睛】本题（1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式．要使用这种方法需要知道函数的类型，根据类型写出()f x 的解析式，再结合其它已知条件确定函数的系数即可．。
2021届新高考数学必做黄金100题13函数的图象-(原卷版)
第13题 函数的图象【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A B【2020年高考浙江】函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是考向2 图像与函数零点、方程的根以及函数图象的交点相结合【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ，若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是 （ ）A ．B ．C ．D ．A ．()2ln x f x x =B ．()2ln x f x x= C ．()211f x x =- D ．()11f x x x=-【2017江西南昌二中高二下第一次阶段性测试】如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在此正方体的表面上运动，且PA=x(0<x<√3)，记点P的轨迹的长度为f(x)，则函数f(x)的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．1.（2020·湖北省高三）函数(22)sin x x y x -=-在[,]-ππ的图象大致为A ．B ．C ．D ．2.（2020湖南省邵阳市高二期末）已知函数()[)[]21,1,0cos ,0,12x x f x x x π⎧+∈-⎪=⎨∈⎪⎩，现给出下列四个函数及其对应的图象①(1)f x -图像 ； ②(1)f x -- ； ③()f x ； ④(||)f x .其中对应的图象正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③④D ．①③3.（2020江西省信丰月考）已知f （x ）214x =+cos x ，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．4.（2020宁夏吴忠市）记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-，设函数，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ）A ．(]3,4B ．[)3,4C ．[)2,3D ．(]2,36.（重庆市2021届高三考试）习近平总书记亲自谋划和推动全民健身事业，把全民健身作为全面建成小康社会的重要组成部分，人民的获得感、幸福感、安全感都离不开健康.为响应习总书记的号召，某村准备将一块边长为2km的正三角形空地（记为ABC）规划为公园，并用一条垂直于BC边的小路（宽度不计）把空地分为两部分，一部分以绿化为主，一部分以休闲健身为主.如图，//BC x轴，小路记为直线()02x m m=<<，小路右侧为健身休闲区，其面积记为()f m，则函数()S f m=的图像大致为（）A．B．C．D．8.（福建省厦门2021届高三）如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（ ）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x =D ．()22x y x x e -= 10.【2017浙江杭州高级中学高三2月模拟】如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A．B．C．D．。
2018年高考数学 黄金100题系列 第07题 分段函数 文
第7题 分段函数I ．题源探究·黄金母题【例1】已知函数()()()4,0,4,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，求()1f ，()3f -，()1f a +的值．【解析】()()()4,0,4,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，()()11145f ∴=⨯+=，(3)3(34)21f -=-⨯--=， ()(1)(5),1,1(1)(3), 1.a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第45页B 组第4题【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的．【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式．如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017江苏14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】解法一：由于()[)[)0,1,lg 0,1,f x x ∈∴∈则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n x m n m m=∈≥N ，且,m n 互质．因此10n mq p =，则10()nm q p= ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉．因此lg x 不可能与每个【命题意图】本类题考查分段函数的求值【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往与分段函数的求值、分段函数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图等）知识的交汇或综合．【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象与性质，以及图象与性质的应用．其难点主要体现在：（1）函数的求值问题必须考虑自变量的所属范围，无法判断时须利用分类讨论思想解决；（2）分段函数的图象画法，因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点，当函数是非基本函数图象时，常常要联系其它知识来作周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．解法二：D 是有理数集，∴自变量x D ∈，所对应的函数值都为有理数，且x D ∈在函数y x =上对应的空心点函数值也为有理数，令lg y x =等于这些函数值与空心点函数值所求得x 在区间[)0,1内皆为无理数，故 lg y x =不能与函数上123,,,234x =所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案为8 个．【例3】【2017天津文8】已知函数2,1,()2, 1.x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．[]2,2- B．2⎡⎤-⎣⎦ C．2,⎡-⎣ D．⎡-⎣【答案】A ． 【解析】试题分析：首先画出函数()f x 的图象，当0a >时，（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题，常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数学方法来解决．3()2xg x a =+的零点是20x a =-<，零点左边直线的斜率112->-，不会和函数()f x 有交点，满足不等式恒成立，零点右边()2x g x a =+，函数的斜率12k =，根据图象分析，当0x =时，2a ≤，即02a <≤成立，同理，若0a <，函数()2xg x a =+的零点是20x a =->，零点右边()()2x g x a f x =+<恒成立，零点左边()2xg x a =--，根据图象分析当0x =时，2,2a a -≤∴≥-，即20a -≤<，当0a =时，()()f x g x ≥恒成立，所以22a -≤≤，故选A ．III ．理论基础·解题原理 考点一 分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量x 不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数x ，此函数实质上也是分段函数．（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心． 考点三 分段函数的性质1．分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性．2．分段函数的奇偶性：判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数x ，判断()f x -与()f x 的关系． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系．【技能方法】已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）．若能利用数形结合可加快求解的速度．【易错指导】（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解；（2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在0x =有定义时，忽视对(0)f 的验证；（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误； V ．举一反三·触类旁通 考向1 求解分段函数的函数值【例1】【2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考】已知函数()122,0,{ 1log ,0,x x f x x x +≤=-> 则()()3f f =（ ） A ．43 B ．23 C ．43- D ．3- 【答案】A5【例2】【2017高考山东卷文数】设()()121,1x f x x x <<=-≥，若()()1f a f a =+，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．【例3】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】设()=f x 2,0,{0,0, 2,0,x x x >=-< ()=g x 1,,{ 1,,U x Q x C Q ∈-∈则()πf g ⎡⎤⎣⎦的值为 ( )A ．2B ．0C ．1-D ．2- 【答案】D【解析】因为π 为无理数，所以()π1g =-，又因为10-< ，所以()()π12f g f ⎡⎤=-=-⎣⎦， 故选D ．【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、复合函数求函数值，属于中档题．对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰．本题解答分两个层次：首先求出()πg 的值，进而得到()πf g ⎡⎤⎣⎦的值． 【例4】【2018山西45校第一次联考】函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()2f x f x +=，若在区间[]1,1-上()2,10,(={2,01,x ax x f x a x e x +-≤≤-≤≤）则()()20172018f f +=（ ）A ．0B ．1C ．2D ．2018 【答案】C【解析】由()()2f x f x +=知，()f x 是周期为2的函数，故()()11f f -=，代入解析式，得()22a a e-+=-，解得2a =，从而()()22,10,22,01xx x f x x e x +-≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，故()()()()20172018102f f f f +=+=．故选C ． 【跟踪练习】1．【2018名校大联考第二次联考】设函数()()3,1,{ log 24,1,x a a x f x x x ≤=+>且()16f =，则()2f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6 【答案】C【解析】函数()()3,1,{ log 24,1,x a a x f x x x ≤=+>所以()136f a ==，解得2a =．所以()()222log 224log 83f =⨯+==．故选C ．2．设函数()31,1,2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C3．【2018安徽滁州9月联合质量检测】设()f x 是定义域为R ，最小正周期为3π的函数，且在区间(],2ππ-上的表达式为()()()02{ 0sinx x f x cosxx ππ≤≤=-<<，则30860136f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） AB．．1 D ．-1 【答案】D 【解析】3086012727cos 1363636f f f f sin ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选D ．考向2 求分段函数的最值（或值域）7【例5】【2018湖南永州一模】定义{}max ,,a b c 为,,a b c 中的最大值，设{}max 2,23,6x M x x =--，则M 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】C【例6】【2017江苏南京模拟】设常数1k >，函数()(),01 1,1x x y f x kf x kx x ≤<==--≥，则()f x 在区间()0,2上的取值范围为__________．【答案】(]2,1k - 【解析】当01x ≤<时，令cos ,0,2x πθθ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则,444πππθ⎛⎫⎡⎫-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，()[)sin cos 1,14f x x πθθθ⎛⎫==-=-∈- ⎪⎝⎭；当1x ≥且02x <<时，则011x ≤-<，令1cos ,0,2x πθθ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦，则1c o s ,0,2x πθθ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦， ,444πππθ⎛⎫⎡⎫-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，函数()()[)s i n 2,04fx k h k k k πθ⎛⎫==--∈-⎪⎝⎭所以当()0,2x ∈时，()f x 的取值范围是[)[)[)2,01,12,1k k -⋃-=-，应填答案(]2,1k -．点睛：解答本题的关键是运用三角换元法探求分段函数()(),01 1,1x x x kf x kx x ≤<=--≥，则()f x 在区间()0,2上的值域．求解时充分运用分类整合思想，对定义域()0,2x ∈分01x ≤<和12x ≤<两种情形进行分类整合，特别在最后的函数值域的整合过程中，充分利用了1k >这一题设条件，从而使得问题获解． 【例7】【2017湖南师范大学附属中学模拟二】已知函数f(x)＝x|x 2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】a ≥1函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑： ①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m 2)]，有m(12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m<2，所以a>4；②当2≤m ≤4时，函数的值域为[0，16]，有am 2＝16，所以a ＝216m，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4； ③当m>4时，函数的值域为[0，m(m 2－12)]，有m(m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m>4，所以a>1．综上所述，实数a 的取值范围是a≥1． 【跟踪练习】1．已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是___________． 【答案】0，3-22【解析】0)1())3((==-f f f ；当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-．9【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上，分段函数常与数形结合、分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注．2．【2015高考福建理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是___________．] 【答案】(1,2]【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用．考向3 分段函数的奇偶性【例8】【2016届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数sin(),0,()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ） A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ==【答案】C【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦公式．若0x >，则0x -<，因为sin()sin cos cos sin x a x a x a +=+，cos()cos cos sin sin x b x b x b -+=+，且()f x 为偶函数，所以由题意知sin cos cos sin x a x a +＝cos cos sin sin x b x b +恒成立，所以必有sin cos cos sin a ba b=⎧⎨=⎩，观察各选项知，只有C 适合，故选C ．【点评】分段函数的奇偶性主要有两种题型：（1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对称、确定()f x 与()f x -的关系来判断；（2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用()()f x f x =-或()()f x f x =--建立方程来解决．