合水一中第二讲(四)渐开线与摆线
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上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿 着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点 的轨迹是什么？
M
B
O
A
16
1、摆线的定义
M
B
O
A
摆线在它与定直线的两个相邻交
点之间的部分叫做一个拱
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆 周上的这个动点满足的几何条件。
～
线段OA的长等于的 MA长，即OA=rφ
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称 摆线，又叫旋轮线。
所以，摆线的参数方程为：
点M满设足点的M的几坐何标条为件（有x,yxy）rr,取((1 φc为soins参)数).,(，为 根参 据数)
x O D O A D A O A M C r r s in ,
y D M A C A B C B r r c o s.
19
3、摆线的参数方程
3）、当基线是圆且动圆在定圆内滚时，就 得到内摆线或变幅内摆线。
4）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若 两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
21
当外端展开到点M时,因为 绳子对圆心角(单位是弧 度)的一段弧AB, 展开后成 为切线BM, 所以切线BM
M B
OA
图2 1 7
的长就 A的 B 是,这 长 弧是笔 动尖
满足的.几何条件
3
1.圆的渐开线定义
我们把笔
尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆
2、圆的渐开线的方程求解
M
B
OA
由 于 向 量 e 1 ( c o s , s i n ) 是 与 O B 同 方 向 的 单 位 向 量 ，
因 而 向 量 e 2 ( s i n , c o s ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。
所以 BMre2 即
y
| B M | ( x r c o s , y r s i n ) r ( s i n , c o s )
17
2、摆线方程的求解 M B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为 X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为 原点，建立直角坐标系。
设圆的半径为r。 y
B
M C
OD
A
Ex
设开始时定点M在原点，圆滚动了φ角后与 x轴相切于点A，圆心在点B
18
2、摆线方程的求解
y
B
M C
OD
A
Ex
从 点 M 分 别 做 A B ， x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 是 C ， D 。
B
O
A
x
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
6
平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）
直齿
7
齿轮齿条
8
内齿轮
9
交错轴齿轮传动机构
斜 齿
10
蜗杆蜗轮
11
人字齿
12
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
13
斜齿
14
Βιβλιοθήκη Baidu
准双曲面齿轮
15
（二）、问题探究2
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那 么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画 出什么样的曲线？
M
B
y
O
A
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xyrr((1csoins)).,(为参数)
思考 在摆线的参数方程中，参数φ的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
20
说明
1）、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。
2）、当基线是直线时，就得到平摆线或变 幅平摆线。
M
解 得 x y rr((c so in s c so in s ))(是 参 数 )。 B
这就是圆的渐开线的参数方程。
O
A
5
渐开线的参数方程
x y rr((c so in s c so in s ))(是 参 数 )。
3、渐开线的应用：
y
在机械工业中，广泛地使
用齿轮传递动力。
M
由于渐开线齿行的齿轮 磨损少，传动平稳，制造安 装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
第二讲（四）
渐开线与摆线
一、新课教学 （一）、问题探究1 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在 绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳 子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条 曲线。
这条曲线的形状怎样？
能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
2
.如图设开始笔时尖 位 绳于 子 A,点 外
以基圆圆心O为原点，直线OA 为x轴，建立平面直角坐标系。
y 图217
M
设基圆的半径为r，绳子
B
外端M的坐标（x，y），显
然，点M由角φ唯一确定。
O
A
x
取 为 参 数 ， 则 点 B 的 坐 标 为 （ r c o s , r s i n ） , 从 而
4
2、圆的渐开线的方程求解
B M ( x r c o s , y r s i n ) , |B M | r .
M
B
O
A
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1、摆线的定义
M
B
O
A
摆线在它与定直线的两个相邻交
点之间的部分叫做一个拱
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆 周上的这个动点满足的几何条件。
～
线段OA的长等于的 MA长，即OA=rφ
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称 摆线，又叫旋轮线。
所以，摆线的参数方程为：
点M满设足点的M的几坐何标条为件（有x,yxy）rr,取((1 φc为soins参)数).,(，为 根参 据数)
x O D O A D A O A M C r r s in ,
y D M A C A B C B r r c o s.
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3、摆线的参数方程
3）、当基线是圆且动圆在定圆内滚时，就 得到内摆线或变幅内摆线。
4）、当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若 两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。
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当外端展开到点M时,因为 绳子对圆心角(单位是弧 度)的一段弧AB, 展开后成 为切线BM, 所以切线BM
M B
OA
图2 1 7
的长就 A的 B 是,这 长 弧是笔 动尖
满足的.几何条件
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1.圆的渐开线定义
我们把笔
尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆
2、圆的渐开线的方程求解
M
B
OA
由 于 向 量 e 1 ( c o s , s i n ) 是 与 O B 同 方 向 的 单 位 向 量 ，
因 而 向 量 e 2 ( s i n , c o s ) 是 与 向 量 B M 同 方 向 的 单 位 向 量 。
所以 BMre2 即
y
| B M | ( x r c o s , y r s i n ) r ( s i n , c o s )
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2、摆线方程的求解 M B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为 X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为 原点，建立直角坐标系。
设圆的半径为r。 y
B
M C
OD
A
Ex
设开始时定点M在原点，圆滚动了φ角后与 x轴相切于点A，圆心在点B
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2、摆线方程的求解
y
B
M C
OD
A
Ex
从 点 M 分 别 做 A B ， x 轴 的 垂 线 ， 垂 足 分 别 是 C ， D 。
B
O
A
x
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
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平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构）
直齿
7
齿轮齿条
8
内齿轮
9
交错轴齿轮传动机构
斜 齿
10
蜗杆蜗轮
11
人字齿
12
相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构）
直齿
13
斜齿
14
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准双曲面齿轮
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（二）、问题探究2
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那 么自行车在笔直的道路上行使时，白色印记会画 出什么样的曲线？
M
B
y
O
A
B
M C
OD
A
Ex
摆线的参数方程为：xyrr((1csoins)).,(为参数)
思考 在摆线的参数方程中，参数φ的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
20
说明
1）、摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线） 上滚动时，动圆上一点的轨迹。
2）、当基线是直线时，就得到平摆线或变 幅平摆线。
M
解 得 x y rr((c so in s c so in s ))(是 参 数 )。 B
这就是圆的渐开线的参数方程。
O
A
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渐开线的参数方程
x y rr((c so in s c so in s ))(是 参 数 )。
3、渐开线的应用：
y
在机械工业中，广泛地使
用齿轮传递动力。
M
由于渐开线齿行的齿轮 磨损少，传动平稳，制造安 装较为方便，因此大多数齿 轮采用这种齿形。
第二讲（四）
渐开线与摆线
一、新课教学 （一）、问题探究1 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在 绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳 子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条 曲线。
这条曲线的形状怎样？
能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
2
.如图设开始笔时尖 位 绳于 子 A,点 外
以基圆圆心O为原点，直线OA 为x轴，建立平面直角坐标系。
y 图217
M
设基圆的半径为r，绳子
B
外端M的坐标（x，y），显
然，点M由角φ唯一确定。
O
A
x
取 为 参 数 ， 则 点 B 的 坐 标 为 （ r c o s , r s i n ） , 从 而
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2、圆的渐开线的方程求解
B M ( x r c o s , y r s i n ) , |B M | r .