第六章线性空间自测练习

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第6章线性空间练习题一、填空题（3515''⨯=）1. 已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)ααα==-=，则向量(3,2,1)β=在这组基下的坐标是．2. 从R 2的基1211,01αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭到基1211,12ββ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡矩阵为．3. 已知132326583945A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则0AX =解空间的维数是，解空间一组基是．4. 设2R 中定义11(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k k a b ka kb αβα⊕=⊕=++++⋅=⋅=，则2(,,)R R ⊕⋅，不作成线性空间的理由可以为．5. 设Q 是有理数域，{,}Q a a b Q =+∈，关于实数的加法和乘法作成线性空间(,,)Q Q +⋅，该空间的维数是．二、单项选择题（3515''⨯=）1. 在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R 上的一个线性空间的是 ( )．(A) 所有m ×n 的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (B) 所有n 阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (C) 所有n 阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 (D) 所有n 阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法 2. 设V ＝R 3，下列集合为V 的子空间的是 ( )． (A) {}(,,)0a b c a b c ++= (B) {}(,,)0a b c a ≥(C) {}222(,,)1a b c a b c ++≤ (D) {}(,,),,a b c a b c Q ∈(Q 为有理数域) 3. 下列线性空间中， ( )与其它三个空间不同构． (A) 2(,,,)R R +⋅ (B) (,,,)C R C +⋅是复数域 (C) 230{(,,)|}V x y z x y z =+-= (D) (,,,)C C C +⋅是复数域 4. 向量空间{}12123(,,,)20n W x x x x x x =-+=，则W 的维数为( ) ．(A) 1 (B) 2 (C) n (D) n -1 5. 在nR 中，由基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵为C ，则C ＝ ( )．(A) 11212()()n n αααβββ- (B) 11212()()n n αααβββ-(C) 11212()()n n βββααα- (D) 11212()()n n βββααα-三、计算题（41040''⨯=）1. 在线性空间3R 中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)T T Tααα===到基向量组123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)T T T βββ===的过渡矩阵C ；（2）求(1,3,0)T γ=在基123,,a a a 下的坐标． 2. 设3[]P x 的有两个基向量组222123()1,()2,()1f x x f x x x f x x x =-=++=++和22123(),()1,()12g x x x g x x g x x x =+=-+=++，(1) 求2()965h x x x =++在这两组基下的坐标；(2) 求向量()k x ，使它在这两组基下有相同的坐标． 3. 在23R ⨯中，求子空间000{|,,,,}x y W x y z x y z t R t z ⎛⎫=++=∈⎪⎝⎭的一组基和维数．4.在4P 中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)T T αα=-=，两个子空间11221234124(,),{(,,,)|20}T V L V x x x x x x x αα==+-=分别求1212,V V V V +⋂一组基和维数．四、证明题()6530''⨯=1．设线性空间V 中12,,,,(1)s s αααβ>为1s +向量，且12s βααα=+++，证明：向量组12,,,s βαβαβα---线性无关的充分必要条件是12,,,s ααα线性无关．2．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12V V ⋃是V 的子空间的充分必要条件是1221V V V V ⊂⊂或．3．设12,V V 是线性空间V 的两个子空间，证明：12+V V 是直和的充分必要条件是12+V V 中至少有一个向量α可以唯一地表示为12+αα，其中1122V V αα∈∈，． 4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设{(,,)|,}W a a b a b a b R =+-∈，证明：（1）W 是3R 的子空间；（2）W 与2R 同构．参考答案一、填空题（3515''⨯=)1. (-1，0，2)；2. 2312⎛⎫⎪--⎝⎭；3. 2 ，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)T Tηη=-=-（不唯一）； 4. ()k k k αβαβ⊕≠⊕；5. 2．二、选择题(3515''⨯=)1. D ；2. A ；3. D4. D ；5. B三、计算题（41040''⨯=）1.（1）221231110C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，（2） (2, 5, -1)T2.(1) 011132244⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭；(2) Y ＝(0, -4, 5) T ，X ＝(1, 2, 4) T ；(3) ()0k x =。

第六章线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维（V ）＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）.3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.二、判断题1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX＝0，即满足0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2.7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题1.求所有与A 可交换的矩阵组成的nn P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其中100020003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111213111213212223212223313233313233232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此11223300()0000b C A b b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭维数为3，基为112233,,E E E .2.在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有10111432131401238761001232210001T --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因此1143210112379801231314633100128761232100132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令1234114324012320012301x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112341432114113611010123401274210012200122400013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3）四、证明题为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.()()()()(),()22f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所以12.V W W =⊕2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，或者120n a a a ====，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b Wαβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=，即有1212nna a ab b b ===.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。

第六章线性空间习题答案

第六章线性空间3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （1n ≥）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A 是一个n n ⨯实矩阵，A 的实系数多项式()f A 的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：1122121212(,)(,)(,)a b a b a a b b a a ⊕=+++，211111(1)(,)(,)2k k k a b ka kb a -=+； 6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k =0α；7）集合与加法同6），数量乘法定义为：k =αα；8）全体正实数+R ，加法与数量乘法定义为：a b ab ⊕=，k k a a =．解 1）不能构成实数域上的线性空间．因为两个n 次多项式相加不一定是n 次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．事实上，{()|()[]}V f f x x =∈R A 即为题目中的集合，显然，对任意的(),()f g V ∈A A ，及k ∈R ，有()()()f g h V +=∈A A A ，()()()kf kf V =∈A A ，其中()()()h x f x g x =+．这就说明V 对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V 构成实数域上的线性空间．3）能构成实数域上的线性空间．由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三角）矩阵，一个数k 乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n 级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．4）不能构成实数域上的线性空间．因为，两个不平行与某一向量α的两个向量的和可能平行于α，例如：以α为对角线的任意两个向量的和都平行于α，从而不属于题目中的集合．5）能构成实数域上的线性空间．事实上，{(,)|,}V a b a b =∈R 即为题目中的集合．显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容易验证，对于任意的(,)a b ，(,)i i a b V ∈，1,2,3i =；,k l ∈R ，有①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；③由于(,)(0,0)(0,00)(,)a b a b a b ⊕=+++=，故(0,0)是V 中加法的零元素；④如果11111(,)(,)(,)(0,0)a b a b a a b b aa ⊕=+++=，则有211(,)(,)a b a a b =--，即2(,)aa b --为(,)a b 的负元素；⑤21(11)1(,)(1,1)(,)2a b a b a a b -=+=； ⑥222(1)(1)(1)((,))(,)(,[]())222l l l l k k k l a b k la lb a kla k lb a la ---=+=++ 2(1)(,)()(,)2kl kl kla klb a kl a b -=+=； ⑦22(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k l l k a b l a b ka kb a la lb a --⊕=+⊕+ 222(1)(1)(,)22k k l l ka la kb a lb a kla --=+++++2(1)(1)[(),()]2k k l k l a k l b a ++-=+++()(,)k l a b =+；⑧1122121212[(,)(,)](,)k a b a b k a a b b a a ⊕=+++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++，而221122111222(1)(1)(,)(,)(,)(,)22k k k k k a b k a b ka kb a ka kb a --⊕=+⊕+ 22212112212(1)(1)(,)22k k k k ka ka kb a kb a k a a --=+++++212121212(1)[(),()()]2k k k a a k b b a a a a -=+++++，即11221122[(,)(,)](,)(,)k a b a b k a b k a b ⊕=⊕．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V 构成实数域上的一个线性空间．6）不能构成实数域上的线性空间．因为1=≠0αα，故不满足定义的第5条规律． 7）不能构成实数域上的线性空间．因为()2k l k l αα+=≠=+=+ααααα，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故+R 对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的,a b +∈R ，,k l ∈R ，有①a b ab ba b a ⊕===⊕；②()()()()a b c ab c abc a bc a b c ⊕⊕=⊕==⊕=⊕⊕； ③11a a a ⊕==，即1是定义的加法⊕的零元素； ④111a a a a ⊕==，即1a是a 的负元素； ⑤11a a a ==；⑥()()()()ll klkklk l a k a a a a kl a =====； ⑦()()()k lk l k l a aa a k a l a ++===⊕⑧()()()()()kk kk a b k ab ab a b k a k b ⊕====⊕．于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以+R 构成实数域上的一个线性空间．『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：1）k =00；2）()k k k -=-αβαβ．『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．证明 1）证法１由于对任意的向量α，存在负向量-α，使得()+-=0αα，故(())()(1)(())0k k k k k k k k =+-=+-=+-=+-==00αααααααα；证法２对于任意的向量α，有()k k k k +=+=00ααα，左右两边再加上k α的负向量k -α，即可得k =00；2）利用数量乘法对加法的分配律，得到()()k k k k -+=-+=αββαββα，等式两边再加上k β的负向量k -β，即可得()k k k -=-αβαβ． 5．证明：在实函数空间中，21,cos ,cos2t t 是线性相关的．『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．证明由于在实函数空间中，有1cos 22cos 2-=t t ，即cos 2t 可由另外两个向量线性表出，故21,cos ,cos 2t t 是线性相关的．7．在4P 中，求向量ξ在基1234,,,εεεε下的坐标，设2）1234(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)====--=εεεεξ．解法1 设ξ在基1234,,,εεεε下的坐标为1234(,,,)k k k k '，则有11223344k k k k =+++ξεεεε．2）将向量等式按分量写出，得12312342412420,0,30,1.k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪+++=⎪⎨-=⎪⎪+-=⎩ 解方程组，得12341,0,1,0k k k k ===-=，即为ξ在基1234,,,εεεε下的坐标．解法2 将1234,,,εεεε和ξ作为矩阵的列构成一个矩阵()1234,,,,=εεεεξA ，对A 进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定ξ与1234,,,εεεε的线性关系．2）对A 进行初等行变换，得到1210010001111100100003010001011101100010⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A ，于是13=-ξεε．『方法技巧』解法1，利用了待定坐标法，将线性关系转化成线性方程组，解线性方程组即可；解法2，利用了初等行变换不改变列向量之间的线性关系，将向量组构成的矩阵化成最简阶梯形矩阵，从而观察出向量的坐标．8．求下列线性空间的维数与一组基： 1）数域P 上的空间n nP ⨯；2）n nP⨯中全体对称（反对称，上三角）矩阵作成的数域P 上的空间；『解题提示』根据各个线性空间的特点，构造出这些线性空间的一组基，同时也可以给出它们的维数．解 1）n nP⨯是数域P 上全体n 级矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，构成的线性空间．对于任意的1,i j n ≤≤，令ij E 表示第i 行第j 列的元素为1，其余元素均为0的n 级矩阵．根据矩阵的线性运算以及矩阵相等的定义，容易验证ij E ，,1,2,,i j n =是线性无关的，且任意n 级矩阵A 均可由它们线性表出，从而为n nP⨯的一组基．于是n nP⨯的维数为2n ．2）仍然使用1）中的符号，并记{|}n n S P ⨯'=∈=A A A ，{|}n n T P ⨯'=∈=-A A A ，{()|0,}n n ij ij N a P a i j ⨯==∈=>A ．则，按照矩阵的加法和数量乘法，,,S T N 分别表示n nP ⨯中全体对称、反对称、上三角矩阵全体构成的线性空间．容易验证①ii E ，1,2,,i n =；ij ji +E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间S 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=． ②ij ji -E E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间T 的一组基，其维数为(1)12(1)2n n n -+++-=． ③ii E ，1,2,,i n =；ij E ，1i j n ≤<≤，构成线性空间N 的一组基，其维数为(1)122n n n ++++=．『方法技巧』求已知线性空间的基和维数，构造出它的一组基尤为关键，这需要注意观察线性空间元素的特征，利用线性空间中元素之间的关系进行分析．9．在4P 中,求由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵，并求向量ξ在所指基下的坐标．设1）1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩εεεε1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3),=-⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ηηηη 1234(,,,)x x x x =ξ在1234,,,ηηηη下的坐标； 2）1234(1,2,1,0),(1,1,1,1),(1,2,1,1),(1,1,0,1),=-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=--⎩εεεε1234(2,1,0,1),(0,1,2,2),(2,1,1,2),(1,3,1,2),=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩ηηηη (1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标；『解题提示』由于题目是在4维向量空间4P 中讨论，这里可以采用定义法或借助第三组基求过渡矩阵；对于求ξ在指定基下的坐标可以采用待定系数法，也可以采用坐标变换法．解 1）由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故i η，1,2,3,4i =在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为iη本身，故123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA 即为由基1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵．又由于1234(,,,)x x x x =ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为111222133344412927331129231900182773926y x x y x x y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，即1123421234314412344111,93914123,27932712,3371126.279327y x x x x y x x x x y x x y x x x x ⎧=+--⎪⎪⎪=+--⎪⎨⎪=-⎪⎪⎪=--++⎩2）由于这一题目是在4维向量空间4P 中讨论，故根据本章教材内容全解的基变换一节求过渡矩阵方法（3）可知，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为112341234(,,,)(,,,)-=A εεεεηηηη111112021212111131110021101111222----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令12341234(,,,),(,,,)==B C εεεεηηηη，则根据初等矩阵与初等变换的对应，可以构造2n n ⨯矩阵=()P B C ，对矩阵P 实施初等行变换，当把B 化成单位矩阵E 时，矩阵C 就化成了1-B C ：1111202121211113=1110021101111222---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭P 10001001010011010010011101010⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪⎝⎭1()-=E B C 于是，由基1234,,,εεεε到基1234,,,ηηηη的过渡矩阵为11001110101110010-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A B C ．另外，设1234,,,e e e e 为4P 的单位向量组成的自然基，那么12341234(,,,)(,,,)=e e e e B εεεε．于是1123412341100(1,0,0,0)(,,,)(,,,)0000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e e e e B ξεεεε，因此，ξ在1234,,,εεεε下的坐标为112134111111021210011100001110y y y y ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．类似地，构造矩阵=()'P Bξ，并对其进行初等行变换，将B 化成单位矩阵E 时，矩阵'ξ就化成了1-'B ξ： 11111110003/132121001005/13=()1110000102/130111000013/13---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪'→→= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭P EB ξ，所以，(1,0,0,0)=ξ在1234,,,εεεε下的坐标为12343512133y y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．『方法技巧』利用n 维向量空间中的向量构成矩阵，将求过渡矩阵问题转化成求一个矩阵的逆与另一个矩阵（或向量）的乘积问题，注意在计算这样的矩阵乘法时，利用初等变换与初等矩阵的对应，构造一个新的矩阵，利用初等行变换就可求得．10．继第9题1），求一非零向量ξ，它在基1234,,,εεεε与1234,,,ηηηη下有相同的坐标．解根据上一题的讨论可知，由1234,,,εεεε到1234,,,ηηηη的过渡矩阵为123420561336(,,,)11211013⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪- ⎪⎝⎭ηηηηA ．设所求向量为1234(,,,)x x x x '=ξ，由于1234,,,εεεε为4维单位向量，故ξ在基1234,,,εεεε下的坐标向量即为ξ本身，故根据坐标变换公式，可知ξ在1234,,,ηηηη下的坐标为1-A ξ．因此，如果ξ在两组基下的坐标相同，那么1-=A ξξ．左右两边乘以A ，可得=A ξξ，即()-=0A E ξ，也就是说ξ是齐次线性方程组()-=0A E X 的解．利用消元法求得方程组的解为12341111x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，其中k 是任意常数．于是(,,,)k k k k '=ξ，k 是非零常数，即为所求向量．『特别提醒』利用坐标变换公式，将求向量问题转化成了求解线性方程组问题．12．设12,V V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ⊂，证明：如果1V 的维数与2V 的维数相等，那么12V V =．证明设12dim dim V V r ==．那么①如果0r =，则1V 与2V 都是零空间，从而，12V V =． ②如果0r >，任取1V 的一组基12,,,r ααα，由于21V V ⊂，且12,V V 的维数相等，故，根据基的定义，12,,,r ααα也是2V 的一组基，于是1122(,,,)r V L V ==ααα．『方法技巧』这个题目的结论，在证明两个线性空间相等时经常使用． 14．设100010312⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求33P⨯中全体与A 可交换的矩阵所成子空间的维数和一组基．『解题提示』可以待定所求矩阵的元素，利用交换关系、矩阵的相等以及解线性方程组，即可求得．解设111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X 是与A 交换的任意一个矩阵．首先将矩阵A 分解成100000010000001311⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A EB ．由于单位矩阵E 与任何矩阵都可交换，故X 与A 可交换当且仅当X 与B 可交换．事实上，由()=+=+=+AX E B X EX BX X BX ，()=+=+=+XA X E B XE XB X XB可知=AX XA 当且仅当=BX XB ．将=BX XB 按元素写出，即为131313232323333333112131122232132333300030003333x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，从而132311213133122232330,33,3,x x x x x x x x x x ==⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 即132331331121323312220,33,3.x x x x x x x x x x ==⎧⎪=--⎨⎪=--⎩ 这是一个含有9个未知数的线性方程组，取1112212233,,,,x x x x x 为自由未知量，依次取值为5维单位向量，得线性方程组的一个基础解系为1100000300⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，2010000030⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，3000100100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，4000010010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭X ，5000000311⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ．于是12345,,,,X X X X X 即为所求空间的一组基，且这个空间的维数为5．『方法技巧』本题中，利用单位矩阵的良好性质，将求与A 交换的矩阵的形式转化成一个与相对简单的矩阵B 可交换的形式，这能够给计算带来简便．19．设1V 与2V 分别是齐次方程组120n x x x +++=与121n n x x x x -====的解空间，证明12n P V V =⊕．证法１由于齐次方程组120n x x x +++=的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -=ααα．另外，齐次方程组12n x x x ===的一组基础解系为(1,1,,1)'=β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．又由于向量组121,,,,n -αααβ组成的n 级矩阵的行列式111111001(1)001011011n n +---=-≠，故121,,,,n -αααβ线性无关，从而121dim (,,,,)n L n -=αααβ，而121(,,,,)n n L P -⊂αααβ，所以，根据习题12可知，121(,,,,)n n P L -=αααβ．于是，12121121(,,,)()(,,,,)n n n V V L L L P --+=+==αααβαααβ，且12dim dim dim n P V V =+，故12n P V V =⊕．证法2 由于齐次方程组120n x x x +++=的一组基础解系为111111100,,,010001n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα，即为其解空间的一组基，从而1121(,,,)n V L -=ααα．另外，齐次方程组12n x x x ===的一组基础解系为(1,1,,1)'=β，即为其解空间的一组基，从而2()V L =β．对于任意的12V V ∈ξ，不妨设112211n n k k k l --=+++=ξαααβ，则112211n n k k k l --+++-=0αααβ，按分量写开，即为1211210,0,0,0.n n k k k l k l k l k l -------=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩ 直接解得1210n k k k l -=====，从而=0ξ．因此12{}V V =0．所以1212dim()dim dim V V V V n +=+=，而显然12n V V P +⊂，根据习题12可知，12n V V P +=，结合12{}V V =0，有12n P V V =⊕．证法3 设1212(,,,)n a a a V V =∈ξ，即1V ∈ξ且2V ∈ξ，那么12120,.n n a a a a a a +++=⎧⎨===⎩ 直接解得120n a a a ====，即=0ξ．因此12{}V V =0．另外，对于任意的12(,,,)n n x x x P =∈η，显然有1212(,,,)(,,,)(,,,)n n x x x x x x x x x x x x ==---+η，其中121()n x x x x n=+++，且121(,,,)n x x x x x x V ---∈，2(,,,)x x x V ∈．所以12n P V V =+．结合12{}V V =0，有12n P V V =⊕．『方法技巧』证法3的证明更为直接和简便．20．证明：如果12V V V =⊕，11112V V V =⊕，那么21211V V V V ⊕⊕=．证法1 由题设知，11122V V V V =++．由于12V V V =⊕，故12dim dim dim V V V =+．又因为11112V V V =⊕，所以11112dim dim dim V V V =+．于是11122dim dim dim dim V V V V =++．因此21211V V V V ⊕⊕=．证法2 由题设知，11122V V V V =++．设11122=++0ααα，其中11112223,,V V V ∈∈∈ααα，那么，由11122()=++0ααα及12V V V =⊕，可得11122,+==00ααα．再由11112V V V =⊕可得1112==0αα，于是，零向量的表示法唯一，从而21211V V V V ⊕⊕=．。

