正文

目录第一章问题重述 (2)第二章算法描述 (3)2.1 改进的平方根法算法 (3)2.2 追赶法的算法 (5)第三章简短源程序及有关运行结果 (6)3.1 方程阶数n，系数矩阵A，以及向量b的初始化 (6)3.2 改进的平方根法 (7)3.3 输出结果 (8)3.4 追赶法 (9)第四章问题结果分析及小结 (10)4.1 程序运行结果及分析 (10)4.2 本文小结 (11)参考文献 (12)附件 (13)第一章 问题重述例：先用你所熟悉的计算机语言将平方根法和追赶法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解线性方程组Ax b =，其中b 随机地选取，系数矩阵A 为120阶矩阵（对称正定）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1044104410441044104410对上述方程组还可以采用哪些方法求解？再选用其中一些方法求解上述方程组；对计算结果进行比较分析。

分析：这既是一个正定的方程组也是一个对角占优的三对角方程组，所以此方程既可以用改进的平方根法解，又可以用追赶法解。

同时它也可以用Gauss 消去法 ，直接三角分解法，Gauss-Seidel 迭代法，jacobi 迭代法。

下面就考察改进的平方根法来和追赶法的角度分析如何解决此类特殊方程。

第二章 算法描述2.1 改进的平方根法算法设系数矩阵A 是对称正定方程组，根据“对称三角分解定理”则A 可以唯一分解为A=LDL T ，其中L 为单位下三角阵，D 为对角阵。

即A= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯-11111,21323121n n n n l l l l l l ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯dn 2d 1d ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯-11111,23213121n n n n l l l l l l按行计算L 的元素lij(j=1,2,……i-1）。

由矩阵乘法，并注意lij=1，ljk=0（j<k ）,得a ij =∑=n1k T)(L (LD)kj ik =∑=nk jk k j l d li 1=∑-=11j k jk k j l d li +l ij d j l jj于是得到计算L 的元素及D 的对角元素的算法，求出L 和D 后，求解Ly=b ，DL T x=y 的计算公式求解y 和x 。

步 1 t ij =a ij -∑-=11j k jk ik l t (j=1,2,……，i-1).步 2 l ij =t ij /d j (j=1,2,……，i-1). 步3 d i =a ii -∑-=11i k ik ik l t步4 y 1=b 1,y i =b i -∑-=11i k k k i y l (i=2,……n).步5 x n =yn/dn,i =yi/di-∑+=nikkkixl1(i=n-1,……1).x2.2 追赶法的算法设系数矩阵A非奇异，A有Crout分解A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记可先依次求出L，U中的元素后，令Ux=y，先求解下三角方程组Ly=f得出y，再求解上三角方程组Ux=y。

事实上，求解三对角方程组的2追赶法将矩阵三角分解的计算与求解两个三角方程组的计算放在一起，使算法吏为紧凑。

其计算公式为：我们将计算系数β1→β2→…→βn-1及у1→у2→…→уn的过程成为追的过程，将计算方程组的解χn→χn-1→…→χ1的过程成为赶的过程。

追赶发公式实际上就是把高斯消去法用到求解三对角线方程组上的结果。

这时由于A特别简单，因此使得求解的计算公式非常简单，而且计算量仅为5n-4次乘除法，而另外增加解一个方程组Ax=f2仅增加3n-2次乘除运算，易见追赶法的计算量是比较小的。

