专题六函数的零点问题

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函数零点问题解答分析与思考

函数零点问题解答分析与思考函数的零点，即函数在坐标系中与x轴交点的横坐标值。

在数学中，求解函数的零点是一个常见的问题，也是解决方程、求解实际问题的重要一环。

在这篇文章中，我们将对函数零点问题进行一些分析与思考，探讨不同类型函数的零点求解方法，以及如何利用零点求解问题。

一、基本概念我们来回顾一下函数的零点的基本概念。

对于一个函数f(x)，其零点即为使得f(x)=0的x值。

通常来说，我们可以通过以下几种方法求解函数的零点：1. 图像法：通过绘制函数的图像，找到函数与x轴的交点；2. 方程法：将函数f(x)化为方程f(x)=0，然后通过解方程求解得到零点；3. 迭代法：利用数值计算方法逼近函数的零点。

这些方法都是常见的零点求解方法，在实际问题中也常常会用到。

下面，我们将结合不同类型的函数，来分析如何利用这些方法求解函数的零点。

二、线性函数的零点求解举个例子来说，我们考虑函数f(x)=2x-3，我们需要求解函数f(x)的零点。

我们可以将函数化为方程2x-3=0，然后通过解方程的方法来求解得到x=3/2。

这样，我们就得到了函数f(x)的零点为x=3/2。

接下来，我们来看一下多项式函数的零点求解。

对于一个n次多项式函数f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0，其中an≠0，我们可以通过多种方法来求解其零点。

我们也可以利用迭代法来逼近多项式函数的零点。

通过不断迭代计算，我们可以逼近多项式函数的零点。

这在计算机科学和数值计算中经常会用到。

四、三角函数和指数函数的零点求解除了线性函数和多项式函数，我们还可以考虑三角函数和指数函数的零点求解。

对于这两类函数，我们通常会采用迭代法来逼近函数的零点。

对于函数f(x)=sin(x)，我们可以通过不断迭代计算，利用泰勒级数展开式来逼近函数的零点。

对于指数函数f(x)=e^x，我们也可以利用迭代法来逼近函数的零点。

五、零点求解在实际问题中的应用我们来思考一下零点求解在实际问题中的应用。

高考复习专题函数零点的求法及零点的个数

函数零点的求法及零点的个数题型1：求函数的零点。

[例1] 求函数2223+--=x x x y 的零点.[解题思路]求函数2223+--=x x x y 的零点就是求方程02223=+--x x x 的根 [解析]令 32220x x x --+=，∴2(2)(2)0x x x ---=∴(2)(1)(1)0x x x --+=，∴11x x x=-==或或即函数2223+--=x x x y 的零点为-1，1，2。

[反思归纳] 函数的零点不是点，而是函数函数()y f x =的图像与x 轴交点的横坐标，即零点是一个实数。

题型2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.[解题思路]求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数就是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数[解析]方法一：易证f(x)= lnx ＋2x －6在定义域(0,)+∞上连续单调递增，又有(1)(4)0f f ⋅<，所以函数f(x)= lnx ＋2x －6只有一个零点。

方法二：求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数即是求方程lnx ＋2x －6=0的解的个数即求ln 62y xy x =⎧⎨=-⎩的交点的个数。

画图可知只有一个。

[反思归纳]求函数)(x f y =的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

题型3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[例3] (2007·广东)已知a 是实数,函数()a x ax x f --+=3222,如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。

[解题思路]要求参数a 的取值范围，就要从函数()x f y =在区间[]1,1-上有零点寻找关于参数a 的不等式（组），但由于涉及到a 作为2x 的系数，故要对a 进行讨论 [解析] 若0a = , ()23f x x =- ,显然在[]1,1-上没有零点, 所以 0a ≠.令()248382440a a a a ∆=++=++=,解得372a -±=①当372a --=时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上;②当()()()()05111<--=⋅-a a f f ，即15a <<时，()y f x =在[]1,1-上也恰有一个零点。

最全函数零点问题处理74页WORD版

最全函数零点问题处理74页WORD版在74页的WORD文档中，我们可以找到最全的函数零点问题处理方法。

函数零点问题是指在一个函数中，寻找让函数取零值的变量值或者变量区间的问题。

这在数学、物理和工程等领域中经常出现，并且在实际问题中具有重要的意义。

以下是一些常见的函数零点问题处理方法：1.图像法：这是一种直观的方法，通过函数的图像来估计函数的零点。

我们可以使用计算机软件或者手绘的方法绘制函数的图像，通过观察图像来判断零点的位置。

这种方法的优点是直观易懂，但是在精确性上可能存在一定的误差。

2. 代数法：这是一种通过代数运算来求解函数零点的方法。

对于一些简单的函数，可以通过代数运算找到确切的零点。

例如，对于一次函数f(x)=ax+b，可以直接解方程ax+b=0来求解零点。

对于高次函数，我们可以使用一些代数方法，如因式分解、配方法等来求解零点。

3.迭代法：这是一种通过不断迭代逼近零点的方法。

迭代法的基本思想是，从一个初始值开始，通过一定的递推公式不断逼近函数的零点。

例如，常见的迭代法有牛顿迭代法、二分法、弦截法等。

这些方法本质上都是通过不断迭代来逼近函数零点，直到满足一定的收敛条件。

4.数值法：这是一种通过数值计算来求解函数零点的方法。

数值法通过一定的数值计算方法，如插值法、拟合法等，根据已知的函数值，求解函数的零点。

数值法的优点是不依赖于函数的解析形式，对于任意函数均可以求解。

但是数值法在精度和计算时间上可能存在一定的限制。

5.综合法：综合法是指综合使用多种方法来求解函数零点的方法。

在实际问题中，往往需要通过多种方法的综合来求解函数的零点。

综合法可以充分发挥各种方法的优点，提高求解的准确性和效率。

在处理函数零点问题时，需要根据具体的问题选择合适的方法。

不同的方法在不同的问题中可能具有不同的适用性和优缺点。

因此，熟悉和掌握各种函数零点问题处理方法是非常重要的。

通过不断的学习和实践，我们可以提高对函数零点问题的处理能力，解决实际问题。

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。

3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。

例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。

7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。

2023年高考数学客观题专题六函数与导数

2.函数的奇偶性:
(1)奇函数、偶函数的定义:
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称
函数y=f(x)是偶函数;
如果对于函数则
称函数y=f(x)是奇函数.
(2)奇、偶函数的性质:
①偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
A∩B= (
)
A.(1,2)
B.[1,2]
C.[1,2)
D.(1,2]
【答案】D
【解析】由题意得x-1>0,解得x>1,则集合B={x|x>1}.
而集合A={x|-1≤x≤2},
于是A∩B={x|1<x≤2}.故选D.
6.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
1
D.-4
)
3.若奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-1)=
【答案】-3
【解析】y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(3)=f(1)=3.
y=f(x)为奇函数,则f(-1)=-f(1)=-3.
.
1
4.函数f(x)=ln(+1)+
4 − 2 的定义域为
(
方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数
y=f(x)有零点.
2.定理:如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一
条曲线,并且有:f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即
存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
指数、对数的运算性质:
(1)幂的运算性质:aman=am+n;

