山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册第十五章整式的乘除 15.4.2 公式法(一)教案新人教版

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人教版八年级数学上册《十五章整式的乘除与因式分解. 15.4 因式分解..(通用)》优质课教案_10

因式分解之“提公因式法”【学习目标】1.“因式分解”的概念。

2.体会“整式乘法”与“分解因式”之间的联系．学会逆向思维、渗透化归的思想方法。

3.什么是公因式？如何找公因式?初步掌握“提公因式法”进行因式分解。

【学习重点】掌握用“提公因式法”进行因式分解。

【学习难点】如何确定公因式、以及提出公因式后的另一个因式。

1、预习书本114115P -①.______________________________)1(==+x x .__________________________)1)(1(==-+x x)1(+x x x x +2 )1)(1(-+x x 12-x②因式分解：把一个化成几个的的形式，这种变形叫做把这个多项式______,也叫做把这个多项式____________。

③思考：“因式分解”与“整式乘法”之间的区别. 小结：2、及时反馈：判断下列各式哪些是“整式乘法”?哪些是“因式分解”?或者两者都不是．．．？ ).3(26)4(4)4(44)3(62)3(2)2()()1(223222xy y x y x x x x x xy x y x x y x x xy x -=-++=++-=--=-；；；探究二：“提公因式法”进行因式分解：观察一：下列多项式的各项有什么特点？ mc mb ma ++“公因式”的概念：多项式中各项都含有的，叫做这个多项式的公因式。

试一试: 找出下列各式的公因式① 426,3x x ②cab b a 32312,8分析：归纳小结：如何找出公因式？及时反馈：找出下列各多项式中各项的公因式；3232186)1(m n n m +-；b a y b a x b a 4223312168)2(++c b a ++)(2)3(观察二、如何将mc ma ma ++ 写成几个整式乘积的形式？mc ma ma ++=.“提公因式法“”分解因式：如果多项式各项都有公因式，那么就可以把这个公因式，将多项式写成的形式，这种因式分解的方法叫做提取公因式法。

初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介

新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书 ?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。

本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。

本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。

整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是此后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中拥有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其余科学技术不行缺乏的数学基础知识.本章共安排了 4 个小节，教课时间约需13 课时（供参照）：整式的乘法4 课时乘法公式2 课时整式的除法2 课时因式分解3 课时数学活动小结2 课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包含 4 节整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要构成部分。

本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。

此中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们挨次安排在前三个小节中，教课中应合适复习幂、指数、底数等看法，特别要弄清正整数指数幂的意义。

在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教课内容。

第一是单项式与单项式相乘，因为进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是娴熟地进行单项式与单项式相乘，所以，对于单项式与单项式相乘的教课应当予以充分重视。

在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教课从简到繁，由易到难，层层递进。

乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完整平方公式。

乘法公式是整式乘法的特别情况，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定种类的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始第一指出了这一点。

人教版八年级数学上册《十五章整式的乘除与因式分解. 15.4 因式分解..(通用)》优质课教案_1

因式分解教学设计（一）教学设计思想通过观察两个多项式变形的例子给出了多项式因式分解的概念，要学生掌握因式分解的概念，理解因式分解是式子的变形。

提公因式法是多项式因式分解的最基本方法之一，它的理论依据是乘法分配律．课堂教学的任务不仅是传播知识，还要培养能力，训练思维，因此教学中，除了在难点与关键处给以适度的启示与点拨之外，主要让学生自己动手、动脑，并通过互相交流学习完成学习任务。

教学目标知识与技能：表述因式分解的概念，知道因式分解与整式运算之间的区别和联系；能判断因式分解的正误，知道因式分解的过程，会进行简单的因式分解；能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式。

过程与方法：经历探索因式分解与整式乘法之间的关系的过程，提高逆向思维能力；经历探索多项式各项公因式的过程，培养分析、类比以及化归的思想方法。

情感态度价值观：体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想；教学重点及难点重点：①因式分解的概念；②提公因式法把多项式因式分解．难点：正确确定多项式的最大公因式。

教学方法启发引导、合作探究课时安排1课时教学媒体多媒体教学过程设计：因式分解1.小组讨论（1）如何把630分解成质数的乘积的形式？（2）能将一个多项式写成几个整式的乘积吗？2.探究把下列多项式写成整式的乘积的形式：（1）x2＋x=__________________；（2）x2－1=____________________.通过探究引出概念因式分解（分解因式）。

3.独立练习，巩固新知下列各式从左到右哪些是因式分解？（屏幕出示问题）（1）x2－x＝x（x－1）（√）（2）a（a－b）＝a2－ab（×）（3）（a＋3）（a－3）＝a2－9（×）（4）a2－2a＋1＝a（a－2）＋1（×）（5）x2－4x＋4＝（x－2）2（√）4.根据因式分解的定义考虑因式分解与乘法运算的区别和联系是什么？说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