(完整版)第六章线性空间练习题参考答案

第六章线性空间练习题参考答案一、填空题1.已知0000,,00V a bc a b c R c b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=+∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎩⎭是33R ⨯的一个子空间，则维（V ）＝ 3 ， V 的一组基是000000000100,100,010*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．在P 4中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是3k ≠（以1234,,,αααα为行或者列构成的行列式不为零）. 3．已知a 是数域P 中的一个固定的数，而1{(,,,),1,2,,}n i W a x x x P i n =∈=是P n+1的一个子空间，则a ＝ 0 ，而维(W)＝n 4．维数公式为12dim dim V V +=1212dim()dim()V V V V ++.5．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，112233x x x αεεε=++，则由基123,,εεε到基231,,εεε的过渡矩阵T ＝001100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，而α在基321,,εεε下的坐标是321(,,)x x x 由基123,,εεε到基233112,,εεεεεε+++的过渡矩阵为T ＝011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.6．数域P 上n 级对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级反对称矩阵全体构成数域P 上(1)2n n -维线性空间，数域P 上n 级上三角矩阵全体构成数域P 上(1)2n n +维线性空间，数域P 上n 级对交矩阵全体构成数域P 上n 维线性空间，数域P 上n 级数量矩阵全体构成数域P 上 1 维线性空间.二、判断题1.设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.错.行列式为零的两个方阵的和的行列式未必为零，因此W 中矩阵关于矩阵的加法运算不封闭，不能成为子空间.）2.已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间，且维(V ）＝2. 错.是子空间，但是是4维的，其基为(1,0),(,0),(0,1),(0,)i i .3.设,n n A B P ⨯∈，V 是0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解空间，V 1是AX ＝0的解空间，V 2是(A ＋B)X ＝0的解空间，则12V V V =.正确. 12V V 中的向量既满足AX ＝0，又满足(A ＋B)X ＝0，因此也满足BX ＝0，即满足0A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即为V 中的向量.反之，V 中的向量既在1V 中，又在2V 中，即为12V V 中的向量.因此12V V V =.4.设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,s ααα线性表出，则维(W)＝s.正确.根据定理1.5.设W 是线性空间V 的子空间，如果,,V αβ∈但,W W αβ∉∉且则必有.W αβ+∉错误.可能.W αβ+∈如取,αβ为一对互为负向量，则0.W αβ=+∈ 6. }0|),,{(33321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间.正确. 基为（1,0,0），（0,1,0），维数为2. 7.}1|),,{(23321=∈=x R x x x W 是3R 的子空间. 错误.不包含零向量.8.}|),,{(3213321x x x R x x x W ==∈= 是3R 的子空间. 正确.基为（1,1,1），维数为1.9.}|),,{(3213321x x x R x x x W -=∈= 是3R 的子空间. 正确. 基为（1,1,0），（1,0，-1），维数为2. 三、计算题1.求所有与A 可交换的矩阵组成的nn P ⨯的子空间()C A 的维数与一组基，其中100020003A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.解：设矩阵33()ij B b ⨯=与A 可交换，即有AB BA =.即111213111213212223212223313233313233100100020020003003b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.111213111213212223212223313233313233232222333323b b b b b b b b b b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以有,()0,,1,2,3.ij ij ij ib b j i j b i j =-==当i j ≠时，0ij b =，因此11223300()0000b C A b b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎪=⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭ 维数为3，基为112233,,E E E .2.在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=- 1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====--- 解：令过渡矩阵为T ，则有10111432131401238761001232210001T --⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪=⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭因此1143210112379801231314633100128761232100132213221T ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 令1234114324012320012301x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭112341432114113611010123401274210012200122400013000133x x x x -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标为（-101,21，-4,3）四、证明题1.V 为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令12{()(),()()},{()(),()()}W f x f x V f x f x W f x f x V f x f x =∈=-=∈=--证明：W 1、W 2皆为V 的子空间，且12.V W W =⊕证明：W 1、W 2 分别为偶函数全体及奇函数全体构成的集合，显然W 1、W 2均为非空的.由奇偶函数的性质可得W 1、W 2皆为V 的子空间.()()()()(),()22f x f x f x f x f x V f x +---∀∈=+. 而12()()()(),22f x f x f x f x W W +---∈∈，因此12.V W W =+又12{0}.W W =所以12.V W W =⊕2.设W 是P n 的一个非零子空间，若对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说，或者120n a a a ====，或者每一个i α都不等于零，证明：维(W)＝1.证明：由W 是P n 的一个非零子空间，可得W 中含有非零向量设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ==是W 中的任二个非零向量，由题意可得每一个,i i a b 都不等于零.考虑向量11112112121211(,,,)(,,,)(0,,,)n n n n b a b a a a a b b b b a a b b a a b W αβ-=-=--∈.由题设条件有1212110n n b a a b b a a b -==-=，即有1212n na a ab b b ===.即W 中的任二个非零向量均成比例，因此维(W)＝1.。

线性代数同步练习册第六章

第六章线性空间与线性变换1、下列集合对指定的加法与数量乘法不能构成实数域R上的线性空间的是( ).(A) 全体n阶对称矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(B) 全体n阶可逆矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(C) 闭区间[,]a b上全体连续函数所成集合; 运算: 函数的加法和实数的乘法;(D) 矩阵A的属于其特征值λ的全部特征向量的全体; 运算: 向量加法和数乘向量.2、记实数域R上的二阶方阵所构成的线性空间为22R⨯, 下列方阵组能构成为22R⨯的一个基的是( ).(A)111 00e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31101e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)100 01e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20000e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31111e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40110e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)111 11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,22121e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,42002e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)11001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20100e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,30010e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3、在三维向量空间3R中求向量(3,7,1)α=在基1135α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2632α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,331α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦下的坐标.4、在3维向量空间中, 求任一向量α在基1(1,2,1)α=,2(2,3,3)α=, 3(3,7,1)α=和基1(3,1,4)β=, 2(5,2,1)β=,3(1,1,6)β=-下的坐标变换公式.5、已知3R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标.6、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标.7、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),TTTααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标.8、下列变换T 中, 那些是3R 的线性变换, 哪些不是线性变换? (1) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =++; (2) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =; (2) 222123123(,,)(,,)T x x x x x x =.9、在3R 中, T 表示将向量投影到xoy 平面的线性变换:12312()T xe ye ze xe ye ++=+其中T 1(1,0,0)e =, T 2(0,1,0)e =, T 3(0,0,1)e =. (1) 求T 在基123,,e e e 下的矩阵. (2) 取一个基1e α=,2e β=, 123e e e γ=++, 求T 在,,αβγ下的矩阵.10、设3R 内的线性变换T 在基本单位坐标向量123,,e e e 为基下的矩阵211121112A --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1) 求T 在基123,,βββ下的矩阵, 其中1111β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2110β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3101β-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2) 设向量123α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求()T α在基123,,βββ下的坐标T 123(,,)y y y 及()T α.第六章线性空间与线性变换自测题一、填空 (1) 22R⨯的维数22dim R⨯= .(2) 3R 中, 向量(1,2,3α=在基1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=,3(1,0,0)α=下的坐标为 .(3) 已知123,,ααα是线性空间中的元素, V 中任一元素都能由123,,ααα线性表示, 则123,,ααα必须时就成为V 的一个基.(4) 设3R 中, 123,,e e e 为基本单位坐标向量,11e α=, 212e e α=+,3123e e e α=++为3R 的一个基, 则由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵P = .(5) 设3R 内的线性变换为(,,)(,0,0)T x y z x =, 其中(,,)x y z 为3R 中的任一向量, 则T 在基123,,e e e 下的变换矩阵A = . 二、在4维向量空间中, 求向量(1,2,2,1)ξ=--在基1(1,1,1,1)ε=,2(1,1,1,1)ε=--, 3(1,1,1,1)ε=--, 4(1,1,1,1)ε=--下的坐标.三、设向量组:(I) 1111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 3101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (II) 1121β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2234β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 3343β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 证明向量组(I)与向量组(II)都是3维向量空间一个基;(2) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵;(3) 求向量12323ββββ=+-在基(I)下的坐标.四、在4R 中求向量v , 使它在标准基1234,,,εεεε和基T 1(2,1,1,1)β=-,T 2(0,3,1,0)β=, T 3(5,3,2,1)β=, T 4(6,6,1,3)β=下有相同的坐标.五、在22R⨯中, 定义变换()T A A ααα=-, 22Rα⨯∈, A 是22R ⨯中一个固定的二阶方阵. 证明T 是22R ⨯内的一个线性变换.六、在3R 内的线性变换T 关于基123,,ααα的矩阵是1511520158876A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求T关于基11223βααα=++,212334βααα=++,312322βααα=++的矩阵.。