函数零点问题解答分析与思考

函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中的一个重要课题，它涉及到函数的根和解的问题。

在数学分析中，函数的零点是指函数在某一点上取得零值的地方，也就是函数图象与x轴相交的点。

这个问题在实际应用中有着广泛的应用，比如用来求解方程、优化问题、以及计算函数的性质等等。

我们来看一下什么是函数的零点。

对于函数f(x)，如果存在一个数a，使得f(a)=0，那么a就是函数f(x)的一个零点。

在函数的图象上，这个零点就是图象与x轴相交的点，也就是函数在这个点上取得零值。

函数的零点是函数图象的一个重要特征，它反映了函数在哪些点上取得零值，从而可以帮助我们了解函数的性质和行为。

接下来，我们来看一下函数零点问题的解答方法。

对于一般的函数，求解函数的零点通常可以通过化简、代数运算、图象分析等方法来进行。

比如对于一元一次函数，可以直接通过方程f(x)=0来求解；对于一元二次函数，可以通过配方法、求根公式等方法来求解；对于高阶函数，则需要借助图象、导数、积分等工具来进行分析。

对于复杂的函数，还可以借助数值计算的方法来求解函数的零点，比如二分法、牛顿法、割线法等等。

在实际应用中，函数的零点问题常常会涉及到方程、不等式、优化、以及其他数学问题。

比如在物理中，对于一些力学和运动问题，常常需要求解一些关于时间和位移的方程，而这些方程往往会涉及到函数的零点；在经济学中，对于一些生产和消费问题，也会涉及到利润最大化和成本最小化等优化问题，而这些问题也往往需要求解函数的零点。

函数零点问题在实际应用中有着广泛的应用。

我们来分析一下函数零点问题在数学研究中的意义。

函数的零点不仅仅是一个简单的数学概念，它还具有深刻的数学内涵和丰富的数学含义。

在数学分析中，函数的零点反映了函数的根和解的性质，它是函数的重要特征之一。

通过研究函数的零点，我们可以了解函数的性质、行为和变化规律，从而可以更深入地理解函数的各种特性。

函数的零点还可以帮助我们求解方程、不等式、优化问题等数学问题，从而为数学研究和实际应用提供了重要的工具和方法。

根据函数的零点与周期性知识点与经典例题

根据函数的零点与周期性知识点与经典例题函数的零点和周期性是数学中的重要概念，在许多应用领域都有着广泛的应用。

本文将介绍函数的零点和周期性的基本概念，并通过经典例题加深理解。

函数的零点函数的零点是指函数取值为零的点。

以函数f(x)为例，当f(x) = 0时，x的取值即为函数的零点。

具体而言，对于一元函数f(x)，其零点表示为x = α，其中α为实数。

函数的零点在数学和科学研究中有着重要的作用。

首先，函数的零点可以用来确定方程的解。

例如，在解析几何中，通过求解两个曲线的交点来确定它们的位置关系。

此外，零点还可以用于确定函数的性质，如函数的奇偶性、单调性等。

函数的周期性函数的周期性是指函数在一定范围内以一定规律重复的特性。

以函数f(x)为例，当对于任意实数x和正整数T，都有f(x+T) = f(x)成立时，函数f(x)具有周期性，且T为函数的周期。

许多实际问题中的变量往往具有周期性。

例如，气象数据中的气温、湿度等变量通常会在一天内周期性地变化。

此外，电流、电压等电学量在交流电中也具有周期性。

经典例题例题1已知函数f(x) = 2sin(x) + 3cos(x)，求f(x)的零点。

解答：当f(x) = 0时，有2sin(x) + 3cos(x) = 0。

将这个方程转化为三角函数的和差公式，可得2sin(x+α) = 0，其中α为相位角。

由于sin(x)在周期为2π时为零，所以x+α的取值为kπ，其中k为整数。

因此，f(x)的零点为x = kπ-α。

例题2已知函数f(x) = sin(2x)，求f(x)的周期。

解答：根据三角函数的周期性，sin(x)的周期为2π。

将函数f(x)中的x替换为2x，则sin(2x)的周期为1/2倍的sin(x)的周期，即周期为4π。

经典例题的解答可以帮助我们更好地理解函数的零点和周期性的概念，同时也为我们解决实际问题提供了思路和方法。

总结本文介绍了函数的零点和周期性的基本概念，并通过经典例题进行了阐述。

高中数学-函数的零点问题及例题分析

高中数学-函数的零点问题及例题分析1. 引言函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学和实际问题中发挥着重要的作用。