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运用平方差公式因式分解教学设计教材分析因式分解是初中数学的一个重要内容，是代数式恒等变形的重要手段之一。

它贯穿、渗透在各种代数式问题之中，为以后学习分式运算、解方程和方程组及代数式和三角函数式的恒等变形提供必要的基础。

本节课是在学习了整式的乘法、乘法公式和提公因式法因式分解之后，让学生利用逆向思维而得到平方差公式因式分解的方法，而运用平方差公式分解因式又是因式分解中的一个重要内容。

它对学习完全平方公式因式分解和下册即将要学习的分式化简和计算，对九年级学习一元二次方程的解法和二次函数，高中学习一元二次不等式和分式不等式等都有着重要的影响，所以学好本节课对后面的学习至关重要！学情分析学生已有七年级所学习的整式运算的基础知识，在前一节课中已经学习了提公因式法分解因式，初步体会到了因式分解与乘法运算的互逆关系，通过对乘法公式22+-=-的逆向变形，容易得出a b a b a b()()22()()-=+-,但准确理解和掌握公式的结构特征,进行因式分a b a b a b解对学生来说还有很大的难度,学生的观察、归纳、类比、概括等能力，有条理的思考及语言表达能力还有待加强。

指导思想以新课标要求“培养学生的合作探究和归纳总结”的教育理念为指导，引导学生通过复习旧知逐步过渡到新知，进一步应用生活问题作为课堂学习的载体，培养学生学有用数学的理念，贯穿类比、换元的数学思想方法。

通过学生讲解习题的过程培养学生数学文字语言应用和准确应用数学符号表达问题的能力，从而达到素质教育要求发展学生综合素养的目标。

【教学目标】1.知识与技能：理解平方差公式的特点，掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；2过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；培养探究知识、合作学习的能力，深化逆向思维的能力和数学的应用意识，渗透整体思想和转化思想。

3.情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。

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公式法因式分解教学设计一、教学内容分析因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积，因式分解是本章中一个重要环节。

也是本章的重要内容，它与整式乘法互逆的。

因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。

它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程、和学习三角函数提供了必要的基础。

所以学好因式分解对于今后继续深入学习，有相当重要的意义。

二、学生情况分析在上前几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为本节学习提供了必要的基础．对前几节课的学习和探索，学生对类比思想、对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验。

三、教学目标与重难点（一）教学目标1、知识与技能：使学生了解掌握运用公式法分解因式并会用平方差公式进行因式分解；使学生掌握提取公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式。

2、过程与方法：通过观察多项式，发现用平方差公式法分解因式的方法，发展学生的观察能力和逆向思维能力，培养学生对平方差公式的运用能力。

3、情感、态度与价值观：在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识。

和探索精神。

（二）教学重点、难点重点是灵活地运用平方差公式法因式分解。

难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。

四、教学准备实物、多媒体演示教学。

五、教学过程（一）练一练填空（1）（x+5）（x-5） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力。

