学习单 13.2(2) 点到直线的距离
点到直线的距离和两直线的距离
点到直线的距离和两直线的距离【学习目标】1.掌握点到直线的距离公式2.掌握两平行线的距离公式3.进一步研究对称问题【学习过程】反馈练习1.已知点)3,(a A 与点)33,3(+a B 的距离为5，则=a .2.已知动点P 的坐标为))(1,(R x x x ∈-，则动点P 到原点的最小值等于 .3.求点)2,1(A 关于直线033=+-y x 的对称点.4.求直线01=++y x 关于直线033=+-y x 对称的直线方程.活动一、新课预习1．已知点),,(00y x P 直线),0,0(0:≠≠=++B A C By Ax l 求出点P 到直线l 的距离.在上述问题中，若0=A 或0=B 结果又如何？2. 如何求两平行线),,(00212:21:1C C B A C By Ax l C By Ax l ≠=++=++不同时为零与间的距离？活动二、简单应用1.求点)2,1(-P 到下列直线的距离：（1）;0102=-+y x （2）23=x2..若点)2,2(-到直线043=++c y x 的距离为3，求c 的值.3.求两条平行线06430143=--=--y x y x 与之间的距离.活动三、课堂活动例1.求两条平行直线0962043=-+=-+y x y x 与之间的距离.例2.求与直线06125:1=+-y x l 平行且与直线1l 的距离为2的直线的方程.例3.已知两平行直线,01586:,0543:21=-+=++y x l y x l 求与21l l 和的距离相等的直线l 的方程.小结：点),(00y x P 到直线),(0:不同时为零B A C By Ax l =++的距离为 . 两平行线),,(002121C C B A C By Ax C By Ax ≠=++=++不同时为零与间的距离为 .用此公式时应注意： .活动四、思考1.已知),2,6(),3,1(N M -点P 在x 轴上，且使PN PM +取最小值，求点P 的坐标.2.已知),2,6(),4,1(N M --点P 在x 轴上，且使PN PM -取最大值，求点P 的坐标.小结：若点N M ,在直线l 同侧，如何找出直线l 上使得PN PM +取最小值的点P ?若点N M ,在直线l 异侧，如何找出直线l 上使得PN PM -取最大值的点P ?自我检测：1. 求下列点P 到直线l 的距离：（1）;02543:),2,3(=-+-y x l P （2）.053:),1,2(=+-y l P2. 求下列两条直线之间的距离：（1）02125=--y x 与;015125=+-y x （2）0546=+-y x 与.23x y =3.直线l 经过原点，且点)0,5(M 到直线l 的距离等于3，求直线l 的方程.4.求与直线012=++y x 的距离为55的直线方程.5.已知点),2,5(),3,1(-N M 在x 轴上取一点P ，使得PN PM -最大，求P 点的坐标.。
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]
![《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/85309ad8f605cc1755270722192e453611665b59.png)
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]第一篇：《点到直线的距离》的说课稿一、教学方法的选择（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”。
（2）教学方法：问题解决法、讨论法等。
本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用。
我选择的是问题解决法、讨论法等。
通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体。
二、教学用具的选用在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具．它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率。
三、关于教学过程的设计“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力．课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。
课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成．下面对每个环节进行具体说明。
（一）[创设情境提出问题]1、这一环节要解决的主要问题是：创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力．2、具体教学安排：多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？学生很快想到建立坐标系．如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”。
（二）[自主探索推导公式]1、这一环节要解决的主要问题是：充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透。
13.2(2)点到直线的距离 课件
D
C
B
A
BC AC ，垂足为点C，
所以线段BC的长表示点B到直线AC 的距离.
●
CB
例题
说说线段AD、BD、CD的长表
A
示哪一点到哪条直线的距离吗？
A
D
C
B
D
C
B
ADAD到，⊥直线C线段D判的CA，DD断距垂的的某离足距长条，为离是关线点.点键段在的BDB于长D到，找是⊥直线到哪C线段D垂一CB，线点DD垂的的段到足CDC距长.哪D到，为离是条⊥直线点.点直A线段B线A，CBD垂的的足距长为离是点.点
操作：过点A作直线l的垂线，垂足为A1.
A
●
A1
l
线段AA1叫点A到直线l的垂线段. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做这个点到直线的距离.
例题
指出图中线段AC的长表示哪个点到哪条直线的距离.
A
●A
AC BC，垂足为点C，
所以线段AC的长表示点A到直线
D
BC的距离.
C
BC B
例题
指出图中线段BC的长表示哪个点到哪条直线的距离.