线性代数习题答案第六章

1第六章线性空间与线性变换1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S 1;解设A , B 分别为二阶矩阵, 则A , B ∈S 1. 因为(A +B )∈S 1, kA ∈S 1,所以S 1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004ε是S 1的一个基.(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2;解设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a c b a A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=d f e d B , A , B ∈S 2. 因为 2)(S d a a c b c d a B A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=+, 2S ka kc kb ka kA ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, 所以S 2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=00102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε 是S 2的一个基.(3) 2阶对称矩阵的全体S 3.解设A , B ∈S 3, 则A T =A , B T =B . 因为 (A +B )T =A T +B T =A +B , (A +B )∈S 3,(kA )T =kA T =kA , kA ∈S 3,所以S 3对于加法和乘数运算构成线性空间.⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102ε, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003ε是S 3的一个基.2. 验证: 与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.解设V ={与向量(0, 0, 1)T 不平行的全体三维向量}, 设r 1=(1, 1, 0)T , r 2=(-1, 0, 1)T , 则r 1, r 2∈V , 但r 1+r 2=(0, 0, 1)T ∉V , 即V 不是线性空间.3. 设U 是线性空间V 的一个子空间, 试证: 若U 与V 的维数相等, 则U =V .证明设ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 为U 的一组基, 它可扩充为整个空间V 的一个基, 由于dim(U )=dim(V ), 从而ε1, ε2, ⋅⋅⋅, εn 也为V 的一个基, 则: 对于x ∈V 可以表示为x =k 1ε1+k 2ε2+ ⋅⋅⋅ +k r εr . 显然, x ∈U , 故V ⊆U , 而由已知知U ⊆V , 有U =V .4. 设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间, a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r 是V r 的一个基. 试证: V n 中存在元素a r +1, ⋅⋅⋅, a n , 使a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r , a r +1, ⋅⋅⋅, a n 成为V n 的一个基.证明设r <n, 则在V n 中必存在一向量a r +1∉V r , 它不能被a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r 线性表示, 将a r +1添加进来, 则a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +1是线性无关的. 若r +1=n , 则命题得证, 否则存在a r +2∉L (a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +1), 则a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a r +2线性无关, 依此类推, 可找到n 个线性无关的向量a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n , 它们是V n 的一个基.5. 在R 3中求向量α=(3, 7, 1)T 在基α1=(1, 3, 5)T , α2=(6, 3, 2)T ,α3=(3, 1, 0)T 下的坐标.解设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (α1, α2, α3)=(ε1, ε2, ε3)A , (ε1, ε2, ε3)=(α1, α2, α3)A -1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=025133361A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-1528981553621A .因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-173) , ,(173) , ,(1321321A αααεεεα⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=173152898155362) , ,(321ααα⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1548233) , ,(321ααα,所以向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(33, -82, 154)T .6. 在R 3取两个基α1=(1, 2, 1)T , α2=(2, 3, 3)T , α3=(3, 7, 1)T ; β1=(3, 1, 4)T , β2=(5, 2, 1)T , β3=(1, 1, -6)T .试求坐标变换公式.解设ε1, ε2, ε3是R 3的自然基, 则 (β1, β2, β1)=(ε1, ε2, ε3)B , (ε1, ε2, ε3)=(β1, β2, β1)B -1,(α1, α2, α1)=(ε1, ε2, ε3)A =(β1, β2, β1)B -1A ,其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=131732121A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=614121153B .设任意向量α在基α1, α2, α3下的坐标为(x 1, x 2, x 3)T , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-3211321321321) , ,() , ,(x x x A B x x x βββαααα,故α在基β1, β2, β3下的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-3211321x x x A B x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32149910726313941811913x x x .7. 在R 4中取两个基e 1=(1,0,0,0)T , e 2=(0,1,0,0)T , e 3=(0,0,1,0)T , e 4=(0,0,0,1)T ; α1=(2,1,-1,1)T , α2=(0,3,1,0)T , α3=(5,3,2,1)T , α3=(6,6,1,3)T . (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解由题意知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502) , , ,() , , ,(43214321e e e e αααα, 从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3101121163316502A . (2)求向量(x 1, x 2, x 3, x 4)T 在后一个基下的坐标; 解因为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-43211432143214321) , , ,() , , ,(x x x x A x x x x αααααe e e e ,向量α在后一个基下的坐标为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4321143213166123501301112x x x x y y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=432126937180092391213327912271x x x x . (3)求在两个基下有相同坐标的向量.解令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------4321432126937180092391213327912271x x x x x x x x ,解方程组得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11114321k x x x x (k 为常数).8. 说明xOy 平面上变换⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x A y x T 的几何意义, 其中(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001A ; 解因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x y x T 1001, 所以在此变换下T (α)与α关于y 轴对称.(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000A ; 解因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛y y x y x T 01000, 所以在此变换下T (α)是α在y 轴上的投影.(3)⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110A ; 解因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)与α关于直线y =x 对称.(4)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0110A . 解因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x y y x y x T 0110, 所以在此变换下T (α)是将α顺时针旋转2π.9. n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算构成一个2)1(+n n 维线性空间. 给出n 阶矩阵P , 以A 表示V 中的任一元素, 变换T (A )=P T AP 称为合同变换. 试证合同变换T 是V 中的线性变换.证明设A , B ∈V , 则A T =A , B T =B . T (A +B )=P T (A +B )P =P T (A +B )T P =[(A +B )P ]T P =(AP +BP )T P=(P T A +P T B )P =P T AP +P T BP =T (A )+T (B ), T (kA )=P T (kA )P =kP T AP =kT (A ), 从而, 合同变换T 是V 中的线性变换.10. 函数集合V 3={α=(a 2x 2+a 1x +a 0)e x | a 2, a 1, a 0 ∈R }对于函数的线性运算构成3维线性空间, 在V 3中取一个基α1=x 2e x , α2=xe x , α3=e x .求微分运算D 在这个基下的矩阵.解设β1=D (α1)=2xe x +x 2e x =2α2+α1, β2=D (α2)=e x +xe x =α3+α2, β3=D (α3)=e x =α3. 易知β1, β2, β3线性无关, 故为一个基.由 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110012001) , ,() , ,(321321αααβββ,知即D 在基α1, α2, α3下的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110012001P .11. 2阶对称矩阵的全体},,|{32132213R x x x x x x x A V ∈⎪⎭⎫⎝⎛==对于矩阵的线性运算构成3维线性空间. 在V 3中取一个基⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=01102A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=10003A .在V 3中定义合同变换⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=10111101)(A A T ,求T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵. 解因为⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101100011101)(1A T 3211111A A A ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101111101101)(2A T 3222110A A +=⎪⎭⎫ ⎝⎛=,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=101110001101)(3A T 31000A =⎪⎭⎫ ⎝⎛=,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121011001) , ,())( ),( ),((321321A A A A T A T A T ,从而, T 在基A 1, A 2, A 3下的矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121011001A .。

线性空间练习题.docx

线性空间练习题、单项选择题R3中下列子集( )不是R3的子空间.A. w1={( x1,x2, x3) R I X2= 1} B . W2= {( x1, X2, X3)R | X3= 0}3 S 3C. W3 ={( X1,X2,X3) RlX I=X2= X3} D . W4 ={( X i,X2,X3) RlX1 = X2「X3}二、判断题1、设V=P nXn则W={A∣A^ P n tIAl = 0}是V 的子空间.2、已知V = {(a bi,c di)∣a,b,c,d ∙R}为R上的线性空间，则维(V)= 2.3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组〉1「2 J S线性表出，则维(W)= S4、设W是线性空间V的子空间，如果一〉，「V, W且I-W,则必有G ÷β2W.三、1 .已知W1={ a b| a,b^ R} , W2={ a1 0| a1,c1E R},是R2x2的两个子空间，求I0 0.丿£0丿W1^ W2,W1W2的一个基和维数.2•已知G关于基{此』2,%}的坐标为(1 , 0, 2),由基{%口2,6}到基{忙見见} "3 2 4、的过渡矩阵为1 0 0 ,求G关于基{S的坐标.Q 1 0」四、设P n是数域P上的n维列向量空间，AP nn且A'=A,记W1 ={AX I X E P n}, W2 ={X X € P n, AX =0},1. 证明：W1,W2都是P n的子空间；2. 证明：P n=W I 二W2.线性变换练习题一、填空题1 •设；1, ；2；3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换匚在这组基下的矩阵是A =(a ij)3通，α=x1& +X2E2+ X3s3^V,则Cr 在基ε3^2^1下的矩阵B = _________,而可逆矩阵T = 满足B=T ^1AT 在基每，名2, %下的坐标为.2. 设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间P n的线性变换；「：' ■ P n,1 1 n则Cr (0) = ________ , dim (er —(0) )= ____ , dim(o^(P) )= ______ .3. _____________________________________________ 复矩阵A=(a j)n>n的全体特征值的和等于 ,而全体特征值的积等于______________________________________________ .4•设a是n维线性空间V的线性变换，且∙σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为 _________ 变换.5. 数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为________ 维线性空间，它与__________同构•6. ________________________________________________________________________________________设n阶矩阵A的全体特征值为W',打，f (X)为任一多项式，则f (A)的全体特征值为 _____________________________ .二、判断题1 .设;「是线性空间V的一个线性变换，>1,>2,…，∙ V线性无关，则向量组匚(-：*),；「(：• 2),…，匚CS)也线性无关•( )2 .设二为n维线性空间V的一个线性变换，则由C的秩+ ；「的零度=n ,有V= = (V)二二j (0).( )3. 在线性空间R2中定义变换σ(χ, y) = (1 ∙x, y),则二是R2的一个线性变换. ( )4. 若二为n维线性空间V的一个线性变换，则二是可逆的当且仅当 C J (0) ={ 0}. ( )5. 设二为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若二(W)是V的一个子空间，则W必为V的子空间. ( )三、计算与证明⅛ 0 1 A1.设A= 1 1 a ,问a为何值时，矩阵A可对角化？<1 0 0」并求一个可逆矩阵X,,使X-1AX二上..2 •在线性空间P n中定义变换二:C (Xι,X2,, X n)=(O, X2,, X n)(1)证明：；「是P n的线性变换.(2)求二(P n)与二JL(0).(3)二(P n) = J(O)=P n.3•若A是一个n阶矩阵，且A=A ,则A的特征值只能是0和1.欧氏空间练习题一、填空题1•设V是一个欧氏空间，CE V ,若对任意口W V都有(Jn)=O y C= ______________ •2•在欧氏空间R3中，向量α =(1,0,_1) , β =(0,1,0),那么(α , B ) = _____________ ，I cf= __________ 3•在n维欧氏空间V中，向量•在标准正交基1, 2,…，n下的坐标是(x1,x2,…，x n),那么(,i)= 巴=_ > _ •4. _____________________________________________________ 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是•5•已知A是一个正交矩阵，那么A JL = __________ , A = __________ •二、判断题仁在实线性空间R2中，对于向量I=(X l,X2)「=(y1,y2),定义C)=(X』* X2y2 1),那么R2构成欧氏空间。

(完整版)b第六章_线性空间测试题

高等代数第六章——线性空间测试题一、填空题（1）已知R 3的两组基Ⅰ；)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===αααⅡ)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为。

（2）在中，已知，，，22⨯P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01112A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00113A 是的基，那么，在该基下的坐标为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014A 22⨯P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A 。

（3）设是方程组解空间，是方程组1W 04321=+++x x x x 2W 那么∩是方程组的解空间。

⎩⎨⎧=+-+=-++0043214321x x x x x x x x 1W 2W （4）设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W ==()=+21dim W W 。

（5）设、都是V 的子空间，且+为直和，那么 1W 2W 1W 2W ()=⋂21dim W W 。

二、判断题：（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。

（）（2）实数域上的全体几级可逆矩阵做成的子空间。

（）R n n n P ⨯（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。

（）（4）线性空间V 中任意两个子空间的并集仍是V 的子空间。

（）（5）在子空间的和+中，如果，且这种表示形式唯一，1W 2W ),(0221121w w ∈∈+=αααα那么+为直和。

（）1W 2W 三、在中，22⨯P ,1111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G ,111,11132⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G a G ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a G 1114当为何值时，线性相关？a 4321,,,G G G G 当为何值时，线性无关？a 4321,,,G G G G 四、设}{P a a a x a x a a x P o o ∈++=212213,,|][（1）证明1，是的基，并求由该基到基的过渡矩阵。

高等代数第六章自测题

第六章线性空间自测题一.填空题(20分)1.若n ααα,,,21 是线性空间V 的一个基，则满足条件(1)n ααα,,,21 是； (2)对V 中任意向量β， .2.数域P 上的线性空间V 的非空子集W 是V 的子空间的充要条件为 .3.已知12,W W 为线性空间V 的子空间, 12W W +为直和的充要条件为 .4.设V 和W 是数域P 上两个线性空间，V 到W 的一个同构映射f 满足如下三个条件：（1）f 是V 到W 的 ; （2）对V ∈∀βα,，有 ; （3）对,V k P α∀∈∈，有 .5.向量空间V 的基12,n ααα ，，到基11,,,n n ααα- ,的过渡矩阵为_______ .6.复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则dim =C _____,它的一个基为__ __. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则dim =C __ __,它的一个基为__ _ _.二.选择题(10分)1.若21,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（）（A ）21211)(W W W W W =+；（B ）21211)(W W W W W +=+ ；（C ）1211)(W W W W =+ ；（D ）2211)(W W W W =+2.按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是：（）（A ）{}1n nW A PA A ⨯'=∈=；（B ）{}2()0n n W A P tr A ⨯=∈=；（C ）{}30n nW A PA ⨯=∈=；（D ）{}4n n W A P A A ⨯'=∈=-. 3.数域P 上线性空间V 的维数为V r n ∈ααα,,,,21 ，且任意V 中向量可由n ααα,,,21 线性表出，则下列结论成立的是：（）（A ）n r =；（B ）n r ≤；（C ）n r <；（D ）n r > 4.设1324[],[]W P x W P x ==则=+)dim(21W W （）（A ）2；（B ）3；（C ）4；（D ）55.设线性空间{}R a a a a W ∈=)3,2,(，则W 的基为：（）（A ）)3,2,1(；（B ）),,(a a a ；（C ）)3,2,(a a a ；（D ）)3,0,0()0,2,0()0,0,1(三.(10分) 在线性空间4P 中求由线性方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=-+-=+-+0111353033304523432143214321x x x x x x x x x x x x 所确定的4P的子空间W 的基和维数.四.(15分)设3R 中的两个基分别为()1101α=,()2010α=，()3122α=,()()()123100,110,111βββ===.（1）求由基321321,,,,βββααα到基的过渡矩阵.（2）已知向量α在基321,,ααα下的坐标为()130，求α在基321,,βββ下的坐标. 五.(15分) 设12(1,2,1,0),(1,1,1,1),αα==-1(2,1,0,1),β=-2(1,1,3,7)β=,),(),,(212211ββααL W L W ==，求)d i m (21W W +及)dim(21W W .六.(15分) 设n nA P⨯∈:1）证明：全体与A 可交换的矩阵组成n n P ⨯的一子空间，记作()C A ; 2）当A =E 时，求()C A ;3）当10000200000A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦时，求()C A 的维数与一组基.七.(15分)已知n nP⨯的两个子空间{}1n n V A P A A ⨯'=∈=，{}2n n V A P A A ⨯'=∈=-，证明：12n n P V V ⨯=⊕．答案:一.1.线性无关，β可以由n ααα,,,21 线性表示 2. 对V 的加法和数乘封闭 3. 12{}W W o ⋂=或12dim()0W W ⋂= 4. 线性映射，()()(f f fαβαβ+=+，()()f k kf αα= 5. 111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦6. dim =C 2,它的一个基为1,i ; dim =C 2,它的一个基为1.二．C C B C A三. 解:由32543254325431330387018735131103870000---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦125343101929018373018700000000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，W 的维数为2，一组基为()()''121810,27301ξξ=-=-.四. 解：(1)由()()()123123123101=012=A 102αααεεεεεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,()()()123123123111=011=001B βββεεεεεε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,()()1123123=A B βββααα-∴,过渡矩阵11101111201111221=012011212011231102001101001110A B ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. (2) ()112312311=(,,)3=300B A ααααβββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭坐标为111101*********=0110123110320001102010201B A -----⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭五.解:由()12121121110321110117=110302*********5ααββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦10141000011701000041200100201--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦, 12dim 2,dim 2W W ==,12dim()=4W W +,12dim()=0W W六. 证明 1）设与A 可交换的矩阵的集合记为()C A .显然()O C A ∈，,()B D C A ∀∈,()()A B D AB AD BA DA B D A +=+=+=+，故()B D C A +∈.若k 是一数，()B C A ∀∈，可得()()()()A kB k AB k BA kB A ===，故()kB C A ∈.所以()C A 构成n n P ⨯的子空间。

