2019-2020学年七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式及其拓展应用讲学案苏科版.doc
初中乘法公式专题教案
初中乘法公式专题教案教学目标：1. 理解并掌握乘法公式，包括平方差公式和完全平方公式。
2. 能够运用乘法公式进行简便计算和因式分解。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 平方差公式的推导及应用。
2. 完全平方公式的推导及应用。
教学难点：1. 对公式中字母的广泛含义的理解及正确运用。
2. 学生在运用公式进行计算和因式分解时出现的错误。
教学准备：1. 教师准备相关例题和练习题。
2. 学生准备笔记本和文具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过复习整式乘法，引导学生思考如何简化计算过程。
2. 学生分享自己在计算整式乘法时遇到的问题和困惑。
二、新课讲解（15分钟）1. 教师介绍平方差公式和完全平方公式的定义和结构。
2. 教师通过示例演示平方差公式的推导过程，让学生理解并掌握公式的运用方法。
3. 教师引导学生观察和总结完全平方公式的特征，让学生自主推导完全平方公式。
三、课堂练习（15分钟）1. 学生独立完成教师提供的练习题，巩固对乘法公式的理解和运用。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，指出常见的错误和问题，并进行讲解和指导。
四、拓展提高（10分钟）1. 教师提供一些综合性的题目，让学生运用乘法公式进行计算和因式分解。
2. 学生合作讨论，共同解决问题，教师进行指导和解答。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师引导学生总结乘法公式的特点和运用方法。
2. 学生分享自己在学习过程中的收获和体会。
教学评价：1. 通过课堂练习和拓展提高环节的题目，评估学生对乘法公式的理解和运用能力。
2. 观察学生在课堂中的参与程度和合作意识，评估学生的学习态度和团队协作能力。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析学生的学习情况和教学效果。
根据学生的反馈和表现，调整教学方法和策略，以提高学生的学习兴趣和能力。
同时，教师应及时给予学生反馈和指导，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力。
初中数学乘法公式教案
初中数学乘法公式教案教学目标：1. 理解乘法公式的含义和运用。
2. 掌握乘法公式的计算方法和步骤。
3. 能够灵活运用乘法公式解决实际问题。
教学重点：1. 乘法公式的含义和运用。
2. 乘法公式的计算方法和步骤。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾加法、减法、乘法、除法的定义和运算规律。
2. 提问：我们已经学习了加法、减法、乘法、除法，那么有没有一种方法可以快速计算两个数的乘积呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍乘法公式的含义：乘法公式是一种用来计算两个数乘积的方法，它将乘法运算转化为加法运算。
2. 讲解乘法公式的计算方法和步骤：a. 将两个数写成加数的形式。
b. 将加数按照一定的顺序相加。
c. 得出结果。
3. 举例讲解乘法公式的运用：以2x3为例，将其写成加数的形式为2+2+2+2，然后按照顺序相加得到结果6。
三、课堂练习（15分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固乘法公式的计算方法和步骤。
2. 引导学生相互讨论，解决练习题中的问题。
四、总结与拓展（5分钟）1. 总结乘法公式的含义和运用，强调乘法公式的计算方法和步骤。
2. 提问：乘法公式可以用来计算两个数的乘积，那么能不能用来计算三个数或者更多数的乘积呢？五、课后作业（布置作业）1. 根据课堂练习的情况，布置适量的作业，让学生巩固乘法公式的计算方法和步骤。
教学反思：本节课通过讲解乘法公式的含义和运用，让学生掌握了乘法公式的计算方法和步骤，并能够灵活运用乘法公式解决实际问题。
在教学过程中，注意引导学生相互讨论，解决练习题中的问题，提高了学生的合作意识和解决问题的能力。
同时，通过提问和拓展，激发了学生的思考和探究欲望，为后续的学习打下了基础。
2019-2020年七年级数学下册 第十章整式乘法与因式分解复习教案 冀教版
2019-2020年七年级数学下册第十章整式乘法与因式分解复习教案冀教版《整式乘法与因式分解》一章包含幂的运算、整式乘法运算、乘法公式及因式分解。
它们在实际问题中有着广泛的应用，而且是我们进一步学习其它知识的重要基础。
为帮助同学们复习好本章的内容，现总结如下：一、本章学习目标及重难点1、学习目标（1）理解整式乘法和因式分解的算理。
能够运用幂的运算性质、整式乘法法则和乘法公式正确、合理地进行有关计算；能用提取公因式法和公式法对多项式进行因式分解。
（2）能灵活运用公式解相关问题。
（3）知道整式乘法与因式分解的联系与区别，并会运用它们之间的关系学会逆向思维解决问题。
2、本章的重难点运用整式乘法中的有关性质正确进行计算；因式分解中提公因式法和公式法的综合运用。
二、有关公式1幂的运算性质（1）同底数幂的乘法：（、都是正整数）（2）幂的乘方：（、都是正整数）（3）积的乘方：（是正整数）（4）同底数幂的除法：（，、都是整数，且>）2、关于零指数幂和负整指数幂的规定（1）（）（2）（，是正整数）3、乘法公式（1）平方差公式：（2）完全平方公式：；三、熟练掌握乘法运算整式乘法包括：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。
它们之间的关系是：在这三种乘法运算中，单项式乘单项式是乘法运算的基础。
四、整式乘法与因式分解的联系和区别整式乘法与因式分解有着明显的区别和密切的联系。
它们之间是互逆的关系。
整式乘法与因式分解都是代数式的恒等变形。
但它们之间是有区别的：因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘，可说成“和、差化积”；而整式乘法是把几个整式相乘的形式化为一个多项式，可说成“积化和、差”。