【跟踪练习】设奇函数cos 0()cos sin 0a x x c x f x xb x cx ⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，则a c +的值为___________． 【答案】0【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性．因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，即c o s 0a c-+＝cos0sin 0b c +-，所以21a c +=；由()()022f f ππ+-=，得0c b c --=，所以b =由()()0f f π+-π=，得10a c c -+--=，所以1a =-，所以1c =，所以0a c +=．【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意如果函数()f x 在0x =时有定义，则必有(0)0f =，但如果在0x =时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊值求解．考向4 分段函数的单调性【例9】【2018安徽滁州9月联合质量检测】若函数()()22f x x x a x a =+--|在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()3,00,9-⋃ B ．()()9,00,3-⋃ C ．()9,3- D ．()3,9- 【答案】B点睛：含绝对值的函数问题，一般的思路是去绝对值，即将函数转成分段函数，含参数时，只需讨论参数范围即可．【例10】【2017北京朝阳区二模】设函数则___；若在其定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围是____． 【答案】 2 【解析】，由于在其定义域内为单调递增函数，所以．填 (1)．2 (2)．．【例11】【2017山东济宁3月模拟】若函数()()12,2,{ log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭11【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001{01a a a -<<<⇒<<且()log 2122a a a a ≤-⨯-⇒≥，综合可得实数a的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭． 【跟踪练习】1．【2017浙江宁波效实中学高三上期中考试理科】函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤-【答案】D【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是21421a a -≥+-，将分段函数在R 上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升．2．【2018江苏南京上学期期初学情调研】已知函数()22,0{,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[0，2]∪[3，8] 【解析】()()0f x a f x a xx --=-表示()y f x =上的点()(),x f x 与()0,a 在线的斜率，做出()y f x =的图象，由图可知， []0,2a ∈时，有一个点整数点()()1,1f 满足()00f x a x ->-，符合题意， ()2,3a ∈时，有两个整数点()()()()1,1,1,1f f --满足()00f x a x ->-，不合题意， []3,8a ∈时，只有一个点()()1,1f --满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 考向5 分段函数的对称性【例12】【2018齐鲁名校教科研协作体第一次调研】已知()2,0{2,0lnx x f x x x x ->=+≤，若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________． 【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【跟踪练习】13若函数,0()ln ,0ax a x f x x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)eB ．1(0,)(1,)e eC ．(1,)+∞D ．(0,1)(1,)+∞【答案】D【名师点睛】求解分段函数的图象关于原点存在对称点问题的策略：首先将y 轴一侧的函数图象作关于原点的对称图象，然后考虑此图象与原函数在此侧的函数图象之间的交点问题，通常根据它们的位置关系可建立关于参数的不等式求解． 考向6 分段函数的图象交点【例13】【2016届西安中学高三第四次仿真理】已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()(2)0f x f x +-=，（2）(2)()f x f x -=-；（3）在[1,1]-上表达式为[1,0]()cos(),(0,1]2x f x x x π∈-=⎨∈⎪⎩，则函数()f x 与函数2,0()1,0x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[3,3]-上的交点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】本题考查函数的对称性、周期性、函数图象的交点．由()(2)0f x f x +-=，知函数()f x 的图象关于点(1,0)对称．由(2)()f x f x -=-，知函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，由此作出函数()f x 的图象，同时在同一坐标系中作出函数()y g x =的图象，如图所示，由图可知两个函数在区间[3,3]-上的交点个数为6，故选B ．【知识拓展】若函数()f x 满足(2)()2f a x f x b -+=或()()2f a x f a x b -++=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；若函数()f x 满足(2)()f a x f x -=或()()f a x f a x -=+，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称． 【跟踪练习】【2018海南八校联考】设函数()32231,0{ 21,0x x x x f x axe x -->=-≤，其中0a >．(1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； (2)若()f x a ≥-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 13m -≤≤或2m =-；(2) ,2e a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭．(2)当0x ≤时， ()()'21xf x a x e =+， 0a >，令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得10x -<≤， ()f x 递增；令()'0f x <得1x <-， ()f x 递减，∴()f x 在1x =-处取得极小值，且极小值为()211a f e -=--，∵0a >，∴210a e --<，∵当212a e --≥-即02e a <≤时， ()()min12f x f ==-，∴2a -≤-，即2a ≥，∴无解，当212a e --<-即2ea >时，15()()max 211a f x f e =-=--，∴21a a e -≤--，即2e a e ≥-，又22e e e >-，∴2ea e ≥-，综上， ,2e a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭．点睛：函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可．考向7 分段函数的零点【例14】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中第一次联考】函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】D当2x ππ<≤时， 022x ππ<-≤，据此可得：()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 当32x ππ<≤时， 22x πππ<-≤，据此可得：()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时， 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而445log log 414π<=，则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点，很明显，当32x π>时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个．点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【例15】【2018吉林省百校联盟九月联考】已知函数()12,1,2{ 12,1,2x x xx x f x x ->=-≤函数()()g x f x m =-，则下列说法错误的是（ ）A ．若32m ≤-，则函数()g x 无零点B ．若32m >-，则函数()g x 有零点 C ．若3322m -<≤，则函数()g x 有一个零点 D ．若32m >，则函数()g x 有两个零点【答案】A【解析】作出函数()f x 的图象如图所示：17观察可知：当32m =-时，函数()g x 有一个零点，故A 错误．故选A 【跟踪练习】1．【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】A点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ． 2．【2017天津二模】已知函数()21,0,{ log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y f f x =+的所有零点构成的集合为_________．【答案】113,,24⎧--⎨⎩ 【解析】因为函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>所以()()10f f x +=等价于()()0{110f x f x ≤++=或()()20{log 10f x f x >+=，求解可得()()122f x f x =-=或，即12{ 0x x +=-≤或20{log 2x x >=-或11{20x x +=≤或20{1log 2x x >=，求解可得11342x x x x =-==-=或或或113,,24⎧--⎨⎩．考向8 分段函数与方程的关系【例16】【2018甘肃兰州西北师范大学附属中学高三一调】若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>，则方程()()330f f x e -=的根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解． 【例17】【2018湖南永州一模】定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>， ()f x x =， ()224g x x x =--，19若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()(),54,-∞-⋃+∞【跟踪练习】1．已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为___________． 【答案】4【解析】由题意将问题转化为求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点．【名师点晴】方程的根也就是与方程对应的函数的零点，因此方程根的个数问题，可以考虑通过构造相应的函数，将其转化为函数零点个数多少问题求解，也可以考虑直接通过分离，转化为函数的值域问题求解．2．【2018河南郑州模拟】已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<，若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】38a <≤【解析】画出()f x 的图象如图所示考向9 分段函数与不等式【例18】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】设函数()()()1221{ 1log 1x x f x x x -≤=-> ，则满足()1f x ≤的x 的解集是 ________． 【答案】[)1,+∞【解析】由分段函数可知，若1x ≤，由()1f x ≤，得121x-≤，即10,1x x -≤∴≥，此时=1x ，若1x >，由()2f x ≤，得21log 2x -≤，即2log 1x ≥-，即12x ≥，此时1x >，综上， 1x ≥，故答案为[)1,+∞． 【例19】【2018河南林州第一中学10月调研】已知函数()()1,0{ 11,02ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A ．[)32ln2,2-B ．[]32ln2,2-C ．[]1,2e -D ．[)1,2e -21【答案】A【例20】【2018河北武邑中学第二次调研】已知函数()()()31,0{ 1,0ln x x f x x x -<=-≥，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1 D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据题意，画出函数y=f(x)和y=ax 的图象，如图所示；当a>0时，直线y=ax 与y=(x −1)3+1(x ⩾0)相切，设切点为(m ，am)，由y=(x −1)3+1的导数为y′=3(x −1)2，可得a=3(m −1)2，am=(m −1)3+1，解方程可得33,24m a ==．由图象可得304a <…；当a=0时，不等式f(x)⩾ax=0恒成立，当a<0时，在x<0时，不等式不成立．综上可得a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B ．点睛：分段函数中求参数范围问题：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．【例21】【2018江苏如皋高一上学期教学质量调研数学试题】已知函数()1,121{ 1,22x x f x x x <≤-=>，则满足()3f a >的实数a 的取值范围是__________． 【答案】()41,6,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭；【例22】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研】已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>，若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】()1,1,1e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭．【解析】数形结合，由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y g x =恰有两个零点．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根23到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路． 【跟踪练习】1．【2018江苏省扬州高一数学第二次学情测试】已知函数()26,{ 2,x x tf x x x x t+<=+≥，若函数f （x ）的值域为R ，则实数t 的取值范围是 ______． 【答案】[-7，2]2．【2018江西南昌高三上学期摸底】已知函数()21,0,()={ 3,0ln x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦【解析】不等式即： ()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为3k =--，由此可得：实数m的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦，故答案为3⎡⎤--⎣⎦．考向10 分段函数与程序框图【例23】【2018湖南永州一模】执行如图所示的程序框图，输入的值为2，则输出的的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D点睛：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题；模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，的值，当时不满足条件，退出循环，输出的值即可．x=-，则输出的y= ( ) 【例24】【2018海南八校联考】执行如图所示的程序框图，若输入的525A ．2B ．4C ．10D ．28 【答案】B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项． 【跟踪练习】执行下列程序框图．若输出y 的值是4，则输入的实数x 的值为（ ）A ．1B ．－2C ．1或2D ．1或－2 【答案】D【解析】本题考查程序框图、分段函数求值．此算法功能是2131110cos 10x x y x x x x ⎧<⎪=+≤<⎨⎪≥⎩，当1x <时，由24x =解得2x =-；当110x ≤<时，由314x +=解得1x =；当10x ≥时，cos 4x =无解．综上所述2x =-或1x =，故选D ．【点评】因为分段函数的自变量在不同的范围内时函数的关系式不同，所以分段函数的问题与算法有着紧密联系，主要是可通过利用程序框图将函数解析式呈现出来，因此解答时根据程序框图确定分段函数的解析式是解答此类试题的突破口与关键点． 考向11 分段函数与实际应用【例25】【2018绵阳一诊】某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米． A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 【答案】C【思路点拨】本题题设条件给出了分段函数的解析式，同时利用表格给出了相关的一些自变量与对应的函数值，求解时必须要善于把表格中的数据与各段对应起来． 