课堂练习
练习：如图，根据图形回答问题. (1)点B到直线AC的距离是线段__A__B__的长度； (2)点C到直线AD的距离是线段__C_D___的长度；
ABBiblioteka DC
点到直线的距离 课件(51张)
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 点到直线的距离
【例 1】 求过点 M(－2，1)且与 A(－1，2)，B(3，0)两点距离 相等的直线的方程．
[解] 当直线的斜率不存在时，直线为 x＝－2，它到 A，B 两点 的距离不相等，故可设直线方程为 y－1＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋1 ＝0．
(1)应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若 给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解．例如求点 P(x1，y1) 到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方程化为 kx－y＋b＝0，再利用 公式，得 d＝|kx1－k2y＋1＋1 b|．
(2)当点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系．
2若已知直线 l1 与已知对称轴相交，则交点必在与直线 l1 对称的 直线 l2 上，然后求出直线 l1 上任意一点关于对称轴对称的点，由两点 式写出直线 l2 的方程.
[跟进训练] 3．求直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：3x＋4y－1＝0 对称的直 线 l2 的方程． [解] 法一：解方程组23xx＋ ＋y4－y－4＝ 1＝0，0， 得xy＝ ＝3－，2， 所以直线 l1 与 l 相交，且交点坐标为(3，－2)，故交点也在直线 l2 上． 在直线 l1：2x＋y－4＝0 上取点 A(2，0)，设点 A 关于直线 l 的对 称点为 B(x0，y0)，
3×x＋2x0＋4×y＋2 y0－1＝0， 则有yx－ －yx00＝43，
解得yx00＝＝－7x－2422x52－45y＋7y＋6，8. 因为点 Q(x0，y0)在直线 l1：2x＋y－4＝0 上，所以 2×7x－2254y＋6 ＋－24x2－57y＋8－4＝0，化简得 2x＋11y＋16＝0． 即直线 l2 的方程为 2x＋11y＋16＝0．
点到直线的距离公式的七种推导方法
点到直线的距离公式的七种推导方法已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。
（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）一、 定义法证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为B A'l ∴的方程：00()B y y x x A-=-与l 联立方程组 解得交点2200002222(,)B x ABy AC A y ABx BCQ A B A B ----++ 2222200000022222222000022222222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=+++|PQ ∴= 二、 函数法证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得：222200222222220000220000220000()[()()]()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++=当且仅当00()B A y y x -=-（x ）时取等号所以最小值就是d =三、不等式法证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。
点到直线的距离(2)
d | Ax0 By0 C1 | A B
2 2
| C1 C2 | A2 B 2
就是平行直线l1 和l2 之间的距离.
例3 建立适当的直角坐标系证明: 等腰三角形底 , 边上任意一点到两腰的 距离之和等于一腰上的 . 高
作业：P97、10、13
y
B0, b
D E
F
C- a,0 Px,0 o
Aa,0 Biblioteka x图2 1 25
单击图标, 演示打开的几何画板 . 检验例3 中命题结论的正确性.
自主探究 • 边长为m的正三角 形内任意一点到三边的 距离之和。
分层训练: 必做题:P96练习2（2） 选做题：P96习题8
• 思考题： 过点P（m,2)的直线与原点距离最远，且与 A（2，3）和B（4，7）等距离，求m。
2.1.6
点到直线的距离(2)
学习目标:
巩固点到直线的距离公式,并 会求两条平行直线间的距离.
自学指导:
1、如何求两条平行直线间的距离？ 2、如何合理建立平面直角坐标系？ 3、本节内容如何体现转化思想？
自学检测:p96、2(1)
例 2 求两条平行直线x 3 y 4 0与 2 x 6 y 9 0 之间的距离 .
分析 : 在两条平行线中的一条直线上任取 一点, 将平行线之间的距离问题转化为点到 直线的距离 .
一般地,已知两条平行直线 l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0 C1 C2 . 设 Px0 , y0 是直线 l2上任意一点, 则 Ax0 By0 C2 0,即 Ax0 By0 C2 .
点到直线的距离公式是什么
点到直线的距离公式是什么想要了解点到直线的距离公式的小伙伴，赶紧来瞧瞧吧！下面由小编为你精心准备了“点到直线的距离公式是什么”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！点到直线的距离公式点到直线的距离，即过这一点做目标直线的垂线，由这一点至垂足的距离。
设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为：考虑点（x0，y0，z0）与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有s=|（x1-x0，y1-y0，z1-z0）×（l，m，n）|/√（l²+m²+n²）。
d=√（（x1-x0）²+（y1-y0）²+（z1-z0）²-s²）。
拓展阅读：点到直线的距离定义从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离。
点和直线的位置关系点与直线只有两种位置关系：一种是点在直线上，一种是点在直线外。
点是最简单的形，是几何图形最基本的组成部分。
在空间中作为1个零维的对象。
在其它领域中，点也作为讨论的对象。
直线由无数个点构成。
直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。
过一点可以画几条直线直线由无数个点构成。
直线是面的组成成分，并继而组成体。
没有端点，向两端无限延长，长度无法度量。
经过一个点可以画无数条直线。
经过两个点可以画一条直线。
直线与线段和射线的区别1、直线无端点，长度无限，向两方无限延伸。
2、射线只有一个端点，长度无限，向一方无限延伸。
3、线段有两个端点，长度有限。
第二章 点到直线的距离(第二课时) 点到直线的距离公式
问题2 上述推导过程有什么特点？反思求解过程，你能发现出现这种状 况的原因吗？ 提示 推导过程思路自然，但运算量较大，一是求点Q的坐标复杂，二 是代入两点间的距离公式化简复杂.