八年级数学上册第十五章整式的乘除与因式分解全章教案人教新课标版【教案】

第十五章整式的乘除与因式分解§15．1．1 整式教学目标 1．单项式、单项式的定义．2．多项式、多项式的次数．3、理解整式概念．教学重点单项式及多项式的有关概念．教学难点单项式及多项式的有关概念．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境在七年级，我们已经学习了用字母可以表示数，思考下列问题1．要表示△ABC的周长需要什么条件？要表示它的面积呢？2．小王用七小时行驶了Skm的路程，请问他的平均速度是多少？结论：1、要表示△ABC的周长，需要知道它的各边边长．要表示△ABC•的面积需要知道一条边长和这条边上的高．如果设BC=a，AC=b，AB=c．AB边上的高为h，•那么△ABC的周长可以表示为a+b+c；△ABC的面积可以表示为12·c·h．2．小王的平均速度是St．问题：这些式子有什么特征呢？（1）有数字、有表示数字的字母．（2）数字与字母、字母与字母之间还有运算符号连接．归纳：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除、乘方与开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．判断上面得到的三个式子：a+b+c、12ch、St是不是代数式？（是）代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．Ⅱ．明确和巩固整式有关概念（出示投影）结论：（1）正方形的周长：4x．（2）汽车走过的路程：vt．（3）正方体有六个面，每个面都是正方形，这六个正方形全等，•所以它的表面积为6a2；正方体的体积为长×宽×高，即a3．（4）n的相反数是－n．分析这四个数的特征．它们符合代数式的定义．这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、12ch、St中还有和与商的运算符号．还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、12ch、St这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．结论:4x、vt、6a2、a3、-n、12ch是单项式．它们的系数分别是4、1、6、1、-1、12．它们的次数分别是1、2、2、3、1、2．所以4x、-n都是一次单项式；vt、6a2、•12ch都是二次单项式；a3是三次单项式．问题:vt中v和t的指数都是1，它不是一次单项式吗？结论:不是．根据定义，单项式vt中含有两个字母，所以它的次数应该是这两个字母的指数的和，而不是单个字母的指数，所以vt是二次单项式而不是一次单项式．生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？写出下列式子（出示投影）结论:（1）t-5．（2）3x+5y+2z．（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即12ab-3.12r2．（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．我们可以观察下列代数式：a+b+c、t-5、3x+5y+2z、12ab-3.12r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．是多个单项式的和，能不能叫多项式？这样推理合情合理．请看投影，熟悉下列概念．根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、12ab-3.12r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．a+b+c的项分别是a、b、c．t-5的项分别是t、-5，其中-5是常数项． 3x+5y+2z的项分别是3x、5y、2z．1 2ab-3.12r2的项分别是12ab、-3.12r2．x2+2x+18的项分别是x2、2x、18．找多项式的次数应抓住两条，一是找准每个项的次数，•二是取每个项次数的最大值．根据这两条很容易得到这五个多项式中前三个是一次多项式，后两个是二次多项式．这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．Ⅲ．随堂练习1．课本P162练习Ⅳ．课时小结通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，•发展符号感．Ⅴ．课后作业1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．2．预习“整式的加减”．课后作业：《课堂感悟与探究》§15．1．2 整式的加减（1）教学目的：1、解字母表示数量关系的过程，发展符号感。

山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册第十五章整式的乘除 15.1.4 整式的乘法教案新人教版

【1】这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣。
【2】借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到。让学生对这个结论有直观感受．
【3】让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则.
所以有(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn【2】
（三）学生动手，推导结论
1.引导观察：等式的左边(a+b)(m+n)是两个多项式(a+b)与(m+n)相乘，把(m+n)看成一个整体，那么两个多项式(a+b)与(m+n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．
2．学生分析解决：(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107【2】
3．问题的推广：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，如何计算？【3】
ac5·bc2
=(a·c5)·(b·c2)
=(a·b)·(c5·c2)
=abc5+2
=abc7
（三）自己动手，得到新知
1．类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(-5a2b3)·(-4b2c)【4】
【2】提问学生原因
【3】从特殊到一般，从具体到抽象，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
【4】先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比。
设计意图
附加练习：
1.小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?
2．
(-10xy3) (2xy4z) (-2xy2)(-3x2y3)( xy)
第十五章整式的乘除15.1.4整式的乘法

山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册第十五章整式的乘除 15.3.2 整式的除法教案

第十五章整式的乘除 15.3.2整式的除法
教学目标
木星的质量约是
量约为地球质量的多少倍吗？
）÷ 5.98
式里含有的字母，连同它的指数
商的一个因式。

化简求值：求
③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；教学反思
回顾单项式除以单项式法则
学生动手，探究新
= --------
本质：把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式【
P163
．应用单项式除法法则应注
的情况，所以被除式一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；
③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；。

山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册第十五章整式的乘除整式的乘除与因式分解小结与复习教案

