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高二数学下学期期中试题 文

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人教A版必修2高二数学期中考试题(文科)及答案

人教A版必修2高二数学期中考试题(文科)及答案

高二级数学中考试题（文科）本试题卷共4页，三大题20小题，全卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、座位号填在答题卡上；2. 选择题每小题选出答案后，填写在答题卡上对应题目；3. 填空题和解答题填写在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束后，只将答题卡上交。

参考公式：圆锥的表面积公式)(l r r S +=π，r 是底面半径，l 是母线锥体的体积公式V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．球 D ．圆台2、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ）A.300B.450C.600D.9003、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a, 在y 轴上的截距为b,则（ ）A.a=2,b=5;B.a=2,b=-5;C.a=-2，b=5D.a=-2，b=-54、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）A.(3,-1)B.(-1,3)C.(-3,-1)D.(3,1)5、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）A.4x+3y-13=0B.4x-3y-19=0C.3x-4y-16=0D.3x+4y-8=06、点M(４,m ）关于点N （n,-3）的对称点为P （6,-9），则（ ）Ａ.m ＝-3，n ＝10 Ｂ.m ＝3，n ＝10 Ｃ.m ＝-3，n ＝5 Ｄ.m ＝3，n ＝57、下列命题中错误的是：（ ）A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β；B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β；C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ.8、已知水平放置的ABC ∆的直观图如图所示，其中23,1=''=''=''O A O C O B ,那么原ABC ∆的面积是 （ ） A. 23; B. 43;C.3; D. 22.9、某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做底，且有一个三角形面上写上了“年”字。

2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2021-2022学年凉山州西昌市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 存在有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，要做的假设是A ．,,a b c 至多有两个偶数B ．,,a b c 都是偶数C ．,,a b c 至多有一个偶数D ．,,a b c 都不是偶数【答案】D【详解】因为“至少有一个”的否定是“都不是”，因此要做的假设是,,a b c 都不是偶数，故选D ．2．设z 是复数，若()1i i z -=-(i 是虚数单位)，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为i2B ．1i2z -+=C ．1z =D ．1z z +=【答案】D【分析】先求得z ，由此判断出正确选项. 【详解】依题意()11i i z --==， ()()1111112i i z i i i ++===--+，B 错， 所以z 的虚部为12，A 错，z ==C 错， 11122z z +=+=，D 正确. 故选：D3．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为（ ）A ．18B ．316 C ．14D ．12【答案】C【分析】由古典概型的概率计算公式可得.【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ，共有4416⨯=个基本事件；而使不等式a －2b ＋4<0成立的事件包含：(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共有4个基本事件；由古典概型公式得所求概率41=164P =． 故选：C ．4．若()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与B 的关系是 A ．互斥不对立 B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上答案都不对 【答案】D【详解】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 也不见得对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的． 【解析】互斥事件与对立事件5．已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数fx 的图象如所示，则（ ）A ．()f x 在1x =处取得极小值B ．()f x 在1x =处取得极大值C ．()f x 是R 上的增函数D ．()f x 是(),1-∞上的减函数，1,上的增函数【答案】C【分析】由导函数图象可知0f x在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,即可判断选项.【详解】由图可得,0fx在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,故C 正确、D 错误；所以()f x 没有极值,故A 、B 错误； 故选:C【点睛】本题考查导函数图象的应用,属于基础题.6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”他体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“．．．”即代表着无限次重复，但它却是个定值，可以通过方程11x x +=求得51x +=282828+++=（ ）A ．432-B ．4C ．432+D ．432±【答案】C【分析】282828x +++=28x x +=，注意到0x >，解出x 即可．【详解】282828x +++=28x x +，其中0x >，28x x +两边平方，得282x x =+，即2820x x --=，解得432x =-或432x =+ 故选：C ． 7．设曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，则=a （ ） A ．12B ．1-C ．12-D ．1【答案】C【分析】求出函数的导数，然后可得答案 【详解】由2x y x =-可得()()222222y x x x x '=---=--，所以当4x =时12y '=-，因为曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，所以12a =-， 故选：C8．ACB △是等腰直角三角形，在斜边AB 上任取一点M ，则AM AC <的概率（ ） A 2B ．34C ．12D ．23【答案】A【分析】设1BC AC ==，先求出点M 的可能位置的长度，然后可得答案. 【详解】设1BC AC ==，则2AB =在斜边AB 上任取一点M ，满足AM AC <的点M 的可能位置的长度为1， 22=，故选：A9．若函数()21y ax x =-在区间33(上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <1【答案】A【分析】先对函数求导，由函数在区间33(上为减函数，可得导数小于零的范围为33(，可求得a 的取值范围. 【详解】由函数()21y ax x =-，求导可得()22331y ax a a x '=-=-，因为函数在区间33(上为减函数， 所以在区间33(上()2310y a x '=-≤， 因为231x -在区间33(小于零，且0a ≠， 所以只需0a >即可， 故选：A.10．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．32m ≥B ．32m >C ．32m ≤D ．32m <【答案】A【详解】试题分析：因为函数431()232f x x x m =-+，所以()3226f x x x '=-． 令f′（x ）=0得x=0或x=3，当()()''3,0;03,0;x f x x f x >><<< 经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-272． 不等式f （x ）+9≥0恒成立，即f （x ）≥-9恒成立，所以3m-272≥-9，解得m≥32【解析】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值11．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．如果不放回的任意取出2个球，则它们重量相等的概率为（ ）． A ．215B ．715 C ．13D ．15【答案】A【分析】计算出总的取法数和列出满足重量相等的情况，即可得到答案.【详解】总共有2615C =种取法，其中满足重量相等的有：取出的球的编号为1,5和2,4，所以概率为215故选：A12．设函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值，求实数a 的取值范围（ ） A ．1e 2e ,∞⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭B ．1e ,e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1e 2e ,∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据函数导函数在区间1(0,)e内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.【详解】由22(2)1()ln ()1(1)a x a x f x x f x x x x -++'=+⇒=--， 因为函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值， 所以22(2)1()0(1)x a x f x x x -++'==-在1(0,)e内有解， 即2()(2)10g x x a x =-++=在1(0,)e内有解，21(2)102x a x a x x-++=⇒=+-， 设222111()2()1x h x x h x x x x-'=+-⇒=-=，当1(0,)e x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，所以min 1()(e)e 2eh x h ==+-，要想方程12a x x =+-在1(0,)e x ∈时有解，只需min 1()e 2ea h x a >⇒>+-，故选：A 二、填空题13．若复数z 满足(1)2z i ⋅+=(i 为虚数单位)，则z =___________. 【答案】1i -【分析】直接进行复数除法. 【详解】解：因为(1)2z i ⋅+=， 所以22(1)2211(1)(1)2i iz i i i i --====-++-. 故答案为：1i -.14．国家级邛海湿地公园在每天上午8点起每半小时会有一趟观光车从景区入口发车入园，某人在9点至10点之间到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待的时间不超过10分钟的概率____________【答案】13【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】根据题意可知，在9:20~9.30,9:50~10:00这两段时间内到达，等待的时间不超过10分钟，所以等待的时间不超过10分钟的概率为10101603+=， 故答案为：1315．已知函数()()1ln 21f x x x x =+-+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值为____________【答案】2ln 22--【分析】求导后代入1x =可得()1f '，由导数定义可知所求式子为()21f '-，由此可得结果. 【详解】()1ln 21x f x x x+'=+-，()1ln 21f '∴=+， ()()()()()00121121lim2lim 212ln 222x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'∴=-⨯=-=--∆-∆.故答案为：2ln 22--.16．定义在R 上的函数31()33f x x x =-+．①()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数． ②()f x y x'=在(0,)+∞上存在极小值． ③()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+垂直．④设()4ln g x x m =-，若存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，则25m e >-． 以上对函数的描述中正确的选项是：___________ 【答案】①④【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、存在性的性质逐一判断即可. 【详解】由321()3()1(1)(1)3f x x x f x x x x '=-+⇒=-=-+.①：当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以此时函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以以时函数单调递增，因此本结论正确； ②：()1f x y x x x '==-，因为函数1y x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以此时函数没有极值，因此本结论不正确；③：(0)1f '=-，直线22y x =+的斜率为2，因为2(1)21⨯-=-≠-，所以()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+不垂直，因此本选项结论不正确；④：2()()4ln 1g x f x x m x <⇒-<-'，存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，转化为存在[1,e]x ∈，使24ln 1x m x -<-成立，由224ln 14ln 1x m x m x x -<-⇒>-+， 设2()4ln 1h x x x =-+，[1,e]x ∈，所以42(2)(2)()22x x h x x x -+-'=-=， 当[1,2]x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增，当(2,e]x ∈，()0,()h x h x '<单调递减， 所以当2x =时，函数有最大值，因为22(1)0,(e)4e 15e h h ==-+=-，所以2min ()5e h x =-，要想存在[1,e]x ∈，使24ln 1m x x >-+成立，只需2min ()5e m h x >=-，因此本结论正确，故答案为：①④ 三、解答题17．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合.如下图．某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．(1)若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率． (2)若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率． 【答案】(1)110(2)45【分析】（1）首先运用组合数求出基本事件的总数，再根据古典概型即可求出概率； （2）首先运用组合数求出基本事件的总数和对立事件的总数，再根据对立事件的概率即可求解.【详解】(1)记“能拼成吉祥物”为A 事件.基本事件总数在6个乒乓球中任取3个有3620C =种.而满足条件的只有2种，即“冰墩墩”和“雪容融”. ∴()212010P A ==； (2)记至少抽到一个“墩”为B 事件，则一个“墩”也抽不到的种类数为34C ，则()3436415C P B C =-=.18．若直线L 与曲线2,(0)y x x =>和2249x y +=都相切，则求L 的方程． 【答案】222y x =-【分析】设切点00(,)x y ，再利用导数的几何意义可求得曲线2,(0)y x x =>的切线方程20020x x y x --=，再由切线与圆2249x y +=20202314x =+，从而可求出0x ，进而可求出切线方程【详解】设切点00(,)x y ，即200(,)x x ，00x >.∴02k x =，则切线方程：20002()y x x x x -=-，即20020x x y x --=.20202314x =+，得420091640x x --=. 解得202x =，∵00x >，∴02x =故L 的方程为：222(2)y x -=， 即22y x =-.19．i 是虚数单位，已知数列{n a }，若2i n n a n =⋅，求该数列{n a }的前4n 项的和4n S ． 【答案】44i n n -【分析】利用错位相减法求和即可.【详解】由23441242i 4i 6i 8i nn n S a a a n =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ....①则234414i 2i 4i 6i 8i n n S n +=++⋅⋅⋅+ ....②由①-②得234414(1i)2i 2i 2i 2i 8i n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-即234414142(i i i i )8i 8i 44i 1i 1in n n nn n S n n +++++⋅⋅⋅+--===---.20．已知函数2()2ln f x x a x =-，(0)a >． (1)若1a =时，求函数()f x 的单调区间．(2)若()0f x >在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)(),4e ∞-.【分析】（1）由题可求函数的导数，然后利用导数与单调性的关系即得； （2）利用参变分离法，求函数的最值即得.【详解】(1)当1a =时，()22ln ,(0)f x x x x =->.则由()'f x ()()2121140x x x x x-+=-=>，得12x >， ()0f x '<，得102x <<∴()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，即函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)∵()0f x >在[1,2]上恒成立. ①当1x =时，()0f x >恒成立.②当(1,2]x ∈时，ln 0x >，则由()0f x >得22ln x a x<在(1,2]x ∈上恒成立.令()(]()22,1,2ln x g x x x=∈，则由()g x '()()222ln 10ln x x x -=>， 得2e x >>，()0g x '<得1e x <<即()g x 在e]上单调递减，在e,2⎡⎤⎣⎦上单调递增.∴()(min e 4e g x g==.∴(),4e a ∞∈-.21．观察：下面三个式子的结构规律 ①223sin sincoscos 66334ππππ+⋅+=②22553sin sincoscos 9918184ππππ+⋅+= ③223sin sincoscos 1212444ππππ+⋅+=你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【答案】223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析【分析】根据三个式子的结构规律可得结论；利用两角和差余弦公式化简整理即可证得结论.【详解】猜想：223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；证明如下：222sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 6666ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+++=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222223131cos cos sin sin sin cos sin cos sin 66244ππαααααααα⎛⎫+-=-++ ⎪⎝⎭223333cos sin cos 444αααα=+=. 22．设函数()()x ln ,bf xg x ax x ==+，函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 设0x >，试比较()f x 与()g x 的大小.【答案】（I ）11,22a b ==-; (II)当()0,1x ∈时，()()f xg x >；当()1,x ∈+∞时，()() f x g x <；当1x =时，()() f x g x =.【分析】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线列方程求解即可；(Ⅱ) 设0x >，令()()()11In 2F x f x g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性，分三种情况讨论，分别比较()f x 与()g x 的大小即可.【详解】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点()1,0也在函数()g x 的图象上， 且在此点处()f x 与()g x 有公切线 ()()21',bf xg x a x x'==-， ∴由题意可得：011,122a b a b a b +=⎧⇒==-⎨-=⎩ （Ⅱ）由（I ）可知()112g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()()()2221111111211n 11102222F x f x g x l x x F x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=-+-=--≤ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()F x ∴是()0,+∞上的减函数，而F(1)=0，11 ∴当()0,1x ∈时，()0F x >，有()()f x g x >；当()1,x ∈+∞时，()0F x <，有()()f x g x <；当1x =时，()0F x =，有()()f x g x =.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，利用导数比较大小，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.。