线性空间测试题及答案

线性空间测试题及答案一、选择题1. 线性空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 分配律D. 所有选项都正确2. 以下哪个不是线性空间的定义条件？A. 向量加法的封闭性B. 标量乘法的封闭性C. 存在零向量D. 向量加法的逆元存在二、填空题1. 线性空间中的向量加法满足_________，即对于任意向量u, v ∈ V，存在一个向量w ∈ V，使得u + w = v。

2. 线性空间中的标量乘法满足_________，即对于任意向量v ∈ V和标量a, b，有(a + b)v = av + bv。

三、简答题1. 请简述线性空间的定义。

2. 线性空间中的向量加法和标量乘法需要满足哪些条件？四、计算题1. 给定线性空间V中的向量u = (1, 2)和v = (3, 4)，计算u + v。

2. 若标量a = 2，计算2u。

五、证明题1. 证明线性空间中的向量加法满足结合律。

2. 证明线性空间中的标量乘法满足分配律。

答案：一、选择题1. 答案：D2. 答案：D二、填空题1. 答案：逆元存在2. 答案：分配律三、简答题1. 答案：线性空间是一个集合V，配合两个二元运算：向量加法和标量乘法，满足以下条件：向量加法的封闭性、结合律、存在零向量、向量加法的逆元存在，以及标量乘法的封闭性、分配律、结合律。

2. 答案：向量加法需要满足封闭性、结合律、存在零向量、逆元存在，而标量乘法需要满足封闭性、分配律、结合律。

四、计算题1. 答案：u + v = (1+3, 2+4) = (4, 6)2. 答案：2u = 2 * (1, 2) = (2, 4)五、证明题1. 证明：设u, v, w ∈ V，则(u + v) + w = u + (v + w)，由向量加法的结合律得证。

2. 证明：设u ∈ V，a, b为标量，则a(bu) = (ab)u，由标量乘法的分配律得证。

线性代数同步练习册第六章+答案

第六章线性空间与线性变换1、下列集合对指定的加法与数量乘法不能构成实数域R上的线性空间的是( B ).(A) 全体n阶对称矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(B) 全体n阶可逆矩阵所成集合; 运算: 矩阵的加法与矩阵的数量乘法;(C) 闭区间[,]a b上全体连续函数所成集合; 运算: 函数的加法和实数的乘法;(D) 矩阵A的属于其特征值λ的全部特征向量的全体; 运算: 向量加法和数乘向量.2、记实数域R上的二阶方阵所构成的线性空间为22R⨯, 下列方阵组能构成为22R⨯的一个基的是( D ).(A)111 00e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,21001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31101e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(B)100 01e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20000e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31111e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40110e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(C)111 11e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,22121e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,31001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,42002e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(D)11001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,20100e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,30010e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,40001e⎡⎤=⎢⎥⎣⎦3、在三维向量空间3R中求向量(3,7,1)α=在基1135α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2632α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,331α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦下的坐标.解由112233x x xαααα++=, 得线性方程组. 对增广矩阵施以行的初等变换得1633100333317010825201001154⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得α在基123,,ααα下的坐标为(33,82,154)-.4、在3维向量空间中, 求任一向量α在基1(1,2,1)α=,2(2,3,3)α=,3(3,7,1)α=和基1(3,1,4)β=,2(5,2,1)β=,3(1,1,6)β=-下的坐标变换公式.解设向量α在两个基下的坐标分别为123(,,)x x x和123(,,)y y y,从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为112335127714123712192091314164128P ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭故坐标变换公式为11223327714192094128x y x y x y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 5、已知3R 的两组基123{,,}ααα与123{,,}βββ，且123{,,}ααα到123{,,}βββ的过渡矩阵为211112113⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭，向量α在基123{,,}ααα下的坐标为(1,1,3)T. 试求α在基123{,,}βββ下的坐标. 解：由于()()123123211,,,,112113βββααα⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭,()1231,,1,3αααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以()11232111,,11211133αβββ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1235239991153,,199********βββ⎛⎫-- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-- ⎪⎝⎭()()1231235232999311535,,1,,9993321329993ββββββ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此α在基123{,,}βββ下的坐标为252(,,)333T -. 6、已知向量空间4R 的两组基： ( I ) 1234(1,1,0,0),(1,2,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2)αααα==== ( II )1234(2,1,0,0),(3,1,0,0),(0,0,2,3),(0,0,1,2)ββββ====(1) 求由基( I )到基( II )的过渡矩阵;(2) 求向量12342αββββ=++-在基( I )下的坐标. 解：取4R 的自然基1234(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)εεεε====，则有1234123412341234(,,,)(,,,),(,,,)(,,,),A B ααααεεεεββββεεεε==其中1100230012001100,0011002100120032A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 于是112341234(,,,)(,,,),A B ββββαααα-= 故由基( I )到基( II )的过渡矩阵为1210023003500110011001200002100210010001100320011P A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪---⎪⎪⎪=== ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 123412(,,,)11αββββ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1234123411325(,,,)(,,,)1110P αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故向量12342αββββ=++-在基(I)下的坐标是(13,5,1,0)T -. 7、已知向量组123(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,0,4),T T T ααα===4(0,0,0,2)T α=是R 4的一组基, 设12(1,0,0,0),(0,1,0,0),T T εε==34(0,0,1,0),(0,0,0,1)T T εε==为自然基. 试求由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵，并求3ε在基1234,,,αααα下的坐标. 解：由基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为1010100001000142A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 所以由基1234,,,αααα到基1234,,,εεεε的过渡矩阵为 1010000101100112222A -⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪--⎪⎝⎭, 故向量3ε在基1234,,,αααα下的坐标为 1(0,1,0,)2T-.8、下列变换T 中, 那些是3R 的线性变换, 哪些不是线性变换? (1) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =++; (2) 123123(,,)(,0,0)T x x x x x x =;(2) 222123123(,,)(,,)T x x x x x x =.解 (1) T 是线性变换. 事实上, 设123(,,)x x x x =, 123(,,)y y y y =, 则112233()(,,)T x y T x y x y x y +=+++112233(()()(),0,0)x y x y x y =+++++ 123123(,0,0)(,0,0)x x x y y y =+++++()()T x T y =+同理, ()()T kx kT x =, 其中k R ∈.(2) T 不是线性变换. 事实上, 设(1,0,0)x =, (0,1,1)y =, 则()(1,1,1)(1,0,0)T x y T +==, 而()()(0,0,0)T x T y +=, 即 ()()()T x y T x T y +≠+.(3) T 不是线性变换. 事实上, 取2a =, (1,1,1)x =, 则()(2,2,2)(4,4,4)T ax T ==, ()2(1,1,1)(2,2,2)aT x T ==, 即 ()()T ax aT x ≠.9、在3R 中, T 表示将向量投影到xoy 平面的线性变换:12312()T xe ye ze xe ye ++=+其中T 1(1,0,0)e =, T 2(0,1,0)e =, T 3(0,0,1)e =. (1) 求T 在基123,,e e e 下的矩阵. (2) 取一个基1e α=, 2e β=, 123e e e γ=++, 求T 在,,αβγ下的矩阵. 解 (1) 由于11223()()()0T e e T e e T e =⎧⎪=⎨⎪=⎩即123123100((),(),())(,,)010000T e T e T e e e e ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以T 在基123,,e e e 下的矩阵为100010000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (2) 由于112212312()()()()()()T T e e T T e e T T e e e e e ααββγαβ===⎧⎪===⎨⎪=++=+=+⎩即101((),(),())(,,)011000T T T αβγαβγ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故T 在基,,αβγ下的矩阵为101011000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 10、设3R 内的线性变换T 在基本单位坐标向量123,,e e e 为基下的矩阵211121112A --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭(1) 求T 在基123,,βββ下的矩阵, 其中1111β⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭, 2110β-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 3101β-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (2) 设向量123α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求()T α在基123,,βββ下的坐标T 123(,,)y y y 及()T α.解 (1) 先求出由基123,,e e e 到基123,,βββ的过渡矩阵P , 根据123123(,,)(,,)e e e P βββ=得 111110101P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 111111213112P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭故T 在基123,,βββ下的矩阵为1000030003B P AP -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 先求()T α在基123,,e e e 下的坐标. 根据线性变换在向量空间中的表示有21113()1222011233T A αα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()T α在基123,,βββ下的坐标为112331113010121003311233y y P y ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 在123,,βββ下, ()T α为33()303T αβ-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.第六章线性空间与线性变换自测题一、填空 (1) 22R⨯的维数22dim R⨯= 4 .(2) 3R 中, 向量(1,2,3)α=在基1(1,1,1)α=, 2(1,1,0)α=,3(1,0,0)α=下的坐标为(3,1,1)--.(3) 已知123,,ααα是线性空间中的元素, V 中任一元素都能由123,,ααα线性表示, 则123,,ααα必须线性无关时就成为V 的一个基.(4) 设3R 中, 123,,e e e 为基本单位坐标向量,11e α=, 212e e α=+,3123e e e α=++为3R 的一个基, 则由基123,,e e e 到基123,,ααα的过渡矩阵P =111011001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.(5) 设3R 内的线性变换为(,,)(,0,0)T x y z x =, 其中(,,)x y z 为3R 中的任一向量, 则T 在基123,,e e e 下的变换矩阵A =100000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.二、在4维向量空间中, 求向量(1,2,2,1)ξ=--在基1(1,1,1,1)ε=, 2(1,1,1,1)ε=--, 3(1,1,1,1)ε=--, 4(1,1,1,1)ε=--下的坐标.解: 设11223344x x x x ξεεεε=+++, 则得12341234123412341221x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+--=⎪⎨-+-=-⎪⎪--+=-⎩ 解此方程组得1234310,,,022x x x x ===-=.所以ξ在1234,,,εεεε下的坐标为31(0,,,0)22-.三、设向量组:(I) 1111α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 3101α⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (II) 1121β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 2234β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 3343β⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 证明向量组(I)与向量组(II)都是3维向量空间一个基;(2) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵;(3) 求向量12323ββββ=+-在基(I)下的坐标.解: (1)12311110020111A ααα===-≠-, 所以12,,ααα线性无关. 对于3维向量空间的任意一个向量α, 由于123,,,αααα线性相关, 故α可以由123,,ααα唯一线性表示. 所以它们可以作为3维向量空间一个基.类似可证得123,,βββ也是3维向量空间一个基. (2) 由过渡矩阵的定义, 有123123(,,)(,,)P βββααα=所以过渡矩阵1123123234(,,)(,,)010101P αααβββ-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.(3) 由(2)有123123(,,)(,,)P βββααα=, 所以123123123(,,)23βββββββ⎛⎫⎪=+-= ⎪ ⎪-⎝⎭1231(,,)23P ααα⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭1232341(,,)01021013ααα⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭123422ααα=--+故β在基123,,ααα下的坐标为T (4,2,2)--.四、在4R 中求向量v , 使它在标准基1234,,,εεεε和基T 1(2,1,1,1)β=-,T 2(0,3,1,0)β=, T 3(5,3,2,1)β=, T 4(6,6,1,3)β=下有相同的坐标.解由题设知12341234(,,,)(,,,)A ββββεεεε=, 其中过渡矩阵A 为20561********13A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭设所求向量T1234(,,,)v x x x x =, 则它关于标准基的坐标为1234(,,,)x x x x , 从而它关于基1234,,,ββββ的坐标也为1234(,,,)x x x x .于是, 由坐标变换公式有v Av =, 即()0A E v -=. 解之得T (1,1,1,1)v k =-, k 为任意实数.五、在22R⨯中, 定义变换()T A A ααα=-, 22Rα⨯∈, A 是22R ⨯中一个固定的二阶方阵. 证明T 是22R ⨯内的一个线性变换.证设22,R αβ⨯∈,12,R λλ∈, 则有121212()()()T A A λαλβλαλβλαλβ+=+-+1212A A A A λαλβλαλβ=+-- 12()()A A A A λααλββ=-+- 12()()T T λαλβ=+故T 是22R⨯内的一个线性变换.六、在3R 内的线性变换T 关于基123,,ααα的矩阵是1511520158876A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭求T关于基11223βααα=++,212334βααα=++,312322βααα=++的矩阵.解由题设, 123123(,,)(,,)B βββααα=, 其中231342112B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 即B是从基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵. 又T 关于基123,,ααα的矩阵是A , 故T 关于基123,,βββ的矩阵为1100020003C B AB -⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.。

第六章线性空间自测练习

第六章线性空间—自测练习一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。

2.两个线性子空间的并仍是子空间。

维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。

4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。

5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。

6.同构映射的逆映射仍是同构映射。

7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。

8.同构的线性空间有相同的维数。

?9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。

10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。

二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。

2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。

3.设4P 的两个子空间112(,)W L αα=，其中1(1,1,0,1)α=-，2(1,0,2,3)α=，21234124{(,,,)|20}W x x x x x x x =+-=。

