天津市红桥区2014届下学期高三年级第一次模拟考试数学试卷(文科) 有答案

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9-红桥区高三年级模拟考试(一)

红桥区高三年级模拟考试(一) (考试时间：2014年4月3日)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题：(本大题共8／J~N_。

每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的)1．复数1ii 1i-++等于( ) A ．i - B ．1 C ．1- D ．02．设 cos 12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a 与 2(c 1o )s θ=-，b 垂直，则cos2θ的值等于( ) A． B ．12- C ．0 D ．1-3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则( )A ．若m ∥ n α，∥α，则m ∥nB. 若m ∥ m α，∥β，则α∥βC ．若m ∥ n m α⊥，，则n α⊥D ．若m ∥ ααβ⊥，，则m β⊥ 4．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于()俯视图A.B． C．D.5.·函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间20 ⎡π⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值是（）A. 1-BC． D. 06．已知333log 0.1log 2.7log 4.11 2 22b ac ⎛⎫== =⎪⎝⎭，，，则（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>7．设0r >，那么直线cos sin x y r θθ+=(θ是常数)与圆cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ是参数)的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定8.·在区间[11] -，上随机取一个数 cos2x r π，等的值介于0到12之间的概率为( )A.12B ．2πC.13D.23第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上)9．设集合2{|||4} {|430}B x x A x x x =<=-+>，，则集合 {|}x A x x A B ∉∈= ，且． 10．设抛物线24y x =上一点P 到直线2x =-的距离为5，则点P 到该抛物线焦点的距离是 .11．二项式6⎛ ⎝展开式中含2x 项的系数是．12．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项 m n a a ，，使14a ，则14m n+的最小值为． 13．如图，AB 是圆O 的直径，CD AB ⊥于D ，且 2 A D B D E =，为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F．若CD =，则EF = ．B14.·定义某种运算S a b =⊗，运算原理如图所示，则式子1512tan ln lg10043e -π⎛⎫⎛⎫⊗+⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为.三、解答题：(本大题共6小题。

天津红桥区高三第一次模拟考试数学(文)试题(扫描)

高三数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两都幼共1帥分.考试用时no 分钟，第［卷I 至2孤第ij 卷3至6页.答卷前.考生务必将自己的蛭名.准考号填写在答題卡上.井在规定位■粘贴考试用条晤码.答iffi 时.务必将菩案涂写在答JB 卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卡一并交回.祝各竝韦生考试颇利！參考公式『•如果事件X. R 互斥.那么 •公式・"7*茸中$衰乘柱体底面积.占衰示柱体的高.+• «***^式『・耳中需袁示柱体雇術枳，方衰示注体的髙. •球休表血积公式・S = 4nR\其中R 表示球体的丰径-*4•球体体积公式，V^-nR\梵申R 莪示球体的半左.3 *注童事项」r 每小JH 选出答案后.用钮笔把答趣責上对应题目的答褰标号涂JUL 如需改动.用 It皮擦干净后・再选獄其他答案标号.2・本卷共8 Bi 共㈱分.J 、在毎小艇给出的四个选项中.只有一项是符合HSK5R 的.（»> i 是虚敷单fib R«^=1 ~2ix^2y^2,（2）设变量工j 潤足酌東罢件V" F 鼻$则目标函9Hz = -x-y 的量大值为 '|/事"2,（3）已知命题p ： Sx€ R t x 2+2dur + a + 2^0.若命题卩是假命题•则实数。

的取值范国是(A) (-2J) (B) [-1,2] (C) (-1,2} (D) (0, 2]高三敷学（文科〉第1页（共®頁）(A)(A) 0(B) V CC)"(4)已to a = iog OT 0^ * = 2M t C = log 20.9，t 则（S 》执行如图的程序框图.输入x=-2.那么输出的各个数的和等于(A) 0CB) 1 (0 2<D> 3(6)以抛物线y 2= 20x 的焦点为圆心.且与双曲线= i 的渐近线相切的圆的方程为 9 16+/ *16(B) (x + 5):+/=4 (C) (x-10)'+/ =64 (D) (x-5)!+r = 4(?)若»«t y = 5in(2x + ^) + ^cos(2^ + 为奇确数.且在［0芒］上是减函数，则卩的一个 4值是 (A)壬(B) —(C) —(D)—3333<8)吕知/⑴是定文在［-“］上的奇函数*满足r ⑴… 且当/底卜1,小 *界o,'-*•■ . 1 >有V若/V) W m :-2^1+1 (M 0),对所有的"［-1J ］ t a€ ［-IJ ］恒成立*4j + n实数册的取值范围是.：(A) (-2,2)(B) (-2,0)ME (0,2)(C) (Y .-2］或(D) (-2,-1)或(匕2)高三敷学（文科）<.m2页（共玉S ）--■<H1tt■ I(A) a<6<c(B) a<c<b<C) c<6<a(D) c<a<bJJ B第II卷注意事项r用黑色靂水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上*» * » ■二*填空本大題共B个小题，毎小甄5分，共加分*■沙)某班同学利用国庆节进行社会实践.对［25,55］岁的人群1»机抽取獰人班行了一决生活习tfIJft否符合低碳观念的调査「若生活习惯符合低碳观念的称为理低碳族匕若则称为*•非低碳娱3褂到如下藐计浪，但由于不小心表中字母衰示的部分失.現知遭檢M査的人申低碳集占65%.则40岁及其以上人群中.低碳族占该部分人数的频率为请将弄余再在苓亀卓上.分组|组内人数频率低碳族的人数第一组[25,30)2001 0.2no '第二组[30.35)30003196第三组[3530)110a100第四组[40,45)2507 b~ c ~ _第五组[45.50)X30I第六组{50,55)y J24(10)若西数/(x)-/；丈〔则不等式Ax) > -2的解集为it出沁崔菱亦x - 2x - x 1(11 > 已知/二{l,2,3}B = (r €/?” 一朋+ ! = 0卫€ 川}・则AC\B - B时口的值是(12)如图所禾，圆。

2014年天津市高考数学试卷(文科)(含解析版)