a b c d ac bc ad bd 第十五章整式的乘除整式的乘除与因式分解小结与复习考点呈现一、幂的运算例1 若.,,577512-===r q p m m m 求r q p m 243-+的值. 分析：可以把r q p m243-+逆用幂的有关性质进行变形,化成2223)()()(r q p m m m ÷⋅的形式．解: r q p m 243-+=2223)()()(r q p m m m ÷⋅=.)()(5157751223=-÷⨯ 评注:灵活运用幂的运算性质是处理此类问题的关键．二、整式的乘法例2（2010年广东省）新知识一般有两类：第一类是一般不依赖其他知识的新知识，如“数”，“字母表示数”这样的初始性知识，第二类是在某些旧知识的基础上联系.拓广等方式产生的知识，大多数知识是这样一类.（1）多项式乘以多项式的法则，是第几类知识？（2）在多项式乘以多项式之前，我们学习了哪些有关知识？（写出三条即可）（3）请用你已有的有关知识，通过数和形两个方面说明多项式乘以多项式法是则如何获得的？（用（a+b ）(c+d)来说明）分析：阅读是基础，理解是关键.解：（1）第二类知识. （2）单项式乘以单项式，分配律，字母表示数，数可以表示线段的长或图形的面积，等等. （3）()()a b c d ac ad bc bd ++=+++.评注：此题利用数形结合考查了整式的乘法相关知识.1.单项式与多项式相乘，实际上是利用乘法的分配律转化为单项式乘法的运算.2.单项式乘以多项式的积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同.3.单项式乘以多项式的每一项时，不能漏乘某些项.4.多项式中的每一项都包括其前面的符号，计算时应注意符号问题．例3 现规定一种运算：,a b ab a b ⊕=+-其中a ，b 为实数，则()a b b a b ⊕+-⊕等于 ( )A.2a b -B.2b b -C.2bD.2b a -分析：读懂所谓的新定义即可.解：按新定义运算可得：()a b b a b ⊕+-⊕=()()ab a b b a b b a b +-+-+--=2ab a b b ab b a b +-+-+--=2.b b -故应选B.评注：此类阅读理解问题，关键是按新定义运算，把陌生的运算转化为常见的整式运算.三、乘法公式例4（2010年福建省）已知12=+x y ，求代数式)4()1(22x y y --+的值．四、整式的除法例5（2010年广西）先化简，再求值：()()()322484a b a b ab a b ab +-+-÷，其中a =2，1b =. 分析：在进行多项式除以单项式时，一要注意符号，二要注意不漏除，三对于混合运算，要注意运算顺序.解：（1）()()()322484a b a b ab a b ab +-+-÷=2222a b b ab -+-=22a ab - .当2a =，1b =时，原式=22221-⨯⨯=44-=0 .评注：多项式除以单项式应注意：1.符号问题，多项式是几个单项式的和，其中每一个单项式都是多项式的一项，所以多项式的每一项都包括它前面的符号.2.不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同.五、因式分解例6（2010年宁夏）把多项式322x x x -+分解因式，结果正确的是（）A ．2(2)x x x -B ．2(2)x x -C ．(1)(1)x x x +-D ．2(1)x x -解析：先提取公因式，然后再应用完全平方公式，结果为2(1)x x -．选D ．例7（2010年四川省）把x 2－y 2－2y －1分解因式，结果正确的是（）A ．（x ＋y ＋1）(x －y －1)B ．（x ＋y －1）(x －y －1)C ．（x ＋y －1）(x ＋y ＋1)D ．（x －y ＋1）(x ＋y ＋1)解析：将后三项分为一组运用完全平方公式，再与第一项运用平方差进行分解因式，结果为（x ＋y ＋1）(x －y －1)．选A ．请同学们思考：其他的分组方法能使分解进行吗？例8（2010年山东省）分解因式：2224xy xy y -+-=_________.解析：先将前两项分为一组，后两项分为一组，再分解因式，结果为()()22xy y +-．请同学们思考：还有没有其他分组的方法？错解剖析一、幂的运算常见错误例1 计算： 34x x ⋅.错解： 34x x ⋅=1234x x=⨯. 剖析：同底数幂相乘，应底数不变，指数相加，与幂的乘方运算法则相混淆致错. 正解： 34x x ⋅=734x x=+. 例2 计算： 43)(ab - . 错解： 43)(ab -=12ab -.剖析：积的乘方，应把积中的每个因式分别乘方，再把所得的结果相乘，因此a -也应4次方. 正解：43)(ab -=124434)()(b a b a =-.例3 计算：28)(a a -÷-．错解：原式=6628)()(a a a =-=--．剖析：错解中误认为8a -的底数是a -，实际上它的底数是a ．正解：原式=28a a ÷-= 6a -．二、整式的乘除常见错误例4 计算：( 2x + y ) ( 2x – y ) ．错解：( 2x + y ) ( 2x – y ) = 2x 2 - y 2.剖析：式子在计算中都没有明确“项”的概念，包括字母前面的系数，因此在平方时漏掉了系数.应是2x 与y 这两项的平方差.正解：2222( 2x + y ) ( 2x - y ) =(2)4x y x y -=-．例 5 计算：（-1+ab 41）2. 错解：2222211111(1)(1)21()1444216ab ab ab ab a b -+=-+⨯⨯+=++. 剖析：等号左边的运算符合虽然是加号,但应是1-与14ab 的积,所以1214ab ⨯⨯应为12(1)4ab ⨯-⨯. 正解：2222211111(1)(1)2(1)()1444216ab ab ab ab a b -+=-+⨯-⨯+=-+. 评注：出现上述错误的主要原因是对公式理解不透彻和对公式结构特征不熟悉,可以通过多推导几遍公式,加深对两个公式的理解,再结合两个公式的几何解释,会对两个公式的理解更透彻；对公式结构特征的熟悉则要通过多观察,多记忆,做适量的练习来解决.例6计算: ()()2422152055x y x x x --÷-.错解一: 原式()()()2242215520534x y x x x y x =÷-+-÷-=-+.剖析：错误原因是将()2255x x -÷-这一项漏掉了.其实,多项式除以单项式,先把多项式各项分别除以这个单项式,然后把所得的商相加,注意不能漏除.错解二: 原式＝224222215520555341x y x x x x x y x -÷-÷-÷=---.剖析：错误原因是计算过程中将符号弄错了.