环路定理、电势课件]

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静电场的环路定理电势

(8-22)
静电场的环路定理电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的电势之差等于把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点电场力所做的功.电势差是绝对的.
静电场的环路定理电势
四、电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做的功都与路径无关，那么它们的代数和也必然与路径无关.由此可以得到以下结论：在任意带电体的电场中，电场力对试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电荷在该点产生场强的矢量和，即

《高斯定理环路定理》课件

环路定理的应用
总结词：广泛适用
VS
详细描述：环路定理在电磁学、电动力学、麦克斯韦方程组等多个领域都有广泛应用。它可以用来计算磁场穿过任意封闭曲线的线积分，从而解决一系列实际问题，如电磁感应、磁场分布、电磁波传播等。
03 高斯定理与环路定理的比较
定理表述的比较
总结词
高斯定理和环路定理的表述形式各有特点，高斯定理强调空间区域内的电荷分布，而环路定理则关注磁场的变化。
应用。
02 环路定理
环路定理的表述
总结词：简洁明了
详细描述：环路定理表述为“磁场穿过一个封闭曲线的线积分等于零”，即磁场在封闭曲线上的线积分与路径无关，只与起点和终点的磁通量有关。
环路定理的证明
总结词：严谨推导
详细描述：通过引入矢量场和微分同胚等概念，利用矢量场的散度和旋度的性质，经过严谨的数学推导，证明了环路定理的正确性。
复杂模型应用
在此添加您的文本16字
分析一个通电螺线管的磁场分布，通过环路定理确定磁场方向和大小，展示环路定理在实际问题中的应用。
在此添加您的文本16字
对比验证
在此添加您的文本16字
通过对比环路定理和传统积分方法的计算结果，验证环路定理的正确性和高效性，强调环路定理在电磁学中的重要地位。
05ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ总结与展望
环路定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了磁场沿闭合路径的线积分等于穿过该闭合路径所围成的面积的磁通量。环路定理反映了磁场沿闭合路径的线积分与磁通量之间的关系，是计算磁场分布、磁通量、磁感应线和磁力等方面的重要工具。
比较与联系
高斯定理和环路定理都是电磁学中的基本定理，它们之间有着密切的联系。通过高斯定理可以推导出环路定理，反之亦然。它们在描述电场和磁场分布方面具有不同的侧重点，但都是描述电磁场性质和行为的重要工具。

电学 1-4 环路定理、电势、电势差

§1.4 环路定理电势 (四学时)
§1.4.1 静电场的环路定理 §1.4.2 静电势能 §1.4.3 电势和电势差 §1.4.4 电势的计算 §1.4.5 等势面 §1.4.6 电势梯度
从功和能的角度研究静电场的性质
§1.4.1 静电场的环路定理
一、什么是保守力？
力所做的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的
qE cos
a
b dl qlEcos
pE cos
W pE
当 p 和 E 同向时，W 取最小值 -pE，电偶极子达到稳
定平衡，即外电场的作用总是使电偶极子转向外场方向
§1.4.4 电势的计算
一、点电荷电场中的电势
选无限远为电势零点，点q电荷电量为 q，其场强为
E 40r 2 er
离点电荷为 r 的 P 点的电势为积分路径沿径向
只与路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。
静电力是保守力，静电力场是保守力场。
式中
Aab
b E dr
称为场强沿任意路径
L 的线积分
q0
a
三、静电场环路定理
考察：试验电荷在电场中运动经过闭合路径回到原来
位置时，电场力做功？
A
F
L
b
dr
q0
E dr
L a
L1
b
q0 q0
例 4 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2。圆
柱面均匀带电，线电荷密度分别为 1 和 2 。
求：1)电势分布；2)两圆柱面之间电压。
解：1) 由高斯定理可得场强分布
E
0
1
2 0r
(r R1 ) (R1 r R2 )
方向垂直于圆