函数的零点问题是函数中一个常见且重要的问题，它与方程的解有着紧密的联系。

本文将介绍函数的零点问题，并通过一些例题分析来加深理解。

2. 函数的定义与性质回顾函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

函数通常用符号表示，如$f(x)$，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的函数值。

函数的零点指的是函数取零值的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。

函数的零点问题与方程的解问题紧密相关。

对于一元函数，函数的零点就是方程$f(x)=0$的解。

因此，解方程可以转化为求函数的零点。

函数的零点可以通过图像、图表或数值计算等方法来确定。

下面将通过几个例题来进一步分析。

3. 例题分析3.1 例题一已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数$f(x)$的零点。

解析：要求函数$f(x)$的零点，即求解方程$2x^2-3x+1=0$。

我们可以使用配方法、求根公式或因式分解等方法来解这个二次方程，最终可以得到$x=1$和$x=\frac{1}{2}$两个解。

3.2 例题二已知函数$g(x)=\sqrt{x+3}-2$，求函数$g(x)$的零点。

解析：要求函数$g(x)$的零点，即求解方程$\sqrt{x+3}-2=0$。

为了消除平方根，我们可以将方程两边平方，得到$x+3=4$，然后解得$x=1$。

因此，函数$g(x)$的零点为$x=1$。

3.3 例题三已知函数$h(x)=\frac{1}{x-2}$，求函数$h(x)$的零点。

解析：函数$h(x)$在$x=2$处不存在定义，因此不存在零点。

4. 总结本文介绍了函数的零点问题及其与方程的解之间的联系。

函数的零点是函数取零值的点，可以通过解相应的方程来求得。

通过例题分析，我们进一步了解了求函数零点的具体方法。

在实际问题中，函数的零点问题有时对于确定某个变量的取值非常重要，因此对于函数的零点问题的理解和掌握是非常有益的。

函数零点题型归纳讲义

专题四《函数》讲义5.9函数的零点知识梳理.函数的零点1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．题型一.零点所在的区间1．函数f（x）＝3x−3−2的零点所在区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：由于函数f（x）＝3x−3−2，∴f（1）＝3﹣3﹣2＝﹣2＜0，f（2）＝9−32−2＞0，∵f（1）•f（2）＜0，函数是连续增函数，∴函数f（x）＝3x−3−2的零点所在的区间是（1，2），故选：C．2．函数f（x）＝log2x+x+2的零点所在的一个区间是（）A．(0，18)B．(18，14)C．(14，13)D．(13，12)【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）单调递增，且其图象在定义域上是一条不间断的曲线，又o18)=−3+18+2=−78＜0，o14)=−2+14+2=14＞0，由函数零点存在性定理可知，函数f（x）在(18，14)上有零点．故选：B．3．设函数y＝x3与y＝（12）x﹣2的图象交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（）A．（0，1）B．（3，4）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：函数y＝x3在R上单调递增，y=(12)K2在R上是减函数．∵x≤1时，函数y＝x3的图象在y=(12)K2的下面；x≥2时，函数y＝x3在y=(12)K2的上面．∴x0所在的区间是（1，2）．故选：C．题型二.零点的个数1．函数f（x）＝4x|log0.5x|﹣1的零点个数为2．【解答】解：函数的零点满足|l0.5U=(14)，则零点的个数即函数y＝|log0.5x|与=(14)交点的个数，绘制函数图象如图所示，观察可得，交点个数为2，故函数零点的个数为2．故答案为：2．2．函数f（x）=2−2，≤12−3+2，＞1的图象与函数g（x）＝ln（x+1）的图象的交点的个数是2．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：由两个函数的图象可知两个函数有2个交点，故答案为：2．3．若偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），在x∈[0，1]时，f（x）＝x2，则关于x的方程f（x）＝（110）x在[0，4]上根的个数是4．【解答】解：因为偶函数f（x）满足f（x﹣1）＝f（x+1），所以函数f（x）的图象关于y 轴对称，同时以2为周期．根据x∈[0，1]时，f（x）＝x2得该函数在[0，4]上的图象为：再在同一坐标系中做出函数=(110)的图象，如图，当x∈[0，4]时，两函数图象有四个交点．所以方程f（x）＝（110）x在[0，4]上有4个根．故答案为4．4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x2，函数g（x）=l(−1)＞12≤1，若函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点，则a的取值范围为（）A．（2，4）B．（2，5）C．（1，5）D．（1，4）【解答】解：函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]上恰有8个零点即函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上有8个交点，由f（x+1）＝﹣f（x）＝f（x﹣1）知，f（x）是R上周期为2的函数，作函数f（x）与函数g（x）在区间[﹣5，5]上的图象如下，由图象知，当x∈[﹣5，1]时，图象有5个交点，故在[1，5]上有3个交点即可；故l(3−1)＜1l(5−1)＞1；解得，2＜a＜4；故选：A．题型三.已知零点个数求参1．若函数f（x）＝e x﹣x2+ax﹣1在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A．[5−22，+∞)B．（﹣∞，2﹣e] C．(5−22，2−p D．[5−22，2−p【解答】解：依题意，−=−−1在x∈[1，2]上有且仅有一个解，设op=−−1，则n(p=⋅K2−1+12=(K1)(−K1)2，由e x≥x+1（当且仅当x＝0时取等号）可知，当x∈[1，2]时，函数g（x）单调递增，∴当x∈[1，2]时，op m=o1)=−2，op B=o2)=22−2−12=2−52，∴−∈[−2，2−52]，∴∈[5−22，2−p．故选：D．2．若函数f（x）＝log a x﹣x+a（a＞0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，e）D．（e，+∞）【解答】解：令f（x）＝0，有log a x＝x﹣a，①当a＞1时，函数y＝log a x单增，函数y＝x﹣a相当于函数y＝x向下至少移动了1个单位，故函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象有两个交点；②当0＜a＜1时，函数y＝log a x与y＝x﹣a的图象显然仅有一个交点，综上，a＞1．故选：B．3．已知函数f（x）=3，∈(−1，0]∈(0，1]，且函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（−94，﹣2]∪（0，32]．【解答】解：由g（x）＝f（x）﹣mx﹣m＝0，即f（x）＝m（x+1），分别作出函数f（x）（图中红色曲线），和y＝h（x）＝m（x+1）的图象（图中绿色曲线），为一条过点（﹣1，0）的直线，如图：由图象可知f（1）＝3，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，3）时，m=32，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤32①．当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）＝﹣2，解得m＝﹣2，此时两个函数有两个交点．当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时1r3x+3＝m（x+1），即m（x+1）2+3（x+1）﹣1＝0，当m＝0时，只有1解；当m≠0，由△＝9+4m＝0得m=−94，此时直线和f（x）相切．∴要使函数有两个零点，则−94＜m≤﹣2②．综上可得，函数g（x）＝f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（−94，﹣2]∪（0，32]，故答案为：（−94，﹣2]∪（0，32]．4．已知函数f（x）＝e2x﹣a（x+2）．当a＝2时，f（x）的增区间为（0，+∞）；若f （x）有两个零点，则实数a的取值范围为（2e﹣3，+∞）．【解答】解：当a＝2时，f（x）＝e2x﹣2（x+2），f′（x）＝2e2x﹣2，令f′（x）＞0，解得x＞0，则f（x）的增区间为（0，+∞）．f′（x）＝2e2x﹣a，x∈R．①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，至多有一个零点，不合题意；②当a＞0时，令f′（x）＝0⇒x=12ln2，可得f（x）在（﹣∞，12ln2）单调递减，在（12ln2，+∞）单调递增，故f（x）的最小值为f（12ln2）=2−a（12ln2+2）=−2ln2−32．∵f（x）有两个零点，当x→±∞时，f（x）→+∞，∴f（2ln2）＜0⇒2ln2+32＞0，解得a＞2e﹣3，所以实数a的取值范围为（2e﹣3，+∞）故答案为：（0，+∞）；（2e﹣3，+∞）．5．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是（0，12）．【解答】解：f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）＝|x2﹣2x+12|，若函数y＝f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f（x）与y＝a的图象如图：由图象可知∈(0，12)．故答案为：（0，12）．6．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x2，g（x）＝log a|x﹣1|（2＜a＜2），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：函数f（x）是定义域为R的偶函数，且满足f（2﹣x）＝f（x），可得对称轴x＝1，所以可得周期T＝2，又g（x）＝log a|x﹣1|（2＜a＜2），可得g（x）也是关于x＝1对称，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，可得g（x）＝f（x），在同一坐标系中在作y＝f（x）与y＝g（x）的图象如图所示：因为2＜a＜2，g（x）＝log a|x﹣1|，所以g（2）＝0，g（5）＝log a4∈（2，4），与f（x）无交点，g（3）＝log a2∈（1，2）与f（x）有两个交点，所以x＞1时，g（x）与f（x）有3个交点，所以x∈R时，g（x）与f（x）有3对关于x＝1对称的点，所以所以交点之和为2+2+2＝6，即函数h（x）＝f（x）﹣g（x）所有零点的和为6，故选：D．7．已知函数g（x）＝a﹣x2（1≤x≤e（e为自然对数的底数）与h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，1+2]B．[12+2，e2﹣2]C．[e2﹣2，+∞）D．