求12W W +与12W W 的基与维数。

4．P 为数域，22P ⨯中1,,x x V x y z P y z ⎧-⎫⎛⎫=∈⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，2,,a b V a b c P a c ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭ 1）证明：12,V V 均为22P⨯的子空间。

2）求12V V +和12V V 的维数和一组基。

5. P 为数域，3P 中{}1(,,),,,V a b c a b c a b c P ===∈，{}2(0,,),V x y x y P =∈{证明：3P =12V V ⊕6.设V 是定义在实数域R 上的函数所组成的线性空间。

令1{()|()(),()}W f t f t f t f t V ，2{()|()(),()}W f t f t f t f t V 证明：12,W W 均是V 的子空间，且12V W W =⊕。

第6章线性空间(解答题)(65题)

1．什么是线性空间?答:设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在V 中概念了一个加法运算,在P 和V 的元素之间概念了一个数量乘法运算.若是上述两种运算知足以下规那么,那么就称V 为P 上的一个线性空间(或称向量空间).1).+=+αββα；2).++=++αβγαβγ（）（）； 3).V 中有一个元素0，V α∀∈都有+0=αα，0称为V 的零元素； 4).V α∀∈，存在V β∈，使得+=0αβ，β称为α的负元素； 5).1=αα； 6).()()k l kl αα=； 7).()k l k l ααα+=+； 8).(+)=+k k k αβαβ；其中α，β，γ表示V 中的任意元素；k ，l 表示P 中的任意数．2．非空集合Ｖ在概念了加法和数乘运算以后成为P 上的一个线性空间，V 可否再概念另外的加法和数乘运算成为P 上的另一个线性空间？答：有可能．例如，全部二元实数列组成的集合{(,)|,}V a b a b R =∈．1).概念(,)(,)(,),(,)(,)a b c d a c b d k a b ka kb ⊕=++=，那么V 成为R 上的一个线性空间2).概念2(1)(,)(,)(,),(,)(,)k k a b c d a c b d ac k a b ka kb a z+⊕=+++=+，那么V 成为R上的另一个线性空间.3．线性空间V 有哪些简单性质与结论？答：1）零元素是唯一的；2）α的负元素是唯一的；3）000k k αα=⇔==或；4）=αα--（）； 5）=k k k ααα-=--（）（）（）； 6）()k a b ka kb -=-；7）,V αβ∀∈，存在唯一的V γ∈，使得=αγβ+.证明：容易验证1）—3），4）因为+=0αα-（），因此α为（α-）的负元，即=αα--（）.5）()(()0,()()k k k k k k ααααα+-=+-=∴-=-.另一式子可类似证明.6）()(())()=()=k k k k k k k k αβαβαβαβαβ-=+-=+-+--. 7）(),+=αβαβγβααχβ+-=∴=-是方程的解.又假设1γ也是+=αχβ的解，则1+=+αγαγ.两边左加α-，有1=γγ.因此方程+=αχβ在V 中有唯一解.4．判定一个非空集合M 不是线性空间有哪些大体方式？答：1）M 是至少含两个元的有限集；2）M 关于概念的某一运算不封锁； 3）M 不知足8条规那么中的任一条.5．线性空间的例子.答：1）数域P 依照数的加法和乘法组成自身上的一个线性空间.专门的，实数域R 和复数域 C 依照数的加法和乘法都是自身上的线性空间.2）已知数域⊆P 数域P ，依照数的加法和乘法，P 组成P 上的线性空间.3）三维空间中与已知向量的全部再添加零向量，关于向量的加法与数乘运算组成一个实线性空间.4）分量属于数域P 的全部n 元数组，关于n 元数组的加法与数乘组成P 上的一个线性空间，记作nP .5）无穷实数列的全部：12={()|1,2}i I x x x i ∞∈=，，R ，，关于121211221212()()()=(),x x y y x y x y k x x kx x k R +=++∈，，，，，，，（，，），k ，组成一个实线性空间.6）n 元齐次线性方程组0x =A 的解向量的全部，关于n 维向量的加法和数乘组成P 上的线性空间（为nP 的子空间）.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全部，关于矩阵的加法与数乘组成P 上的线性空间. 8）数域P 上全部n 阶对称（反对称，上三角）矩阵关于矩阵的加法与数乘组成P 上的线性空间.9）设m n ⨯∈A P，那么全部与A 可互换的矩阵的集合，关于矩阵的加法与数乘组成m n⨯P的一个线性空间.10）数域P 上全部知足条件trA=0（trA 表示A 的迹，即A 的主对角线元素之和）的n 阶矩阵的集合，关于矩阵的加法和数乘组成P 上的一个线性空间.11）数域P 上全部一元多项式的集合，关于多项式的加法和数与多项式的乘法组成P上的线性空间，记作x P[].12）次数小于n 的一元多项式及零多项式的集合，关于多项式的加法和数与多项式的乘法组成P 上的线性空间，记作n x P[].13）集合W={()|()(1)0}n f x f x x f ∈=R[]且关于多项式的加法和数与多项式的乘法组成R 上的线性空间.14）数域P 上形如352113521n n a x a x a x a x ++++++的多项式的全部，关于多项式的加法和数与多项式的乘法组成P 上的线性空间.15）数域P 上多项式()g x 的倍式的全部：W={()|()|()}f x g x f x ，关于多项式的加法和数与多项式的乘法组成P 上的线性空间. 16）由0及数域P 上的m 元n 次多项式121211212(,)()m m m k k k m k k k m k k nf x x x a x xx k ++==∑，，为正整数的全部，关于多项式的加法及数与多项式的乘法组成P 上的线性空间，其中12mk k k a P ∈.17）关于在区间[,]a b 上的实函数的全部，关于函数的和及数与函数的积，组成R 上的线性空间.[,]a b 上的持续实函数全部为其子空间，记作[,]C a b .18）全部形如1122sin cos sin 2cos 2sin cos 2n n a a t b t a t b t a nt b nt +++++++的实函数，关于函数的和及数与函数的积，组成R 上的线性空间.6．以下集合关于指定运算均不组成线性空间：1）起点在原点，终点在不通过原点的直线上的空间向量的全部，按向量的加法与数乘运算；2）非齐次线性方程组AX=b(b ≠0)的解向量的全部，按向量的加法与数乘运算； 3）数域P 上次数不低于定数n 的多项式的全部并添上零多项式，按多项式的加法与数乘运算；4）有理数域概念运算：,;2k k βαβ∂∂⊕=+∂= 5）设P 为有理数域，对整数集概念运算：1,k βαβ∂⊕=+-∂=∂.证：1）集合不含零向量，因此不是线性空间.2）若是集合是空集，那么不是线性空间. 若是集合非空，那么由于不含零向量，因此也不是线性空间.3）因两个次数不低于n 的多项式之和的次数可能低于n ，即关于多项式的加法不封锁，因此不是线性空间.4）因1(0)2∂∂=≠∂∂≠不知足线性空间概念中的规那么5），因此不是自身上的线性空间.5）取3,1,k l ∂===则()3,k l +∂=而5k l ∂⊕∂=.故()k l +∂≠（k l ∂⊕∂），不知足线性空间概念中的规那么7），因此集合不是线性空间.7.什么叫做向量的线性相关和线性无关？答:设V 是数域P 上的线性空间,且()1,,,1i a V i s s ∈=≥，若是存在一组不全为零的数()1,,i k P i s ∈=，使得()11220s s k a k a k a +++=，（1）那么称向量组1,,s a a 是线性相关的，不然，称它们是线性无关的.注 ○1一个向量不是线性相关,就必然是线性无关,二者必居其一且仅居其一. ○21,,s a a 线性无关 ⇔（1）式仅当10s k k ===成立.8.设1,,n αα线性相关,是不是对任意一组不全为零的1,,n k k 都有110n n k k αα++=？答:不必然，比如0α=是线性相关的，它对一切非零数k 都有0k α=.而()()1,0,2,0βγ==就不可能对一切非零数12,k k 使得120k k βγ+=.9.什么叫线性表出？什么叫做两个向量等阶？答：设12,,,,m αααβ都是数域P 上的n 维向量，若是有P 中的m 个数1,,m k k ，使1122m m k k k βααα=+++，那么称β是12,,,m ααα的线性组合，或称β能够由12,,,m ααα线性表出（线性表示）.若是向量组12,,,r ααα中每一个向量都能够由向量组12,,,s βββ线性表出，且12,,,s βββ中的每一个向量都能够由12,,,r ααα线性表出，那么称向量组12,,,rααα与向量组12,,,s βββ是等价的.10.向量组之间的等价是不是一种等价关系？答：是的.不难证明以下三条成立：1）反身性：每一个向量组都与自身等价. 2）对称性：若是12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，那么12,,,s βββ也与12,,,r ααα等价.3）传递性：若是12,,,r ααα与12,,,s βββ等价，而12,,,s βββ与12,,,t γγγ等价，那么12,,,r ααα与12,,,t γγγ等价.11.向量的线性相关性有哪些要紧性质？答：容易证明的有：1）零向量是线性相关的.含零向量的向量组也是线性相关的 2）单个非零向量是线性无关的. 3）设向量组()12,,,2m m ααα≥，那么它们线性相关⇔至少存在一个向量，它能够由其余向量线性表出.4）向量组()I 中若是有部份向量线性相关，那么()I 必然线性相关. 5）向量组()I 线性无关，那么()I 的任意一个部份组必线性无关. 6）向量组12,,,r ααα能够由向量组12,,,s βββ线性表出，那么12,,,r ααα线性无关r s ⇔≤.7）任意1n +个n 维向量必线性相关.8）两个线性无关的等价向量组，必含有相同个数的向量. 12.(){}12,,,|.n n i P c c c c P =∈()1,,,1,2,,n i i in a a P i mα=∈=，那么12,,,m ααα线性相关'0A x ⇔=有非零解，其中()()'1,,ij m m n A a x x x ⨯==.7.设()()1,1,,,,,1,2,,n i i ik i k in a a a a P i m α+=∈=，令()1,,i ik βαα=()1,2,,i m =则 1）假设12,,,m ααα线性相关⇒12,,,m βββ线性相关；2）假设12,,,m ααα线性无关⇒12,,,m βββ线性无关.证：1）假设存在不全为零的数1,,m l l ，使110m m l a l a ++=，那么固然有110m m l l ββ++=.2）用反证法.若12,,,m ααα线性相关，那么由1）知12,,,m βββ也线性相关，矛盾.13.若是12,,,m ααα线性无关，但12,,,,m αααβ线性相关，那么β可由12,,,m ααα线性表出，且表示法唯一.证：由假设存在一组不全为零的数11,,m k k +使1110m m m k k k ααβ++++=.若10m k +=，那么由110m m k k αα++=，可证10m k k ===.这与假设矛盾，故10m k +≠，于是11m m l a l a β=++，其中1/,1,2,,i i m l k k i m +=-=.即β可由12,,,m ααα线性表出.若1111m m m m l a l a s a s a β=++=++，那么()()1110m m m l s l s αα-++-=.由12,,,m ααα线性无关，得()1,2,,i i l s i m ==，即表示法是唯一的.14.什么叫做极大线性无关组？答：若是向量组的一个部份组知足 1）此部份组线性无关；2）原向量组每一个向量都可由那个部份组线性表出，那么称此部份组是原向量组的一个极大线性无关组.注：向量组与极大线性无关组是等价的.15.一个向量组的极大线性无关组是不是唯一？答：一样不唯一.比如，()()()0,0,1,0,2,0αβγ===，那么β是,,αβγ的极大线性无关组；γ也是,,αβγ的一个极大线性无关组.注：○1一个向量组有多个极大线性无关组时，这些极大线性无关组之间也相互等价.○2由5.可知两个极大线性无关组虽可不同，但它们所含向量的个数相等.16.什么叫做向量组的秩？答：向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.只含零向量的向量组，规定它的秩为0.17.设V 是数域P 上的线性空间，1,,n αα，1,,s V ββ∈，且1,,n αα线性无关，()()11,,,,s n A ββαα=，其中(),ij ij n s A P αα⨯=∈，再设()1,,s A c c =，其中1,,s c c 为A 的n 维向量.若A k =秩，且1,,i ik c c 为()1,,s A c c =的一个极大线性无关组，那么1）由（1）式知()12,,,,1,2,,i n i c i s βααα==. （2）○1先证1,,i ik ββ线性无关.设110i k ik l l ββ++=，那么110i k ik l l ββ=++()()112112,,,,,,n i k n ikl c l c αααααα=++()()1211,,,,,.n i k ik l c l c ααα= （3）因为12,,,n ααα线性无关，由（3）知11,,0i k ik l c l c = （4）在nP 中，1,,i ik c c 线性无关，由（4）知10k l l ===.○2第二，再任取{}12,,,s ββββ∈，那么i c 可由1,,i ik c c 线性表出，即11i i k ik c m c m c =++，于是()12,,,i n i c βααα= ()()1211,,,n i k ik m c m c ααα=++ ()()112112,,,,,,n i k n ik m c m c αααααα=++11i k ik m m ββ=++.综合○1、○2，即知1,,i ik ββ为1,,s ββ的一个极大线性无关组.2）由1）即得{}1,,=s k A ββ=秩秩.注：这解决了求抽象线性空间V 的向量组的秩的问题.同时还把求极大线性无关组的问题转化为求nP 中一个向量组的极大线性无关组的问题（而这是已知的）. 18.设()4321642f x x x x x =++-+，()422234f x x x x =++-，()4323491622f x x x x x =+--+，()43473f x x x x =+-+，求()1f x ，()2f x ，()3f x ，()4f x 的极大线性无关组.解：把()i f x 都看成[]5P x 中元素，取[]5P x 中一组基2341,,,,x x x x ，那么()()234123461174041,,,1,,,,12901316124223f f f f x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭（1）令123461174041,,,,12901316124223C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可求出1234,,,C C C C 的一个极大线性无关组为234,,C C C .于是（1）式中相应的()()()234,,f x f x f x 为()()()()1234,,,f x f x f x f x 的一个极大线性无关组.19.设1103301121,,,,24127142056A B C D F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭为线性空间22R ⨯的一组基，那么()()11122122131213011,,,,,,,.21725421406A B C D F E E E E ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 而1031213011321725421406⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩，因此向量组,,,,A B C D F 的秩等于3. 