2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二年级下册学期期中考试数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二年级下册学期期中考试数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定为（ ）[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-A ．B ．(]2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--<，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞<，-C ．D ．[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-](2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--≤，【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为是全称量词命题，[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-所以其否定为存在量词命题，即，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-故选：C2．双曲线的渐近线方程是（ ）22134x y -=A ．B ．43y x =±34y x =±C ．D ．y x =y =【答案】C【分析】根据焦点在x 轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】根据双曲线的渐近线方程：，22221x y a b -=b y x a =±知：的渐近线方程为.22134x y -=y x =故选：C.3．抛物线的准线方程是，则实数a 的值（ ）21x ya =2y =A ．B ．C ．8D ．-818-18【答案】A【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a 的值.【详解】由题意得：，解得：.124a -=18a =-故选：A4．若f ′(x 0)＝，则 等于（ ）2-0limx ∆→00()()f x f x x x -+∆∆A ．－1B ．－2C ．1D ．2【答案】D【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f ′(x 0)＝，2-所以 ，0lim x ∆→00()()f x f x x x -+∆∆Δ0limx →=-000()()()2f x x f x f x x +∆-'=-=∆故选：D5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　)A ．＋＝1B ．＋y 2＝124x 23y 24x C ．＋＝1D ．x 2＋＝124y 23x 24y 【答案】A【分析】设出椭圆的标准方程，由题意可得，解得a ，c ，利用b 2＝a 2﹣c 2得到b 2,从而得23a a c =⎧⎨+=⎩到标准方程.【详解】设椭圆的方程为（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2, 右焦点到22221x y a b +=左顶点的距离为3知a+c=3,解得a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，因此椭圆的方程为＋＝1．24x 23y 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．6．设k 为正实数，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）35k <<22153x y k k +=--A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆得出k 的范围，再由充分必要条件的定义判断即可.【详解】方程表示椭圆，则，解得.22153x y k k +=--503053k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩(3,4)(4,5)k ∈⋃即“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.35k <<22153x y k k +=--故选：B7．若双曲线C 1：－＝1与C 2：－＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距22x 28y 22x a 22y b 为b ＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b 的关系，结合已知焦距，可求得b1C 2C 的值.【详解】由,1C 2=的渐近线斜率为,2C ba 由于它们有相同的渐近线，∴，2,2bb a a ∴＝＝C2的焦距2c＝c =又c == ，，2a ∴=4b ∴=故选B.【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到的关系是关键，双曲线的,a b 的平方关系为,椭圆的a,b,c 的关系为,一定要准确掌握.,,a b c 222a b c +=222b c a +=8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线的右支()222103x y a a -=>1F 2F 2P 上，且，则的面积为（ ）12PF PF ⊥12F PF △A ．B ．C ．D ．8643【答案】D【分析】利用离心率公式可求得的值，利用双曲线的定义以及勾股定理求出的值，再a 12PF PF ⋅利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，，2c e a ===1a =因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，P 1222PF PF a -==因为，由勾股定理可得，12PF PF ⊥22221212416PF PF F F c +===所以，，()2221212121221624PFPF PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=-⋅=所以，，因此，.126PF PF ⋅=1212116322PF F S PF PF =⋅=⨯=△故选：D.9．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了()21:20=->C y px p ()22:20C y px p =>一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，1C 2C 1F 2F P 1C 过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）P x 2C Q 124==PF PQ p =A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出即可.p 【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，24PQ =2PQ =1p x =-由抛物线定义可知，，即，解得，1||2P p PF x =-4(1)2p=--6p =故选：D10．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得1F 2F ()222210x y a b a b +=>>P ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．1260F PF ∠=︒eA ．B ．C ．D．⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12⎡⎢⎣【答案】C【分析】根据题意分析，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，此时在P 0P 12F PF ∠中，，转化为，消去b ，求出椭圆离心率的取值范围.02Rt P OF △0230OP F ∠≥︒b ≤e【详解】如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当P P 12F PF ∠且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：P 0P 12F PF ∠存在点为椭圆上一点，使得，P 1260F PF ∠=︒中，，可得中，，012P F F ∴△10260F P F ∠≥︒02Rt P OF △0230OP F ∠≥︒所以，即，其中02P O OF≤b ≤c =，可得，即2223a c c ∴-≤224a c ≤2214c a ≥椭圆离心率，且 c e a =0a c >>112e ∴≤<故选:C11．已知F 是双曲线C ：的右焦点，P 是C 的左支上一点，，则的最2218y x -=(A PA PF +小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最12PF PF =+值.【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，2218y x -=1a =3c =()3,0F ()13,0F -当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，P 12PF PF -=12PF PF =+从而，又为定值，1122PA PF PA PF AF +=++≥+14AF ==所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），6PA PF +≥P 1AF 故选：B.12．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为()2222:10x y C a b a b +=>>，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与2222x y a b +=+222:116x y C a +=该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若面积的最大值为41，则椭圆C 的长轴长为（ ）MPQ A ．5B ．10C ．6D ．12【答案】B【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出PQ 22216x y a +=+，再利用基本不等式即可求解.222216)4(MP MQ PQ a ++==【详解】椭圆C 因为，所以为蒙日圆的直径，MP MQ ⊥PQ 所以，所以.PQ =222216)4(MP MQ PQ a ++==因为，当22216)2(2MP MQMP MQ a ≤++⋅=MP MQ ==所以面积的最大值为：.MPQ 26121MP MQ a =+⋅由面积的最大值为41，得，得，MPQ 24116a +=5a =故椭圆的长轴长为.C 10故选：B13．“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是___________（满足条件即可）1x >x >m Z m ∈m .【答案】0（答案不唯一，满足且均可）.1m <Z m ∈【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且，1x >x >m Z m ∈所以且，故可取0，1m <Z m ∈故答案为：0（答案不唯一，满足且均可）1m <Z m ∈14．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是3x =2212516x y +=,A B 1F 1ABF ___________.【答案】20【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.3x =2212516x y +=2F 【详解】椭圆,所以，2212516x y +=22225169c a b =-=-=得，则椭圆的右焦点为，3c =2(3,0)F 所以直线经过椭圆的右焦点，3x =2212516x y +=2F 由椭圆的定义可知，的周长为1ABF .11121244520AF BF AB AF AF BF BF a ++=+++==⨯=故答案为：20.15．已知是抛物线的焦点，为坐标原点，点A 是抛物线上的点，且，则F 28C y x =：O C 8AF =的面积为_____________.AOF【答案】【分析】设，由抛物线的方程求得，再由抛物线定义列方程求得，从而求得(),A m n 4p =6m =n =±【详解】设，由抛物线方程得：，所以，(),A m n 28y x =28p =4p =由抛物线的定义得：，解得：，82p AF m =+=6m =又解得：，28n m =n =±所以的面积为：AOF 11222S OF n =⨯⨯=⨯⨯=故答案为：16．已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，2219y x +=11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭则直线AB 的方程为______．【答案】950x y +-=【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，设，()1122,,(,)A x yB x y 且弦AB 被点P 平分，故直线AB 的斜率存在，两式相减得，222212121,1,99y y x x +=+=，121212120,99y y y yx x x x --+-=∴=--直线AB 的方程为.950x y +-=故答案为:950x y +-=【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题.三、解答题17．分别求适合下列条件的方程：(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；(2)经过点的抛物线的标准方程.()2,4P --【答案】(1)或2212521x y +=2212521y x +=(2)或28y x =-2x y=-【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a 、c ，进而求出b ，即可求解；（2）设抛物线方程为或，将点P 坐标代入，即可求解.22(0)y px p =->22(0)x my m =->【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为()20a a >()20c c >由条件可得.所以.210,24a c ==5,2a c ==所以，22225421b a c =-=-=当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；x 2212521x y +=当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.y 2212521y x +=（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，x 22(0)y px p =->将点的坐标代入抛物线的标准方程得，P 1644p p =⇒=此时，所求抛物线的标准方程为；28y x =-当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，y 22(0)x my m =->将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，P 48m =12m =此时，所求抛物线的标准方程为.2x y =-综上所述，所求抛物线的标准方程为或.28y x =-2x y =-18．设集合，命题，命题{13},{11,0}A x B xm x m m =-<<=-<<+>∣:p x A ∈:q x B ∈(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；p q m (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.p qm 【答案】(1){}2(2).()2,+∞【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；p qA B =（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.p qA B 【详解】（1）由条件， 是的充要条件，{13}A x =-<<p q 得，即，解得，A B =1113m m -=-⎧⎨+=⎩2m =所以实数的取值范围是.m {}2（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，p qA B 所以，或，解得，01113m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩01113m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩m>2综上实数的取值范围是.a ()2,+∞19．已知，命题，；命题，a R ∈[]:1,2p x ∀∈2a x ≤:q x R ∃∈()2220x ax a +--=(1)若p 是真命题，求a 的最大值；(2)若为真命题，为假命题，求a 的取值范围.p q ∨p q ∧【答案】(1)1(2)()()2,11,∞-⋃+【分析】（1）由p 是真命题，列不等式，即可求得；（2）先求出p 、q 为真命题时a 的范围，再由复合命题的真假分类讨论，即可求解.【详解】（1）若p 是真命题，只需.()2mina x ≤因为在上单增，所以，所以.2y x =[]1,2x ∈()2min1x =1a ≤即a 的最大值为1.（2）若q 是真命题，即为关于x 的方程有实根，()2220x ax a +--=只需，解得：或.()24420a a ∆=+-≥1a ≥2a ≤-若p 是真命题，解得：.1a ≤因为为真命题，为假命题，p q ∨p q ∧所以p 、q 一真一假.当p 真q 假，则有：，所以.121a a ≤⎧⎨-<<⎩21a -<<当p 假q 真，则有：，所以.112a a a >⎧⎨≥≤-⎩或1a >综上所述：或.1a >11a -<<即a 的取值范围.()()2,11,-⋃+∞20．已知曲线C 上的每一个点到的距离减去它到y 轴的距离的差都是2.(2,0)F(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作倾斜角为的直线交曲线C 于A 、B 两点，点，求ABD 的面积.45(2,0)D - 【答案】(1)()280y x x =≥(2)【分析】（1）利用求轨迹的直接法求解；（2）先设，与抛物线方程联立，求得弦长，再求得点D 到直线的距离，利用三角:20AB l x y --=形的面积公式求解.【详解】（1）解：设曲线上动点坐标为，,)x y （由题设得，)20x x +≥整理得.()280y x x =≥（2）设，:20AB l x y --=由，得，2208x y y x --=⎧⎨=⎩21240x x -+=所以，因为直线经过抛物线的焦点，1212x x +=故，1216AB x x p =++=又点D 到的距离，ABl d所以Δ12ABD S AB d =⋅=21．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点与点，过点的直线l 与椭圆C 12A ⎛ ⎝()2,0B ()1,0交于P ，Q 两点，直线，分别交直线于E ，F 两点．BP BQ 3x =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．PE QF ⋅ 【答案】(1)2214x y +=(2)见解析【分析】（1）设椭圆C 的方程为，由两点得出椭圆C 的标准方程；221mx ny +=,A B （2）联立直线l 与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，,BP BQ ,E F 得出的范围，进而得出的最值.PE QF ⋅ PE QF ⋅ 【详解】（1）设椭圆C 的方程为且，221(0,0,mx ny m n +=>>)m n ≠因为椭圆C 过点与点，所以，解得.12A ⎛ ⎝()2,0B 15141641m n m ⎧+=⎪⎨⎪=⎩141m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为.2214x y +=（2）设直线，:1l x ty =+()()1122,,,P x y Q x y 由，得，22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(1)440ty y ++-=即，则.()224230t y ty ++-=12122223,44t y y y y t t +=-=-++直线的方程分别为.,BP BQ 1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---令，则.3x =12123,,3,22y y E F x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则，()()11111111323,2,21y x y ty PE x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，()()22222222323,2,21y x y ty QF x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()()()12121212222211y y ty ty PE QF ty ty ty ty --⋅=--+-- ()()2121212212122411y y t y y t y y t y y t y y ⎡⎤⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦-++⎣⎦2222222223344413244144t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎪++ ⎪++⎝⎭.()()()2222254451651444444t t t t t +-+===-+++因为，所以.244t +≥22115150,144444t t <≤≤-<++即的取值范围为.PE QF ⋅ 51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以存在最小值，且最小值为.PE QF ⋅ 1【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从12,x x 而由的范围，得出的取值范围.25144t -+PE QF ⋅ 22．以椭圆的中心为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．C P F Q 2PQ =OPQ OFQ S = (1)求椭圆及其“准圆”的方程；C (2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当C ED C M N 、时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．0OM ON ⋅= ED 【答案】（1）；（2）弦的长为定值224x y +=ED 【分析】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即C (),0F c -0c >OPQ OFQ S = a =2PQ =且，所以，由“准圆”得定义即可求出结果；224a b +=222b c a +=223,1a b ==（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组ED (,R)y kx b k b =+∈C 1122(,)(,)M x y N x y 、代入消元得：，由韦达定理和，以及点到直2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=0OM ON ⋅= 线的距离的公式即可求出结果.【详解】（1）设椭圆的左焦点，，由得，C (),0F c -0c >OPQ OFQ S = a =又，即且，所以，2PQ =224a b +=222b c a +=223,1a b ==则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．C 2213x y +=C 224x y +=（2）设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈且与椭圆的交点，C 1122(,),(,)M x y N x y 联列方程组代入消元得：，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=由．2121222633,1313kb b x x x x k k --+==++可得，22121223()()13b k y y kx b kx b k -=++=+由得，0OM ON ⋅= 12120x x y y +=即，所以，222222223334330131313b b k b k k k k ----+==+++()22314b k =+此时成立，()()2222236413332730k b k b k ∆=-+-=+>则原点到弦的距离O EDd====得原点到弦，则，O ED ED ==故弦的长为定值．ED 【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据，得，1122(,),(,)M x y N x y 1122(,)(,)M x y N x y 、12120x x y y +=利用，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化简得到，再1212()()y y kx b kx b =++()22314b k =+利用几何法即可计算弦长为定值.。