[1，e2﹣2]【解答】解：因为h（x）＝2lnx的图象上存在关于x轴对称的函数为：f（x）＝﹣2lnx，所以可得g（x）＝f（x）有零点，即a＝x2﹣2lnx（1≤x≤e）有解，令t（x）＝x2﹣2lnx（1≤x≤e），则t'（x）＝2x−2=2⋅(K1)(r1)，当x∈（1，1）时，t'（x）＜0，则t（x）单调递减，x∈（1，e）时，t（x）＞0，t（x）单调递增，而t（1）=12−2ln1=12+2，t（1）＝12﹣2ln1＝1，t（e）＝e2﹣2lne＝e2﹣2＞o1)，所以t（x）∈[1，e2﹣2]．所以a的取值范围为[1，e2﹣2]．故选：D．8．已知函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a＝（）A．−13B．−12C．﹣3D．﹣2【解答】解：函数f（x）＝3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，设x﹣1＝t，则函数f（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）﹣a2有唯一零点，则3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝a2，设g（t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t），∵g（﹣t）＝3e|t|﹣a（2t+2﹣t）＝g（t），∴g（t）为偶函数，∵函数f（t）有唯一零点，∴y＝g（t）与y＝a2有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，∴3﹣2a＝a2，解得a＝﹣3或a＝1（舍去），故选：C．题型四.复合函数的零点1．已知f（x）＝x2e x，若函数g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，42+24）C．（82，2）D．（42+24，+∞）【解答】解：f′（x）＝2xe x+x2e x＝x（x+2）e x，令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣2，∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）=42，当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝0．作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）＝t，则当t＝0或t＞42时，关于x的方程f（x）＝t只有1解；当t=42时，关于x的方程f（x）＝t有2解；当0＜t＜42时，关于x的方程f（x）＝t有3解．∵g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0，42）上有1解，在（42，+∞）∪{0}上有1解，显然t＝0不是方程t2﹣kt+1＝0的解，∴关于t的方程t2﹣kt+1＝0在（0，42）和（42，+∞）上各有1解，∴164−42+1＜0，解得k＞42+24．故选：D．2．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f（x1）＝x2，则关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数为（）A．3B．4C．5D．以上都有可能【解答】解：由题意可得，f′（x）＝3x2+2ax+b＝0有两个不同的实数根x1，x2，不妨设x1≠x2，所以3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根f（x）＝x1，f（x）＝x2，若x1＜x2，易得函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，在x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，此时f（x）＝x2有2个根，f（x）＝x1可能的根3或2或1，此时关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数5或4或3个，当x1＞x2，同理可得关于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b＝0的不同实根个数3个，故选：D．3．已知函数f（x）=(12)−4，≤−1B(+1)，＞−1，若f（f（x））＜0，则x的取值范围为（）A．（﹣2，0）B．(−∞，12−1) C．(−2，12−1)D．(−2，−1)∪(12−1，0)【解答】解：令f（x）＝t，则f（t）＜0，t≤﹣1时，(12)−4＜0，所以2﹣t＜4，解得﹣2＜t≤﹣1；t＞﹣1时，ln（t+1）＜0，解得﹣1＜t＜0；综上知，t的取值范围是﹣2＜t＜0，即﹣2＜f（x）＜0．由f（x）＝﹣2，x≤﹣1时，(12)−4＝﹣2，解得x＝﹣1；x＞﹣1时，ln（x+1）＝﹣2，解得x=12−1；综上知，x＝﹣1或=12−1，画出函数f（x）的图象，如图所示：根据分段函数f（x）的图象得，f（f（x））＜0的解集为(−2，−1)∪(12−1，0)．故选：D．4．已知函数f（x）＝x3﹣3x，则函数h（x）＝f[f（x）]﹣c，c∈[﹣2，2]的零点个数（）A．5或6个B．3或9个C．9或10个D．5或9个【解答】解：设t＝f（x），则由y＝f[f（x）]﹣c＝0，得f[f（x）]＝c，即f（t）＝c，t＝f（x），函数f（x）的导数f′（x）＝3﹣3x2，由f′（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，即函数在x＝1，取得极大值f（1）＝3﹣1＝2，函数在x＝﹣1，取得极小值f（﹣1）＝﹣3+1＝﹣2，又由f（﹣2）＝﹣2，f（2）＝2得：若f（t）＝c，c∈（﹣2，2），则方程有三个解，满足﹣2＜t1＜﹣1，0＜t2＜1，1＜t3＜2，则当﹣2＜t1＜﹣1时，方程t＝f（x），有3个根，当0＜t2＜1时，方程t＝f（x），有3个根，当1＜t3＜2时，方程t＝f（x），有3个根，此时共有9个根，若f（t）＝c，c＝2，则方程有两个解，满足t1＝﹣2，t2＝1，则当t1＝﹣2时，方程t＝f（x），有2个根，当t2＝1，有3个根，此时共有5个根，同理f（t）＝c，c＝﹣2时，也共有5个根故选：D．课后作业.函数的零点1．设定义在R上的函数op=2，≤0|l2U，＞0，g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a ＜1时，函数y＝g（x）的零点个数为3个．【解答】解：定义在R上的函数op=2，≤0|l2U，＞0，函数的图象如图：g（x）＝f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y＝g（x）的零点个数，就是y ＝f（x）与y＝a图象的交点个数，由图象可知，零点个数为3个．故答案为：3．2．已知函数f（x）=|+1|，≤0|l2U，＞0，若方程f（x）＝a（a∈R）有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）x4的取值范围是[﹣4，﹣2）．【解答】解：由题意作函数f（x）=|+1|，≤0|l2U，＞0与y＝a的图象如下，，结合图象可知，x1+x2＝﹣2，0＜log2x4≤1，故x1+x2＝﹣2，1＜x4≤2，故﹣4≤（x1+x2）x4＜﹣2，故答案为：[﹣4，﹣2）．3．已知函数op=|BU，＞0|2+4+3|，≤0，若g（x）＝ax（a∈R）使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同的实根，则实数a的取值范围为[0，1)∪{23−4}．【解答】解：由已知得f（x）得图象如图（1），（1）当a＞0时，要使得方程f（x）＝g（x）恰有3个不同根，则需存在x＞1，使得lnx ＞ax，即a＜B，又y=B的图象如图（2），故0＜a＜1；（2）当a＜0时，由图象（1）知y＝ax需与函数f（x）＝|x2+4x+3|＝﹣x2﹣4x﹣3相切，设切点为（m，n），则y﹣f（m）＝f'（m）（x﹣m），即y﹣（﹣m2﹣4m﹣3）＝（﹣2m﹣4）（x﹣m）过点（0，0），故m2＝3，因为m＜0，故m=−3，所以a＝f'（m）=23−4，（3）当a＝0时，显然符合题意，综上，实数a的取值范围为[0，1)∪{23−4}．故答案为：[0，1)∪{23−4}．4．已知函数f（x）=3−34+32，0≤≤122+12，12＜≤1，g（x）＝e x﹣ax（a∈R），若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，e﹣2]C．（﹣∞，e−54]D．（﹣∞，e]【解答】解：①当0≤x≤12时，f（x）＝x3−34+32，则f′（x）＝3x2−34≤0在[0，12]上恒成立，所以函数f（x）在区间[0，12]上单调递减，则f（12）≤f（x）≤f（0），即54≤op≤32，②当12＜≤1时，f（x）＝2x+12，函数在区间（12，1]上单调递增，所以f（12）＜f（x）≤f（1），即32＜op≤52，综上，函数f（x）的值域为[54，52]；又g′（x）＝e x﹣a，x∈[0，1]，若a≤0时，则g′（x）＞0，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g （1），即g（x）∈[1，e﹣a]，此时若要满足题意，只需[1，e﹣a]∩[54，52]≠∅，当a≤0时恒成立；若a＞0时，令g′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当0＜a＜e时，函数g（x）在[0，1]上单调递增，所以g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g （x）≤e﹣a，又因为[1，e﹣a]∩[54，52]≠∅，所以−≥540＜＜，解得0＜a≤−54，当a＞e时，g（x）在[0，1]上单调递减，所以g（1）≤g（x）≤g（0），即e﹣a≤g（x）≤1，此时[e﹣a，1]∩[54，52]=∅，所以不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）＝g（x2），综上，实数a的取值范围为（−∞，−54]，故选：C．5．已知函数f（x）=，=1(12)|K1|+1，≠1，若方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0有5个不同的实数解，则a的范围是（）A．（1，32）∪（32，2）B．（1，2）∪（2，3）C．（1，+∞）D．（1，3）【解答】解：方程2f2（x）﹣（2a+3）f（x）+3a＝0，解得f（x）＝a或f（x）=32，若a=32，f（x）=，=1(12)|K1|+1，≠1，可得x＝1或0或2，不满足题意；则a≠32，由f（x）=32，可得原方程有3个不等实根；只要1+（12）|x﹣1|＝a有2个不等实根即可．由|x﹣1|＞0可得0＜（12）|x﹣1|＜1，即有1＜a＜2，综上可得a∈（1，32）∪（32，2）．故选：A．6．已知f（x）=2−4，≤−1，＞（其中a＜0，e为自然对数的底数），若g（x）＝f[f（x）]在R上有三个不同的零点，则a【解答】解：（1）当x≤a时，f（x）＝x2﹣4，①当x2﹣4≤a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）＝（x2﹣4）2﹣4＝0得x=−2；②当x2﹣4＞a时，由f（f（x））＝f（x2﹣4）=2−4−1＝0得x＝﹣2（2）当x＞a时，f（x）＝e x﹣1，①当e x﹣1≤a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）＝（e x﹣1）2﹣4＝0得e x＝﹣1无解，②当e x﹣1＞a时，由f（f（x））＝f（e x﹣1）=−1−1＝0解得x＝0，因为g（x）＝f（f（x））在R上有三个不同的零点，所以−2≤−2≤0＞，解得：−2≤a＜0，故答案为：[−2，0）．。