正解:原式=()()()()224222215520555341x y x x x x x y x ÷--÷--÷-=-++.例7分解因式：(x+y)2+(x+y)+ 41. 错解:原式= (x+y)( x+y+1)+41. 剖析:尽管结果的第一项是积的形式,但从整体上看还是和的形式.错因在于曲解了分解因式的意义,误认为只要结果中有整式的积即可,而忽视了整个结果必须是积的形式这一本质.正解: 原式= (x+y)2+212⨯(x+y)+2)21(= (x+y+21)2. 例8 分解因式：222121y xy x +-. 错解:原式=x 2-2xy+y 2=(x-y)2.剖析:错解是把解方程中去分母的方法“移植”到分解因式中, 张冠李戴,错误地把多项式中的每一项都乘以2,破坏了变形的恒等性而致错.正确处理方法是把21作为公因式提出来. 正解:原式=222)(21)2(21y x y xy x -=+-. 例9 分解因式：(x 2+4)2-16x 2.错解:原式= (x 2+4)2-(4x ) 2=( x 2+4+4x)( x 2+4-4x).剖析: 错因在于分解因式不彻底.因为结果中的两个因式都是完全平方式,还可以继续分解.所以错解由于半途而废,而导致“前功尽弃”.正解:原式=( x 2+4+4x)( x 2+4-4x)=( x+2) 2 (x-2) 2.温馨提醒：错误本身并不可怕，可怕的是自己犯了错还不知道自己错在哪儿．其实，错误与成功就像睡梦与清醒一样，当你从错误中醒来时，你已走向了成功！基础盘点1．幂的运算主要包括四大类：（1）__________；（2）_____；（3）_______；（4）______.2．幂的前三个基本性质是整式乘法的基础，整式的乘法包括：______；_______；________．3.乘法公式是指____公式；_______公式.在乘法公式中，字母a ，b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的___，也可以取一个_____、一个_____或_____.4.幂的除法是整式除法的基础，熟练进行单项式除法是学习多项式除以单项式的关键.单项式除以单项式的法则：_________________________________；对于只在被除式里含有的字母，则________.多项式除以单项式法则：____________________________________.5.因式分解指的是_______________的形式.因式分解的基本方法：1．_________；2.__________.课堂检测1．（2010年山东省）下列各式计算正确的是( )A ．x 2·x 3=x6 B ．2x +3x =5x 2 C ．（x 2）3=x 6 D ．x 6÷x 2=x 32.（2010年四川省）把代数式269mx mx m -+分解因式，下列结果中正确的是（）A ．2(3)m x +B ．(3)(3)m x x +-C ．2(4)m x -D ．2(3)m x -3.太阳内部高温核聚变反应释放的辐射能功率为33.8102⨯千瓦，到达地球的仅占20亿分之一，到达地球的辅射能功率为（）A ．141.910⨯ 千瓦B ．142.010⨯ 千瓦C ．157.610⨯ 千瓦D ．151.910⨯千瓦4.已知32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是． 5. 已知102103m n ==，，则3210m n+=____________. 6．（2010年云南）分解因式：234a b ab -=__________．7．卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103米/秒,则卫星运行3×102秒所走的路程约是多少?8．已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值：（1）a 2b +ab 2 ；（2）a 2+b 2．跟踪训练1．（2010年广西省）下列各式运算正确的是（）A.224325a a a +=B.22(3)9a a +=+C.235()a a =D.23326a a a ⋅= 2．下列计算：①224)(a a a =-÷-；②92310)(x x x x=÷÷； ③52433325)3()(15y x y x y x =-÷-，④16)31()9132(2236274-=-÷-b a ab b a b a ；其中错误的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3．（2010年山东省）由m （a +b +c ）=ma +mb +mc ，可得：（a +b ）（a 2－ab +b 2）=a 3－a 2b +ab 2+a 2b －ab 2+b 3=a 3+b 3，即（a +b ）（a 2－ab +b 2）=a 3+b 3．①我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式.下列应用这个立方公式进行的变形不正确．．．的是（） A. （x +4y ）（x 2－4xy +16y 2）=x 3+64y 3B. （2x+y ）（4x 2－2xy+y 2）=8x 3+y 3C. （a +1）（a 2＋a +1）=a 3+1D. x 3+27=（x +3）（x 2－3x +9）4．（2010年新疆）利用1个a a ⨯的正方形，1个b b ⨯的正方形和2个a b ⨯的矩形可拼成一个正方形（如图所示），从而可得到因式分解的公式__________.5.已知13323+++x ax x 能被12+x 整除，且商式是13+x ，则a = .6.若65=m ，25=n ，则125+-n m 的值=________.7．现有两张铁皮，长方形铁皮的长为x+2y ，宽为x －2y （x －2y ＞0）；正方形铁皮的边长为2（x －y ）．现根据需要，要把两张铁皮焊接成一张长方形的铁皮，铁皮长为6x ，请你求出新铁皮的宽．8．给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．基础盘点：1．同底数幂乘法幂的乘法积的乘法同底数幂的除法2．单项式乘法单项式乘多项式多项式乘多项式3．平方差完全平方数字母单项式多项式4．单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加5．把一个多项式分解为几个整式积提取公因式公式法课堂检测：1.C2. D3.A4. 25. 72 6． (34)ab a -7. 2.37×106米.8．(1)6； (2)5 .跟踪训练1．D 2．B 3.C 4．2222()a ab b a b ++=+ 5． 1 6． 907.y x 3465-. 8.答案不唯一，略.。