2014 年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5 分） i 是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣ 1+i C．+ i D．﹣+ i 2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（）A．2B．3C．4D．53．（5 分）已知命题 p：? x＞0，总有（ x+1）e x＞ 1，则￢ p 为（）A．? x0≤ 0，使得（ x0+1）e≤1B．? x0＞0，使得（ x0+1）e≤ 1C．? x＞0，总有（ x+1）e x≤ 1D．? x≤ 0，总有（ x+1） e x≤1﹣ 24．（5 分）设 a=log2π， b=log π，c=π，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a 5．（ 5 分）设 { a n} 的首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（）A．2B．﹣ 2C．D．﹣6．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=17．（5 分）如图，△ ABC是圆的内接三角形，∠ BAC的平分线交圆于点D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠ CBF；② FB2=FD?FA；③ AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④8．（5 分）已知函数 f（x）=sin ωx+cos ωx（ω＞ 0），x∈R，在曲线 y=f（x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．10．（ 5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为m3．11．（ 5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S 的值为．12．（ 5 分）函数 f （x） =lgx2的单调递减区间是．13．（ 5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上， BC=3BE，DC=λDF，若 ? =1，则λ的值为．14．（ 5 分）已知函数 f（x）=，若函数y=f（x）﹣a| x|恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（ 13 分）某校夏令营有3 名男同学， A、 B、 C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有1 名男同学和 1 名女同学”，求事件 M 发生的概率．16．（13 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a﹣c= b，sinB= sinC，（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 cos（2A﹣）的值．417．（ 13 分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明 EF∥平面 PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣ AD﹣ B 为 60°，（i）证明平面 PBC⊥平面 ABCD；（ii）求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值．18．（ 13 分）设椭圆+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，已知 | AB| =| F1 F2| ．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M ， | MF2| =2，求椭圆的方程．19．（ 14 分）已知函数 f （x）=x2﹣ax3（a＞0）， x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，求 a 的取值范围．20．（ 14 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合M={ 0，1，2，，n﹣1q﹣1} ，集合 A={ x| x=x1+x2q+ +x n q，x i∈M，i=1，2， n}．（Ⅱ）设 s，t ∈A，s=a1+a2q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i∈M，i=1，2，，n．证明：若 a n＜b n，则 s＜t ．2014 年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5 分） i 是虚数单位，复数=（）A．1﹣i B．﹣ 1+i C．+ i D．﹣+ i【考点】 A5：复数的运算．【专题】 5N：数系的扩充和复数．【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．【解答】解：复数==，故选： A．【点评】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的意义，属于基础题．2．（5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数z=x+2y 的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】 7C：简单线性规划．【专题】 59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由 z=x+2y，得 y=﹣，平移直线 y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣ 的截距最小，此时 z 最小．此时 z 的最小值为 z=1+2×1=3，故选： B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．．（分）已知命题p ：? x ＞0，总有（ x+1）e x＞ 1，则￢ p 为（）3 5A ．? x 0≤ 0，使得（ x 0+1）e ≤1B ．? x 0＞0，使得（ x 0+1）e ≤ 1C ．? x ＞0，总有（ x+1）e x ≤ 1D ．? x ≤ 0，总有（ x+1） e x ≤1【考点】 2H ：全称量词和全称命题； 2J ：命题的否定．【专题】 5L ：简易逻辑．【分析】据全称命题的否定为特称命题可写出命题p 的否定．【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为 ? x 0＞0，使得（ x 0+1）e ≤1，故选： B ．【点评】本题主要考查了全称命题的否定的写法，全称命题的否定是特称命题．2﹣ 2）π， b=log π，c=π ，则（4．（5 分）设 a=logA ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a8【考点】 4M：对数值大小的比较．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c 的取值范围，即可得到结论．【解答】解： log2π＞，﹣ 2π＜，＜π＜ 1，1 log0 0即 a＞1，b＜0，0＜c＜ 1，∴ a＞ c＞b，故选： C．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．5．（ 5 分）设 { a n} 的首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，若 S1，S2，S4成等比数列，则 a1=（）A．2B．﹣ 2C．D．﹣【考点】 83：等差数列的性质； 87：等比数列的性质．【专题】 54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的前n 项和求出 S1，S2， S4，然后再由 S1，S2，S4成等比数列列式求解 a1．【解答】解：∵ { a n} 是首项为 a1，公差为﹣ 1 的等差数列， S n为其前 n 项和，∴S1=a1， S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由 S1，S2， S4成等比数列，得：，即，解得：．故选： D．【点评】本题考查等差数列的前n 项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．96．（5 分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【考点】 KB：双曲线的标准方程．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线 l：y=2x+10，可得=2，结合 c2=a2+b2，求出 a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l 上，令 y=0，可得 x=﹣ 5，即焦点坐标为（﹣ 5，0），∴ c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选： A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．7．（5 分）如图，△ ABC是圆的内接三角形，∠ BAC的平分线交圆于点D，交 BC 于 E，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠ CBF；② FB2=FD?FA；③ AE?CE=BE?DE；④AF?BD=AB?BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【考点】 2K：命题的真假判断与应用；NC：与圆有关的比例线段．【专题】 5B：直线与圆．【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．【解答】解：∵圆周角∠ DBC对应劣弧 CD，圆周角∠ DAC对应劣弧 CD，∴∠ DBC=∠DAC．∵弦切角∠ FBD对应劣弧 BD，圆周角∠ BAD对应劣弧 BD，∴∠ FBD=∠BAF．∵ AD 是∠ BAC的平分线，∴∠ BAF=∠DAC．∴∠ DBC=∠FBD．即 BD 平分∠ CBF．即结论①正确．又由∠ FBD=∠FAB，∠ BFD=∠AFB，得△ FBD～△ FAB．由，FB2=FD?FA．即结论②成立．由，得 AF?BD=AB?BF．即结论④成立．正确结论有①②④．故选： D．【点评】本题考查了弦切角、圆周角与弧的关系，还考查了三角形相似的知识，本题总体难度不大，属于基础题．8．（5 分）已知函数 f（x）=sin ωx+cos ωx（ω＞ 0），x∈R，在曲线 y=f（x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【考点】 H1：三角函数的周期性； H2：正弦函数的图象．【专题】 57：三角函数的图像与性质．【分析】根据 f（x）=2sin（ωx+），再根据曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为，正好等于 f（ x）的周期的倍，求得函数f（x）的周期 T 的值．【解答】解：∵已知函数f（ x） = sin ωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线 y=f（ x）与直线 y=1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于 f（x）的周期的倍，设函数 f（x）的最小正周期为T，则=，∴ T=π，故选： C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，得到正好等于f（x）的周期的倍，是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9．（5 分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取60名学生．【考点】 B3：分层抽样方法．【专题】 5I：概率与统计．【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．【解答】解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，故应从一年级本科生中抽取名学生数为 300× =60，故答案为： 60．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用了总体中各层的个体数之比等于样本中对应各层的样本数之比，属于基础题．10（．5 分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．【考点】 L!：由三视图求面积、体积．【专题】 5Q：立体几何．【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为 2，底面直径为 4，∴几何体的体积V=π×12× 4+×π×22× 2=4π+π= π．故答案为：．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．11．（ 5 分）阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S 的值为﹣4．【考点】 EF：程序框图．【专题】 5K：算法和程序框图．【分析】写出前二次循环，满足判断框条件，输出结果．【解答】解：由框图知，第一次循环得到：S=﹣ 8， n=2；第二次循环得到： S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣ 4．故答案为：﹣ 4．14能力．．（分）函数2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．12 5 f （x） =lgx【考点】 3G：复合函数的单调性．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】先将 f（x）化简，注意到x≠0，即 f（x） =2lg| x| ，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断．【解答】解：方法一： y=lgx2=2lg| x| ，∴当 x＞0 时， f（x）=2lgx 在（ 0，+∞）上是增函数；当 x＜0 时， f （x）=2lg（﹣ x）在（﹣∞， 0）上是减函数．∴函数 f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．故答案为：（﹣∞， 0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞， 0）上是减函数，在（ 0，+∞）为增函数；又 y=lgt 在其定义域上为增函数，∴ f（x）=lgx2在（﹣∞， 0）上是减函数，在（ 0，+∞）为增函数，∴函数 f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞， 0）．故答案为：（﹣∞， 0）．【点评】本题是易错题，学生在方法一中，化简时容易将y=lgx2=2lg| x| 中的绝对值丢掉，方法二对复合函数的结构分析也是最常用的方法，此外，本题还可以利用数形结合的方式，即画出 y=2lg| x| 的图象，得到函数的递减区间．13．（ 5 分）已知菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，点 E，F 分别在边 BC，DC上， BC=3BE，DC=λDF，若 ? =1，则λ的值为 2 ．【考点】 9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】 5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论．【解答】解：∵ BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，= + = += +，= + = += +，∵菱形 ABCD的边长为 2，∠ BAD=120°，∴ | | =| | =2，?=2× 2× cos120°=﹣2，∵? =1，∴（ +）?（ +） =++（1+） ?=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2，故答案为： 2．【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式．14．（ 5 分）已知函数 f（x）=，若函数y=f（x）﹣a| x|恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为（1，2）．【考点】 53：函数的零点与方程根的关系．【专题】 51：函数的性质及应用．【分析】由 y=f（x）﹣ a| x| =0 得 f （x） =a| x| ，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由 y=f（ x）﹣ a| x| =0 得 f（x）=a| x| ，16当 a≤0，不满足条件，∴ a＞ 0，当 a≥2 时，此时 y=a| x| 与 f（ x）有三个交点，当 a=1 时，当 x＜0 时， f （x）=﹣x2﹣5x﹣4，由 f（ x）=﹣x2﹣ 5x﹣4=﹣x得 x2+4x+4=0，则判别式△ =16﹣4×4=0，即此时直线 y=﹣ x 与 f（x）相切，此时 y=a|x| 与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣ a| x| 恰有 4 个零点，则 1＜a＜2，故答案为：（ 1， 2）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .15．（ 13 分）某校夏令营有3 名男同学， A、 B、 C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学A B C女同学X Y Z现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，求事件 M 发生的概率．【考点】 CB：古典概型及其概率计算公式；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】 5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）用表中字母一一列举出所有可能的结果，共15 个．（Ⅱ）用列举法求出事件M 包含的结果有 6 个，而所有的结果共15 个，由此求得事件 M 发生的概率．【解答】解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X， Z ）、（Y，Z），共计 15 个结果．（Ⅱ）设 M 为事件“选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学”，则事件M 包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计 6 个结果，故事件 M 发生的概率为=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．16．（13 分）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a﹣c= b，sinB= sinC，（Ⅰ）求 cosA 的值；（Ⅱ）求 cos（2A﹣）的值．【考点】 GP：两角和与差的三角函数；HP：正弦定理．【专题】 56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的 a，b 代入计算，即可求出cosA的值；（Ⅱ）由 cosA 的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA 的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A 与 cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（Ⅰ）将 sinB= sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入 a﹣c=b，得： a﹣c=c，即 a=2c，∴ cosA=== ；（Ⅱ）∵ cosA=，A 为三角形内角，∴ sinA==，2﹣﹣，，∴ cos2A=2cosA1=sin2A=2sinAcosA=则 cos（2A﹣） =cos2Acos+sin2Asin =﹣× +× =．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（ 13 分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明 EF∥平面 PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣ AD﹣ B 为 60°，（ i）证明平面 PBC⊥平面 ABCD；（ ii）求直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值．【考点】LS：直线与平面平行；LY：平面与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】 5G：空间角； 5H：空间向量及应用； 5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）要证明EF∥平面 PAB，可以先证明平面EFH∥平面 PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；（Ⅱ）（i）要证明平面PBC⊥平面 ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证PB⊥平面 ABCD即可；（ii）由（ i）知， BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系 B﹣DAP，得到直线 EF的方向向量与平面 PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面 ABCD是平行四边形，∴ H 为 BD 中点，∵E 是棱 AD 的中点．∴在△ ABD中， EH∥ AB，又∵ AB? 平面 PAB，EH?平面 PAD，∴ EH∥平面 PAB．同理可证， FH∥平面 PAB．又∵ EH∩ FH=H，∴平面 EFH∥平面 PAB，∵EF? 平面 EFH，∴ EF∥平面 PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结 PE，BE．∵BA=BD= ，AD=2，PA=PD= ，∴ BE=1，PE=2．又∵ E 为 AD 的中点，∴ BE⊥ AD，PE⊥AD，∴∠ PEB即为二面角 P﹣AD﹣B 的平面角，即∠ PEB=60°，∴ PB= ．∵△ PBD中， BD2+PB2 =PD2，∴ PB⊥BD，同理 PB⊥BA，∴ PB⊥平面 ABD，∵PB? 平面 PBC，∴平面 PAB⊥平面 ABCD；（ii）由（ i）知， PB⊥BD，PB⊥ BA，∵ BA=BD= ，AD=2，∴ BD⊥BA，∴ BD，BA，BP 两两垂直，以 B 为坐标原点，分别以 BD，BA，BP 为 X，Y，Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B﹣DAP，则有 A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D（，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面 PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故 =（1，1，0），∵ E， F 分别是棱 AD，PC的中点，∴E（，，0），F（，﹣，），∴=（0，，），∴ sin θ====﹣，即直线 EF与平面 PBC所成角的正弦值为．【点评】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．18．（ 13 分）设椭圆1、F2，右顶点+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为 F为 A，上顶点为 B，已知 | AB| = | F1 2| ．F（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点 F1，经过点 F2的直线 l 与该圆相切于点 M ， | MF2| =2，求椭圆的方程．【考点】 K3：椭圆的标准方程； K4：椭圆的性质； KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】 5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）分别用a，b，c 表示出 | AB| 和 | F1F2| ，根据已知建立等式求得a 和 c 的关系，进而求得离心率e．（Ⅱ）根据（ 1）中 a 和 c 的关系，用 c 表示出椭圆的方程，设出P 点的坐标，根据 PB 为直径，推断出BF1⊥ PF1，进而知两直线斜率相乘得﹣1，进而求得sin θ和 cos θ，表示出 P 点坐标，利用 P，B 求得圆心坐标，则可利用两点间的距离公式分别表示出 | OB| ，| OF2| ，利用勾股定理建立等式求得c，则椭圆的方程可得．【解答】解：（Ⅰ）依题意可知=?2c，∵b2=a2﹣ c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e= = ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣ c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣ c，0）设 P 点坐标（ csin θ，ccosθ），以线段 PB 为直径的圆的圆心为 O，∵ PB为直径，∴ BF1⊥ PF1，∴ k BF1?k PF1=?=﹣ 1，求得 sin θ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知， P 在 x 轴下方和上方结果相同，只看在x 轴上方时，cos θ== ，∴P 坐标为（﹣ c， c），∴圆心 O的坐标为（﹣ c， c），∴ r=| OB| == c， | OF2| ==c，∵r2+| MF2| 2=| OF2| 2，∴+8= c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．第（1）相对简单，主要是求得 a 和 c 的关系；第（ 2）问较难，利用参数法设出P 点坐标是关键．19．（ 14 分）已知函数 f （x）=x2﹣ax3（a＞0）， x∈R．（Ⅰ）求 f（ x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，求 a 的取值范围．【考点】 6C：函数在某点取得极值的条件；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】 53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数的正负，可得f（x）的单调区间，从而求出函数的极值；（Ⅱ）由 f（ 0） =f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（ 0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，（fx）＜0．设集合 A={ f（x）| x∈（2，+∞）} ，集合 B={| x∈（1，+∞），f（x）≠0} ，则对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，等价于 A? B，分类讨论，即可求 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） f ′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），令 f （′x）=0，解得 x=0 或 x=．当 x 变化时， f ′（x）， f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞， 0）0（0，）（，+∞）f （′x）﹣0+0﹣f（x）递减0递增递减所以，（fx）的单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当 x=0 时，有极小值 f（0）=0，当 x=时，有极大值 f（）=；24（Ⅱ）由 f（ 0） =f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（ 0，）时，f（x）＞0；当x ∈（， +∞）时， f（x）＜ 0．设集合 A={ f（x）| x∈（ 2，+∞） } ，集合 B={| x∈（ 1，+∞），f（ x）≠ 0} ，则对于任意的x1∈（ 2，+∞），都存在 x2∈（ 1，+∞），使得 f（ x1）?f（x2）=1，等价于 A? B，显然 A≠?下面分三种情况讨论：①当＞2，即 0＜ a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0?B，∴ A不是B的子集；②当 1≤≤ 2，即时，f（2）≤ 0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故 A=（﹣∞， f（2）），∴ A? （﹣∞， 0）；由 f（ 1）≥ 0，有 f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞， 0），即（﹣∞， 0）? B，∴ A? B；③当＜1，即 a＞时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴ A不是B的子集．综上， a 的取值范围是 [] ．【点评】利用导数可以求出函数的单调区间和极值；解决取值范围问题，很多时候要进行等价转化，分类讨论．20．（ 14 分）已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数，设集合M={ 0，1，2，，n﹣1q﹣1} ，集合 A={ x| x=x1+x2q+ +x n q，x i∈M，i=1，2， n}．（Ⅱ）设 s，t ∈A，s=a1+a2q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i∈M，i=1，2，，n．证明：若 a n＜b n，则 s＜t ．【考点】 8E：数列的求和； 8K：数列与不等式的综合．【专题】 54：等差数列与等比数列；55：点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）当 q=2， n=3 时， M={ 0，1} ， A={ x| x=x1+x2?2+x3?22，x i∈M ，i=1，252，3} ．即可得到集合A．（Ⅱ）由于 a i，b i∈ M，i=1，2，，n．a n＜b n，可得 a n﹣b n≤﹣ 1．由题意可得 s﹣t=（a1﹣b1）+（a2﹣ b2）q+ +（a n﹣1﹣ b n﹣1）q n﹣2+（ a n﹣b n）q n﹣1≤（ q﹣ 1） +（ q﹣ 1） q+ +（ q﹣ 1） q n﹣2﹣q n﹣1再利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【解答】（Ⅰ）解：当 q=2，n=3 时，M={ 0， 1} ，A={ x| x=x1+x2?2+x3?22， x i∈ M，i=1，2，3} ．可得 A={ 0，1，2，3，4，5，6，7} ．（Ⅱ）证明：由设s，t∈ A， s=a1+a2 q+ +a n q n﹣1，t=b1+b2q+ +b n q n﹣1，其中 a i，b i ∈M， i=1， 2，，n．a n＜b n，∴ s﹣t=（a1﹣ b1）+（a2﹣b2） q+ +（a n﹣1﹣ b n）q n﹣2+（a n﹣b n）q n﹣1﹣1≤（ q﹣1）+（q﹣1）q+ +（q﹣1）q n﹣2﹣ q n﹣1=（q﹣1）（1+q+ +q n﹣2）﹣ q n﹣1=﹣q n﹣ 1=﹣1＜0．∴s＜t ．【点评】本题考查了考查了集合的运算及其性质、等比数列的前n项和公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．26。