如化为是整式乘法；而化为是因式分解。
由此可知，我们可以利用多项式乘法检验分解因式的结果是否正确。
五、因式分解中需要注意的几个问题要注意分解因式的对象是整式，不是整式不能分解因式。
分解因式是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
推荐七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式及其拓展应用讲学案苏科版
乘法公式及其拓展应用【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式及其拓展应用二. 重、难点：1. 熟练掌握乘法公式，能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。
2. 理解乘法公式的拓展。
三. 知识要点1. 乘法公式及其结构特征（1）平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2；结构特征：公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差.（2）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.结构特征：公式的左边是两个数的和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍.[说明]：①公式可推广：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。
②如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完全平方式。
如，a2±2ab+b2=（a±b）2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2，则a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。
2. 注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以利用公式。
例如：（2m+5n）（2m－5n）=（2m）2－（5n）2=4m2－25n2.（4x+3y）2=（4x）2+2·4x·3y+（3y）2=16x2+24xy+9y2.3. 注意运用公式容易出现的错误在学习中不少同学经常出现如下错误：（1）（a+b）（a+b）=a2+b2；（2）（a+b）2＝a2+b2；（a－b）2＝a2－b2.错误（1）的原因是模仿平方差公式所致，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的原因是与积的平方（ab）2=a2b2相混淆。
对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到验证。
七年级数学下册《乘法公式的综合应用》教案、教学设计
（3）在课堂上进行汇报，其他小组进行评价、提问。
作业布置注意事项：
1.作业量适中，难度适中，确保学生能在课后有效巩固所学知识。
2.鼓励学生在完成作业时积极思考，遇到问题主动寻求帮助。
3.教师在批改作业时，要及时给予反馈，关注学生的进步和问题所在，为后续教学提供依据。
3.拓展题：鼓励学有余力的学生参加拓展题的挑战，培养其逻辑思维能力和创新精神。
例如：
（1）已知一个数的平方比这个数大10，求这个数。
（2）已知一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，求长方体对角线的长度。
4.小组作业：分组进行课题研究，探讨乘法公式在其他学科领域的应用，例如物理学、几何学等。
要求：
（1）每组选取一个主题，进行深入研究。
4.对于完成作Leabharlann 有困难的学生，教师要给予个别辅导，帮助他们克服困难，提高学习效果。
（3）教师强调本节课的重难点，提醒学生加强课后练习。
（4）布置课后作业，要求学生在作业中运用乘法公式解决问题，巩固所学知识。
五、作业布置
为了巩固学生对乘法公式综合应用的理解和掌握，特布置以下作业：
1.基础题：完成课本相关练习题，要求学生在规定时间内独立完成，旨在巩固平方差公式、完全平方公式的运用。
例如：
（3）学生互评，交流解题心得。
（4）教师针对学生的练习情况进行点评，强调解题方法和技巧。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：
对本节课所学内容进行总结，帮助学生巩固知识点，形成体系。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的平方差公式、完全平方公式及其应用。
（2）学生总结自己在乘法公式综合应用方面的收获和不足。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
-识别应用场景：学生在解决实际问题时，需能够识别哪些问题可以用乘法公式来解决，哪些问题需要其他方法。
-计算准确性：学生在运用乘法公式进行计算时，需注意细节，避免出现计算错误。
举例：在讲解平方差公式时，解释为何a² - b²可以分解为(a+b)(a-b)，引导学生理解公式背后的逻辑关系。在解决实际问题时，指导学生如何识别问题中的关键信息，选择合适的乘法公式进行求解。
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
一、教学内容
北师大版七年级下册辅导班教案第三讲乘法公式
1.完全平方公式：a² = (a+b)² = a² + 2ab + b²，(a-b)² = a² - 2ab + b²
2.平方差公式：a² - b² = (a+b)(a-b)
3.立方和公式：a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公论加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天在讲解乘法公式这一章节时，我发现学生们对于完全平方公式和平方差公式的推导和应用掌握得还不错，但在立方和公式的理解上似乎有些困难。在今后的教学中，我需要针对这个情况做出一些调整。
