【高中数学】2018-2019学年度最新苏教版高中数学苏教版选修2-1学案：3章末复习提升
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.2 共面向量定理
3．1.2 共面向量定理[对应学生用书P50]如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，观察下列几组向量，回答问题．问题1：AB 、AD 、11A C 可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为AC ＝11A C ，三个向量可移到平面ABCD 内． 问题2：1AA ，AC ，1AC 三个向量的位置关系？ 提示：三个向量都在平面ACC 1A 1内．问题3：1BB 、1CC 、1DD 三个向量是什么关系？ 提示：相等．1．共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .1．空间中任意两个向量都是共面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面． 2．向量共面不具有传递性．3．共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据．[对应学生用书P51][例1]给出以下命题：①用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；②已知空间四边形ABCD，则由四条线段AB、BC、CD、DA分别确定的四个向量之和为零向量；③若存在有序实数组(x，y)使得OP＝x OA＋y OB，则O、P、A、B四点共面；④若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；⑤若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量共面．其中正确命题的序号是________．[思路点拨]先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断．[精解详析]①错：空间中任意两个向量都是共面的；②错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；③正确：因为OP、OA、OB共面，∴O、P、A、B四点共面；④错：没有强调零向量；⑤错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量．[答案]③[一点通]共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内．判定向量共面的主要依据是共面向量定理．1．下列说法正确的是________(填序号)．①以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；②设平行六面体的三条棱是AB、1AA、AD，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB＋1AA＋AD；③若OP＝12(PA＋PB)成立，则P点一定是线段AB的中点；④在空间中，若向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共面．⑤若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线所确定的平面与由b，c所在直线确定的平面是同一个平面．解析：①②③⑤不正确，④正确．答案：④2．已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b ＋22c，试问向量p、q、r是否共面？解：设r ＝x p ＋y q ，则－7a ＋18b ＋22c ＝x (a ＋b －c )＋y (2a －3b －5c ) ＝(x ＋2y )a ＋(x －3y )b ＋(－x －5y )c ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝－7，x －3y ＝18，－x －5y ＝22.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－5，∴r ＝3p －5q . ∴p 、q 、r 共面.[例2] 如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1.证明：1AC 与AE 、AF 共面．[思路点拨] 由共面向量定理，只要用AE 、AF 线性表示出1AC 即可． [精解详析] ∵1AC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋AD ＋131AA ＋231AA＝(AB ＋131AA )＋(AD ＋231AA )＝AB ＋BE ＋AD ＋DF ＝AE ＋AF ，∴1AC 与AE 、AF 共面．[一点通] 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数x ，y 使向量1AC ＝x AE ＋y AF 成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AE 、AF 表示1AC .3．如图，正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1和A 1D 1的中点．证明：向量1A B ，1B C ，EF 是共面向量．证明：法一：EF ＝EB ＋1BA ＋1A F ＝121B B －1A B ＋1211A D ＝12(1B B ＋BC －1A B＝121B C －1A B . 由向量共面的充要条件知，1A B ，1B C ，EF 是共面向量．法二：连接A1D ，BD ，取A 1D 中点G ，连结FG ，BG ，则有FG 綊12DD 1，BE 綊12DD 1，∴FG 綊BE .∴四边形BEFG 为平行四边形． ∴EF ∥BG .BG ⊆平面A 1BD ，EF 平面A 1BD∴EF ∥平面A 1BD .同理，B 1C ∥A 1D ，∴B 1C ∥平面A 1BD ， ∴1A B ，1B C ，EF 都与平面A 1BD 平行． ∴1A B ，1B C ，EF 是共面向量．4．已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM ＝k 1AC ，BN ＝k BC (0≤k ≤1)．求证：MN 与向量AB ，1AA 共面．证明： 如图，在封闭四边形MABN 中，MN ＝MA ＋AB ＋BN .① 在封闭四边形MC 1CN 中，MN ＝1MC ＋1C C ＋CN ②∵AM ＝k 1AC ， ∴AM ＝k (AM ＋1MC )∴(1－k )AM ＝k 1MC ，即(1－k )MA ＋k 1MC ＝0， 同理(1－k )BN ＋k CN ＝0.①×(1－k )＋②×k 得MN ＝(1－k )AB ＋k 1C C ， ∵1C C ＝－1AA ，∴MN ＝(1－k )AB －k 1AA ， 故向量MN 与向量AB ，1AA 共面.[例3] 如图所示，已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面； (2)用向量法证明BD ∥平面EFGH .[思路点拨] (1)要证E ，F ，G ，H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数x ，y ，使EG ＝x EF ＋y EH 即可．(2)要证BD ∥平面EFGH ，只需证向量BD 与向量FH 、EG 共面即可． [精解详析] (1)如图所示，连接BG ，EG ，则：EG ＝EB ＋BG ＝EB ＋12(BC ＋BD )＝EB ＋BF ＋EH ＝EF ＋EH . 由共面向量定理知E ，F ，G ，H 四点共面． (2)设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ， 则BD ＝AD －AB ＝c －a .EG ＝EA ＋AG ＝－a 2＋12(c ＋b )＝－12a ＋12b ＋12c ， HF ＝HA ＋AF ＝－12c ＋12(a ＋b )＝12a ＋12b －12c .假设存在x ，y ，使BD ＝x EG ＋y HF . 即c －a ＝x ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ＋y ⎝⎛⎭⎫12a ＋12b －12c ＝⎝⎛⎭⎫y 2－x 2a ＋⎝⎛⎭⎫x 2＋y 2b ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2c . ∵a ，b ，c 不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x2＝－1，x 2＋y2＝0，x 2－y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.∴BD ＝EG －HF .∴BD 、EG 、HF 是共面向量， ∵BD 不在平面EFGH 内． ∴BD ∥平面EFGH . [一点通]1．空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在实数对x 、y ，使MP ＝x MA ＋y MB .满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式，这个充要条件常用来证明四点共面．在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x ，y ，z )使得对于空间任意一点O ，有OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，且x ＋y ＋z ＝1成立，则P 、A 、B 、C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．2．用共面向量定理证明线面平行的关键是： (1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量； (3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可．5．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C ∥平面ODC 1.证明：设11C B ＝a ，11C D ＝b ，1C C ＝c ，则1B C ＝c －a ，又O 是B 1D 1的中点，所以1OD ＝1211B D ＝12(b －a )．因为D 1D 綊C 1C ，所以1D D ＝c ，OD ＝1OD ＋1D D ＝12(b －a )＋c .1OC ＝－12(a ＋b )，假设存在实数x ，y ，使1B C ＝x OD ＋y 1OC ，所以c －a ＝x ⎣⎡⎦⎤12(b －a )＋c －y ·12(a ＋b ) ＝－12(x ＋y )a ＋x c ＋⎝⎛⎭⎫x 2－y 2b ，且a ，b ，c 不共线， 所以x ＝1，12(x ＋y )＝1，且x －y 2＝0，即x ＝1，y ＝1.所以1B C ＝OD ＋1OC ，所以1B C ，OD ，1OC 是共面向量，又因为1B C 不在OD ，1OC 所确定的平面ODC 1内，所以B 1C ∥平面ODC 1.6．如图，已知P 是平面四边形ABCD 所在平面外一点，连结P A 、PB 、PC 、PD ，点E 、F 、G 、H 分别为△P AB 、△PBC 、△PCD 、△PDA 的重心．求证：E 、F 、G 、H 四点共面．证明：分别延长PE 、PF 、PG 、PH 交平面四边形ABCD 各边于M 、N 、Q 、R . ∵E 、F 、G 、H 分别是所在三角形的重心，∴M 、N 、Q 、R 为所在边的中点，顺次连结M 、N 、Q 、R 所得四边形为平行四边形，且有PE ＝23PM ，PF ＝23PN ，PG ＝23PQ ，PH ＝23PR .∵MNQR 为平行四边形，∴EG ＝PG －PE ＝23PQ －23PM ＝23MQ＝23(MN ＋MR ) ＝23(PN －PM )＋23(PR －PM ) ＝23·⎝⎛⎭⎫32 PF －32 PF ＋23⎝⎛⎭⎫32 PH －32 PF ＝EF ＋EH .∴由共面向量定理得E 、F 、G 、H 四点共面．向量e 1，e 2，e 3共面⇔存在三个不全为0的实数λ，μ，γ，使得λe 1＋μe 2＋γe 3＝0. 若e 1，e 2，e 3是不共面的三个向量，且λe 1＋μe 2＋γe 3＝0(其中λ，μ，γ∈R )，则λ＝μ＝γ＝0.空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对x ，y ，使MP ＝x MA ＋y MB .[对应课时跟踪训练(十九)]1．下列结论中，正确的是________(填序号)． ①若a 、b 、c 共面，则存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ； ②若a 、b 、c 不共面，则不存在实数x ，y ，使a ＝x b ＋y c ；③若a 、b 、c 共面，b 、c 不共线，则存在实数x 、y ，使a ＝x b ＋y c .解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件．所以第②个命题正确．但定理的应用又有一个前提：b 、c 是不共线向量，否则即使三个向量a 、b 、c 共面，也不一定具有线性关系，故①不正确，③正确．答案：②③2．已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量OP ＝15OA ＋23OB ＋λOC 确定的点P 与A ，B ，C 共面，那么λ＝________.解析：∵P 与A ，B ，C 共面， ∴AP ＝αAB ＋βAC ，∴AP ＝α(OB －OA )＋β(OC －OA )， 即OP ＝OA ＋αOB －αOA ＋βOC －βOA ＝(1－α－β)OA ＋αOB ＋βOC ， ∴1－α－β＋α＋β＝1. 因此15＋23＋λ＝1.解得λ＝215.答案：2153．如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1，若EF ＝x AB ＋y AD ＋zAA 1，则x ＋y ＋z ＝________.解析：EF ＝AF －AE＝AD ＋DF －(AB ＋BE )＝AD ＋231DD －AB －131BB＝AD －AB ＋131AA∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13.∴x ＋y ＋z ＝13.答案：134．i ，j ，k 是三个不共面的向量，AB ＝i －2j ＋2k ，BC ＝2i ＋j －3k ，CD ＝λi ＋3j －5k ，且A 、B 、C 、D 四点共面，则λ的值为________．解析：若A 、B 、C 、D 四点共面，则向量AB 、BC 、CD 共面，故存在不全为零的实数a ，b ，c ，使得a AB ＋b BC ＋c CD ＝0.即a (i －2j ＋2k )＋b (2i ＋j －3k )＋c (λi ＋3j －5k )＝0. ∴(a ＋2b ＋λc )i ＋(－2a ＋b ＋3c )j ＋(2a －3b －5c )k ＝0. ∵i ，j ，k 不共面， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋λc ＝0，－2a ＋b ＋3c ＝0，2a －3b －5c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝－c ，λ＝1.答案：15．命题：若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部是________命题(填“真”或“假”)．解析：AM ＝OM －OA ＝－23OA ＋13OB ＋13OC＝13(OB －OA )＋13(OC －OA )＝13(AB ＋AC )． 令BC 中点为D ，则AM ＝23AD ，∴点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部，故命题为真命题．答案：真6．已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点O 满足OM ＝13OA ＋13OB ＋13OC .判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面．解：(1)由已知得OA ＋OB ＋OC ＝3OM ， ∴OA －OM ＝(OM －OB )＋(OM －OC )， 即MA ＝BM ＋CM ＝－MB －MC ， ∴MA ，MB ，MC 共面．7．若e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量，试问向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面，并说明理由．解：法一：令x (3e 1＋2e 2＋e 3)＋y (－e 1＋e 2＋3e 3)＋z (2e 1－e 2－4e 3)＝0，亦即(3x －y ＋2z )e 1＋(2x ＋y －z )e 2＋(x ＋3y －4z )e 3＝0， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面的向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2z ＝0，2x ＋y －z ＝0，x ＋3y －4z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝7，z ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，a ，b ，c 三个向量共面． 法二：令存在λ，μ，使a ＝λb ＋μ c 成立，即3e 1＋2e 2＋e 3＝λ(－e 1＋e 2＋3e 3)＋μ(2e 1－e 2－4e 3)， 因为e 1，e 2，e 3是三个不共面向量， 所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋2μ，2＝λ－μ，1＝3λ－4μ.解这个方程组得λ＝7，μ＝5，从而a ＝7b ＋5c ，即a ，b ，c 三向量共面．8．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，AB ＝2EF ，H 为BC 的中点．求证：FH ∥平面EDB .证明：因为H 为BC 的中点，所以FH ＝12(FB ＋FC )＝12(FE ＋EB ＋FE ＋ED ＋DC )＝12(2FE ＋EB ＋ED ＋DC )．因为EF ∥AB ，CD 綊AB ，且AB ＝2EF ， 所以2FE ＋DC ＝0，所以FH ＝12(EB ＋ED )＝12EB ＋12ED .又EB 与ED 不共线，根据向量共面的充要条件可知FH ，EB ，ED 共面．由于FH 不在平面EDB 内， 所以FH ∥平面EDB。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.1
§2.6 曲线与方程2.6.1 曲线与方程学习目标 1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点 曲线与方程的概念思考 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案 y ＝±x .在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M 的坐标(x 0，y 0)满足y 0＝x 0或y 0＝－x 0，即(x 0，y 0)是方程y ＝±x 的解；反之，如果(x 0，y 0)是方程y ＝x 或y ＝－x 的解，那么以(x 0，y 0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．梳理 如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解(条件①，即纯粹性)，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上(条件②，即完备性)，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．特别提醒：(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C 的点集和方程f (x ，y )＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x ，y )建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．1．过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝3.(√)2．到y 轴距离为2的点的直线方程x ＝－2.(×)3．方程＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线．(×)xy －2类型一 曲线与方程的概念例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是________．(填序号)①方程f(x，y)＝0的曲线是C；②方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C；③f(x，y)＝0是曲线C的方程；④以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．答案 ②解析 不论方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，还是曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以①，③，④错误．反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．跟踪训练1 设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，给出下列命题：①坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上；②曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0；③坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；④一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0.其中判断正确的是________．(填序号)答案 ④解析 “坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故①③错，②显然错．类型二 点与曲线的位置关系例2 方程(x－4y－12)[(－3)＋log2(x＋2y)]＝0表示的曲线经过点A(0，－3)，B(0,4)，C，D (8,0)中的________个．(53，－74)答案 2解析 由对数的真数大于0，得x ＋2y ＞0，∴A (0，－3)，C 不符合要求；(53，－74)将B (0,4)代入方程检验，符合要求；将D (8,0)代入方程检验，符合要求．反思与感悟 点与实数解建立了如下关系：C 上的点(x 0，y 0)??f (x ，y )＝0的解，曲线上的点的坐标都是这个方程的解，因此要判断点是否在曲线上只需验证该点是否满足方程即可．跟踪训练2 证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x 2＋y 2＝25，并判断点M 1(3，－4)，M 2(－2，2)是否在这个圆上．5解 (1)设M (x 0，y 0)是圆上任意一点，因为点M 到原点的距离等于5，所以＝5，也x 20＋y 20就是x ＋y ＝25，即(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解．2020(2)设(x 0，y 0)是方程x 2＋y 2＝25的解，那么x ＋y ＝25，两边开方取算术平方根，得2020＝5，即点M (x 0，y 0)到原点的距离等于5，点M (x 0，y 0)是这个圆上的点．x 20＋y 20由(1)，(2)可知，x 2＋y 2＝25是圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程．把点M 1(3，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边相等，(3，－4)是方程的解，所以点M 1在这个圆上；把点M 2(－2，2)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，左右两边不等，5(－2，2)不是方程的解，所以点M 2不在这个圆上．5类型三 曲线与方程关系的应用例3 判断下列结论的正误，并说明理由．(1)到x 轴距离为4的点的直线方程为y ＝－4；(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(3)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为x ＝0.解 (1)因到x 轴距离为4的点的直线方程还有一个y ＝4，即不具备完备性．所以结论错误．(2)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1.所以所给问题不具备完备性．所以结论错误．(3)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)，所以所给问题不具备纯粹性．所以结论错误．反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．跟踪训练3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )(a ∈R )，求k 的取值范围．解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )，∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－22＋.(a ＋12)12∴k ≤，12∴k 的取值范围是.(－∞，12]1．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么下列说法正确的是________．(填序号)①曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0；②凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上；③不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0；④不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0.答案 ③2．已知方程＋＝1，下列所给的点在此方程表示的曲线上的为________．(填序号)9(x －1)2y 24①(－2,0) ②(1,2) ③(4,0) ④(3,1)答案 ①③解析 将点(－2,0)和(4,0)代入方程后成立，而②，④代入后方程不成立，故只有①③符合题意．3．若点M 在方程x 2＋(y －1)2＝10所表示的曲线上，则实数m ＝________.(m2，－m )答案 －或2185解析 依题意得2＋(－m －1)2＝10，(m2)解得m ＝2或m ＝－.185所以m 的值为2或－.1854．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形为________．答案 两条相交直线解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．1．判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．2．已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．一、填空题1．方程y ＝3x －2 (x ≥1)表示的曲线为________．(填序号)①一条直线②一条射线③一条线段④不能确定答案 ②解析 方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．曲线C的方程为y＝2x－1(1<x<5)，则下列四个点中在曲线C上的是________．(填序号)① (0,0) ②(7,15) ③(2,3) ④(4,4)答案 ③解析 由y＝2x－1(1<x<5)得①，②的横坐标不满足题意，④中坐标代入后不满足方程，故只有③符合题意．3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线所围成的平面图形的面积为________．答案 2解析 由题得该曲线所围成平面图形如下图所示，故其面积为2.4．下列方程对应的曲线是同一条曲线的是________．(填序号)x23x3①y＝a log a x；②y＝；③y＝log a a x；④y＝.答案 ③④3x3解析 由y＝log a a x＝x，y＝＝x，得③④表示同一条曲线．y－25．方程(x－1)2＋＝0表示的是____________．答案 点(1,2)y－2y－2解析 由(x－1)2＋＝0，知(x－1)2＝0，且＝0，即x＝1且y＝2，所以(x－1)2＋＝0表示的是点(1,2)．y－26．若点M到两坐标轴的距离的积为2016，则点M的轨迹方程是________．答案 xy＝±2016解析 设M(x，y)，则由题意得|x|·|y|＝2016，所以xy＝±2016.7．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，则“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案 必要不充分解析 由(kx＋1)2＝4x，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0，则当k ≠0时，Δ＝[2(k －2)]2－4k 2＝16(1－k )>0，得k <1且k ≠0，故“k ≠0”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的必要不充分条件．8．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆＋＝1有一个公共点，则k 的值为________．x 216y 24答案 ±54解析 联立方程组Error!消去y 并整理，得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)＝0，即k ＝±时，直线与椭圆有一个公共点．549．如果曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，有以下说法：①曲线C 的方程是F (x ，y )＝0；②方程F (x ，y )＝0的曲线是C ；③坐标满足方程F (x ，y )＝0的点在曲线C 上；④坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．其中正确的是________．(填序号)答案 ④10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，若动点P 满足PA ＝2PB ，则点P 的轨迹所围的面积为________．答案 4π解析 设P (x ，y )，∵PA ＝2PB ，∴(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，∴(x －2)2＋y 2＝4.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，∴所围成的面积S ＝π·22＝4π.11．下列命题正确的是________．(填序号)①△ABC 的顶点坐标分别为A (0,3)，B (－2,0)，C (2,0)，则中线AO 的方程是x ＝0；②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0.答案 ③解析 对照曲线和方程的概念，①中“中线AO 的方程是x ＝0 (0≤y ≤3)”；而②中，动点的轨迹方程为|y |＝5.从而只有③是正确的．二、解答题12．已知曲线C 的方程为x ＝，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围4－y 2成的图形的面积．解 由x ＝，得x 2＋y 2＝4.4－y 2又x ≥0，∴方程x ＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C4－y 2与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝π·4＝2π.12所以所求图形的面积为2π.13．已知两曲线f (x ，y )＝0与g (x ，y )＝0的一个交点为P (x 0，y 0)．求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．证明 因为P (x 0，y 0)是两曲线的交点，所以点P 的坐标既满足方程f (x ，y )＝0，又满足方程g (x ，y )＝0，即f (x 0，y 0)＝0且g (x 0，y 0)＝0，故f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0，所以P (x 0，y 0)的坐标是方程f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的解，故点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R )上．三、探究与拓展14．已知方程①x －y ＝0；②－＝0；③x 2－y 2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的x y xy 第一、三象限的角平分线C 的方程的序号是________．答案 ①解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程－＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x 2－y 2＝0，但它不在曲线C 上；④不x y 正确．如点(0,0)在曲线C 上，但其坐标不满足方程＝1.xy 15．方程(2x ＋3y －5)(－1)＝0表示的曲线是什么？x －3解 因为(2x ＋3y －5)(－1)＝0，x －3所以可得Error!或者－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为x －3一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)和一条直线x ＝4.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.4 空间向量的坐标表示含答案解析