数学_2014年天津市五区县高考数学一模试卷(文科)(含答案)

2014年天津市五区县高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知全集U=R，集合A=﹛x|x−2>0﹜，B=﹛x|x|≤1﹜．则(∁U A)∪B=()A {x|−1≤x≤1}B {x|−1≤x≤1或x>2}C {x|−1≤x≤2}D {x|x≤2}2. 设双曲线x z−y z=1的两条渐近线与直线x=3围成的平面区域D内（包括边界）的任一点为(x, y)，则目标函数z=x+4y的最大值为（）A 15B 12C 9D 03. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A 2013×1006B 2013×1007C 2015×1007D 2015×10084. “a>1”是“函数y=x2−2ax+a有两个零点”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件5. 点P(2, −1)为圆(x−1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为()A x+y−1=0B 2x+y−3=0C x−y−3=0D 2x−y−5=06. 当x∈[−π2, π2]时，函数f(x)=sinx+√3cosx的最大值与最小值分别是（）A 1，−1B 1，−12C 2，−2D 2，−17. 已知x=log32，y=log95，z=0.5−0.2，则（）A x<y<zB z<x<yC z<y<xD y<z<x8. 定义一种新运算：a⊗b={b,a≥ba,a<b，已知函数f(x)=(1+2x)⊗3log2(x+1)，若方程f(x)−k=0恰有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为（）A (−∞, 3)B (1, 3)C (−∞, −3)∪(1, 3)D (−∞, −3)∪(0, 3)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. i是虚数单位，5i3−4i=________．10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于________．11. 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x2−y2=2的右焦点重合，则p的值为________．12. 在△ABC中，已知AB=2，BC=3，∠ABC=60∘，AH⊥BC于H，M为AH的中点，若AM →=λAB →+μBC →，则λ+μ=________．13. 如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，且DF =CF =√2，E 是AB延长线上一点，AF:BF:BE =4:2:1，若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．14. 若满足ab =a +b +3的任意正数a ，b 均有|x −6|≤ab ，则实数x 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 某学校甲、乙两个班参加体育达标测试，统计测试成绩达标人数情况得到如下所示的列联表，已知在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为110．（1）请完成列联表；（2）若用分层抽样的方法在所有测试不达标的学生中随机抽取6人，问其中从甲、乙两个班分别抽取多少人？（3）从（2）中的6人中随机抽取2人，求抽到的两人恰好都来自甲班的概率． 16. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2√3，cosA =−12，b =2．（1）求c 的值；（2）设f(x)=cos2x +2sin 2(x +B)，求函数f(x)的单调递增区间．17. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，AC =CB =CC 1=2，∠ACB =90∘，D ，E 分别是A 1B 1，CC 1的中点． (1)求证：C 1D // 平面A 1BE ；(2)求证：平面A 1BE ⊥平面AA 1B 1B ；(3)求直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值．18. 在等差数列{an}和正项等比数列{bn}中，a 1=b 1=1，b 2⋅b 4=16，{a n }的前8项和S 8=92．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）令T n =a 1bn+1+a 2bn+2+...+an b 2n⋅n ∈N ∗，求T n ．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，D(1, 0)，过椭圆C 的焦点F(√2, 0)且垂直于1x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，OA →⋅OB →=53．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点D 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若MD →=2DN →，求直线MN 的方程；（3）设直线y =kx +2交椭圆于P ，Q 两点，若DP →⋅DQ →=0，求k 的值．20. 已知函数f(x)=x 3−3x 的图象和函数g(x)=2x 2+x +m 的图象在y 轴右侧有两个不同的交点，设两个交点分别为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)．（1）求实数m 的取值范围；（2）设直线AB 的斜率为k ，求证：x 1x 2<2(x 1+x 2−2)<k ．2014年天津市五区县高考数学一模试卷（文科）答案1. D2. A3. B4. A5. C6. D7. A8. C9. −45+35i 10. 54π 11. 4 12. 2313. √72 14. [−3, 15]15. 解：（1）在全部学生中随机抽取1人为不达标的概率为110，总人数为120，故不达标的人数为12，达标的人数为108，乙班不达标为4人，甲班达标的人数为54，故有（2）由表可知：用分层抽样的方法从甲班抽取的人数为812×6=4人，…从乙班抽取的人数为412×6=2人…（3）设从甲班抽取的人为a，b，c，d，从乙班抽取的人为1，2；“抽到的两个人恰好都来自甲班”为事件A．…所得基本事件共有15种，即：ab，ac，ad，a1，a2，bc，bd，b1，b2，cd，c1，c2，d1，d2，12…其中事件A包含基本事件ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种，…由古典概型可得P(A)=615=25…16. 解：（1）在△ABC中，由a=2√3，cosA=−12，b=2，∴ cosA=b2+c2−a22bc =4+c2−124c=−12，解得：c=2或c=−4（舍去），则c的值为2；（2）∵ cosA=−12，A为三角形的内角，∴ A=2π3，∵ b=c=2，∴ B=C=π6，∴ f(x)=cos2x+2sin2(x+π6)=cos2x+1−cos(2x+π3)=cos2x−12cos2x+√32sin2x+1=12cos2x+√32sin2x+1=sin(2x+π6)+1，即f(x)=sin(2x+π6)+1，令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)，得到kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，则f(x)的单调递增区间为[kπ−π3, kπ+π6](k∈Z)．17. (1)证明：取AB的中点F，连接DF交A1B于点M，可知M为DF中点，连接EM，易知四边形C1DME为平行四边形，所以C1D // EM．又C1D⊄平面A1BE，EM⊂平面A1BE，所以C1D // 平面A1BE．(2)证明：因为A1C1=C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1．因为BB1⊥平面A1B1C1，所以BB1⊥C1D．所以C1D⊥平面AA1B1B．又C1D // EM，所以EM⊥平面AA1B1B．又EM⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面AA1B1B.(3)解：如图建立空间直角坐标系C −xyz ，则B(0, 2, 0)，C 1(0, 0, 2)，E(0, 0, 1)，A 1(2, 0, 2)，所以BC 1→=(0, −2, 2)，EA 1→=(2, 0, 1)，EB →=(0, 2, −1)．设平面A 1BE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{2x +z =0，2y −z =0，令x =1，则n →=(1, −1, −2)，所以cos <BC 1→，n →>=BC 1→⋅n→|BC 1→||n →|=−√36，所以直线BC 1与平面A 1BE 所成角的正弦值为√36.18. 解：（1）设{an}解得的公差为d ，{bn}的公比为q ，q >0依题意 S 8=8+8×72×d =92，b 2⋅b 4=b 32=q 4=16解得d =3，q =2．∴ a n =1+(n −1)×3=3n −2， b n =1×2n−1=2n−1 （2）T n =12n +42n+1+72n+2+⋯+3n−222n−1①12T n=12n+1+42n+2+72n+3+⋯+3n−522n−1+3n−222n②①-②得12T n =12n +3(12n+1+12n+2+12n+3+⋯+122n−1)−3n−222n=12n +3×12n+1(1−12n−1)1−12−3n −222n =42n −3n +422n ∴ T n =82n −6n+822n19. 解：（1）由已知得A(√2, b 2a )，B(√2, −b 2a )， ∴ OA →⋅OB →=2−b 4a 2=53，得b 4a 2=13，又a 2=b 2+2，∴ a 2=3，b 2=1， ∴ 椭圆C 的方程为x 23+y 2=1．（2）若直线MN 的斜率为0，则MD →≠2DN →，若直线MN 的斜率不为0，设MN:x =ty +1，代入x 23+y 2=1，得(t 2+3)y 2+2ty −2=0，由MD →=2DN →，得y 1=−2y 2， y 1+y 2=−y 2=−2t t 2+3，y 1y 2=−2y 22=−2t 2+3，整理，得−2(2tt 2+3)2=−2t 2+3，解得t =±1，直线MN 的方程：x =±y +1，即y =x −1或y =−x +1．（3）将y =kx +2代入x 23+y 2=1，得(3k 2+1)x 2+12kx +9=0，(∗)记P(x 3, y 3)，Q(x 4, y 4)，则x 3+x 4=−12k 3k 2+1，①，x 3x 4=93k 2+1，②，PD →⋅QD →=(x 3−1, y 3)⋅(x 4−1, y 4)=(x 3−1)(x 4−1)+y 3y 4=0，又y 3=kx 3+2，y 4=kx 4+2，∴ (k 2+1)x 3x 4+(2k −1)(x 3+x 4)+5=0，③ 将①②代入③，得： k =−76，此时(∗)中，△>0．∴ k =−76．20. （1）解：f(x)=x 3−3x ，g(x)=2x 2+x +m ，令ℎ(x)=f(x)−g(x)=x 3−2x 2−4x −m ，则ℎ′(x)=3x 2−4x −4．由ℎ′(x)=0，得：x =−23，x =2．当x ∈(0, 2)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为增函数；当x ∈(2, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为减函数．又ℎ(0)=−m ，ℎ(2)=−8−m ．且f(x)与g(x)的图象的两个交点都在y 轴右侧， ∴ {−m >0−m −8<0，解得：−8<m <0；（2）证明：由（1）知，0<x 1<2，x 2>2．∴ (x 1−2)(x 2−2)<0，即x 1x 2−2(x 1+x 2)+4<0， x 1x 2<2(x 1+x 2−2)．∵ y 1=2x 12+x 1+m ，y 2=2x 22+x 2+m ．∴ y1−y2=(x1−x2)(2x1+2x2+1)．∴ k=y1−y2x1−x2=2(x1+x2+12)．∵ 2(x1+x2+12)>2(x1+x2−2)，∴ x1x2<2(x1+x2−2)<k．。

2014年天津市高考数学试卷(文科)答案与解析

2014年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（）+i +i 解：复数==2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（）e≤e≤e≤4．（5分）（2014•天津）设a=log2π，b=logπ，c=π，则（）logn1n124成等比数列，得：即，解得：6．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的﹣=1 B﹣=1﹣=1 D﹣=1先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1=2∵双曲线﹣=2∴双曲线的方程为﹣的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．由由若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）x+的交点中，相邻交点距离的最小值为，）的周期的=x+的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于）的周期的=正好等于倍，是解题的关键，9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本解：根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，×10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．4+ππ故答案为：．复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据方法二：原函数是由复合而成，DC=λDF，若•=1，则λ的值为2．=，，=++=，=++=，||=|••=1∴（）+）•××）整理得14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；．16．（13分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．sinB=b=bcosA==；cosA=sinA==﹣sin2A=2sinAcosA=，﹣=cos2Acos=×+×=．E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；BA=BD=PA=PD=PB=BA=BD=，﹣，，），=，﹣，），），的法向量为，∴，令=，，﹣），=，），===所成角的正弦值为18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点解：（Ⅰ）依题意可知==．∴椭圆方程为=1点坐标（•或，坐标为（﹣，c cr=|OB|===+8=c∴椭圆的方程为+19．（14分）（2014•天津）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；））时，（B={．）（，单调递增区间为）））时，（B={|x＞＜）＜时，有（[A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，A={x|+≤A={x|，11。