20.设1,,s αα的秩为r ，1,,r i i αα是1,,s αα中r 个向量，使得1,,s αα中每一个向量都可被它们线性表出，那么1,,ri iαα是1,,s αα的一个极大线性无关组.证：由假设可知1,,s αα可由1,,r i i αα线性表出，但1,,r i i αα可由1,,s αα线性表出是显然的，从而彼此等价.那么{}{}11,,=,,=r i i s r αααα秩秩.1,,r i i αα∴线性无关.21.若是向量组()I 能够由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩.证：当向量组()II 的秩为无穷时，结论显然成立.当()II m =秩时，由假设()I 的极大线性无关组也可由()II 的极大线性无关组线性表出，那么由5.之6）可证()()I II m ≤=秩秩. 注：由此可知等价的向量组具有相同的秩.22.设12,,,n n P ααα∈，n 维标准单位向量()()11,0,,0,,0,0,,1n εε==可被它们线性表出，那么12,,,n ααα线性无关.证：1,,n αα显然可被1,,n εε线性表出，又1,,n εε可被1,,n αα线性表出，从而它们等价，于是由15.的注知()()11,,=,,=n n n ααεε秩秩.即知1,,n αα线性无关.注：○1那个命题的逆命题也是对的.○2在抽象的n 维线性空间V 中，此命题可改成：设1,,n ββ为V 的一组基，1,,r V αα∈且1,,n ββ可由1,,n αα线性表出，那么1,,n αα也是V 的一组基.○3也可改述为：设1,,n αα是线性空间V 中的一组n 维向量，那么1,,n αα线性无关⇔V 中任一n 维向量都可被它们线性表出.23.证明：向量组的任何一个线性无关组都能够扩充成一个极大线性无关组. 证：设n 维向量组()I 中一个线性无关组()12II :,,,s ααα，若是()I 中每一个向量可经()II 线性表出，那么()II 为()I 的一个极大无关组.不然至少有一个向量()I α∈不能由()II 线性表出，将添到()II 中成为向量组()III ，那么()III 中向量是线性无关的.如此继续下去，通过有限步（不大于n ）后，向量组()II 即可扩充为()I α∈的一个极大无关组.24.设向量组12,,,m ααα线性无关，12,,,,,m αααβγ线性相关.证明：或β与γ中至少有一个可由12,,,m ααα线性表出，或12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价. 证：因12,,,,,m αααβγ线性相关，因此存在不全为零的数12,,,,,m k k k b c 使110m m k k b c ααβγ++++=.显然，,b c 不全为零，不然与12,,,m ααα线性无关矛盾.当0,0b c ≠=时，β可由12,,,m ααα线性表出；当0,0b c ≠≠时，β可由12,,,,m αααγ线性表出，γ可由12,,,,m αααβ线性表出，因此12,,,,m αααβ与12,,,,m αααγ等价.25.设12,,,n n P ααα∈且线性无关，那么12,,,n A A A ααα线性无关⇔()=A n 秩.其中A 是数域P 上的n n ⨯矩阵.证：令()12,,,n B ααα=.因1,,n αα线性无关，因此0B ≠.必要性设12,,,n A A A ααα线性无关，即()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.因此0A ≠，即()=A n 秩.充分性设()=A n 秩，即0A ≠，从而()()11,,,,0n n A A A AB A B αααα===≠.因此12,,,n A A A ααα线性无关.26. 设向量组12,,,s ααα的秩为r ，在其中任取m 个向量12,,,mi i i ααα，那么{}12,,,m i i i r m s ααα≥+-秩.证：设12,,,m i i i ααα的秩为t ，现将它的一极大无关组（含t 个向量）扩充为1,,s αα的一个极大无关组（含s 个向量）.因此扩充的线性无关向量的个数为r t -.因1,,s αα除向量组1,,m i i αα外，还有s m -个向量，因此，r t s m -≤-，即t r m s ≥+-.27.设123r βααα=+++，213r βααα=+++，，121r r βααα-=+++，那么 1）1,,r ββ与1,,r αα有相同的秩；2）1,,r αα的任意一个极大线性无关组也是11,,,,,r r ααββ的极大线性无关组.证：1）由假设知1,,r ββ可由1,,r αα线性表出.可是()()1212+=1r r r βββααα++-+++()()12121=+1r r r αααβββ+++++- （1）用（1）式减去假设的每一个式子，可得11221212211,111121,111112.111r r r r r r r r r r r r r r r r αβββαβββαβββ-⎧=+++⎪---⎪-⎪=+++⎪---⎨⎪⎪-⎪=+++⎪⎩--- 即1,,r αα也可由1,,r ββ等价，因此{}{}11,,,,r r r ββαα=≤秩秩.2）由1）知1,,r αα与11,,,,,r r ααββ等价，可知1,,r αα的一个极大线性无关组确实是11,,,,,r r ααββ的一个极大线性无关组.28.设向量组1,,s αα中10α≠且每一个()2,3,,i i s α=都不能由11,,i αα-线性表出，那么1,,s αα线性无关.证：用反证法.若是1,,s αα线性相关，那么有不全为零的数12,,,s k k k 使1122=0s s k k k ααα+++ （1）从右至左，设第一个不为零的数是l k ，而10l s k k +===，那么（1）式为1122=0l l k k k ααα+++.因10α≠，因此1l ≠，故112121111l l l k k kk k k αααα--=----.即l α可由121,,,l ααα-线性表出，此与题设矛盾.因此1,,s αα线性无关.29.若是()()()123,,f x f x f x 是线性空间[]P x 中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，那么它们线性无关.证：用反证法.若是它们线性相关，即存在不全为零的数123,,k k k ，使()()()1122330k f x k f x k f x ++=.不妨设10k ≠，那么()()()3212311=k k f x f x f x k k --+. 此式说明()()23,f x f x 的最大公因式确实是()1f x 的因式，即()()()()()()()12323,=,f x f x f x f x f x .此与()()()()123,=1f x f x f x 及()()()23,1f x f x ≠矛盾，因此()()()123,,f x f x f x 线性无关.30.设12,,,m ααα线性无关，那么122311,,,,m m m αααααααα-++++线性无关的充分必要条件是m 为奇数.证：令112223111,,,,m m m m m βααβααβααβαα--=+=+=+=+，由题设得()()1212,,,,,,m m A βββααα=，其中10110011n mA ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 按第一行展开，()12,110,m m A m +⎧=+-=⎨⎩为奇数；为偶数，而12,,,m βββ线性无关的充分必要条件是0A ≠，即m 为奇数31.设向量组12,,,m ααα线性相关，但其中任意1m -个向量都线性无关，那么 1）等式1122=0m m k k k ααα+++中的系数()1,,i k i m =或全为0，或全不为0.2）当存在两个等式1122=0m m k k k ααα+++ （1） 1122=0m m l l l ααα+++ （2）其中10l ≠时，（1），（2）的对应系数成比例：1212mmk k k l l l ===.证：1）当()1,,i k i m =全为0时，恒为等式的解.以下设有一个i k 不等于0，不失一样性，设10k =.现在其余的()2,,i k i m =都不为0.假设等式化为()100j j j ik k α≠=≠∑，于是这1m -个向量线性相关，此与题设矛盾.2）由于10l ≠，由1）知: 2,,m l l 均不为0.若是()1,,i k i m =全为0，那么结论成立.不然i k 全不为0，()()112i l k ⨯-⨯，得()()11212211100m m r l k k l l k k l ααα-+-++-=.由1），因1α的系数为0，因此2,,m αα的系数全为0，即1212110m m l k k l l k k l =-==-，即1212mmk k k l l l ===.32.求向量组()11,2,2,3α=-，()22,4,1,3α=--，()31,2,0,3α=-，()40,6,2,3α=，()52,6,3,4α=-的一个极大线性无关组.解1（初等变换法）以12345,,,,ααααα为列作矩阵A ，对A 实施初等变换为阶梯型矩阵B ：121212102242660322121023000313333400000A B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由B 可知：124,,ααα；134,,ααα；125,,ααα；135,,ααα均为原向量组的极大无关组. 注：用这种方式能够找到向量间的全数极大无关组.解2（子式法）因矩阵A 的4阶子式均为0，而3阶子式11022612022--=-≠，因此134,,ααα为一极大无关组.解3（一一扩充法）因10α≠，因此1α线性无关，又因12,αα对应分量不成比例，故12,αα线性无关.因123,,ααα线性相关（这可由123,,ααα作成的矩阵的所有3阶子式为0看出），因此3α不收入.再观看124,,ααα，由于124,,ααα作成的矩阵有非零的3阶子式，因此124,,ααα线性无关，又因1245,,,αααα线性相关，因此124,,ααα为一极大无关组.33.什么叫做线性空间的基于维数？答：若是数域P 上的线性空间V 有n 个线性无关的向量12,,,n ααα，而且V 中每一个向量都能够由它们线性表出，那么称这组向量为V 的一组基（基底）.也称12,,,n ααα生成（或张成）线性空间V .12,,,n ααα为V 的一组生成元.基中所含向量的个数n 称为V 的维数，记作dim V n =或()V n =维.称V 为维线性空间.若是V 中有任意多个线性无关的向量，那么称V 为无穷维线性空间，记为dim V =∞.若是{}0V =，那么称V 是零维的，记为dim 0V =.注：○1线性空间V 的基，事实上确实是V 的一个极大线性无关组.○2一个线性空间V 有一组基1,,n αα，取()ij n nA α⨯=，当0A ≠时，令，其中为的列向量，令()1,,n A c c =，其中1,,n c c 为A 的列向量，令()1,,i n i c βαα=()1,2,,i n =那么可知1,,n ββ也是V 的一组基.由此可知V 的基不是唯一的.○3两组基之间是相互等价的，因为向量组的两个极大线性无关组是相互等价的.34.几类重要的线性空间的维数与基是什么？答：1）数域P 看成自身上的线性空间，那么1是它的一组基，dim 1P =. 2）复数域C 看成实数域R 上的线性空间，1,i 是C 的一组基，dim 2P =.3）实数域R 看成有理数域Q 上的线性空间，那么dim P =∞.事实上，21,,,ππ是线性无关的.因为若是21,,,,n πππ线性相关的话，那么π是代数数了，而π是超越数.故对一切自然数n ，向量组21,,,,n πππ都线性无关，由n 的任意性，故dim P =∞.4）全部正实数R +，概念a b ab ⊕=，kk a a =，那么R +为R 上的1维线性空间.任何一个非零向量都是其一组基.因1是其零向量，取定(),1,1R Ra ββα++∈≠∀∈≠，有()log log βαβαβαβ==，即α可由β线性表出，因此是一维的.5）数域P 上的全部n 元数组组成的线性空间nP 是n 维的，()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=是一组基.6）n 元齐次线性方程组0Ax =（A 为m n ⨯矩阵，()=A r 秩）的解空间是n r -维的，其基础解系是它的一组基.7）元素属于数域P 的m n ⨯矩阵的全部m nP⨯的维数是mn .以ij E 表示第i 行第j 列元素为1，其余元素为0的m n ⨯矩阵，那么()1,2,,;1,2,,ij E i m j n ==为m n P ⨯的一组基.8）实数域上全部n 级实对称矩阵组成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij ij E E i j n +≤≤≤为一组基. 9）实数域上全部n 级反对称矩阵组成的线性空间的维数是()12n n -.()1ij ij E E i j n -≤≤≤为一组基. 10）实数域上全部n 级上三角矩阵组成的线性空间的维数是()12n n +.()1ij E i j n ≤≤≤为一组基.11）全部形如1230n nX P X X ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭的矩阵（1X 为r r ⨯矩阵）组成的线性空间，因零块有()r n r -个元素，因此线性空间的维数是()2n r n r --.(),;,1,2,,ij E i r j r i r j n ≤≤≥=为一组基.12）全部n nA P⨯∈且知足0trA =（A 的迹为0）的矩阵组成的线性空间的维数是()()2211nn n n -+-=-，除nn E 外的一切,,1,2,,ij E i j n =为一组基.13）次数小于n 的一元多项式的全部加上零多项式组成的线性空间[]n P x 的维数是n ，且211,,,,n x x x -为一组基.14）线性空间()()[](){}|10n W f x f x R x f =∈=且的维数是1n -.且121,1,,1n n x x x -----是W 的一组基.15）数域P 上m 元n 次齐次多项式()()121211212,,,mmm k k k m k kk m i k k nfx x x x x x k α++==∑为正整数和零多项式组成的线性空间的维数是()()()()1211n n n m m +++--!，1212mk k k mx x x1m i i k n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑为一组基.事实上，上述向量组线性无关是显然的，它的个数事实上是从m 种元素中每次取n 个元素的有重复的组合数，即()12nm x x x +++展开后不同类的项数：()()()()1111211nnm m n m n m n n n m C CCm -+-+-+++-===-!. 16）分量属于复数域的全部n 元数组组成实数域R 上的线性空间的维数是2n .()11,0,,0ε=，()20,1,,0ε=，，()0,,0,1n ε=，()11,0,,0η=，()20,1,,0η=，，()0,,0,1n η=为一组基（为虚数单位）.17）线性空间V 中m 个向量生成的子空间()1,,m L αα的维数等于1,,m αα的秩，1,,m αα的任一极大无关组都是()1,,m L αα的一组基.36.V 为矩阵A 的实系数多项式的全部组成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中2100100,200A ωωω⎛⎫- ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.