静电场教学课件PPT-3电势带电体在电场中所受的电场力教学课件PPT

----势函数（电势）
"0"
如选 b 0 则 a E • dl
p0
a
一般地 p E • dl
p
2. 电势“0”点的选择
对分布于有限区域的电荷所产生的场，一般将零势点取在无穷远处。
对无限区域的电荷所产生的场，零势点选取时一般根据求解问题方便确定。
实际应用中，一般选地球作零势点
3. 点电荷电场的电势
q • r0
•P
如图 P点的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
1
由电势定义得
P
E • dl
P
r
q
4 0 r 2
dr
q
4 0 r
2
① 大小：q>0 >0 r r , 0 (最小)
讨论
q<0 <0 r r , 0 (最大)
② 对称性：在以q为球心的同一球面上各点的电势相等
§3-2 电势叠加原理
业
P280
8.5，8.9，8.11
4 0
(
1 ra
1 rb
)
dr
c dl
F
qc0 E
２．点电荷系电场中静电力作功的特点
b
Aab q0 ( E1 E2 En )• dl
a
b
b
b
q0E1 • dl q0E2 • dl
q0En • dl
a
a
a
A1
A2
An
i
q0qi
4 0
(
1 ria
1 rib
)
静电力作功与路径无关，静电场力是保守力
q
E 4 0r 2
rR

04静电场的环路定理电势

R
1
•II区：球壳外电势
rR
U2

r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元，将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0

b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷自该点 “势能零点” 过程中电场力作的功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电场力所作的功。电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V），即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。

6—3静电场的环路定理电势

2.点电荷系的电势
•各点电荷在场点P产生的电场为E1、E2、…
•P电场为E1+E2+…
•取无限远为标准点，P电势为
标
VP P E dl
标标
P E1 dl P E2 dl
q1
q2 q3
r1 r2 r3
E3
E2
P
E1
V1 V2
+
二、电势梯度
1.方向导数
►两邻近等势面 Ua Ub
►沿l方向电势变化率 dV
dl
沿n方向电势变化率
dV dn
dn ·b n
a· ·b
dl
l
< Vb Va
这种沿某个方向的变化率称方向导数。
►沿不同方向变化率不同，沿n方向电势变化率最快，即
dV cos dV dV
dn
dl dn
y
dl + + +
+
+
+R o +
+
+
dq dl qdl
r
2π R P
x
x
+
+
z+
+ +
dVP

1
4π 0r
qd l 2π R
方法二，电势叠加法,把带电体看成许多点电荷组成
VP

1
4π 0r
qdl q
q
2π R 4π 0r 4π 0 x2 R2
注意：方法一中的积分是对路径的积分方法二中的积分是在带电体上进行的
S
0
三、电势能

09-4静电场的环路定理和电势

电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)

P

E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功，正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近的等电势线（类似于电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点，合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r

r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势

6-3静电场的环路定理电势

dV
dE
10
红
已知场强分布 Ex, y, z ，求场中任一点P 的电势时，
可先作不定积分
V E dl C
选择使积分常量 C 0 的点为零电势的参考点，再
电
子工程学院
作积分，可求 P 点的电势 VP
对于有限电荷分布情况，可直接选无限远为零势能
点，作积分可得
VP
E dl
P
x
1 qdl
dVP 4π 0r 2π R
x
院
杨 VP
小
1
4π 0r
qdl q
q
2π R
4π 0r
4π 0
x2
R2 13
红
VP
4π 0
q x2 R2
电讨论
子工程学院
杨
x
0，V0
q
4π 0R
x
R，VP
q
4π 0x
小
红
q
V
4π 0 R
o
x
q
4π 0 (x2 R2 )1 2
14
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
点
电
电荷
子的
工程学院
等势面
杨小红
dl2 dl1 E2 E1
dl1 dl2
21
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
电子工程学院
杨
小
22
红
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
电
子工
+
程
学