甘肃省白银市第九中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题

甘肃省白银市第九中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题

白银九中2021-2022学年第二学期高二文科数学期中试卷考试范围：选修1-2，4-4考试时长：120分钟；总分：150分姓名：班级：考号：一、单选题（每小题5分，共60分）1．复数34i2iz +=-（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．当用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则关于x 的方程24230x ax b -+=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程24230x ax b -+=没有实根B ．方程24230x ax b -+=至多有一个实根C ．方程24230x ax b -+=至多有两个实根D ．方程24230x ax b -+=恰好有两个实根3．将点的直角坐标()2,2化成极坐标得（）A．2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2π4,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π4,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D．π4⎛⎫ ⎪⎝⎭4．在同一坐标系中，将曲线2sin 3y x =变为曲线''sin y x =的伸缩变换是（）A ．312x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩B ．312x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩C ．32x x y y =⎧⎨=''⎩D ．32x x y y''=⎧⎨=⎩5．椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A ．()0,4±B ．()4,0±C ．()5,0±D ．()0,3±6．为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算2K 的观测值 6.668k =，则所得的结论是：有多大把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”（）附表：()20P K k ≥0.100.0250.010.0010k 2.7065.0246.63510.828A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%7．过点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．sin ρθ=B ．sin 1ρθ=C．cos ρθ=D ．cos 1ρθ=8．执行如图所示的程序框图，若输入的2k =，则输出的S =（）A ．6B ．5C ．4D ．2.89．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，和圆2cos ρθ=的圆心的距离为（）A．B ．2CD10．直线10x y --=与圆1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点，则MN =（）A ．1BC ．2D．11．甲、乙、丙三人中，只有一人会弹吉他.甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”.如果这三句话中只有一句是真的，那么会弹吉他的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法确定12．方程())23110x y +-=表示的曲线是()A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线二、填空题（每小题5分，共20分）13．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），则曲线C 的普通方程为______．14．若复数z 满足()12i i 3z +-=（i 是虚数单位），则z =___________.15．把极坐标方程cos 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程是________________16．在极坐标系中，以点π3,2A ⎛⎫⎪⎝⎭､(4,0)B 和极点O 为顶点的三角形的面积为________.三、解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17．已知复数22(32)(43),z m m m m i m R =-++-+∈.（1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围；（2）若z 是纯虚数，求m 的值.18．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．19．为了改善贫困地区适龄儿童的教育环境，某市教育行政部门加大了对该地区的教育投资力度，最近4年的投资金额统计如下：（第x 年的年份代号为x ）年份代号x1234投资金额y （万元）12162024（Ⅰ）请根据最小二乘法求投资金额y 关于年代代号x 的回归直线方程；（Ⅱ）试估计第8年对该地区的教育投资金额.附：122ˆˆ.ˆ,ni ii nix y nxybay bx xn x=--==--∑∑20．某校计划面向高二年级文科学生开设社会科学类和自然退坡在校本选修课程，某文科班有50名学生，对该班选课情况进行统计可知：女生占班级人数的60％，选社会科学类的人数占班级人数的70％，男生有10人选自然科学类．（1）根据题意完成以下22⨯列联表：选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计（2）判断是否有99％的把握认为科类的选择与性别有关？()20P K k ≥0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4sin C ρθ=，曲线2:4cos C ρθ=.（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，设3C 与1C 和2C 的交点分别为M，N ，求MN .22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数)，直线C 2的方程为 y =，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求11||||OA OB +.2021-2022学年第二学期期中考试高二数学文科答案一．选择题1-5DADBB6-10CBAAC11-12BD12．【解析】由())23110x y +-=，得2x +3y −1=010=.即2x +3y −1=0(x ⩾3)为一条射线，或x =4为一条直线.∴方程())23110x y +-=表示的曲线是一条直线和一条射线.二．填空题13．2215x y +=14．15．20y +-=16．6三．解答题17．（1）23m <<（2）2m =【详解】（1）由题意可得22320430m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得23m <<（2）由题意可得22320430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得2m =18．（Ⅰ）C :220xy x y +--=，l :cos sin 20ρθρθ-+=；（Ⅱ）2【详解】（Ⅰ）圆C ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=；直线l ：20x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=.（Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，因为圆心CC 上的点到直线l 的最短距离为22=.【点睛】本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.19．(1)ˆ48yx =+.(2)第8年对该地区的教育投资约为40万元.【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由表中数据，计算x ，y ，求出ˆb，ˆa ，写出y 关于x 的回归方程；（Ⅱ）利用回归方程计算8x =时ˆy的值即可.详解：（Ⅰ）2123260964 2.5182.5.18,4,184 2.58,149164 2.5ˆˆx y ba +++-⨯⨯====∴=-⨯=+++-⨯即所求回归直线的方程为ˆ48yx =+；（Ⅱ）当8x =时，40y =，故第8年对该地区的教育投资约为40万元.点睛：本题考查了线性回归方程的计算与应用问题.20．（1）列联表见解析（2）没有99％的把握认为科类的选择与性别有关【详解】解：（1）根据题意可知，女生人数为500.630⨯=，男生人数为20，选社会科学类人数为500.735⨯=，选自然科学类人数为15，且其中男生占10人，则22⨯列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类合计男生101020女生52530合计153550（2）由（1）中数据，2K 的观测值()25010525104006.349 6.6353515302063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有99％的把握认为科类的选择与性别有关．【点睛】本题考查由已知关系完善22⨯列联表，还考查了由独立性检验的实际应用，属于基础题.21．（1）2240x y y +-=，2240x y x +-=；（2）2-.【详解】解：（1）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为2240x y y +-=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（2）联立4sin 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得M ρ=联立4cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得2N ρ=，.故2M N MN ρρ=-=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．属于基础题.22．（1）1C ：ρ2﹣4ρcos θ﹣4ρsin θ+7=0，2C ：=()3R πθρ∈；（2）27+.【解析】【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求11||||OA OB +.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)，直角坐标方程为(x ﹣2)2+(y ﹣2)2=1，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y +7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ﹣4ρsin θ+7=0直线C 2的方程为y，极坐标方程为=()3R πθρ∈；（2）直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2﹣ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2ρ1ρ2=7，∴11||||OA OB+=121227ρρρρ++=.。

第一中学高二数学下学期期中试题文

第一中学高二数学下学期期中试题文

陕西省西安市长安区第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 文注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，总分150分,考试时间120分钟．2。

答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定的位置上．3。

选择题的每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效．第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1。

设复数z 1＝1－i ，z 2i ，其中i 为虚数单位，则12zz 的虚部为（ ）ABCD2.“m ＞0”是“函数f （x)＝m ＋2log x （x ≥1）不存在零点"的( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3。

已知双曲线221k－＝（k>0）的一条渐近线与直线x－2y－3＝0x y平行，则双曲线的离心率是（）B．3C．43D．5 A．524．给出命题:若函数y=f(x）是幂函数，则函数y=f(x)的图像不过第四象限。

在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ）A。

3 B.2 C.1 D。

05。

《张丘建算经》卷上一题大意为今有女善织,日益功疾，且从第二天起,每天比前一天多织相同量的布，现在一月(按30天计)共织布390尺，最后一天织布21尺,则该女第一天共织多少布?（）A.3尺B。

4尺C。

5尺D。

6尺6．用系统抽样法从130件产品中抽取容量为10的样本,将130件产品从1～130编号，按编号顺序平均分成10组（1～13号,14～26号，…,118～130号)，若第9组抽出的号码是114，则第3组抽出的号码是（)A．36 B．37 C．38 D．397．已知f（x）=Asin(ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示,则y=f(x）的图象可由函数y=cos x的图象(纵坐标不变）如何变换得到（)A 。

2022-2023学年宁夏银川市高二下学期期中考试数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年宁夏银川市高二下学期期中考试数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年宁夏银川市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.2．若22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则[(1)]f f -的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．0【答案】D【分析】根据分段函数的对应法则，即可得到结果.【详解】∵22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，∴(1)121f -=-+=∴()2[(1)]1log 10f f f -===，故选：D.【点睛】本题考查分段函数的应用，考查学生对法则的理解，属于基础题.3．已知函数()()0.1102,11log 1,111ax x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩ 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】判断当111x <≤时，()0.1()=log 1f x x -的取值范围，从而判断11x >时，()102f x ax =-的取值范围应包含(),1-∞-，由此列出不等式，求得答案.【详解】由题意知当111x <≤时，()[)0.1()=log 11,f x x -∈-+∞，由于函数()()0.1102,11log 1,111ax x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩的值域为R ，故11x >时，()102f x ax =-的取值范围应包含(),1-∞-，故此时0a >，且110221,2a a -≥-∴≤，故102a <≤，故选：C.4．若命题“0x ∃∈R ，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或m>2【答案】A【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.【详解】命题“0x ∃∈R ，200220x mx m +++<”的否定为“x ∀∈R ，2220x mx m +++≥”，该命题为真命题，即()24420m m ∆=-+≤，解得[]1,2m ∈-.故选：A5．设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，2|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ．M N =B ．NM ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．M N ⋂=∅【答案】B 【详解】因为()()112121,4,366636k k x k x k k Z =+=+=+=+∈，所以NM ⊂≠，故选B.6．已知()11fx x -=+，则函数()f x 的解析式为（）A ．()2f x x=B ．()()211f x x x =+≥C ．()()2221f x x x x =++≥-D ．()()221f x x x x =-≥【答案】C【分析】利用换元法求解即可.【详解】因为()11fx x -=+，0x ≥，令1t x =-，则221x t t =++，1t ≥-，所以()2221122f t t t t t =+++=++，1t ≥-，故()222f x x x =++，1x ≥-，故选：C7．若35225a b ==，则11a b+=（）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.【详解】由题意3225,5225a b ==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b ==由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ====由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+lg 3lg 52lg15+=lg1512lg152==故选:A【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（）A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，比较0.632log ,13,3的大小，再由()f x 在()0,∞+上单调递增判断.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()(||)f x f x f x =-=因为0.632,212log 133<<<<，所以0.632log 133<<,又因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()0.632log 133f f f <<,即()()()0.632log 133f f f <-<-，故选：C 9．若()1ln 121f x m n x =++--为奇函数，则n =（）A ．ln 2B ．2C ．11ln2-D ．11ln2+【答案】C【分析】利用奇函数的定义，对m 分类讨论即可得解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以()f x 的定义域关于原点对称.若0m =，则()f x 的定义域12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭不关于原点对称，所以()0,m f x ≠的定义域为12x x ⎧≠⎨⎩且1122x m ⎫≠-⎬⎭，所以111222m -=-，解得12m =.所以()11ln1221f x n x =++--，定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭.令()00f =，得1ln 102n +-=，故11ln 2n =-，此时经检验，()f x 为奇函数.故选：C.10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：[]()y x x =∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.62-=-，[]1.61=，[]22=，已知()e 11e 12xx f x -=++，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0--【答案】C【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出()f x 的值域，结合已知定义即可求解．【详解】因为()e 1132e 1221e x x xf x -=+=-++又e 11x +>，所以2021e x<<+，所以2201e x-<-<+所以()3213,21e 22x f x ⎛⎫=-∈- ⎪+⎝⎭，则()[()]g x f x =的值域{}1,0,1-．故选：C ．11．有下列几个命题，其中正确的共有（）①函数221y x x =++在()0,∞+上单调递增；②函数11y x =+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数；③函数254y x x =+-的单调区间是[)2,-+∞④已知()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-；⑤已知函数()()23,0,,0x x g x f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则()23f x x =+.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】C【分析】对于①，根据二次函数的性质，可知函数221y x x =++在1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调；对于②，11y x =+在(),1-∞-和()1,-+∞上均为减函数，但在并集上并不是减函数；对于③，首先要求函数254y x x =+-的定义域，才可研究函数单调性；对于④，通过函数的单调性，0a b +>，可得出答案；对于⑤，根据函数奇偶性即可求出函数的解析式.【详解】由221721248y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭在1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增知，函数221y x x =++在()0,∞+上是增函数，故①正确；11y x =+在(),1-∞-，()1,-+∞上均是减函数，但在()(),11,-∞--+∞ 上不是减函数，如20-<，但112101<-++，故②错误；254y x x =+-在[)2,1--上无意义，从而在[)2,-+∞上不是单调函数，故③错误；由0a b +>得a b >-，又()f x 在R 上递增，所以()()f a f b >-，同理，()()f b f a >-，所以()()()()f a f b f a f b +>-+-，故④正确；设0x <，则0x ->，()23g x x -=--，因为()g x 为奇函数，所以()()()23f x g x g x x ==--=+，故⑤正确.故选：C12．已知函数()f x 的定义域为R ，若函数()21f x +为奇函数，且()()4f x f x -=，20231()1k f k ==∑，则()0f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质得到()()2112f x f x +=--，由条件()()4f x f x -=结合函数的对称性和周期性的定义得到函数()f x 的周期为4，且()()()()12340f f f f +++=，()()02f f =-，即可求解.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且函数()21f x +为奇函数，则()()2112f x f x +=--，即函数()f x 关于点()1,0对称，所以有()()=2f x f x --①，又()()4f x f x -=②，所以函数()f x 关于直线2x =对称，则由②得：()()()34110f f f =-==，()()()0404f f f =-=，所以()()()()02240f f f f +=+=，则()()()()12340f f f f +++=又由①和②得：()()42f x f x -=--，得()()2f x f x =--，所以()()()22f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，则()()()()()()()()20231()505123412321k f k f f f f f f f f ==++++++==⎡⎤⎣⎦∑，所以()()021f f =-=-，故选：A.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，对x D ∀∈，（1）存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.（2）存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二、填空题13．函数212()log (6)f x x x =--的单调递增区间是________【答案】1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.【详解】26032x x x -->∴-<<Q 当122x -<<时，26u x x =--单调递减，而12()log f x u =也单调递减，所以212()log (6)f x x x =--单调递增，故答案为：1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知()111(0)42x xf x x =-++>，则此函数的值域是______【答案】51,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】令1()2xt =,由x 的范围求得t 的范围,再由二次函数求值域.【详解】解:令1()2xt =,0x > ,()0,1t ∴∈,则原函数化为()21g t t t =-++,(01)t <<.()()()011g t g g >== ,15()24max g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴原函数的值域为51,.4⎛⎤⎥⎝⎦故答案为:51,.4⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域,属于基础题.15．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()11g x f x x =+-的定义域为______．【答案】(]1,4【分析】根据抽象函数的定义域及开偶数次方根号里的数大于等于零，分母不等于零求解即可.【详解】因为函数()1f x +的定义域为[]2,3-，所以[]11,4x +∈-，即函数()f x 的定义域为[]1,4-，由函数()()11g x f x x =+-，得1410x x -≤≤⎧⎨->⎩，解得14x <≤，即函数()()11g x f x x =+-的定义域为(]1,4.故答案为：(]1,4.16．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()e ax f x =．若(ln 2)4f =-，则实数a 的值为____________．【答案】2-【分析】根据给定条件，确定ln 20>，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()e ax f x =，而ln 20>，于是1ln 2ln 24e 1(ln 2)(ln 2)(ln )22e a a a f f f --=--=-==-=--=-，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故答案为：2-三、解答题17．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-．(1)若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1){}0mm ≥∣(2){}2mm ≤-∣【分析】（1）讨论B =∅，B ≠∅两种情况，结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围；（2）由p 是q 成立的充分不必要条件，得出A 是B 的真子集，再由包含关系得出实数m 的取值范围．【详解】（1）由A B ⋂=∅，得①若21m m ³-，即13m ≥时，B =∅，符合题意；②若21m m <-，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解得103m ≤<．综上，实数m 的取值范围为{}0mm ≥∣．（2）由已知A 是B 的真子集，知122113m mm m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩两个端不同时取等号，解得2m ≤-．由实数m 的取值范围为{}2mm ≤-∣．18．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 333πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积.【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【分析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积．【详解】解：（1）1cos :1sin x tC y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l 的极坐标方程：2cos 3336πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．19．已知函数()112f x x x =-++．(1)求不等式()3f x ≤的解集；(2)设函数()2g x x a x =-+-，若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)75[,]44-；(2)17[,]22.【分析】（1）化函数()f x 为分段函数，再分段解不等式作答.（2）求出函数()f x 、()g x 的值域，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】（1）依题意，函数12,1231(),122112,22x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，则不等式()3f x ≤化为：11232x x ≤-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或112332x ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或121232x x ⎧>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得714x -≤≤-或112x -<≤或1524x <≤，则7544x -≤≤，所以不等式()3f x ≤的解集为75[,]44-.（2）由（1）知，当1x ≤-时，3()2f x ≥，当112x -<≤时，3()2f x =，当12x >时，3()2f x >，因此函数()(R)f x x ∈的值域为3[,)2+∞，x ∈R ，()2|()(2)||2|g x x a x x a x a =-+-≥---=-，当且仅当()(2)0x a x --≤时取等号，因此函数()(R)g x x ∈的值域为[|2|,)a -+∞，因为对任意1R x ∈，都存在2R x ∈，使得()()12f x g x =成立，则有3[,)[|2|,)2a +∞⊆-+∞，即3|2|2a -≤，解得1722a ≤≤，所以实数a 的取值范围是17[,]22.20．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2e 2e x f x -=-.(1)当0x <时，求()f x 的解析式；(2)若()()30f a f +<，求a 的取值范围.【答案】(1)()2e2e x f x --=-(2)(3ln 3,3ln 3)--+【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求得答案；（2）判断函数的单调性，将不等式()()30f a f +<转化为()||(3ln 3)f a f <+，结合函数的单调性奇偶性，即可求得答案.【详解】（1）()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2e 2e x f x -=-,故当0x <时，0x ->，故()2()e2e x f x f x --=-=-.（2）当0x ≥时，()2e 2e x f x -=-为增函数，()323e 2e e f -=-=-，令()2e 2e e x f x -=-=，则3ln 3x =+，当0x <时，()2e2e x f x --=-为减函数，故()()30f a f +<，即()()3e (3ln 3)f a f f <-==+，()f x 为R 上的偶函数，故()||(3ln 3)f a f <+，故||3ln 3,3ln 33ln 3a a <+∴--<<+，即a 的取值范围为(3ln 3,3ln 3)--+.21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为13x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为232cos 2ρθ=-(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程;(2)若曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，且点()1,0P ，求11PA PB+的值.【答案】(1)1:330C x y --=，222:13x C y +=(2)212【分析】（1）利用消参法可得1C 的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义直接计算.【详解】（1）由1C 的参数方程为13x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消参可得()31y x =-，即1:330C x y --=；又2C 的极坐标方程为232cos 2ρθ=-，即22312sin ρθ=+，2222sin 3ρρθ+=，所以2233x y +=，即222:13x C y +=（2）由（1）的222:13x C y +=，即2233x y +=将1C 的参数方程13x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩转化为标准参数方程11232x y μμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（μ为参数）代入2C 得25202μμ+-=，即25240μμ+-=，1225μμ+=-，1245μμ=-，又由1C 的参数方程可知1C 过点()1,0P ，所以1212122211111215425PA PB μμμμμμ-+=+===-.22．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤<【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当a<0，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数，当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当a<0时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件；当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。