【例26】【2018辽宁鞍山一中一模】已知函数f(x)= ()21,1{ 43,(1)x x x x x -≤-+>，若f(f(m))≥0，则m 的取值范围是（ ）A ．[-2，2]B ．[-2，2] ⋃ [4，+∞)C ．[-2，] D ．[-2，]⋃ [4，+∞) 【答案】D【解析】设不等式的解集为M ，利用排除法：当m=3时， ()()()()2334330,301f f f f =-⨯+=∴==，即3M ∈，选项A ，B 错误；当m=4时， ()()()()2444433,430f f f f =-⨯+=∴==，即4M ∈，选项C 错误；故选D ．27点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【例27】【2017福建漳州5月质量检测】漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1．2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0．5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．（Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n （单位：粒， n N ∈）的函数解析式()f n ； （Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n （单位：粒），整理得下表：以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率． （ⅰ）求该雕刻师这10天的平均收入；（ⅱ）求该雕刻师当天的收入不低于300元的概率． 【答案】（1）()()1.7125,250,{1.2,250n n f n n N n n -≥=∈<（2）（ⅰ）309．1元；（2）0．7试题解析：（I ）依题意得：当250n ≥时， ()()250 1.2 1.7250 1.7125f n n n =⨯+⨯-=-，当250n <时， () 1.2f n n =，所以()()1.7125,250,{ 1.2,250n n f n n N n n -≥=∈<．（II ）（ⅰ）由（I ）得()()210252,230276,f f == ()()()250300,270334,300385,f f f === 所以该雕刻师这10天的平均收入为25212762300333433001309.110⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（ⅱ）该雕刻师当天收入不低于300元的雕刻量有250，270，和300．概率分别是0．3，0．3和0．1．。
第01题 集合的性质与运算-2018之高中数学文黄金100题系列 含解析 精品
I ．题源探究·黄金母题【例1】已知集合{}{}|37,|210,A x x B x x =≤<=<< 求()R C AB ，()RC A B ，()R C A B ，()R A C B .【解析】甴已知利用数轴易得()[)210,37A B A B ==，，， (][)(),210,R C A B ∴=-∞+∞， ()[)(),37,R C A B ∴=-∞+∞，()[)(][),37,,,210,R R C A C B =-∞+∞=-∞+∞，()[)()2,37,10R C A B ∴=，(][)[)(),23,710,R A C B =-∞+∞.精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第14页A 组第10题【母题评析】本题以不等式为载体，考查集合的运算问题.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】借助数轴为工具，利用集合各类运算的方法直接求解，但需要注意区间方向以及区间端点值的验证，确保准确无误！II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017高考天津，理1】设集合{}1,2,6,A ={}{}2,4,15B C x x ==∈-≤≤R ，则()A B C =A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R【答案】B【解析】(){1246}[15]{124}A B C =-=，，，，，，,选B.【例3】【2017高考山东，理1】设函数y =的定义域A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ,则AB =A ．()1,2B ．(]1,2C ．()2,1-D ．[)2,1- 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，【命题意图】本类题通常主要考查集合的交、并、补运算.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系.【难点中心】对集合运问题，首项要确定集合类型，其次确定集合中元素的特征，先化简集合，若元素是离散集合，紧扣集合运算定义求解，若是连续数集，常结合数轴进行集合运算，若是抽象集合，常用文氏图法，本题是考查元素是离散的集合交集运算，是基础题.选D.III ．理论基础·解题原理考点一 集合的基本概念 1．元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；（2）集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为和；（3）集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图. 2．常见数集及其表示符号自然数集用N 表示，正整数集用*N 或N ＋表示，整数集用Z 表示，有理数集用Q 表示，实数集用R 表示.考点二 集合间的基本关系（1）子集：对任意的x A ∈，都有x B ∈，则A B ⊆（或B A ⊇）；（2）真子集：若集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则A ⇐B （或B ⇑A ）； （3）性质：A A A A B B C A C ∅⊆⊆⊆⊆⇒⊆,,,； （4）集合相等：若A B ⊆，且B A ⊆，则A B =. 考点三 集合的并、交、补运算： {A B x x ={AB x x ={A x x =∈补集．（4）集合的运算性质： ① ,A B A B A A B A A B =⇔⊆=⇔⊆； ② ,A A A A =∅=∅； ③ A A A A A =∅=,；④ (C )U U U U AC A A C A U C A A =∅==,,.IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数的定义域、值域、解不等式有联系.【技能方法】解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，先化简集合，常借助数轴求交集.求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.【易错指导】（1）在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如A B ⊆（B ≠∅），则有A =∅和A ≠∅两种可能；（2）在子集个数问题上，要注意∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，任何集合是其本身的子集，在列举时千万不要忘记；（3）在用数轴法判断集合间的关系时，其端点值能否取到，一定要注意用回代检验的方法确定.如果两个集合的端点值相同，则这两个集合是否能取到端点值往往决定这两个集合之间的关系.V ．举一反三·触类旁通考向1 集合关系的判断【例4】【2016河北石家庄质检二，理1】设集合{}1,1M =-，{}2|6N x x x =-<，则下列结论正确的是（ ）A. N M ⊆B. N M =∅C.M N ⊆D. M N R =【答案】C【解析】{}23x x N =-<<，所以M ⊆N ，N M =M ，M N =N ，故选C.考向2 根据集合关系求参数的值或范围【例5】【2017高考课标II ，理2】设集合{}{}21,2,4,40A B x x x m ==-+=。
高考数学黄金100题系列第08题函数的解析式文(2021学年)
2018年高考数学黄金１00题系列第08题函数的解析式文编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（２01８年高考数学黄金10０题系列第08题函数的解析式文)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第8题 函数的解析式I ．题源探究·黄金母题【例1】如图,OAB ∆是边长为2的正三角形，记OAB ∆位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f x ,试求()f x 的解析式,并画出函数()y f t =的图象.【解析】当01t <≤时,213()tan 6022f t t t t =︒=;当12t <≤时，11()23(2)(2)tan 6022f t t t =⨯⨯---︒=23(2)32t --+;当2t >时,1()232f t =⨯⨯=3.综上知，223,0123()(2)3,1223,2t t f t t t t ⎧<≤⎪⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪⎪>⎩精彩解读【试题来源】人教版Ａ版必修一第13页复习参考题B 组第2题 【母题评析】本题以平面几何图形为载体,考查函数解析式的求法，以及根据函数解析画函数的图象．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式,达到对学生能力的考查.【思路方法】此类试题是平面几何图中由于动点的运动引起了某些几何量的变化,由此也与函数有了紧密联系,也就产生了此类试题．解答此类试题通常要利用分类讨论的思想,同时要注意结合平面几何及三角知识进行求解．II.考场精彩·真题回放【例2】【2017高考新课标ＩI 】已知函数()2ln f x ax ax x x =--,且()0f x ≥．求a (节选). 【解析】()f x 的定义域为()0，+∞.设()g x =ax -a -lnx ,则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x ，【命题意图】本类题通常主要考查函数解析式的求法与图象识别..【考试方向】这类试题在考查题型上,通常基本以选择题的形式出现,中等偏上难度,往往与平面几何知识、三角函数等知识有联系()()g g x ≥1=0,0,故()g'1=0，而()()g'x a g'a x=--1,1=1,得a =1． 若a =1，则()11-g'x =x.当０<ｘ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减;当x >１时,()g'x >０，()g x 单调递增．所以ｘ=1是()g x 的极小值点,故()()g x g ≥1=0综上，a =1．【例3】【２０15高考新课标Ⅱ】如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动,记BOP x ∠=．将动P 到,A B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ )DP CBOAx【答案】Ｂ【解析】由已知得，当点P 在BC 边上运动时,即04x π≤≤时,2tan 4tan PA PB x x +=+；当点P 在CD 边上运动时,即3,442x x πππ≤≤≠时，2211(1)1(1)1tan tan PA PB x x+=-+++,当2x π=时,22PA PB +=当点P 在AD 边上运动时,即34x ππ≤≤时,2tan 4tan PA PB x x +=+,综上可知【难点中心】此类试题的解答通常结合图形的具体特点,首先明确哪个是自变量x ？哪个是因变量y ，它们对应于几何图形中哪些线段或角,然后结合分类讨论的思想进行求解.tan ,042()322tan ,4x x x f x x x x x ππππππ≤≤≤<==⎨<≤<≤由此可知函数()f x 的图象是非直线型的,排除A ，C.又()()42f f ππ>,排除D,故选B.II Ｉ.理论基础·解题原理 考点一 函数解析式概念(1)函数解析式定义:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式．（2)解析式优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值． 考点二 基本初等函数的解析式(1）一次函数：,(0)y kx b k =+≠; (2）反比例函数:,(0)ky k x=≠; （3)二次函数:2,(0)y ax bx c a =++≠; (4)指数函数：,(0,1)x y a a a =>≠且; (5)对数函数:log ,(0,1)a y x a a =>≠且; (7)幂函数：,()y x αα=∈R ;（８)三角函数:sin ,cos ,tan ,()2y x y x y x x k π===≠π+. Ⅳ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上,通常在选择题、填空题中均可能出现考查,在解答题常常伴随函数在实际问题的应用、涉及函数的导数问题应用．【技能方法】求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法（或凑配法）、消元法(方程法）、图象法、性质法等,这些方程的选择都要根据所给有关函数的具体信息进行分析,如已知函数模型时,常用待定系数法.【易错指导】（1)因为解析具有定义域、对应法则、值域,而定义域是函数的灵魂，因此一定要注意在求得解析后要注意函数的定义域;(2）利用换元法（或凑配法）求函数解析式时,确定函数的定义域是一个难点,同时也是一个易错点,因为这类题主要涉及到复合函数问题;(３)利用性质法求函数解析式时，常常在自变量的转换上或函数名称变换上犯糊涂,因为这类题实质上是涉及到分段函数问题.（4)求实际应用问题的函数模型问题，确定函数定义域时,除函数解析式本身要求有意义外,自变量的取值还必须符合实际意义. Ⅴ．举一反三·触类旁通 考向1 利用待定系数法求解析式【例1】已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =,及(1)()2f x f x x +-=,则求()f x =＿____＿__＿__．【例2】【改编题】已知函数2n (1)l a x x x bx f =+++在点(1,)(1)f 处的切线方程为4120x y --=,则函数()f x =_____＿__＿＿_. 【解析】因为b x x ax f ++=2)(',则由题意8)1(,4)1('-==f f ，则⎩⎨⎧=++=-=+=42)1('82)1(b a f b f ，解得⎩⎨⎧-==1012b a ，所以110ln 12)(2+-+=x x x x f .【点评】待定系数法是求函数解析式常用的方法之一,适用于已知或能确定函数的解析式的构成形式(如一次函数、二次函数、反比例函数、函数图象等),求函数解析式．其解法是根据条件写出它的一般表达式，然后由已知条件，主要通过系数的比较,列出等式，确定待定系数. 【跟踪练习】1.【２017河南安阳一模】已知()'f x 是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数,若方程()'0f x =无解,且()0,x ∀∈+∞， ()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦，设()0.52a f =, ()log 3b f π=, ()4log 3c f =,则a ， b ， c 的大小关系是( )A.b c a >> B ．a c b >> Ｃ．c b a >> D ．a b c >> 【答案】D点睛：此题意主要考查了函数的导数、单调性在函数值大小的比较中的应用,以及真数相同底数不同的对数值的比较等方面的知识，属于中高档题型，亦是高频考点.有三个关键点： （１)由方程()0f x '=无解，可知函数()f x 在()0,+∞上为单调函数；(２）由()2016log 2017f f x x ⎡⎤-=⎣⎦（常数）,可知()2016log f x x -是定值; （3）对于对数函数log (1)a y x x =>，在真数相同底数不同的函数值中,当01a <<时，底数a 越小,函数值越大；当1a >时,底数a 越大,函数值越小．2.【20１8山西运城康杰中学高一上学期第一次月考】已知()23g x x =--, ()f x 是二次函数,且()()f x g x +为奇函数,当[]1,2x ∈-时, ()f x 最小值为１,求()f x 的解析式． 【答案】()233f x x x =++或()2223f x x x =-+【解析】试题分析:令()2f x ax bx c =++，而()()()213f x g x a x bx c +=-++-为奇函数,故10,30a c -=-=,解得1,3a b ==, ()23f x x bx =++.其对称轴为2bx =-，根据对称轴和区间[)1,2-的位置关系,分成3类讨论当x 为何值时取得最小值,由此求得函数的解析式.【试题解析】设()()20f x ax bx c a =++≠ ()()()F x f x g x =+ 则()()222313F x ax bx c x a x bx c =++--=-++-为奇函数∴ ()()F x F x -=-对任意x 恒成立,即()()()221313a x bx c a x bx c --+-=-----∴()2130a x c -+-=对任意x 恒成立 1,3a c ∴== ()23f x x bx ∴=++()f x ∴的图象的对称轴为直线2b x =-当[)1,2x ∈-时, ()f x 的最小值为1∴ ()1{ 211b f -<--=或122{ 12b b f -≤-≤⎛⎫-= ⎪⎝⎭或()2{ 221bf ->= ∴ 2{131b b >-+=或42{2222b b b -≤≤-==-或4{ 4231b b <-++= 即3b =或22b =-3b =-(舍）综上可知： ()233f x x x =++或()2223f x x x =-+点睛：本题主要考查待定系数法求函数的解析式,考查了二次函数的图象与性质,考查了函数的奇偶性与单调性.由于已知函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，然后利用函数的奇偶性可求得,a c 的值，在利用对称轴和定义域，结合最小值可求得b 的值． 考向2 利用换元法(或配凑法)求解析式【例3】【改编题】(１)若2211()f x x xx-=+,则()f x =（ ） Ａ．2()2f x x =+ B.2()2f x x =- C ．