北师大版七年级下册辅导班教案第二讲整式的乘除
1.理论介绍：首先，我们要了解整式乘除的基本概念。整式乘除是指如何将整式（单项式或多项式）相互乘以或除以。它在数学运算中占有重要地位，帮助我们简化问题，解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过计算购物时商品总价或按比例调配烹饪材料，展示整式乘除在实际中的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式乘除的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式乘除的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（2）多项式乘法的符号处理：在多项式乘法过程中，学生容易在符号处理上出错。例如，(x + 2) * (x - 3)应该得到x^2 - x - 6，而学生可能会误写成x^2 + x - 6。
（3）乘法公式的应用：学生在应用平方差公式和完全平方公式时，容易混淆公式结构。例如，将(a + b)(a - b)误写为a^2 + b^2。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分配律和乘法公式这两个重点。对于难点部分，如多项式乘多项式的符号处理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与整式乘除相关的实际问题，如购物打折计算、按比例分配物品等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际计算，演示整式乘除的基本原理。
北师大版七年级下册辅导班教案第二讲整式的乘除
一、教学内容
2019-2020年七年级数学下册 9.4 乘法公式教案(2) (新版)苏科版
教学方法
讲练结合、探索交流
课型
一、情景设置：
教师活动
新授课
教具 投影仪 学生活动
a
a-b a
学生回答
b
a-b
b
怎样计算上图的面积？它有哪些表示方法？ 用不同方法分割：
a
由学生自己先做(或互 相讨论)，然后回答，若 有答不全的，教师(或其 他学生)补充．
a b
b
学生分组进行讨论 推出公式
二、新课讲解： 1.平方差公式 （1）由面积不同计算方法得到下面的公式吗？
用。 练习：第 78 页 第 1、2、3
学生板演
小结：
今天我们学习了乘 法公式
(a b)(a b) a 2 b2
试说出这个公式的特点 。
教学素材：
计算：（1） ( 1 x 2 y)( 1 x 2 y)
2
2
（2）(－4a－1)(4a－1)
作业 第 80 页 4、5
教
学
后
记
2019-2020 年七年级数学下册 9.4 乘法公式教案(2) (新版)苏科版
ห้องสมุดไป่ตู้
课题
9.4 乘法公式（2）
本课（章节）需 11 课时 课时
本 节 课 为 第 5 课时 分配
教学目标
重点 难点
1.能说出平方差公式及其结构特征
2.能正确的运用平方差公式进行计算 能 够熟练掌握平方差公式 正确运用 平方差公式进行计算
(a b)(a b) a 2 b2 ——平方差公式
（2）由多项式乘法法则推出平方差公式
2.例 1 计算
（1） (x 2)(x 2)
（2） (3m+2n) (3m-2n)
七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式及其拓展应用讲学案苏科版
乘法公式及其拓展应用【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式及其拓展应用二. 重、难点：1. 熟练把握乘法公式，能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。
2. 明白得乘法公式的拓展。
三. 知识要点1. 乘法公式及其结构特点（1）平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2；结构特点：公式的左侧是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差.（2）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.结构特点：公式的左侧是两个数的和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍.[说明]：①公式可推行：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。
②若是一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把那个多项式叫做完全平方式。
如，a2±2ab+b2=（a±b）2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2，那么a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。
2. 注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b能够是具体的数，也能够是单项式、多项式，只要符合公式的结构特点，就能够够利用公式。
例如：（2m+5n）（2m－5n）=（2m）2－（5n）2=4m2－25n2.（4x+3y）2=（4x）2+2·4x·3y+（3y）2=16x2+24xy+9y2.3. 注意运用公式容易显现的错误在学习中很多同窗常常显现如下错误：（1）（a+b）（a+b）=a2+b2；（2）（a+b）2＝a2+b2；（a－b）2＝a2－b2.错误（1）的缘故是仿照平方差公式所致，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的缘故是与积的平方（ab）2=a2b2相混淆。
关于这些错误，同窗们只要利用多项式的乘法计算一下，即可取得验证。
【精编】北师大版七年级下册数学 乘法公式(基础) 培训机构教案
乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±m ；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++；(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；(5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1=1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化．4、（2015春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．（1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ．（2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ；（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，∵a+b=7，ab=5，∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5=49﹣20=29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：(1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．【答案与解析】解：(1)∵ 22a ab b -+＝22a b +－ab ＝()2a b +－3ab ＝27－3×12＝13．(2)∵ ()2a b -＝()2a b +－4ab ＝27－4×12＝1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②22a b +＝()2a b +－2ab ＝()2a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．举一反三：【变式】已知2()7a b+=，2()4a b-=，求22a b+和ab的值．【答案】解：由2()7a b+=，得2227a ab b++=；①由2()4a b-=，得2224a ab b-+=．②①＋②得222()11a b+=，∴2211 2a b+=．① ②得43ab=，∴34 ab=．②【巩固练习】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）A.))((n m n m +--B.()()3333x y x y -+C.))((b a b a ---D.()()2222c d d c -+2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )．A.11B.15C.30D.60 3．下列计算正确的是( )．A.()()55m m -+＝225m -B. ()()1313m m -+＝213m -C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n -4．下列多项式不是完全平方式的是( )．A.244x x --B.m m ++241 C.2296a ab b ++ D.24129t t ++5．（2015春•重庆校级期中）已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ）A ．10B ．±10C ．﹣20D ．±206．下列等式不能恒成立的是( )．A.()222396x y x xy y -=-+B.()()22a b c c a b +-=-- C.22241)21(n mn m n m +-=- D.()()()2244x y x y x y x y -+-=- 二.填空题7．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______．8. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______．9. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.10.（2015春•陕西校级期末）（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）= ． 11. ()25(2)(2)21x x x -+--=___________.12.若()212x -=，则代数式225x x -+的值为________.三.解答题13.（2015春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）．（1）69×71； （2）992．14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ．15.已知：2225,7x y x y +=+=，且,x y >求x y -的值.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30.3. 【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4. 【答案】A ；【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+.5. 【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m=±20，即m=±20．故选：D ．6. 【答案】D ；【解析】()()()()22222x y x y x y x y -+-=-.二.填空题7. 【答案】±4；【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±.8. 【答案】12xy -；【解析】2294x y +＝()23212x y xy +-.9. 【答案】7；【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-=.10.【答案】1﹣x 8；【解析】解：（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 2）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 4）（1+x 4）=1﹣x 8，故答案为：1﹣x 811.