高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案

高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案

高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案高二年级下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 $2-i$ 与 $2+i$ 的商为（）A。

$1-\frac{4}{5}i$。

B。

$\frac{33}{43}+\frac{4}{5}i$。

C。

$1-\frac{1}{5}i$。

D。

$1+\frac{1}{5}i$2.设有一个回归方程为 $y=2-2.5x$，则变量 $x$ 增加一个单位时（）A。

$y$ 平均增加 $2.5$ 个单位。

B。

$y$ 平均减少$2.5$ 个单位。

C。

$y$ 平均增加 $2$ 个单位。

D。

$y$ 平均减少 $2$ 个单位3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）.A。

类比推理。

B。

演绎推理。

C。

合情推理。

D。

归纳推理4.点 $M$ 的极坐标 $(5,\frac{2\pi}{3})$ 化为直角坐标为（）A。

$(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2)$。

B。

$(2,-2)$。

C。

$(-\frac{5}{2},2)$。

D。

$(2,2)$5.用反证法证明命题“若 $a^2+b^2=0$，则 $a$、$b$ 全为$0$（$a$、$b\in R$）”，其假设正确的是（）A。

$a$、$b$ 至少有一个不为 $0$。

B。

$a$、$b$ 至少有一个为 $0$。

C。

$a$、$b$ 全不为 $0$。

D。

$a$、$b$ 中只有一个为 $0$6.直线 $y=2x+1$ 的参数方程是（$t$ 为参数）（）A。

$\begin{cases}x=t^2\\y=2t^2+1\end{cases}$。

B。

$\begin{cases}x=2t-1\\y=4t+1\end{cases}$。

C。

$\begin{cases}x=t-1\\y=2t-1\end{cases}$。

D。

$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=2\sin\theta+1\end{cases}$7.当 $\frac{2}{3}<m<1$ 时，复数 $m(3+i)-(2+i)$ 在复平面内对应的点位于（）A。

陕西省宝鸡市千阳县2022-2023学年高二下学期期中考试数学(文科)试题

陕西省宝鸡市千阳县2022-2023学年高二下学期期中考试数学(文科)试题

千阳中学2022—2023下学期高二期中数学（文科）试题时间：120分钟总分：150分第I卷（选择题共60分）一、单选题1．溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH=−lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的浓度通常在1×10−7.45~1×10−7.35之间，如果发生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的pH值的范围是（）A．[7.25,7.55]B．[7.25,7.45]C．[7.25,7.35]D．[7.35,7.45]2．已知Р为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点Р到C的焦点的距离为9，到y轴的距离为6，则p=（）A．3B．6C．9D．123．甲、乙两人投篮相互独立，且各投篮一次命中的概率分别为0.4和0.3.现甲、乙两人各投篮一次，则两人都命中的概率为（）A．0.46B．0.12C．0.58D．0.74．已知复数z=3−4i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．设集合A={x|0<x<10}，B={x|x>3}，则A∪B=（）A．(0,+∞)B．(3,10)C．(−∞,+∞)D．(3,+∞)6．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4截得的线段长为165，则双曲线C的离心率为（）A．43B．53C．34D．547．对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80，方差为25，现发现数据收集时有两个错误，其中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分．纠正数据后重新计算，得到平均数为x，方差为s2，则（）A．x̅=80，s2<25B．x̅=80，s2=25C．x̅=80，s2>25D．x̅<80，s2>258．阅读如图程序框图，输出的结果i的值为（）A．5B．6C．7D．99．三段论形式如下：因为对a ，b ∈R +，a +b ≥2√ab ，有x +1x≥2√x ⋅1x，所以x +1x≥2，以上推理过程中的错误为（ ） 推理过程中的错误为 A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．无错误10．已知a ，b ∈R ，a ≠b ，a +b =2，则（ ） A ．1<ab <a 2+b 22B ．ab <1<a 2+b 22C ．ab <a 2+b 22<1 D ．a 2+b 22<ab <111．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 312．设f (x )是定义域为R 的偶函数，且在(0,+∞)单调递增，则（ ）． A ．f (log 20.5)>f (log 23) B ．f (20.2)>f (2−0.5) C ．f (20.2)>f (log 25)D ．f (log 23)>f (23)第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题13．已知单位向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为60°，则|3a ⃗+b⃗⃗|=______. 14．若实数x ，y 满足约束条件{x +2y −2≥02x −y −4≤0y ≤2，则z =x −2y 的最小值为______.15．观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，第五个等式为_______．16．古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，······叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为______三、解答题17．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，E ､F 分别是PB ､AC 的中点.(1)证明：EF//平面PCD ； (2)求三棱锥E −ABF 的体积.18．已知函数f (x )=|x +1|+|x −2|. (1)求不等式f (x )≤7的解集；(2)设a ，b ，c ∈R +，f (x )的最小值为m ，若a +b +c =m ，求a 2+b 2+c 2的最小值.19．已知直线l 的直角坐标方程为：x +y −2=0，曲线C 的直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)若射线θ=π4(ρ≥0)分别交直线l 和曲线C 于M 、N 两点（N 点不同于坐标原点O ），求|MN |.20．某企业投资两个新型项目，新型项目A 的投资额m （单位：十万元）与纯利润n （单位：万元）的关系式为n =1.7m −0.5，新型项目B 的投资额x （单位：十万元）与纯利润y （单位：万元）有如下统计数据表：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据（1）中所求的回归方程，若A ，B 两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好. 附：线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为b̂=∑x i y i −nxy ni=1∑x i2−nx 2n i=1a ̂=y −b ̂x 参考数据：∑x i 2=555i=1，∑x i y i =915i=1.21．（1）用分析法证明√7−√6<√3−√2；（2）已知a，b为正实数，请用反证法证明：a+1b 与b+1a中至少有一个不小于2．22．某工厂甲、乙两条生产线生产的一批电子元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机从这批元件中抽取120件元件进行检测，检测结果如下表：(1)试估计生产一件电子元件是合格品的概率；(2)根据下面2×2列联表判断该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择是否有关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．IIII请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效 请在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效第二部分 非选择题（90分） 二、填空题 （每小题5分，共20分） 13. 14. 15. 16.三、解答题（6小题，共70分） 17.(10分)18.（12分）千阳中学2022-2023下学期高二期中数学（文科）答题卡姓 名准考证号注意事项 1. 选择题请用2B 铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。

山西省临汾第一中学2022高二数学下学期期中试题 文(含解析)

山西省临汾第一中学2022高二数学下学期期中试题 文(含解析)
【详解】因为 ，所以 ，
故 ，填 .
【点睛】如果 ，那么：
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 .
14.若 满足约束条件 ，则 的最大值是_________．
【答案】1
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的可行域，平移动直线 可得 的最大值.
【详解】不等式组对应的可行域如图阴影部分所示：
当动直线 过 时， 有最大值，
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用正弦定理可求 的大小.注意用“大边对大角”来判断角的大小关系.
【详解】由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，因 ，所以 ，
故 为锐角，所以 ，故选A.
【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.
【点睛】本题考查指数式、对数式的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用
9.函数 图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由函数的解析式，当 时,是函数的一个零点,属于排除A,B,
当x∈(0,1)时，cosx>0， ,函数f(x) <0，函数的图象在x轴下方，排除D.
综上原方程有5个不同的实数解.
【点睛】求复合方程 的解的个数问题，其实质就是方程组 的解的个数问题，先利用导数或初等函数的性质等工具刻画 的图像特征并考虑 的解 ，再利用导数或初等函数的性质等工具刻画 的图像特征并考虑 的解情况，诸方程解的个数的总和即为原方程解的个数.
三．解答题.
17.已知 的内角 的对边分别为 ， ．
（1）求 ；

北京市第三十一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

北京市第三十一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

北京市第三十一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题姓名___________学号___________成绩___________班级___________（考试时间120分钟 试卷满分150分）一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.3，…，则9是这个数列的第（ ）A. 12项B. 13项C. 14项D. 15项2. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，则 A.B.C.D.3. 2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为A. 120B. 160C. 200D. 2404. 在数列 中，，则 （ ）A. 2B.C.D.5. 如图，函数的图象在点处的切线是l ，则等于（）A. B. 3 C. D. 16. 篮子里装有3个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个白球，一个黑球”，（ ）X ()~6,X B p ()1E X =()D X =13122356()2100,X N σ~34{}n a 11111n na a a +==+，4a =325385()y f x =()2,P y (2)(2)f f '+4-2-A =B =()P B A =A.B.C.D.7. 已知是等差数列公差，是的首项，是的前项和，设甲：存在最小值，乙：且，则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 随机变量的分布列是234若，则随机变量方差的值为（ ）A.B.C.D.9. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若＝，则等于（ ）A. 1 B. －1C. 2D.10. 对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（ ）A.B.C.D.二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分11. 2，x ，y ，z ，18成等比数列，则x ＝________.12. 若数列的通项公式为，，数列的前30项和___________.13. 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为，客车为.今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为________．14. 有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P （X <2）等于________．的的211411322622d {}n a 1a {}n a n S {}n a n n S 10a >0d >ξξpa14b11()4E ξ=2ξ(2)D ξ111611811411253a a 5995S S 12{}n a 12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+={}n a {}n a 2n G n =+10a =83125942110{}n a n a n =()*11N n n n b n a a +=∈⋅{}n b 30T =2:10.020.0115. 网络流行语“内卷”，是指一类文化模式达到某种最终形态后，既没办法稳定下来，也不能转变为新形态，只能不断地在内部变得更加复杂的现象.数学中的螺旋线可以形象地展示“内卷”这个词.螺旋线这个词来源于希腊文，原意是“旋卷”或“缠卷”，如图所示的阴影部分就是一个美丽的旋卷性型的图案，它的画法是：正方形的边长为4，取正方形各边的四等分点E ､F ､G ､H ，作第二个正方形，然后再取正方形各边的四等分点M ､N ､P ､Q ，作第三个正方形，按此方法继续下去，就可以得到下图.设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为､､…､､…，如图阴影部分，设直角三角形面积为，后续各直角三角形面积依次为､､…､､…，则下列说法正确的是___________.①正方形的面积为②③使不等式成立的正整数的最大值为4④数列的前项和三､解答题（共6小题，共85分）16. 已知等差数列共有20项，各项之和，首项（1）求数列的公差；（2）求第20项17. 某中学校本课程开设了A ､B ､C ､D 共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲､乙､丙3名学生（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A 选修课被这3名学生选择的人数的分布列及数学期望.的ABCD ABCD EFGH EFGH MNPQ ABCD 1a 2a 3a n a AEH 1b 2b 3b n b MNPQ 251614n n a -=⨯14n b >n {}n b n 4n S <{}n a 201050S =15a =d ξ18. 已知等比数列前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）已知数列中，满足，求数列的前项和．19. 某部门为了解青少年视力发展状况，从全市体检数据中，随机抽取了名男生和名女生的视力数据．分别计算出男生和女生从小学一年级（年）到高中三年级（年）每年的视力平均值，如图所示．（1）从年到年中随机选取年，求该年男生的视力平均值高于上一年男生的视力平均值的概率；（2）从年到年这年中随机选取年，设其中恰有年女生的视力平均值不低于当年男生的视力平均值．求的分布列和数学期望：（3）由图判断，这名学生的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）20. 为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，（1）两个年级各派50名学生参加国防知识初赛，成绩均在区间上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点），估计学生的成绩的平均分（若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；的{}n a n n S 5190a a -=490S ={}n a {}n b 2log n n n b a a =+{}n b n n T 1001002010202120112021120102021122X X 200[]50,100（2）两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；②如果在答满5轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满5次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第3轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第4轮了；③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响（i ）在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了3轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目数量，求的分布列及数学期望（ii ）求在第4轮结束时，学生代表甲答对3道题并刚好胜出的概率21. 已知数列的前项和为，且（1）求，并证明数列是等差数列：（2）若，求正整数的所有取值.的3:03423X X {}n a n n S 221nn n S a +=+1a 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭222k k a S <k北京市第三十一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题简要答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】②③④三､解答题（共6小题，共85分）【16题答案】【答案】（1） （2）【17题答案】【答案】（1）64（2）（3）分布列略，期望为【18题答案】【答案】（1） （2）【19题答案】【答案】（1）（2）分布列略；数学期望 （3）自年开始的连续三年，名学生的视力平均值方差最小【20题答案】【答案】（1）学生的成绩的平均分的估计值为73.8分 （2）（i ）分布列略，（ii ）.【21题答案】30310.8014155d =20100a =9163432nn a =⋅()12132log 362n n n n T n ++=⋅++⋅-311()23E X =2017200()94E X =11256【答案】（1），证明略 （2）11a 1,2,3。

吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题含答案

吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题含答案

四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测高二数学试题（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()23cos f x x x=+的导函数是（）A.()6sin f x x x '=+B.()6sin f x x x '=-C.()3sin f x x x'=- D.()3sin f x x x'=+【答案】B 【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】()()()23cos 6sin f x x x x x '''=+=-.故选：B.2.5(2)x -的展开式中3x 的系数为（）A.40-B.20- C.20D.40【答案】D 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可计算可得.【详解】因为5(2)x -展开式的通项为()515C 2rr rr T x -+=-（05r ≤≤且N r ∈），所以5(2)x -的展开式中3x 的系数为225C (2)40⨯-=.故选：D3.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种B.90种C.72种D.36种【答案】A 【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有1333C A 18=种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有33A 6=种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有186108⨯=种不同的播出方案.故选：A4.已知*0,x n ≠∈N ，则“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】若8n =，则8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为()626381C 2112x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；若312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为()33411=C22C rn rrn r r n r r nn T x x x ---+⎛⎫⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，且存在常数项，则340n r -=，34nr =，r 为整数，所以n 能被4整除.所以“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.5.已知曲线2ln y x x =-在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直，则点A 的横坐标为（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】设点()00,A x y ，根据题意可得()01f x '=，从而求得0x .【详解】设()2ln f x x x =-，点()00,A x y ，则()12f x x x='-，由在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直可得()01f x '=，即00121x x -=，又00x >，01x ∴=.故选：D6.已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.[)2,+∞ D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2ax <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2a -∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a -+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.故选：A.7.若()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-，则N =（）A.()41x - B.()41+x C.()43x - D.()43x +【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理可得答案.【详解】()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-413222334444(1)C (1)2C (1)2C (1)22x x x x =-+-⋅+-⋅+-⋅+4(12)x =-+4(1)x =+.故选：B8.若函数()21ln 32f x x ax =++在区间()1,4内存在单调减区间，则实数a 的取值范围是（）A.1,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()1,1,16⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.(),1-∞- D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导，分0a ≥和a<0两种情况，结合()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，求出a 的取值范围即可.【详解】()21ln 32f x x ax =++，()211ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x ¢>，不符合题意；当0a <时，令()0f x '<，解得x >()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，∴4<，解得116a <-.∴实数a 的取值范围是1,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A ，B 不相邻，有48种排法C.若A ，B 相邻，有48种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AC 【解析】【分析】求得A ，B 不相邻时的排法总数判断选项AB ；求得A ，B 相邻时的排法总数判断选项CD.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 不相邻，则先让C ，D ，E 自由排列，再让A ，B 去插空即可，则方法总数为3234A A 72=（种）.则选项A 判断正确；选项B 判断错误；A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 相邻，则将A ，B “捆绑”在一起，视为一个整体，与C ，D ，E 自由排列即可，则方法总数为2424A A 48=（种）.则选项C 判断正确；选项D 判断错误.故选：AC10.在62x⎛⎝的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为3【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即【详解】偶数项的二项式系数之和为152232n -==，故A 正确；根据二项式，当3r =时36C 的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B 错误()()36662166C 21C 2r r rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，4r =，∴4256C 260T =⋅=，故C 正确；362r -为整数时，0,2,4,6r =，故有理项的个数为4，故D 错误.故选：AC ．11.已知函数()ln xxf x e =,则下列说法正确的是（）A.()f x 有且仅有一个极值点B.()f x 有且仅有两个极值点C.当01x <<时，()f x 的图象位于x 轴下方D.存在0x ，使得()01f x e=【答案】AC 【解析】【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】由题意知，()1ln xxx f x e -'=,令()1ln h x x x =-,()211h x x x '=--,易得()h x 在()0,∞+上单调递减,又()110h =>,()12ln 202h =-<，所以()01,2x ∃∈,使得()00h x =，所以当00x x <<时,()0f x '>，当0x x >时,()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，所以()f x 有且仅有一个极值点.故A 正确,B 错误;当01x <<时,ln 0x <，e 0x >,所以()0f x <,故C 正确;所以()()0000max 0ln 11ex x x f x f x e x e ===<,故D 错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种.【答案】8【解析】【分析】利用分步加法计数原理计算即得.【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成，由分步乘法计数原理知，不同的选法有322228⨯⨯==（种）.故答案为：8.13.函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.【答案】(]0,1【解析】【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解.【详解】函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=，令()0f x '≤，即10x x-≤，解不等式可得01x <≤，所以函数的单调递减区间为(]0,1.故答案为：(]0,1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14.已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '>在R 上恒成立，则不等式()()23e 21e 10x f x f x --->的解集是______.【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知关系式可构造函数()()xf xg x =e，可知()g x 在R 上单调递增，将所求不等式转化为()()211g x g x ->-，利用单调性可解不等式求得结果.【详解】令()()x f x g x =e ，则()()()0ex f x f x g x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增，由()()23e 21e 10xf x f x --->，得()()211>1e21ex xf x f x ----，即()()211g x g x ->-，又()g x 在R 上单调递增，所以211x x ->-，解得23x >.所以不等式()()23e 21e 10xf x f x --->的解集是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）求值：2222310C C C +++ ;（2）解方程：32213A 2A 6A x x x +=+．【答案】（1）165；（2）5x =【解析】【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于311C 165=；（2）由排列数计算公式可得(32)(5)0x x --=，可得5x =.【详解】（1）因为11C C C m m m n nn -+=+，所以11C C C m m m n n n -+-=，原式()()()()333333333345410911103C C C C C C C C C ++++-+=--- 31111109C 165123⨯⨯===⨯⨯；（2）因为32213A 2A 6A x x x +=+，所以!(1)!!326(3)!(1)!(2)!x x x x x x +⨯=⨯+⨯---，化简可得(32)(5)0x x --=，同时3x ≥，解得5x =.16.已知二项式nx⎛- ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．【答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【解析】【分析】（1）先利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．【小问1详解】因为2,(2)n n a b ==-，所以2(2)32n n +-=，当n 为奇数时，此方程无解，当n 为偶数时，方程可化为2232n ⨯=，解得4n =；【小问2详解】由通项公式3442144C (3)C rrr r r r r T x x--+=⋅=-⋅，当342r -为整数时，1r T +是有理项，则0,2,4r =，所以有理项为0442214422143454(3)C ,(3)C 54,(3)C 81T x x T x x T xx --=-==-==-=．17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】（1）120种；（2）36种.【解析】【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.【小问1详解】两组都是3女2男的情况有326422C C 60 A ⋅=（种）：一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有1446C C 60⋅=（种），所以总情况数为6060120+=（种），故一共有120种不同的分组方案.【小问2详解】视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有13C 种，再排余下两个及丙，有33A 种，而丁和戊的排列有22A 种，所以不同排列方式的种数是132332C A A 36=.18.已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =-++∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）32y =（2）答案见解析【解析】【分析】(1)代入1a =，求出'(1),(1)f f 即可求得切线方程；(2)函数求导'(2)()()x a x a f x x+-=，对a 分类讨论，进而求得单调性.【小问1详解】当1a =时，()212ln 2f x x x x =-++，'2()1f x x x =-++，所以'3(1)2110,(1)2f f =-++==，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为32y =.【小问2详解】22'2(2)()()x ax a x a x a f x x x+-+-==，①当0a =时，'()0f x x =>，所以函数在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令'()0f x =，则12x a =-(舍)或2x a =，'()0,0f x x a <<<，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减；'()0,f x x a >>，当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增.③当0a <时，令'()0f x =，则12x a =-或2x a =(舍)，'()0,02f x x a <<<-，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；'()0,2f x x a >>-，当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a =时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增；当0a <时，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增19.已知函数()ln 32a f x ax x =--，其中0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()10xf x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）[)2,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数，讨论a 的符号判断函数单调性；（2）问题转化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，构造函数利用导数求最小值证明1ln 02x x ->，则12ln 30x x x --+≥恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2122a x a f x a x x -'=-=，①当0a >时，()0f x '<解得102x <<，()0f x ¢>解得12x >，此时函数()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，②当0a <时，()0f x ¢>解得102x <<，()0f x '<解得12x >，此时函数()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；【小问2详解】不等式()10xf x +≥可化为2ln 3102a ax x x x --+≥，由2ln 3102a ax x x x --+≥恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，又由2ln 3102a ax x x x --+≥可化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，令()1ln 2g x x x =-，有()121122x g x x x -'=-=，令()0g x '<解得102x <<，()0g x '>解得12x >此时函数()g x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，有()111111ln ln 20222222g x g ⎛⎫≥=-=+> ⎪⎝⎭，可得1ln 02x x ->，可得211ln 2ln 2ln 22ax x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明22ln 310x x x x --+≥，即证明12ln 30x x x --+≥，令()12ln 3h x x x x =--+，有()()()222221111212x x x x h x x x x x+---'=--==，令()0h x '<解得01x <<，()0h x '>解得1x >，可得函数()h x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，有()()120310h x h ≥=--+=，可得不等式22ln 310x x x x --+≥成立，所以若()10xf x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为[)2,+∞.。

陕西师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题

陕西师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题

陕西师大附中2021—2022学年度第二学期期中考试高二年级(文科数学)试题注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题卡上，满分120分，时间120分钟．2．答卷前检查答题卡上条形码的信息是否正确．3．答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．4．只交答题卡，不交试题卷．第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合={|10}A x x <，={|2}B x x <，则A B =ð().A {|2}x x <.B 10|2{}x x ≤<.C {|10}x x ≥.D {|210}x x <≤2．已知复数z 满足|1|1zi i=+-，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的().A 第一象限.B 第二象限.C 第三象限.D 第四象限3．若k R ∈，则“1k >”是方程“22112x y k k+=--”表示椭圆的().A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件4．函数21()cos 221x xf x x +=-的图象大致是().A .B .C .D 5．已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则().A ,1a e b ==-.B ,1a eb ==.C 1,1a e b -==.D 1,1a eb -==-xyOxyOxyOxyO6．已知函数ln ,(0,1]()2(1),(1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则7(2f =().A 16ln 2-.B 16ln 2.C 8ln 2-.D 32ln 2-7．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为().A 2π.B 3π.C 4π.D 6π8．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，在(,)a b 上()0f x ''>恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凹函数”．则下列函数在(0,2)π上是“凹函数”的是().A ()sin f x x x =-.B 2()sin f x x x =+.C ()ln f x x x=+.D ()ln x f x e x x=-9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知25,3c B π==，ABC ∆的面积为1534，则b =().A 7.B .C .D 610．已知函数()sin ()cos 4f x x f x π'=-，则3()4f π的值为().A .B .C 1.D 1-11．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为6，则C 的离心率为().A 5.B 6.C 7.D 812．()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()2()0xf x f x '+>，则不等式(2022)(2022)3(3)32022x f x f x ++<+的解集为().A {|2019}x x >-.B {|2019}x x <-.C {|20220}x x -<<.D {|20222019}x x -<<-第Ⅱ卷（非选择题共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）13．为了研究某种细菌在特定环境下，繁殖个数y (千个)随天数x (天)变化的繁殖规律，根据如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.85yx a =+，由此预测第7天细菌繁殖个数为千个．天数x (天)12345繁殖个数y (千个) 2.5344.5614．已知球面上三点,,A B C ，6,8,10AB BC AC ===，球半径为13R =，则球心到平面ABC 的距离是．15．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=．16．已知函数,0()2ln ,0x f x x x ⎪<=⎨⎪>⎩，若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则实数k的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．18．(本小题满分12分)某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”．调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(1)完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工男性员工合计100(2)已知被抽取的这100名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”．现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．附：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++．2()K k P ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．(本小题满分12分)已知函数()ln 1()f x a x x a R =-+∈．(1)当0a >时，求函数()f x 的单调区间；(2)对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4()f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．请考生在第21、22题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．21．(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程选讲．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．22．(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲．已知()1()f x x x a a R =++-∈．(1)若2a =，求不等式()5f x >的解集；(2)若对任意x R ∈，关于x 的不等式()5f x ≥恒成立，求a 的取值范围．陕西师大附中2021—2022学年度第二学期期中考试高二年级数学（文）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）题号123456789101112答案B A BCD C D B A C AD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）三、解答题（本大题共5小题，共56分）17.解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1(1)2n a a n d n =+-=+．(2)由(1)可得2nn b n =+．所以231012310(21)(22)(23)(210)b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++2310(2222)(12310)=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+102(12)(110)10122-+⨯=+-11(22)55=-+112532101=+=．18.解：(1)由题，22⨯列联表如下：属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵()2210020202040252.7783.841406040609K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.(2)设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“a ，b ，c ”，3名“观望者”分别为“A ，B ，C ”．则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“,,a b c ；,,a b A ；,,a b B ；,,a b C ；,,a c A ；,,a c B ；,,a c C ；,,b c A ；,,b c B ；,,b c C ；,,a A B ；,,a A C ；,,a B C ；,,b A B ；,,b A C ；,,b B C ；,,c A B ；,,c A C ；,,c B C ；,,A B C ”共20种．其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“,,a A B ；,,a A C ；,,a B C ；,,b A B ；,,b A C ；,,b B C ；,,c A B ；,,c A C ；,,c B C ”共9种．∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率920P =．19.解：(1)定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x-'=-=．当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．(2)121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x''=+=-+在(0,1]上恒成立．即4a x x -在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x- ，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增．所以max 4()143a x x-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞.20.解：(1)设(),0F c ，因为直线AF 的斜率为233，()0,2A -．所以2233c =，c =.又2223,2c b a c a ==-解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．(2)设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为2y kx =-，联立22142x y y kx ⎧⎪⎨⎪+=-⎩=消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即32k <-或32k >时1212221612,1414k x x x x k k +==++.所以2414314PQ k ===+点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQk S d PQ k ∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得72k =±时取等号，满足234k >-所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：722y x =-或722y x =--.21．解：(1)1C 的普通方程为2213xy +=，2C的直角坐标方程为40x y +-=.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()|sin(2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.22．解：(1)2a =时，21,1()123,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，所以，当1x ≤-时，不等式变为215x -+>，解得2x <-；当12x -<≤时，不等式变为35>，不等式无解；当2x >时，不等式变为215x ->，解得3x >．所以原不等式的解集为,2(),)3(-∞-⋃+∞．(2)因为()()111f x x x a x x a a =++-≥+--=+，当且仅当0()1)(x x a +-≤时等号成立，所以min ()1f x a =+．由题意知15a +≥，所以15a +≥，或15a +≤-，所以4a ≥，或6a ≤-．所以a 的取值范围为(][),64,-∞-⋃+∞．。