山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册第十五章整式的乘除 15.1.2 幂的乘方教案

若（x2）m=x8，则m=______
若[（x3）m]2=x12，则m=_______
若xm·x2m=2，求x9m的值。
若a2n=3，求（a3n）4的值。
已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.
作业
板书设计
教学反思
预习要点
第十五章整式的乘除15.1.2幂的乘方
教学目标
经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和
有条理的表达能力。了解幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题
教学重点
会进行幂的乘方的运算，幂的乘方法则的总结及运用。
课时分配
1课时
班级
教学过程
设计意图
（一）回顾同底数幂的乘法
（四）巩固成果，加强练习
例：计算：（1）（103）5（2）[（）3 ]4（3）[（－6）3]4
（4）（x2）5（5）－（ a2）7（6）－（as）3
练习：P143练习
例：判断题，错误的予以改正。
（1）a5+a5=2a10（）
（2）（s 3）3=x6（）
（3）（－3）2·（－3）4=（－3）6=－36（）
am·an=am+n（m、n都是正整数）
（二）自主探索，感知新知【1】
64表示_________个___________相乘. (62)4表示______ ___个___________相乘.
a3表示_________个___________相乘. (a2)3表示_________个___________相乘.
（4）x3+y3=（x+y）3（）
（5）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6=0（）
【巩固刚刚学习的新知识。在此基础上加深知识的应用.】

山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册 15.2.1 分式的乘除(第3课时)教案 (新版)新人教版(2)

15.2.1 分式的乘除教学目标理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.重点难点1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.3．认知难点与突破方法讲解分式乘方的运算法则之前，根据乘方的意义和分式乘法的法则，计算 2)(b a =⋅b a b a =b b a a ⋅⋅=22b a ，3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅=33b a ，…… 顺其自然地推导可得： n b a )(=⋅b ⋅⋅⋅⋅b a b a =b b b a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n b a ，即n b a )(=n nba . （n 为正整数）归纳出分式乘方的法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.教学过程一、例、习题的意图分析1．教科书例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.2．教科书例5中像第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样像第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应地增加几题为好.分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.二、课堂引入计算下列各题：（1）2)(b a =⋅ba b a =（） (2) 3)(b a =⋅b a ⋅b a b a =（）（3）4)(b a =⋅b a ⋅b a b a ba ⋅=（） [提问]由以上计算的结果你能推出n ba )(（n 为正整数）的结果吗？三、例题讲解（教科书）例5.计算[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.n 个 n 个n 个 n 个四、随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）23)2(a b =252a b （2）2)23(a b -=2249ab - （3）3)32(x y -=3398x y （4）2)3(b x x -=2229b x x - 2．计算 (1) 22)35(y x （2）332)23(c b a - （3）32223)2()3(xay xy a -÷ （4）23322)()(z x z y x -÷- 5))()()(422xy xy y x -÷-⋅- (6)232)23()23()2(ayx y x x y -÷-⋅- 五、课后练习计算： (1) 332)2(a b - (2) 212)(+-n ba (3)4234223)()()(c a ba cb ac ÷÷ (4) )()()(2232b a a b a ab b a -⋅--⋅-六、答案四、1. （1）不成立，23)2(a b =264a b （2）不成立，2)23(a b -=2249ab （3）不成立，3)32(x y -=33278x y - （4）不成立，2)3(b x x -=22229b bx x x +- 2. （1）24925y x （2）936827c b a - （3）24398yx a - （4）43z y - (5)21x (6)2234xy a 五、(1) 968a b -- (2) 224+n b a （3）22a c （4）b b a +。