问题3 向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，怎样用向量方法求 点到直线的距离呢？
提示 P→Q可以看作P→M在直线 l 的垂线上的投影向量，直线 l：Ax＋By＋
解 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1 ＝0， 由点到直线的距离公式得|－12＋k－k21|＝2， 解得 k＝34， 所以直线l的方程为3x－4y－10＝0. 故直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
随堂演练
1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为
即直线2x－y－5＝0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ过点P且与原点距离最大的直线，
最大距离为|－5|＝ 5
5.
反思感悟 解决有限条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论， 利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题 的目的.
跟踪训练2 已知直线l过点M(－1,2)，且点A(2,3)，B(－4,5)到l的距离相 等，求直线l的方程.
知识梳理
|Ax0＋By0＋C|
距离公式：d＝
A2＋B2
.
注意点： (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于 直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
二、点到直线距离公式的简单应用
例1 (1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为__2__5__. 解析 由点到直线的距离公式得 |－1×2＋22＋2×121－10|＝2 5.
【教育资料】中考数学专题练习点到直线的距离(含解析)学习专用
备战2019中考数学专题练习-点到直线的距离（含解析）一、单选题1.如图所示，点P到直线l的距离是（）A. 线段PA的长度B. 线段PB的长度C. 线段PC的长度D. 线段PD 的长度2.在同一平面内，已知线段AB的长为10厘米，点A，B到直线l的距离分别为6厘米和4厘米，则符合条件的直线l的条数为（）A. 2条B. 3条C. 4条D. 无数条3.如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条4.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（）A. 五条B. 二条C. 三条D. 四条5.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段（）的长．A. POB. ROC. OQD. PQ6.定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 57.同一平面内，三条不同直线的交点个数可能是（）个．A. 1或3B. 0、1或3C. 0、1或2D. 0、1、2或38.如图，点A在直线l1上，点B，C分别在直线l2上，AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB=4，AC=5，则下列说法正确的是（）A. 点B到直线l1的距离等于4B. 点A到直线l2的距离等于5C. 点B到直线l1的距离等于5D. 点C到直线l1的距离等于59.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，则点O到PR所在直线的距离是线段的长．（）A. POB. ROC. OQD. PQ10.如图所示，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，下列说法不正确的是（）A. 点A到BC的垂线段为ADB. 点C到AD的垂线段为CDC. 点B到AC的垂线段为ABD. 点D到AB的垂线段为BD11.在下列语句中，正确的是（）A. 在平面上，一条直线只有一条垂线B. 过直线上一点的直线只有一条C. 在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条D. 垂线段就是点到直线的距离二、填空题12.如图所示，若∠ACB=90°，BC=8cm，AC=6cm，则B点到AC边的距离为________ cm．13.如图，BC⊥AC，CB=8cm，AC=6cm，AB=10cm，那么点B到AC的距离是________ cm，点A到BC的距离是________ cm，C到AB的距离是________ cm．14.如图，过A点画与直线BC垂直的线段，A点到BC的距离是线段________的长，过B点画直线AC的垂线段，B点到AC的距离是线段________的长．15.如图，想在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是________，理由________；三、解答题16.如图，有两堵围墙，有人想测量地面上两堵围墙内所形成的∠AOB的度数，但人又不能进入围墙，只能站在墙外，请问该如何测量？四、综合题17.如图所示，在正方形ABCD的对角线AC上有一只蚂蚁P从点A出发，沿AC匀速行走，蚂蚁从A点到C点行进过程中：（1）所经过的点P到AD，BC边的距离是怎么变化的？（2）所经过点P到CD，BC边距离有何数量关系？为什么呢？18.阅读理解：已知点P（x0，y0）和直线y=kx+b，则点P到直线y=kx+b的距离，可用公式d= 计算．例如：求点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P（﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d= = = = ．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P（1，﹣1）到直线y=x﹣1的距离；（2）已知⊙Q的圆心Q坐标为（0，5），半径r为2，判断⊙Q与直线y= x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】点到直线的距离【解析】【解答】解：∵PB⊥直线l于点B∴点P到直线l的距离是线段PB的长度故答案为：B【分析】根据点到直线的距离（直线外一点到这条直线的垂线段的长度）的定义，即可求解。
点到直线的距离公式 两条直线间的距离 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
（3）若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再代入公式求
距离.