【2014红桥一模】天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试数学(文) 扫描版含答案

高三数学（文）答案（2014、04）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C A Ｂ D C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．{}4314<<<<-x x x 或 10．3 11．4 12．3 13．23 14．13三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分13分）（Ⅰ）因为sinC=2sinA 21sin sin ==∴C A c a .............................................2 522==∴BC AB . (4)（Ⅱ）bc a c b A 2cos 222-+==552……………………………7 55cos 1sin 2=-=∴A A …………………..8 所以54cos sin 22sin ==A A A 531c o s 22c o s 2=-=A A ..…10 sin 24A π⎛⎫- ⎪⎝⎭=4sin 2cos 4cos 2sin ππA A -102= (13)16．（本小题满分13分）(Ⅰ) ① 树形图：……………………………………2 ②所以爸爸抽出的牌的牌面数字比4大的概率是32 (4)（Ⅱ）不公平，理由如下： (5)…………………………………………….9 爸爸抽出的牌的牌面数字比亮亮的大有5种情况，其余均为小于等于亮亮的牌面数字所以爸爸胜的概率只有125，显然对爸爸来说是不公平的.................................11 只需把黑5改成3即可 (13)17．（本小题满分13分）（Ⅰ）在等边三角形ABC 中,AD AE = A D A E D B E C ∴= (1)在折叠后的三棱锥A BCF -中也成立,//DE BC ∴ .........................................2 DE ⊄ 平面BCF , BC ⊂平面BCF ,//DE ∴平面BCF ...................................4 （Ⅱ）在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥,12BF CF == (5)在三棱锥A BCF -中,22BC =,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥ …………7 BF CF F CF ABF ⋂=∴⊥ 平面 ………………………………………………9 （Ⅲ）由（Ⅰ）可知//GE CF ，结合（Ⅱ）可得GE DFG ⊥平面．11111131332323323324F DEG E DFG V V DG FG GF --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ (13)18．（本小题满分13分）…………………………………..13（Ⅰ）当1a =时, (1)所以2()6126(2)242466f x x x f ''=-+∴=-+=…………………………4 ()y f x =在(2,(2))f 处的切线方程是:46(2)680y x x y -=-⇒--=…..6 （Ⅱ）22()66(1)66[(1)]6(1)()f x x a x a x a x a x x a '=-++=-++=-- (8)①当1a >时,时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减所以当 [0,2||]x a ∈时,且2||2a >,时,()y f x =递增,(1,)x a ∈时,()y f x =递减 (10)所以最小值是32223()23(1)63f a a a a a a a =-++=- ②当1a <-时,且2||2a >,在[0,2||]x a ∈时,(0,1)x ∈时,()y f x =递减,[1,2||]x a ∈时,()y f x =递增,所以最小值是(1)31f a =- 综上所述:当1a >时,函数()y f x =最小值是233a a -;当1a <-时,函数()y f x =最小值是31a - (13)19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知，b=1，又因为23==a c e ，且a 2=b 2+c 2，解得a=2 所以椭圆的方程为1422=+y x ………………………………………………4 （Ⅱ）由题意可得：A （﹣2，0），B （2，0）．设P （x 0，y 0），由题意可得：﹣2＜x 0＜2，所以直线AP 的方程为)2(200++=x x y y …………………………………6 令，则)222(200++=x y y ，即2)222(00++=x y DE (8)同理：直线BP 的方程为)2(200--=x x y y ，令，则)222(200--=x y y ，即2)222(00--=x y DF ………………………………………………………10 所以=202020204444x y x y -=-……………………………………………………..12 而，即4y 02=4﹣x 02，代入上式，所以|DE|.|DF|=1，所以|DE|.|DF|为定值1． (14)20．（本小题满分14分）（Ⅰ）在11()22n n n S a -=--+中，令n=1，可得1112n S a a =--+=，即112a =..............1 当2n ≥时，21111111()2()22n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，， (4) (5)112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-= n 即当时，b (6)又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列.............................................7 于是1(1)12,2n n n n n n b n n a a =+-⋅==∴=.........................................................................9 (II)由（I ）得11(1)()2n n n n c a n n +==+，所以 (10)由①-②得11111[1()]133421(1)()122212332n n n n n n n n T -++-+=+-+=--+∴=- 023>+n n 所以3<n T (14)。

6-2014红桥区高三年级模拟考试(一)

6 2014红桥区高三年级模拟考试（一）（考试时间：2014年4月3日）理科综合分为物理、化学、生物三部分，共300分，考试用时150分钟。

物理试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分。

祝各位考生考试顺利！以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1C 12N 14O 16Na 23Cl 35.5------第Ⅰ卷（选择题共36分）本卷共6题，每小题6分，共36分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。

1．下列有关说法正确的是（）A ．苯酚沾到皮肤上，应立即用浓NaOH 溶液洗涤B ．为了防止蛋白质盐析，疫苗等生物制剂应冷冻保藏C ．亚硝酸钠是一种食品防腐剂，使用时其用量可以不加限制D ．回收废弃塑料制成燃油替代汽、柴油，可减轻环境污染和节约化石能源 2．下列说法正确的是（）A ．所有的复分解反应都是非氧化还原反应B ．能与酸反应的氧化物，一定是碱性氧化物C ．同一元素不可能既表现金属性，又表现非金属性D ．以共价键形成的单质中只存在非极性键，以共价键形成的化合物中只存在极性键 3．下列解释事实的化学方程式或离子方程式不正确的是（） A ．钢铁发生吸氧腐蚀：()2222Fe O 2H O 2Fe OH ++=B ．2SO 使紫色石蕊溶液变红色：2223SO H O 2H SO +-+=+C ．利用NaOH 溶液除去金属铝表面的氧化膜：2322Al O 2OH 2AlO H O --+=+D ．84消毒液和洁厕灵混合使用会产生有毒气体：22Cl ClO 2H Cl H O --+++=↑+ 4．下列说法正确的是（）A ．图①铜锌原电池工作时，盐桥中的K +移向4ZnSO 溶液B ．图②装置反应一段时间，将湿润的KI 淀粉试纸靠近碳电极管口，试纸变蓝C ．图③是用海水制取蒸馏水的装置D ．图④装置可用于乙醇提取碘水中的碘5．常温下，某氨水的pH a =，某盐酸的pH b =，已知a b 14+=，将上述氨水与盐酸等体积混合后，所得溶液中各种离子浓度的关系正确的是（）A ．()()()()4NH ClH OH +-+->>>c c c c B ．()()()()4444NH NH NH NH ++++>>>c c c cC ．()()()()4Cl NH HOH -++->>>c c c c D ．()()()()4NH HCl OH ++--+=+c c c c 已知：()()()252533325O O O||||||C H O C OC H g CH O C OCH g 2CH O C OC H g --+---- 是碳酸甲乙酯的工业生产原理。

天津市红桥区届高三下学期第一次模拟考试数学(文)答案

高三数学（文）（2016、03）一、选择题：每小题5分，共40分二、填空题：每小题5分，共30分．三、解答题：共6小题，共80分．（15）（本小题满分13分）在锐角ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且满足2sin b A ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若5a c +=，且a c >，b =，求cos(2)A B +．解：（Ⅰ）因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0.--------------------------------------2分因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，则B ＝π3.---------------------------------------------5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，--------------------7分整理得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6.又a >c ，可得a ＝3，c ＝2.---------------------------------------9分于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，故sin A 13cos214A =-,sin 2A =所以11cos(2)cos2cos sin 2sin 14A B A B A B +=-=---------------------------13分（16）（本小题满分13分）要将两种大小不同的较大块儿钢板，裁成,,A B C 三种规格的小钢板，每张较大块儿钢板可同时裁成的三种规格小钢板的块数如下表：第一种钢板面积为21m ，第二种钢板面积为22m ，今分别需要A 规格小钢板15块，B 规格小钢板27块，C 规格小钢板13块．（Ⅰ）设需裁第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，用x y ，列出符合题意的数学关系式，并在给出的平面直角坐标系中画出相应的平面区域；（Ⅱ）在满足需求的条件下，问各裁这两种钢板多少张，所用钢板面积最小？解：（Ⅰ）由已知，x ，y 满足的数学关系式为2153271300x y x y xy x y +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≥⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，．--------------------4分该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分．----------------------8分（Ⅱ）设所用钢板的面积为2m z ，则目标函数为2z x y =+．------------------9分把2z x y =+变形为1122y x z =-+，这是斜率为12-，在y 轴上的截距为12z ，随z 变化的一族平行直线．当12z 取最小值时，z 的值最小．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图可知，当直线2z x y =+经过可行域上的点M 时，截距12z 最小，即z 最小．-------------------10分解方程组32713x y x y +=⎧⎨+=⎩，，得点M 的坐标为(67)，．所以min 62720z =+⨯=．-------------------------------------------------------------------------12分答：在满足需求的条件下，裁第一种钢板6张，第二种钢板7张，所用钢板的面积最小．13分（17）（本小题满分13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列（N n *∈），且11a =，13b =,已知2330a b +=，3214a b +=．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设(1)n n n c a b =+⋅，12n n T c c c =+++L ,（N n *∈），求证：3(1)2n n n T a b =+. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q依题意：2232921502313d q q q d q ⎧+=⇒--=⎨+=⎩-------------------------2分解得：3q =，2d =-----------------------------------------------4分所以21n a n =-，3nn b =.------------------------------------------6分（Ⅱ）(1)23n n n n c a b n =+⋅=⋅，211223432(1)323n n n n T c c c n n -=+++=⋅+⋅++-⋅+⋅L L ①231323432(1)323n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L ②②得：23122(3333)23n n n T n +-=++++-⋅L ，-------------------------------------8分113(13)2133()31322n n n n n T n ++--=⋅-=⋅+-------------------------------------------------------9分因为1333213(1)(21)3()322222n n n n n a b n +-+=-+=+ 所以3(1)2n n n T a b =+．---------------------------------------------------------------------------------13分（18）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且AB BC =．（Ⅰ）求证：平面BED ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求二面角F DE B --的大小；（Ⅲ）若6PA =，5DF =，求PC 与平面PAB 所成角的正切值．解：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BE ⊥又AB BC =，E 为AC 中点，故AC BE ⊥又AC PA A =I ，所以BE ⊥平面PAC ，BE ⊂平面BED ，所以平面BED ⊥平面PAC ．-----------------------------------------4分（Ⅱ）由已知得：DE ⊥平面ABC ，所以FEB ∠为二面角F DE B --的平面角，因为E ，F 分别为棱AC ，AB 的中点，AB BC ⊥，故90EFB ∠=o，EF FB =，所以，二面角F DE B --的大小为45o．--------------------------------------8分（Ⅲ）因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AB BC ⊥所以BC ⊥平面PAB ．所以BPC ∠为PC 与平面PAB 所成角，由6PA =，5DF =，得4EF =，8BC AB ==，10PB =，84tan 105BC BPC PB ∠===，所以，PC 与平面PAB 所成角的正切值为45．--------------------------------------13分（19）（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率e =，左顶点A 与右焦点F的距离2AF =（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过右焦点F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，(2,1)P 为定点，当 △MNP 的面积最大时，求l 的方程. 解：（Ⅰ）由e =得：c a --------------------------------------1分由2AF =2a c +=，②----------------------------------------3分由①②得：a =2c =，1b =，---------------------------------------5分椭圆C 的方程为2215x y +=．--------------------------------------------6分（Ⅱ）过右焦点(2,0)F 斜率为k 的直线l ：(2)y k x =-，--------------------7分联立方程组：2215(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消元得：2222(15)202050k x k x k +-+-=---------------------------8分设交点1122(,),(,)M x y N x y则21222015k x x k +=+，212220515k x x k -=+------------------------------------------9分MN==---------------------------------------------------10分点(2,1)P 到直线l的距离d =，所以△MNP的面积S ==1t =≥，则5S t t==- 记4()5g t t t=-，单调递增，min ()(1)1g t g ==，所以S，此时，0k =，l 的方程：0y =．---------------------------------------------14分（20）（本小题满分14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--?. （Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e，求a 的值；（Ⅱ）当0a >时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）若()xg x ax e =-，求证：在0x >时，()()f x g x >．解：（Ⅰ）若()()(),f x e f e 在点处的切线斜率为1e ，11()k f e a e e ¢==-=，得2a e=．----------------------------------------------3分(Ⅱ)由11'()(0)ax f x a x x x-=-=> 当0a >时，令'()0f x =解得：1x a=-------------------------5分当x 变化时，'(),()f x f x 随x 变化情况如下表：由表可知：()f x 在1(0,)a 上是单调减函数，在(,)a+∞上是单调增函数所以，当0a >时，()f x 的单调减区间为1(0,)a ，单调增区间为1(,)a+∞------8分（Ⅲ）当0x >时，要证()0xf x ax e -+>，即证ln 20xe x -->令()ln 2(0)xh x e x x =-->，只需证()0h x >1'()x h x e x=-Q由指数函数及幂函数的性质知：1'()x h x e x=-在(0,)+∞上是增函数又121'(1)10,'()302h e h e =->=-<∴1'(1)'()02h h g <'()h x 在1(,1)2内存在唯一的零点，也即'()h x 在(0,)+?上有唯一零点----------10分设'()h x 的零点为t ,则1'()0,t h t e t =-=即11(1),2t e t t =<< 由'()h x 的单调性知：当),0(t x ∈时，'()'()0h x h t <=，()h x 为减函数当(,)x t ??时，'()'()0h x h t >=，()h x 为增函数，所以当0x >时，11()()ln 2ln 212220t t h x h t e t t et t?--=--=+-?=又11,2t <<，等号不成立∴()0h x >-------------------------------14分。