山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册 15.1.2 分

15.1.2 分式的基本性质教学目标1．理解分式的基本性质.2．会用分式的基本性质将分式变形.重点难点1．重点: 理解分式的基本性质.2．难点: 灵活应用分式的基本性质将分式变形.3.认知难点与突破方法教学难点是灵活应用分式的基本性质将分式变形. 突破的方法是通过复习分数的通分、约分总结出分数的基本性质，再用类比的方法得出分式的基本性质.应用分式的基本性质导出通分、约分的概念，使学生在理解的基础上灵活地将分式变形.教学过程一、例、习题的意图分析1．教科书的例2是使学生观察等式左右的已知的分母（或分子），乘以或除以了什么整式，然后应用分式的基本性质，相应地把分子（或分母）乘以或除以了这个整式，填到括号里作为答案，使分式的值不变.2．教科书的例3、例4地目的是进一步运用分式的基本性质进行约分、通分.值得注意的是：约分是要找准分子和分母的公因式，最后的结果要是最简分式；通分是要正确地确定各个分母的最简公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.教师要讲清方法，还要及时地纠正学生做题时出现的错误，使学生在做提示加深对相应概念及方法的理解.3．教科书习题15.1的第5题是：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.这一类题教材里没有例题，但它也是由分式的基本性质得出分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变.“不改变分式的值，使分式的分子和分母都不含‘-’号”是分式的基本性质的应用之一，所以补充例5.二、课堂引入1．请同学们考虑：与相等吗？与相等吗？为什么？2．说出与之间变形的过程，与之间变形的过程，并说出变形依据？3．提问分数的基本性质，让学生类比猜想出分式的基本性质.三、例题讲解（教科书）例2 填空：[分析]应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.（教科书）例3 约分：[分析] 约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.（教科书）例4 通分：4320152498343201524983[分析] 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.（补充）例5 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号. a b 56--， y x 3-， n m --2， n m 67--， y x 43---． [分析]每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.解：a b 56--= a b 56， y x 3-=y x 3-，n m --2=nm 2， n m 67--=n m 67 ， y x 43---=y x43-．四、随堂练习1．填空：(1) x x x 3222+= ()3+x (2) 32386b b a =()33a（3) c a b ++1=()cn an + (4) ()222y x y x +-=()yx -2．约分：（1）c ab b a 2263 （2）2228mn nm （3）532164xyz yz x - （4）x y y x --3)(23．通分：（1）321ab 和c b a 2252（2）xy a 2和23x b（3）223ab c和28bc a - （4）11-y 和11+y4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317b a --- （3) 2135x a -- (4) m b a 2)(--五、课后练习1．判断下列约分是否正确：（1）c b ca ++=b a（2）22y x y x --=y x +1 （3）n m nm ++=02．通分：（1）231ab 和b a 272 （2）x x x -+21和x x x +-213．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.（1）b a ba +---2 （2）y x yx -+--32六、答案：四、1．(1)2x (2) 4b （3） bn+n (4)x+y2．（1）bc a 2 （2）n m 4 （3）24z x - （4）-2(x-y)2 3．通分：（1）321ab = c b a ac32105， c b a 2252= c b a b32104（2）xy a2= y x ax 263， 23x b = y x by262（3）223ab c = 223812c ab c 28bc a-= 228c ab ab（4）11-y =)1)(1(1+-+y y y 11+y =)1)(1(1+--y y y 4．(1) 233ab y x (2) 2317b a - （3) 2135x a (4) m b a 2)(-- 五、1.（1）错误（2）正确（3）错误2. （1）231ab =2221a 7b a ，b a 272=2221b6b a ；（2）x x x -+21=））（（）（1-1x 12x x x ++，x x x +-21=））（（）（1-1x 12x x x +-.3.（1）b a b a +---2=b a ba -2+；（2）y x y x-+--32=y x yx -32-.。