3．1.4空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标． (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57][例1] 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点． ∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同， 则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)． 又∵DF ＝e 2， ∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB .又|1OO |＝4，|OA |＝4，|OB |＝2， ∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA .又|OB |＝2，|OA |＝4，|1AA |＝4， ∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标． 解：由已知p ＝2a ＋3b －c ， 设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c ) ＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c . 由向量分解的惟一性， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1.∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).[例2] 已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)， 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似． [精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)． a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． 3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4) ＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)． 求：(1)a －(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)． (2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4) ＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP ＝2(AB －AC )； (2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝CB ＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)， ∴OP ＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)， ∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)， 又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)， ∴AB －DC ＝(9,8，－3)， ∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2).[例3] 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥CD 且AD 不平行BC ，或证AB ∥CD 且|AB |≠|CD |即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD ＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与CD 共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行． ∴四边形ABCD 为梯形． [一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是： (1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)写出相应向量的坐标； (3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值． 解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2) ＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k －7，∴k ＝－13.7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)． ∵P A ＝2P A 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23＝RS .∴PQ ∥RS . ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标； (4)结合公式进行论证、计算； (5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ， 故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________. 解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)， 又∵a ∥b ，显然y ≠0， ∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32.答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝⎛⎭⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73)6．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．所以可设AD ＝e 1，解：如图，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz . 因为DC ＝AB ＝e 2，MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3.所以MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使： (1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点， ∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)． 由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.∴λ＝12.此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.2.1 椭圆的标准方程》13
《椭圆的标准方程》教学设计
课题：椭圆的标准方程
教材：普通高中课程标准实验教科书（苏教版）选修2-1 第二章授课教师：夏晔丰城市第三中学
一、教学目标：
1．知识与技能目标：
（1）掌握椭圆定义和标准方程。
（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题。
2．过程与方法目标：
（1）让学生在椭圆定义的归纳和标准方程的推导过程中，体会探索的乐趣。
（2）培养学生发现规律、寻求规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力。
（3）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合、化归等思想和方法
3．情感态度与价值观目标：
（1）通过椭圆定义的获得培养学生对数学的兴趣，通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”。
（2）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。
二、教学重点、难点：
1．重点：椭圆定义及其标准方程
2．难点：椭圆标准方程的推导
三、教学过程。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第2章 2.2 2.2.1 椭圆的标准方程含解析
2．2椭__圆2．2.1 椭圆的标准方程[对应学生用书P20]在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)．问题1：若动点P 满足PA ＋PB ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x ，y 满足的关系式是什么？提示：由两点间距离公式得＋＝6，(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2化简得＋＝1.x 29y 25问题2：若动点P 满足PC ＋PD ＝6，设P 的坐标为(x ，y )，则x 、y 满足什么关系？提示：由两点间距离公式得＋＝6， x 2＋(y －2)2x 2＋(y ＋2)2化简得＋＝1.y 29x 25椭圆的标准方程焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准方程＋＝1(a ＞b ＞0)x 2a 2y 2b 2＋＝1(a ＞b ＞0)y 2a 2x 2b 2焦点坐标(±c,0)(0，±c )a 、b 、c 的关系c 2＝a 2－b 21．标准方程中的两个参数a 和b ，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．a ，b ，c 三者之间a 最大，b ，c 大小不确定，且满足a 2＝b 2＋c 2.2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在x 轴上时，含x 项的分母大；当椭圆焦点在y 轴上时，含y 项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意a >b >0这个条件．[对应学生用书P20]待定系数法求椭圆标准方程[例1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，－)，；2(－1，142)(2)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同的焦点．35y 225x 29[思路点拨] (1)由于椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(其中A >0，B >0，A ≠B )，直接求A ，B .(2)求出焦点，然后设出相应方程，将点(，－)代入，即可求出a ，b ，则标准方程易得．35[精解详析] (1)法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2由已知条件得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2由已知条件得Error!解得Error!即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－)，2(－1，142)代入，得Error!解得Error!所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.x 28y 24(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，y 225x 29所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.①又点(，－)在椭圆上，所以＋＝1，35(－5)2a 2(\r(3))2b 2即＋＝1.②5a 23b2由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 220x 24[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)经过两点P ，Q .(13，13)(0，－12)解：(1)由已知得：c ＝4，a ＝5.b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故所求椭圆方程为＋＝1.x 225y 29(2)设椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1.(A >0，B >0，A ≠B )由已知得，Error!解得：Error!故所求椭圆方程为＋＝1.y 214x 2152．求适合下列条件的椭圆的方程．(1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴Error!∴Error!故所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1.x 24(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵P (0，－10)在椭圆上，∴a ＝10.又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于2，∴－c －(－10)＝2，故c ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝36，∴所求椭圆的标准方程是＋＝1.y 2100x 236椭圆标准方程的讨论[例2] 已知方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)表示椭圆．(1)若椭圆的焦点在x 轴上，求α的取值范围．(2)若椭圆的焦点在y 轴上，求α的取值范围．[思路点拨] (1)已知的方程不是椭圆的标准形式，应先化成标准方程．(2)对于椭圆方程＋＝1(m >0，n >0，m ≠n )可由m ，n 的大小确定椭圆焦点的位置，x 2m y 2n 列出三角不等式后求α的范围．[精解详析] 将椭圆方程x 2·sin α－y 2·cos α＝1(0≤α≤2π)化为标准形式为＋x 21sin αy 21－cos α＝1(0≤α≤2π)．(1)若方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则>－>0，即Error!1sin α1cos α所以π<α<π.即α的取值范围是.34(3π4，2π)(2)若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则－>>0，即Error!1cos α1sin α所以<α<.即α的取值范围是.π23π4(π2，3π4)[一点通] 对于讨论椭圆方程中参数的取值范围问题，一般的解题方法是根据题设条件给出的焦点位置，结合对应的标准方程应满足的条件，建立一个含参数的不等式组，通过求解不等式组得到参数的取值范围．3．如果方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．x 2a 2y 2a ＋6解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以Error!即Error!解得a >3或－6<a <－2.答案：(3，＋∞)∪(－6，－2)4．已知方程＋＝－1表示椭圆，求k 的取值范围．x 2k －5y 23－k解：方程＋＝－1可化为＋＝1，由椭圆的标准方程可得Error!x 2k －5y 23－k x 25－k y 2k －3得3<k <5，且k ≠4.所以满足条件的k 的取值范围是{k |3<k <5，且k ≠4}.椭圆的定义及标准方程的应用[例3] 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P 在第二象限，x 24y 23且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 根据椭圆的标准方程知PF 1＋PF 2＝4，结合面积公式和余弦定理找到PF 1和PF 2的关系求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝，3所以c ＝＝＝1，a 2－b 24－3F 1F 2＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得PF ＝PF ＋F 1F －2PF 1·F 1F 2cos 120°，2212即PF ＝PF ＋4＋2PF 1.①221由椭圆定义，得PF 1＋PF 2＝4，即PF 2＝4－PF 1.②②代入①解得PF 1＝.65∴S △PF 1F 2＝PF 1·F 1F 2·sin 120°12＝××2×＝，126532335即△PF 1F 2的面积是.3 35[一点通] 在椭圆中，由三条线段PF 1，PF 2，F 1F 2围成的三角形称为椭圆的焦点三角形．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出PF 1＋PF 2＝2a ，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．5．已知两定点F 1(－1,0)、F 2(1,0)，且F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴F 1F 2＝2.∵F 1F 2是PF 1与PF 2的等差中项，∴2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，即PF 1＋PF 2＝4，∴点P 在以F 1，F 2为焦点的椭圆上，∵2a ＝4，a ＝2，c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的方程是＋＝1.x 24y 23答案：＋＝1x 24y 236．设F 1，F 2是椭圆＋＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△x 29y 24F 1PF 2的面积等于________．解析：由＋＝1，得a ＝3，b ＝2，x 29y 24∴c 2＝a 2－b 2＝5.∴c ＝.∴F 1F 2＝2 .55由Error!得Error!∴PF ＋PF ＝F 1F .2122∴△F 1PF 2为直角三角形．∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2＝4.12答案：47．如图，已知F 1，F 2是椭圆＋＝1的两个焦点．x 2100y 236(1)若椭圆上一点P 到焦点F 1的距离等于15，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是多少？(2)过F 1作直线与椭圆交于A ，B 两点，试求△ABF 2的周长．解：由椭圆的标准方程可知a 2＝100，所以a ＝10.(1)由椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝20，又PF 1＝15，所以PF 2＝20－15＝5，即点P 到焦点F 2的距离为5.(2)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋BF 1)＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)．由椭圆的定义可知AF 1＋AF 2＝2a ，BF 1＋BF 2＝2a ，故AB ＋AF 2＋BF 2＝4a ＝40.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．[对应课时跟踪训练(八)] 1．若椭圆＋＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为x 225y 29________．解析：由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.答案：52．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是________．解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝，b 2＝，所以c 2＝a 2－x 2125y 2116116125b 2＝－＝，故c ＝.所以该椭圆的焦点坐标为.1161259400320(0，±320)答案：(0，±320)3．已知方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1是焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．解析：方程(k 2－1)x 2＋3y 2＝1可化为＋＝1.x 21k 2－1y 213由椭圆焦点在y 轴上，得Error!解之得k >2或k <－2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 1，F 2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋x 225y 29|F 2B |＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|BF 2|＋|AF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：85．已知P 为椭圆＋＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2x 2254y 275的面积为________．解析：在△F 1PF 2中，F 1F ＝PF ＋PF －2PF 1·PF 2cos 60°，2212即25＝PF ＋PF －PF 1·PF 2.①212由椭圆的定义，得10＝PF 1＋PF 2.②由①②，得PF 1·PF 2＝25，∴S △F 1PF 2＝PF 1·PF 2sin 60°＝.1225 34答案：25 346．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)以(0,5)和(0，－5)为焦点，且椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；(2)以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过M (2，)．6解：(1)∵椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a >b >0)．y 2a 2x 2b 2∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5.∴b 2＝a 2－c 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 2169x 2144(2)法一：由9x 2＋5y 2＝45，得＋＝1，c 2＝9－5＝4，y 29x 25所以其焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a ＞b ＞0)．y 2a 2x 2b 2由点M (2，)在椭圆上，所以MF 1＋MF 2＝2a ，6即2a ＝＋＝4，(2－0)2＋(\r(6)－2)2(2－0)2＋(\r(6)＋2)23所以a ＝2，3又c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝8，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 212x 28法二：由法一知，椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点坐标为F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，y 2λ＋4x 2λ将M (2，)代入，得＋＝1(λ＞0)，66λ＋44λ解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.y 212x 287．如图，设点P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是点P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且MD ＝PD ，当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程．45解：设M 点的坐标为(x ，y )，P 点的坐标为(x P ，y P )，由已知易得Error!∵P 在圆上，∴x 2＋(y )2＝25.54即轨迹C 的方程为＋＝1.x 225y 2168．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 的半径为r ，则|MA |＝r ，|MB |＝8－r ，∴|MA |＋|MB |＝8，且8>|AB |＝6，∴动点M 的轨迹是椭圆，且焦点分别是A (－3,0)，B (3,0)，且2a ＝8，∴a ＝4，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M 的轨迹方程是＋＝1.x 216y 27。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版第2章 圆锥曲线与方程 §2.1 Word版含答案
§圆锥曲线学习目标.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点，处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案＋是常数(大于)．梳理平面内到两个定点，的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做焦点椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点或，拉开或闭拢拉链，拉链头经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考图中动点的几何性质是什么？答案－为一个正常数．思考若－＝，则动点的轨迹是什么？答案以为端点，向右边延伸的射线．等于常数绝对值平面内到两个定点，的距离的差的梳理(小于的正数的点的轨迹叫做双曲)线，两个定点，叫做双曲线的焦点焦距．，两焦点间的距离叫做双曲线的知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点和定直线，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点的轨迹．则动点的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点到定点和定直线距离相等，且不在上．梳理平面内到一个定点和一条定直线(不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做焦点抛物线的，定直线叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例平面内动点到两点(－)，()的距离之和为，问取何值时的轨迹是椭圆？。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.6.2-2.6.3 Word版含答案