函数零点问题解答分析与思考

函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题是数学中的一个重要问题，其解决方法涉及到诸多数学知识和方法。

下面我们从以下几个方面对函数零点问题进行解答分析与思考。

一、什么是函数零点？
函数零点，又称函数根或零点解，指的是一个函数在数轴上与$x$轴相交的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。

二、如何求函数的零点？
求函数的零点是数学中的重要问题，常见的方法有以下几种：
1.直接求解法：将$f(x)=0$转化为$x$的方程，然后解方程，这是最基本的求解零点的方法。

2.图像法：通过函数的图像来判断函数的零点。

当函数在某一区间内的取值为正，而在另一区间内的取值为负时，这两个区间上必定有一点$f(x)=0$，即为函数的零点。

3.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种求函数零点的迭代方法，它通过不断迭代来逼近函数的零点。

4.二分法：二分法是一种逐步缩小区间的求根方法，它通过不断缩小区间的范围来逼近函数的零点。

三、函数零点问题的应用
1.数值计算：求函数的零点是数值计算中的一个重要问题。

在数值计算中，函数的零点通常被用来求解方程和优化问题。

2.科学研究：函数的零点在科学研究中也有着广泛的应用。

例如，在物理学中，函数的零点可以用来确定一物体的运动状态。

四、结论
函数零点问题是数学中的一个重要问题，它有着广泛的应用。

求函数的零点涉及到多种数学知识和方法，求解的过程往往需要综合运用这些知识和方法。

在实际的应用中，掌握函数零点问题的解决方法对于解决实际问题是非常有帮助的。

【高考数学】三角函数零点问题

函数零点是近年来高考既是热点，又是重点，更是高频考点内容，在全国各个省的高考题，及各市各套模拟试卷都屡见不鲜，尤其是三角函数的零点问题，常考常新，但解答题都是通过分类讨论研究零点，分离参数划归为曲线的交点，分离函数等研究零点问题，下面就解答题加以分析：一．理论基础，解题原理对函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。

1.函数零点定义：2. 等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔曲线y=g(x)与y=h(x)的交点⇔函数y=f(x)有零点； 3.零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 也就是方程f(x)=0的根。

二例题枚举例1.（19课标1）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．解（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++，00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 三角函数零点问题∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =， 0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-<⎪++⎝⎭，10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1lnln102222e f ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<，即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<，即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.例2（17山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22xg x e x x x =-+-其中 2.71828e =L 是自然对数的底数. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.解：（Ⅰ）易求：222y x ππ=--（Ⅱ）由题意得 2()(c o ss i n 22)(2c o s )xh x e x x x a x x =-+--+，因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x xh x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--()()2sin 2sin x e x x a x x =---()()2sin x e a x x =--，令()sin m x x x =-，则()1cos 0m x x '=-≥，所以()m x 在R 上单调递增. 因为(0)0,m =所以当0x >时，()0,m x > 当0x <时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，所以当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--；极大值为()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，所以当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >所以当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增；当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增；所以当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--；当ln x a =时()h x 取得极小值.极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.综上所述：当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上递增，在()ln ,0a 上递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，【点睛】 1.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率．相应地，切线方程为y −y 0＝f ′(x 0)(x −x 0)．注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同．2. 本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道较难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.例3（19天津）设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明：()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明：20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.解：(Ⅰ)由已知，有()()'e cos sin xf x x x =-.当()52,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x >，得()'0f x <，则()f x 递减; 当()32,244x k k k Z ππππ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭时，有sin cos x x <，得()'0f x >，则()f x 递增. 所以()f x 的递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， ()f x 的递减区间为()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)记()()()2h x f x g x x π⎛⎫-= ⎝+⎪⎭.依题意及(Ⅰ)有：()()cos sin xg x e x x =-，从而'()2sin xg x e x =-.当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，故'()'()'()()(1)()022h x f x g x x g x g x x ππ'⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭.(Ⅲ)依题意，()()10n n u x f x =-=，即e cos 1n xn x =.记2n n y x n π=-，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.且()e cos n y n n f y y ==()()22e cos 2e nx n n n x n n N πππ---∈=. 由()()20e1n n f y f y π-==及(Ⅰ)得0n y y . 由(Ⅱ)知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫<= ⎪⎝⎭.又由(Ⅱ)知()()02n n n f y g y y π⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故： ()()()2e 2n n nn n f y y g y g y ππ---=-()()022200000sin cos sin cos n n n y e e e g y e y y x x πππ---=<--. 所以200e 22sin cos n n n x x x πππ-+--<.【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.。

高考常考题- 函数的零点问题(含解析)

函数的零点问题一、题型选讲题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。

例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上⎩⎨⎧<≤-<≤-=43,432,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x－1，x ＜1，ln xx 2，x ≥1，)则函数y ＝|f (x )|－18的零点个数为________．例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．题型二、函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．(),4-∞B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-例6、【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是 A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞例7、【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则A ．a <–1，b <0B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0例8、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数2(4),53()(2),3x x f x f x x ⎧+-≤<-=⎨-≥-⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有9个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．1111,,4664⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．1111,,3553⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,64⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭例9、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）已知函数()()2,22,2,x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩()2g x kx =+，若函数()()()F x f x g x =-在[)0,+∞上只有两个零点，则实数k 的值不可能为A ．23- B ．12-C ．34-D ．1-二、达标训练1、（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（） A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,22、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）3、（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知,a b ∈R ，函数(),0(),0x x a e ax x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（） A ．1,0a b >>B ．1,0a b ><C ．1,0a b <>D ．1,0a b <<4、（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a=-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（） A ．12BC ．2e D5、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数(01)()2(1)x f x x x⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x x a =-+有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．7、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】已知函数()222,01,03x x ax a x f x e ex a x x⎧++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在实数k ，使得函数()y f x k =-有6个零点，则实数a 的取值范围为__________.一、题型选讲题型一、运用函数图像判断函数零点个数可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。

