求空间角的常用方法

求空间角的常用方法（两课时）

张一生

1.定义法————根据定义，把空间角转化为平面角求解.

例1.如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；

（Ⅱ）求二面角B AP C --的正弦值大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．

[

3

] 例2. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，

60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ；

（Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值大小．

2.选点平移法——选择适当的点，通过作平行线，构造出所要求的空间角.

例3.如图，在四棱锥P-ABCD 中，则面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱P A =PD

＝

，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥

AD ,AD =2AB =2BC =2,O 为AD 中点. （Ⅰ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求异面直线PD 与CD 所成角的正切值；（Ⅲ）线段AD 上是否存在点Q ，使得它到平面PCD

的距离为

AQ QD 的值；若不存在，请说明理由.

3.垂线法————当已知条件中出现二面角中一个半平面内一点到另一个半平面垂线时（或虽未给出这样的垂线，但由已知条件能作出这样的线），可依据三垂线定理或其逆定理作出它的平面角，然后再求解.

例4．如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点

E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ；（Ⅱ）求二面角1A DE B --的正切．

A

B

D

P

A

C

D

P

E

A

B C

D E A 1

B 1

C 1

D 1

F

H G

例5. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面P AB ;（Ⅱ）求平面P AD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的正弦值.

例6.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． （Ⅰ）求证：1AB ⊥平面1A BD ； （Ⅱ）求二面角1A A D B --的正弦．

4.垂面法————在求解二面角的问题中，若能找到或者作出棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.

例7. 如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC

平面⊥PA ABCD,32,2,3===AB AD PA ,BC =6.求二面角A BD P --的大小.

例8.如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==，（1）求证：1,,,E B F D 四点共面；（2）若点G 在BC 上，2

3

BG =

，点M 在1BB 上，

GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥面11BCC B ；（3）用θ表示截面1EBFD 和面11BCC B 所成锐二面角大小，求tan θ.

1

D

1

A

A

B

C

D

1

C 1

B

M

E

F H

G

A

B C D

1

A 1

C

1

B

O F

G