思考一下
上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点 之间的距离，思路自然但运算量较大，反思求解过程，你发现引起复杂运算 的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法?
结论
若设垂足 Q 的坐标为（x，y），则 PQ
A. 3x y 8 0 B.3x y 4 0 C.3x y 6 0 D.3x y 2 0
解析：设 P x, y ， 因为点 P 到 A1,3 ， B5,1 的距离相等，
则 PA PB ，
即 x 12 y 32 x 52 y 12 ，
化简整理得： 3x y 4 0 . 故选：B.
设
A
0
，
B
0
.由
PQ
l
，以及直线
l
的斜率为
A B
，可得
l
的垂线
PQ
的斜率
为
B A
，因此，垂线
PQ
的方程为
y
y0
Bx
A
x0
，即
Bx
Ay
Bx0
Ay0
.
解方程组
Ax Bx
By Ay
C Bx0
0
Ay0
①
得直线 l 与 PQ 的交点坐标，即垂足 Q 的坐标为
B2 x0
ABy0 A2 B2
AC
C1 C2 A2 B2 .
课堂巩固
1.一条光线从点 P1,5 射出，经直线 x 3y 1 0 反射后经过点2,3 ，则反射光线
所在直线的方程为(C )
A. 2x y 1 0 B.3x y 3 0
C. x 2 0
沪教版(上海)数学七年级下册-13.2 点到直线的距离 课件
所以 MN ⊥ AB
1
AO= BO
= AB
2.
A
M O
C
B
N
M
A
探究3：画点O到BC的垂线段，垂足为D，
O E
测量点O到BC的距离是 毫米 （精确到毫米）。
C
DF B
请你再测量AC的长度，
N
猜测线段AC与OD的数量关系： 。
1.如图，点A和点B分别是两处居民区，现在公路MN上
造一个公共汽车站（用点C表示），
线段AF的长与线段AD的长大小关系为： AF＜AD
A
D
F
B
E
C
A
D
2cm
3cm F
B
E 5cm
C
探究2：若BC=5cm,,CD=3cm,AE=2cm,求AF的长。
问题：结合探究1与探究2你能悟到些什么？ 请你将你的收获表达出来？
2、如图，用尺规作图作出∠AOB的角平分线OP, 在OP上任意取二点M、N，
A
O
B
C
1、在学习的过程中，理解点到直线的距离的概念， 并会运用它解决相关问题；
2、在学习的过程中，体会点到直线的距离 与两点的距离之间的区别与联系；
3、在学习的过程中，关注自己的几何语言的表达与交流， 体会数学思想方法的运用。
4、在探究的过程中，体会知识生成的过程和方法。
已知直线l l与直线 l 外一点A，
问点C在什么位置，距离A最近；
离之和最短？
2.若点A、B在公路的同侧，则点C在什么位置，
到A和B的距离之和最短？
A
A B
M
N
M
N
B
a)分别画出M、N两点到OA、OB的垂线段；
《点到直线的距离》教案2篇
《点到直线的距离》教案2篇Teaching plan of distance from point to straig ht line《点到直线的距离》教案2篇前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。
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本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】1、篇章1：《点到直线的距离》教案2、篇章2：点到直线的距离教学设计篇章1:《点到直线的距离》教案一.教学目标1.教材分析⑴ 教学内容《点到直线的距离》是全日制普通xxx中学教科书（必修·人民教育出版社）第二册（上）,“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课,主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用.⑵ 地位与作用本节对“点到直线的距离”的认识,是从初中平面几何的定性作图,过渡到了解析几何的定量计算,其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识.对“点到直线的距离”的研究,为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础,具有承前启后的重要作用.2.学情分析高二年级学生已掌握了三角函数、平面向量等有关知识,具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力.根据我校学生基础知识较扎实、思维较活跃,但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点,本课采用类比发现式教学法.3.教学目标依据上面的教材分析和学情分析,制定如下教学目标.