函数零点的题型总结

函数零点的题型总结考点一函数零点存在性定理的应用【例1】已知函数f(x)=(12)x-13x,那么在下列区间中含有函数f(x)零点的是()(A)(0,13) (B)(13,12)(C)(12,23) (D)(23,1)解析:f(0)=1>0,f(13)=(12)13-(13)13>0,F(12)=(12)12-(12)13<0,f(13)f(12)<0,所以函数f(x)在区间(13,12)内必有零点,选B.【跟踪训练1】已知函数f(x)=2x-log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是() (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4)解析:由题意,函数f(x)=2x-log3x为单调递减函数,且f(2)= 22-log32=1-log32>0,f(3)= 23-log33=-13<0,所以f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)=2x-log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.考点二函数零点的个数考查角度1:由函数解析式确定零点个数【例2】(1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为() (A)5 (B)4 (C)3 (D)2(2)已知f(x)=2xx +x-2x,则y=f(x)的零点个数是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:(1)由题意可知x=0或cos(x 2-2x-3)=0,又x∈[-1,4],所以x 2-2x-3=(x-1)2-4∈[-4,5],当cos(x 2-2x-3)=0时,x 2-2x-3=kπ+π2,k∈Z,在相应的范围内,k 只有-1,0,1三个值可取,所以总共有4个零点,故选B. 解析:(2)令2xx+x-2x=0,化简得2|x|=2-x 2,画出y=2|x|,y=2-x 2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围【例3】 (1)已知函数f(x)= 24,1,ln 1,1,x x a x x x ⎧-+⎪⎨+≥⎪⎩＜若方程f(x)=2有两个解,则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞,2) (B)(-∞,2] (C)(-∞,5) (D)(-∞,5] (2)已知函数f(x)=3,2,1e ,20x xa x x a x x ⎧--≤-⎪⎪+⎨⎪--⎪⎩＜＜恰有3个零点,则实数a 的取值范围为( )(A)(-1e ,-13) (B)(-1e ,-21e) (C)[-23,-21e ) (D)[-23,-13)解析:(1)可知x≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x 2-4x+a=2有解,设g(x)=x 2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a 的取值范围是(-∞,5).选C. 解析:(2)-1x x +-3a=-111x x +-+-3a=1x x +-1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则e x -a x在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x≤-2时,-1-3a>0,a<-13,且121-+-1-3a≤0,a≥-23,使得第一段有一个零点,故a∈[-23,-13).对于第二段,e x -a x=e xx a x -,故需g(x)=xe x -a 在区间(-2,0)有两个零点,g′(x)=(x+1)e x ,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以(2)0,(1)0,(0)0,g g g -⎧⎪-⎨⎪⎩＞＜＞解得-22e >a>-1e .综上所述,a∈(-1e ,-13).故选A.【题组通关】1.若函数f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a 的取值范围为( C )(A)(0,4) (B)(0,+∞) (C)(3,4) (D)(3,+∞)解析:如图,若f(x)=|2x -4|-a 存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4),故选C.2.已知偶函数f(x)=4log ,04,(8),48,x x f x x ⎧≤⎪⎨-⎪⎩＜＜＜且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-12x在区间[-2 018,2018]的零点个数为( A ) (A)2 020 (B)2 016 (C)1 010 (D)1 008解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8.令F(x)=0,可得f(x)=12x,求函数F(x)=f(x)-12x的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y=12x图象交点个数,当0<x<8时,函数f(x)与函数y=12x图象有4个交点,2 018=252×8+2由f(2)=|log 42|=12>212=14知, 当0<x<2时函数f(x)与函数y=12x图象有2个交点.故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020, 故选A.3.已知函数f(x)= 31,1,,1,x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜若关于x 的方程f(x)=k 有两个不同零点,则k 的取值范围是 . 解析:作出f(x)=31,1,,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的函数图象如图所示.方程f(x)=k 有两个不同零点,即y=k 和f(x)= 31,1,1x xx x ⎧≥⎪⎨⎪⎩＜的图象有两个交点,由图可得k 的取值范围是(0,1). 答案:(0,1)考点三函数零点的性质考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围【例4】 (1)已知函数f(x)=122log ,022,0,x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,且满足:x 1<x 2<x 3<x 4,则43x x -2213232x x x x +的取值范围是( )(A)(2,+∞)(B)(174,25716] (C)[2,174) (D)[2,+∞) (2)已知函数f(x)是定义域为R 的偶函数,且满足f(12+x)=f(32-x),当x∈[-1,0]时,f(x)=-x.若函数F(x)=f(x)+412x x +-,则在区间[-9,10]上的所有零点之和为 . 解析:(1)f(x)=122log ,0,22,0x x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞=122log ,0,(11,0x x x x ⎧⎪⎨⎪++≤⎩＞），由二次函数的对称性可得x 1+x 2=-2, 由12log x 3=-12log x 4可得x 3x 4=1,函数F(x)=f(x)-b 有四个不同的零点,等价于y=f(x)的图象与y=b 的图象有四个不同的交点,画出y=f(x)的图象与y=b 的图象,由图可得1<b≤2,所以1<12log x 3≤2⇒x 3∈[14,12), 所以43x x -2123()2x x x +=43x x +23x =231x+23x , 令t=23x ∈[116,14),所以1t+t∈(174,25716],故选B.解析:(2)因为满足f(12+x)=f(32-x),所以f(x)=f(2-x), 又因函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),所以T=2,令F(x)=0,f(x)=421x x +-,即求f(x)与y=421x x +-交点横坐标之和.y=421x x +-=12+9221x -, 作出图象如图所示.由图象可知有10个交点,并且关于(12,12)中心对称, 所以其和为102=5. 答案:(1)B (2)5考查角度2:隐性零点的性质【例5】已知函数f(x)= ln(1),0,11,0,2x x x x +⎧⎪⎨+≤⎪⎩＞若m<n,且f(m)=f(n),则n-m 的取值范围为( )(A)[3-2ln 2,2)(B)[3-2ln 2,2](C)[e-1,2) (D)[e-1,2]解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1,则满足0<n≤e-1,-2<m≤0,则ln(n+1)=12m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1), 设h(n)=n+2-2ln(n+1),0<n≤e-1,则h′(n)=1-21n+=11nn-+,当h′(n)>0,解得1<n≤e-1,当h′(n)<0,解得0<n<1,当n=1时,函数h(n)取得最小值h(1)=1+2-2ln(1+1)=3-2ln 2,当n=0时,h(0)=2-2ln 1=2;当n=e-1时,h(e-1)=e-1+2-2ln(e-1+1)=e-1<2,所以3-2ln 2≤h(n)<2,即n-m的取值范围是[3-2ln 2,2),故选A.【题组通关】1.已知a>1,方程12e x+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则21x+22x+2x1x2的取值范围为(A)(A)(1,+∞)(B)(0,+∞)(C)(12,+∞)(D)(12,1)解析:方程12e x +x-a=0的根,即y=12e x 与y=a-x 图象交点的横坐标,方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x 与y=a-x 图象交点的横坐标, 而y=12e x 与y=ln 2x 的图象关于直线y=x 对称,如图所示.所以x 1+x 2=a,所以21x +22x +2x 1x 2=(x 1+x 2)2=a 2,又a>1,所以21x +22x +2x 1x 2>1,故选A2.已知函数f(x)=42log ,04,1025,4,x x x x x ⎧≤⎪⎨-+⎪⎩＜＞若a,b,c,d 是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd 的取值范围是( A ) (A)(24,25) (B)(18,24) (C)(21,24)(D)(18,25)解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.考点四函数零点的应用【例6】 (1)已知α,β分别满足α·e α=e 2,β(ln β-2)=e 4,则αβ的值为( ) (A)e (B)e 2 (C)e 3 (D)e 4(2)(2018·四川联测促改)已知f(x)=9x -t·3x ,g(x)=2121x x -+,若存在实数a,b 同时满足g(a)+g(b)=0和f(a)+f(b)=0,则实数t 的取值范围是 . 解析:(1)因为α·e α=e 2,所以e α=2e α, 因为β(ln β-2)=e 4,所以ln β-2=4e β, 所以ln β-ln e 2=4e β,所以ln2e β=4e β=22e e β.所以α,2e β分别是方程e x =2e x ,ln x=2e x 的根,因为点(α,2e α)与点(2eβ,4e β)关于直线y=x 对称,所以α=4e β,所以αβ=e 4.故选D.解析:(2)因为g(-x)=2121x x---+=1212xx -+=-2121x x-+=-g(x), 所以函数g(x)为奇函数, 又g(a)+g(b)=0,所以a=-b. 所以f(a)+f(b)=f(a)+f(-a)=0有解, 即9a -t·3a +9-a -t·3-a =0有解, 即t=9933a aa a--++有解.令m=3a +3-a (m≥2),则9933a a a a--++=22m m-=m-2m ,因为ϕ(m)=m-2m 在[2,+∞)上单调递增,所以ϕ(m)≥ϕ(2)=1.所以t≥1.故实数t 的取值范围是[1,+∞). 答案:(1)D 答案:(2)[1,+∞)【跟踪训练2】函数f(x)的定义域为D,若满足:①f(x)在D 内是单调函数;②存在[a,b]⊆D 使得f(x)在[a,b]上的值域为[2a ,2b ],则称函数f(x)为“成功函数”.若函数f(x)=log m (m x +2t)(其中m>0,且m≠1)是“成功函数”,则实数t 的取值范围为( ) (A)(0,+∞)(B)(-∞,18](C)[18,14) (D)(0,18]解析:无论m>1还是0<m<1,f(x)=log m (m x +2t)都是R 上的单调增函数,故应有(),2(),2a f a b f b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则问题可转化为求f(x)=2x,即f(x)=log m (m x +2t)=2x,即m x +2t=12x m 在R 上有两个不相等的实数根的问题,令λ=12x m (λ>0),则m x +2t=12x m 可化为2t=λ-λ2=-(λ-12)2+14,结合图形可得t∈(0,18]. 故选D.。