静电场环路定理电势能和电势.pptx

V
dV
1dq
Q440r0
r
Q
dq
Q
4 0 R2 x 2
(解毕 )
第23页/共43页
x a
x V (x) dr R o Qr
4 0R
o
x
课堂练习求均匀带电园盘( R, σ )轴线上电势分布。
提示：建立坐标系，取元，如图所示。
选∞处为电势零点，则：
dV 2dqrdr 4 0 r 2 x 2
q
r
r
r
4
q
0 r 2
dr
aq r
r 10V
E
8V 6V
V (r )
q
4 0r
( 球对称分布 )
等势面分布
第14页/共43页
课堂练习求半径为R均匀带电 Q 的球面电势分布。
解选∞处为电势零点，则：
V (r) r E dr
0
E(r) Q
4 0r 2
(r R) (r R)
r
4
即：电势 V 的叠加为标量叠加，而叠加，后者运算较繁。
的叠加却为矢量
E
第13页/共43页
E
☻由于静电场的保守特性，
b
V与a积分路a 径E无 dr
关，可选取一合理的路径进行积分。
例求点电荷 q 的电势分布。
解选∞处为电势零点，则：
V (r)
E dr
E dr cos 0
(r (r)
R)
E
dr
R
E
dr
E dr
r
r
R
V (r) 0
Q
R 4 0r2
dr
cos
0
Q

环路定理电势能电势电势差.ppt

(C)
1 q
4
0

r

Q R

(D) q Q
40r
[A]
U1 U2

1 q Q 1 q Q
40 r R 40 R R

1
4 0

q r

q R
熟记均匀带电球面的场强和电势分布！
25
例下面说法正确的是 (A) 等势面上各点场强的大小一定相等； (B) 在电势高处，电势能也一定高； (C) 场强大处，电势一定高； (D) 场强的方向总是从电势高处指向低处.
解：由电势叠加原理有
4
U
qi
i1 40ri
1 (q q q q)
4 0 r
0
Eo 0
q
r o
q
q
q
13
第二类问题：连续带电体的电势——电势积分法。例均匀带电圆环半径为R，带电量q 。求圆环轴线上一点的电势
解建立如图坐标系，选取电荷元 dq
du dq
E2

dr

qdr
r 40r 2
q
4 0 r
u内
E
p1
dr
R
r E1dr

R E2dr

q
8 0 R3
(3R2

r2
)
当E的表达式不同时，要分段积分。电势叠加？
20
例：无限长均匀带电直线电荷线密度为，求电势分布。
解：无限长带电直线的场强：
o
E

1 r2
V
q
4 0 R
R

(大学物理ppt)第 2 章电势

ra
静电力作功与具体路径无关，只取决于检验电
荷的始末位置。定义电势差
rb A a b E dl ra q0
二、电势差和电势
2.电势
b a E dl ra d E dl
rb
即若
称为电势零点 rb 则：电场中 a 点的电势 a r E dl
r rb 时， b 0,
a
通常
rb 时，b 0,
电势
a

ra
E dl
二、电势差和电势电势
Biblioteka r E dl上式表明，电场中某点的电势大小，等于把单位正电荷从该点经任意路径移到无限远处电场力所作的功的大小。电势单位：焦尔 / 库仑，称为伏特，简称伏
A dA q0 Edr
L ra rb
q0q 1 1 ( ) 40 ra rb
一、静电场环路定理
2.静电场的保守性
在点电荷电场中，电场力对检验电荷所作的
功，只取决于检验电荷 q0 及其始末位置，与连接始末位置的具体路径无关。这个性质称为静电场的保守性。
一、静电场环路定理
二、电势差和电势
3.单个点电荷在空间的电势
点电荷在空间任意一点的电势 E dl
r
q
r
p

r
q dr 2 40 r
1
E
1 q 40 r
q e 2 r 40 r 1
积分路径沿位矢方向
二、电势差和电势
1 q 40 r
在正电荷的电场中，各点的电势均为正值，离电荷越远的点，电势越低；在负电荷的电场中，各点的电势均为负值，离电荷越远的点，电势越高。