【答案】2421x x +-；【解析】()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-.12.【答案】6；【解析】因为()212x -=，所以2221,256x x x x -=-+=.三.解答题13.【解析】解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899；（2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801．14.【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式.15.【解析】解：∵()2222x y x y xy +=++，且2225,7x y x y +=+=∴27252xy =+，∴12xy =，∵()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯=∴1x y -=±∵,x y >即0x y ->∴1x y -=.。
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2019-2020学年七年级数学下册课后补习班辅导乘法公式及其拓展应用讲学案苏科版【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式及其拓展应用二. 重、难点：1. 熟练掌握乘法公式，能灵活利用乘法公式进行整式乘法运算。
2. 理解乘法公式的拓展。
三. 知识要点1. 乘法公式及其结构特征（1）平方差公式：（a+b）（a－b）＝a2－b2；结构特征：公式的左边是两个数的和与这两个数的差的积，而右边是这两个数的平方差.（2）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.结构特征：公式的左边是两个数的和（或差）的平方，而右边是这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍.[说明]：①公式可推广：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. 即三个数的和的平方，等于各个数的平方和加上每两个数的积的2倍。
②如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完全平方式。
如，a2±2ab+b2=（a±b）2；a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a+b+c）2，则a2±2ab+b2和a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式。
2. 注意弄清乘法公式中的字母含义公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以利用公式。
例如：（2m+5n）（2m－5n）=（2m）2－（5n）2=4m2－25n2.（4x+3y）2=（4x）2+2·4x·3y+（3y）2=16x2+24xy+9y2.3. 注意运用公式容易出现的错误在学习中不少同学经常出现如下错误：（1）（a+b）（a+b）=a2+b2；（2）（a+b）2＝a2+b2；（a－b）2＝a2－b2.错误（1）的原因是模仿平方差公式所致，切记只有平方差公式，没有平方和公式；错误（2）的原因是与积的平方（ab）2=a2b2相混淆。
对于这些错误，同学们只要利用多项式的乘法计算一下，即可得到验证。
4. 注意掌握公式的形式变形（1）平方差公式的常见变形：1）位置变化：（a+b）（－b+a）＝_________；2）符号变化：（－a－b）（a－b）=_________；3）系数变化：（3a+2b）（3a－2b）＝_________；4）指数变化：（a3+b2）（a3－b2）＝_________；5）项数变化：（a+2b－c）（a－2b+c）=_________；6）连用变化：（a+b）（a－b）（a2+b2）=_________.（2）完全平方公式的常见变形：1）a2+b2=（a+b）2－2ab=（a－b）2+2ab；2）（a+b）2+（a－b）2=2（a2+b2）；3）（a+b）2－（a－b）2=4ab.☆☆5. 乘法公式——立方差、立方和公式a3+b3=（a+b）（a2－ab +b2）a3－b3=（a－b）（a2+ab +b2）【典型例题】一. 变形后乘法公式例1 .计算：（x2－2x）（x2－2x－3）分析：两个因式中都含有x2－2x，可以把它看成一个整体使计算较为简便。
解：原式=（x2－2x）2－3（x2－2x）=x4－4x3+4x2－3x2+6x=x4－4x3+x2+6x例2. 计算分析：表面看本题不能直接用公式计算，但注意到，便可用平方差公式计算。
解：原式例3. 计算分析：本题显然不符合立方和公式的特征，可考虑将因式中的常数项5拆成，使其符合立方和公式的形式后进行运算。
解：原式二. 合理选用乘法公式例4. 计算：（2a－1）2（4a2+2a+1）解法一：原式=（4a2－4a+1）（4a2+2a+1）=16a4+8a3+4a2－16a3－8a2－4a+4a2+2a+1=16a4－8a3－2a+1解法二：原式=（2a－1）（2a－1）（4a2+2a+1）=（2a－1）（8a3－1）=16a4－8a3－2a+1说明：由于方法二将（2a－1）与（4a2+2a+1）结合用立方差公式，显然较方法一简单。
例5. 计算分析：前两个因式与后两个因式可分别运用平方差公式计算它们的积，显然后面的计算较繁杂，而先运用立方和（差）公式计算，然后运用平方差公式，能使问题直观、简单。
解：原式三. 逆用乘法公式不仅要掌握乘法公式的正向应用，还要注意掌握公式的逆向应用，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用就是配方，配方是一种很重要的数学思想方法，它的应用非常广泛。
例6. 计算分析：若先平方展开后再相乘将不胜其繁，倒不如逆用积的乘方法则，再用乘方公式计算显得简捷。
解：原式例7.设为四边形的四边长且，试判别此四边形的形状。