高中数学函数零点问题

高中数学函数零点问题在高中数学中，函数是一个重要的概念。

函数的零点问题是其中的一个关键问题。

函数的零点是指函数取零值的点，也就是使得函数值为零的横坐标。

解决函数的零点问题对于求解方程、解决实际问题都有很重要的意义和应用。

函数的零点问题涉及到两个关键概念：函数和零点。

首先我们了解一下函数。

函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。

简单来说，函数就是对于给定的输入，输出唯一确定。

函数可以通过各种形式来表示，如数学表达式、图表、图像等。

其中，数学表达式是最常见的表示方法。

例如，函数y = f(x)就是一种常见的数学表达式，表示了自变量x和因变量y之间的关系。

接下来我们来看一下零点的定义。

对于给定的函数y = f(x)，如果存在一个实数x使得f(x) = 0，那么x就是函数的一个零点。

换句话说，零点就是使得函数值为零的横坐标。

解决函数的零点问题的方法有很多种，下面我们就来介绍几种常见的方法。

首先是图像法。

对于给定的函数，我们可以通过绘制函数的图像来确定它的零点。

在图像上，零点就是函数与x轴交点的横坐标。

通过观察图像，我们可以直观地找到函数的零点。

这种方法适用于简单的函数，特别是具有规律性的函数。

其次是因式分解法。

对于一些特定的函数，我们可以通过因式分解的方法来求解它的零点。

例如，对于一个二次函数y = ax^2 + bx + c，我们可以通过将其因式分解为(y - x1)(y - x2)的形式，其中x1和x2分别是函数的零点。

然后，我们可以通过观察因式分解后的表达式来找到它的零点。

另外一种常见的方法是配方法。

对于某些复杂的函数，我们可以通过配方法来求解它的零点。

配方法是一种通过变换函数的形式，使得求解零点变得更加简单的方法。

常见的配方法有完成平方、换元法等。

通过应用配方法，我们可以将原函数转化为一个更简单的函数，从而更容易求解它的零点。

此外，数值法也是一种常用的方法。

数值法是一种利用计算机进行近似计算的方法。

函数的零点与解析问题及例题分析

函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。

求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。

求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。

下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。

例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。

解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。

2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。

3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。

4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。

2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。

解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。

解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。

以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。

- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。

解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。

3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。

解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。

即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。

因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。

以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。

希望对您有所帮助！。

求函数零点的例题

求函数零点的例题
在数学领域中，求函数零点是一个常见的问题。

函数零点指的是函数在自变量取某个特定值时，因变量为零的点。

求函数零点的过程可能需要用到代数、几何和微积分等数学知识，下面我将通过几个例题来展示如何求函数的零点。

首先，考虑一个简单的一次函数$f(x)=2x-4$，要求该函数的零点。

为了求出函数的零点，我们令函数值等于零，即$2x-4=0$。

解方程可得$x=2$，因此该函数的零点是$(2,0)$。

接着，我们来看一个二次函数的例题。

考虑函数$g(x)=x^2-9$，我们需要求出该函数的零点。

同样地，令函数值为零，即$x^2-9=0$。

这是一个一元二次方程，解方程可得$x=-3$或$x=3$，因此该函数的零点是$(-3,0)$和$(3,0)$。

再举一个三次函数的例子。

设$h(x)=x^3-8$，我们要求出该函数的零点。

令函数值为零，即$x^3-8=0$。

这是一个一元三次方程，我们可以用代数方法或图形方法来解。

代数方法需要用到因式分解或根的求解公式，而图形方法可以通过观察函数曲线与$x$轴的交点来求出零点。

以上是几个求函数零点的简单例题，但在实际问题中，函数可能更为复杂，求解函数零点可能需要更多的技巧和方法。

有时候，我们需要借助计算工具或数值方法来求出函数的零点。

总的来说，求函数零点是数学中一个基础而重要的问题，掌握这一技能能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

函数零点问题精编版

函数零点问题数学原理1.区间根存在原理若函数()y f x =在(,)a b 内的图像是一条连续的曲线，且()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =.2.函数零点的个数问题可以转化为函数图象的交点个数问题（数形结合思想）；函数零点所属区间可通过区间根存在原理进行判定.数学应用1.一元二次函数的零点问题1.1如果函数2(3)y x mx m =+++至多有一个零点，则m 的取值范围是________.1.2无论k 取何值时，方程254()x x k x a -+=-总有2个相异实根，则a 的取值范围是________________.1.3已知,αβ是方程2(21)420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，则m 的取值范围是____________.1.4已知x 的方程2350x x a -+=的一根分步在区间(2,0)-内，另一根分步在区间(1,3)内，则实数a 的取值范围是____________.2.零点个数问题2.1函数3()231f x x x =-+的零点个数是___________.2.2函数()lg sin f x x x =-的零点个数是___________.2.3已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数.若方程()(0f x m m =>在区间[8,8-上有四个不同的根1234,,,,x x x x 则1234___.x x x x +++=2.4关于x 的方程242x kx -=+只有一个实数根，则k 的取值范围是________.2.5函数m x x x f -+-=31)(2有零点的充要条件是_____________.2.6已知函数2lg(1),0,()2,0.x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-恰有3个零点，则实数m 的取值范围是___________.2.7已知以4=T 为周期的函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-=]3,1(,2cos ],1,1(,1)(2x x x x m x f π（其中)0>m ，若函数x x f x g 31)()(-=恰有5个不同零点，则m 的取值范围是_____________.2.8设函数kx x x f -=sin )(有三个零点γβα,,且γβα<<，给出下列结论①cos k γ=-；②3,2πγπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；③tan γγ=；④22sin 2.1γγγ=+ 其中正确命题的序号是_____________.2.9设x 的方程222(1)10,x x k ---+=给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同实根.其中正确命题的序号有__________________.3.函数零点所属区间问题3.1若方程310x x -+=在区间(,)(,,1)a b a b Z b a ∈-=且上有一根，则_______.a b +=3.2 设),2,(1)(*≥∈-+=n N n x x x f n n 下列结论中正确的是________(填序号). ①3()f x 在⎪⎭⎫⎝⎛1,21内不存在零点； ②4()f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21内存在唯一零点； ③设)4(>n x n 为函数()n f x 在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21内的零点，则.1+<n n x x3.3设20134321)(,20134321)(20134322013432x x x x x x g x x x x x x f -⋅⋅⋅-+-+-=+⋅⋅⋅+-+-+= 令),4()3()(-+=x g x f x F 若)(x F 的零点均在区间),,](,[Z b a b a b a ∈<内，则a b -的最小值是________.3.4 已知)(x f 是定义在区间),0(+∞上的单调函数，且对),0(+∞∈∀x ，都有,1)ln )((=-x x f f 则方程7)(2)(2='+x f x x f 所在的区间为___________.。