2()(1)f x x =+ D ．2()(1)f x x =- （２)已知x xf lg )12(=+,则()f x =___＿_______．【点评】已知复合函数[()]f g x 的表达式,要求()f x 的解析式时,可考虑令()g x t =，反解出()x h t =,将其代入[()]f g x 的表达式中，再用x 替换t 便可得到函数()f x 的表达式;（２)已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时,若[()]f g x 的表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时要注意定义域的变化. 【跟踪练习】1．【四川省双流中学２017—２0１8学年高一上学期期中考试】已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭,则()2f 的值为( )A ．13Ｂ．23C ．3 Ｄ.32【答案】B 【解析】令12x =,则12x =,所以()1221312f ==+，故选B.2.【山西省实验中学201７-２０１８学年高一上学期10月月考】若()11f x x +=+,则()f x 的解析式为（ ）A.()()222,1f x x x x =-+≥ Ｂ．()()22,1f x x x x =-≥ Ｃ.()()222,0f x x x x =-+≥ D.()()22,0f x x x x =-≥ 【答案】A考向3 利用函数性质求解析式【例4】已知)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)1(log 2)()(2x x g x f -=+，则函数()f x =_＿＿____＿＿_＿,()g x =____＿＿_＿___.【解析】∵)(x f 为奇函数,)(x g 为偶函数,∴)()(),()(x g x g x f x f =--=-.又)1(log 2)()(2x x g x f -=+ ①,故)1(log 2)()(2x x g x f +=-+-，即)1(log 2)()(2x x g x f +=+- ②.由①②得：)1,1(,11log )1(log )1(log )(222-∈+-=+--=x xxx x x f ，22()log (1)log (1)g x x x =++-=22log (1)x =-，(1,1)x ∈-．【例5】 函数)(x f y =是R 上的奇函数，满足)3()3(x f x f -=+,当()3,0∈x 时,x x f 2)(=,则当()3,6--∈x 时,=)(x f ＿_______＿__．【解析】因为)3()3(x f x f -=+，所以函数)(x f 的图象关于直线3=x 对称，即)6()(x f x f -=成立．又)(x f 为奇函数,所以()()(6)f x f x f x =--=-+.设()3,6--∈x ，则()60,3x +∈，则6(6)2x f x ++=，所以6()(6)2x f x f x +=-+=-,即当()3,6--∈x 时，62)(+-=x x f ．【点评】已知函数的某些性质（奇偶性、周期性、对称性等),可利用这些性质求解．常常涉及到两个转换过程:(1)自变量的转换，即将所求解析式的定义域范围转移到已知函数的定义域内；（2）函数名称的转换，如将()f x -转换为()f x 、()f x m +（m 为常数)转化为()f x 等. 【跟踪练习】1．【201８江西六校第五次联考】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数,且()f x =()()1,{,0log x x x g x x +≥<，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦( ）A.﹣1B.﹣2C.1D.2 【答案】A2．【20１7河南南阳、信阳等六市第一次联考】已知是定义在上的偶函数,且恒成立,当时，,则当时，( ）A ．Ｂ．Ｃ． D ．【答案】B【解析】试题分析：,,,即是最小正周期为的函数，令，则,当时，,，,是定义在上的偶函数,,令,则，,,，当时,函数的解析式为:．所以B 选项是正确的．考点：利用函数的性质求解析式. 【思路点睛】根据将换为,再将换为,得到函数的最小正周期为,由当时,,求出的解析式，再由是定义在上的偶函数，求出的解析式,再将的图象向左平移个单位即得的图象，合并并用绝对值表示的解析式．考向４ 利用方程法(消元法)求函数解析式【例6】【改编2０16届湖北龙泉中学等校９月联考】定义在(1,0)(0,)-+∞上的函数()f x 满足:211()2()ln xf x f x x+-=,则()f x =____＿__＿___．【例7】【改编题】定义在R 上的函数()g x 及二次函数()h x 满足:2()2()9x x g x g x e e+-=+-,则()g x =＿__＿＿__＿___.【解析】（1）∵2()2()9x xg x g x e e +-=+- ①,2()2()9x xg x g x e e ---+=+-,即1()2()29x x g x g x e e-+=+- ②．由①②联立解得()3xg x e =-． 【点评】消元法适用的范围是:题设条件有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则充分利用变量代换,然后联立方程消去其余部分可求得函数()f x 的表达式．【跟踪练习】1.【2０１8江西樟树中学高一上学期第一次月考】若函数()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-,则()f x 等于A.1x +B.1x -C.21x +D.33x + 【答案】A【解析】∵()f x 对任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，∴用x -代替式中的x 可得()()231f x f x x --=--，联立可解得()1f x x =+,故选A ．点睛：本题主要考查了函数解析式的求法,属基础题；常见的函数解析式方法:①待定系数法，已知函数类型（如一次函数、二次函数）；②换元法:已知复合函数()()f g x 的解析式，可用换元法,此时要注意新元的取值范围;③配凑法：由已知条件()()()f g x F x =,可将()F x 改写成关于()g x 的表达式;④消去法:已知()f x 与1f x ⎛⎫⎪⎝⎭或()f x -之间的关系，通过构造方程组得解.２.【20１7河南新乡三模】若()()2f x f x +-= 33x x ++对R x ∈恒成立,则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为___＿＿_____.【答案】1315y x =-(或13150x y --=）考向5 根据图象确定解析式【例8】【2018山东枣庄模拟】函数()f x 的部分图象如图所示,则()f x 的解析式可以是( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()x f x x =C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=-- 【解析】根据已知条件可知，函数()f x 为奇函数，所以应排除D ;函数的图象过原点,所以应排除B ；图象过(,0)2π,所以排除A ;故选C ．【点评】根据给出函数的图象确定函数的解析式,主要有两种题型:（１)根据函数图象求函数的解析式,解答时常常根据图象特征及图象上的特殊点,求出具体的相关的量的值；(2)根据函数图象,同时给出了多个函数解析式,从中进行选择,解答时通常结合函数的性质,结合排除法进行解决.【例９】【20１7安徽江南十校高三3月联考】若函数的图象如图所示,则的解析式可能是( ）A ． Ｂ. C. D.【答案】Ｂ点睛:本题在求解时，充分利用题设中提供的函数的图象信息，没有直接运用所学知识分析求解，而是巧妙借助单项选择题的问题特征,独出心裁的运用了答案排除法使得问题的求解简捷、巧妙而获解. 【跟踪练习】【２017四川成都七中6月１日高考热身考试】如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,动点P 在其表面上运动，且PA x =，把点的轨迹长度()L f x =称为“喇叭花”函数,给出下列结论：①13216f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()312f π=;③()322fπ=;④21333f π⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭其中正确的结论是:____＿____＿．(填上你认为所有正确的结论序号)【答案】②③④考向６ 建立解析式识别图象【例１0】如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( ）Ａ B C D【解析】如图所示，作MD OP ⊥，垂足为D ,当02x π≤≤时,在Rt OPM ∆中，cos cos OM OP x x ==.在Rt OMD ∆中，1sin cos sin sin 22MD OM x x x x ===;当2x ππ<≤时，在Rt OPM∆中,cos()cos OM OP x x π=-=-，在Rt OPM ∆中，sin()cos sin MD OM x x x π=-=-=1sin 22x -.综上可知1sin 2,022()1sin 2,22x x f x x x πππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，所以当0x π≤≤时，()y f x =的图象大致为C.【例１1】【2017福建厦门双十中学下期热身】如图,半径为2的圆O 与直线MN 切于点P ,射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ,旋转过程中与圆O 交于Q ,设(02)POQ x x π∠=≤≤,旋转扫过的弓形PmQ 的面积为()S f x =，那么()f x 的图象大致为( )【点评】此类试题比较灵活,是近几年考查的热点之一.解答时从已知条件出发，根据图形结构，结合三角函数知识、勾股定理、正弦定理、余弦定理、距离公式等知识建立函数的解析式,然后作出选择,有时也要根据函数的性质(奇偶性、单调性、定义域与值域)，利用动态过程中涉及的界点情况作出判断. 【跟踪练习】1．【201７广西5月份考前模拟】函数()()2244log x x f x x -=-的图象大致为( )A ． B. C. D ．【答案】A点睛:本题旨在考查函数的图象的识读和分析推断能力的综合运用.解答本题的关键是借助函数的图象和基本性质,综合运用所学知识分析判断答案的正确与错误,求解时先运用函数的奇偶性的定义判断函数是奇函数,进而通过函数的取值推断该函数的零点所在和单调变化，进而获得正确答案.２.【2018贵州遵义航天中学一模】已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线ＯP 的倾斜角为θ,若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（ ）Ａ． B.Ｃ．Ｄ．【答案】D【解析】π2cos ,0,,2π2cos ,,π2d θθθθ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎛⎫⎪-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以对应图象是D点睛:(１)运用函数性质研究函数图象时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向．（2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时,要注意用好其与条件的相互关系,结合特征进行等价转化研究．如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化,单调性可实现去“”f ，即将函数值的大小转化自变量大小关系. 考向７ 建立解析式解决实际问题【例1２】【2０1８湖北宜昌一中、龙泉中学联考】如图所示,桶１中的水按一定规律流入桶２中，已知开始时桶1中有a 升水,桶2是空的，t 分钟后桶1中剩余的水量符合指数衰减曲线1nt y ae -=(其中n 是常数，e 是自然对数的底数）.假设在经过５分钟时，桶１和桶2中的水恰好相等.求：（１)桶２中的水2y （升)与时间t (分钟)的函数关系式; （2)再过多少分钟，桶１中的水是8a 升?【点评】在函数应用题中,建立函数的解析式常常设置在解答题的第(１）题的位置上,只有进行正确的建模,才能解答第(１）题后面的其它小题.而建立函数解析时,一定要注意结合实际应用的要求与题设条件确定函数的定义域.【例1３】【２018福建三明一中高一上学期第一次月考】楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为30万元/辆,若当月销售量超过５辆时，每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低０．１万元/辆.根据市场调查,月销售辆不会突破30台.(１)设当月该型号汽车的销售量为x 辆(30x ,且x 为正整数)，实际进价为y 万元／辆，求y 与x 的函数关系式；(2)已知该型号汽车的销售价为３2万元/辆,公司计划当月销售利润25万元,那么月需售出多少辆汽车？（注:销售利润=销售价-进价)【答案】（1)30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数（２）该月需售出10辆汽车.试题解析:解：（１)由题意, 当05x <≤时， 30y =.当530x <≤时, ()300.150.130.5y x x =--=-+． ∴30(05,){0.130.5(530,)x x y x x x <≤=-+<≤为整数为整数;当05x <≤时,()323051025-⨯=<,不符合题意，当530x <≤时，()320.130.525x x ⎡⎤--+=⎣⎦，解得: 125x =-(舍去），210x =. 答:该月需售出１0辆汽车.【例1４】【2０18江苏南京上学期期初学情调研】某工厂有１0０名工人接受了生产10０0台某产品的总任务,每台产品由9个甲型装置和３个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人,他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时.设f （ｘ)＝ｔ1+t 2.(Ⅰ)求f （ｘ)的解析式,并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f （x )取得最小值？【答案】（1)()90001000100f x x x=+- 定义域为｛x |1≤x ≤99,x ∈N ＊｝(2）当ｘ=７５时,f （x ）取得最小值．试题解析：解:（1)因为19000t x = ()2300010003100100t x x==--所以()1290001000100f x t t x x=+=+- 定义域为{x ｜１≤ｘ≤99，x ∈N ＊}．（2）f (x )＝90001000100x x +-=()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦， 因为１≤x ≤９9，ｘ∈N *,所以()9100x x->0,100xx->0,所以()9100100x xxx -+-≥2()9100100x x x x--＝6， 当且仅当()9100x x-=100xx-，即当ｘ=7５时取等号．答:当x ＝７5时,f （ｘ)取得最小值.点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧,使其满足基本不等式中“正"(即条件要求中字母为正数）、“定”(不等式的另一边必须为定值）、“等"(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误. 【跟踪练习】1．【2017湖南株洲一模】某市家庭煤气的使用量和煤气费（元)满足关系()(),0{,C x A f x C B x A x A<≤=+->已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m的煤气,则其煤气费为____元．【答案】１1．5;点睛：解答本题的难点在于不知道函数的解析式的对应关系，需要进行分析和推断，然后运用题设条件建立方程组从而求出函数解析式中的参数,确定函数的解析式，求出了问题320m燃气的燃气费中而获解．２.【2０1８江苏高邮一中高一上学期第一次学情调研】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比，其关系如图（１);投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图(２)．（注：收益与投资额单位:万元)（1)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益，其最大收益是多少万元?【答案】（1)()()108f x x x =≥； ()()102g x x x =≥ (2），max 3y =万元 【解析】试题分析：(１)根据图象写出函数()()12,f x k x g x k x == ，分别将点()10.125,1,0.5（，） 代入对应函数即可求得12,k k 的值,得到函数关系式（２)根据已知条件写出总投资收益的方程()()1202082x y f x g x x =+-=+- ,将其转化为方程()21238y t =--+,通过x 的取值范围求出t 的取值范围,进而可求出y 的最大值.（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为()20x -万元,依题意得: ()()20y f x g x =+- 12082x x =+-()020x ≤≤, 令20t x =-(025t ≤≤,则22082t t y -=+ ()21238t =--+， 所以当2t =,即16x =万元时,收益最大， max 3y =万元．【点睛】本题(1）采用的的“待定系数法”求函数的解析式．要使用这种方法需要知道函数的类型,根据类型写出()f x 的解析式,再结合其它已知条件确定函数的系数即可.以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
2018年高考数学黄金100题系列第31题三角函数的图像文