解：配方得：即四. 变用乘法公式例8. 已知，求证：。
分析：利用变形式，即可得证。
证明：由得：所以得：即例9. 计算：（a+b+c ）2+（a+b －c ）2+（a －b+c ）2+（b －a+c ）2分析：若将三数和的平方全都展开是很复杂的，如果注意到完全平方公式可变换出（a+b ）2+（a －b ）2=2a 2+2b 2=2（a 2+b 2）以及（a+b ）2－（a －b ）2=4ab 等，再结合题目特点，往往能给解题带来很大方便。
解：原式=[（a+b ）+c]2+[（a+b ）－c]2+[c+（a －b ）]2+[c －（a －b ）]2=2（a+b ）2+2c 2+2c 2+2（a －b ）2=2[（a+b ）2+（a －b ）2]+4c 2=2（2a 2+2b 2）+4c 2=4a 2+4b 2+4c 2五. 乘法公式的应用例10. 若 04412=+++-y y x ，求()2xy .解：原式变形为()0212=++-y x ，.2,1-==∴y x()2xy = [1×（－2）]2= 4.说明：不仅会正向使用公式，还要学会逆用公式，才能不断提高运用公式的能力。
例11. 多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。
分析：许多同学解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式， 得出或只要再动点脑筋，还会得出故所加的单项式可以是，或4481x ，或，或等例12. 甲、乙两人共同算一道整式乘法：()()b x a x +⋅+32，由于甲抄错了第一个多项式中a 的符号，得到的结果为101162-+x x ；由于乙漏抄了第二个多项式中x 的系数，得到的结果为10922+-x x 。
（1）你能知道式子中a 、b 的值各是多少？（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果。
解：()()b x a x +⋅-32=()1011623622-+=---x x ab x b a x ；()()()109222222+-=+++=+⋅+x x ab x b a x b x a x ； ∴()1123=--b a ，且92-=+b a ， 解得.2,5-=-=b a∴()()1019623522+-=--x x x x【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. （x+1）（1+x ）B. （21a+b ）（b － 21a ） C. （－a+b ）（a －b ）D. （x 2－y ）（x+y 2）2. 下列各式计算正确的是（ ） A. （a+4）（a －4）=a 2－4 B. （2a+3）（2a －3）=2a 2－9 C. （5ab+1）（5ab －1）=25a 2b 2－1D. （a+2）（a －4）=a 2－83. （－21x+2y ）（－ 21x －2y ）的计算结果是（ ） A.41x 2－4y 2 B. 4y 2－ 41x 2C. 41x 2+4y 2D. －41x 2－4y 24. （abc+1）（－abc+1）（a 2b 2c 2+1）的结果是（ ）。
A. a 4b 4c 4－1 B. 1－a 4b 4c4C. －1－a 4b 4c 4D. 1+a 4b 4c 45. 下列各式计算中，结果错误的是（ ） A. a （4a+1）+（2a+b ）（b －2a ）=a+b 2. B.C. m2－（5m+3n）（5m－3n）+6（2m－n）（n+2m）=3n2D.6. 利用乘法公式进行计算：（1）（x－1）（x+1）（x2+1）（x4+1）（2）（3x+2）2－（3x－5）2（3）（x－2y+1）（x+2y－1）（4）（2x+3y）2（2x－3y）2（5）（2x+3）2－2（2x+3）（3x－2）+（3x－2）2（6）（x2+x+1）（x2－x+1）7. 化简（m+1）2（m2－m+1）2（m6－m3+1）28. 已知，求的值。
9. 计算（x2－3）（x4+2x2+9）10. 已知：()029622=+++-yxx，求x y的值【试题答案】 1. B. （21a+b ）（b －21a ）=（b+ 21a ）（b －21a ）。
符合平方差公式的特点，故选B 。
2. C. （a+4）（a －4）=a 2－42=a 2－16, 故A 错； （2a+3）（2a －3）=（2a ）2－32=4a 2－9，故B 错。
（5ab+1）（5ab －1）=（5ab ）2－12=25a 2b 2－1，故C 正确； （a+2）（a －4）=a 2+（2－4）a+2×（－4）=a 2－2a －8，故D 错。
3. A. 原式=（－ 21x ）2－（2y ）2= 41x 2－4y 24. B原式=（1+abc ）（1－abc ）（1+a 2b 2c 2） =[12－（abc ）2]（1+a 2b 2c 2） =（1－a 2b 2c 2）（1+a 2b 2c 2） =1－a 4b 4c 45. D.才正确，差一个符号。
6. 解：（1） 原式=（x 2－1）（x 2+1）（x 4+1）=（x 4－1）（x 4+1）=x 8－1（2）解法1：原式=（9x 2+12x+4）－（9x 2－30x+25）=9x 2+12x+4－9x 2+30x －25=42x －21 解法2：原式=[（3x+2）+（3x －5）][（3x+2）－（3x －5）]=（6x －3）×7=42x －21. （3）原式=[x －（2y －1）][x+（2y －1）]=x 2－（2y －1）2=x 2－（4y 2－4y+1）=x 2－4y 2+4y －1 （4）原式=[（2x+3y ）（2x －3y ）]2=（4x 2－9y 2）2=16x 4－72x 2y 2+81y 4（5）原式=[（2x+3） －（3x －2）]2=（－x+5）2=x 2－10x+25（6）原式=[（x 2+1）+x][（x 2+1） －x]=（x 2+1）2－x 2=（x 4+2x 2+1） －x 2=x 4+x 2+1 7. m 18+2m 9+1 8. 提示：， 解：由已知：原式9. x 6－x 4+3x 2－27提示：x 4+2x 2+27=x 4+3x 2+27－x 210. 解：∵()029622=+++-y x x∴()02)3(22=++-y x∴2,3-==y x ∴8)2(3-=-=x y。