解：因为2ω=，31ω=，因此21,3;,31;,3 2.nn k n k n k ωωω=⎧⎪==+⎨⎪=+⎩从而2232100,3;00,,,31;00,3 2.n E n k A A E A A n k A n k ωω=⎛⎫⎧⎪ ⎪====+⎨ ⎪⎪ ⎪=+⎝⎭⎩设21230k A k A k E ++=，得1232123212300,0.k k k k k k k k k ωωωω++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，（1）因系数行列式不为零，因此方程组（1）只有零解：1230k k k ===.说明2,,E A A 线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是2,,E A A 的线性组合，因此V 的维数是3. 2,,E A A 是V 的一组基.37.V 为矩阵A 的实系数多项式的全部组成的线性空间，求V 的维数及一组基，其中()120,,0i j in a a A a a i j a R a ⎛⎫⎪⎪=≠≠∈ ⎪ ⎪⎝⎭.解：易证对正整数k ，有11201100kkn n k n a a A k E k A k A a --⎛⎫ ⎪⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）事实上，由矩阵的相等得，101111110121221011,,.n k n n kn n k n n n n k k a k a a k k a k a a k k a k a a ------⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （2）（2）式的系数行列式D 是范德蒙行列式，故()10ji i j nD aa ≤≤≤=-≠∏.因此方程组有唯一解011,,,n k k k -.这就证明了（1）.再令10110n n k E k A k A --+++= （3）（3）式为（2）式右端为零的情形.由于0D ≠，因此只有零解：0110n k k k -====，说明1,,,n E A A -线性无关.由于A 的实系数多项式()f A 是21,,,,n E A A A -的线性组合，因此dim V n =，21,,,,n E A A A -为一组基.38.设V 为数域P 上的线性空间，V 为从V 中任取m 个元素组成的向量()12,,,m ααα的集合.1）按向量的加法和数乘运算，V 为P 上的线性空间； 2）当V 为无穷维时，V 也是无穷维； 3）当V 为n 维时，求V 的维数和一组基. 证：1)()0=00V ∈，，，V ∴非空.另外，V 关于加法和数乘运算封锁，且知足概念中的8条规那么，因此V 是域P 上的线性空间. 2）当V 是无穷维时，取12,,,n βββ为V 的n 个线性无关的向量，令(),0,,0i i ηβ=()1,2,,i n =，那么12,,,n ηηη线性无关.由n 的任意性知，V 有任意个线性无关的向量，即V 是无穷维的.3）当dim V n =，可推得dim V mn =. 事实上，设12,,,n εεε为V 的一组基.令()1,0,,0i i ηε=，()20,,,0i i ηε=，，()0,0,,ni i ηε=，1,2,,i n =，那么那个m n ⨯个向量均线性无关.()12,,,m V αααα∀=∈，因()11,2,,nj ij i i k j m αε=∀==∑，因此()1212111,,,,,,m nnnm i i i i i i i i i k k k αααεεε===⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑()()()12111,0,,00,,,00,0,,nnni i i i i i im i i i i i k k k εεεεεε====+++∑∑∑1122111nnni i i i im im i i i k k k ηηη====+++∑∑∑.即α可由mn 个向量()1,,;1,,ij i n j m η==线性表出，因此它们是V 的一组基，dim V mn =.39.什么叫做向量的坐标？答：设V 为数域P 上的n 维线性空间，1,,n αα为V 的一组基.设V β∈，那么()111221,,n n n n k k k k k βααααα⎛⎫ ⎪=+++= ⎪ ⎪⎝⎭.称()1,,n k k 为β在基1,,n αα下的坐标.注：○1同一个向量β，在不同基下的坐标一样是不相同的.○2同一个β，当基1,,n αα排列顺序不同时，坐标也不同.比如V 的一组基为123,,ααα，令12335βααα=++，那么β在基123,,ααα下的坐标为()1,3,5，而在下的坐标为()1,5,3.○3那个地址的坐标概念是解析几何中坐标概念的推行.在平面解析几何中，相当于取基()11,0e =，()20,1e =，在空间解析几何里，相当于取基()11,0,0η=，()20,1,0η=，()30,0,1η=.而代数中是把它们抽象化，并把上述情形作为特例. V 中的基1,,n αα相当于成立一个坐标系.β的坐标()12,,,n n k k k P ∈，相当于β在座标系12,,,n ααα下的坐标.40.什么叫过渡矩阵？答：过渡矩阵相当于n 维线性空间V 的两组基之间的变换公式.下面给出概念.设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，那么()1,,i n i c βαα=，1,2,,k n =. （1）其中12,,1,2,,i i i ki ni c P k n αααα⎛⎫ ⎪ ⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭.把（1）式改写为()()11,,,,n n A ββαα=. （2）其中()()1,,n n ij n n nA c c P α⨯⨯==∈.称A 为基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵，并称（2）为基变换公式.注：○1若是0A ≠，即A 为可逆矩阵.○2由（2）式知()()111,,,,n n A ααββ-=，（3）即1A -为基1,,n ββ到基1,,n αα的过渡矩阵.○3求1,,n αα到1,,n ββ的过渡矩阵A ，只要求出每一个i β在基1,,n αα下的坐标（1）即可.41.什么叫坐标变换公式？答：设1,,n αα与1,,n ββ为V 的两组基，由基1,,n αα到基1,,n ββ的过渡矩阵为A .向量γ在基1,,n αα下的坐标为()1,,n x x .设γ在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n y y ，那么111n n y x A y x -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）公式（1）称为坐标变换公式.42.设1,,n αα为线性空间V 的一组基.1）1121212,,,n n βαβααβααα==+=+++也是V 的一组基.2）当向量α在基1,,n αα下的坐标为(),1,,2,1n n -时，求α在基1,,n ββ下的坐标.证：1）因为()()11,,,,n n A ββαα=，其中1101A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，1A =，因此1,,n ββ线性无关，从而为V 的一组基.2）设α在基1,,n ββ下的坐标为()1,,n x x ，由坐标变换公式知121110111112201111n n n x n n x A x -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 43.在[]3P x 中，求221,,x x x x ++到基221,,x x x x -+的过渡矩阵. 解：因为21,,x x 为[]3P x 的基，因此()()()22221001,,1,,1101,,111x x x x x x x x A ⎛⎫⎪++=-= ⎪ ⎪-⎝⎭. （1）于是()()()2221221001,,1,,=1,,110111x x x x x x A x x x x -⎛⎫⎪=++++- ⎪ ⎪-⎝⎭. （2）又()()()22221001,,1,,0111,,011x x x x x x x x B ⎛⎫⎪-+== ⎪ ⎪-⎝⎭，（3）将（2）代入（3）得()()()22221221001,,1,,1,,111120x x x x x x x x A B x x x x -⎛⎫⎪-+=++=++- ⎪ ⎪-⎝⎭. 因此100111120C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭为所求的过渡矩阵.44.已知()()()()12341,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,εεεε=⎧⎪=--⎪⎨=--⎪⎪=--⎩()()()()12341,2,3,1,2,1,0,1,1,1,0,1,2,1,1,2,ηηηη=⎧⎪=⎪⎨=--⎪⎪=-⎩别离是4P 的两组基，求i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵.并求()1,1,0,1δ=-关于基1234,,,ηηηη的坐标.解：因为()11,0,0,0δ=，()20,1,0,0δ=，()30,0,1,0δ=，()40,0,0,1δ=是4P 的基，由i δ到()1,2,3,4i i ε=的过渡矩阵A 和由δ到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵B 别离为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭， 1212211130011112B ⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪--⎝⎭由i ε到()1,2,3,4i i η=的过渡矩阵为1A B C -=，1741212141103443212C A B --⎛⎫⎪- ⎪==⎪ ⎪--⎝⎭. 令δ关于基()1,2,3,4i i η=的坐标为()1234,,,x x x x ，那么121341112105413x x B x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 45.什么叫做线性子空间？答：设W 是数域P 上线性空间V 的非空子集，若是W 关于V 的两种运算（加法和数量乘法）也组成线性空间，那么称W 为V 的一个线性子空间，简称子空间.46.什么叫做V 的一般子空间？答：V 中仅含单个零向量的子空间称为零子空间，V 本身也是V 的一个子空间，这两个子空间称为V 的一般子空间，V 除一般子空间外的子空间（若是存在的话），称为V 的非一般子空间.47.什么叫做生成子空间？答：V 中任意m 个向量的所有可能的线性组合(){}111,,|,1,2,,m m m i L k k k P i m αααα=++∈=组成V 的一个子空间，称为由1,,m αα张成（或生成）的子空间.注：这一记号超级重要.设V 是n 维的，假设()1,,n V L αα=，那么1,,n αα为V 的一组基.48.如何判别子空间？答：设W 是V 的一个非空子集，那么W 为V 的子空间的充要条件是：W 关于V 的两种运算是封锁的，即○1,W αβ∀∈都有W αβ+∈； ○2,W k P α∀∈∀∈，都有k W α∈. 条件○1与○2能够归并成一条：,W αβ∀∈及12,k k P ∀∈都有12k k W αβ+∈.49.生成子空间有哪些要紧结论？答：1）()()11,,,,s t L L ααββ=的充分必要条件是1,,s αα与1,,t ββ等价.2）()()()1111,,,,,,,,,s t s t L L L ααββααββ+=.3）()1,,s L αα的维数{}1,,s αα=秩4）n 维线性空间V 的子空间的一组基必可扩充为V 的一组基.50.常见到子空间有哪些?答：1）V 的两个一般子空间.2）全部实函数组成的线性空间中，由所有实系数多项式组成一个子空间.3）[]n P X 是线性空间[]P X 的n 维子空间.4）线性变换:V V σ→的值域V σ是V 的子空间.设线性变换在某一组基下矩阵为A ，那么其维数等于A 秩，σ的核()10σ-是V的子空间，其维数等于dim V A -秩5）线性变换:V V σ→的属于特点值λ的特点向量的全部添上零向量是V 的特点子空间，记作V λ.若dim V n =，设σ在某一组基下的矩阵为A ，那么()dim V n E A λλ=--秩6）数域P 上n 元齐次线性方程组0AX =的解空间W 是nP 的子空间，dim W n A =-秩.7. 设1,,n εε为数域P 上线性空间V 的一组基，m n A P ⨯∈，A r =秩，()'11,,n n c c Pα⨯=∈则()'11|,,0ni i n i W c A c c ε=⎧⎫==⎨⎬⎩⎭∑是V 的n r -维子空间.证：1）先证W 是V 的子空间.其0W ∈知W 非空（这时取()()1,,0,,0n c c =即可）.任取()11,,n n c c βεε⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()11,,n n d W d γεε⎛⎫ ⎪=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，那么10n c A c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，10n d A d ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 12,k k P ∀∈，那么()1112112,,n n n c d k k k k c d βγεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111112120n n n n c d c d A k k k A k A c d c d ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此12k k W βγ+∈，从而W 为V 的子空间.2）设0Ax =的解空间为1W ，那么1dim dim W W n A n r ==-=-秩.51.什么叫做交空间？答：设V 是数域P 上的线性空间，()V I λλ∈都是V 的子空间，那么IV λλ∈⋂也是V 的子空间，并称它为()V I λλ∈的交空间. 注:○1显然IV λλ∈⋂也是V λ的子空间.○2子空间的交是线性空间的一种运算.52. 子空间的交有哪些性质？答：1）适合互换律：1221V V V V ⋂=⋂；2）适合结合律：()()123123V V V V V V ⋂⋂=⋂⋂；3）A ,B 别离为m n ⨯与s n ⨯矩阵，A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设123,,V V V 别离为0Ax =，0Bx =，0Cx =的解空间，那么312V V V =⋂.53.什么叫做和空间？答：子空间的和是线性空间的第二种运算.设1V ，2V 都是V 的子空间，那么{}121122|,V V ααααα=+∈∈也是V 的子空间，记作12V V +.一样的，设1,,n V V 都是V 的子空间，它们的和空间概念为{}1212++|,1,2,,n n i i V V V V i n ααααα+++==+∈=.注：○112112V V V V V ⋂⊆⊆+，12212V V V V V ⋂⊆⊆+.○2设W 是线性空间，且()W V I λλ⊆∈，那么IW V λλ∈⊆⋂.○3设1V W ⊆，2V W ⊆，W 是线性空间，那么12V V W +⊆.54.子空间的和有什么性质？答：1）1221V V V V +=+；2）()()123123V V V V V V ++=++； 3）下面三条等价（i ）12V V ⊆，(ii)121V V V ⋂=，（iii ）122V V V +=，55设1V ，2V 是V 的两个子空间，那么1V 2V =1V +2V 1V 2V 或2V 1V 。