2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点学习目标1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0，(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√) 3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2x 表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2P A . 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又P A ＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2，化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程．解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎨⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ， 又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)．(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝ax (a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝a x ，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0.设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0， ∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝⎛⎭⎫2，83. 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定． 跟踪训练3 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1.又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－178，158 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎨⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案 (0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43解析 因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y 24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝⎛⎭⎫53，43.3．直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1)解析 设直线x a ＋y 2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1. 4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )， 则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6，化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法． (4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案 π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b < 2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________． 答案 34解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0，解得m 2＝34. 5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________．答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|，两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________．答案 x 2＋y 2＝1解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________．答案 y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )．由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2，化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且P A →·PB→＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________．答案 y 2－x 2＝2解析 设动点P 的坐标为(x ，y )，则点Q 的坐标为(0，y )，PQ →＝(－x,0)，P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，P A →·PB →＝x 2－2＋y 2.由P A →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2，所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0. 令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14. 10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________．答案 33 解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b 2a， 由椭圆定义得3b 2a＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2， 则此椭圆的离心率e 为33. 11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________．答案 45°或135°解析 由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，设直线方程y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －32，y 2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0， 设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝6＋3k 2k 2， ∵弦长为12，∴6＋3k 2k 2＋3＝12， ∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点，因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2，整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2，化简得y ＝18x 2， 所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)． 13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )，点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋62，y ＝y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y . 由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上，所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32. 三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________．答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．15．已知直角坐标平面上点Q (2,0)和圆O ：x 2＋y 2＝1，M 为直角坐标平面内一动点，过点M 作圆O 的切线，切点为N ，若MN 和MQ 的比值等于常数λ(λ>0)，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．解 连结ON ，OM ，则ON ⊥MN ，设M (x ，y )．∵圆的半径是1，∴MN 2＝OM 2－ON 2＝OM 2－1.由题意，MN MQ＝λ(λ＞0)，∴MN ＝λMQ ， 即x 2＋y 2－1＝λ(x －2)2＋y 2， 整理得(λ2－1)(x 2＋y 2)－4λ2x ＋(1＋4λ2)＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程化为x ＝54， 该方程表示一条直线；当λ≠1时，方程化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2λ2λ2－12＋y 2＝1＋3λ2(λ2－1)2， 该方程表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ2λ2－1，0为圆心，以1＋3λ2|λ2－1|为半径的圆．。
精品-苏教版2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1圆锥曲线学案选修2_1
2.1 圆锥曲线学习目标：1.通过用平面截圆锥面，经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义．(重点、难点)2.通过用平面截圆锥面，感受、了解双曲线的定义．(难点)[自主预习·探新知]教材整理圆锥曲线阅读教材P27～P28例1以上内容，完成下列问题．圆、两条相交直线、1．用平面截圆锥面能得到的曲线图形是椭圆、抛物线．、双曲线2．设P为圆锥曲线上任意一点，常数为2a(a>0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之和为10的动点的轨迹是椭圆．( )(2)在双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹不是双曲线．( )(3)在抛物线定义中，“F不在l上”可以省略．( )(4)在椭圆、双曲线、抛物线的定义中“平面内”这一条件都不能丢掉，否则动点的轨迹就是空间图形．( ) [解析] (1)×.因为|F1F2|＝10，所以动点轨迹是线段F1F2，不是椭圆，故不正确．(2)√.双曲线定义中，若去掉“绝对值”，其轨迹是双曲线的一支，不是双曲线，故正确．(3)×.抛物线定义中，“F不在l上”不能省略，因为F在l上时，轨迹是一条直线，故不正确．(4)√.圆锥曲线是平面图形，因此是正确的．[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√[合作探究·攻重难]C的轨迹；(2)已知F1，F2为椭圆的两焦点，直线AB过点F1，交椭圆于A，B两点，若椭圆上任一点P满足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周长.【导学号：71392047】[精彩点拨](1)由△ABC的周长为16，AB＝6得CA＋CB＝10，根据椭圆的定义知，点C在椭圆上；(2)利用椭圆的定义，把△ABF2的周长分解为点A和点B到焦点的距离之和．[自主解答](1)由A(0，－3)，B(0,3)得AB＝6，又△ABC的周长为16，所以CA＋CB ＝16－6＝10＞6，由椭圆的定义可知，点C在以A、B为焦点的椭圆上，又因为A、B、C为三角形的顶点，所以A、B、C三点不共线，所以点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除去与A、B所在同一直线的两个点)．(2)由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，所以△ABF2的周长为AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.1．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和PA＋PB＝2a(a>0，a为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．[解析] 根据椭圆的定义，应填必要不充分．[答案] 必要不充分图形？(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.[精彩点拨]把代数方程转化为几何问题解决，严格扣准双曲线的定义．[自主解答](1)∵|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|表示点P(x，y)到两定点F1(－5,0)，F2(5,0)的距离之差的绝对值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线．(2)∵(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2表示点P(x，y)到两定点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故点P的轨迹是双曲线的右支．2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，则P点的轨迹为________，若|PA|－|PB|＝10，则P点的轨迹为________.【导学号：71392048】[解析] ∵|PA|－|PB|＝6<10时，∴P的轨迹为双曲线的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的轨迹为射线，是以B为端点向上的一条射线．[答案] 双曲线的一支一条射线M的轨迹．[精彩点拨]把条件式化为点M到点(1,2)与点M到直线3x＋4y＋1＝0的距离相等，利用抛物线的定义求解．[自主解答]选定直线l：3x＋4y＋1＝0，定点F(1,2)，则M到l的距离为d＝|3x＋4y＋1|，MF＝(x－1)2＋(y－2)2.由题意知d＝MF，且F∉l，由抛物线定义知，M的轨5迹是以F为焦点，l为准线的抛物线．3．点P到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＝－6的距离小2，则点P的轨迹为________．[解析] 由题意可知，点P到F(4,0)的距离与到直线x＝－4的距离相等．根据抛物线的定义知，点P的轨迹为抛物线．[答案] 抛物线[1．已知F1(－2,0)，F2(2,0)，若PF1＋PF2＝6时，点P的轨迹是什么？若|PF1－PF2|＝2时，点P的轨迹是什么？【导学号：71392049】[提示]若PF1＋PF2＝6>4，则P的轨迹为椭圆；若|PF1－PF2|＝2<4，则P的轨迹为双曲线．理解椭圆关注几个词：“和”“定值”“大于焦距”；理解双曲线关注几个词：“差”“绝对值”“定值”“小于焦距”．2．抛物线的定义应注意什么？定点为F(2,0)，定直线为x＝－2时，动点P到F的距离与到直线x＝－2的距离相等，动点P的轨迹是什么？[提示]在抛物线定义中，要特别注意：①在平面内；②到定点距离等于到定直线距离；③定点不在定直线上．因为(2,0)不在直线x＝－2上，所以点P的轨迹为抛物线．已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝1和圆C2：(x－2)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹．[精彩点拨]根据M到C1，C2的距离的关系，扣住圆锥曲线的定义．[自主解答]由已知得，圆C1的圆心C1(－2,0)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(2,0)，半径r2＝3.设动圆M的半径为r，因为动圆M与圆C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因为动圆M与圆C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以动圆圆心M的轨迹为双曲线的左支，且除去点(－1,0)．4．已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内有一定点B (3,0)，动圆M 过B 点且与圆A 内切，求证：圆心M 的轨迹是椭圆.【导学号：71392050】[证明] 设MB ＝r .∵圆M 与圆A 内切，圆A 的半径为10，∴两圆的圆心距MA ＝10－r ，即MA ＋MB ＝10(大于AB )，∴圆心M 的轨迹是以A ，B 两点为焦点的椭圆． [当 堂 达 标·固 双 基]1．已知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，动点P 满足PF 1＋PF 2＝6，则点P 的轨迹是________． [解析] ∵PF 1＋PF 2＝6＞F 1F 2，∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆． [答案] 以F 1，F 2为焦点的椭圆 2．已知抛物线上一点P 到焦点F 的距离为32，则点P 到抛物线准线的距离为________． [解析] 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离相等，故点P 到准线的距离为32. [答案] 323．以F 1，F 2为焦点作椭圆，椭圆上一点P 1到F 1，F 2的距离之和为10，椭圆上另一点P 2满足P 2F 1＝P 2F 2，则P 2F 1＝________. [解析] 由椭圆的定义可知P 2F 1＋P 2F 2＝10. 又∵P 2F 1＝P 2F 2，∴P 2F 1＝5. [答案] 5 4．已知M (－2,0)，N (2,0)，PM －PN ＝3，则动点P 的轨迹为________.【导学号：71392051】[解析] ∵MN ＝4，PM －PN ＝3<4，∴动点P 的轨迹为双曲线的右支．[答案] 双曲线的右支 5．动点P (x ，y )的坐标满足(x －5)2＋y2－(x ＋5)2＋y2＝4，试确定点P 的轨迹．[解](x －5)2＋y2的几何意义是点P 到定点A (5,0)的距离，(x ＋5)2＋y2的几何意义是点P 到定点B (－5，0)的距离，因此原式可化为PA －PB ＝4＜AB ＝10，故点P 的轨迹是以A，B为焦点靠近点B的双曲线的一支．。
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.3.1
§2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程学习目标 1.掌握双曲线标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．知识点双曲线的标准方程思考双曲线标准方程中的a，b，c的关系如何？与椭圆标准方程中的a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．梳理(1)两种形式的标准方程(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．(3)当双曲线的焦点位置不确定时，可设其标准方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．(4)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，注意这里的b 2＝c 2－a 2与椭圆中的b 2＝a 2－c 2相区别．1．方程x 2m －y 2n ＝1(m ·n ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(×)2．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .(×)3．在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，焦距为2c ，则a 2＝b 2＋c 2.(×)类型一 求双曲线的标准方程例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)方法一 椭圆y 225＋x 216＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程y 225＋x 216＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：即确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练1 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型二 曲线方程的讨论例2 若方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值范围．解 由方程x 25－m ＋y 2m 2－2m －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，得⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜0，m 2－2m －3＞0，解得m ＞5.所以实数m 的取值范围是(5，＋∞)．反思与感悟 给出方程x 2m ＋y 2n ＝1(mn ≠0)，当mn ＜0时，方程表示双曲线，当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．跟踪训练2 (1)“3＜m ＜5”是“方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的_________条件．答案 充分不必要解析 (m －5)(m 2－m －6)＝(m －5)(m －3)(m ＋2)．①方程x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线⇒(m －5)(m 2－m －6)＜0，即(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0 ⇒3＜m ＜5或m ＜－2 ⇏3＜m ＜5，∴3＜m ＜5不是“x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线”的必要条件．②3＜m ＜5⇒(m －5)(m －3)(m ＋2)＜0， 即(m －5)(m 2－m －6)＜0⇒x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1表示双曲线． ∴3＜m ＜5是x 2m －5＋y 2m 2－m －6＝1的充分条件．(2)讨论x 225－k ＋y 29－k＝1表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解 由于k ≠9，k ≠25，则k 的取值范围为k ＜9,9＜k ＜25，k ＞25，分别进行讨论． ①当k ＜9时，25－k ＞0,9－k ＞0，所给方程表示椭圆，此时a 2＝25－k ，b 2＝9－k ，c 2＝a 2－b 2＝16，这些椭圆有共同的焦点(－4,0)，(4,0)．②当9＜k ＜25时，25－k ＞0,9－k ＜0，所给方程表示双曲线，此时a 2＝25－k ，b 2＝k －9，c 2＝a 2＋b 2＝16，这些双曲线也有共同的焦点(－4,0)，(4,0)． ③当k ＞25时，所给方程没有轨迹． 类型三 双曲线的定义及标准方程的应用例3 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°， 所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 引申探究本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 解 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5， 由双曲线的定义得|PF 1－PF 2|＝2a ＝6，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，① 在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理得PF 21＋PF 22＝F 1F 22＝(2c )2＝100，②将②代入①得PF 1·PF 2＝32， 所以12F PF S＝12PF 1·PF 2＝16. 反思与感悟 求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中焦点三角形面积的方法(1)方法一：①根据双曲线的定义求出|PF 1－PF 2|＝2a ；②利用余弦定理表示出PF 1，PF 2，F 1F 2之间满足的关系式； ③通过配方，利用整体思想求出PF 1·PF 2的值； ④利用公式12PF F S ＝12PF 1·PF 2sin ∠F 1PF 2求得面积． (2)方法二：利用公式S △PF 1F 2＝12F 1F 2×|y P |(y P 为P 点的纵坐标)求得面积．同理可求得双曲线y 2a 2－x 2b2＝1中焦点三角形的面积．特别提醒：利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF 1－PF 2|＝2a的变形使用，特别是与PF 21＋PF 22，PF 1·PF 2间的关系． 跟踪训练3 如图所示，已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 为双曲线上一点，并且∠F 1MF 2＝θ，求△MF 1F 2的面积．解 在△MF 1F 2中，由余弦定理，得F 1F 22＝MF 21＋MF 22－2MF 1·MF 2·cos θ.①∵F 1F 22＝4c 2，MF 21＋MF 22＝(MF 1－MF 2)2＋2MF 1·MF 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2， ∴①式化为4c 2＝4a 2＋2MF 1·MF 2(1－cos θ)， ∴MF 1·MF 2＝2b 21－cos θ，∴12MF F S ＝12MF 1·MF 2·sin θ＝b 2sin θ1－cos θ＝b 2·2sin θ2·cosθ21－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝b 2tan θ2.1．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 依题意得(1＋k )(1－k )>0，即(k ＋1)(k －1)<0，解得－1<k <1. 2．双曲线x 2k 2＋8－y 28－k 2＝1的焦距为________．答案 8解析 依题意得焦距为2k 2＋8＋8－k 2＝8.3．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋8＝0，以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________． 答案 x 24－y 212＝1解析 令x ＝0，得y 2－4y ＋8＝0，方程无解，即该圆与y 轴无交点． 令y ＝0，得x 2－6x ＋8＝0，解得x ＝2或x ＝4， 则符合条件的双曲线中a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，且焦点在x 轴上， ∴双曲线的方程为x 24－y 212＝1.4．已知双曲线2x 2－y 2＝k (k ≠0)的焦距为6，则k 的值为________． 答案 ±6解析 由题意知，k ≠0.当k >0时，方程化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴c 2＝k 2＋k ＝3k2，∴2×3k2＝6，解得k ＝6. 当k <0时，方程化为y 2－k －x 2－k2＝1，∴c 2＝－32k ，∴2×－3k2＝6，解得k ＝－6. 综上，k ＝－6或k ＝6.5．已知双曲线x 29－y 216＝1上一点M 的横坐标为5，则点M 到左焦点的距离是________．答案343解析 由于双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F (5,0)，设M (x M ，y M )，将x M ＝5代入双曲线方程可得|y M |＝163，即为点M 到右焦点的距离，由双曲线的定义知M 到左焦点的距离为163＋2×3＝343.求双曲线标准方程的步骤：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋k －y 2b 2－k ＝1(－a 2＜k ＜b 2)．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ，可设双曲线方程为x 2m 2－y 2n2＝λ(λ≠0)．一、填空题1．满足条件：a ＝2，且一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为________________． 答案 x 24－y 212＝1解析 由一个焦点(4,0)知双曲线焦点在x 轴上，且c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2，a ＝2，可得b 2＝12，故双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.2．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a ＝________.答案 1解析 由题意知焦点在x 轴上，因此4－a ＝a ＋2， 所以a ＝1.经检验，a ＝1满足题意．故a ＝1.3．双曲线的焦点是(0，±6)，且过点A (－2，－5)，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 220－x 216＝1解析 由题意知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝6. 设F 1(0，－6)，F 2(0,6)分别为双曲线的焦点， AF 1＝(－2)2＋(－5＋6)2＝5， AF 2＝(－2)2＋(－5－6)2＝55，根据双曲线的定义，2a ＝|AF 1－AF 2|＝45， 所以a ＝25，b 2＝c 2－a 2＝16， 故所求双曲线的标准方程为y 220－x 216＝1.4．若双曲线的两个焦点坐标分别是F 1(0，－5)，F 2(0,5)，双曲线上任意一点P 满足到两个焦点的距离之差的绝对值是6，则双曲线的标准方程是________． 答案 y 29－x 216＝1解析 由题意得，焦点位于y 轴上，且c ＝5,2a ＝6，所以a ＝3，b 2＝c 2－a 2＝16，因此所求双曲线的标准方程是y 29－x 216＝1.5．已知双曲线x 24－y 2m ＝1的一个焦点坐标为(3,0)，则m ＝________.答案 5 解析 因为c ＝4＋m ＝3，所以解得m ＝5.6．已知方程x 29－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是________．答案 (9，＋∞)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－k <0，k －3>0，解得k >9.7．设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 13解析 设PF 1＝d 1，PF 2＝d 2，则d 1＋d 2＝26，① |d 1－d 2|＝23，②①2＋②2，得d 21＋d 22＝18.①2－②2，得2d 1d 2＝6.而c ＝2，∴cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－4c22d 1d 2＝18－166＝13.8．与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线方程为________________．答案 x 23－y 23＝1解析 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上，∴设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．又∵两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.① 又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，a b 由①②得，a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 9．已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其左，右焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则PF 1＋PF 2的值为________．答案 2 3解析 设P 在双曲线的右支上，PF 1＝2＋x ，PF 2＝x (x >0)，因为PF 1⊥PF 2，所以(x ＋2)2＋x 2＝(2c )2＝8，所以x ＝3－1，x ＋2＝3＋1，所以PF 2＋PF 1＝3－1＋3＋1＝2 3.10．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________．答案 x 216－y 29＝1 解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1，∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5. 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， ∵双曲线过点(42，－3)，∴32a 2－9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9.∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1. 11．已知双曲线x 24－y 25＝1上一点P 到F (3,0)的距离为6，O 为坐标原点，若OQ →＝12(OP →＋OF →)，则|OQ →|的值为________．答案 1或5解析 由题意得Q 为PF 的中点，设左焦点为F ′，其坐标为(－3,0)，2若P 在双曲线的左支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF －2a )＝12×(6－2×2)＝1； 若P 在双曲线的右支上，则OQ ＝12PF ′＝12(PF ＋2a )＝12(6＋2×2)＝5. 综上，|OQ →|＝1或5.二、解答题12．设F 1，F 2是双曲线x 24a －y 2a＝1(a >0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1→|·|PF 2→|＝2，求双曲线的方程．解 ∵PF 1→·PF 2→＝0，∴PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＝20a .①又||PF 1→|－|PF 2→||＝4a .②①－②2，得2|PF 1→|·|PF 2→|＝4a .∵|PF 1→|·|PF 2→|＝2，∴a ＝1.∴双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左，右焦点为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2，设MF 1＝m ，MF 2＝n ，由双曲线定义知，m －n ＝2a ＝8，①又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8，∴S △MF 1F 2＝12mn ＝4＝12F 1F 2·h ，∴h ＝255. (2)设所求双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 三、探究与拓展14．双曲线x 2m －y 2m －5＝1的一个焦点到中心的距离为3，则m 的值为________． 答案 7或－2解析 (1)当焦点在x 轴上时，有m >5，则c 2＝m ＋m －5＝9，∴m ＝7；(2)当焦点在y 轴上时，有m <0，则c 2＝－m ＋5－m ＝9，∴m ＝－2.综上，m ＝7或m ＝－2.15．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左，右焦点，且MF 1＋MF 2＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上， 且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)不妨设M 点在右支上，则有MF 1－MF 2＝23， 又MF 1＋MF 2＝63，故解得MF 1＝43，MF 2＝23， 又F 1F 2＝25，所以在△MF 1F 2中，MF 1边最长，cos ∠MF 2F 1＝MF 22＋F 1F 22－MF 212MF 2·F 1F 2<0， 又因为∠MF 2F 1∈(0°，180°)， 所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.3.1 双曲线的标准方程》