(247)2014年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）i 是虚数单位，复数=++ii437（） A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+-（2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数yx z 2+=的最小值为（）A.2B. 3C. 4D. 53.已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:（） A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有4.设,,log ,log 2212-===πππc b a 则（）A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >>D.a b c >> 5.设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和，若，，，421S S S 成等比数列，则1a =（）A.2B.-2C.21 D .216.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 7.如图，ABC ∆是圆的内接三角行，BAC ∠的平分线交圆于点D ，交BC 于E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ∠；②FA FD FB ⋅=2；③DE BE CE AE ⋅=⋅；④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是（）A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 8.已知函数()3sin cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（）A.2πB.23πC.πD.2π二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m .11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________.12.函数()3lg f x x =的单调递减区间是________.13.已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=.若1AE AE ⋅=，则λ的值为________.（14）已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数xa x f y -=)(恰有4个零点，则实数a 的取值范围为_______三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（15）（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率.（16）（本小题满分13分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin = （1）求A cos 的值；（2）求)62cos(π-A 的值.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1）证明平面；（2）若二面角P-AD-B 为，① 证明：平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A ，上顶点为B.已知=.（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M ，=.求椭圆的方程.19 （本小题满分14分）已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=，求a 的取值范围20（本小题满分14分）已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}12,1,0-=q M ，集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-，（1）当3,2==n q 时，用列举法表示集合A ；设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明：若,n n b a <则t s <.2014年天津高考文科数学试题逐题详解（纯word 解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（文01）】i 是虚数单位，复数734ii +=+ A.1i - B.1i -+ C.17312525i +D.172577i -+【答案】A 【解析】73472525134343425i i i i i ii i【2014年天津卷（文02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.【2014年天津卷（文03）】已知命题p ：∀x ＞0，总有（x+1）ex ＞1，则￢p 为（）A ．∃x 0≤0，使得（x 0+1）e x0≤1 B ．∃x 0＞0，使得（x 0+1）e x0≤1C ．∀x ＞0，总有（x+1）e x≤1 D ．∀x ≤0，总有（x+1）e x≤1【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p 为∃x 0＞0，使得（x 0+1）e≤1，【2014年天津卷（文04）】设a=log 2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A ． a ＞b ＞cB ． b ＞a ＞cC ． a ＞c ＞bD ． c ＞b ＞a【答案】C【解析】log 2π＞1，log π＜0，0＜π﹣2＜1，即a ＞1，b ＜0，0＜c ＜1，∴a ＞c ＞b【2014年天津卷（文05）】设{a n }的首项为a 1，公差为﹣1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1=（） A ． 2 B ． ﹣2 C ． D ．﹣【答案】D【解析】∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：【2014年天津卷（文06）】已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【答案】A【解析】令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1【2014年天津卷（文07）】如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（）A．①②B．③④C．①②③D．①②④【答案】D【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵BD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立【2014年天津卷（文08）】已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【答案】C【解析】∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×44＋5＋5＋6＝60【2014年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为_________3m.【答案】20π3【解析】由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋13π×22×2＝20π3.【2014年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为．【答案】-4【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4【2014年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是．【答案】（﹣∞，0）【解析】方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）【2014年天津卷（文13）】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF、若•=1，则λ的值为．【答案】2【解析】∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2【2014年天津卷（文14）】已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．【答案】（1，2）【解析】由y=f（x ）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【2014年天津卷（文15）】（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学 A B C女同学X Y Z现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z ）、（Y，Z）共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=【2014年天津卷（文16）】（本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P ﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平面EFH ∥平面PAB，∵EF ⊂平面EFH，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）（i）如图，连结PE，BE．∵BA=BD=，AD=2，PA=PD=，∴BE=1，PE=2．又∵E为AD 的中点，∴BE⊥AD，PE⊥AD，∴∠PEB即为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠PEB=60°，∴PB=．∵△PBD中，BD2+PB2=PD2，∴PB⊥BD，同理PB⊥BA，∴PB⊥平面ABD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面ABCD；（ii）由（i）知，PB⊥BD，PB⊥BA，∵BA=BD=，AD=2，∴BD⊥BA，∴BD，BA，BP两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣DAP，则有A（0，，0），B（0，0，0），C（，﹣，0），D （，0，0），P（0，0，），∴=（，﹣，0），=（0，0，），设平面PBC的法向量为，∵，∴，令x=1，则y=1，z=0，故=（1，1，0），∵E，F分别是棱AD，PC的中点，∴E （，，0），F （，﹣，），∴=（0，，），∴===﹣，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为【2014年天津卷（文18）】（本小题满分13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F 2|．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|=2，求椭圆的方程．解：（Ⅰ）依题意可知=•2c，∵b 2=a 2﹣c2，∴a2+b2=2a2﹣c2=3c2，∴a2=2c2，∴e==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=2c2，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆方程为+=1，B（0，c），F1（﹣c，0）设P点坐标（csinθ，ccosθ），圆心为O∵PB为直径，∴BF 1⊥PF1，∴k•BF1k PF1=•=﹣1，求得sinθ=﹣或0（舍去），由椭圆对称性可知，P在x轴下方和上方结果相同，只看在x 轴上方时，cosθ==∴P坐标为（﹣c ，c ），∴圆心坐标为（﹣c，c），∴r=|OB|==c ，|OF2|==c，∵r2+|MF2|2=|OF 2|2，∴+8=c2，∴c2=3，∴a2=6，b2=3，∴椭圆的方程为+=1【2014年天津卷（文19）】（本小题满分14分）已知函数f（x）=x2﹣ax3（a＞0），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f （x1）•f（x2）=1，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f′（x）=2x﹣2ax2=2x（1﹣ax），∵a＞0，∴当x＜0或x时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递减区间为：（﹣∞，0）和，单调递增区间为，当x=0时，有极小值f （0）=0，当x=时，有极大值f（）=；（Ⅱ）由f（0）=f（）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，）时，f（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f（x）＜0．设集合A={f（x ）|x∈（2，+∞）}，集合B={|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x1∈（2，+ ∞），都存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）•f（x2）=1，等价于A⊆B ，显然A≠∅下面分三种情况讨论：（1）当＞2，即0＜a＜时，由f（）=0可知，0∈A，而0∈B，∴A不是B的子集；（2）当1≤≤2，即时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，f（2）），∴A⊆（﹣∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（﹣∞，0），即（﹣∞，0）⊆B，∴A⊆B；（3）当＜1，即a＞时，有f（1）＜0，且f （x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（，0），A=（﹣∞，f（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是[]【2014年天津卷（文20）】（本小题满分14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q ﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1，x i∈M，i=1，2，…n}．（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．证明：若a n＜b n，则s＜t．（Ⅰ）解：当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，x i∈M，i=1，2，3}．可得A={0，1，2，3，4，5，6，7}．（Ⅱ）证明：由设s，t∈A，s=a1+a2q+…+a n q n﹣1，t=b1+b2q+…+b n q n﹣1，其中a i，b i∈M，i=1，2，…，n．a n＜b n，∴a n﹣b n≤﹣1．可得s﹣t=（a1﹣b1）+（a 2﹣b2）q+…++≤﹣[1+q+…+q n﹣2+q n﹣1]=＜0．∴s＜t。

2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】

绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题，每小题5分，共40分。

参考公式：•如果事件A ，B 互斥，那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积，•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数734ii+=+（）（A ）1i - （B ）1i -+ （C ）17312525i + （D ）172577i -+ 解：()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-，选A .xFED CBA （2）设变量x ，y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 解：作出可行域，如图结合图象可知，当目标函数通过点()1,1时，z 取得最小值3，选B .（3）已知命题p ：0x ">，总有()11x x e +>，则p Ø为（（A ）00x $£，使得()0011xx e £+ （B ）00x $>，使得0011xx e £+（C ）0x ">，总有()11xx e +£ （D ）0x "£，总有()11xx e +£解：依题意知p Ø为：00x $>，使得()0011xx e £+，选B .（4）设2log a p =，12log b p =，2c p -=，则（）（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c b a >> 解：因为1a >，0b <，01c <<，所以a c b >>，选C .（5）设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列，则1a =（）（A ）2 （B ）-2 （C ）12 （D ）12- 解：依题意得2214S S S =，所以()()21112146a a a -=-，解得112a =-，选D . （6）已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为（）（A ）221520x y -= （B ）221205x y -= （C ）2233125100x y -= （D ）2233110025x y -= 解：依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî，所以25a =，220b =，选A . （7）如图，ABC D 是圆的内接三角形，BAC Ð的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分C B F Ð；②2FB FD FA =?；③AE CE BE DE ??；④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是（）（A ）①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④解：由弦切角定理得FBD EAC BAE ???，又BFD AFB ??，所以BFD D ∽AFB D ，所以BF BDAF AB=，即AF BD AB BF ??，排除A 、C .又FBDEAC DBC ???，排除B ，选D .（8）已知函数()cos f x x x w w =+()0w >，x R Î，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3p，则()f x 的最小正周期为（）（A ）2p（B ）23p （C ）p （D ）2p解：因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫，所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫，所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+，k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p，所以233p pw =，2w =，T p =，选C . 第Ⅱ卷注意事项： 1．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