第31题 三角函数的图象I ．题源探究·黄金母题例1．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),23y x x R π=-∈； （2）2sin(+),4y x x R π=-∈； （3）1sin(2),5y x x R π=--∈；（4）3sin(),63xy x R π=-∈；【解析】 （1）（2）（3）（4）精彩解读【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第16题）【母题评析】本考查了如何利用五点法去画函数sin()y A x b ωϕ=++的图象，同时培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解，为以后解决由图定式问题奠定了基础．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．例2．（1）用描点法画出函数sin ,[0,]2y x x π=∈的图象．（2）如何根据（1）题并运用正弦函数的性质，得出函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图象；（3）如何根据（2）题并通过平行移动坐标轴，得出函数【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第17题【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了如何用五点法作图、如何利用对称性进行图象变换以及图象的平移变换．培养了学生的作图、识图能力，对sin()y A x b ωϕ=++的性质有了进一步的了解．【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图象是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式．【试题来源】人教版A 版必修4第70页复习总参考题A 组第18题 【母题评析】本题是一道综合性问题，考查了函数图象的平移变换．加深了学生对周期变换、振幅变换、相位变换的进一步了解．【思路方法】使学生进一步认识到数形结合思想在解决函数的问题中的地位，以便引起学生对数形结合思想的重视．621sin ,sin ,612sin ,6y x x R y x x R y x x R =∈−−−−−−→=∈−−−−−−→=∈横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变II ．考场精彩·真题回放例1．（2017新课标1理9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 （ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则222:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x ππππ=+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为sin 2y x =，再将曲线向左平移12π个单位得到2C ，故选D ． 例2．（2016年高考北京理数）将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数【命题意图】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定,A h 的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定ϕ值． 【考试方向】sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【难点中心】三角函数的图象与性质是三角函数的重要内容，高考中比较重视考查三角函数图象的平移和伸缩、周期、最值、奇偶性、sin 2y x =的图象上，则 （ ） A ．12t =，s 的最小值为6π B．t = ，s 的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3π D．2t =，s 的最小值为3π【答案】A【解析】由题意得，1sin(2)432t ππ=⋅-=，故此时'P 所对应的点为1(,)122π，此时向左平移-4126πππ=个单位，故选A ．单调性、对称性及角的取值范围，同时往往注重考查对三角函数“化一”恒等变换．高考中对三角函数考查时，注重考查方程思想、整体思想、数形结合思想在解题中运用．尤其注重两种“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种变换的差异：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．例3．（2016高考新课标2文数）函数=sin()y A x ωϕ+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(2+)6y x π=D ．2sin(2+)3y x π=【答案】A【解析】由图知，2A =，周期2[()]36T πππ=--=，∴22πωπ==，∴2sin(2)y x ϕ=+，∵图象过点(,2)3π，∴22sin(2)3πϕ=⨯+，∴2sin()13πϕ+=，∴22(Z)32k k ππϕπ+=+∈，令0k =得，6πϕ=-，∴2sin(2)6y x π=-，故选A ．例4．（2016高考新课标2理数）若将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （ ） A ．()26k x k Z ππ=-∈ B ．()26k x k Z ππ=+∈ C ．()212k x k Z ππ=-∈ D ．()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图象向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B ． 例5．（2016高考新课标1文数）若将函数y =2sin (2x +π6)的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为 （ ）A ．y =2sin(2x +π4)B ．y =2sin(2x +π3)C ．y =2sin(2x –π4)D ．y =2sin(2x –π3)【解析】函数y 2sin(2x )6π=+的周期为π，将函数y 2sin(2x )6π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为y 2sin[2(x ))]2sin(2x )463πππ=-+=-，选D ．III ．理论基础·解题原理考点一 图象变换与性质相结合图象变换与函数性质的综合问题可根据两种图象变换的规则，也可先通过图象变换求得变换后的函数解析式，再研究函数性质．常先通过三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质．考点二 三角函数模型的应用三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题． 考点三 由函数图象求解析式的方法（1）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数表达式()sin y A x ωϕ=+中的参数A 和ω，再选取 “第一零点”(即五点作图法中的第一个点)的数据代入“0x ωϕ+=”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得ϕ．（2）通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数,,A ωϕ，依据是五点法． （3）运用逆向思维的方法，根据图象变换可以确定相关的参数． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】以考察函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换，考查函数()sin y A x ωϕ=+解析式中参数ϕ的求法为主．sin y x =的图象变换后得到sin()y A x ωϕ=+的图象，可通过“先平移后伸缩”和“先伸缩后平移”两种途径得到，顺序不同，平移的单位长度就不同，这成为高考中考查方向．考查题型一般为选择题，难度较低，为容易题．【技能方法】确定()()sin 0,0y A x B A ωϕω=++>>的步骤和方法 （1）求,A B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则,22M m M mA B -+==； （2）求ω，确定函数的周期T ，则可得Tω2π=； （3）求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时,,A B ω已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）时0x ωϕ+=；“第二点”（即图象的“峰点”）时2x ωϕπ+=；“第三点”（即图象下降时与x 轴的交点）时x ωϕ+=π；“第四点”（即图象的“谷点”）时2x ωϕ3π+=；“第五点”时2x ωϕ+=π． 【易错指导】1．一个区别——两种图象变换的区别由sin y x =的图象变换到sin()y A x ωϕ=+的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是ϕ个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是()0ϕωω>个单位长度．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于x ω加减多少值．2．解答有关平移伸缩变换的题目时，向左（或右）平移m 个位时，用x m +(或x m -)代替x ，向下（或上）平移n 个单位时，用y n +（或y n -）代替y ，横（或纵）坐标伸长或缩短到原来的k 倍，用k x 代替x (或ky代替y )，即可获得解决． 3．解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时，通常是利用三角函数的有关公式，通过将三角函数化为“只含”一个函数名称且角度唯一，最高次数为一次(一角一函)的形式，再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答．求三角函数的最值的方法：（1）化为正弦(余弦)型函数 sin cos y a x b x ωω=+型引入辅助角化为一角一函；（2）化为关于sin x (或cos x )的二次函数；（3）利用数形结合法．V ．举一反三·触类旁通考向1 “知式作图”或“知图求式”（由三角函数的图象求解析式） 例1．（2018湖南永州一模）函数的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A例2．（2017天津八校联考）函数()()sin f x A x ωϕ=+，（其中0A >， 0ω>，的2倍，得到的图象表示的函数可以为（ ）AC 【答案】A点睛：已知函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的图象求解析式（1） （2（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ．例3．（2017山东日照三模）已知角θ始边与x 轴的非负半轴重合，与圆224x y +=相交于点A ，终边与圆224x y +=相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为C ， ABC ∆的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意()()202cos ,2sin A B θθ，，，所以()()1122cos 2sin 022S BC AC θθθ==-⋅≥，所以排除C ，D ．又当3π4θ=时， ()12S θ=>，综上可知，B 选项是正确的．考向2 图象变换与辅助角公式相结合例4．（2018辽宁六校协作体联考）已知函数（）的图象向右平移个单位后关于轴对称，则在区间上的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C例5．（2016高考新课标3理数）函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移_____________个单位长度得到．【答案】32π【解析】∵sin 2sin()3y x x x π==+，sin 2sin()3y x x x π=-=-＝2sin[()]33x π2π+-，∴函数sin y x x =的图象可由函数sin y x x =的图象至少向右平移32π个单位长度得到． 考向3 图象变换与函数性质相结合例6．（2018河南林州10月调研）的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为( )A 【答案】A的图象向右平移(0)m n >个单位长度，所得函数的解析式为：，又函数图象关于y 轴对称，则1， 0m > ，当1k =-时，A ．例7．2018单位长度，则平移后图像的一个对称中心可以为（ ）A 【答案】A【点睛】把sin y x =的图象沿x 轴向左（或向右）平移ϕ（0ϕ>）个单位得到函数()sin y x ϕ=+（或()sin y x ϕ=-）的图象，简称“左加右减”；从解析式角度说，把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移ϕ（0ϕ>个单位，反映在解析式上就是把原解析式中的x 替换为x φ+．例8．（2018后，所得的图象关于y 轴对称，则ω的最小正值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】因函数的图象向右平移个单位后可得，由题设1，故Z ，即()31k k Z ω=--∈，故()min 3112ω=-⨯--=，应选答案B ．例9．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π【答案】D ．【考点定位】三角函数的图象和性质．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以)sin()(ϕω+=x A x f 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等． 考向4 “五点法”、图象变换与函数性质相结合例10．（2018河北石家庄）已知函数()2sin y x ωϕ=+ (0,0)ωϕπ><<的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π【答案】B【解析】根据函数()()20,0y s i n x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得125,2221212T πππωω=⋅=+∴=，再根据五点法作图可得2122ππϕ⋅+=， 0,3πϕπϕ<<∴=，故选C ．【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题．利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键．求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=． 例11．某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：．．．．．．．．．．．()x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图 象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．∵sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z ．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k ∈Z ．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k ∈Z ．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．【考点定位】“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．【名师点睛】“五点法”描图：（1）x y sin =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，0)，)1,2(π，(π，0)，)1,23(-π，(2π，0)． （2）x y cos =的图象在[0，2π]上的五个关键点的坐标为：(0，1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π，(2π，1)． 考向5 三角恒等变换、图象平移与函数性质相结合例12．（2018(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ）A 【答案】D例13．（2016高考山东文数）设2()π)sin (sin cos )f x x x x x =--- ． （I ）求()f x 得单调递增区间；（II ）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求π()6g 的值． 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（或()5(,)1212k k k Z ππππ-+∈）（∏ 解析：（I ）由()()()2sin sin cos f x x x x x π=---()212sin cos x x x =--)1cos 2sin 21x x =-+-sin 21x x =2sin 21,3x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由()222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得()5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间是()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（∏）由（I ）知()f x 2sin 21,3x π⎛⎫=-⎪⎝⎭把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y =2sin 13x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象，再把得到的图象向左平移3π个单位，得到y 2sin 1x =的图象，即()2sin 1.g x x =∴2sin 166g ππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭考点：1．和差倍半的三角函数；2．三角函数的图象和性质；3．三角函数图象的变换． 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换．此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典．解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值．本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等．考向6 图象变换与诱导公式相结合例14．（2016云南一测）为得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需要将sin 2y x =的图象（ ）A ．向右平移3π个单位B ．向右平移6π个单位C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D考向7 三角函数图象与向量相结合例15．（2017江西南昌一模）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（的周期为π，若()1fα=，则 ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 【答案】B 【解析】由题意得选B ．例16．（2016江西赣中南五校联联）如图所示，点P 是函数2sin()(,0)y x x R ωϕω=+∈>图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若0PM PN ⋅=，则ω等于（ ）A ． 8B ．8π C ． 4π D ．2π【答案】B例17．（2018陕西西安模拟），且2AB BC π⋅=-（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，求函数()g x【答案】（1）（2，最小值2-．【解析】试题分析：（1 11,2,,AB T BC T ⎛⎫⎛== ⎪ 则2T AB BC ⋅=-，所以T π=．故2ω=，利用正弦函数的单调性解不等式，从而可得结果；（2）根据平移变换可得， 0,2x π⎡∈⎢⎣（2）由题意将()f x 的图像向左平移个单位长度，得到函数()g x 的图像，0,2x π⎡∈⎢⎣，∴当时，22x π⎛⎫+⎪ ()g x 取得最大值 ()g x 取得最小值2-．。