普通高中课程标准试验教科书 《数学》选修2-1 苏教版3836P P江苏省扬州中学 张慧玲y[教学设计]一、教材分析：1教材地位本节课是苏教版选修2-1 第2章第三节第一课时它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫2教材作用（重要模型，数形结合）圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起二、学情分析：1知识方面：学生已经学习椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会2能力方面：学生在椭圆学习的基础上类比得出双曲线的定义及标准方程的推导、有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力三、目标分析1知识与技能目标（1）理解双曲线的定义；（2）能根据已知条件求双曲线的标准方程；（3）进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法2过程与方法目标（1）提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力；（2）培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题；（3）培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力3情感、态度与价值观目标（1）亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶；显示距离度量值动画点A 建系MF 2圆F 1A（2）通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨；（3）发展学生用类比的方法探究事物运动规律，进一步认清事物运动的本质激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神四、教学重点、难点与疑点分析1重点：双曲线的定义及其标准方程解决方法：通过学生动手实验、几何画板演示再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识2难点：双曲线定义的得出和标准方程的推导解决方法：通过动手实验、几何画板、探究讨论、类比归纳、达标检测3疑点：双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解解决方法：分析各种情况，说明定义中的常数要大于0 而小于21F F ，否则就是两条射线或没有轨迹，若没有“绝对值”就表示双曲线的一支五、教法学法分析1教法：（1）在教学目标的指导下，采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学这种方法是以问题为中心，以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式在探索过程经历”提出问题———分析问题———建构数学———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节在整个教学过程中，教师利用问题引路，学生独立思考和分组讨论，从而自己解决问题（2）通过课件和动画展示数学知识的发生、发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”2学法：在教师的组织，点拨，引导作用下，通过学生积极思考，大胆想象，总结规律，自己不能解决的问题通过小组讨论解决，充分发挥他们的主体作用，让学生置身于提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中六、教学过程问题情境，寻求引领方法问题1 已知A 是圆1F 上一动点,圆内任取不同于圆心的一点2F ，连接与2AF 的垂直平分线交于点M ，随着A 点在圆1F 上运动，点M 么[设计思路]显示距离度量值动画点A 建系MF 2圆F 1A椭圆；并演示几何画板模拟过程、验证结果类比研究，感受双曲线形成问题2 将2F 点移到圆外，连接1AF 并延长与2AF 的垂直平分线交于点M ，问点M 轨迹是什么？ [设计思路]演示几何画板模拟过程，组织学生讨论，点M 具有什么样的性质？【设计意图】在2F 点从圆内移到圆外过程中，培养学生观察、类比、归纳问题的能力由以上实验及讨论，引导学生概括双曲线的定义剖析特征，提炼双曲线定义[设计思路]学生合作类比椭圆给出双曲线定义，研究为什么是绝对值，及常数的范围双曲线的定义：平面内到两定点21,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于21F F ）的动点的集合叫双曲线 即a MF MF 221=- 小于21F F注意：双曲线定义中平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数，范围是：)0(21F F ，6.3.2双曲线的定义深化探究：（通过后面的例1整理归纳总结）（1）平面内与两定点的距离的差等于常数)0(2>a a （小于21F F ）的点的轨迹是什么？ （2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2>a a （等于21F F ）的点的轨迹是什么？ （3）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2>a a （大于21F F ）的点的轨迹是什么？ （4）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数)0(2=a a 的点的是轨迹什么？ 通过几何画板演示实验及讨论，引导学生归总结：平面内动点M 与两定点21,F F 的距离c F F 221=的差的绝对值等于常数a 2,（1）当c a 220<<时，轨迹是双曲线；（其中当a MF MF 221=-时，M 点轨迹是双曲线中靠近2F 的一支；y当a MF MF 212=-时，M 点轨迹是双曲线中靠近1F 的一支）；（2）当c a 22=时，轨迹是两条射线,是以1F 和2F 为端点向外的两条射线; （3）当c a 22>时，轨迹不存在；（4）当0=a ，轨迹是线段21F F 的垂直平分线【设计意图】在变化的过程中发现双曲线定义中要点，准确理解椭圆的定义建立起用联系与发展的观点看问题；为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔类比椭圆，推导标准方程[设计思路]通过方程研究曲线，推导方程分为：建系、设点、列式、化简从推到过程、标准方程的形式处处与椭圆类比6.4.1双曲线的标准方程推导方法回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程 过程如下：①建系②设点③列式④化简。
苏教版高二数学选修2-1教案(共144页)
第1课时 圆锥曲线[学习目标]1．理解椭圆、双曲线、抛物线的定义。
2．能依据圆锥曲线的定义判断所给曲线的形状。
[学习过程]一、课前自主探究我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。
回答问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？二、课内合作探究1．自主探究成果展示，形成知识结构学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于Dandelin 双球理论只要让学生感知、认同即可。
（1）圆锥曲线的定义椭圆：平面内到两定点1F ，2F 的 等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆， 叫做椭圆的焦点， 间的距离叫做椭圆的焦距。
对于第二种情形，平面与圆锥曲线的截线由两支曲线构成。
（类比椭圆的定义） 双曲线：平面内到两定点1F ，2F 的 等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线， 叫做双曲线的焦点， 间的距离叫做双曲线的焦距。
对于第三种情形，平面与圆锥曲线的截线是一条曲线构成。
抛物线：平面内到一个定点F 和一条定直线L （ ）的距离 的点轨迹叫做抛物线， 叫做抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线。
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。
（2）圆锥曲线的定义式上面的三个结论我们都可以用数学表达式来体现：设平面内的动点为M 。
椭圆：动点M 满足的式子： . 双曲线：动点M 满足的式子： . 抛物线：动点M 满足的式子： .学习心得栏问题1：找出上述概念中的关键词． 问题2：如何理解椭圆的定义？问题3：如何理解双曲线的定义？问题4：如何理解抛物线的定义？2.典型例题，方法形成例1．A 、B 是两定点，且AB ＝2，动点M 到A 的距离为4，线段MB 的垂直平分线l 交MA 于P ，求证点P 的轨迹为椭圆，并指明其焦点。
变式：已知B 、C 是两个定点，BC ＝8，且△ABC 的周长等于18，顶点A 在什么曲线上运动?例2．如图，已知定圆F 1，定圆F 2，半径分别为r 1＝1，r 2＝2，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，试判断动圆圆心M 的轨迹。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1
§2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p 的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．知识点 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点？答案 (1)对称轴为坐标轴；(2)p 为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于p2.梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y 2＝2px (p >0)，y 2＝－2px (p >0)，x 2＝2py (p >0)，x 2＝－2py (p >0)．现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：1．抛物线的方程都是y 关于x 的二次函数．(×) 2．方程x 2＝2py (p ＞0)表示开口向上的抛物线．(√) 3．抛物线的焦点到准线的距离为p .(√) 4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程例1 已知抛物线的方程y ＝ax 2(a ≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． 解 将抛物线方程化为标准方程x 2＝1a y (a ≠0)，则抛物线焦点在y 轴上， (1)当a ＞0时，p ＝12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a .(2)当a ＜0时，p ＝－12a ，∴焦点坐标F ⎝⎛⎭⎫0，14a ， 准线方程y ＝－14a，综合(1)(2)知抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．跟踪训练1 (1)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________． 答案 2 x ＝－1解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y 2＝40x ；②4x 2＝y ；③3y 2＝5x ；④6y 2＋11x ＝0. 解 ①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x ＝－10. ②由4x 2＝y 得x 2＝14y .∵2p ＝14，∴p ＝18.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，116，准线方程为y ＝－116. ③由3y 2＝5x ，得y 2＝53x .∵2p ＝53，∴p ＝56.∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫512，0，准线方程为x ＝－512. ④由6y 2＋11x ＝0，得y 2＝－116x ，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－1124，0，准线方程为x ＝1124. 类型二 求解抛物线的标准方程例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5. 解 (1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)且－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x .(2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px (p ≠0)，A (m ，－3)，由抛物线定义得5＝AF ＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9， 故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x . 反思与感悟 抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p ，最后写出标准方程．(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p 的值．跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 解 设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点F ⎝⎛⎭⎫－p2，0，由题意， 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧ p ＝4，m ＝26或⎩⎨⎧p ＝4，m ＝－2 6.故所求的抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x ＝2. 类型三 抛物线在实际生活中的应用例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m 时，水面宽为8m ，一小船宽4m ，高2m ，载货后船露出水面上的部分高34m ，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，由题意可知，点B (4，－5)在抛物线上，故p ＝85，得x 2＝－165y .当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ′，则A (2，y A )，由22＝－165y A ，得y A ＝－54.又知船面露出水面上的部分高为34m ，所以h ＝|y A |＋34＝2(m)．所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m 时，小船开始不能通航．反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA 的顶点A 处，喷出水流的最高点B 高5m ，且与OA 所在的直线相距4m ，水流落在以O 为圆心，半径为9m 的圆上，则管柱OA 的长是多少？解 如图所示，以点B 为坐标原点，过点B 与地面平行的直线为x 轴，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上，所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5，所以抛物线的方程为x 2＝－5y ，点A (－4，y 0)在抛物线上，所以16＝－5y 0， 即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8m.1．已知抛物线的准线方程为x ＝7，则抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝－28x解析 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，由准线方程为x ＝7知，p2＝7，即p ＝14.故抛物线的标准方程为y 2＝－28x .2．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p 的值为________． 答案 4解析 焦点的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，由两点间的距离公式得⎝⎛⎭⎫－2－p 22＋32＝5⇒p ＝4.3．若抛物线y 2＝2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________. 答案 2解析 因为抛物线上的动点到焦点的距离为动点到准线的距离，所以抛物线上的动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即p2＝1，p ＝2.4．若抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 答案 2 2解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，因为抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)， 所以－p2＝－2，解得p ＝2 2.5．已知M 为抛物线y 2＝4x 上一动点，F 为抛物线的焦点，定点N (2,3)，则MN ＋MF 的最小值为________． 答案10解析 将x ＝2代入抛物线方程，得y ＝±2 2. ∵3>22，∴点N 在抛物线的外部． MN ＋MF ≥NF ，而F (1,0)， 则NF ＝(2－1)2＋32＝10，∴MN ＋MF ≥10，当N ，M ，F 三点共线时有最小值，最小值为10.1．焦点在x 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y 2＝mx (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫m 4，0，准线方程为x ＝－m4；焦点在y 轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x 2＝my (m ≠0)，此时焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，m 4，准线方程为y ＝－m 4. 2．设M 是抛物线上一点，焦点为F ，则线段MF 叫做抛物线的焦半径．若M (x 0，y 0)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径MF ＝x 0＋p2.一、填空题1．抛物线y ＝14x 2的准线方程是________．答案 y ＝－1解析 由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，则抛物线的焦点在y 轴正半轴上，且2p ＝4，即p ＝2，因此准线方程为y ＝－p2＝－1.2．以坐标原点为顶点，(－1,0)为焦点的抛物线的方程为____________________． 答案 y 2＝－4x解析 由题意可设抛物线的方程为y 2＝－2px (p >0)， 则有－p2＝－1，得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝－4x .3．经过点P (4，－2)的抛物线的标准方程为________． 答案 y 2＝x 或x 2＝－8y解析 设所求抛物线的标准方程为y 2＝2mx (m ≠0)或x 2＝2ny (n ≠0)， 代入点P (4，－2)，解得m ＝12或n ＝－4，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝x 或x 2＝－8y .4．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．答案 y 2＝16x解析 ∵双曲线的方程为x 216－y 29＝1，∴右顶点为(4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则p2＝4，即p ＝8， ∴抛物线的标准方程为y 2＝16x .5．已知抛物线C 1：y ＝2x 2与抛物线C 2关于直线y ＝x 对称，则C 2的准线方程是________． 答案 x ＝－18解析 y ＝2x 2关于y ＝x 对称的曲线为抛物线y 2＝12x ，其准线方程为x ＝－18.6．已知一个圆的圆心C 在抛物线y 2＝4x 上，并且与x 轴、抛物线的准线都相切，则此圆的半径为________． 答案 2解析 设圆心C (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，① 依题意得，半径r ＝|y 0|＝|x 0＋1|，② 由①②得x 0＝1， 故圆的半径r ＝2.7．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是________． 答案 x 2＝±12y解析 因为顶点与焦点距离等于3， ∴2p ＝12， 又∵对称轴是y 轴， ∴抛物线的方程为x 2＝±12y .8．抛物线方程为7x ＋4y 2＝0，则焦点坐标为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－716，0 解析 方程化为y 2＝－74x ，抛物线开口向左，2p ＝74，p 2＝716，故焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－716，0. 9．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则点B 到该抛物线准线的距离为________． 答案324解析 如图所示，由已知，得点B 的纵坐标为1，横坐标为p4，即B ⎝⎛⎭⎫p 4，1.将其代入y 2＝2px ，得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 到准线的距离为p 2＋p 4＝34p ＝324.10．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________． 答案 (1,2)或(1，－2)解析 设A (x 0，y 0)，F (1,0)，OA →＝(x 0，y 0)， AF →＝(1－x 0，－y 0)，OA →·AF →＝x 0(1－x 0)－y 20＝－4.∵y 20＝4x 0，∴x 0－x 20－4x 0＋4＝0，即x 20＋3x 0－4＝0，x 0＝1或x 0＝－4(舍)． ∴x 0＝1，y 0＝±2.则点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)．11．若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则PQ 的最小值是________． 答案112－1 解析 设圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心为O ′(3,0)， 要求PQ 的最小值，只需求PO ′的最小值． 设点P 坐标为(y 20，y 0)，则PO ′＝(y 20－3)2＋y 20＝y 40－5y 20＋9＝⎝⎛⎭⎫y 20－522＋114， ∴PO ′的最小值为112，从而PQ 的最小值为112－1.二、解答题12．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，而且与x 轴垂直．又抛物线与此双曲线交于点⎝⎛⎭⎫32，6，求抛物线和双曲线的方程．解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于x 轴，所以可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，将点⎝⎛⎭⎫32，6代入方程得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .准线方程为x ＝－1，由此可知双曲线方程中c ＝1，焦点为(－1,0)，(1,0)，点⎝⎛⎭⎫32，6到两焦点距离之差2a ＝1，所以双曲线的标准方程为x 214－y 234＝1.13．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，设A ，B 是抛物线C 上的两个动点(AB 不垂直于x 轴)，且AF ＋BF ＝8，线段AB 的垂直平分线恒经过点Q (6,0)，求抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0), 则其准线方程为x ＝－p2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵AF ＋BF ＝8，∴x 1＋p 2＋x 2＋p2＝8，即x 1＋x 2＝8－p .∵Q (6,0)在线段AB 的中垂线上，∴QA ＝QB ， 即(6－x 1)2＋(－y 1)2＝(6－x 2)2＋(－y 2)2，又y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴(x 1－x 2)(x 1＋x 2－12＋2p )＝0. ∵AB 与x 轴不垂直，∴x 1≠x 2.故x 1＋x 2－12＋2p ＝8－p －12＋2p ＝0，即p ＝4. 从而抛物线方程为y 2＝8x . 三、探究与拓展14．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 54解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF ＋BF ＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54.15．设点P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求PB ＋PF 的最小值． 解 (1)如图，抛物线的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于点P ，故最小值为22＋12＝ 5. (2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，此时，P 1Q ＝P 1F ，那么PB ＋PF ≥P 1B ＋P 1Q ＝BQ ＝4，即最小值为4.。
苏教版高中数学 ( 选修2-1)学案：第2章 圆锥曲线与方程 3
上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程
为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定 m、n，避免了讨论，实为一种好方法． 9
跟踪演练 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点(3，－4 2)和( ，5)，求双曲 4
线的标准方程； x2 y2
y2
x2
(4)当 90°<α<180°时，方程为 －
＝1，它表示焦点在 y 轴上的双曲线．
1
1
sinα －cosα
(5)当 α＝180°时，方程为 x2＝－1，它不表示任何曲线．
规律方法 像椭圆的标准方程一样，双曲线的标准方程也有“定型”和“定量”两个方面的
功能：①定型：以 x2 和 y2 的系数的正负来确定；②定量：以 a、b 的大小来确定．
TB: 小初高题库
高中数学精选学习内容
2．3 双曲线
2．3.1 双曲线的标准方程
[学习目标] 1.了解双曲线的标准方程.2.会求双曲线的标准方程.3.会用双曲线的标准方程处理 简单的实际问题．
[知识链接]
1．与椭圆类比，能否将双曲线定义中“动点 M 到两定点 F1、F2 距离之差的绝对值为定值 2a”中，“绝对值”三个字去掉．
4
3
∴Error!