天津市天津一中2014届高三上学期零月考文科数学含答案--含答案

天津一中2013-2014-1高三年级零月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设i 为虚数单位，则ii+-15等于（） A ．i 32-- B ．i 32+- C ．i 32- D ．i 32+2．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．阅读右面的程序框图，则输出的S =（） A. 14 B.20 C.30 D.554．设π3log =a ，3log 2=b ，2log 3=c ，则（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>5．已知集合}{1log 2≤=x x M ，}{022≤-=x x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在平行四边形ABCD 中，a AB = ，b AD =，NC AN 3=，M 为BC 的中点，则MN =（） A ．b a 4141+-B ．b a 2121+-C ．b a 21+D ．b a 4343+-7．要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象（）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向左平移3π个单位8．若函数()x f 满足()()111+=+x f x f ，当[]1,0∈x 时，()x x f =，若在区间(]1,1-上，()()m mx x f x g --=有两个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,0D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0第II 卷二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试文科数学试卷(带解析)

天津市红桥区2014届高三第一次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．复数11ii i-++等于 A ．-i B ．1 C ．-l D ．0 【答案】D. 【解析】试题分析：因为21(1)201(1)(1)2i i i i ii i ii i i ---+=+=+=-+=++-，或因为1(1)(1)01(1)1i i i i i i i i i i i i i i ---+=+=+=-+=++-，所以选D.复数运算中注意分母实数化时不要出错.考点：复数运算2．设1(,cos )2a θ=与(1,2cos )b θ=-垂直，则cos 2θ的值等于A ．2-B ．12-C ．0D ．-l【答案】B【解析】试题分析：由题意得：211(,cos )(1,2cos )2cos 0,22a b θθθ⋅=⋅-=-+=所以111cos 2,cos 2.22θθ+==-因此选B.考点：向量数量积，二倍角公式3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则 A ．若m//α，n//α，则m//n B ．若m//α，m//β，则α//β C ．若m//n ，m α⊥，则n α⊥ D ．若m//α，α⊥β，则m ⊥β【答案】C【解析】试题分析：因为两直线与同一平面平行，两直线位置关系不定，所以选项A 错误.当直线平行于两相交平面的交线时，该直线与两平面皆平行，所以选项B 错误.同样理由可得：选项D 错误.当 m α⊥，则m α⊥内任一直线l ，因为m//n ，所以n α⊥内任一直线l ，即n α⊥，因此选项C 正确. 考点：线面关系判定4．函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[0,]2π上的最小值是A ．-l B．2 C．2- D ．0 【答案】C 【解析】试题分析：因为[0,]2x π∈，所以32[,],444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭因此()s i n 2[,14f x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭即函数最小值是. 考点：三角函数最值5．函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是A ．2，3π-B ．2，6π-C ．4，6π-D ．4，3π【答案】A 【解析】试题分析：由题意得：1152,, 2.212122T T Tπππππω=-====又522,(),2,(),1223k k Z k k Z πππϕπϕπ⨯+=+∈=-+∈而22ππϕ-<<，所以.3πϕ=- 考点：求三角函数解析式6．设双曲线221mx ny +=的一个焦点与抛物线218y x =的焦点相同，离心率为2，则此双曲线的方程为A ．2213y x -= B ．2213x y -= C ．2211612y x -= D ．2211612x y -= 【答案】B【解析】试题分析：因为抛物线218y x=的焦点为(0,2),双曲线离心率为2，所以22112,1,1,3,c a a b n m =====-=-因此2211,, 1.33x n m y ==--=考点：抛物线及双曲线性质7．已知3log 4.12a =，3log 2.72b =，3log 0.112c ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．c>a>b 【答案】D 【解析】试题分析：因为33lo g10log4.1l>>，所以33333log 10log 4.1log 2.7log 10log 0.11222,2(),2>>=因此c>a>b.比较指对数大小，首先将底数化为一样.考点：指对数比较大小8．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为 A ．12 B ．2πC ．13D ．23 【答案】C 【解析】试题分析：本题是求几何概型概率，测度为长度.由1cos[0,]22xπ∈得：[,][,],22332xπππππ∈--即22[1,][,1],33x ∈--所以所求概率为1213.23⨯= 考点：几何概型概率9．设集合A={|||4x x <}，B={2|430x x x -+>}，则A B =【答案】{}4314<<<<-x x x 或【解析】试题分析：因为(4,4),A =-(3,)(,1)B =+∞-∞,所以(4,1)(3,4).A B =-考点：集合的运算10．一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积= ．【解析】试题分析：由题意得几何体为：底面为上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，顶点在地面上射影为直角梯形高的中点，即锥的高为的四棱锥，因此体积为11(12)232V =+⨯=考点：三视图11．设抛物线y 2=4x 上一点P 到直线x =-2的距离为5，则点P 到该抛物线焦点的距离是【答案】4 【解析】试题分析：由抛物线的定义知：点P 到抛物线焦点的距离等于点P 到准线x=-1的距离，所以点P 到该抛物线焦点的距离是5-1=4. 考点：抛物线的定义12．如图，AB 是半圆O 直径，∠BAC=30o。

数学_2014年天津市某校高考数学模拟试卷(10)(文科)(含答案)

2014年天津市某校高考数学模拟试卷（10）（文科）一．选择题1. 已知集合A ＝{x ∈R||x|≤2}，B ＝{x ∈R|x ≤1}，则A ∩B ＝（） A (−∞, 2] B [1, 2] C [−2, 2] D [−2, 1]2. 设变量x ，y 满足约束条件{3x +y −6≥0x −y −2≤0y −3≤0 ，则目标函数z ＝y −2x 的最小值为（）A −7B −4C 1D 23. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n 的值为（）A 7B 6C 5D 44. 设a ，b ∈R ，则“(a −b)a 2<0”是“a <b”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 5. 已知过点P(2, 2)的直线与圆(x −1)2+y 2=5相切，且与直线ax −y +1=0垂直，则a =( )A −12 B 1 C 2 D 126. 函数f(x)=sin(2x −π4)在区间[0, π2]上的最小值是( ) A −1 B −√22 C √22D 0 7. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0, +∞)单调递增．若实数a 满足f(log 2a)+f(log 12a)≤2f(1)，则a 的取值范围是（）A [1, 2]B (0,12] C [12，2] D (0, 2]8. 设函数f(x)＝e x +x −2，g(x)＝lnx +x 2−3．若实数a ，b 满足f(a)＝0，g(b)＝0，则（）A g(a)<0<f(b)B f(b)<0<g(a)C 0<g(a)<f(b)D f(b)<g(a)<0二．填空题9. i 是虚数单位．复数(3+i)(1−2i)=________．10. 已知一个正方体的所有顶点都在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．11. 已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________x 2−y 23=1 ．12. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为CD 的中点．若AC →⋅BE →=1，则AB 的长为________．13. 如图，在圆内接梯形ABCD 中，AB // DC ，过点A 作圆的切线与CB 的延长线交于点E ．若AB =AD =5，BE =4，则弦BD 的长为________． 14. 设a +b ＝2，b >0，则12|a|+|a|b的最小值为________．三．解答题15. 某小组共有A 、B 、C 、D 、E 五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如表所示：(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率 (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5, 23.9)中的概率．16. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB =√3b ． (1)求角A 的大小；(2)若a =6，b +c =8，求△ABC 的面积．17. 如图所示，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD =60∘，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA =2．（1）证明：平面PBE ⊥平面PAB ；（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小．18. 已知动点M(x, y)到直线l:x =4的距离是它到点N(1, 0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P(0, 3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．19. 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，求数列{1b n}的前n项和T n．20. 设a∈[−2, 0]，已知函数f(x)={x3−(a+5)x,x≤0x3−a+32x2+ax,x>0(Ⅰ)证明f(x)在区间(−1, 1)内单调递减，在区间(1, +∞)内单调递增；(Ⅱ)设曲线y＝f(x)在点P i（x i, f(x i)）(i＝1, 2, 3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0，证明x1+x2+x3>−13．2014年天津市某校高考数学模拟试卷（10）（文科）答案1. D2. A3. D4. A5. C6. B7. C8. A9. 5−5i10. √311. x2−y23=112. 1213. 15214. 3415. (1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, C)，(B, D)，(C, D)共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A, B)，(A, C)，(B, C)共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12；(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(A, E)，(B, C)，(B, D)，(B, E)，(C, D)，(C, E)，(D, E)共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5, 23.9)中的事件有：(C, D)(C, E)，(D, E)共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5, 23.9)中的概率P=310．16. 解：(1)由2asinB=√3b，利用正弦定理得：2sinAsinB=√3sinB，∵ sinB≠0，∴ sinA=√32，又A为锐角，则A=π3；(2)由余弦定理得：a2=b2+c2−2bc⋅cosA，即36=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc=64−3bc，∴ bc=283，又sinA=√32，则S△ABC=12bcsinA=7√33.17. 解：解法一（1）如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60∘知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB // CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB=A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．（2）延长AD、BE相交于点F，连接PF．过点A作AH⊥PB于H，由（1）知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．在Rt△ABF中，因为∠BAF=60∘，所以，AF=2AB=2=AP．在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG．则AG⊥PF．连接HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG．所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）．在等腰Rt△PAF中，2010=2在Rt△PAB中，AH=AP⋅ABPB =AP⋅AB√AP2+AB2=2√5=2√55．所以，在Rt△AHG中，sin∠AGH=AHAG =2√55√2=√105．故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arcsin√105．解法二：如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系．则相关各点的坐标分别是A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(32，√32，0)，D(12，√32，0)，P(0, 0, 2)，E(1,√32，0)．（1）因为BE ¯=(0,√32,0)，平面PAB 的一个法向量是n 0¯=(0,1,0)，所以BE ¯和n 0¯共线．从而BE ⊥平面PAB ．又因为BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面PAB ．（2）易知PB →=(1,0,−2)，BE →=(0,√32,0)，PA→=(0,0,−2)，AD →=(12,√32,0) 设n →_=(x 1,y 1,z 1)是平面PBE 的一个法向量，则由{n 1→⋅BE →=0˙得{x 1+0×y 1−2z 1=00×x 1+√32y 2+0×z 2=0.所以y 1=0，x 1=2z 1．故可取n 1→=(2, 0, 1)．设n 2→=(x 2,y 2,z 2)是平面PAD 的一个法向量，则由{n 2→⋅AD →=0˙得{0×x 2+0×y 2−2z 2=012x 2+√32y 2+0×z 2=0所以z 2=0，x 2=−√3y 2．故可取n 2→=(√3,−1,0)．于是，cos <n 1→，n 2→>=|n 1→|⋅|n 2→|˙=2√3√5×2=√155．故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是arccos√155． 18. 解：(1)点M(x, y)到直线x =4的距离是它到点N(1, 0)的距离的2倍，则|x −4|=2√(x −1)2+y 2，即(x −4)2=4[(x −1)2+y 2]，整理得x 24+y 23=1．所以，动点M 的轨迹是椭圆，方程为x 24+y 23=1；(2)P(0, 3)，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，由A 是PB 的中点，得2x 1=0+x 2，2y 1=3+y 2．椭圆的上下顶点坐标分别是(0,√3)和(0,−√3)，经检验直线m 不经过这两点，即直线m 的斜率k 存在．设直线m 的方程为：y =kx +3．联立{y =kx +3x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+24kx +24=0． x 1+x 2=−24k3+4k 2，x 1x 2=243+4k 2．因为2x 1=x 2．则x1x 2+x 2x 1=12+2，得(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 1x 2=52，所以(−24k 3+4k 2)2−2⋅243+4k 2243+4k 2=52．即(−24k)2(3+4k 2)⋅24=92，解得k =±32．所以，直线m 的斜率k =±32． 19. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6得a 32=9a 42，所以q 2=19．由条件可知各项均为正数，故q =13．由2a 1+3a 2=1得2a 1+3a 1q =1，所以a 1=13．故数列{a n }的通项式为a n =13n ．(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+...+log 3a n =−(1+2+...+n)=−n(n+1)2，故1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，则T n =1b 1+1b 2+...+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+...+(1n −1n +1)]=−2nn+1，所以数列{1b n}的前n 项和T n 为−2nn+1．20. （1）令f 1(x)=x 3−(a +5)x(x ≤0)，f 2(x)=x 3−a+32x 2+ax(x >0)．①f 1′(x)=3x 2−(a +5)，由于a ∈[−2, 0]，从而当−1<x <0时，f 1′(x)=3x 2−(a +5)<3−a −5≤0，所以函数f 1(x)在区间(−1, 0)内单调递减，②f 2′(x)=3x 2−(a +3)x +a =(3x −a)(x −1)，由于a ∈[−2, 0]，所以0<x <1时，f 2′(x)<0；当x >1时，f 2′(x)>0，即函数f 2(x)在区间(0, 1)内单调递减，在区间(1, +∞)上单调递增．综合①②及f 1(0)＝f 2(0)，可知：f(x)在区间(−1, 1)内单调递减，在区间(1, +∞)内单调递增；（2）证明：由(Ⅰ)可知：f′(x)在区间(−∞, 0)内单调递减，在区间(0,a+36)内单调递减，在区间(a+36,+∞)内单调递增．因为曲线y ＝f(x)在点P i （x i , f(x i )）(i ＝1, 2, 3)处的切线相互平行，从而x 1，x 2，x 3互不相等，且f ′(x 1)=f ′(x 2)=f ′(x 3)．不妨x 1<0<x 2<x 3，由3x 12−(a +5)=3x 22−(a +3)x 2+a =3x 32−(a +3)x 3+a ．可得3x 22−3x 32−(a +3)(x 2−x 3)=0，解得x 2+x 3=a+33，从而0<x 2<a+36<x 3．设g(x)＝3x 2−(a +3)x +a ，则g(a+36)<g(x 2)<g(0)=a ．由3x 12−(a +5)=g(x 2)<a ，解得−√2a+53<x 1<0，所以x 1+x 2+x 3>−√2a+53+a+33，设t =√2a+53，则a =3t 2−52，∵ a ∈[−2, 0]，∴ t ∈[√33,√153]，故x 1+x 2+x 3>−t +3t 2+16=12(t −1)2−13≥−13，故x 1+x 2+x 3>−13．。