2021-2022学年内蒙古师范大学附属高二年级下册学期期中数学(文)试题【含答案】

2021-2022学年内蒙古师范大学附属高二年级下册学期期中数学(文)试题【含答案】

2021-2022学年内蒙古师范大学附属第二中学高二下学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ＝｛3，1，2｝，，，若A∩B ＝B ，则实数的取值集合是 {1B =}a a ()A ．B ．C ．，D ．，1，{3}{2}{32}{32}【答案】C【分析】由A ∩B ＝B 得B ⊆A ，得a ＝2或3．【详解】∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴a ＝2或3．∴实数a 的取值集合是{2，3}．故选C ．【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属于基础题．2．已知复数满足，则复数的虚部是（ ）z ()43i 34i z -=+z A ．i B ．1C ．D ．i-1-【答案】B【分析】首先根据复数的除法运算求出复数，即可求解的虚部．z z 【详解】解：解法一：由得，()43i 34iz -=+()()()()34i 43i 34i 25ii 43i 43i 43i 25z +++====--+∴复数的虚部是1．z 解法二：设，()i ,z a b a b =+∈R 由得，即，()43i 34iz -=+()()i 43i 34i a b +-=+()4343i 34i a b b a ++-=+所以，解得，433434a b b a +=⎧⎨-=⎩01a b =⎧⎨=⎩∴复数的虚部是1．z 故选：B ．3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．，B ．()f x x=()g x =()f x =()2g x =C ．，D ．，()211x f x x -=-()1g x x =+()f x =()g x =【答案】A【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.【详解】对于A ，与定义域均为与为相等函数，A 正确；()f x ()g x R ()f x \()g x 对于B ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B 错误；()f x R ()g x [)0,∞+()f x \()g x 对于C ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C 错误；()f x {}1x x ≠()g x R ()f x \()g x 对于D ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，()f x [)1,+∞()g x (][),11,-∞-⋃+∞()f x \()g x D 错误.故选：A.4．命题“，使得”的否定是（ ）0R x ∃∈2001>-x x A ．，使得B ．，使得0R x ∃∈2001≤-x x 0R x ∃∈2001x x <-C ．，都有D ．，都有R x ∀∈21≤-x x R x ∀∈21x x >-【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，使得”的否定是“，都有” .0R x ∃∈2001>-x x R x ∀∈21≤-x x 故选：C5．已知p ：，那么p 的一个充分不必要条件是（ ）02x <<A ．B ．13x <<11x -<<C ．D ．01x <<03x <<【答案】C【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于A ，，且，即是p 的不充分不必要条件，A 不是；(1,3)(0,2)⊄(0,2)(1,3)⊄13x <<对于B ，，且，即是p 的不充分不必要条件，B 不是；(1,1)(0,2)-⊄(0,2)(1,1)⊄-11x -<<对于C ， ，即是p 的一个充分不必要条件，C 是；(0,1)(0,2)01x <<对于D ， ，即是p 的必要不充分条件，D 不是.(0,2)(0,3)03x <<故选：C6．2022年3月15日国家统计局发布了截止到2022年前两个月的主要经济数据，其中按消费类型分零售额同比增速折线图如图所示，下列说法中错误的是（ ）A ．2022年1-2月份，餐饮收入同比增速为8.9%B ．2022年1-2月份，商品零售同比增速为6.5%C ．2021年每月的餐饮收入的同比增速为正D ．2021年每月的商品零售的同比增速为正【答案】C【分析】根据折线图逐一判断即可【详解】由图可知A 正确；由图可知B 正确；对于C ，由图可知2021年8月，11月同比增速为负，故C 错误；由图可知，D 正确故选：C7．已知，，，则432a =254b =1325c =A ．B ．b a c <<a b c <<C ．D ．b<c<a c<a<b【答案】A 【详解】因为，，，4133216a ==2155416b ==1325c =因为幂函数在R 上单调递增，所以，13y x =a c <因为指数函数在R 上单调递增，所以，16xy =b a <即b <a <c .故选：A.8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的（单位：升），则器中米应为（ ）1.5S =kA ．2升B ．3升C ．4升D ．6升【答案】D【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，列方程求解．【详解】程序运行变量值变化如下：，满足，，；满足，1,n S k ==4n <2n =22k k S k =-=4n <，；满足，，；不满足，输出，3n =2233kk k S =-=4n <4n =3344k k k S =-=4n <4k S =∴，．1.54k=6k =故选：D ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，模拟程序运行，观察变量值的变化是解题的常用方法．9．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中11111+++ “…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过11xx +=x=的值为（）A ．B ．3C ．D ．122【答案】B ，然后转化为一元二次方程，解出的值，并排=x =x x 除不正确的值，即可得到结果.，整理，得，=x =x 260x x --=解得，或，，，3x =2x =-0x >3x ∴=.∴3=故选：B.10．小强和小华两位同学约定周末下午在学校篮球场见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到3点内到达，且小华在1点到3点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．19161413【答案】B【分析】由已知得小华在1点到3点内到达，所包含的所有事件对应的集合是集合对应的是长为120的线段，而满足条件的事件对应的集合是{}|0120,x x Ω=≤≤，得到其长度为20的线段，根据几何概型公式可求得答案.{}|3050A x x =≤≤【详解】解：∵小华在1点到3点内到达，所包含的所有事件对应的集合是集{}|0120,x x Ω=≤≤合对应的是长为120的线段，而满足条件的事件对应的集合是，得到长度为20的线段，{}|3050A x x =≤≤∴两人能够会面的概率是，2011206=故选：B.11．已知函数若，则（ ）()21,0,1,0,x x f x x x ⎧-⎪=⎨<⎪⎩ (())1f f a =-=a A ．1或B ．1或0C ．1或或0D ．或01-1-1-【答案】C【分析】讨论对应区间上对应的x 值，结合题设即可确定的值，再根据解析式求参()1f x =-()f a 数a .【详解】当时，若，则，0x ≥2()11f x x =-=-0x =要使，即，显然，即，可得；(())1f f a =-()0f a =0a ≥210a -=1a =当时，若，则，0x <1()1f x x ==-=1x -要使，即，(())1f f a =-()1f a =-此时，若则，可得，0a ≥211a -=-0a =若则，可得；a<011a =-1a =-综上，或0.1a =±故选：C 12．已知函数，，其中，若，，使得()f x x=()2g x ax x=-0a >[]11,3x ∀∈[]21,3x ∃∈成立，则（ ）()()()()1212f x f x g x g x ==a A ．B ．C ．D ．32432312【答案】B【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转1212()()()()f x g x g x f x =()()g()f x h x x =()()()g x m x f x =化为这两个函数的值域之间的包含关系．【详解】∵，，∴，又，∴，()f x x =[1,3]x ∈()0f x >()()()()1212f x f x g x g x =()0g x ≠∴由得，，()()()()1212f x f x g x g x =1212()()()()f x g x g x f x =设，，()()g()f x h x x =11ax =-()()()g x m x f x =1ax =-则，，，∴的值域是值域的子集．[]11,3x ∀∈[]21,3x ∃∈12()()h x m x =()h x ()m x ∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但0a >[1,3]x ∈()[1,31]m x a a ∈--0[1,31]a a ∉--()h x ）．()0h x ≠∴，11()[,311h x a a ∈--∴ (*)．11311311a a a a ⎧≥-⎪⎪-⎨⎪≤-⎪-⎩由上讨论知同号，1,31a a --时，(*)式可化为，∴，，1a >(1)(31)1(1)(31)1a a a a --≤⎧⎨--≥⎩(1)(31)1a a --=43a =当时，(*)式可化为，∴，无解．103a <<(1)(31)1(1)(31)1a a a a --≥⎧⎨--≤⎩(1)(31)1a a --=综上：．43a =故选：B ．【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，12,x x 然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解．二、填空题13．若样本数据的方差为8，则数据的方差为________．1210,,,x x x ⋅⋅⋅⋅121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-【答案】32【分析】根据方差的性质计算即可.【详解】若样本数据的方差为8，则数据的方差为，1210,,,x x x ⋅⋅⋅⋅121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-22832⨯=故答案为：3214．若是奇函数，则实数__.()(22)x xf x x a -=+⋅=a 【答案】1【分析】根据题意，由奇函数的定义可得，()()0f x f x -+=即，变形分析可得答案.()()()22220x x x x x a x a ---+⋅++⋅=【详解】解：根据题意，若是奇函数，则，()()22x x f x x a -=+⋅()()0f x f x -+=即，()()()22220x x x x x a x a ---+⋅++⋅=变形可得恒成立，()()1220x x a x ---=必有，1a =故答案为：1.15．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________.()()()()212log 1a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩(),-∞+∞a 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据对数函数的性质及一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系；【详解】解：函数在上单调递增，()()()()212log 1a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩(,)-∞+∞所以，解得，即；1202log 102a a a a a ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪--≤=⎩423a < 4,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知R 上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，给()y f x =[]1,0-()()110f x f x -++=出下列判断：①；②在上是增函数；③的图象关与直线对称；④函()30f -=()f x []1,2()f x 1x =数在处取得最小值；⑤函数没有最大值，其中判断正确的序号是______ ．()f x 2x =()y f x =【答案】①④【分析】由可得函数的图象关于点对称，结合偶函数可得()()110f x f x -++=()y f x =(1,0)是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答.()f x 【详解】由恒成立知，函数的图象关于点对称，()()110f x f x -++=()y f x =(1,0)又是偶函数，由得，()y f x =()()110f x f x -++=()()11(1)f x f x f x +=--=--则有，即，因此，是周期为4的周期函数，(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=()f x 对于①，在中，当时，，则，①正确；()()110f x f x -++=0x =(1)0f =(3)(1)0f f -==对于②，是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，而的图象关于()f x []1,0-[0,1]()y f x =点对称，(1,0)所以在上是减函数，②不正确；()f x []1,2对于③，函数的图象关于点对称，③不正确；()y f x =(1,0)对于④，由①②的信息知，在上单调递减，由是偶函数知，在上单调()f x [0,2]()f x ()f x [2,0]-递增，由周期是4知，在上单调递增，在上单调递减，()f x ()f x [42,4](Z)k k k -∈[4,42](Z)k k k +∈所以函数在处取得最小值，④正确；()f x 2x =对于⑤，由④的信息知，函数在上单调递增，在上单调递()f x [42,4](Z)k k k -∈[4,42](Z)k k k +∈减，当时，函数取得最大值，⑤不正确.4(Z)x k k =∈()f x 故答案为：①④【点睛】论点睛：函数的定义域为D ，，存在常数a ，b 使得()y f x =x D ∀∈，()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=则函数图象关于点对称.()y f x =(,)a b 三、解答题17．设命题p :实数x 满足，命题q :实数x 满足，其中a >0.23x <≤22430x ax a -+<(1)若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)；23x <<(2).12a <≤【分析】（1）解一元二次不等式求为真时x 的范围，由已知及复合命题的真假确定x 的范围；q（2）解含参一元二次不等式求为真时x 的范围，根据充分不必要关系列不等式求a 的范围.q【详解】（1）由题设，则为真有，而为真有，243(1)(3)0x x x x -+=--<q 13x <<p 23x <≤所以p ∧q 为真，即有.23x <<（2）由且，可得，2243()(3)0x ax a x a x a -+=--<0a >3a x a <<所以为真有，而为真有，q3a x a <<p 23x <≤又p 是q 的充分不必要条件，即，则.2{33a a ≤>12a <≤18．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，与月份的关系，模拟y x 函数可以选用二次函数或函数、、为常数）已知四月份该产品的产量为1.37万件，(xy a b c a =+ b c 请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由．【答案】见解析【分析】先设二次函数为y ＝px 2+qx +r 由已知得出关于a ，b ，c 的方程组，从而求得其解析式，得出x ＝4时的函数值；又对函数y ＝a •bx +c 由已知得出a ，b ，c 的方程，得出其函数式，最后求得x ＝4时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式较好．【详解】设二次函数为由已知得，2y px qx r =++142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得，0.060.350.7p q r =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，250.350.7y x x =-++当时，，4x =210.0540.3540.7 1.3y =-⨯+⨯+=又对函数由已知得，·xy a b c =+2311.21.3ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解之得，0.80.51.4a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，10.8 1.42xy ⎛⎫∴=-⨯+ ⎪⎝⎭当时， .4x =410.8 1.4 1.352y ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭根据四月份的实际产量为1.37万元，而,211.370.020.07 1.37y y -=<=-所以函数作模拟函数较好.417·525xy ⎛⎫=-+⎪⎝⎭【点睛】考查了根据实际问题选择函数类型，考查了求函数的解析式及比较优劣等问题，考查了建模思想，属于中等题型．19．2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种新冠疫苗第三针.某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数（单位：万），得到如下表格：A 区B 区C 区D 区疫苗接种人数x /万681012第三针接种人数y /万2356(1)请用相关系数说明y 与x 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y 关于x 的线性回归方程（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）.y a bx =+ 0.75r ≥(2)若A 区市民甲､乙､丙､丁均在某日接种疫苗，若安排4人中的2人在上午接种，其余2人在下午接种，求甲､乙不都在上午接种的概率.参考公式和数据：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小r =y a bx =+二乘估计公式分别为，.1221ni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑ a y bx =-1.414≈【答案】(1)说明答案见解析，0.7 2.3y x =-(2)56【分析】(1) 利用相关系数公式及最小二乘法即得；(1)列出所有基本事件，再确定事件甲､乙都在上午接种的基本事件数，利用古典概型的概率公式和对立事件概率公式求解即可.【详解】（1）由题：，，68101294x +++==235644y +++==，，，416283105126158i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221681012344ii x==+++=∑42174ii y==∑所以相关系数，0.990.75r ==≈>说明y 与x 之间的性相关程度很高，所以可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系.，2158494140.73444920b -⨯⨯===-⨯ 40.79 2.3a y bx =-=-⨯=-故y 关于x 的线性回归方程为.0.7 2.3y x =-（2）设{}A =甲乙都在上午接种疫苗所以基本事件为：甲乙､甲丙､甲丁､乙丙､乙丁､丙丁共6个.A 中包含：甲乙所以，()()516P A P A =-=答：甲､乙不都在上午接种的概率为5620．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为（为参数），以坐标原点22cos sin 2x y αα⎧=⎨=⎩αO 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为.cos 04a πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且，求a .4AOB π∠=【答案】(1)，2cos ρθ=0x y -=(2)a =【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将曲线的参数方程化为普通方程，C 再根据化为极坐标方程，根据公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩l （2）根据圆心角的性质得到，利用点到直线的距离2ACB π∠=公式得到方程，解得，再检验即可；a 【详解】（1）解：因为曲线C 的参数方程为（为参数）22cos sin2x y αα⎧=⎨=⎩α所以，所以曲线C 的普通方程为，即，1cos2sin2x y αα-=⎧⎨=⎩22(1)1x y -+=2220x y x +-=又，所以，222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩22cos 0ρρθ-=所以曲线C 的极坐标方程为.2cos ρθ=因为直线l 的极坐标方程为，cos 04a πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，cos sin 0ρθρθ-=即直线l 的直角坐标方程为.0x y -=（2）解：设曲线C 的圆心为，半径，因为点O 在圆上，且，(1,0)C 1r =4AOB π∠=所以，则点到直线，2ACB π∠=(1,0)C l 所以或d 0a=a =当时，直线l 过原点O ，不符合题意；0a =所以a =21．为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了200名学生，统计他们在寒假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，统计情况如下：(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关？运动达标运动欠佳总计男生女生总计(2)现从“运动欠佳”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选2人进行体育运动指导，求选中的2人都是女生的概率.参考公式：，其中.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.250.100.050.0250.0100.001k 1.323 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，能(2)310【分析】（1）根据统计图，算出对应人数，即可完成列联表，再根据公式计算判断即可；（2）通过列举法得出5人中任选2人的不同情况，根据定义即可得到选中的2人都是女生的概率【详解】（1）列联表为运动达标运动欠佳总计男生6832100女生5248100总计12080200，()2220068485232 5.333 5.02410010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关.（2）由（1）知“运动欠佳”的男生、女生分别有32人和48人，按分层抽样的方法从中抽取5人，则男生、女生分别抽到2人和3人，记两名男生分别为A ，B ，三名女生分别为a ，b ，c .则从5人中任选2人有，，，，，，，，，(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c (),a b (),a c 共10种情况，其中两人全是女生的情况有，，共3种，所以，即选中(),b c (),a b (),a c (),b c 310P =的2人都是女生的概率为.31022．定义在上的函数，若满足:对任意，存在常数，都有成立，则称D ()f x x D ∈0M >()f x M≤是上的有界函数，其中称为函数的上界()f x D M ()f x（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所()1=+x f x x ()f x 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.()124x xg x a =++⋅[]0,2x ∈3a 【答案】（1）是有界函数;（2）[)1,+∞11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分离常数后,可得函数的单调性,在区间内求得最大值与最小值,即可根据()f x 11,22⎡⎤-⎢⎣⎦有界函数的定义求得的取值范围.M （2）根据有界函数定义,可得的值域.代入解析式可分离得的不等式组.利用换元法转化为二()g x a 次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得的取值范围.a 【详解】（1）()1111x f x x x ==-++则在上单调递增()f x 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以对任意满足()f x 11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()1122f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而11,21123f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以()113f x -≤≤若恒成立,则()f x M≤1M ≥即所有上界的值的集合为()f x [)1,+∞（2）函数在上是以为上界的有界函数()124x xg x a =++⋅[]0,2x ∈3根据有界函数定义,可知在上恒成立()3≤g x []0,2x ∈所以()33g x -≤≤即31243x xa -≤++⋅≤化简变形可得41214242xx x x a --≤≤-令11,,142xt t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则在上恒成立2242t t a t t --≤≤-1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦即满足()()22maxmin42tt a t t --≤≤-由二次函数性质可知,,当时, 2211144816y t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭14t =()21max 1114442y ⎛⎫=-⨯-=-⎪⎝⎭,所以当时,222112248y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭14t =()22min 111124488y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭即,1128a -≤≤-故的取值范围为a 11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,属于中档题.。