解得Error! (舍去)
若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为 y2 x2
－ ＝1(a>0，b>0)， a2 b2 将 P、Q 两点坐标代入可得Error!
解之得Error! y2 x2
∴双曲线的标准方程为 － ＝1. 9 16 x2 y2
方法二 设双曲线方程为 ＋ ＝1(mn<0)． mn
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(一)
2.2.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比ca 称为椭圆的离心率．记为：e ＝ca.(2)对于x 2a 2＋y 2b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图)1．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(×)4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c为椭圆的半焦距)(√)类型一 由椭圆方程研究其几何性质例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 29＝1，于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝74，又知焦点在x 轴上，∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x 2＋16y 2＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2116＝1，于是a ＝13，b ＝14，c ＝19－116＝712. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝74.焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－712，0和⎝⎛⎭⎫712，0， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫±13，0，⎝⎛⎭⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．跟踪训练1 求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)． 离心率e ＝c a ＝223.类型二 椭圆几何性质的简单应用命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为12，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e ＝23，短轴长为8 5.解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4， ∴e ＝c a ＝4a ＝12，∴a ＝8，从而b 2＝a 2－c 2＝48， ∴椭圆的标准方程是y 264＋x 248＝1.(2)由e ＝c a ＝23得c ＝23a ，又2b ＝85，a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝144，b 2＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2144＝1.反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12. 解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝237，b ＝37，∴椭圆方程为x 2148＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 252＝1.故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 252＝1.(2)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，2c ＝12，∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2＝72，∴所求的椭圆方程为x 272＋y 236＝1.命题角度2 最值问题例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程． 解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．∵b a＝a 2－c 2a 2＝1－e 2＝12，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝⎛⎭⎫0，32的距离为d ， 则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝4b 2⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3， 令f (y )＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3. 当－b ≤－12，即b ≥12时，d 2max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7， 解得b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1.当－12<－b ，即0<b <12时，d 2max ＝f (－b )＝7， 解得b ＝－32±7，与0＜b ＜12矛盾．综上所述，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________． 答案 2解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 2＝22－2y 20＋y 2＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. 类型三 求椭圆的离心率例4 如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a ，b ，c . 则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，23b ， 且△MF 1F 2为直角三角形．在Rt △MF 1F 2中，F 1F 22＋MF 22＝MF 21，即4c 2＋49b 2＝MF 21.而MF 1＋MF 2＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 2＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a .所以b 2a 2＝49.所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，所以e ＝53.反思与感悟 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca，也可利用e ＝1－b 2a2求解． (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．跟踪训练4 已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A (5,0)，求椭圆C 的离心率． 解 若焦点在x 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴c ＝a 2－b 2＝52－12＝26，∴e ＝c a ＝265；若焦点在y 轴上，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5，∴c ＝a 2－b 2＝252－52＝106， ∴e ＝c a ＝10625＝265.故椭圆C 的离心率为265.1．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为________． 答案33解析 由2x 2＋3y 2＝m (m >0)，得x 2m 2＋y 2m 3＝1，∴c 2＝m 2－m 3＝m 6，∴e 2＝13，又∵0＜e ＜1，∴e ＝33.2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是________． 答案 x 2＋y 26＝1解析 由已知得c ＝5，b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 又椭圆的焦点在y 轴上， 故椭圆的标准方程为y 26＋x 2＝1.3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 答案 35解析 由题意有，2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，又∵0＜e ＜1，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．4．若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为________．答案 32解析 ∵焦点在y 轴上，∴0<m <2， ∴a ＝2，b ＝m ，∴c ＝2－m ，又e ＝c a ＝12，∴2－m 2＝12，解得m ＝32. 5．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是________________． 答案 [4－23，4＋23]解析 因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．1．椭圆的顶点、焦点、中心坐标等几何性质与坐标有关，它们反映了椭圆在平面内的位置． 2．椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率等几何性质与坐标无关，它们反映了椭圆的形状． 3．讨论与坐标有关的几何性质应先由焦点确定出椭圆的类型，不能确定的应分焦点在x 轴上、y 轴上进行讨论．4．与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1有相同焦点的椭圆可设为x 2a 2＋m ＋y 2b 2＋m＝1.一、填空题1．椭圆4x 2＋49y 2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是________． 答案 14,4，357解析 先将椭圆方程化为标准形式，得x 249＋y 24＝1，其中b ＝2，a ＝7，c ＝3 5.2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为________． 答案 x 236＋y 216＝1解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10， 又a 2＝b 2＋c 2从而解得a ＝6，b ＝4.3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为________． 答案5－12解析 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝ca ，即1－e 2＝e .∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值)．4．已知椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1，F 2，F 1F 2＝2，离心率e ＝12，则椭圆的标准方程为________________． 答案 x 24＋y 23＝1解析 因为F 1F 2＝2，离心率e ＝12，所以c ＝1，a ＝2，所以b 2＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.5．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的标准方程是________． 答案 x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝1解析 若焦点在x 轴上，则a ＝2. 又e ＝32，∴c ＝ 3.∴b 2＝a 2－c 2＝1， ∴方程为x 24＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14，∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1.6．椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P的纵坐标是________． 答案 ±32解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴， 因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3. 所以点P 和点F 2的横坐标都为3. 故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.7．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是________． 答案2mm解析 椭圆方程可化简为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m. 8．已知椭圆C 的上，下顶点分别为B 1，B 2，左，右焦点分别为F 1，F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e ＝________. 答案 22解析 因为四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，所以b ＝c ，所以a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，所以e ＝c a ＝22. 9．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的焦点在x 轴上，过点⎝⎛⎭⎫1，12作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________．答案 x 25＋y 24＝1 解析 ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为A (1,0)，即c ＝1.设P ⎝⎛⎭⎫1，12，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．考点 椭圆的离心率问题题点 求a ，b ，c 得离心率 答案 33解析 由题意可设PF 2＝m ，结合条件可知PF 1＝2m ，F 1F 2＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c 2a＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝3m 2m ＋m ＝33. 11．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．答案 34解析 设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ， 故cos60°＝F 2M PF 2＝3a 2－c 2c ＝12， 解得c a ＝34，故离心率e ＝34.二、解答题12．已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解 (1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10， 短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35. (2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1，性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10；②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)，焦点坐标(0,6)，(0，－6)；④离心率：e ＝35. 13．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)．由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 三、探究与拓展14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，则椭圆的离心率为________． 答案 33解析 由F 1A ∥F 2B ，F 1A ＝2F 2B ，得EF 2EF 1＝F 2B F 1A ＝12， 从而a 2c －c a 2c ＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2.故离心率e ＝c a ＝33. 15．已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围． 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.②由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32. ∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1)．。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(二)
2.2.2 椭圆的几何性质(二)学习目标 1.巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的问题．知识点一 点与椭圆的位置关系已知点P (x 0，y 0)与椭圆＋＝1(a >b >0)．x 2a 2y 2b 2(1)当P 在椭圆外时，＋>1；x 20a 2y 20b 2(2)当P 在椭圆上时，＋＝1；x 20a 2y 20b 2(3)当P 在椭圆内时，＋<1.x 20a 2y 20b 2知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？答案 有三种位置关系，分别是相交、相切、相离．思考2 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆＋＝1(a >b >0)的位置关系？x 2a 2y 2b 2答案 联立Error!消去y 得关于x 的一元二次方程，则位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0梳理 (1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．(2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m 为常数)与椭圆＋＝1(a >b >0)相交，两个交点为A (x 1，y 1)，x 2a 2y 2b 2B (x 2，y 2)，则线段AB 叫做直线l 截椭圆所得的弦，线段AB 的长度叫做弦长．AB ＝·，其中x 1＋x 2与x 1x 2均可由根与系数的关系得到．1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 21．直线与椭圆有且只有一个公共点时，直线与椭圆相切．(√)2．直线－y ＝1被椭圆＋y 2＝1截得的弦长为.(√)x2x 2453．已知椭圆＋＝1(a ＞b ＞0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．(×)x 2a 2y 2b 24．直线y ＝k (x －a )与椭圆＋＝1的位置关系是相交．(√)x 2a 2y 2b 2类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P (k,1)，椭圆＋＝1，点P 在椭圆外，则实数k 的取值范围为x 29y 24____________．答案 ∪(－∞，－332)(332，＋∞)解析 依题意得，＋>1，k 2914解得k <－或k >.332332引申探究若将本例中P 点坐标改为“P (1，k )”呢？答案 ∪(－∞，－423)(423，＋∞)解析 依题意得，＋>1，解得k 2>，19k 24329即k <－或k >.423423反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性．跟踪训练1 已知点(1,2)在椭圆＋＝1(n >m >0)上，则m ＋n 的最小值为________．y 2n x 2m 答案 9解析 依题意得，＋＝1，1m 4n 而m ＋n ＝(m ＋n )(1m＋4n )＝1＋＋＋44m n n m ＝5＋＋4m n n m≥5＋2＝9，4m n ·n m (当且仅当n ＝2m 时等号成立)故m ＋n 的最小值为9.命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 对不同的实数m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆＋y 2＝1的位置关系．x 24考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由Error!消去y ，得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64m 2－4×5×(4m 2－4)＝16×(5－m 2)．当－＜m ＜时，Δ＞0，直线与椭圆相交；55当m ＝－或m ＝时，Δ＝0，直线与椭圆相切；55当m ＜－或m ＞时，Δ＜0，直线与椭圆相离．55反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时，准确计算出判别式Δ是解题关键．跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，)且斜率为k 的直线l 与椭圆2＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．x 22考点 直线与椭圆的位置关系题点 直线与椭圆的公共点个数问题解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋，2代入椭圆方程得＋(kx ＋)2＝1，x 222整理得x 2＋2kx ＋1＝0，(12＋k 2)2直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4＝4k 2－2＞0，解得k ＜－(12＋k 2)或k ＞，2222所以k 的取值范围为∪.(－∞，－22)(22，＋∞)类型二 弦长及中点问题例3 已知椭圆＋＝1的弦AB 的中点M 的坐标为(2,1)，求直线AB 的方程．x 216y 24解 方法一 根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)．将其代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两根，于是x 1＋x 2＝.8(2k 2－k )4k 2＋1又M 为线段AB 的中点，∴＝＝2，解得k ＝－.x 1＋x 224(2k 2－k )4k 2＋112经检验，当k ＝－时，(*)式的判别式Δ＞0.12故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二 点差法设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2.∵M (2,1)为线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x ＋4y ＝16，x ＋4y ＝16，212122两式相减，得(x －x )＋4(y －y )＝0，212212于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0.∴＝－＝－＝－，y 1－y 2x 1－x 2x 1＋x 24(y 1＋y 2)44×212即直线AB 的斜率k AB ＝－.12故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法三 对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ，y )，由于点M (2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B (4－x,2－y )．∵A ，B 两点都在椭圆上，∴Error!①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.引申探究在本例中求弦AB 的长．解 由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组Error!消去y 并整理，得x (x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，得两交点坐标A (0,2)，B (4,0)，故AB ＝＝2.(0－4)2＋(2－0)25反思与感悟 直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式．而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程．跟踪训练3 已知椭圆＋＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．x 236y 29(1)当直线l 的斜率为时，求线段AB 的长度；12(2)当点P 恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝(x －4)，12即y ＝x .由Error!消去y 可得x 2－18＝0，12若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝＝×6＝3.52(x 1＋x 2)2－4x 1x 252210所以线段AB 的长度为3.10(2)设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有Error!两式相减得＋＝0，x 24－x 2336y 24－y 239整理得k AB ＝＝－y 4－y 3x 4－x 39(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4，于是k AB ＝－＝－，9×836×412于是直线l 的方程为y －2＝－(x －4)，12即x ＋2y －8＝0.类型三 椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由Error!得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－≤m ≤.5252(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝(m 2－1)，2m 515所以AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝＝2(x 1－x 2)22[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝＝.2[4m 225－45(m 2－1)]2510－8m 2所以当m ＝0时，AB 最大，此时直线方程为y ＝x .反思与感悟 求最值问题的基本策略(1)求解形如PA ＋PB 的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时PA ＋PB 取得最值，即应用“化曲为直”的思想．(2)求解形如PA 的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决．(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．跟踪训练4 已知动点P (x ，y )在椭圆＋＝1上，若点A 的坐标为(3,0)，||＝1，且x 225y 216AM → ·＝0，求||的最小值．PM → AM → PM → 解 由||＝1，A (3,0)，知点M 在以A (3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，AM → ∵·＝0且P 在椭圆上运动，PM → AM → ∴PM ⊥AM ，即PM 为⊙A 的切线，连结PA (如图)，则||＝PM → |PA →|2－|AM → |2＝，|PA → |2－1∵由椭圆方程知a ＝5，c ＝3，∴当||min ＝a －c ＝5－3＝2时，||min ＝.PA → PM → 31．点A (a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a 的取值范围是________．x 24y 22答案 (－，)22解析 由题意知＋<1，解得－<a <.a 2412222．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是________．x 24答案 相离解析 把x ＋y －3＝0代入＋y 2＝1，x 24得＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.x 24∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则3椭圆的长轴长为________．答案 27解析 由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a >2)，与直线方程x ＋y ＋4＝0联立，得x 2a 2y 2a 2－434(a 2－3)y 2＋8·(a 2－4)y ＋(16－a 2)(a 2－4)＝0，由Δ＝0，得a ＝，所以椭圆的长轴长为237.74．若直线y ＝kx ＋b 与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b 的取值范围为________．x 29y 24答案 (－2,2)解析 ∵直线y ＝kx ＋b 恒过定点(0，b )，且直线y ＝kx ＋b 与椭圆＋＝1恒有两个公共x 29y 24点，∴点(0，b )在椭圆＋＝1内部，∴－2<b <2.x 29y 245．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆＋y 2＝1交于M ，N 两点，且MN ＝，求直线l 的方程．x 22423解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由Error!消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－，x 1x 2＝0.4k1＋2k 2由MN ＝，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝，423329所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝，329所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝，329即(1＋k 2)2＝，(－4k1＋2k 2)329化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题：(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有AB ＝＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝·，1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或AB ＝(1＋1k 2)(y 1－y 2)2＝·(k 为直线斜率)．1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的三种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，将点的坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P (x 0，y 0)，设其一交点为A (x ，y)，则另一交点为B (2x 0－x,2y 0－y )，则Error!两式作差即得所求直线方程．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．一、填空题1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b ＝________.答案 ±1解析 因为椭圆x 2＋＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，y 210所以b ＝1或－1.2．已知A 1，A 2，B 1，B 2，F 1，F 2是椭圆＋＝1(a >b >0)的左、右顶点，上、下顶点和左、x 2a 2y 2b 2右焦点，四边形A 1B 1A 2B 2的面积是四边形B 1F 2B 2F 1面积的2倍，则椭圆的离心率为________．答案 12解析 依题意得，×b ×2a ×2＝2××b ×2c ×2，1212即a ＝2c ，故离心率e ＝＝.c a 123．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆＋＝1的x 29y 24交点个数为________．答案 2解析 因为直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，所以>2，所以m 2＋n 2<4，|－4|m 2＋n 2即点P (m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，故过点P (m ，n )的直线与椭圆＋＝1有两个交点．x 29y 244．