⑴ 知识技能① 理解点到直线的距离公式的推导过程;② 掌握点到直线的距离公式;③ 掌握点到直线的距离公式的应用.⑵ 数学思考① 通过点到直线的距离公式的探索和推导过程,渗透算法的思想;② 通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程,培养学生的数学阅读能力;③ 通过灵活应用公式的过程,提高学生类比化归、数形结合的能力.⑶ 解决问题① 通过问题获得数学知识,经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程;② 由探索点到直线的距离,推广到探索点到直线的距离的过程,使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法.⑷ 情感态度结合现实模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性,有效激发学生的学习兴趣.篇章2:点到直线的距离教学设计【按住Ctrl键点此返回目录】教学目标：（1）让学生理解点到直线距离公式的推导，掌握点到直线距离公式及其应用，会用点到直线距离求两平行线间的距离；（2）培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；（3）引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验．教学重点：点到直线距离公式及其应用．教学难点：发现点到直线距离公式的推导方法．教学方法：问题解决法、讨论法．教学工具：计算机多媒体、实物投影仪．教学过程：一、创设情景提出问题多媒体显示实际的例子：某电信局计划年底解决本地区最后一个小区p的电话通信问题．离它最近的只有一条线路通过，要完成这项任务，至少需要多长的电缆？经过测量，若按照部门内部设计好的坐标图（即以电信局为原点），得知这个小区的坐标为p（－1，5），离它最近线路其方程为2x+y+10=0．这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离．教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离．二、自主探索推导公式多媒体显示：已知点p（x0，y0），直线：ax+by+c=0，求点p到直线的距离．怎样求点到直线距离呢？学生思考，做垂线找垂足q，求线段pq的长度．怎样用点的坐标和直线方程求和表示点到直线距离呢？教师提示在解决问题时先可以考虑特殊情况，再考虑一般情况．学生提出平行于x轴和y轴的特殊情况．学生解决．板书：如何求？学生思考回答下列想法：思路一：过作于点，根据点斜式写出直线方程，由与联立方程组解得点坐标，然后利用两点距离公式求得．教师评价：此方法思路自然．教师继续提出问题：（1）求线段长度可以构造图形吗？（2）什么图形？如何构造？（3）第三个顶点在什么位置？（4）特殊情况与一般情况有联系吗？学生探讨得到：构造三角形，把线段放在直角三角形中．第三个顶点在什么位置？可能在直线与x轴的交点m或与y轴交点n，或过p点做x,y轴的平行线与直线的交点r、s．教师根据学生提出的方案，收集思路．思路二：在直角△pqm,或直角△pqn中,求边长与角（角与直线到直线角有关）,用余弦值．思路三：在直角△pqr,或直角△pqs中,求边长与角（角与直线倾斜角有关，但分情况）,用余弦值．思路四：在直角△prs中，求线段pr、ps、rs，利用等面积法（不涉及角和分情况），求得线段pq长．学生分组练习，教师巡视，根据学生情况演示探索过程．（思路一）解：直线：，即（思路四）解：设，，，，；，由，而说明：如果学生没有想到思路二、三，教师提示做课后思考作业题目．教师提问：①上式是由条件下得出，对成立吗？②点p在直线上成立吗？③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？由此推导出点p（x0，y0）到直线：ax+by+c=0距离公式：适用于任意点、任意直线．教师继续引导学生思考，不构造三角形可以求吗？（在前面学习的向量知识中，有向量的模．由于在证明两直线垂直时已经用到向量知识，且也提出过直线的法向量的概念．）能否用向量知识求解呢？思路五：已知直线的法向量，则，，如何选取法向量？直线的方向向量，则法向量为，或，或其它．由师生一起分析得出取＝．教师板演：，，由于点q在直线上,所以满足直线方程,解得教师评析：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法．三、变式训练学会应用练习：1.解决课堂提出的实际问题．（学生口答）2.求点p0（－1,2）到下列直线的距离：①3x=2②5y=3③2x＋y=10④y=－4x+1练习选择：平行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式．练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式．