人教版八年级数学上册《十五章整式的乘除与因式分解. 15.4 因式分解..(通用)》优质课教案_9

14.3因式分解14.3.1提公因式法【教学目标】知识与技能能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.使学生经历探索多项式各项公因式的过程,依据数学化归思想方法进行因式分解.情感、态度与价值观培养学生分析、类比以及化归的思想,增进学生的合作交流意识,主动积极地积累确定公因式的初步经验,体会其应用价值.【教学重难点】重点:掌握用提公因式法把多项式分解因式.难点:正确地确定多项式的最大公因式.关键:提公因式法关键是如何找公因式.方法是:一看系数、二看字母.公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.【教学过程】一、回顾交流,导入新知【复习交流】下列从左到右的变形是否是因式分解,为什么?(1)2x2+4=2(x2+2);(2)2t2-3t+1=(2t3-3t2+t);(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(4)m(x+y)=mx+my;(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.问题:1.多项式mn+mb中各项含有相同因式吗?2.多项式4x2-x和xy2-yz-y呢?请将上述多项式分别写成两个因式的乘积的形式,并说明理由.【教师归纳】我们把多项式中各项都有的公共的因式叫做这个多项式的公因式,如在mn+mb 中的公因式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y中的公因式是y.概念:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.二、小组合作,探究方法教师提问:多项式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各项的公因式是什么?【师生共识】提公因式的方法是先确定各项的公因式再将多项式除以这个公因式得到另一个因式,找公因式一看系数、二看字母,公因式的系数取各项系数的最大公约数;字母取各项相同的字母,并且各字母的指数取最低次幂.三、范例学习,应用所学例1:把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.解:-4x2yz-12xy2z+4xyz=-(4x2yz+12xy2z-4xyz)=-4xyz(x+3y-1)例2:分解因式:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2【分析】观察所给多项式可以找出公因式(y-x)2或(x-y)2,于是有两种变形,(x-y)3=-(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,从而得到下面两种分解方法.解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2=-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2=-[(y-x)2·3a2(y-x)+4b2(y-x)2]=-(y-x)2[3a2(y-x)+4b2]=-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2=(x-y)2·3a2(x-y)-4b2(x-y)2=(x-y)2[3a2(x-y)-4b2]=(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)例3:用简便的方法计算:0.84×12+12×0.6-0.44×12.【教师活动】引导学生观察并分析怎样计算更为简便.解:0.84×12+12×0.6-0.44×12=12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12.【教师活动】在学生完成例3之后,指出例3是因式分解在计算中的应用,提出比较例1,例2,例3的公因式有什么不同?四、随堂练习,巩固深化课本115页练习第1、2、3题.【探研时空】利用提公因式法计算:0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69五、课堂总结,发展潜能1.利用提公因式法因式分解,关键是找准最大公因式.在找最大公因式时应注意:(1)系数要找最大公约数;(2)字母要找各项都有的;(3)指数要找最低次幂.2.因式分解应注意分解彻底,也就是说,分解到不能再分解为止.六、布置作业,专题突破课本119页习题14.3第1、4(1)、6题.【课后反思】。

山东省淄博市高青县第三中学八年级数学上册 15.2.1 分式的乘除(第1课时)教案 (新版)新人教版

分式的乘除教学目标理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算.重点难点1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算 .3. 难点与突破方法分式的运算以有理数和整式的运算为基础，以因式分解为手段，经过转化后往经过转化后往往可视为整式的运算.分式的乘除的法则和运算顺序可类比分数的有关内容得到.所以，教给学生类比的数学思想方法能较好地实现有别于分数运算的有关内容，使学生规X 掌握，特别是运算符号的问题，要抓住出现的问题认真落实.教学过程一、例、习题的意图分析1．本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的水面的高是nm ab ⋅V ，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的⎪⎭⎫ ⎝⎛÷n b m a 倍.引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出教科书题意、列式子时，不宜耽误太多时间.2．教科书例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分，应化简到最简.3．教科书例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.4．教科书例3是应用题，题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a>1，因此(a-1)2=a 2-2a+1<a 2-2+1，即(a-1)2<a 2-1.这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.（或用求差法比较两代数式的大小）二、课堂引入 n m ab v ⋅，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的⎪⎭⎫ ⎝⎛÷n b m a 倍. [引入]从上面的问题可知，有时需要分式运算的乘除.本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算.我们先从分数的乘除入手，类比出分式的乘除法法则.2.[观察] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则.3.[提问] [思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.三、例题讲解（教科书）例1.[分析]这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算.应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.（教科书）例2.[分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开.（教科书）例3.[分析]这道应用题有两问，第一问是：哪一种小麦的单位面积产量最高？先分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的面积，再分别求出“丰收1号”、“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量，分别是15002-a 、()21500-a ，还要判断出以上两个分式的值，哪一个值更大.要根据问题的实际意义可知a>1，因此(a-1)2=a 2-2a+1<a 2-2+1，即(a-1)2<a 2-1，可得出“丰收2号”单位面积产量高.四、随堂练习计算：（1）ab c 2c b a 22⋅ （2）322542n m m n ⋅- （3）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷x x y 27 （4）-8xy x y 52÷ (5)4411242222++-⋅+--a a a a a a (6))3(2962y y y y -÷++- 五、课后练习计算：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅y x y x 132 （2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷a bc ac b 2110352 （3）()y x axy 28512-÷ （4）b a ab ab b a 234222-⋅- （5）)4(12x x x x -÷-- （6）3222)(35)(42x y x x y x --⋅-六、答案：四、（1）abc （2）n m 52- （3）14y - （4）-20x 2 （5）)2)(1()2)(1(+--+a a a a（6）23+-y y五、（1）x1- （2）227c b - （3）ax 103- （4）bb a 32+（5）xx -4（6）2)(5)(6y x y x x -+。

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