已知F 1为椭圆C ：＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A ，B 两点，那x 22么F 1A ＋F 1B 的值为________．答案 823解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由Error!联立得3x 2－4x ＝0，可知A (0，－1)，B ，(43，13)又F 1(－1,0)，∴F 1A ＋F 1B ＝＋＝.25238235．已知F 1，F 2是椭圆＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取最大值x 24的点P 的坐标为________．答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4，∴PF 1·PF 2≤2＝4，(PF 1＋PF 22)当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，取等号．6．椭圆＋＝1(a >b >0)的离心率为，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 2a 2y 2b 222x 0＝b ，则k 的值为________．答案 ±22解析 根据椭圆的离心率为，得＝.22ca 22设交点的纵坐标为y 0，由x 0＝b ，得y ＝b 2＝，20(1－b 2a 2)b 2c 2a 2∴y 0＝±，∴k ＝＝±＝±.bca y 0x 0ca 227．已知椭圆：＋＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于x 24y 2b 2A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________．答案 3解析 由题意知a ＝2，所以BF 2＋AF 2＋AB ＝4a ＝8，因为BF 2＋AF 2的最大值为5，所以AB 的最小值为3，当且仅当AB ⊥x 轴时，取得最小值，此时A，B，代入(－c ，32)(－c ，－32)椭圆方程得＋＝1，又c 2＝a 2－b 2＝4－b 2，所以＋＝1，即1－＋＝1，c 2494b 24－b 2494b 2b 2494b 2所以＝，解得b 2＝3，所以b ＝.b 2494b 238．人造地球卫星的运行是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面p 千米，远地点距地面q 千米，若地球半径为r 千米，则运行轨迹的短轴长为____________．答案 2(p ＋r )(q ＋r )解析 ∵Error!∴b 2＝a 2－c 2＝(a ＋c )(a －c )＝(q ＋r )(p ＋r )，∴2b ＝2.(p ＋r )(q ＋r )9．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是________．答案 x ＋2y －3＝0解析 当所求直线的斜率不存在时不满足题意，故所求直线的斜率存在，设过点M (1,1)的直线方程为y ＝k (x －1)＋1，即y ＝kx ＋1－k .由Error!消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋2k 2－4k －2＝0，所以＝×＝1，x 1＋x 22124k 2－4k1＋2k 2解得k ＝－，所以所求直线方程为y ＝－x ＋，121232即x ＋2y －3＝0.10．若点O 和点F 分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则x 24y 23·的最大值为________．OP→ FP → 答案 6解析 由题意得，F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y ＝3(－2≤x 0≤2)，20(1－x 204)因为＝(x 0，y 0)，＝(x 0＋1，y 0)OP → FP→ 所以·＝x 0(x 0＋1)＋y ＝x ＋x 0＋y OP → FP → 202020＝x ＋x 0＋3＝(x 0＋2)2＋2，20(1－x 204)14所以当x 0＝2时，·取得最大值6.OP→ FP → 11．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k >0)与线段AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点．若＝6，则k 的值为________．ED → DF→ 答案 或2338解析 依题意得椭圆的方程为＋y 2＝1，x 24直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k >0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝.21＋4k 2由＝6知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，ED → DF→得x 0＝(6x 2＋x 1)＝x 2＝.17571071＋4k 2由D 在直线AB 上知，x 0＋2kx 0＝2，x 0＝，21＋2k 所以＝，21＋2k 1071＋4k 2化简得24k 2－25k ＋6＝0，由此解得k ＝或k ＝.2338二、解答题12．设直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点．x 22(1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求||.AB→ 解 (1)将y ＝x ＋b 代入＋y 2＝1，消去y ，x 22整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，x 22所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2>0，解得－<b <.33所以b 的取值范围是(－，)．33(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－.相应地，y 1＝1，y 2＝－.4313所以||＝＝.AB→ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)243213．设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C ：＋＝1(a >1)相交于A ，B 两点，且l 过椭圆C 的x 2a 2y 2a 2－1右焦点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的左焦点，试求椭圆C 的方程．解 由椭圆C ：＋＝1(a >1)x 2a 2y 2a 2－1得c ＝＝1，a 2－(a 2－1)∴椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．又∵l 经过点F 2，∴m ＝－1，即直线l 的方程为y ＝x －1，代入＋＝1(a >1)得x 2a 2y 2a 2－1(2a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2－a 4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝.2a 2－a 42a 2－1又∵以AB 为直径的圆过点F 1，∴AF 1⊥BF 1.∴kAF 1·kBF 1＝－1，即·＝－1，y 1x 1＋1y 2x 2＋1∴y 1y 2＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0.∵y 1＝x 1－1，y 2＝x 2－1，∴(x 1－1)(x 2－1)＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝0，即x 1x 2＝－1，∴＝－1，2a 2－a 42a 2－1解得a 2＝2±.3又∵a 2>1，∴a 2＝2＋，即a 2－1＝1＋.33故所求椭圆的方程为＋＝1.x 22＋3y 21＋3三、探究与拓展14．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，x 2a 2y 2b 2右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________．答案 13解析 设M (－c ，m )，则E ，OE 的中点为D ，则D，又B ，D ，M 三(0，ama －c )(0，am2(a －c ))点共线，所以＝，a ＝3c ，e ＝.m2(a －c )ma ＋c 1315．椭圆＋＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且⊥(O 为坐标原x 2a 2y 2b 2OP → OQ → 点)．(1)求证：＋等于定值；1a 21b 2(2)若椭圆的离心率e ∈，求椭圆长轴长的取值范围．[33，22](1)证明 椭圆的方程可化为b 2x 2＋a 2y 2－a 2b 2＝0.由Error!消去y 得(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.由Δ＝4a 4－4(a 2＋b 2)·a 2·(1－b 2)>0得a 2＋b 2>1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.2a 2a 2＋b 2a 2(1－b 2)a 2＋b 2∵⊥，OP→ OQ → ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∴x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝0.∴2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，即－＋1＝0.2a 2(1－b 2)a 2＋b 22a 2a 2＋b 2∴a 2＋b 2＝2a 2b 2，即＋＝2.1a 21b 2∴＋等于定值．1a 21b 2(2)解 ∵e ＝，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－a 2e 2.ca 又∵a 2＋b 2＝2a 2b 2，∴2－e 2＝2a 2(1－e 2)，即a 2＝＝＋.2－e 22(1－e 2)1212(1－e 2)∵≤e ≤，3322∴≤a 2≤，即≤a ≤，54325262∴≤2a ≤，即椭圆长轴长的取值范围是[，]．5656。
苏教版2018-2019高二数学新学案选修2-1：第三章 圆锥曲线与方程 §1 1.1
§1椭圆1．1椭圆及其标准方程学习目标 1.理解椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程及标准方程的推导过程．知识点一椭圆的定义思考给你两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，如何画出一个椭圆？答案在纸板上固定两个图钉，绳子的两端固定在图钉上，绳长大于两图钉间的距离，笔尖贴近绳子，将绳子拉紧，移动笔尖即可画出椭圆．梳理(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．(2)椭圆的定义用集合语言叙述为：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}．(3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的集合如下表：知识点二椭圆的标准方程思考在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗？答案不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小关系不确定．梳理 (1)椭圆标准方程的两种形式(2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系(3)根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x 2项和y 2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”．如方程为y 25＋x 24＝1的椭圆，焦点在y 轴上，而且可求出焦点坐标F 1(0，－1)，F 2(0,1)，焦距|F 1F 2|＝2.1．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于8的点的集合是椭圆．(×) 2．已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的集合是椭圆．(×) 3．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)两点的距离之和等于点M (5,3)到F 1，F 2的距离之和的点的轨迹是椭圆．(√)4．平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离相等的点的集合是椭圆．(×)类型一椭圆定义的应用例1点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹．考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用解方程x2＋y2－6x－55＝0化成标准形式为(x－3)2＋y2＝64，圆心为(3,0)，半径r＝8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值8>6＝|CP|，所以动点M的集合是椭圆．反思与感悟(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数2a必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．跟踪训练1(1)下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝2的点P的集合为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的集合为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的集合为椭圆．考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用答案②解析①2<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y 轴)．(2)已知一动圆M与圆C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆C2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心M的轨迹方程．考点椭圆的定义题点椭圆定义的应用解由题意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9，设M(x，y)，半径为R，则|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R，故|MC1|＋|MC2|＝10＞6＝|C1C2|，由椭圆定义知，点M 的轨迹是一个以C 1，C 2为焦点的椭圆，且a ＝5，c ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝16.故所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.类型二 椭圆的标准方程例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝⎛⎭⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎫0，－12的椭圆的标准方程．考点 椭圆定义及标准方程的应用 题点 椭圆标准方程的应用解 方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，0＋⎝⎛⎭⎫－122b 2＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14.由a >b >0，知不合题意，故舍去；②当椭圆焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)． 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫132a 2＋⎝⎛⎭⎫132b 2＝1，⎝⎛⎭⎫－122a 2＋0＝1，解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.方法二 设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )．则⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4.所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，故椭圆的标准方程为y 214＋x 215＝1.引申探究求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程．解 由题意可设其方程为x 225＋λ＋y 29＋λ＝1(λ>－9)，又椭圆过点(3，15)，将此点代入椭圆方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的椭圆方程为x 236＋y 220＝1.反思与感悟 (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m >0，n >0)．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(a >b >0，λ＞－b 2)，与椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)有公共焦点的椭圆方程为y 2a 2＋λ＋x 2b 2＋λ＝1(a >b >0，λ＞－b 2)．跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 (1)设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意可知2a ＝10，c ＝4，故b 2＝a 2－c 2＝9， 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，则⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，25A ＋B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝391，B ＝1691.故所求椭圆的标准方程为x 2913＋y 29116＝1.(3)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由⎩⎨⎧4a 2＝1，1b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.类型三 求与椭圆有关的轨迹方程例3 已知B ，C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以BC 的中点O 为坐标原点，过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示．由|BC |＝8可知点B (－4,0)， C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>8＝|BC |，因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10，但点A 不在x 轴上． 由a ＝5，c ＝4，得b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．反思与感悟 求动点的轨迹方程常用的方法(1)定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹(如椭圆、圆等)的定义，则可用定义直接求解．(2)直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等式后化简，得出动点的轨迹方程．(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动点的轨迹方程．跟踪训练3 如图，设定点A (6,2)，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的动点，求线段AP 的中点M 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法 题点 相关点法求椭圆的标准方程 解 设M (x ，y )，P (x 1，y 1)． ∵M 为线段AP 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y －2， 又∵x 2125＋y 219＝1，∴点M 的轨迹方程为(x －3)225＋(y －1)29＝14.1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8 考点 椭圆的标准方程题点 由椭圆的标准方程求焦点、焦距 答案 D解析 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，|PF 1|＝2， 结合椭圆定义|PF 2|＋|PF 1|＝10，可得|PF 2|＝8.2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 答案 A解析 c ＝1，a ＝12×((2＋1)2＋0＋(2－1)2＋0)＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积＝________.考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4解析 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝ 5. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1， ∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，且|F 1F 2|＝25， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， ∴△PF 1F 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×2×4＝4.4．在椭圆x 23＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的路程为________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 4 3解析 把粒子运动轨迹表示出来，可知整个路程为4a ，即4 3.5．若△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且b ＝6，求顶点B 的轨迹方程． 考点 椭圆标准方程的求法 题点 定义法求椭圆的标准方程解 以直线AC 为x 轴，AC 的中点为原点，建立平面直角坐标系，设A (－3,0)，C (3,0)，B (x ，y )，则|BC |＋|AB |＝a ＋c ＝2b ＝12＞6＝|AC |， ∴B 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆， 且a ′＝6，c ′＝3，b ′2＝27. 故所求的轨迹方程为x 236＋y 227＝1(y ≠0)．1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹是椭圆； 当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2； 当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．所谓椭圆的标准方程，指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点．在x 2a 2＋y 2b 2＝1与y 2a 2＋x 2b 2＝1这两个标准方程中，都有a >b >0的要求，如方程x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )就不能确定焦点在哪个轴上．分清两种形式的标准方程，可与直线截距式x a ＋yb ＝1类比，如x 2a 2＋y 2b 2＝1中，由于a >b ，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看x 2，y 2分母的大小)．3．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是通过待定系数法求解，二是通过椭圆的定义进行求解．一、选择题1．平面内，F 1，F 2是两个定点，“动点M 满足|MF 1→|＋|MF 2→|为常数”是“M 的轨迹是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 B解析 当|MF 1→|＋|MF 2→|＞|F 1F 2→|时，M 的轨迹才是椭圆．2．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m 的值为( )A ．9B ．4C ．3D ．2考点 椭圆的标准方程题点 已知椭圆的焦点位置、焦距求参数答案 C解析 由题意可知25－m 2＝16，解得m ＝3.3．已知椭圆x 2100＋y 264＝1的左焦点为F 1，一动直线过椭圆右焦点F 2且与椭圆交于点M ，N ，则△F 1MN 的周长为( ) A ．16 B ．20 C ．32D ．40考点 椭圆的定义 题点 椭圆定义的应用 答案 D解析 结合椭圆的定义，知a ＝10，且△F 1MN 的周长为4a ＝40.4．已知△ABC 的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0,4)，则顶点A 的轨迹方程是( ) A.x 236＋y 220＝1(x ≠0) B.x 220＋y 236＝1(x ≠0) C.x 26＋y 220＝1(x ≠0) D.x 220＋y 26＝1(x ≠0) 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 B解析 由|AB |＋|AC |＝12＞|BC |＝8，得点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆(x ≠0)． 5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝12，则∠F 1PF 2的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150° 考点 椭圆定义及其标准方程的应用 题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用 答案 B解析 因为|PF 1|＋|PF 2|＝8，|F 1F 2|＝27， cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝12.又因为∠F 1PF 2∈[0°，180°)，所以∠F 1PF 2＝60°.6．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 C解析 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 设椭圆的右焦点为F 2，由题意，知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|， 又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义，知P 点的轨迹是椭圆．二、填空题8．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________________．考点 椭圆的标准方程题点 由定义求标准方程答案 y 216＋x 2＝1 解析 由已知得2a ＝8,2c ＝215，所以a ＝4，c ＝15，所以b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1.又椭圆的焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1. 9．已知椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到该椭圆一个焦点F 的距离为2，N 是MF 的中点，O 为坐标原点，那么线段ON 的长是________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 4解析 设椭圆的另一个焦点为E ，则|MF |＋|ME |＝10，∴|ME |＝8，又ON 为△MEF 的中位线，∴|ON |＝12|ME |＝4. 10．设F 1，F 2分别为椭圆x 23＋y 2＝1的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若F 1A →＝5F 2B →，则点A 的坐标是________．考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆标准方程的应用答案 (0，±1)解析 根据题意，设A 点坐标为(m ，n )，B 点坐标为(c ，d )．F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－2，0)，(2，0)，可得F 1A →＝(m ＋2，n )，F 2B →＝(c －2，d )．∵F 1A →＝5F 2B →，∴c ＝m ＋625，d ＝n 5. ∵点A ，B 都在椭圆上，∴m 23＋n 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋62523＋⎝⎛⎭⎫n 52＝1. 解得m ＝0，n ＝±1，故点A 坐标为(0，±1)．11．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左，右焦点，P 为椭圆上任意一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________．考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 15解析 由椭圆定义知|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.三、解答题12．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 在椭圆上，且△PF 1F 2的面积为22b 2，求cos ∠F 1PF 2的值． 考点 椭圆定义及其标准方程的应用题点 椭圆定义及其标准方程的综合应用解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝4c 2， 整理得|PF 1|·|PF 2|＝2b 21＋cos ∠F 1PF 2. ∵△PF 1F 2的面积为22b 2， ∴12×2b 21＋cos ∠F 1PF 2×sin ∠F 1PF 2＝22b 2， ∴1＋cos ∠F 1PF 2＝2sin ∠F 1PF 2，又∵sin 2∠F 1PF 2＋cos 2∠F 1PF 2＝1，∴cos ∠F 1PF 2＝13(cos ∠F 1PF 2＝－1舍去)． 13．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2. (1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的标准方程． 考点 椭圆标准方程的求法题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 (1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1， 得8x 281＋436＝1，即x 2＝9， 解得x ＝±3，即M 的横坐标为3或－3.(2)椭圆x 29＋y 24＝1的焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5. 设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2＞5)， 把M 点坐标代入椭圆方程，得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15(a 2＝3舍去)．故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 四、探究与拓展14．已知椭圆x 23＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，M 是椭圆上一点，且|MF 1|－|MF 2|＝1，则△MF 1F 2是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形考点 椭圆的定义题点 椭圆定义的应用答案 B解析 由椭圆定义，知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，且已知|MF 1|－|MF 2|＝1，所以|MF 1|＝52，|MF 2|＝32. 又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以|MF 1|2＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2，因此∠MF 2F 1＝90°，即△MF 1F 2为直角三角形．15.如图所示，△ABC 的底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．考点 椭圆标准方程的求法题点 定义法求椭圆的标准方程解 以BC 边所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，CE ，BD 分别为AB ，AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知，|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20＞12. ∵B ，C 是两个定点，G 点到B ，C 的距离和等于定值20，且20＞12，∴G 点的轨迹是椭圆，B ，C 是椭圆焦点，∴2c ＝|BC |＝12，c ＝6,2a ＝20，a ＝10，b 2＝a 2－c 2＝102－62＝64，故G 点的轨迹方程为x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)． 设G (x ′，y ′)，A (x ，y )，则有x ′2100＋y ′264＝1. 由重心坐标公式知⎩⎨⎧ x ′＝x 3，y ′＝y 3，故A 点轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x 32100＋⎝⎛⎭⎫y 3264＝1，即x 2900＋y 2576＝1(x ≠±30).。