教师强调：直线方程的一般形式．例题：3.求平行线2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距离．教师提问：如何求两平行线间的距离？距离如何转化？学生回答：选其中一条直线上的点到另一条直线的距离．师生共同分析：点所在直线的任意性、点的任意性．几何画板演示点和直线变化，选取点和直线．学生自己练习，教师巡视．教师提问几个学生回答自己选取的点和直线以及结果．然后选择一种取任意点的方法进行板书．解：在直线2x－7y－6=0上任取点p（x0，y0），则2 x0－7 y0－6=0，点p（x0，y0）到直线2x－7y＋8=0的距离是．教师评述：本例题选取课本例题，但解法较多．除了选择直线上的点，还可以选取原点，求它到两条直线的距离，然后作和．或者选取直线外的点p，求它到两条直线的距离，然后作差．引申思考：与两平行线间距离公式．四、学生小结教师点评①知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．②数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．五、课外练习巩固提高①课本习题7.3的第13题----16题；②总结写出点到直线距离公式的多种方法．教学设计说明：一、教材分析我主要从三方面：教材的地位和作用、教学目标分析、教学重点和难点来说明的．教学目标包括：知识、能力、德育等方面的内容．我确定教学目标的依据有教学大纲、考试大纲的要求、新教材的特点、所教学生的实际情况．二、教学方法和教学用具1、教学方法的选择（1）指导思想：“以生为本”的理念，在课堂中充分体现“教师为主导，学生为主体”．（2）教学方法：问题解决法、讨论法．2、教学用具的选用采用了计算机多媒体和实物投影仪教具，不仅将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，而且迅速展示学生不同解题方案，部分纯计算的解题过程，提高课堂效率．三、教学过程这节课在：“创设情景提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节中，始终以学生为本．教师主导，学生自主探究，将问题解决．首先多媒体显示实例，引发学生的学习的兴趣和求知欲望，从而引出数学问题．通过一系列问题引导学生通过图形观察，进而思考、分析、归纳总结选择较好的方法具体实施．学生分组练习，落实计算能力，培养合作学习能力．关于思路五，在课本中没有出现这样的证法，我在课堂上选取这样的证法．主要是考虑到：向量是新教材内容，是一种很好的数学工具，和解析几何结合应用是现在新教材知识的交汇点．而且上述方法在今后解析几何与向量结合的题目中，用坐标联系转化是常用方法，这样思路五的给出不仅符合新教材的要求，也为今后的学习方法奠定了基础．我选择练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式，主要通过学生口答完成．我强调注意在公式中直线方程的一般式．例题的选取来自课本，但是课本只有一种特殊点的解法．我把本例题进行挖掘，引导学生多角度考虑问题．在整个过程中让学生注意体会解题方法中的灵活性．本节课小结主要由学生总结和补充，教师点拨，尤其数学思想方法教师加以总结概括．在整节课的处理中，采取了知识、方法来源于课本，挖掘其深度、广度，符合现代教学要求．-------- Designed By JinTai College ---------。
学习任务单-点到直线距离公式
1.课题名称
中职数学基础模块下册第八章第三节点到直线距离公式
2.达成目标：
1.理解掌握点到直线距离公式
2.掌握两平行线间距离的计算公式
3.学习方法建议：
边观看边做记录
4.课堂学习形式预告：
通过微课学习
5.学习任务
通过观看教学录像自学，完成下列学习任务：
（1）根据书本导学案，理解点到直线距离公式；
（2）根据பைடு நூலகம்式能完成例题变式；
（3）根据公式尝试求出两平行线之间的距离；
（4）完成线上练习。
6.课后习题
下载在线微检测，完成课后测试，并查看具体解析
7.困惑与反思
点到直线的距离公式讲解
A. B. C. D.（4，3）
（1991年全国高考题）
【试题答案】
1.
提示：（1）当直线l的斜率存在时，可设l的方程为 。
根据题意，得
∴所求的直线l的方程为 。
（2）当直线l的斜率不存在时，直线的倾斜角为 ，即直线l与x轴垂直。
根据题意，得所求直线l的方程为 。
［注意］
在寻求问题解的过程中，数形结合可优化思维过程。
8.分析：画图分析，可知符合题意的直线l有2条。
解：画图分析，可知符合题意的直线l有2条。其一直线经过AB的中点；其二直线与AB所在的直线平行。又由AB的中点为（－1，1）得所求直线为 ；当所求直线与AB所在的直线平行时，得所求直线方程为 。
9.解：直线 ，与它垂直的直线斜率为 ，因此原点关于此直线对称的点应在直线 上。
例6.