2018年高考数学黄金100题系列第07题分段函数文
第7题 分段函数I ．题源探究·黄金母题【例1】已知函数()()()4,0,4,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，求()1f ，()3f -，()1f a +的值．【解析】()()()4,0,4,0x x x f x x x x +≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，()()11145f ∴=⨯+=，(3)3(34)21f -=-⨯--=， ()(1)(5),1,1(1)(3), 1.a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第45页B 组第4题【母题评析】本题以分段函数为载体，考查函数的求值问题．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到既考查运算能力与及分类讨论思想的应用的目的．【思路方法】考察自变量的值与分段函数每一段函数的定义域关系，正确选用解析式．如果自变量以参数形式出现，注意考虑分类讨论思想的应用．II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017江苏14】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ． 【答案】8【解析】解法一：由于()[)[)0,1,lg 0,1,f x x ∈∴∈则需考虑110x ≤<的情况，在此范围内，x Q ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质．若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2n x m n m m=∈≥N ，且,m n 互质．因此10n mq p=，则10()nm q p = ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q ∉．因此lg x 不可能与每个【命题意图】本类题考查分段函数的求值【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往与分段函数的求值、分段函数的性质、分段函数图象及应用、分段函数与其它知识（不等式、方程、程序框图等）知识的交汇或综合．【难点中心】分段函数也是函数，因此主要也是要关心它的图象与性质，以及图象与性质的应用．其难点主要体现在：（1）函数的求值问题必须考虑自变量的所属范围，无法判断时须利用分类讨论思想解决；（2）分段函数的图象画法，因为它的每一段多数由基本初等函数构成，处理分界点的图象是一个难点，当函数是非基本函数图象时，常常要联系其它知识来作周期内x D ∈对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期x D ∉的部分的交点，画出函数图象，图中交点除()1,0外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期x D ∉的部分，且1x =处()11lg 1ln10ln10x x '==<，则在1x =附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．解法二：D 是有理数集，∴自变量x D ∈，所对应的函数值都为有理数，且x D ∈在函数y x =上对应的空心点函数值也为有理数，令lg y x =等于这些函数值与空心点函数值所求得x 在区间[)0,1内皆为无理数，故 lg y x =不能与函数上123,,,234x =所对应的函数值及空心点函数值相交，故答案为8 个．【例3】【2017天津文8】已知函数2,1,()2, 1.x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．[]2,2- B．,2⎡⎤-⎣⎦ C．2,⎡-⎣ D．,⎡-⎣【答案】A ． 【解析】试题分析：首先画出函数()f x 的图象，当0a >时，（如利用导数）；（3）求解分段函数的性质中的参数问题，常常要用到数形结合法、分裂参数法、构造法等数学方法来解决．()2xg x a =+的零点是20x a =-<，零点左边直线的斜率112->-，不会和函数()f x 有交点，满足不等式恒成立，零点右边()2x g x a =+，函数的斜率12k =，根据图象分析，当0x =时，2a ≤，即02a <≤成立，同理，若0a <，函数()2xg x a =+的零点是20x a =->，零点右边()()2x g x a f x =+<恒成立，零点左边()2xg x a =--，根据图象分析当0x =时，2,2a a -≤∴≥-，即20a -≤<，当0a =时，()()f x g x ≥恒成立，所以22a -≤≤，故选A ．III ．理论基础·解题原理 考点一 分段函数的概念（1）定义：在函数的定义域内，对于自变量x 不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数叫分段函数．函数的解析式中的绝对值含有未知数x ，此函数实质上也是分段函数．（2）定义域：分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集． （3）值域；分段函数的值域是各段函数值集合的并集． 考点二 分段函数图象（1）图象的构成：分类函数不同区间上的表达式不同，但每一段的函数解析式基本上都是常见的基本初等函数关系，因此分段函数的图象基本上是两个或两个以上的基本初等函数的部分图象共同所构成的．（2）图象的作法：通常是逐段作出其函数图象，而作每一段函数的图象时，通常是作出所涉及到基本函数的图象，然后根据每一段的定义域进行截取，但必须注意各个分段的“端点”是空心还是实心． 考点三 分段函数的性质1．分段函数的单调性：判断分段函数的单调性首先应该判断各分段分区间函数的单调性：（1）如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起；（2）如果单调性不相同，则直接可分开说明单调性．2．分段函数的奇偶性：判断分段函数的奇偶性主要有两种方法：（1）如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性；（2）与初等函数奇偶性的判断一样，也可根据定义，一般分两步进行：①判断定义域是否是对称区间；②对定义域中任意一个实数x ，判断()f x -与()f x 的关系． IV ．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系．【技能方法】已知分段函数的最值求参数的取值范围的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式，注意取值范围的大前提，利用函数的单调性寻找关于参数的不等式（组）．若能利用数形结合可加快求解的速度．【易错指导】（1）当自变量以字母参数的形式出现时，易忽视对字母的分类讨论，造成少解；（2）判断函数的奇偶性时，忽视函数定义域的对称性的判断，或函数在0x =有定义时，忽视对(0)f 的验证；（3）判断函数单调性时，不考虑函数在分界点是否连续，或忽视函数在分界点处的函数值及此点左右两端的函数值的大小比较，造成逻辑思维不严谨；（4）将含有绝对值符号的函数化为分段表示时，在找分界点易出现错误，或判断符号时出现错误； V ．举一反三·触类旁通 考向1 求解分段函数的函数值【例1】【2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考】已知函数()122,0,{ 1log ,0,x x f x x x +≤=-> 则()()3f f =（ ） A ．43 B ．23 C ．43- D ．3- 【答案】A【例2】【2017高考山东卷文数】设()()121,1x f x x x <<=-≥，若()()1f a f a =+，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【名师点睛】求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．【例3】【2018河北邢台高一上学期第一次联考】设()=f x 2,0,{0,0, 2,0,x x x >=-< ()=g x 1,,{ 1,,U x Q x C Q ∈-∈则()πf g ⎡⎤⎣⎦的值为 ( )A ．2B ．0C ．1-D ．2- 【答案】D【解析】因为π 为无理数，所以()π1g =-，又因为10-< ，所以()()π12f g f ⎡⎤=-=-⎣⎦， 故选D ．【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、复合函数求函数值，属于中档题．对于分段函数解析式的考查是高考命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰．本题解答分两个层次：首先求出()πg 的值，进而得到()πf g ⎡⎤⎣⎦的值． 【例4】【2018山西45校第一次联考】函数()f x 的定义域为R ，且对任意x R ∈，都有()()2f x f x +=，若在区间[]1,1-上()2,10,(={2,01,xax x f x a x e x +-≤≤-≤≤）则()()20172018f f +=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．2018 【答案】C【解析】由()()2f x f x +=知，()f x 是周期为2的函数，故()()11f f -=，代入解析式，得()22a a e-+=-，解得2a =，从而()()22,10,22,01xx x f x x e x +-≤≤⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，故()()()()20172018102f f f f +=+=．故选C ． 【跟踪练习】1．【2018名校大联考第二次联考】设函数()()3,1,{ log 24,1,x a a x f x x x ≤=+>且()16f =，则()2f =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6 【答案】C【解析】函数()()3,1,{log 24,1,x a a x f x x x ≤=+>所以()136f a ==，解得2a =．所以()()222log 224log 83f =⨯+==．故选C ．2．设函数()31,1,2,1x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f af f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C3．【2018安徽滁州9月联合质量检测】设()f x 是定义域为R ，最小正周期为3π的函数，且在区间(],2ππ-上的表达式为()()()02{0sinx x f x cosx x ππ≤≤=-<<，则30860136f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A．．1 D ．-1 【答案】D 【解析】3086012727cos 1363636f f f f sin ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选D ．考向2 求分段函数的最值（或值域）【例5】【2018湖南永州一模】定义{}max ,,a b c 为,,a b c 中的最大值，设{}max 2,23,6xM x x =--，则M 的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 【答案】C【例6】【2017江苏南京模拟】设常数1k >，函数()(),01 1,1x x y f x kf x kx x ≤<==--≥，则()f x 在区间()0,2上的取值范围为__________．【答案】(]2,1k - 【解析】当01x ≤<时，令cos ,0,2x πθθ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则,444πππθ⎛⎫⎡⎫-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，()[)sin cos 1,14f x x πθθθ⎛⎫==-=-∈- ⎪⎝⎭；当1x ≥且02x <<时，则011x ≤-<，令1cos ,0,2x πθθ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦，则1c o s ,0,2x πθθ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦， ,444πππθ⎛⎫⎡⎫-∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，函数()()[)s i n 2,04fx k h k k k πθ⎛⎫==--∈-⎪⎝⎭所以当()0,2x ∈时，()f x 的取值范围是[)[)[)2,01,12,1k k -⋃-=-，应填答案(]2,1k -．点睛：解答本题的关键是运用三角换元法探求分段函数()(),01 1,1x x x kf x kx x ≤<=--≥，则()f x 在区间()0,2上的值域．求解时充分运用分类整合思想，对定义域()0,2x ∈分01x ≤<和12x ≤<两种情形进行分类整合，特别在最后的函数值域的整合过程中，充分利用了1k >这一题设条件，从而使得问题获解． 【例7】【2017湖南师范大学附属中学模拟二】已知函数f(x)＝x|x 2－12|的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2]，则实数a 的取值范围是_____． 【答案】a ≥1函数f(x)的定义域为[0，m]，值域为[0，am 2]，分为以下情况考虑： ①当0<m<2时，函数的值域为[0，m(12－m 2)]，有m(12－m 2)＝am 2，所以a ＝12m－m ，因为0<m<2，所以a>4；②当2≤m ≤4时，函数的值域为[0，16]，有am 2＝16，所以a ＝216m，因为2≤m≤4，所以1≤a≤4； ③当m>4时，函数的值域为[0，m(m 2－12)]，有m(m 2－12)＝am 2，所以a ＝m －12m，因为m>4，所以a>1．综上所述，实数a 的取值范围是a≥1． 【跟踪练习】1．已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是___________． 【答案】0，3-22【解析】0)1())3((==-f f f ；当1≥x 时，322)(-≥x f ，当且仅当2=x 时，等号成立，当1<x 时，0)(≥x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，故)(x f 最小值为322-．【名师点睛】本题主要考查分段函数以及求函数的最值，属于容易题，在求最小值时，可以求每个分段上的最小值，再取两个最小值之中较小的一个即可，在求最小值时，要注意等号成立的条件，是否在其分段上，分段函数常与数形结合、分类讨论等数学思想相结合，在复习时应予以关注．2．【2015高考福建理14】若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是___________．] 【答案】(1,2]【名师点睛】本题考查分段函数的值域问题，分段函数是一个函数，其值域是各段函数值取值范围的并集，将分段函数的值域问题转化为集合之间的包含关系，是本题的一个亮点，要注意分类讨论思想的运用．考向3 分段函数的奇偶性【例8】【2016届北京市海淀区高三第二学期期中练习理】已知函数sin(),0,()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是（ ） A ．,44a b ππ==-B ．2,36a b ππ== C ．,36a b ππ== D ．52,63a b ππ== 【答案】C【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性、两角和与差的正弦与余弦公式．若0x >，则0x -<，因为sin()sin cos cos sin x a x a x a +=+，cos()cos cos sin sin x b x b x b -+=+，且()f x 为偶函数，所以由题意知sin cos cos sin x a x a +＝cos cos sin sin x b x b +恒成立，所以必有sin cos cos sin a ba b=⎧⎨=⎩，观察各选项知，只有C 适合，故选C ．【点评】分段函数的奇偶性主要有两种题型：（1）判断已知函数的单调性，通常根据判断定义域是否对称、确定()f x 与()f x -的关系来判断；（2）根据函数的奇偶性求解参数问题，此类的解答通常要利用()()f x f x =-或()()f x f x =--建立方程来解决．【跟踪练习】设奇函数cos 0()cos sin 0a x x cx f x x b x cx ⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，则a c +的值为___________． 