苏教版2018-2019高二数学新学案选修2-1：第三章 圆锥曲线与方程 §3 3.1
§3双曲线3．1双曲线及其标准方程学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．知识点一双曲线的定义思考如图，若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？答案曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．梳理(1)平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距；(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点集合为空集．(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的集合只有双曲线的一支．(4)若常数为零，其余条件不变，则点的集合是线段F1F2的中垂线．知识点二双曲线的标准方程思考双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？答案双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定．梳理 (1)双曲线两种形式的标准方程(2)焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．1．平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(×) 2．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) 3．平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×)类型一 双曲线定义的应用例1 (1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5D ．3考点 双曲线的定义题点 双曲线定义的应用 答案 B解析 由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， 即|3－|PF 2||＝6，解得|PF 2|＝9(负值舍去)，故选B.(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．48考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2，3|PF 1|＝4|PF 2|，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又由|F 1F 2|＝10，可得△PF 1F 2是直角三角形， 则12PF F S＝12×|PF 1|×|PF 2|＝24. 反思与感悟 焦点F 1，F 2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x 2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．跟踪训练1 在△ABC 中，已知|AB |＝42，A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，求顶点C 的轨迹方程．考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用解 由sin B －sin A ＝12sin C 及正弦定理，可得b －a ＝c2，从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22＜|AB |，由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6，∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x ＞2)．类型二 求双曲线的标准方程例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦距为26，且经过点M (0,12)；(2)双曲线上两点P 1，P 2的坐标分别为(3，－42)，⎝⎛⎭⎫94，5. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎨⎧n ＝116，m ＝－19，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.反思与感悟 待定系数法求方程的步骤(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式：①若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)； ②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－k －y 2b 2＋k ＝1(－b 2<k <a 2)．(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程．跟踪训练2 (1)求以椭圆x 216＋y 29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线过P ⎝⎛⎭⎫3，154，Q ⎝⎛⎭⎫－163，5两点，求双曲线的标准方程． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)由题意，知双曲线的两焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程，得25a 2－16b 2＝1.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝5，b 2＝4， 所以双曲线的标准方程为y 25－x 24＝1.(2)若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，所以⎩⎨⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将P ，Q 两点坐标代入可得⎩⎨⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.类型三 双曲线定义及标准方程的应用例3 在相距2000m 的两个哨所A ，B ，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所迟4s ，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程．考点 双曲线的标准方程的求法 题点 定义法求双曲线的标准方程解 设爆炸点为P ，由已知可得|P A |－|PB |＝330×4＝1 320＞0.因为|AB |＝2 000＞1 320，所以点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的靠近B 处的那一支上，建立如图所示的平面直角坐标系，使A ，B 两点在x 轴上，以线段AB 的中点为坐标原点．由2a ＝1 320,2c ＝2 000，得a ＝660，c ＝1 000，b 2＝c 2－a 2＝564 400. 因此，点P 所在曲线的方程是x 2435 600－y 2564 400＝1(x ≥660)．反思与感悟 可以结合双曲线的性质，建立平面直角坐标系，然后结合双曲线的定义，建立关系式，然后化简，求出相应的方程．跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1有交点P ，且有公共的焦点，且∠F 1PF 2＝2α，求证：tan α＝nb .考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数证明 如图所示，设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，|F 1F 2|＝2c ，则在△PF 1F 2中，对于双曲线有|r 2－r 1|＝2m ，∴cos2α＝r 21＋r 22－(2c )22r 1r 2＝(r 1－r 2)2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝4m 2－4c 2＋2r 1r 22r 1r 2＝－2n 2r 1r 2＋1，∴1－cos2α＝2n 2r 1r 2，∴sin α＝n r 1r 2. 则在△PF 1F 2中，对于椭圆有r 1＋r 2＝2a ，cos2α＝r 21＋r 22－4c22r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－4c 2－2r 1r 22r 1r 2＝4b 2－2r 1r 22r 1r 2＝2b 2r 1r 2－1，∴1＋cos2α＝2b 2r 1r 2，∴cos α＝br 1r 2， ∴tan α＝nb.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是( )A ．－1<m <3B ．m >－1C ．m >3D ．m <－1考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 B解析 依题意应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 D解析 F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．3．过点(1,1)，且ba ＝2的双曲线的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 考点 双曲线的标准方程题点 待定系数法求双曲线的标准方程答案 D解析 ∵b a ＝2，∴b 2＝2a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 22a 2＝1，将点(1,1)代入方程中，得a 2＝12.此时双曲线方程为x 212－y 2＝1.同理求得焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 212－x 2＝1.4．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________． 考点 双曲线标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线标准方程 答案 y 225－x 275＝1解析 设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(n ＞0，m ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.5．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值为________．考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，0＜a 2＜4，4－a 2＝a ＋2，解得a ＝1.1．双曲线定义的理解(1)定义中距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．设F 1，F 2表示双曲线的左、右焦点：若|MF 1|－|MF 2|＝2a ，则点M 在右支上； 若|MF 2|－|MF 1|＝2a ，则点M 在左支上． (2)双曲线定义的双向运用：①若||MF 1|－|MF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)，则动点M 的轨迹为双曲线； ②若动点M 在双曲线上，则||MF 1|－|MF 2||＝2a . 2．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2，b 2的数值，常由条件列方程组求解．特别提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn <0.一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的焦距是( ) A ．2B ．22C ．43D ．4 2 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 C解析 因为双曲线方程可化为x 24－y 28＝1，所以c 2＝4＋8＝12，得c ＝23，所以2c ＝4 3.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 1，F 2为其两个焦点，若过焦点F 1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为( ) A ．4a B ．4a －m C ．4a ＋2mD ．4a －2m考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C解析 |AF 2|＞|AF 1|，由双曲线的定义， 知|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ， 所以|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|BF 1|)＋4a ＝m ＋4a ，于是△ABF 2的周长l ＝|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .故选C.3．若k ∈R ，则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 A解析 当k >5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，k >5或k <2.故选A. 4．已知双曲线x 2m －y 23m ＝1的一个焦点是(0,2)，则实数m 的值是( )A ．1B ．－1C ．－105 D.105考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 B解析 由焦点坐标知焦点在y 轴上，∴m <0， ∴双曲线的标准方程为y 2－3m －x 2－m ＝1，∴－m －3m ＝4，∴m ＝－1.5．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 B解析 由已知条件，得焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝5.①∵线段PF 1的中点的坐标为(0,2)，∴点P 的坐标为(5，4)，将其代入双曲线的方程， 得5a 2－16b2＝1.② 由①②解得a 2＝1，b 2＝4，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1.6．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2等于( ) A.14B.35C.34D.45 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C解析 由双曲线定义知，|PF 1|－|PF 2|＝22， 又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝22，|PF 1|＝42，|F 1F 2|＝2c ＝2a 2＋b 2＝4. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝32＋8－162×22×42＝2416×2＝34.7．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M (0,2)，则△PFM的周长的最小值为( ) A ．2＋4 2 B ．4＋2 2 C ．3 2D ．26＋3考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 A解析 由题意可知c ＝2，a ＝1，设F 1为左焦点， 则|MF |＝22，则|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PF 1|＋2a ， 当M ，P ，F 1三点共线时(P 在M ，F 1之间)， |PM |＋|PF 1|最小，最小值为|MF 1|，|MF 1|＝22， 故周长的最小值为22＋2＋22＝2＋4 2. 二、填空题8．已知F 1，F 2是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，且PQ 的倾斜角为60°，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 16 解析 z9．若曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，则m 的取值范围为________．考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 (2，＋∞)解析 由曲线C ：mx 2＋(2－m )y 2＝1是焦点在x 轴上的双曲线，可得x 21m －y 21m －2＝1，即有m ＞0，且m －2＞0，解得m ＞2.10．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________________． 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 x 24－y 2＝1解析 由题意可设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.根据双曲线定义有||PF 1|－|PF 2||＝2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2， 得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4， 从而b 2＝5－4＝1， 所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.11．过双曲线x 2144－y 225＝1的一个焦点作x 轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________． 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案2512，31312解析 因为双曲线方程为x 2144－y 225＝1，所以c ＝144＋25＝13.设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点， 则F 1(－13,0)，F 2(13,0)．设过F 1且垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A (－13，y )(y ＞0)，则y 225＝132144－1＝25144，所以y ＝2512，即|AF 1|＝2512.又|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝24， 所以|AF 2|＝24＋2512＝31312.即所求距离分别为2512，31312.三、解答题12．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．考点 双曲线标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 已知双曲线x 216－y 29＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意知b 2＝25－a 2，故所求双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在所求双曲线上， ∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a 2＝1，化简得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254.当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去， ∴a 2＝1，b 2＝24，∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.13．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.(1)若点M 在双曲线上，且MF 1→·MF 2→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程．考点 双曲线标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程解 (1)如图所示，不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，MF 1→·MF 2→＝0，则MF 1⊥MF 2， 设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线定义，知m －n ＝2a ＝8，① 又m 2＋n 2＝(2c )2＝80，② 由①②得m ·n ＝8， ∴12mn ＝4＝12|F 1F 2|·h ， ∴h ＝255.(2)设所求双曲线C 的方程为 x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)， 由于双曲线C 过点(32，2)， ∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)， ∴所求双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1.四、探究与拓展14．焦点在x 轴上的双曲线经过点P (42，－3)，且Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________． 答案 x 216－y 29＝1解析 设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)， 则由QF 1⊥QF 2，得kQF 1·kQF 2＝－1， ∴5c ·5－c＝－1，∴c ＝5， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵双曲线过(42，－3)，∴32a 2－9b2＝1，又∵c 2＝a 2＋b 2＝25，∴a 2＝16，b 2＝9， ∴双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.15．已知△OFQ 的面积为26，且OF →·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6＜m ＜46，求OF →与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围；(2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．考点 双曲线标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧12|OF →|·|FQ →|sin (π－θ)＝26，|OF →|·|FQ →|cos θ＝m ，所以tan θ＝46m .又6＜m ＜46， 所以1＜tan θ＜4，即tan θ的取值范围为(1,4)．(2)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，Q (x 1，y 1)，则FQ →＝(x 1－c ，y 1)，所以S △OFQ ＝12|OF →|·|y 1|＝26，则y 1＝±46c .又OF →·FQ →＝m ，即(c,0)·(x 1－c ，y 1)＝⎝⎛⎭⎫64－1c 2，解得x 1＝64c ， 所以|OQ →|＝x 21＋y 21＝38c 2＋96c2≥12＝23， 当且仅当c ＝4时，取等号，|OQ →|最小， 这时Q 的坐标为(6，6)或(6，－6)．因为⎩⎪⎨⎪⎧6a 2－6b 2＝1，a 2＋b 2＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝12，于是所求双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.。
苏教版2018-2019高二数学新学案选修2-1：第三章 圆锥曲线与方程 疑难规律方法 第三章
1 利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明． 1．求最值例1 线段|AB |＝4，|P A |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( ) A ．2B.2C.5D ．5解析 由于|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为中心，A ，B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5. 答案 C 2．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2的距离之积最大的点的坐标是________．解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫1022＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝|PF 2|， 解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点， 即所求点的坐标为(±3,0)． 答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标． 3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知，得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2. 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①，得|PF 1|＝65.所以12PF F S＝12|PF 1||F 1F 2|·sin120° ＝12×65×2×32＝353， 即△PF 1F 2的面积是353.点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2 如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1 以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析 如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，半焦距为c ，由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴|AF 2|＝c ， |AF 1|＝2c ·sin60°＝3c . ∴|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.答案3－1点评 本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，则椭圆的离心率e ＝________. 解析 如图所示，直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.∵点F 1(－c,0)到直线AB 的距离为b 7，∴b 7＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2， ∴7|a －c |＝a 2＋b 2，即7a 2－14ac ＋7c 2＝a 2＋b 2. 又∵b 2＝a 2－c 2，整理，得5a 2－14ac ＋8c 2＝0. 两边同除以a 2并由e ＝ca 知，8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54(舍去)．答案 123．利用数形结合求离心率例3 在平面直角坐标系中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O 的半径为a ，过点P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆O 的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e ＝________. 解析 如图所示，切线P A ，PB 互相垂直，|P A |＝|PB |.又OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，|OA |＝|OB |， 则四边形OAPB 是正方形， 故|OP |＝2|OA |， 即a 2c ＝2a ，∴e ＝c a ＝22. 答案224．综合类例4 设M 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF 1F 2＝75°，∠MF 2F 1＝15°，求椭圆的离心率． 解 由正弦定理得2c sin90°＝|MF 1|sin15°＝|MF 2|sin75°＝|MF 1|＋|MF 2|sin15°＋sin75°＝2asin15°＋sin75°，∴e ＝c a ＝1sin15°＋cos15°＝12sin60°＝63.3 抛物线的焦点弦例1 如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A ，M ，B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，M 1，B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB |＝2⎝⎛⎭⎫x 0＋p2(焦点弦长与中点坐标的关系)； (3)|AB |＝x B ＋x B ＋p ；(4)A ，B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x A x B ＝p 24，y A y B ＝－p 2；(5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A ，O ，B 1三点共线； (7)1|F A |＋1|FB |＝2p. 以下以第(7)条结论为例证明： 证明 当直线AB 的斜率不存在， 即与x 轴垂直时，|F A |＝|FB |＝p ， ∴1|F A |＋1|FB |＝1p ＋1p ＝2p. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，并代入y 2＝2px ， ∴⎝⎛⎭⎫kx －kp22＝2px ， 即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0.由A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24.∵|F A |＝x A ＋p 2，|FB |＝x B ＋p2，∴|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ， |F A |·|FB |＝⎝⎛⎭⎫x A ＋p 2⎝⎛⎭⎫x B ＋p 2 ＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p2(x A ＋x B ＋p )．∴|F A |＋|FB |＝|F A |·|FB |·2p ，即1|F A |＋1|FB |＝2p.点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例2 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由F A →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3，|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6.答案 64 求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究． 1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫作定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围．解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，∴N 的轨迹是以C ，A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆． 当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )， ∴直线l 的方程为x －1＋yb ＝1，即bx －y ＋b ＝0.