第三章简短源程序及有关运行结果3.1 方程阶数n，系数矩阵A，以及向量b的初始化printf("\t\t\t分别用改进平方根法和追赶法求解线性方程组\n\n\n请输入矩阵阶数n：");scanf("%d",&n);printf("a[i][i]=");scanf("%f",&aii);printf("a[i][i+1]=a[i+1][i]=");sc anf("%f",&ai);printf("请输入b:\n");for(i=1;i<n;i++){a[i][i+1]=ai;a[i+1][i]=ai;}for(i=1;i<n+1;i++){a[i][i]=aii;scanf("%f",&b[i]);} //初始化a[][] 向量b[]printf(" \na=\n");for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++){printf("%8.4f",a[i][j]);k++;if(k%n==0)printf("\n");} //按矩阵输出a[][]// 例如：图3.1 三阶的正定三对角占优矩阵的输入3.2 改进的平方根法//首先计算改进的平方根法中的t[][] L[][] D[] y[] x[]printf("\n\n\n//用改进的平方根法求解\n"); // 改进的平方根法求t[][] L[][] D[]for(i=1;i<n+1;i++)l[i][i]=1;d[1]=a[1][1];for(i=2;i<n+1;i++)for(j=1;j<i;j++){ for(k=1,sum=0;k<j;k++)sum+=t[i][k]*l[j][k];t[i][j]=a[i][j]-sum;l[i][j]=t[i][j]/d[j];for(k=1,sum=0;k<i;k++)sum+=t[i][k]*l[i][k];d[i]=a[i][i]-sum;}y[1]=b[1]; // 计算y[]for(i=2,sum=0;i<n+1;i++){for(k=1;k<i;k++)sum+=l[i][k]*y[k];y[i]=b[i]-sum;}x[n]=y[n]/d[n]; // 计算x[]for(sum=0,i=n-1;i>0;i--){for(k=i+1;k<n+1;k++)sum+=l[k][i]*x[k];x[i]=y[i]/d[i]-sum;}3.3 输出结果k=0;printf("\nL=\n");for(i=1;i<n+1;i++)for(j=1;j<n+1;j++){printf("%8.4f",l[i][j]);k++;if(k%n==0)printf("\n");} //按矩阵输出L[][] printf("\n");for(i=1;i<n+1;i++) //输出D[]printf("D[%d]=%8.4f\t",i,d[i]);printf("\n");for(i=1;i<n+1;i++) //输出Y[]printf("y[%d]=%8.4f\t",i,y[i]);printf("\n\n");for(i=1;i<n+1;i++)printf("x[%d]=%8.4f\n",i,x[i]); //输出X[]//这是输出上面步骤计算出的 L[][] D[] y[] x[]。

例如：图3.2 三阶矩阵计算并输出的 L，D，y，x。

3.4 追赶法printf("\n\n//追赶法\n\n");e[1]=a[1][2]/a[1][1];for(i=2;i<n;i++){e[i]=a[i][i+1]/(a[i][i]-a[i][i-1]*e[i-1]);}y[1]=b[1]/a[1][1];for(i=2;i<n+1;i++)y[i]=(b[i]-a[i][i-1]*y[i-1])/(a[i][i]-a[i][i-1]*e[i-1]);x[n]=y[n];for(i=n-1;i>=1;i--){x[i]=y[i]-e[i]*x[i+1];} //X[]的计算过程for(i=1;i<n+1;i++)printf("x[%d]=%8.4f\n",i,x[i]); //输出X[] }图3.3 追赶法输出结果第四章 问题结果分析及小结4.1 程序运行结果及分析为了方便观察，我们考察3阶正定对称方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1044104410⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡141814 它的精确解应该是[1 1 1]， 运行程序的结果如下：图4.1 两种方法运行结果的比较通过以上数据分析，我们得出结论追赶法要优于平方根法，以下从三个方面阐述追赶法的优越性。

1. 占用内存更少。

平方根法采用A= ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯-11111,21323121n n n n l l l l l l ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯dn 2d 1d ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯-11111,23213121n n n n l l l l l l 的分解方式，需要储存L 和D 两个矩阵，具体需要存储(3+n)n/2个数，而追赶法只要存储4n-2.可以看到当n>=3时，(3+n)n/2>4n-2。

即当n>=3时，改进的平方根法需要存储的数据比追赶法大。

2. 运行速度更快。

第一因为改进的平方根法占用内存比追赶法大，它需要计算（1+n ）/2个数值，而追赶法只要计算3n-2个数值。

第二因为改进的平方根法的算法比追赶法的算法用到的运算跟多。

3. 计算精确度高。

从运行结果可以看到追赶法几乎等于精确解，而改进的平方根法精度不如追赶法。

4.2 本文小结通过这次的课程设计，我们发现虽然改进的平方根法和追赶法都能有效解决正定的三对角占有矩阵，但它们之间在还是有区别，而他们的主要区别在于对方程系数矩阵的分解算法的不同，总的来说追赶法优于平方根法。

参考文献[1] 严蔚敏吴伟民．数据结构(C语言版)[M].北京：清华大学出版社，1997.4[2] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].武汉.华中科技大学出版社，2006.7.[3] 清华大学、北京大学计算方法编写组。