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

第六章线性空间第一节映射∙代数运算1．（1）双射. （2）非单射也非满射. (3）非单射也非满射. （4）满射. 2．（1）由b a b gf a gf =⇒=)()(.（2）C c ∈∀，B b ∈∃使c b g =)(（因为g 为满射），对于b ，又A a ∈∃使b a f =)(（因为f 为满射），即c a gf=)(.3．由2知gf为双射，且C I g gff=--11，C I gf g f=--11，因此111)(---=g fgf .4.A b a ∈∀,，若)()(b f a f =，则)()(b gf a gf =，由b a I gf A =⇒=，故f为单射.B b a f A a ∈=∃∈∀)(,，使a a gf b g ==)()(.第二节线性空间的定义1. (1)，(2)不是线性空间；(3)，(4)，(5)，(6)是线性空间．2. 否．因为R i i ∉=⋅1．4. 设α为非零向量，F l k ∈∀,，当l k ≠时， ααl k ≠，因此V中含有无限个向量．5. 因为φ≠∈V )0,0(,显然⊕是V 上的代数运算，"" 为V V R →⨯的代数运算．且容易验证（１）——(8）条运算律均成立.6. 若在nF 中,通常的加法及如下定义的数量乘法: 0=⋅αk ．容易验证当0≠α时，αα≠=⋅01,但其余7条运算律均成立．第三节基维数坐标1. 提示：反证法．2.(1)一个基为),,2,1(n i E ij =,)(j i E E ji ij ≠+，维数为2)1(+n n ．(2)一个基为)(j i E E ji ij≠-，维数2)1(-n n ．(3)一个基为2，维数为1． (4)一个基2,,A A E ，维数为3．3. 易证n n n l ααααααα,,,,,,2121 +↔，由l 的任意性及当l k ≠时n n k l αααα+≠+11，可得结论．4.易知C x x x a x a x a xn n ),,,,1())(,,)(,,1(1212--=--- ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-------10)(100)(210)(133122112n n n n n n n a C a C a a a a C且01≠=C ．其坐标为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101n a a a C ． 5. (1))3,4,1,4(--． (2) )0,1,0,1(-．6. 22n 维．一个基为),,2,1,(,n j k i E E kj kj =．第四节基变换和坐标变换１.(1) 过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001100001000010 ．(2) 过渡矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000100001 k ．3. 非零向量=ξ),,,(k k k k -,F k ∈且0≠k .4. 易知C n n ),,,(),,,(2113221ααααααααα =+++，其中C 的行列式为1)1(1+-=+n C N k k n k n ∈⎩⎨⎧-===12,22,0．因此当n 为偶数时不为V 的基;当n 为奇数时为V的基．第五节线性子空间1. (1),(2)是nF 的子空间，(3)不是nF 的子空间． 2. (1) 一个基为1,12--x x ，维数为2．(2)一个基为421,,ααα，维数为3．3. (1)φ≠)(A C ，且)(,21A C B B ∈∀,易证AB B B B A )()(2121+=+,因此)(21A C B B ∈+，又Fk ∈∀,有A kB kB A )()(11=，所以n F kB ∈1，从而)(AC 是n F 子空间．(2)n n F A C ⨯=)(．(3) 一个基为),,2,1(n i E ii =，维数为n ．4. 只证3221,,αααα↔．5.若1dim >W ,必V ∈∃βα,,对F k ∈∀均有βαk ≠．令),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα且11kb a =,当2≥n 时至少有一个i使i ikb a ≠,于是βαk -的第一个分量为0,但是第i个分量不为0的向量，矛盾．6. 只证V ∈∃α，但1W ∉α且2W ∉α．由1W 为真子空间知，V ∈∃α但1W ∉α，若2W ∉α则结论成立．若2W ∈α，则由2W 为真子空间知V∈∃β但2W ∉β，若则结论成立．若1W ∈β则V ∈+βα但1W ∉+βα，且2W ∉+βα．第六节子空间的和与直和2．取V 的基n εεε,,,21 ，易证)()()(21n L L L V εεε⊕⊕⊕= ．3．显然21211W W W V ++=，设21211=++ααα，其中2211),2,1(,W i W i i ∈=∈αα，则)(21211=++ααα及21W W V ⊕=，可得0,021211==+ααα，再由12111W W W ⊕=知01211==αα，故21211W W W V ⊕⊕=．4.必要性∑-=⋂∈∀11i j ji i W W α，则∑-=∈11i j ji W α于是令121-+++=i i αααα 从而由000121=+++-+++- i i αααα及∑=ti iW 1为直和可知0=i α．充分性假设21=+++t ααα 中最后一个不为的是iα,即)1(,01>===+i t i αα ，则{}011121≠⋂∈----=∑-=-i j j i i i W W αααα 矛盾．5. 首先21W W Fn+=，其次2121),,,(W W a a a n ⋂∈=∀ α，由n a a a === 21及021=+++n a a a ，可知0=i a 即0=α．6.nF ∈∀α，由αααA E A +--=)(,易证21,)(W A W E A ∈∈--αα，故21W W +∈α，即21W W F n +⊆且n F W W ⊆+21，于是21W W F n +=．21W W +∈∀β,可得0=β,从而21W W F n ⊕=.7. 充分性n F X ∈∀，由X AE X X E X 22-++=，易证21W W Fn+⊆．且21W W ⋂∈∀α由 ⎝⎛=+=-0)(0)(ααE A E A ，可得0=α，故21W W F n ⊕=．必要性由21W W F n ⊕=可知，nF X ∈∀有21X X X +=，且由⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-21210)(0)(XX X X E A X E A ，可得X A E X X A E X 2,221-=+=．故0)(212)(2=-=+-X E A X A E E A ，由X 的任意性可知E A =2． 8. 余子空间为),(43εεL ，其中)1,0,0,0(),0,1,0,0(43==εε．9. 取W 的基r ααα,,,21 ,将其扩充成V 的基n r r ααααα,,,,,,121 +,取F k k L W n r r k ∈+=++),,,,(211αααα ，则k W 为W 的余子空间，且当l k ≠时，l k W W ≠．10.)3()2(),2()1(⇒⇒,显然．)4()3(⇒利用维数公式对t 用数学归纳法； )5()4(⇒只证i W 的基的联合是线性无关的即可； )1()5(⇒∑=∈∀ti iW 1α,设t t βββαααα+++=+++= 2121,其中ti W i i i ,,2,1,, =∈βα,令iiirir i i i i i b b b αααα+++= 2211,iiirir i i i i i c c c αααβ+++= 2211,其中iiri i ααα,,,21为iW 的基．由0)()()(2211=+++-+-t t βαβαβα 得0)()()()(111111*********=-++-++-++-t t t tr tr tr t t t r r r c b c b c b c b αααα于是0,,01111=-=-t t tr tr c b c b ，即t i i i ,,2,1, ==βα．第七节线性空间的同构2.R x ∈∀，令x x 2)(=σ即可．3. 二者维数相同．n m ij F a A ⨯∈∈∀)(,令),,,,,,,,()(2111211mn m m n a a a a a a A =σ4.112210)(--++++=∀n n x a x a x a a x f ，令),,,())((110-=n a a a x f σ．5. 基为4321,,,ββββ，维数为4．6. 基为D C B A ,,,，维数为4．7. 令b a V V →:σ， )()(()()(x h b x x h a x x f -→-=a V x h a x x f x h a x x f ∈-=-=∀)()()(),()()(2211,若)()()()(21x hb x x h b x -=-则)()(21x h x h =，从而)()(21x f x f =，即σ为单射．)()()(1x g b x x g -=∀，有)()()(1x g a x x f -=使)())((x g x f =σ，即σ为满射．a V x f x f ∈∀)(),(21及F l k ∈∀,，易证)()(),()()((22121x f l x f x f k x lf x kf σσσ+=+．补充题六1.),,,(21 ++n n n x x x L ．2. 设F 作为K 上的线性空间的维数为n ，其一个基为n e e e ,,,21 ，设E 作为F 上的线性空间的维数为m ，其一个基为n εεε,,,21 ，则{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε为E 作为K 上的线性空间的一个基．事实上，E ∈∀α，可设m i F b e b i ni i i ,,2,1,,1 =∈=∑=α．而F 是K 上的线性空间，可设n j m i K a a a a b ij n in i i i ,,2,1;,,2,1,,2211 ==∈+++=εεε．故∑∑===mi nj j i ij e a 11)(εα．令0)(11=∑∑==mi nj i j ije kε,n j m i K k ij ,,2,1;,,2,1, ==∈，则0))(11=∑∑==m i nj i j ij e k ε，故j nj ijkε∑=1，进而n j m i k ij ,,2,1;,,2,1,0 ===．故{}m j n i e j i ,,2,1;,,2,1| ==ε是其一个基．3. 设1V 的基为r εεε,,,21 ，将其扩充为V的基n r r εεεεε,,,,,,121 +，令),,(11n r L W εε +=,则11W V V⊕=，又令),,,(22112r n n r r L W -+++++=εεεεεε这里r r n ≤-,易证r εεε,,,21 ,r n n r r -+++++εεεεεε,,,2211 线性无关,从而21W V V ⊕=．设21W W ⋂∈α,则n n r r r n n n r r l l k k εεεεεεα++=++++=++-++ 11111)()(,得到01===+n r k k ，进而0=α，即{}021=⋂W W ．若2n r<上述问题不成立，用反证法，设2111W V W V V ⊕=⊕=，而{}021=⋂W W ，令n r r εεε,,,21 ++是1W 的基，''1,,n r εε +是2W 的基，则n r r εεε,,,21 ++,''1,,n r εε +线性无关．事实上,考察n n r r k k εε++++ 110''11=+++++nn r r l l εε 所以n n r r k k εε++++ 11{}021''11=⋂∈---=++W W l l nn r r εε 因此011=++++n n r r k k εε进而0,011====+=++n r n r l l k k ,而''11,,,,,n r n r εεεε ++共有)2(r n n r n r n -+=-+-个向量，因为2nr <，所以02,2>->r n r n ，故n r n r n >-+-，矛盾．4. 解设)(x m A 为A 的最小多项式,令)(x m A 的次数m ，则1,,,-m A A E线性无关，从而m W =dim .事实上，首先1,,,-m A A E线性无关，否则存在110,,-m k k k 不全为零，使01110=+++--m m A k A k E k ，而令0,011===≠-+m i ik k k ，即10,010-≤<=+++m i A k A k E k i i ，与)(x m A 为A 的最小多项式矛盾，从而它们线性无关． ][)(x P x f ∈∀，则存在)(),(x r x q ，使,)(deg 0)(),()()()(m x r or x r x r x q x m x f A <=+=故 )()(A r A f =即)(A f 可由 1,,,-m A A E 线性表示．故 1,,,-m A A E 为W 的基．5. 参考本章第五节练习题6．6. 证对用数学归纳法．当2=s 时，由上题知，结论成立；假定对1-s 个非平凡的子空间结论成立，即在V中存在向量α，使1,,2,1,-=∉s i V i α对第s 个子空间s V ，若s V ∉α，结论已对；若s V ∈α，则由于s V 为非平凡子空间，故存在s V ∉β．对任意数k ，向量s V k ∉+βα，且当21k k ≠时向量βαβα++21,k k 不属于同一个)11(-≤≤s i V i ．今取s 个互不相同的数s k k k ,,,21 ，则s 个向量βαβαβα+++s k k k ,,,21中至少有一个不属于任何121,,,-s V V V ，这样的向量即满足要求．7. 只证0=X AA T 与0=X A T 同解即可．8. 设012=X A 与012=X B 的解空间分别为1V 与2V ．1V ∈∀α，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααα2222222222121000A B A B A B A A ,故222V A ∈α．令αασ22:A →，易证σ是1V 到2V 的同构映射．9. 由维数公式)dim(dim )dim())dim((k j i k j i k j i W W W W W W W W W ++-++=⋂+得)dim ()dim (dim )dim (j i k j i k j i k W W W W W W W W d ⋂+++-++=)dim(dim dim dim k j i k j i W W W W W W ++-++=从而321d d d ==．10. 证设齐次方程组0=AX 的解空间为1W ，齐次方程组0=BX 的解空间为2W ．任取21W W ⋂∈α,则0,0==ααB A ,从而0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αB A ,由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B A C可逆,所以0=α,即{}021=+W W ,因此n F n W W dim )dim (21==+,且n F W W ⊆+21,因此21W W F n⊕=． 11. 证任取)(AB N X ∈，由n I BD AC =+，则 BDX ACX X +=由0)()(==ABX C ACX B ,所以)(B N A C X ∈,由)()(==ABX D BDX A ,所以)(A N B D X ∈,从而)()()(B N A N AB N +=．任取)()(B N A N X ⋂∈，则)(A N X ∈，从而)(,0NB X AX ∈=，从而0=BX ，于是0)()(=+=+=BX D AX C BDX ACX X 即)()()(B N A N AB N ⊕=．12. 证法同上题. 13. (1)证例如，取)1,,1,1( =α，则由α的一切倍数)(F k k ∈α作成的子空间W 中，每个非零向量0),,,,(≠=k k k k k α的分量都不是零．(2) 见习题6.5中的题5． 14. 证必要性显然；充分性设221121,,0V V ∈∈=+ββββ，则21ααα+=，由α的分解唯一可知021==ββ，故21V V +是直和． 15. 若n ααα,,,21 是V 作为C 上的线性空间的基，则n n i i ααααα,,,,,,121 是V作为R 上的线性空间的基．16. 若{}0=W ，则n n F A ⨯∈∀且0,0||=≠AX A 的解空间即为W ;若{}0≠W,且设r W =dim ,取其一个基r ααα,,,21 ,令r i in i i i ,,2,1),,,,(21 ==αααα则以n r ij a A ⨯=)(为系数矩阵的齐次方程组0=AX 的基础解系为r n -βββ,,,21 ，且令r n j b b b jn j j j -==,,2,1),,,,(21 β．则齐次方程组0=BY 的解空间为r 维，且r ααα,,,21 为其一个基础解系．即),,(21r L W ααα =，其中n r n ij b B ⨯-=)()(．17. 令121dim )dim(V t V V =+⋂,221dim )dim (V l V V =+⋂而1)dim ()dim (dim dim dim )dim (2121212121+⋂=+++=⋂-+=+V V t l V V V V V V V V于是1,01==⇒=+t l t l或者0,1==t l ．当0=l时，221V V V =⋂，此时12V V ⊆．当0=t时，121V V V =⋂，此时21V V ⊆．18. 取基为n n αααα,,,21 ++．19. 设A 为半正定的，故存在秩为r 的矩阵B ，使B B A '=，由此'S S =．其中{}|'==xAx x S{}|'1==Ax x S 此时构成线性空间，维数为r n -．设A 为半负定的，则A -为半正定的．令 {}0|'==xAx x S {}0|'1==Ax x S若A 不定，则存在可逆矩阵Q 使 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'qp E E QAQ 那么经过线性变换YQ X =,)(x f 化为221221'')(q p p p y y y y Y YQAQ x f ++---++==取1,111==+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(1 =x ,从而0)(1=x f ,取1,111=-=+p y y ，其它0=i y ，得)0,,0,1,0,,0,1(2 -=x ，从而0)(2=x f ，但是)0,,0,2,0,,0,0(21 =+x x ，04)(21≠-=+x x f ，所以此时不能构成线性空间．20. (1) 用定义直接验证; (2) 维数为n ,基:1,,,-n A A E ．。

线性空间与线性变换习题

定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为在变换T下的源(或象源), 称
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的.
3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.
定义: 设U, V是两个线性空间, 如果它们的元素之间有一一对应关系, 且这个对应关系保持线性组合的对应, 那末就称线性空间U与V同构.
结论1. 同一数域P上的同维数线性空间都同构; 结论2. 同构的线性空间之间具有等价性. 同构的意义: 在对抽象线性空间的讨论中, 无论构成线性空间的元素是什么, 其中的运算是如何定义的, 我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质. 从这个意义上可以说, 同构的线性空间是可以不加区别的, 而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.
而 1, x–1, (x–2)(x–1)P[x]2, 令
整理得
k1·1+k2(x–1)+k3(x–2)(x–1)=0 (k1–k2+2k3)+(k2–3k3)x +k3x2=0
比较等式两边得
k1
k2 k2
+

高等代数单元自测题6

高等代数单元自测题(第六章)姓名___________学号____________一. 选择题(20分)1. 把复数C 看作R 上的线性空间，这个空间的维数是( )A 、一维B 、二维C 、三维D 、四维2．设线性空间V 的向量组p βββ ,2,1可由向量组q ααα ,,21线性表出，则1β，,2βp β, 线性相关的充分条件是（）A ．p>q B.p=q C.p<q D. 互素3.设有的两个子空间(){},02,,3213211=+-=x x x x x x V (){},023,0,,321213212=+-=+=x x x x x x x x V 则子空间21V V ⋂的维数为( )A.一维B.二维C.三维D.零维4.设有3P 的两个子空间( )(){}(){},02,02,,,02,,312132123213211=+=+==-+=x x x x x x x V x x x x x x V则子空间21V V +的维数为( )A.一维B.二维C.三维D.零维5.线性空间[]3x P 的向量()256x x x f +-=在基1,()21,1--x x 下的坐标是( )A.(6,5,1)B.(1,-5,6)C.(1,-3,2)D.(2,-3,1)6. XOY 平面上向量的集合,对于通常的向量加法,数量乘法定义为k αα= 则它是( )A. Q 上的线性空间B. R 上的线性空间C. C 上的线性空间D. 不构成线性空间二．判断题:（２０分）1.设M,N 是两个集合,如果,N M N M ⋃=⋂，那么M=N.2.设V 是n 维线性空间，V n ∈ααα ,,21且V 中的任一向量均可由nααα ,,21线性表出，则n ααα ,,21是V 的一组基3．设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么21V V ⋃也是V 的子空间。

4．设4321,,αααα是空间V 的一组线性无关向量，则()()().,,,,43214321ααααααααL L L +=5．设21,V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，且维（V ）=维()1V +维()2V ，则21V V ⊕（⊕表示直和）。

第六章线性空间自测练习

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第六章线性空间练习题参考答案

第六章 线性空间 习题答案

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线性代数同步练习册第六章

线性代数习题答案 第六章

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(完整版)b第六章_线性空间测试题

高等代数第六章自测题

线性空间测试题及答案

线性代数同步练习册第六章+答案

第六章线性空间自测练习

第6章线性空间(解答题)(65题)

高等代数课后习题答案(山东大学出版社第二版)第六章线性空间

线性空间与线性变换习题

高等代数单元自测题6

第六章线性空间习题答案

线性代数习题答案第六章