高考数学零点专题()

高考数学零点问题专项训练一、零点的区间与个数问问题1.设()x f 是定义在区间[]b a ,上的函数，且()()0<b f a f ，则方程()0=x f 在区间[]b a ,上A. 至少有一实根B. 至多有一实根C. 没有实根D. 必有唯一实根2. 已知函数x xx f 2log 6)(-=，下列区间包含零点的区间是（）A. (0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4) 3. 方程x x -=22的根所在区间是( ).A ．(－1，0)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(0，1)4. 使得函数221ln )(-+=x x x f 有零点的一个区间是( )A (0，1)B (1，2)C (2，3)D (3，4)5. 函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（）A.⎪⎭⎫⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21D.(1,2)6. 函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 7．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8.下列函数中在[]2,1上有零点的是（） A.543)(2+-=x x x f B.55)(3+-=x x x f C.63ln )(+-=x x x f D.63)(-+=x e x f x 9. 方程0lg =-x x 根的个数为（）A ．无穷多B ．3C ．1D ．0 10．函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 11. 直线3y =与函数26y x x =-的图象的交点个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是A ．4B ．3C ．2D ．113．函数()⎩⎨⎧>+-≤-+=0,ln 20,322x x x x x x f 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．314. 若偶函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+，[]x x f x =∈)(1,0时，当，则)(x f y =的图像与x y 4log =的图像的交点个数是A ．3B ．4C ．6D ．8 15. 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x x x f x 3)(02-=≥时，，则函数 3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为A. {1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-7,1,3}D.{-2-7,1,3} 16. 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，当2)(10x x f x =≤≤时，，则函数 x x f y 5log )(-=的零点的个数为A ．4B ．5C ．8D ．10 17. 已知)32(22tan )(πππ≤≤---=x x x x f 的所有零点之和等于 A ．π B ．π2 C ．π3 D ．π418.已知函数)0()(2>++=a c bx ax x f 的零点为)(,2121x x x x <，)(x f 的最小值[)210,x x y ∈，则函数))((x f f y =的零点个数是A ．2或3B ．3或4C ．3D ．419. 已知函数2432)(,2cos )(--==x x g x x f π，[]6,2-∈x ，则函数)()()(x g x f x h -=的所有零点之和是A ．6B ．8C ．10D ．1220 已知函数)00()(2<>++=c a c bx ax x f ，零点为)(,2121x x x x <，)(x f 的最小值20-x y ≤，则函数))((x f f y =的零点个数是A ．2或3B ．3或4C ．2或4D ．4 二、与零点有关的比较大小、取值范围问题1. 设函数3ln )(,2)(2-+=-+=x x x g x e x f x ，若实数0)()(,==b g a f b a 满足,则2. 设函数xx x g x e x f x 1-ln )(,44)(1-=-+=，若实数0)()(,==b g a f b a 满足,则 3. 已知函数x x x f )31()1(log )(3--=有两个零点21,x x ，则 4. 已知函数22)(kx x x x f -+=有四个不同的零点，则实数k 的取值范围是_______5. 已知函数()2,0233)(在--+=a x x x f 上恰有两个零点，则实数a 的取值范围是_____ A ．()2,0 B ．()4,0 C ．()6,0 D ．()4,26. 已知方程)0(022>=+--a x a x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____7. 若存在[])(,1416)(,22*∈--+--=∈N a a m x x x x f R m 在使函数上有三个不同的零点，则满足条件的a 的最小值是_______8. 已知)(x f 是定义在R 上且以4为周期的奇函数，当)ln()(202b x x x f x +-=<<时，，若函数[]2,2-)(在区间x f 上的零点个数为5，则实数b 的取值范围是_______9. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<--+=）（）（10,01,311x x x x x f ，且(]1,1-)()(在m mx x f x g --=内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是_______10. 已知已知)(x f 是定义在R 上且以3为周期的函数，[)时当3,0∈x 212)(2+-=x x x f ，若函数[]4,3-)(在区间a x f y -=上有10个不等的零点，则实数a 的取值范围是_______ 11. 函数已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足)2()(+=x f x f ，[)时当3,0∈x ，x x f 2)(=，在区间[]2,2-上方程0)(=-+x f a ax 恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_______12.已知实数0>a ，()⎪⎩⎪⎨⎧≤->=)1(2)1(log 221x ax x x x x f ，若方程243)(a x f -=有且仅有两个不相等实根，且较大实根大于2，，则实数a 的取值范围是_______13. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=)0()0(232x x x x x x f ，若函数a x x f x g --=)()(有四个不同的零点，则实数a的取值范围是_______14. 已知函数()⎩⎨⎧>-≤≤-+-=)0)(2(2)02(11x x f x x x f ，若方程a x x f +=)(在区间[]4,2-内有3个不等实根，则实数a 的取值范围是_______15. 对于任意实数⎩⎨⎧<-≥-=⊗⊗)1()1(,b a a b a b b a b a ”：定义运算“设)4()1()(2x x x f -⊗-=若函数k x f y +=)(的图像与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是_______ 16.设)()(x g x f 与是定义在同一区间[]b a ,上的两个函数，若函数)()(x g x f y -=在[]b a x ,∈上有两个不同的零点，则称)()(x g x f 与在[]b a ,是“关联函数”，[]b a ,称为“关联区间”，若m x x g x x x f +=+-=2)(43)(2与在[]3,0上是“关联函数”，则m 的取值范围是_______ 17. 已知R x ∈，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数[])0()(>-=x a xx x f 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______18. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧<<+-<<-+=)31(1)2()11)(1(log 21x x f x x x f 若关于x 的方程0)()(2=-x af x f 有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_______19. 设函数a x x x f ++=2)(2，若方程0))((=x f f 有且只有两个不相同的实根，则实数a 的取值范围是_______20. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=)0(9)0(13x x x x x x f ，若关于x 的方程a x x f =+)2(2有六个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_______21 已知)(x f 为偶函数，)0(12)(0>--=≥a a x a x f x 时，当，若函数))((x f f y =恰有10个零点，则实数a 的取值范围是_______A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡210， D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21。

函数零点问题典例(含答案)

3、已知函数f(x)＝2x＋ln(1－x)，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数．
4、已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.
(1)若函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求实数m 的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)＝0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．
【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式．注意导数的零点的意义．
2、分析
(1)直接解方程f(x)＝0有困难，可以作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象，还可以用判定定理．
(2)画出函数图象，结合最值与交点情况求解．
【解析】
(1)方法一：令f(x)＝0，得2－x＝lg(x＋1)，作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象(如图2－16－1)，可知有一个交点．∴函数f(x)的零点有且只有一个．
方法二：
首先x＞－1，在区间(－1，＋∞)上2－x是减函数，－lg(x＋1)也是减函数，∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上为减函数且连续．
3、【解析】函数
f′(x)＝2＋－1 1－x
令f′(x)＝0, 得
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