天津市红桥区高三下学期数学一模试卷附解析

高三下学期数学一模试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. B. C. D. {2}2.“ 成立〞是“ 成立〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数y= 的图象大致是〔〕A. B. C. D.4.某校对高三年级800名学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，，，，，，分组，整理得到如下频率分布直方图，那么成绩在内的学生人数为〔〕A. 200B. 240C. 360D. 2805.〔2021新课标全国I理科〕?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?〞其意思为:“在屋内墙角处堆放米〔如图，米堆为一个圆锥的四分之一〕，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?〞1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有〔〕A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛6.函数在区间内单调递增，且，假设，，，那么、、的大小关系为〔〕A. B. C. D.7.抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，假设双曲线的一条渐近线与直线平行，那么实数的值是〔〕A. B. C. D.8.函数，，给出以下四个命题：①函数的最小正周期为；②函数的最大值为1；③函数在上单调递增；④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为．其中正确命题的个数是〔〕A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.函数，，假设关于x的方程恰有三个不相等的实数解，那么m的取值范围是〔〕A. B.C. D.二、填空题10.i是虚数单位，那么复数________.11.的展开式中，项的系数为________.12.直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，那么实数________．A，B两队参加建党100周年知识竞赛，每队3人，每人答复一个问题，答对者为本队赢1分，答错得0分；A队中每人答对的概率均为，B队中3人答对的概率分别为，，，且各答题人答题正确与否互不影响，假设事件M表示“A队得2分〞，事件N表示“B队得1分〞，那么________.14. ，，且，那么最小值为________．15.在等腰梯形中, ,动点和分别在线段和上,且, 那么的最小值为________.三、解答题16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足〔1〕求角B的大小；〔2〕假设，求的值；〔3〕假设，，求边a的值.17.如下列图，直角梯形中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面.〔1〕求证：平面；〔2〕求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18.如图，椭圆经过点，且离心率为.(I)求椭圆的方程；(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点〔均异于点〕，问：直线与的斜率之和是否为定值？假设是，求出此定值；假设否，说明理由．19.数列的前n项和满足：，.〔1〕求数列的前3项，，；〔2〕求证：数列是等比数列：〔3〕求数列的前n项和.20.函数，.〔1〕假设，求曲线在点处的切线方程；〔2〕当时，求函数的单调区间和极值；〔3〕假设对于任意，都有成立，求实数m的取值范围.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】据题意，所以。

高考天津文科数学试题及答案word解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷)数学(文科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1）【2014年天津，文1，5分】i 是虚数单位,复数7i34i( ）（A)1i (B ）1i (C ）1731i 2525（D ）1725i 77 【答案】A【解析】7i 34i 7i 2525i1i 34i 34i 34i 25,故选A ．（2）【2014年天津，文2，5分】设变量x ,y 满足约束条件02012x y x y y ≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为（）（A ）2 （B)3 （C ）4 (D ）5 【答案】B【解析】作出可行域，如图结合图象可知,当目标函数通过点1,1时，z 取得最小值3,故选B ．（3）【2014年天津,文3，5分】已知命题p ：0x ∀>，总有()11x x e +>，则p ⌝为（）（A)00x ∃≤，使得()0011x x e +≤ （B ）00x ∃>,使得()0011x x e +≤ (C ）0x ∀>，总有()11x x e +≤ (D ）0x ∀≤,总有()11x x e +≤【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，p ⌝为00x ∃>,使得()0011x x e +≤，故选B ．（4）【2014年天津，文4,5分】设2log a π=，12log b π=，2c π-=,则（）(A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c a b >> 【答案】C【解析】∵2log 1a π=>，12log 0b π=<,211c π=<，∴b c a <<,故选C ．（5）【2014年天津,文5,5分】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列,n S 为其前项和，若124S S S ，，，成等比数列，则1a =（ )(A ）2 (B)2- （C ）12 (D ）12- 【答案】D 【解析】∵()4114341462S a a ⨯=+⨯-=-，又∵124S S S ，，，成等比数列,∴()()21112146a a a -=-，解之得112a =-，故选D ．（6）【2014年天津，文6，5分】已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l ：210y x ,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为（ )（A)221520x y （B ）221205x y （C)2233125100x y （D ）2233110025x y【答案】A【解析】依题意得22225ba cc a b ，所以25a，220b，双曲线的方程为221520x y ，故选A ．（7）【2014年天津,文7，5分】如图，ABC 是圆的内接三角形，BAC 的平分线交圆于点D ，交BC于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ．在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分CBF ；②2FB FD FA ；③AE CE BE DE ；④AF BD AB BF ．则所有正确结论的序号是（）（A)①② （B ）③④ （C ）①②③ （D ）①②④ 【答案】D【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ，圆周角DAC ∠对应劣弧CD ，∴DBC DAC ∠=∠．∵弦切角FBD ∠对应劣弧BD ,圆周角BAD ∠对应劣弧BD ，∴FBD BAF ∠=∠．∵BD 是BAC ∠的平分线，∴BAF DAC ∠=∠． ∴DBC FBD ∠=∠．即BD 平分CBF ∠．即结论①正确．又由FBD FAB ∠=∠,BFD AFB ∠=∠，得FBD FAB ∆∆．由FB FD FA FB =，2FB FD FA =⋅．即结论②成立．由BF BDAF AB=，得AF BD AB BF ⋅=⋅．即结论④成立．正确结论有①②④,故选D ．（8）【2014年天津,文8，5分】已知函数()3sin cos (0),f x x x x R ωωω=+>∈，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为3π，则()f x 的最小正周期为（） (A ）2π （B)23π （C ）π （D ）2π【答案】C【解析】∵()2sin 16f x x πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴1112,66x k k Z ππωπ+=+∈或2252,66x k ππωπ+=+，2k Z ∈,则()()2121223x x k k πωπ-=+-，又∵相邻交点距离的最小值为3π,∴2ω=，T π=，故选C ．第II 卷（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9)【2014年天津，文9，5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300名．（10）【2014年天津，文10，5分】已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．【答案】203【解析】由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体，其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2，底面直径为4，∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．（11）【2014年天津，文11，5分】阅读右边的框图，运行相应的程序,输出q 的值为．【答案】4-【解析】依题由框图知,第一次循环得到：8S =-，2n =;第二次循环得到：4S =-，1n =；退出循环，输出4-．（12）【2014年天津，文12，5分】函数()2lg f x x =的单调递减区间是．【答案】(),0-∞【解析】解法一：2lg 2lg y x x ==，∴当0x >时，()2lg f x x =在()0,+∞上是增函数；当0x <时，244242俯视图侧视图正视图否是输出 S n ≤ 1？n = n 1S = S +(2)n结束开始S = 0, n = 3()()2lg f x x =-在(),0-∞上是减函数．∴函数()2lg f x x =的单调递减区间是(),0-∞．解法二：原函数是由2lg t x y t⎧=⎨=⎩复合而成，∵2t x =在(),0-∞上是减函数,在()0,+∞为增函数；又lg y t =在其定义域上为增函数，∴()2lg f x x =在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞为增函数∴函数()2lg f x x =的单调递减区间是(),0-∞．（13）【2014年天津,文13，5分】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，3BC BE =，DC DF λ=．若1AE AF ⋅=，则λ的值为．【答案】2【解析】建立如图所示坐标系，且()1,0A -、()0,3B -、()1,0C 、()0,3D ，设()11,E x y ，()22,F x y ，由3BC BE =得()()111,33,3x y =+，解之得123,33E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，由DC DF λ=得()()221,3,3x y λ-=-,解之得13,3F λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，又∵42313102,1,313333AE AF λλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴2λ=．（14）【2014年天津，文14，5分】已知函数()2540220x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩,若函数()y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为．【答案】12a <<【解析】由()0y f x a x =-=得()f x a x =，作出函数()y f x =，y a x =的图象，当0a ≤，不满足条件，∴0a >,当2a =时，此时y a x =与()f x 有三个交点，当1a =时，此时y a x =与()f x 有五个交点，∴要使函数()y f x a x =-恰有4个零点，则12a <<．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（15)【2014年天津，文15，13分】某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学 A BC 女同学 X YZ 现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选中的可能性相同）． (1)用表中字母列举出所有可能的结果；（2）设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发表的概率．解：（1)从6名同学中随机选出2人参加竞赛的所有可能结果为{}{}{},,,,,,A B A C A X {}{}{},,,,,,A Y A Z B C{},,B X {}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z 共15种；（2）选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,A Y A Z B X B Z C X C Y 共6种，故所求概率为()62155P M ==．(16）【2014年天津，文16，13分】在ABC ∆中,内角ABC 所对的边分别为,,a b c ,已知66a cb -=，sin 6sin B C =． (1）求cos A 的值； (2）求cos(2)6A π-的值．解：(1)在ABC ∆中,由sin sin b cB C=，及sin 6sin B C =可得6b c =，故2a c =，PFEDCBA从而2222222646cos 2426b c a c c c A bc c +-+-===．（2）由（1）得6cos 4A =,故10sin 4A =，因此15sin 22sin cos 4A A A ==，21cos22cos 14A A =-=-,从而13151153cos 2642428A π-⎛⎫-=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭．(17)【2014年天津，文17,13分】如图，四棱锥PABCD 的底面是平行四边形，2BABD ,2AD ，5PA PD，,E F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明 //EF 平面PAB ;（2）若二面角P AD B 为60，（ⅰ）证明平面PBC 平面ABCD ；（ⅱ）求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．解：（1)如图，取PB 的中点M ，连接,MF AM ．因F 为PC 中点,故//MF BC 且2BCMF =．由题//BC AD ，BC AD =，且E 为AD 的中点，故//MF AE ，且MF AE =．因此四边形AMEF 为平行四边形，有//EF AM ．又AM 平面PAB ,EF ⊄平面 PAB ,所以//EF 平面PAB ．（2）（ⅰ）连接,PE BE ,因PA PD ,BA BD ，而E 为AD 的中点，故PE AD ，BE AD ，所以PBE 为二面角P AD B --的平面角．在PAD ∆中，由5PAPD ，2AD ，可解得2PE ．在ABD ∆中,由2BA BD，2AD ,可解得 1BE ．在PEB ∆中，2PE ,1BE ，060PEB ,由余弦定理可解得 3PB ．从而090PBE ，即BE PB ．又//BC AD ，BE AD ,故BE BC ．因此BE 平面PBC ．又BE 平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．（ⅱ）解法一：连接BF ，由（ⅰ)知BE 平面PBC ，故EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由3PB及已知，可得090ABP ．而322PBMB ，可得112AM ．故112EF ．又1BE ,故在Rt EBF 中,211sin 11BEEBF EF．所以直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值为21111．解法二：由（ⅰ）知，PB BD ⊥,PB BA ⊥，2BA BD ==，2AD =，BD BA ∴⊥,∴BD ，BA ，BP 两两垂直，以B 为坐标原点，分别以BD ,BA ，BP 为X ，Y ，Z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B DAP -，则有()0,2,0A ，()0,0,0B ，()2,2,0C-，()2,0,0D,()0,0,3P ，∴()2,2,0BC =-,()0,0,3BP =,设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，∵00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22030x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,令1x =，则1y =，0z =,故()1,1,0n =∵E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点∴22,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,223,,222F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，∴30,2,2EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2211cos ,111122n EF n EF n EF ⋅-===⋅⨯，即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111．（18）【2014年天津,文18，13分】设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ，上顶点FED CBAP M为B ．已知1232ABF F ．（1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ,222MF ，求椭圆的方程．解：(1）设椭圆的右焦点2F 的坐标为,0c ．由1232ABF F ，可得2223a bc ，又222ba c ，则2212c a ．所以，椭圆的离心率22e223b c ，所以22223a c c ，解得2ac ，22e．（2)由(1）知222a c ，22b c ，故椭圆方程为222212x y c c ．设00,P x y ，由1,0F c ,0,B c ，有100,F Px c y ,1,F B c c ．由已知，有110F P F B ，即000x c c y c ．又0c ，故有 000x y c．又因为点P 在椭圆上，故22002212x y c c ．因此可得200340x cx ．而点P 不是椭圆的顶点，故043c x ，从而得03c y ,即4,33c c P ．设圆的圆心为11,T x y ，则123x c ，123y c ，进而圆的半径221153rx y cc ．由已知有222222||||8TF MF r r =+=+，故可得 22222508339c c c c ，解得23c ．所以所求椭圆方程为22163x y ．（19）【2014年天津，文19，14分】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2)若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ⋅=,求a 的取值范围．解：（1）由题2220f xax a ，令0f x 可得0x =或1x a=．当x 变化时，f x ，f x 的变化情况如右表．故f x 的单增区间是10,a，单减区间是(),0-∞和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．当0x =时f x 有极小值00f ,当1x a=时 f x 有极大值2113f a a ．（2）由()3002f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭及（1）知，当302x a 时0f x ，当32x a时0f x ．设集合|2A f x x ，集合()()1|1,0B x f x f x ⎧⎫⎪⎪=>≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭．则“任意的()12,x ∈+∞，都存在()21,x ∈+∞，使得()()121f x f x ⋅=”等价于A B ．显然0B ．①当322a即304a <<时，由302fa 知0A ，而0B ，故AB ；②当3122a 即3342a ≤≤时,有20f ．此时f x 在2,单调递减，故()(),2A f =-∞，因此(),0A ⊆-∞．由10f ，有f x 在1,上的取值范围包含(),0-∞，即(),0B -∞⊆，故AB ;③当312a即32a >时,有10f ．此时f x 在1,单调递减，10,a 1a x －＋ 0 x ↘↗ 213a故()1,01B f ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,()(),2A f =-∞，因此A B ．综上，33,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（20)【2014年天津，文20，14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数，设集合{}0,1,21M q =-,集合{}112,,1,2,n n i A x x x x q x q x M i n -==++∈=．(1)当2,3q n ==时,用列举法表示集合A ；（2）设111212,,,n n n n s t A s a a q a q t b b q b q --∈=+++=++，其中,,1,2,i i a b M i n ∈=证明：若n n a b <，则s t <．解：（1)2q ,3n 时，0,1M ，12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ．故可得0,1,2,3,4,5,6,7A ．（2)由,s tA ，112n n sa a q a q ，112n n t b b qb q ，,i ia b M ，1,2,,n i及nn a b ，可得2111111111101n n n n n nn n q s ta b a b q a b qa b qqqq ,所以st ．。