静电场的环路定理和电势

若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差，并不仅由这两点处的电场决定，它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布，选有限远的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场的保守性：
……称为静电场的环路定理

10静电场2(环路定理、电势)

2
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来计算P的电势：
V

P

E dr E dr
P
q
P

q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr

积分路径选为沿径向的直线在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中，电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间变化率不相等。当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大，此最大值称为该点的电势梯度，其方向是该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能静电场力是保守力，可引入电势能的概念。静电场力做功等于电势能的减少。在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同，是相对的；而两点的电势差是绝对的，与电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr

第11章-电势

3
E1
qr 4o R
3
E2
q 4o r
2
V1 E1dr E2 dr
r R
R

q
r

R
qr 4o R
q
3
r
dr

q 4o r
q 4o R
2
R
dr
R

8o R
3
(R r )
2 2

q (3R r )
2 2
8o R
V2

r
E2 dr
L
q 2 a
2
o ar
V
q 4o r

q 4o x a
2 2
法二：
E
1
2
qx
2 3 2
4o ( x a )

V

E dl
x

Edx
q 4 o
x

2
xdx (x a )
2 3 2
x
V
q 4o x a
2 2
例5.平行板电容器两板间的电势差

2o
ln
ro r
如果势能零点在 ro=1m
V
2o
ln r
例4. 均匀带电圆环，带电量为q，半径为a，求轴线上任意一点的P电势。
解：
dq dl
dq 4o r
q 2 a
qdl
dl
a
r
P
x
x
dV 8 o ar
2
V
dV

q 8 o
2

大学物理10.4静电场的环路定理电势能.ppt

q1
q2
qi qn
带电体对q0 做功与路径无关结论静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
b
Aab q0E dl
L1
q0 由 a 点经 L1 到达 b 点所做的功
b
a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
验一个电场不是静电场。 b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a E1dl c E2dl
E1ab E2 cd 0 不是静电场
a
b
E
d
c
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。
单个点电荷产生的电场rrqq4barrd1200???0al?dbabaqel????11400barrqq???lr?d?rqqbarr?4300???balbrardl?rd?qe??q0点电荷对q0做功与路径无关dr?l??drr?cosd?rl?r?r?d?r?dr?rr????0al?balqe?bqe?dbabaqel????012d?neel??????????01020alal?al?dddbbnlqelqel????????????????结论静电场力做功只与始末位置有关与路径无关所以静电力是保守力静电场是保守力场
例如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，
有一带电量为 q 的点电荷
求 q 在 a 点和 b 点的电势能
解 • 选无穷远为电势能零点
Q
qQ 1
qQ

高二物理竞赛课件-7.4静电场的环路定理电势

40 r r2 40r
8
电势 (electric potential)
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移至"标准点" （电势能零点）过程中电场力作的功。数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能。
Va
Wa q0
E dl
a
电势差（电压）：与试探电荷无关，反映电场本身在P、Q两点的性质。 [伏特 = 焦耳/库仑]
5 电场强度与电势梯度的关系
计算圆环轴线上任一点P 处的电势。
q 注意：必须是同一个标准点。
r R 因电势是标量，因此，电势叠加比场强叠加的计算简单得多。
4 R q 不能取无穷远处为电势零点， V q 否则将导致电场中任一点的电0势值为无限大。
式中r+与r-分别为+q和-q到P点的距离
实际中：选大地或机壳、公共线为电势零点。
电势能与试探电荷的电量成正比。
7
电势能例题
求点电荷q0在点电荷 q的电场中任一点(距 q 为 r)的电势能。
解：选无穷远为标准点,并取路径L如图， dr为路径上的一小段，于是
W q0 r E dl
q0
qrˆ dr
r 40r2
q0q dr q0q
q
静电场电场线性质：电场线不可能是闭合线。
式中r 与r 分别为+q和-q到P点的距离（2）点电荷系电场中的电势+
-
因ln1=0，若选离直线为r1=1m处为
r r 电势零点，则方便地可得P点的电势：e
e
r r cos r r＋ cos 求等量异号的同心均匀带电球面的电势差.
－
2 2 于是整个环路积分的数值不可能等于0，
解法2：
由