【答案】0【解析】本题考查分段函数、函数的奇偶性．因为()f x 为奇函数，所以(0)0f =，即c o s 0a c+＝cos 0sin 0b c +-，所以21a c +=；由()()022f f ππ+-=，得0c b c --=，所以b =由()()0f f π+-π=，得10a c c -+--=，所以1a =-，所以1c =，所以0a c +=．【方法点拨】已知函数为奇函数求相关的参数时，须注意如果函数()f x 在0x =时有定义，则必有(0)0f =，但如果在0x =时没有定义，则通常考虑利用奇函数的定义或取特殊值求解．考向4 分段函数的单调性【例9】【2018安徽滁州9月联合质量检测】若函数()()22f x x x a x a =+--|在区间[]3,0-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()3,00,9-⋃ B ．()()9,00,3-⋃ C ．()9,3- D ．()3,9- 【答案】B点睛：含绝对值的函数问题，一般的思路是去绝对值，即将函数转成分段函数，含参数时，只需讨论参数范围即可．【例10】【2017北京朝阳区二模】设函数则___；若在其定义域内为单调递增函数，则实数的取值范围是____． 【答案】 2 【解析】，由于在其定义域内为单调递增函数，所以．填 (1)．2 (2)．．【例11】【2017山东济宁3月模拟】若函数()()12,2,{ log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】由题意得，因为函数()()12,2,{log ,2a a x a x f x x x --<=≥在R 上单调递减，则1001{01a a a -<<<⇒<<且()log 21222a a a a ≤-⨯-⇒≥，综合可得实数a的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭． 【跟踪练习】1．【2017浙江宁波效实中学高三上期中考试理科】函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤- 【答案】D【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是21421a a -≥+-，将分段函数在R 上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升．2．【2018江苏南京上学期期初学情调研】已知函数()22,0{,313,0x x f x x x ≤=--+>若存在唯一的整数x ，使得()0f x a x->成立，则实数a 的取值范围为______．【答案】[0，2]∪[3，8] 【解析】()()0f x a f x a xx --=-表示()y f x =上的点()(),x f x 与()0,a 在线的斜率，做出()y f x =的图象，由图可知， []0,2a ∈时，有一个点整数点()()1,1f 满足()00f x a x ->-，符合题意， ()2,3a ∈时，有两个整数点()()()()1,1,1,1f f --满足()00f x a x ->-，不合题意， []3,8a ∈时，只有一个点()()1,1f --满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 考向5 分段函数的对称性【例12】【2018齐鲁名校教科研协作体第一次调研】已知()2,0{ 2,0lnx x f x x x x ->=+≤，若()=f x a 有4个根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围是________________． 【答案】10,2e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭【跟踪练习】若函数,0()ln ,0ax a x f x x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)eB ．1(0,)(1,)e eC ．(1,)+∞D ．(0,1)(1,)+∞ 【答案】D【名师点睛】求解分段函数的图象关于原点存在对称点问题的策略：首先将y 轴一侧的函数图象作关于原点的对称图象，然后考虑此图象与原函数在此侧的函数图象之间的交点问题，通常根据它们的位置关系可建立关于参数的不等式求解． 考向6 分段函数的图象交点【例13】【2016届西安中学高三第四次仿真理】已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）()(2)0f x f x +-=，（2）(2)()f x f x -=-；（3）在[1,1]-上表达式为[1,0]()cos(),(0,1]2x f x x x π∈-=⎨∈⎪⎩，则函数()f x 与函数2,0()1,0x x g x x x ⎧≤=⎨->⎩的图象在区间[3,3]-上的交点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【解析】本题考查函数的对称性、周期性、函数图象的交点．由()(2)0f x f x +-=，知函数()f x 的图象关于点(1,0)对称．由(2)()f x f x -=-，知函数()f x 的图象关于直线1x =-对称，由此作出函数()f x 的图象，同时在同一坐标系中作出函数()y g x =的图象，如图所示，由图可知两个函数在区间[3,3]-上的交点个数为6，故选B ．【知识拓展】若函数()f x 满足(2)()2f a x f x b -+=或()()2f a x f a x b -++=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称；若函数()f x 满足(2)()f a x f x -=或()()f a x f a x -=+，则函数()f x 的图象关于直线x a =对称． 【跟踪练习】【2018海南八校联考】设函数()32231,0{21,0xx x x f x axe x -->=-≤，其中0a >．(1)若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； (2)若()f x a ≥-对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 13m -≤≤或2m =-；(2) ,2e a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭．(2)当0x ≤时， ()()'21xf x a x e =+， 0a >，令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得10x -<≤， ()f x 递增；令()'0f x <得1x <-， ()f x 递减，∴()f x 在1x =-处取得极小值，且极小值为()211a f e -=--，∵0a >，∴210a e --<，∵当212a e --≥-即02e a <≤时， ()()min12f x f ==-，∴2a -≤-，即2a ≥，∴无解，当212a e --<-即2ea >时，()()max 211a f x f e =-=--，∴21a a e -≤--，即2e a e ≥-，又22e e e >-，∴2e a e ≥-，综上， ,2e a e ⎡⎫∈+∞⎪⎢-⎣⎭．点睛：函数交点问题，研究函数的单调性找函数最值，求参；恒成立求参，对于分段函数来讲，分段讨论最值即可．考向7 分段函数的零点【例14】【2018辽宁庄河高级中学、沈阳二十中第一次联考】函数()()()820{ 1022sin x x f x f x x π-≤=⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则函数()()4log h x f x x =-的零点个数为（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 【答案】D当2x ππ<≤时， 022x ππ<-≤，据此可得：()114sin22sin22222f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当32x ππ<≤时， 22x πππ<-≤，据此可得：()112sin2sin22222f x f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=⨯--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；当54x π=时， 55sin 2144f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而445log log 414π<=，则函数4log y x =与函数()f x 在区间3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有2个交点，很明显，当32x π>时，函数图象没有交点，绘制函数图象如图所示，观察可得：函数()()4h x f x log x =-的零点个数为5个．点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【例15】【2018吉林省百校联盟九月联考】已知函数()12,1,2{12,1,2x x xx x f x x ->=-≤函数()()g x f x m =-，则下列说法错误的是（ ）A ．若32m ≤-，则函数()g x 无零点B ．若32m >-，则函数()g x 有零点 C ．若3322m -<≤，则函数()g x 有一个零点 D ．若32m >，则函数()g x 有两个零点【答案】A【解析】作出函数()f x 的图象如图所示：观察可知：当32m =-时，函数()g x 有一个零点，故A 错误．故选A 【跟踪练习】1．【2018广东珠海一中等六校第一次联考】已知函数()()222,12{log 1,1x x f x x x +≤=->，则函数()()()322F x f f x f x =--的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】A点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t 对应几个x ． 2．【2017天津二模】已知函数()21,0,{ log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y f f x =+的所有零点构成的集合为_________．【答案】113,,24⎧--⎨⎩ 【解析】因为函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>所以()()10f f x +=等价于()()0{ 110f x f x ≤++=或()()20{log 10f x f x >+=，求解可得()()122f x f x =-=或，即12{ 0x x +=-≤或20{ log 2x x >=-或11{ 20x x +=≤或20{1log 2x x >=，求解可得11342x x x x =-==-=或或或113,,24⎧--⎨⎩．考向8 分段函数与方程的关系【例16】【2018甘肃兰州西北师范大学附属中学高三一调】若函数()3,0{ ,0xx e x f x e x x+≤=>，则方程()()330f f x e -=的根的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式及图象、函数与方程思想、数形结合思想的应用，属于难题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换．充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解． 【例17】【2018湖南永州一模】定义函数()()(),{,f x x a h x g x x a≤=>， ()f x x =， ()224g x x x =--，若存在实数b 使得方程()0h x b -=无实数根，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】()(),54,-∞-⋃+∞【跟踪练习】1．已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为___________． 【答案】4【解析】由题意将问题转化为求函数()y f x =与1()y g x =-交点个数以及函数()y f x =与1()y g x =--交点个数之和，因为221,011()7,21,12x y g x x x x x <≤⎧⎪=-=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =-有两个交点，又221,011()5,23,12x y g x x x x x -<≤⎧⎪=--=-≥⎨⎪-<<⎩，所以函数()y f x =与1()y g x =--有两个交点，因此共有4个交点．【名师点晴】方程的根也就是与方程对应的函数的零点，因此方程根的个数问题，可以考虑通过构造相应的函数，将其转化为函数零点个数多少问题求解，也可以考虑直接通过分离，转化为函数的值域问题求解．2．【2018河南郑州模拟】已知函数()222,0{ 2,0x x x f x x x x -+≥=-<，若关于x 的不等式()()220f x af x b ⎡⎤+-<⎣⎦恰有1个整数解，则实数a 的取值范围是__________．【答案】38a <≤【解析】画出()f x 的图象如图所示考向9 分段函数与不等式【例18】【2018江苏淮安盱眙中学第一次学情调研】设函数()()()1221{ 1log 1x x f x x x -≤=-> ，则满足()1f x ≤的x 的解集是 ________． 【答案】[)1,+∞【解析】由分段函数可知，若1x ≤，由()1f x ≤，得121x-≤，即10,1x x -≤∴≥，此时=1x ，若1x >，由()2f x ≤，得21log 2x -≤，即2log 1x ≥-，即12x ≥，此时1x >，综上， 1x ≥，故答案为[)1,+∞． 【例19】【2018河南林州第一中学10月调研】已知函数()()1,0{ 11,02ln x x f x x x +>=+≤，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的取值范围是（ ）A ．[)32ln2,2-B ．[]32ln2,2-C ．[]1,2e -D ．[)1,2e -【答案】A【例20】【2018河北武邑中学第二次调研】已知函数()()()31,0{ 1,0ln x x f x x x -<=-≥，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1 D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】根据题意，画出函数y=f(x)和y=ax 的图象，如图所示；当a>0时，直线y=ax 与y=(x −1)3+1(x ⩾0)相切，设切点为(m ，am)，由y=(x −1)3+1的导数为y′=3(x −1)2，可得a=3(m −1)2，am=(m −1)3+1，解方程可得33,24m a ==．由图象可得304a <…；当a=0时，不等式f(x)⩾ax=0恒成立，当a<0时，在x<0时，不等式不成立．综上可得a 的取值范围是30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B ．点睛：分段函数中求参数范围问题：(1)问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑；(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．【例21】【2018江苏如皋高一上学期教学质量调研数学试题】已知函数()1,121{1,22x x f x x x <≤-=>，则满足()3f a >的实数a 的取值范围是__________． 【答案】()41,6,3⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭；【例22】【2018齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高三第一次调研】已知定义在R 上的函数()()2,0{1,0x x x f x ln x x +≤=+>，若函数()()()1g x f x a x =-+恰有2个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】()1,1,1e ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭．【解析】数形结合，由直线()1y a x =+与曲线()y f x =的位置关系可得当()1,1,1a e ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭时有两个交点，即函数()y g x =恰有两个零点．点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路． 【跟踪练习】1．【2018江苏省扬州高一数学第二次学情测试】已知函数()26,{ 2,x x tf x x x x t+<=+≥，若函数f （x ）的值域为R ，则实数t 的取值范围是 ______． 【答案】[-7，2]2．【2018江西南昌高三上学期摸底】已知函数()21,0,()={ 3,0ln x x f x x x x +>-+≤，若不等式()20f x mx -+≥恒成立，则实数m 的取值范围为__________．【答案】3⎡⎤--⎣⎦【解析】不等式即： ()2mx f x ≤+恒成立，作出函数()2y f x =+的图象，则正比例函数y mx =恒在函数()2y f x =+的图象下方，考查函数： 232y x x =+﹣经过坐标原点的切线，易求得切线的斜率为3k =--m 的取值范围为3⎡⎤--⎣⎦，故答案为3⎡⎤--⎣⎦．考向10 分段函数与程序框图【例23】【2018湖南永州一模】执行如图所示的程序框图，输入的值为2，则输出的的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D点睛：本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题；模拟执行程序，依次写出每次循环得到的，的值，当时不满足条件，退出循环，输出的值即可．x=-，则输出的y= ( ) 【例24】【2018海南八校联考】执行如图所示的程序框图，若输入的5A．2 B．4 C．10 D．28【答案】B点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查．先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项．【跟踪练习】执行下列程序框图．若输出y的值是4，则输入的实数x的值为（）A．1 B．－2 C．1或2 D．1或－2【答案】D【解析】本题考查程序框图、分段函数求值．