河南省濮阳市第一高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题

河南省濮阳市第一高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题

濮阳市一高2020级高二下学期期中质量检测文科数学试题命题人：濮阳市一高数学命题中心一、单选题（每小题5分，12小题，共60分）1．命题“x ∃∈R ，使得2320x x ++≤”的否定是（）A ．x ∃∈R ，使得2320x x ++>B ．x ∃∈R ，使得2320x x ++≥C ．x ∀∈R ，都有2320x x ++≤D ．x ∀∈R ，都有2320x x ++>2．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z =)A ．1BC ．2D．3．已知关于x 的不等式20x mx n ++<的解集为{}12x x -<<，则m n -的值为（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-4．已知实数,x y 满足条件：0301x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最大值为（）A ．12B ．2C ．35D ．15．“0＜λ＜4”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（）A ．x ，y 都小于0B ．x ，y 至少有一个大于0C ．x ，y 都大于0D ．x ，y 至少有一个小于07．在等比数列{}n a 中，已知1236a a a ++=，2343a a a ++=-，那么345678a a a a a a +++++等于（）A ．2116B ．1916C ．98D ．348．已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．2B ．4C ．9D ．929．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足24n n S a =-，则5a =（）A ．16B ．32C ．64D ．12810．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(b +a +c )(a +b －c )=3ab ，2cos A sin B =sin C ，则△ABC 是（）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形11．已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 2|>|PF 1|，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（）A ．4B ．6C．D ．812．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图象是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）13．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则下列说法中正确的序号是______.①由样本数据得到的回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点的中心②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好③用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好④若变量y 和x 之间的相关系数为0.946r =-，则变量y 和x 之间线性相关性强14．已知ABC ∆的面积为2,3AB B π=∠=，则sin sin BC=____．15．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (2，1)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为____．16．已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4ρ=．（1）求l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）若l 与圆C 相交于A ，B 两点，(1,0)P ，求||||PA PB ⋅．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.19．2021年1月1日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代.为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为6组：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）估计这100名学生比赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？优秀非优秀合计文科生30理科生55合计100参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足132n n n a a a +=-．(1)证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；(2)设11n nb a =-，21n c n =-，求数列{}n n b c ⋅的前n 项和n S ．21．已知()ln 2f x x =-，()()()()g x f x af x a R '=+∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()g x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个不同的零点，求a 的取值范围．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长是6．（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k 的直线交x 轴于T 点，交曲线C 于A ，B 两点，是否存在k 使得22AT BT +为定值，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．1．D 【分析】由特称命题的否定：存在改为任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为x ∀∈R ，都有2320x x ++>.故选：D 2．B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+，||z ∴B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．3．A 【分析】由题得1-、2为方程20x mx n ++=的根，将1-代入20x mx n ++=，即得解【详解】由题得1-、2为方程20x mx n ++=的根，将1-代入20x mx n ++=，得10m n -+=，即1m n -=，故选：A 4．C 【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-的连线的斜率.解方程组030x y x y -=⎧⎨+-=⎩的33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭,1yx +的最大值为3323512=+故选C.5．A 【分析】先根据双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上得到λ的范围，进而求得答案.【详解】由双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上可知，0λ>.于是“04λ<<”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的充分不必要条件.故选：A.6．C 【分析】反证法，应假设命题结论的否定.【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C 7．A根据题中条件求出等比数列{}n a 的公比，再由345678a a a a a a +++++=()()25123q q a a a +++可计算出345678a a a a a a +++++的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，()23412312363a a a a q a q a q q a a a q ++=++=++==-Q ，12q ∴=-，222345655751231238a q a q a q a q a a a a a a a a q q =++++∴++++++()()2525123112162216q q a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故选A.【点睛】本题考查等比数列性质的应用，在求解等比数列的问题时，一般要结合题中条件求出公比的值，充分利用等比数列的性质求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.8．D 【分析】由直线20ax by ++=过圆22(1)(2)4x y +++=的圆心求得,a b 的等量关系式，结合基本不等式求得12a b+的最小值.【详解】圆22(1)(2)4x y +++=的圆心为()1,2--，由于圆22(1)(2)4x y +++=关于直线20ax by ++=对称，所以直线20ax by ++=过圆22(1)(2)4x y +++=的圆心，即220,22a b a b --+=+=()0,0a b >>，()512122211222b a b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+⎪+=+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+19522⎛≥+= ⎝，当且仅当222,3b a a b a b ===时等号成立.9．C 【解析】根据n S 与n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出n a ，进而求得5a ．【详解】因为24n n S a =-，当1n =时，1124a a =-，∴14a =；当2n ≥时，1124n n S a --=-，与24n n S a =-相减，得12n n a a -=，又14a =，∴0n a >，即可得12nn a a -=，由此可知，数列{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，即有()1*42n n a n N -=⨯∈∴454264a =⨯=.故选：C.【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用，属于基础题．10．D 【分析】由()()3a b c a b c ab +++-=有222a b c ab +-=，根据余弦定理可求出角C ，再将2cos sin sin A B C =化为2cos sin sin()A B A B =+，化简然后可得出A B =，可得答案.【详解】由()()3a b c a b c ab +++-=有222a b c ab +-=,由余弦定理有：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又角0C π<<，所以3C π=.又2cos sin sin A B C =，即2cos sin sin()A B A B =+，所以2cos sin sin cos cos sin A B A B A B=+则cos sin sin cos 0A B A B -=，即in 0()s A B -=,又2233A B ππ-<-<，所以0A B -=,即A B =，故为ABC 等边三角形.故选：D 11．D 【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+=2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥+=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8.故选：D 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号.12．D 【解析】构造函数()()cos f x g x x=，可知该函数为奇函数，利用导数可判断出函数()y g x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，进而得出该函数在定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，将所求不等式变形为()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，利用函数()y g x =的单调性可解出所求不等式.【详解】令()()cos f x g x x=，定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =为奇函数，()()()()()cos cos f x f x g x g x x x-∴-==-=--，则函数()()cos f x g x x=是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，()()()2cos sin cos f x x f x xg x x +''=，因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.则函数()()cos f x g x x =是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减，又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，3m π∴>，又22m ππ-<<，因此，32m ππ<<.故选：D.【点睛】本题主要考查利用构造函数求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13．①②④【分析】根据两个变量线性相关的概念及性质，逐项判定，即可求解.由题意，根据回归直线方程的特征，可得线性回归直线方程一定过样本中心，所以①正确；根据残差的概念，可得残差平方和越小的模型，拟合效果越好，所以②正确；根据相关指数的概念，可得2R 越大说明拟合效果越好，所以③不正确；若变量y 和x 之间的相关系数为0.946r =-，则变量y 和x 之间负相关，且线性相关性强，所以④正确；故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了两个变量的线性相关性的概念与判定，其中解答中熟记线性相关的基本概念和结论是解答的关键，属于基础题.14【分析】利用面积公式求得a 的值，利用余弦定理求得b 的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案.【详解】2AB c ==,11sin 222ABC S ac B a ==⨯⨯⨯ 4a =,所以22212cos 164242122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =∴sin sin B b C c ==【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化.15．3【分析】过M 作MN 垂直于抛物线的准线l ，由抛物线的定义得到MF |＋|AM |＝|AM |＋|MN |，然后由A 、M 、N 三点共线时求解.【详解】过M 作MN 垂直于抛物线的准线l ，垂足为N ．易知F (1，0)，因为△MAF 的周长为|AF |＋|MF |＋|AM |，|AF |，|MF |＋|AM |＝|AM |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，△MAF 的周长最小，最小值为2＋13=+故答案为：316．25,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与12相邻的整数点的函数值大小关系求出实数a 的范围.【详解】210x x ae +-≥整理为：e 21x a x +≤，即函数()21e xx g x +=在y a=上方及线上存在两个整数点，()1e 2x x g x -'=，故显然()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且与12相邻的整数点的函数值为：()1e g -=-，()01g =，()31eg =，()25g 2=e ，显然有()()()()1201g g g g -<<<，要恰有两个整数点，则为0和1，此时()()20g a g <≤，解得：251e a <≤，如图故答案为：25,1e ⎛⎤⎥⎝⎦17．（1）y =2216x y +=；（2）||||15PA PB ⋅=．【分析】(1)根据参数方程和普通方程之间的互化可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角方程之间的互化可得圆的直角坐标方程；(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得到关于t 的一元二次方程，结合参数的几何意义与韦达定理即可得到结果.【详解】（1）对直线l的参数方程消参得y =-则l的普通方程为y 由2224x y ρρ=+=，，得2216x y +=，则圆C 的直角坐标方程为2216x y +=．（2）将1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2216x y +=，得2150t t +-=．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1215t t =-，故12||||15PA PB t t ⋅==．18．（1）A 3π=；（2）【解析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有()sin sin B A C =+，完成化简并计算出A 的值；（2）利用A 的值以及余弦定理求解出bc 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出△ABC 的面积.【详解】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C -= ，由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=，三角形中sin 0B ≠，解得cos A 12=，()0,A π∈，∴A 3π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，a=5b c +=，()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯42=【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题.熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用.19．（1）0.015；（2）73.75；（3）列联表见解析，没有.【分析】（1）利用直方图面积和为1可求得实数a 的值；（2）利用中位数左边的矩形面积和为0.5可列等式求出中位数的值；（3）根据题中信息完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）由题意可知：()0.00520.010.020.04101a +⨯+++⨯=，解得0.015a =；（2）前三个矩形的面积和为()0.0050.010.02100.350.5++⨯=<，前四个矩形的面积和为0.350.04100.750.5+⨯=>，设中位数为m ，则()70,80m ∈，由题意可得()0.35700.040.5m +-⨯=，解得73.75m =，因此，这100名学生比赛成绩的中位数估计值为73.75分；（3）抽取的100名学生中，“优秀”的人数为()1000.0150.011025⨯+⨯=人，“非优秀”的人数为1002575-=人，22⨯列联表如下表：优秀非优秀合计文科生153045理科生104555合计2575100()2210015451030 3.030 3.84125755545K ⨯⨯-⨯∴=<⨯⨯⨯，因此，没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”.【点评】本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，考查了独立性检验的实际应用，是基础题.20．(1)11231n n a -=⨯+(2)()1322n nn S -⨯+=【分析】（1）对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可求解.【详解】（1）由132n n n a a a +=-，两边取倒数得132312nn n n a a a a +-==-，即11313n n a a +-=-，即111131n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1112a -=，公比为3的等比数列，所以11123n n a --=⨯，11123nn a -∴=+⨯，即11231n n a -=⨯+所以数列{}n a 的通项公式为11231n n a -=⨯+（2）由（1）知123n n b -=⨯，21n c n =-，()12123n n n n b c -=-⨯⨯⋅()01211233235221233n n S n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+∴⨯⨯+L ①()12331233235232123n n S n =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+L ②两式相减得：()121222232232221233n n n S n --=+⨯⨯+⨯⨯+--⨯⨯⨯⨯+L()()()233244212321344132313n n nnn n n n -=+⨯-+⨯----⨯⨯=--⨯⨯=-⨯-()2213n nn S ∴-+=⨯21．（1）()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（2）3,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）求出()f x '得到()g x ，再求出()g x '，讨论0a、0a >可得答案；（2）0a时不合题意；0a >时由()g x 的单调性得到min ()()ln 1g x g a a ==-，由()220a g e e =>和函数()g x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个不同的零点得到关于a 的不等式组可得答案.【详解】（1）因为()ln 2f x x =-，所以1()f x x'=，()ln 2ag x x x=+-，2()(0)x ag x x x '-=>，若0a，则()0g x '>，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；若0a >，由()0g x '>，得x a >，由()0g x '<得0x a <<，所以()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（2）当0a时，由（1）知，()g x 在定义域上是增函数，()g x 最多有一个零点，不合题意；0a >时，由（1）知，函数()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，所以x a =时()g x 取最小值，min ()()ln 1g x g a a ==-．因为()220a g e e =>，又因为函数()g x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个不同的零点，所以21,ln 10,130,a e e a g ae e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎨⎪⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎩解得3a e e<<，所以实数a 的取值范围是3,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．22．（1）22143x y +=；（2）存在；k 【分析】（1）由椭圆的定义及△PF 1F 2的周长为6，得226a c +=①，椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =②，解得,,a c b 进而可得椭圆的方程．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线:AB x my n =+，联立椭圆的方程，结合韦达定理，代入化简22AT BT +，即可得出答案．【详解】解：（1）由题意知226a c +=；12c a =，解得2,1a c ==，∵222a b c =+，∴23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在k ，则0k ≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线:AB x my n =+，(,0)T n 22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222(34)63120m y mny n +++-=，∴122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -⋅=+，222222364(312)(34)48(34)0m n n m m n ∆=--+=+->222222222112212()()(1)()AT BT x n y x n y m y y +=-++-+=++222221212226312(1)[()2](1)23434mn n m y y y y m m m ⎡⎤-⎛⎫=++-⋅=+--⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222226(1)(34)4(34)(34)m m n m m +⎡⎤=-++⎣⎦+，要使22AT BT +为定值，则有2340m -=，所以m =12k m ==±．【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.。