63静电场环路定理电势

E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能比重力做功保守力重力势能
较静电场力做功保守力电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl

所有分类环路定理电势能电势

所有分类环路定理电势能电势
Wq0a b Ed clo s
dcl o s dr
Wq0ab Edr
点电荷的场
q
Wq0ab 410rq2dr
q0q 1 1
40 ra rb
b
rb
dl r
ra
q0 a
dr F
E
W q0q 1 1
40 ra rb
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，静电场为保守场。
电场力是保守力，可引入势能的概念。
引力是保守力，作功为
W 引[Gm1 rm b2(Gm1 rm a2)]
取无穷远为零势能点，则引力势能为：
电场力作功
Ep
G m1m2 r
W q0q 1
40 ra
r1b (4q0q0rb
q0q )
40ra
1.电势能Ep
定义：单位：焦耳，J
EP
q0q
40r
为点电荷电势能（选无穷远为零势能点）
r
r
r
0R E2dr d l/d /r/E / 高斯面
R410 rq2dr
q
4 0 R
•II区：球壳外电势
II
rR
选无穷远为电势 0 点，
U2 r E2dl
I
qo RE
r
r
r
rE2dr d l/d /r/E / 高斯面
1
r 40
rq2dr
q
4 0 r
II
I
qoR
II
I
qoR
qE
4 0 R 2
qV 4 0 R
oR
r oR
r
例3 如图，两个同心的均匀带电球壳，半径分别

第08章-电势

第八章
电势
主要内容
8.1 静电场的保守性 8.2 电势差和电势 8.3 电势叠加原理 8.4 电势梯度 8.5 电荷在外电场中的静电势能 8.6 电荷系的静电能 8.7 静电场的能量
3
8.1 静电场的保守性
静电场的环路定理
dW qoE dl
qoE cos dl
q
E 4or 2
q
y
l

0
q
z
U

40 (x2
pz y2

z 2 ) 32
U

40 (x2
pz y2

z
2
)
3 2
Ex

U x

pz
4 0
(x2

3x y2
z2)52

p
4 0
3xz r5
Ey

U y

p
40
3yz r5
Ez

U z

p(
40
dW

qoq
4or 2
cos
dl

qoq
4 o r
2
dr
b rb
q
ra
rr
drdl

qo
E
a
Wab
rb qoq dr
ra 4or 2

qoq
4o

1 ra

1 rb

结论：给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路
Wab qo a E dl Epa Epb

第五章-3 电势

v ∞ v E PA VA = = ∫ E ⋅ dl A q0
E PA = ∫
∞
A
v v q0 E ⋅ dl
单位正电荷在该点所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远电势零)电场力所作的功点(电势零电场力所作的功电势零
v VA只与场强 E 有关，与q0无关，所以可以用来描述有关，无关，电场的性质 VA是标量，没有方向只有大小标量，点电荷及有限系统而言而言， =0；实际应用中，对点电荷及有限系统而言，取V∞=0；实际应用中，一般取V 一般取V地=0
v B dl v dr θ E rB
v r
r
Q
∫
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clc2000@
第五章静电场
2. 点电荷系的电场
n
§5-3 静电场的环路定理电势
n
W = W1 + W2 + L + Wn = ∑ Wi = ∑
i =1 i =1
Qi q0 1 1 ( − ) 4πε 0 rAi rBi
l
v E
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第五章静电场
2. 环路定理的验证
§5-3 静电场的环路定理电势
q0沿闭合路径L回来原处，静电场力作功为零沿闭合路径L回来原处，
W=
讨论
Q q0 ≠ 0
∴
∫ E ⋅ dl
l
∫v v
L
v v F ⋅ dl =
∫
L
v v q0 E ⋅ dl = 0
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第五章静电场
例1 、求电偶极子电场中任一点P的电势求电偶极子电场中任一点P 由叠加原理