此算法功能是2131110cos 10x x y x x x x ⎧<⎪=+≤<⎨⎪≥⎩，当1x <时，由24x =解得2x =-；当110x ≤<时，由314x +=解得1x =；当10x ≥时，cos 4x =无解．综上所述2x =-或1x =，故选D ．【点评】因为分段函数的自变量在不同的范围内时函数的关系式不同，所以分段函数的问题与算法有着紧密联系，主要是可通过利用程序框图将函数解析式呈现出来，因此解答时根据程序框图确定分段函数的解析式是解答此类试题的突破口与关键点． 考向11 分段函数与实际应用【例25】【2018绵阳一诊】某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（）立方米． A ．13 B ．14 C ．15 D ．16 【答案】C【思路点拨】本题题设条件给出了分段函数的解析式，同时利用表格给出了相关的一些自变量与对应的函数值，求解时必须要善于把表格中的数据与各段对应起来． 【例26】【2018辽宁鞍山一中一模】已知函数f(x)= ()21,1{ 43,(1)x x x x x -≤-+>，若f(f(m))≥0，则m 的取值范围是（ ）A ．[-2，2]B ．[-2，2] ⋃ [4，+∞)C ．[-2，．[-2，⋃ [4，+∞) 【答案】D【解析】设不等式的解集为M ，利用排除法：当m=3时， ()()()()2334330,301f f f f =-⨯+=∴==，即3M ∈，选项A ，B 错误；当m=4时， ()()()()2444433,430f ff f =-⨯+=∴==，即4M ∈，选项C 错误；故选D ．点睛：当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．【例27】【2017福建漳州5月质量检测】漳州水仙鳞茎硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有“天下水仙数漳州”之美誉．现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻师每雕刻一粒可赚1．2元，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚0．5元；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资．（Ⅰ）求雕刻师当天收入（单位：元）关于雕刻量n （单位：粒， n N ∈）的函数解析式()f n ； （Ⅱ）该雕刻师记录了过去10天每天的雕刻量n （单位：粒），整理得下表：以10天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率． （ⅰ）求该雕刻师这10天的平均收入；（ⅱ）求该雕刻师当天的收入不低于300元的概率． 【答案】（1）()()1.7125,250,{1.2,250n n f n n N n n -≥=∈<（2）（ⅰ）309．1元；（2）0．7试题解析：（I ）依题意得：当250n ≥时， ()()250 1.2 1.7250 1.7125f n n n =⨯+⨯-=-，当250n <时， () 1.2f n n =，所以()()1.7125,250,{ 1.2,250n n f n n N n n -≥=∈<．（II ）（ⅰ）由（I ）得()()210252,230276,f f == ()()()250300,270334,300385,f f f === 所以该雕刻师这10天的平均收入为25212762300333433001309.110⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）（ⅱ）该雕刻师当天收入不低于300元的雕刻量有250，270，和300．概率分别是0．3，0．3和0．1．。
2018年数学黄金100题系列第13题函数的图像文
第13题函数的图像I ．题源探究·黄金母题【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例2】函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页习题1．2B 组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应． 法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。
【思路方法】函数图像解决函数问题是强有力的工具，因此培养学生的读图、识图能力很重要。
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第13题函数的图像I ．题源探究·黄金母题【例1】下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．【解析】图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进． 精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第23页练习第2题【母题评析】本题考查了函数的表示法之一—图像法，意在培养学生的数形结合思想，也考察了学生的分析问题和解决问题的能力，同时告诉了学生生活之中处处有数学，数学来源于生活又应用与生活。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例2】函数()r f p =的图象如图所示． （1）函数()r f p =的定义域是什么？ （2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页习题1．2B 组第1题【母题评析】本题以分段函数的图像为载体考察了函数定义域、值域的求【解析】（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-； （2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应． 法，加强学生对函数概念及函数三要素的理解，这对以后学习函数的性质有很大的帮助。
【思路方法】函数图像解决函数问题是强有力的工具，因此培养学生的读图、识图能力很重要。
【例3】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．【解析】3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第25页习题1．2B 组第3题【母题评析】本题是一道信息给予题，通过定义新函数，考查了学生对分段函数概念的理解及函数解析式的求法，同时培养学生阅读能力和理解能力。
【思路方法】数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例4】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数．（1）256y x x =--；（2）29y x =-．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第39页习题1．3A 组第1题【母题评析】本题以画图的方式让学生去寻找函数的单调区间，培养学生【解析】（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减．的作图、读图、识图的能力，。
【思路方法】利用函数图像求函数的单调区间是一种常用的方法，数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。
【例5】出函数3log y x =及13log y x =的图象，并且说明这两个函数的相同点和不同点，如右图所示．【解析】画出函数3log y x =及13log y x =的图象，如下图所示：相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0)不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第73页练习第1题 【母题评析】本题以3log y x =和13log y x=的图像为载体，让同学们再次认识对数函数01,1a a <<>图像的异同，加强学生对对数函数图像的认识。
【思路方法】利用图像解决函数的问题，形象直观，过程简练，语言简洁。
【例6】利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根：（1）-x 2+3x +5=0；（2）2x (x -2)=-3；（3）x 2=4x -4；（4）5x 2+2x =3x 2+5 【解析】（1）令f (x )=-x 2+3x +5，作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7（1）)，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第88页练习第1题【母题评析】本题以通过图像然学生去探究方程根的分布情况，意在培养（2）2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3， 作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7（2）)，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根．（3）x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0，令f (x )=x 2-4x +4，作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7（3）)，它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根．（4）5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0，令f (x )=2x 2+2x -5，作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7（4）)，它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根．学生的数形结合思想，同时也渗透了函数与方程思想。
【思路方法】本题为研究方程根的分布指明了方向，即转化为判断函数图像与x 轴交点个数问题。
【例7】设函数2()32f x x x =---，若2()2[()]g x f x =-， （1）求()g x 的解析式；（2）借助计算机或计算器，画出函数()g x 的图像；（3）求出函数()g x 的零点（精确度0．1）．【解析】（1）由题设有g (x )=2-［f (x )］2=2-(x 2+3x +2)2=-x 4-6x 3-13x 2-12x -2．（2）函数图象如下图所示．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修1第93页习题3．1B 组第3题【母题评析】本题是一道求复合函数解析式与函数零点相结合的问题，同时考查了如何利用零点分段法去求函数的零点。
【思路方法】本题为研究函数的零点指明了方向，即转化为判断函数图像与x 轴交点个数问题。
解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定图3-1-2-10（3）由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点．取区间(-3，-2)的中点x1=-2．5，用计算器可算得g(-2．5)=0．187 5．因为g(-3)·g(-2．5)<0，所以x0∈(-3，-2．5)．再取(-3，-2．5)的中点x2=-2．75，用计算器可算得g(-2．75)≈0．28．因为g(-3)·g(-2．75)<0，所以x0∈(-3，-2．75)．同理，可得x0∈(-2．875，-2．75)，x0∈(-2．812 5，-2．75)．由于|-2．75-(-2．812 5)|=0．062 5<0．1，所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2．812 5．同样可求得函数在区间(-1，0)内的零点约为-0．2．所以函数g(x)精确到0．1的零点约为-2．8或-0．2．性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考新课标I卷】函数sin21cosxyx=-的部分图像大致为（）A． B．C．D．【答案】C【解析】由题意知，函数sin21cosxyx=-为奇函数，故排除B；当xπ=【命题意图】识别辨析函数的图象，实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：①函数的定义域；②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)；③与坐标轴的交点（即()0f x=或x=的点）；④图象的对称性(函数的奇偶性)；⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；⑥图象的变化规律(即函数的周期性)；时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，排除A ．故选C ．【例2】【2017高考新课标III 卷】函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为（）A B C D 【答案】D【解析】当1x =时，()111sin12sin12f =++=+>，故排除A ，C ，当x →+∞时，1y x →+，故排除B ，满足条件的只有D ，故选D ．【例3】【2017高考山东卷】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（） A ．(])0,123,⎡+∞⎣B ．(][)0,13,+∞C ．()0,23,⎡+∞⎣D ．([)0,3,+∞【答案】B【解析】当01m <≤时，11m>，()21y mx =-单调递减，且()()2211,1y mx m ⎡⎤=-∈-⎣⎦，y m =单调递增，且y m [],1m m ∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，⑦函数图象的凸凹性．【考试方向】高考试题的考查角度有两种：一种是给出函数解析式判断函数图象；一种是函数图象的应用．图象的判断以及函数图象的应用、数形结合的数学思想方法及利用函数图象研究函数性质、方程、不等式等问题仍将是高考的主要考查内容，备考时应加强针对性的训练．【难点中心】本类试题主要考查幂、指、对函数图像与性质、二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念．解答此类问题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式．这类题能较好的考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等．这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．（1）运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向； （2）在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究．如101m <<，()21y mx =-在1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需()211,3m m m -≥+∴≥，故选B ．【例4】【2017高考北京卷】三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3． ①记Q 1为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________．②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________．【答案】1Q ；2.p【解析】试题分析：作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 中点纵坐标大，所以第一位选1Q分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B '''斜率，可得22A B '最大，所以选2.p 奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f ”，即将函数值的大小转化自变量大小关系III ．理论基础·解题原理考点一由式定图：即根据函数的解析式确定函数的图象 此类问题实质就是分析函数的性质，主要观察以下几点：①函数的定义域；②函数图象的最高点(最大值)和最低点(最小值)；③与坐标轴的交点（即()0f x =或0x =的点）；④图象的对称性(函数的奇偶性)； ⑤函数图象在某段上的变化趋势(即函数的单调性)；⑥图象的变化规律(即函数的周期性)； ⑦函数图象的凸凹性．解决这类需要我们利用图象所提供的信息来分析解决问题的题目的常用方法有：①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题；②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 考点二利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程()0f x =的根就是函数()f x 图象与x 轴的交点的横坐标，方程()()f x g x =的根就是函数()f x 与()g x 图象交点的横坐标．考点三、函数图象变换设函数()y f x =，其它参数均为正数 （1）平移变换：()f x a +：()f x 的图像向左平移a 个单位；()f x a -：()f x 的图像向右平移a 个单位 ()f x b +：()f x 的图像向上平移a 个单位；()f x b -：()f x 的图像向下平移a 个单位（2）对称变换：()f x -：与()f x 的图像关于y 轴对称；()f x -：与()f x 的图像关于x 轴对称 ()f x --：与()f x 的图像关于原点对称（3）伸缩变换：()f kx ：()f x 图像纵坐标不变，横坐标变为原来的1101k k k >⎧⎨<<⎩：收缩：拉伸 ()kf x ：()f x 图像横坐标不变，纵坐标变为原来的101k k k >⎧⎨<<⎩：拉伸倍：收缩（4）翻折变换：()f x ：()()(),0,0f x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩即正半轴的图像不变，负半轴的原图像不要，换上与正半轴图像关于y轴对称的图像()f x ：()()()()(),0,0f x f x f x f x f x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩即x 轴上方的图像不变，下方的图像沿x 轴对称的翻上去。