天津市天津一中2014届高三四月月考数学文 Word版含答案[ 高考]

天津一中2013-2014学年高三年级四月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共40分）A B 等于（ D ．{12．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（）A. 50B. 60C. 70D. 1003. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥”B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真 D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )A B C ．32D6. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π7. 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(l g g x g >，则x 的取值范围是（） A ．),10(+∞ B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞8. 已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A ．[)8,-+∞B ．[)4,-+∞C ．[-4，0]D ．(0,)+∞二、填空题（每小题5分，共30分）9. i 是虚数单位，复数ii 43)21(2-+的值是_______________________10. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ________________11. 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知AF 3,4||==,则=p ____________________12. 如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是 ____________13. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________________14. 若实数,,222,2222,aba ba b c a b c a b c c ++++=++=满足则的最大值是 _____三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）15．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.16．已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->，直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π. （I ）求ω的值；（II ）求函数()f x 的单调增区间；（III ）若()23f α=，求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小AC18．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .19．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>构成的三角形的面积为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值．20．设函数()ln af x x x x=+,32()3g x x x =--.(Ⅰ)讨论函数()()f x h x x=的单调性 (Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M (Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围. A B 等于（ D ．{1【解析】当k =0时，x =1；当k =1时，x =2；当k =5时，x =4；当k =8时，x =5，故选B.2．设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（）A. 50B. 60C. 70D. 100 【答案】D3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B4．下列命题中正确的是( )A.命题“x R ∀∈，2x x -0≤”的否定是“2,0x R x x ∃∈-≥”B.命题“p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件C.若“22am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真 D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足221x y +≥的概率为4π. 【答案】C5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )A B C ．32D 【答案】A【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =，双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取by x a=，即0bx ay -=，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离2d ==，即22294()b a b =+，所以2254b a =，222245b a c a ==-，即2295a c =，所以29,5e e ==A.6．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )A. 72πB. 48πC. 30πD. 24π 【答案】C7．已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是 A ．),10(+∞ B ．)10,101(C ．)10,0(D ．),10()101,0(+∞ 【答案】B8．已知24(0)()(2)(0)a x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（） A ．[)8,-+∞B ．[)4,-+∞C ．[-4，0]D ．(0,)+∞【答案】B9．i 是虚数单位，复数ii 43)21(2-+的值是_________________【答案】 1-10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，3B π=且sin cos c A C =，则△ABC 的面积为．11. 直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知BF CB AF 3,4||==,则=p __________【答案】 3812．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是．13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________.【解析】由图知DE ·D F=BD ·CD=1，同理EG ·FG=1.又DG=12AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，∴1DE FG .2==答案 14．若实数,,222,2222,aba ba b c a b c a b c c ++++=++=满足则的最大值是【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.【解析】∵2a b +=22a b +≥2a b +≥4，又∵222a b c ++=2a b c++，∴22a bc ++=22a bc+∙，∴221c c-=2a b+≥4，即221c c -≥4，即43221c c -⨯-≥0，∴2c≤43，∴c ≤24log 3=22log 3-，∴c 的最大值为22log 3-. 【答案】22log 3-15．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:1060×6=1. 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分(2)记第3组的3名志愿者为A 1,A 2,A 3,第4组的2名志愿者为B 1,B 2,第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:(A 1,A 2), (A 1,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,C 1),(A 3,B 1),(A 3,B 2), (A 3,C 1),(B 1,B 2),(B 1,C 1),(B 2,C 1),共有15种. …………8分其中第4组的2名志愿者B 1,B 2至少有一名志愿者被抽中的有:(A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 2,B 1), (A 2,B 2), (A 3,B 1), (A 3,B 2), (B 1,B 2), (B 1,C 1), (B 2,C 1),共有9种, …………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.155=…………13分16．已知函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->，直线12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12x x -的最小值为2π. （I ）求ω的值；（II ）求函数()f x 的单调增区间；（III ）若()23f α=，求5sin 46πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】17．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F（1）证明PA//平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD ；（3）求二面角C —PB —D 的大小（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO 而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，所以，PA // 平面EDBAC（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴DE ⊥ ①同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 而⊂DE 平面PDC ，∴BC ⊥ ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角由（2）知，PD EF DE ⊥⊥,设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=a PC DE 2221==在PDB Rt ∆中，aa a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=在EFD Rt ∆中，233622sin ===a aDF DE EFD ，∴3=∠EFD 所以，二面角C —PB —D 318．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】解（1）由题意知0,212>+=n n n a S a ………………1分当1=n 时，21212111=∴+=a a a 当2≥n 时，212,21211-=-=--n n n n a S a S两式相减得1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分整理得：21=-n na a ……………………4分 ∴数列{}n a 是以21为首项，2为公比的等比数列. 211122212---=⨯=⋅=n n n n a a ……………………5分（2）42222--==n b n na∴n b n 24-=，……………………6分nn n n n n n a b C 28162242-=-==- nn n nn T 28162824282028132-+-⋯+-++=- ① 13228162824202821+-+-+⋯++=n n n n n T ②①-②得1322816)212121(8421+--+⋯++-=n n n nT ………………9分 111122816)211442816211)2112184+-+-----=----⋅-=n n n n nn （（ n n24=.………………………………………………………11分.28n n nT =∴…………………………………………………………………13分19. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅为定值．【答案】解：（Ⅰ）因为22221(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+，3c a =，…………2分122b c ⨯⨯=2255,3a b ==，则椭圆方程为221553x y += ……………4分（Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入221553x y +=中得 2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>2122631k x x k +=-+………………………………………… …………………7分因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得3k =±…………9分（2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ ……………11分 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++20．设函数()ln af x x x x=+,32()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()()f x h x x=的单调性(Ⅱ)如果存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M (Ⅲ)如果对任意的1,[,2]2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.1.【解】(Ⅰ)2()ln a h x x x =+,233212()a x ah x x x x-'=-+=, ①00,()a h x '≤≥,函数()h x 在0(,)+∞上单调递增②0a >,0(),h x x '≥≥函数()h x 的单调递增区间为)+∞00(),h x x '≤<≤,函数()h x 的单调递减区间为0((Ⅱ)存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立等价于:12max [()()]g x g x M -≥,考察32()3g x x x =--,22'()323()g x x x x x =-=-,由上表可知:min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==,12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=, 所以满足条件的最大整数4M =;(Ⅲ)当1[,2]2x ∈时,()ln 1af x x x x=+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立,记2()ln h x x x x =-,所以max ()a h x ≥'()12ln h x x x x =--, '(1)0h =.记'()(1)2ln h x x x =--,1[,1)2x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -><>即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增,记'()(1)2ln h x x x =--,(1,2]x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -<><即函数2()ln h x x x x =-在区间(1,2]上递减,1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =所以1a ≥另解()12ln m x x x x =--,'()32ln m x x =--, 由于1[,2]2x ∈,'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减, 当1[,1)2x ∈时,'()0h x >,(1,2]x ∈时,'()0h x <,即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增,在区间(1,2]上递减,所以max ()(1)1h x h ==,所以1a ≥。