最小值时x的值。
解：
它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值。
由下图可知，转化为求两点A'（1，－1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值。
小结：数形结合是解析几何最根本的思想，因此本题联系图形求解，使解法直观、简捷而且准确，易于入手。
综上所述，其他三边所在直线方程为 。
5.分析：在直线上任取一点，求这点到另一直线的距离。
解：在直线 上任取一点，如P（3，0），
则点P（3，0）到直线 的距离就是两平行线间的距离。
因此 。
［注意］
用上面方法可以证明如下结论：
一般地，两平行直线 和 间的距离为 。
6.分析：设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率k。
点到直线的距离
点到直线的距离引言在几何学中，我们经常会遇到求点到直线的距离的问题。
这个问题在计算机图形学、物理学等领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍点到直线的距离的计算方法和应用。
点到直线的距离定义点到直线的距离是指在平面上任意给定的点到直线的最短距离。
直线可以表示为一次方程，即ax + by + c = 0，其中a、b、c是常数。
设点P(p1, p2)为平面上的一个任意点，则点P到直线的距离为d，满足如下公式：d = | ax + by + c | / √(a^2 + b^2)点到直线的距离计算方法方法一：点到直线的垂直距离点到直线的垂直距离是最直观的计算方法。
我们可以通过求垂线的长度来计算点到直线的距离。
具体步骤如下：1.计算直线的斜率k1：若直线为水平线（与x轴平行），斜率k1=0；若直线为垂直线（与y轴平行），斜率不存在；其他情况下，斜率k1可通过两点坐标(x1, y1)和(x2, y2)的差值计算得到：k1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
2.计算直线的截距b1：直线的截距b1可通过点斜式或截距式来求得。
如果知道直线方程的一般式（ax + by + c = 0），则b1 = -c / b。
3.求垂线的斜率k2：若k1为0，则k2不存在；若k1不存在，则k2 = 0；其他情况下，k2 = -1 / k1。
4.求垂线的截距b2：b2可通过垂线所经过的点的坐标和垂线斜率来求得。
设点P的坐标为(x, y)，则垂线的截距b2 = y - k2 * x。
5.计算垂线与直线的交点坐标(xp, yp)：直线和垂线的交点坐标可以通过将垂线方程和直线方程联立求解得到。
根据两条直线的斜率和截距，可求出交点坐标。
6.计算点到直线的距离：根据点P和交点(xp, yp)的坐标可以求出点到直线的距离d = √((xp - x)^2 + (yp - y)^2)。
方法二：点到直线的向量距离另一种计算点到直线距离的方法是使用向量。
点到直线的距离
点到直线的距离直线是数学中的基本概念，它是由无数个点组成的，我们可以通过直线上两个点的坐标来确定直线的位置。
而点离直线的距离也是数学中一个重要的概念，它指的是一个点到直线的最短距离。
本文将介绍如何计算点到直线的距离，并提供一些实例来加深理解。
一、点到直线的距离公式要计算点到直线的距离，我们首先需要了解直线的一般方程（Ax + By + C = 0）。
在直线的一般方程中，A、B、C分别代表直线的系数，而x和y代表直线上的点的坐标。
当给定直线上一点P1(x1, y1)时，点到直线的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A^2 + B^2)其中，|Ax1 + By1 + C|表示直线方程与点的连线的长度，√(A^2 +B^2)表示直线方程的模长。
二、点到直线距离的实例为了更好地理解点到直线距离的计算方法，我们举例演示。
例一：已知直线L1的一般方程为2x - 3y + 4 = 0，点P1坐标为（1, 1），求点P1到直线L1的距离。
首先，我们可以计算直线L1的模长：√(A^2 + B^2) = √(2^2 + (-3)^2) = √13。
然后，代入公式：d = |2(1) - 3(1) + 4| / √13 = |3| / √13 = 3/√13。
所以，点P1到直线L1的距离为3/√13。
例二：已知直线L2的一般方程为3x + 4y - 7 = 0，点P2坐标为（-2, 5），求点P2到直线L2的距离。
同样，我们可以计算直线L2的模长：√(A^2 + B^2) = √(3^2 + 4^2) = 5。
代入公式：d = |3(-2) + 4(5) - 7| / √25 = |10| / 5 = 2。
所以，点P2到直线L2的距离为2。
通过以上实例，我们可以发现计算点到直线的距离并不复杂，只需要根据直线的一般方程和点的坐标，应用点到直线距离公式进行计算即可。
三、点到直线距离的应用点到直线距离的概念在实际生活中有着广泛的应用。
点到直线的距离
点到直线的距离一、教材分析1、“点到直线的距离” 是人教版全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第二册（上）第七章第3 节两直线位置关系的第四部分，其主要内容是：点到直线的距离公式的推导及应用。
2、“点到直线的距离公式”是在学习了两点间的距离公式、直线方程、两直线的位置关系以及用代数方程研究曲线性质的“以数论形，数形结合” 的数学思想方法基础上，进一步研究如何用点的坐标和直线方程求点到直线距离的重要工具，它使学生对点与直线的位置关系的认识从定性的认识上升到了定量的认识。
它是点线位置关系、线线位置关系的桥梁，是我们以后研究圆锥曲线与直线位置关系的基础。