设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴⎩⎨⎧yx －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y2＋b ＝0，消去x 得y ＝4bb 2＋1.∵离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴14≤e 2≤34，即14≤1a 2≤34.∴43≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b ≤2，当且仅当b ＝1时取等号．又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]． 2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2， ∴d 22－d 21＝25，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －2y ＋3132－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋2132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65.点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可． 3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程．解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23，所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点， 所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2 ＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)， ∵点P 是线段QN 的中点， ∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2， 即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1，即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)．又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12.点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P ，Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解． 5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫作参数法．例5 已知点P 在直线x ＝2上移动，直线l 通过原点且与OP 垂直，通过点A (1,0)及点P 的直线m 和直线l 交于点Q ，求点Q 的轨迹方程． 解 如图，设OP 的斜率为k ，则P (2,2k )．当k ≠0时， 直线l 的方程为y ＝－1k x ；①直线m 的方程为y ＝2k (x －1)．②联立①②消去k ，得2x 2＋y 2－2x ＝0 (x ≠1)．当k ＝0时，点Q 的坐标(0,0)也满足上式，故点Q 的轨迹方程为2x 2＋y 2－2x ＝0(x ≠1)．5 解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB → (λ，μ∈R )，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合， 则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)，∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1，②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0，又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，∴y 0＝－b 2a 2x 0.∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝⎛⎭⎫1，－b 2a 2， ∵ON →∥a ，∴13＝b 2a2.∴a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2， 又直线方程为y ＝x －c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2，得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0. ∵x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2. 又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2，x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2 ＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于Q ，P ，与椭圆分别交于点M ，N ，各点均不重合且满足PM →＝λ1MQ →，PN →＝λ2NQ →. (1)求椭圆的标准方程；(2)若λ1＋λ2＝－3，试证明：直线l 过定点并求此定点．解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由题意知b ＝1，且(2a )2＋(2b )2＝2(2c )2， 又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 23＋y 2＝1.(2)由题意设P (0，m )，Q (x 0,0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 设直线l 的方程为x ＝t (y －m )，由PM →＝λ1MQ →知(x 1，y 1－m )＝λ1(x 0－x 1，－y 1)， ∴y 1－m ＝－y 1λ1，由题意知y 1≠0，∴λ1＝my 1－1.同理由PN →＝λ2NQ →知λ2＝m y 2－1.∵λ1＋λ2＝－3，∴y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＝0，①联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，x ＝t (y －m )，得(t 2＋3)y 2－2mt 2y ＋t 2m 2－3＝0，由题意知Δ＝4m 2t 4－4(t 2＋3)(t 2m 2－3)>0，② 且有y 1＋y 2＝2mt 2t 2＋3，y 1y 2＝t 2m 2－3t 2＋3，③③代入①得t 2m 2－3＋2m 2t 2＝0， ∴(mt )2＝1，由题意知mt <0，∴mt ＝－1，满足②，得l 方程为x ＝ty ＋1，过定点(1,0)，即Q 为定点． 2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′的坐标为(4,0)，根据双曲线的定义知，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|P A |＝4＋|PF ′|＋|P A |，∴要使|PF |＋|P A |最小，只需|PF ′|＋|P A |最小即可，|PF ′|＋|P A |最小需P ，F ′，A 三点共线，最小值即4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝4＋5＝9. 答案 9点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值． 解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．(2)如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＞0，因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →) ＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.6 圆锥曲线中存在探索型问题存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习． 1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论． 解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1， ∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2， 即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a3－a 2，④ 把④代入③，得(2－a )·2a3－a 2＝2，解得a ＝32，经检验符合题意，∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a . 2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在． 解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上， 设圆心的坐标是(－p ，p )(p >0)， 则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8， 由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2， ∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16，且m 2＋n 2≠0，解得⎩⎨⎧m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m1＋3k 2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk.∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12.由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0. 故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .7 圆锥曲线中的易错点剖析1．求轨迹方程时，动点坐标设法不当而致误例1 长为a 的线段AB ，两端点分别在两坐标轴上移动，求线段AB 中点P 的轨迹方程． 错解 如图所示，设A (0，y )，B (x,0)．由中点坐标公式可得P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，连接OP ，由直角三角形斜边上的中线性质有|OP |＝12|AB |＝12a .故⎝⎛⎭⎫x 22＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝⎛⎭⎫a 22，即所求的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.正解 设中点P (x ，y )，A (0，m )，B (n,0)， 则m 2＋n 2＝a 2，x ＝n 2，y ＝m 2，于是所求轨迹方程为x 2＋y 2＝14a 2.2．忽视定义中的条件而致误例2 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线D ．线段错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A.正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2.答案 D3．忽视标准方程的特征而致误例3 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程． 错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m4.又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4. 故－m 4＝－2或－m4＝4.∴m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m .由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y . 4．求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例4 抛物线的焦点F 在x 轴上，点A (m ，－3)在抛物线上，且|AF |＝5，求抛物线的标准方程．错解一 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)． 设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .错解二 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上， 所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为 y 2＝2px (p >0)．设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12. 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x . 当m <0时，点A 在第三象限， 抛物线方程可设为y 2＝－2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝－2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝5＋34，m ＝5－342或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5－34，m ＝5＋342(舍去)． 所以抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2(5＋34)x 或y 2＝2x 或y 2＝18x . 错因分析 当抛物线的焦点位置无法确定时，需分类讨论. 正解 因为抛物线的焦点F 在x 轴上，且点A (m ，－3)在抛物线上，所以当m >0时，点A 在第四象限，抛物线方程可设为y 2＝2px (p >0)，设点A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧(－3)2＝2pm ，p 2＋m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝12， 所以抛物线方程为y 2＝2x 或y 2＝18x .当m <0时，点A 在第三象限，抛物线的方程可设为y 2＝－2px (p >0)， 设A 到准线的距离为d ，则d ＝|AF |＝p2－m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (－3)2＝－2pm ，p 2－m ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1，m ＝－92或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝9，m ＝－12.所以抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x .综上所述，抛物线方程为y 2＝－2x 或y 2＝－18x 或y 2＝2x 或y 2＝18x .8 圆锥曲线中的数学思想方法1．方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．本章中，方程思想的应用最为广泛．例1 已知直线y ＝－12x ＋2和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且a ＝2b ，若|AB |＝25，求椭圆的方程．解 由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋2，x 24b 2＋y2b 2＝1，消去y 并整理得x 2－4x ＋8－2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝8－2b 2. ∵|AB |＝25， ∴1＋14·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝25， 即52·16－4(8－2b 2)＝25， 解得b 2＝4，故a 2＝4b 2＝16. ∴所求椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.2．函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系．这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果．一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法． 例2 若点(x ，y )在x 24＋y 2b 2＝1(b >0)上运动，求x 2＋2y 的最大值．解 ∵x 24＋y 2b 2＝1(b >0)，∴x 2＝4⎝⎛⎭⎫1－y 2b 2≥0，即－b ≤y ≤b .∴x 2＋2y ＝4⎝⎛⎭⎫1－y2b 2＋2y ＝－4y 2b 2＋2y ＋4＝－4b 2⎝⎛⎭⎫y －b 242＋4＋b 24.当b 24≤b ，即0<b ≤4时，若y ＝b 24，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为4＋b 24；当b 24>b ，即b >4时，若y ＝b ，则x 2＋2y 取得最大值，其最大值为2b . 综上所述，x 2＋2y 的最大值为⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 24，0<b ≤4，2b ，b >4.3．转化和化归思想在解决圆锥曲线的综合问题时，经常利用转化和化归思想．转化题中的已知条件和所求，真正化归为直线和圆锥曲线的基本问题．这里的转化和化归非常关键，没有转化和化归，就很难找到解决问题的途径和方法．例3 如图所示，已知椭圆x 224＋y 216＝1，直线l ：x ＝12，P 是l 上任意一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在线段OP 上，且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上运动时，求点Q 的轨迹方程．解 设P (12，y P )，R (x R ，y R )，Q (x ，y )，∠POx ＝α.∵|OR |2＝|OQ |·|OP |，∴⎝⎛⎭⎫|OR |cos α2＝|OQ |cos α·|OP |cos α. 由题意知x R >0，x >0，∴x 2R ＝x ·12.① 又∵O ，Q ，R 三点共线，∴k OQ ＝k OR ，即y x ＝y R x R.② 由①②得y 2R ＝12y 2x.③ ∵点R (x R ，y R )在椭圆x 224＋y 216＝1上，∴x 2R 24＋y 2R 16＝1.④ 由①③④得2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)，∴点Q 的轨迹方程是2(x －1)2＋3y 2＝2(x >0)．4．分类讨论思想本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，所以必须要注意分类讨论．例4 求与双曲线x 24－y 2＝1有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程． 分析 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将λ分为λ>0，λ<0两种情况进行讨论．解 由题意可设所求双曲线的方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)， 即x 24λ－y 2λ＝1(λ≠0)． 当λ>0时，c 2＝4λ＋λ＝5λ＝25，即λ＝5，∴所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1. 当λ<0时，c 2＝(－4λ)＋(－λ)＝－5λ＝25，即λ＝－5，∴所求双曲线的方程为y 25－x 220＝1.综上所述，所求双曲线的方程为x 220－y 25＝1或y 25－x 220＝1. 5．数形结合思想利用数形结合思想，可以解决某些最值、轨迹、参数范围等问题．例5 在△ABC 中，BC 边固定，顶点A 在移动，设|BC |＝m ，当三个角满足条件|sin C －sin B |＝12|sin A |时，求顶点A 的轨迹方程． 解 以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示．则B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m 2，0.设点A 坐标为(x ，y )，由题设，得|sin C －sin B |＝12|sin A |. 根据正弦定理，得||AB |－|AC ||＝12m ＜m . 可知点A 在以B ，C 为焦点的双曲线上．2a ＝12m ，∴a ＝m 4. 又c ＝12m ，∴b 2＝c 2－a 2＝m 24－m 216＝316m 2. 故所求点A 的轨迹方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(y ≠0)．。
高中数学苏教版选修2-1学案：3章末复习课
学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则知识点二用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.类型一空间向量及其运算例1如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________.反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练1如图，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，M 分AC →成的比为12，N 分A 1D →成的比为2，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，试用a 、b 、c 表示MN →.类型二利用空间向量解决位置关系问题例2四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是P A的中点，求证：(1)PC∥平面EBD.(2)平面PBC⊥平面PCD.跟踪训练2正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.类型三利用空间向量求角例3如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值.反思与感悟用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a 的方向向量a 的夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，再利用公式sin θ＝|cos 〈n ，a 〉|，求θ. (3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.跟踪训练3如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE ⊥EC ，AB ＝BE ＝EC ＝2，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点.(1)求证：GF ∥平面ADE ；(2)求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值.1.已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝________.2.若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值是________.3.已知向量a ＝(4－2m ，m －1，m －1)与b ＝(4,2－2m ，2－2m )平行，则m ＝________.4.已知平面α经过点O (0,0,0)，且e ＝(1,1,1)是α的一个法向量，M (x ，y ，z )是平面α内任意一点，则x ，y ，z 满足的关系式是________.5.已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，且c ∥BC →，求向量c ； (2)求向量a 与向量b 的夹角的余弦值.解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.答案精析知识梳理 知识点一a ⊥μa ·μ＝0μ＝k v ，k ∈R a ⊥b a·b ＝0μ·v ＝0|a ·b ||a ||b ||a ·μ||a ||μ||μ·v ||μ||v | 题型探究 例1③④解析容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④. 跟踪训练113(－a ＋b ＋c )例2证明如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DA ，DP 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设DC ＝a ，PD ＝b ，则D (0,0,0)，C (a ，0,0)，B (a ，a,0)，P (0，0，b )，E (0，a 2，b2).(1)DE →＝(0，a 2，b 2)，DB →＝(a ，a,0)，PC →＝(a,0，－b ).设平面EBD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，令x ＝1，得n ＝(1，－1，a b)，因为PC →·n ＝(a,0，－b )·(1，－1，a b )＝0，所以PC →⊥n ，故PC ∥平面EBD .(2)由题意得平面PDC 的一个法向量为DA →＝(0，a,0)， 又PB →＝(a ，a ，－b )，PC →＝(a,0，－b )， 设平面PBC 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，PC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1－bz 1＝0，ax 1－bz 1＝0，得y 1＝0，令x 1＝1，则z 1＝ab ，所以m ＝(1,0，ab)，因为DA →·m ＝(0，a,0)·(1,0，a b )＝0，所以DA →⊥m ，即平面PBC ⊥平面PCD .跟踪训练2证明如图，建立空间直角坐标系D －xyz .设正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1(0,0,1)， A (1，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫0，12，0. ∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1.设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和平面A 1FD 1的一个法向量，令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2).又由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1A 1→＝0，n ·D 1F →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，12y 2－z 2＝0.令z 2＝1，得n ＝(0,2,1). ∵m ·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0， ∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1.例3解(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示，(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ， 则AM ＝A 1E ＝4，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形， 所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6， 所以AH ＝10.以D 为坐标原点，DA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (10,0,0)，H (10,10,0)，E (10，4,8)，F (0,4,8)，FE →＝(10,0,0)， HE →＝(0，－6，8).设n ＝(x ，y ，z )是平面EHGF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·FE →＝0，n ·HE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧10x ＝0，－6y ＋8z ＝0，所以可取n ＝(0,4,3). 又AF →＝(－10,4,8)，故|cos 〈n ，AF →〉|＝|n ·AF →||n ||AF →|＝4515.所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4515.跟踪训练3(1)证明如图，取AE 的中点H ，连结HG ，HD ，又G 是BE 的中点， 所以GH ∥AB ，且GH ＝12AB .又F 是CD 的中点， 所以DF ＝12CD .由四边形ABCD 是矩形， 得AB ∥CD ，AB ＝CD ， 所以GH ∥DF ，且GH ＝DF ，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以GF ∥DH . 又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ， 所以GF ∥平面ADE .(2)解如图，在平面BEC 内，过B 点作BQ ∥EC .因为BE ⊥CE ，所以BQ ⊥BE . 又因为AB ⊥平面BEC ， 所以AB ⊥BE ，AB ⊥BQ .以B 为原点，分别以BE →，BQ →，BA →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A (0,0,2)，B (0,0,0)，E (2,0,0)，F (2,2,1).因为AB ⊥平面BEC ，所以BA →＝(0,0,2)为平面BEC 的法向量.设n ＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量.又AE →＝(2,0，－2)，AF →＝(2,2，－1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －2z ＝0，2x ＋2y －z ＝0.取z ＝2，得n ＝(2，－1,2).从而|cos 〈n ，BA →〉|＝|n ·BA →||n |·|BA →|＝42×3＝23，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23. 当堂训练1.AG →2.－23.1或34.x ＋y ＋z ＝05.解(1)∵c ∥BC →，∴存在实数m ， 使得c ＝mBC →＝m (－2，－1,2) ＝(－2m ，－m,2m ). ∵|c |＝3，∴(－2m )2＋(－m )2＋(2m )2 ＝3|m |＝3， ∴m ＝±1，∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2). (2)∵a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴a ·b ＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1. 又∵|a |＝12＋12＋02＝2， |b |＝(－1)2＋02＋22＝5， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－110＝－1010， 即向量a 与向量b 的夹角的余弦值为－1010.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．空间向量的运算及运算律
空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立．2．两个向量的数量积的计算
向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、射影、夹角等问题中．
3．空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解．常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题．
4．空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的．
5．利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征．一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解．
6．利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法．。