3、由于《全日制普通高级中学数学教学大纲》（试验修订版）删减了三角函数中的一些同角三角函数的基本关系式，用《平面解析几何》（必修）的方法推导此公式显得繁琐，因此教科书借助于直角三角形的面积公式，推导出点到直线的距离公式。
4、按教参安排，本部分内容分为两课时，第一课时侧重于公式的推导及记忆；第二课时侧重于公式的应用。
本节授课内容为第一课时。
二、教学目标根据以上分析结合我校学生实际，我确定了本节课的教学目标如下：1、知识目标：使学生掌握点到直线的距离公式的推导及其初步应用。
2、能力目标：1）使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能熟练运用这一公式；（2）培养学生综合应用知识解决问题的能力；（3）培养学生数形结合、转化、化归的数学思想，培养学生研究探索能力。
3、德育渗透目标（1）培养学生团队合作精神；（2）培养学生个性品质，鼓励学生勇于探索新知；（3）通过对公式推导思路的探索、评价，优化学生的思维品质，体会数学的美学意义，培养学生辩证统一的思想。
三、教学重难点1、重点：点到直线的距离公式的推导及其结论以及简单的应用。
2、难点：点到直线的距离公式的推导。
在教材中，公式的推导使用了解析法或解析法结合平面几何、三角等知识，推导过程中渗透了多种数学思想（数形结合、转化、化归等）。
《点到直线距离》说课稿
《点到直线距离》说课稿《点到直线距离》说课稿11.教材分析1-1教学内容及包含的知识点(1)本课内容是高中数学第二册第七章第三节《两条直线的位置关系》的最后一个内容(2)包含知识点：点到直线的距离公式和两平行线的距离公式1-2教材所处地位、作用和前后联系本节课是两条直线位置关系的最后一个内容，在此之前，有对两线位置关系的定性刻画：平行、垂直，以及对相交两线的定量刻画：夹角、交点。
在此之后，有圆锥曲线方程，因而本节既是对前面两线垂直、两线交点的复习，又是为后面计算点线距离(在直线和圆锥曲线构成的组合图形中)提供一套工具。
可见，本课有承前启后的作用。
1-3教学大纲要求掌握点到直线的距离公式1-4高考大纲要求及在高考中的显示形式掌握点到直线的距离公式。
在近年的高考中，通常以直线和圆锥曲线构成的组合图形为背景，判断直线和圆锥曲线的位置或构成三角形求高，涉及绝对值，直线垂直，最小值等。
1-5教学目标及确定依据教学目标(1)掌握点到直线的距离的概念、公式及公式的推导过程，能用公式来求点线距离和线线距离。
(2)培养学生探究性思维方法和由特殊到一般的研究能力。
(3)认识事物之间相互联系、互相转化的辩证法思想，培养学生转化知识的能力。
(4)渗透人文精神，既注重学生的智慧获得，又注重学生的情感发展。
确定依据：中华人民共和国教育部制定的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(____年4月第一版)，《基础教育课程改革纲要(试行)》，《高考考试说明》(____年)1-6教学重点、难点、关键(1)重点：点到直线的距离公式确定依据：由本节在教材中的地位确定(2)难点：点到直线的距离公式的推导确定依据：根据定义进行推导，思路自然，但运算繁琐;用等积法推导，运算较简单，但思路不自然，学生易被动，主体性得不到体现。
分析“尝试性题组”解题思路可突破难点(3)关键：实现两个转化。
一是将点线距离转化为定点到垂足的距离;二是利用等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距离。
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学习单 13.2（2） 点到直线的距离
姓名：_____________ 2014___月___日 学习目标：
1．理解“垂线段最短”这一性质，理解点到直线的距离的意义；
2．会度量点到直线的距离．
【学习过程】
活动一：理解点到直线的距离
1. 思考 如图，小明要从家门口A 处出发走到河边l . 你能告诉他怎样走才能
使路程最短吗？
2. 操作 如图，已知直线l 以及外一点A ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为1A ，另外在直线l 上任取四个点：2A 、3A 、4A 、5A ，分别联结2AA 、3AA 、4AA 、5AA ，量出1AA 、
2AA 、3AA 、4AA 、5AA 的长度，这样就相应得到点A 到直线l 上五个点的距离.
3. 思考 这些距离都相等吗？这些距离与直线l 上点的位置有什么关系？
小结：联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，______________最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.
5
A 4
A 3
A
2A
l
l
A
活动二：运用新知
例题1 指出图13-15中线段AC 、BC 、AD 、BD 、CD 的长分别表示
哪个点到哪条直线的距离.
线段AC 的长是点____到直线________的距离； 线段AC 的长是点____到直线________的距离；
线段AC 的长是点____到直线________的距离； 线段AC 的长是点____到直线________的距离；
图13-15 线段AC 的长是点____到直线________的距离.
例题2 按下列要求画图并填空：如图
（1）过点P 画PD ⊥AB.，垂足为点D ； （2）过点P 画PE ⊥AC.，垂足为点E ；
（3）过点P 、Q 两点间的距离是线段______的长度， PD 的长度表示___________________的距离；
（4）点P 到直线AC 的距离是线段_________的长度； （5）点Q 到直线AB 的距离是___________________.
例题3 在图中分别画出表示点C 到直线AB 的距离，点B 到直线AC 的距离的线段，再分
别量出这些距离.
A
Q
A
A B
C。