北京市丰台区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(B卷)含答案

北京市丰台区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(B卷)含答案

丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高二数学（B 卷）考试时间：120分钟（答案在最后）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知函数()cos 2f x x =，则()f x 的导数()f x '=（A ）sin 2x-（B ）2sin 2x-（C ）sin 2x（D ）2sin 2x（2）若随机变量2)(3N σξ~,，则)(3P ξ=≤（A ）0.4（B ）0.5（C ）0.6（D ）0.7（3）现有甲、乙、丙、丁4人从宫灯、纱灯、吊灯这三种灯笼中任意选购1种，则不同的选购方式有（A ）321⨯⨯种（B ）432⨯⨯种（C ）43种（D ）34种（4）抛掷一颗质地均匀的骰子，事件{}135A =,,，事件{}12456B =,,,,，则|P A B =（）（A ）15（B ）25（C ）35（D ）45（5）若2340123441a a x a x x a x a x =+++++（），则1234a a a a +++=（A ）15（B ）16（C ）20（D ）24（6）某班从3名男同学和4名女同学中选取3人参加班委会选举，要求男女生都有，则不同的选法种数是（A ）60（B ）45（C ）35（D ）30（7）某次社会实践活动中，甲、乙两班的同学在同一个社区进行民意调查.甲、乙两班人数之比为5：3，甲班女生占甲班总人数的23，乙班女生占乙班总人数的13.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为（A ）19（B ）29（C ）12（D ）1324（8）某种新产品的社会需求量y 与时间t 存在函数关系()y f t =.经过一段时间的市场调研，估计社会需求量y 的市场饱和水平为500万件，且()f t 的导函数f t '（）满足：))500)))(((((0f t kf t f t k ->='.若0f y =（0），则函数()f t 的图象可能为（A ）①②（B ）①③（C ）②④（D ）③④（9）已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()()f x g x ''，，且满足()()()()0f x g x f x g x '+<'，当a x b <<时，下列结论正确的是（A ）()()()()f x g b f b g x >（B ）()()()()f x g a f a g x >（C ）()()()()f xg x f b g b >（D ）()()()()f xg x f a g a >（10）已知函数()ln f x x =和()1g x ax =+.若存在01[,)ex ∈+∞，使得00()()f xg x =-恒成立，则实数a 的取值范围是（A ）21[2e,]e-（B ）21[,2e]e-（C ）21[,e 2e]（D ）21[,2e]e第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题:共5小题，每小题5分，共25分.（11）用1，2，3，4这四个数字可以组成___个无重复数字的四位数.（12）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则m =___，()D ξ=___．（13）函数()f x =的导数()f x '=___．（14）已知5*)1((n x n x+∈N 的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的n 的值：___.（15）莱布尼茨三角形（如下图）具有很多优美的性质，给出下列四个结论：①第8行第2个数是172；②111111(,2)(1)C (1)C C r r r n n n r r n n n n ++-+=∈-++N ≤；③当2024n =时，中间一项为1012202412025C ；④当n 是偶数时，中间的一项取得最小值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值.其中所有正确结论的序号是___.三、解答题:共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（16）（本小题14分）已知函数32(2)21x a x x x b f =-++在2x =处取得极小值5．（Ⅰ）求实数a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[03],上的最小值．（17）（本小题14分）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛.（Ⅰ）如果从男生和女生中各选2人，那么有多少种选法？（Ⅱ）如果男生甲和女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种选法？（Ⅲ）如果恰有2人获得了本次比赛的冠军、亚军，那么有多少种获奖方式？（18）（本小题14分）为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”（即正在使用的设备出故障时才启动的设备）.已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，它们之间相互不影响，设能正常工作的设备台数为X ．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）求计算机网络不会断掉的概率．（19）（本小题14分）已知函数()ln f x x x =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点()1(1)f ,处的切线方程；（Ⅱ）求()f x 的极值；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x k =有两个实数根，直接写出实数k 的取值范围．（20）（本小题14分）某地旅游局对本地区民宿中普通型和品质型两类房间数量进行了调研，随机选取了10家民宿，统计得到各家民宿两类房间数量如下表：（Ⅰ）若旅游局随机从乙、丙2家民宿中各选取2个房间，求选出的4个房间均为普通型的概率；（Ⅱ）从这10家中随机选取4家民宿，记其中普通型房间不低于17间的有X 家，求X 的分布列和数学期望.（21）（本小题15分）民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型19541713189201015品质型61210111091285已知函数()()0ekx xf x k =≠．（Ⅰ）若1k =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(11)-,上单调递增，求实数k 的取值范围．（考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2023-2024学年度第二学期期中练习高二数学（B ）卷参考答案第Ⅰ卷（选择题共40分）题号12345678910答案BBCBADDBCB第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共25分）（11）24；（12）23；29（13）22(1)x+-；（14）6；（答案不唯一）（15）①③④．（注：15题给出的结论中，有多个符合题目要求．全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．)三、解答题（共85分）（16）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为()26212f x x ax '=-+，且()f x 在2x =处取极小值5，所以()2244120f a '=-+=，得9a =，所以()222912f x x x x b =-++．又因为()245f b =+=，所以1b =．因为()f x 在区间()1,2上单调递减，在区间()2,+∞上单调递增,所以()f x 在2x =时取极小值，符合题意.……………6分（Ⅱ）()3229121f x x x x -+=+，所以()()()612f x x x '=--.令0f x '=（），解得1x =，或2x =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.因此，当2x =时，函数()3229121f x x x x -+=+有极小值，并且极小值为(2)5f =.又由于(0)1f =，(3)10f =,所以函数()3229121f x x x x -+=+在区间[0,3]上的最小值是1.…………14分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）如果从男生和女生中各选2人，选择方法数为：22436318C C =⨯=种…………4分（Ⅱ）如果男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选中：男生甲被选中，女生乙没有被选中的方法数为：3510C =种；女生乙被选中，男生甲没有被选中的方法数为：3510C =种；男生甲和女生乙都被选中的方法数为：2510C =种；所以，男生甲和女生乙至少有1人被选中的方法数为30种.…………9分（Ⅲ）恰有2人获得了本次比赛的冠军、亚军的方法数为：4274420C A =种.…………14分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意可知X 服从二项分布，即~(3,0.9)X B ．033(0)C 0.9(10.9)0.001P X ==⨯⨯-=，1123(1)C 0.9(10.9)0.027P X ==⨯⨯-=，2213(2)C 0.9(10.9)0.243P X ==⨯⨯-=，3303(3)C 0.9(10.9)0.729P X ==⨯⨯-=，从而X 的分布列为X 0123P0.0010.0270.2430.729…………10分（Ⅱ）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即1X ≥ ，因此所求概率为：(1)1(1)1(0)10.0010.999P X P X P X =-<=-==-=≥ ．…………14分（19）（本小题14分）解：（Ⅰ）因为()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+，则()11k f '==，()10.f =所以切线方程为10.x y --=……………4分（Ⅱ）由()1ln f x x '=+，()0,x ∈+∞，令()0f x '=即1ln 0x +=，解得1ex =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以()f x 在区间1(0,)e 上单调递减，在区间1(,)e+∞上单调递增，当1e x =()f x 有极小值11()e ef =-，无极大值.……11分（Ⅲ）1,0e（-）……14分（20）（本小题14分）解：（Ⅰ）设“从乙家民宿中选取2个房间，选到的2个房间均为普通型为事件A ；“从丙家民宿中选取2个房间，选到的2个房间均为普通型”为事件B ；所以选出的4间均为普通型房间的概率为22542266C C 4()()()C C 15P AB P A P B ==⨯=.……………5分（Ⅱ）记其中普通型房间不低于17间的有X 家，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.()()464101346410C 10,C 14C C 81,C21P X P X ======()()()2246410314641044410C C 32,C 7C C 43,C 35C 14,C210P X P X P X =========用表格表示X 的分布列，如下表.158090241()01234 1.6.210210*********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以……14分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）2e e 1()e ekx kx kx kx kx kx f x --'==若1k =，则1()ex x f x -'=，令()0f x '=，解得1x =.当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞，单调递减区间为(1,).+∞……5分（Ⅱ）因为()()0e kx x f x k =≠所以2e e 1().e ekx kx kx kx kx kx f x --'==令()0f x '=，解得1x k=.①0k >时,当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以，()f x 在1(,k-∞上单调递增，在1(,)k +∞上单调递减.②0k <时,当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如表所示.所以，()f x 在1(,k-∞上单调递减，在1(,)k +∞上单调递增.若函数()f x 在区间()1,1-内单调递增，则0k >时，11k≥，即01k <≤；则0k <时，11k-≤，即10k -<≤；所以k 的范围是[1,0)(0,1]- ．……………15分。

2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

2021-2022学年河南省新乡市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．在下面的图示中，是流程图的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据流程图的定义即可判断.【详解】A 是流程图，B 是知识结构图，C 是图表，D 是韦恩图. 故选：A.2．复数()7i 17i z =-的共轭复数为（ ）A ．7＋iB ．－7－iC ．7－iD ．－7＋i【答案】D【分析】先计算复数()7i 17i z =-，然后由共轭复数定义即可得到答案.【详解】∵()()()73i 17i =i 17i i 17i 7i z =--=--=--，∴7i z =-+． 故选：D3．在极坐标系中，曲线()()2sin 2cos 0ρθρθ--=表示（ ） A ．两条直线 B ．两个圆，且这两个圆有公共点 C ．两条射线 D ．两个圆，且这两个圆无公共点【答案】B【分析】根据原式得2sin ρθ=或2cos ρθ=确定为两个圆，联立两圆直角坐标方程可确定有公共点.【详解】由()()2sin 2cos 0ρθρθ--=，得2sin ρθ=或2cos ρθ=，所以曲线()()2sin 2cos 0ρθρθ--=表示两个圆， 将2sin ρθ=等式两边同乘ρ，得到22sin ρρθ=， 由222x y ρ=+，sin y ρθ=， 得直角坐标方程为222x y y +=， 由222x y ρ=+，cos x ρθ=可将2cos ρθ=化直角坐标方程为222x y x +=，联立222222x y y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩， 故这两个圆有公共点. 故选：B4．矩形的长和宽分别为a ，b 正确的对应结论为（ ）A ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，其体积为abcB ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，cC ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，其表面积为()2ab bc ac ++D ．长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c 【答案】B【分析】由矩形的对角线类比到长方体的体对角线即可得到结论．【详解】矩形的对角线类比到长方体中对应的几何量为体对角线长．故正确的对应结论为长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c 故选：B5．在用反证法证明命题“若三个正数a ，b ，c 满足27abc =，则a ，b ，c 三个数中至多有两个数小于3”时，应该反设为（ ） A ．假设a ，b ，c 三个数都小于3 B ．假设a ，b ，c 三个数都大于3C ．假设a ，b ，c 三个数中至少有两个数小于3D ．假设a ，b ，c 三个数中至多有两个数不小于3 【答案】A【分析】反证法证明题目时，往往先假设所给命题的结论不成立，或结论的反面成立，再推导出矛盾.【详解】至多有两个意味着不超过两个，则应该假设a ，b ，c 三个数都小于3. 故选：A.6．将一组数据()(),1,2,,8x y x =⋅⋅⋅绘制成如图所示的散点图，根据散点图，下面四个回归方程类型中最适宜作为y 和x 的回归方程类型的是（ ）A ．y a x =+B ．2y a bx =+C ．sin y a b x =+D ．b y a x=+【答案】A【分析】根据散点图的趋势结合相应函数的增长变化的特征选定正确的选项. 【详解】对于B ，当0b >时，为开口向上的二次函数，不符合，当0b <，为开口向下的二次函数，20y bx '=<，则2y a bx =+在(0,)+∞为减函数，不符合，对于C ，散点图不呈现正弦函数关系，故不符合，对于D ，当0b >时，在(0,)+∞为减函数，不符合，当0b <，在(0,)+∞为增函数，但by a x=+会趋近于一个常数值，故不符合散点的变化趋势，故D 错误， 对于A ，2y x'=，y a b x =+0b >，当x 增大时，y '在减小，即函数各点切线斜率减小，即增长速度变慢，且散点图的变化趋势符合y a x =+故A 正确， 故选：A.7．下列命题的证明最适合用分析法的是（ ） A ．若4a >，8b >，证明：ln ln 5ln 2a b +> B 72510>C 257 D ．证明：22sin 2cos sin 2ααα+-≥【答案】B【分析】分析法即执果索因，B 选项等价于两边平方比较大小，属于分析法的应用. 【详解】选项A 和D 的证明最适合用综合法，选项C 的证明最适合用反证法，选项B 的证明最适合用分析法. 故选：B.8．若复数z 在复平面内对应的点位于第二象限，则（ ） A ．2z 不可能为纯虚数B ．2z 在复平面内对应的点可能位于第二象限C ．2z 在复平面内对应的点一定位于第三象限D ．2z 在复平面内对应的点可能位于第四象限 【答案】D【分析】利用第二象限z 的辐角范围确定2z 的辐角范围，即可判断各选项的正误. 【详解】由z 为第二象限，其对应辐角范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以2z 对应辐角为(),2ππ，故2z 在复平面内对应的点可能位于第三、四象限及y 轴的负半轴. 所以A 、B 、C 错误，D 正确. 故选：D9．观察数组：()0,2,2，()2,3,5，()4,5,9，()6,7,13，()8,11,19，….根据规律可得第7个数组为（ ） A ．()10,13,23 B ．()10,12,22C ．()12,15,27D ．()12,17,29【答案】D【分析】根据数组的第一个数成等差数列，第二个数为质数，第三个数是前两个数之和求解.【详解】数组的第一个数成等差数列，且首项为0，公差为2； 数组的第二个数为质数，且按从小到大的顺序排列； 数组的第三个数是前两个数之和.因此第6个数组为()10,13,23，第7个数组为()12,17,29. 故选：D10．在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为325455x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点()2,5M -，直线l 与圆()22:217C x y ++=交于A ，B 两点，则MA MB ⋅的值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【分析】将直线l 的参数方程与()22217x y ++=联立，然后利用直线参数的几何意义求解.【详解】解：将直线l 的参数方程325455x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()22217x y ++=，得2880t t ++=，设|MA|，|MB|对应的参数分别为1t ，2t ，则128t t =， 所以128MA MB t t ⋅==. 故选：C11．观察下列各式：2864=，38512=，484096=，…．根据规律可得99998的个位数是（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】A【分析】观察题目中各式可得8n 的个位数的周期T ＝4，由周期即可推得99998的个位数. 【详解】经观察易知8，28，38，48，58，68，78，88的个位数分别为8，4，2，6，8，4，2，6．故8n （n 为正整数）的个位数的周期T ＝4．因为9999249943=⨯+，所以99998的个位数与38的个位数相等，所以99998的个位数是2． 故选：A12．若复数()21122i z a a =-+-为纯虚数，其中a ∈R ，复数2z 满足2111z z -+=，则2z 的最小值为（ ） A ．0 B1C ．4D1【答案】B【分析】根据纯虚数确定a ，再利用复数模的几何意义，把2z 转化为求点到点距离的问题，即可得解.【详解】因为()21122i z a a =-+-为纯虚数，所以1a =-，14i z =-.设()2i ,z x y x y =+∈R ，因为2111z z -+=， 所以()()22141x y +++=，所以点(),P x y 的轨迹为以()1,4C --为圆心，1为半径的圆， 则P 到坐标原点O 距离的最小值为1171OC -=-， 所以222z x y =+的最小值为171-. 故选：B 二、填空题13．函数()22f x x x --=+的值域为___________. 【答案】22,22-⎡⎤⎣⎦【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，结合图象得到函数的值域； 【详解】解：因为()22,2222,2222,2x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎪⎩，函数图象如下所示：所以()2222f x -≤22,22-⎡⎤⎣⎦； 故答案为：22,22-⎡⎣14．咽拭子检测是一种医学检测方法，用医用棉签从人体的咽部蘸取少量分泌物进行检测，可以了解患者病情､口腔黏膜和咽部感染情况.某地区医院的医务人员统计了该院近五天的棉签使用情况，具体数据如表所示：根据以上数据发现y 与t 呈线性相关，其回归方程为ˆˆ10.2=+yt a ，则估计第8天使用的棉签袋数为___________. 【答案】86【分析】根据所给数据求出 4.4=a ，确定回归方程，代入8t =即可估算出第八天使用棉签袋数. 【详解】因为1234535t ++++==，1524364456355y ++++==，所以3510.23 4.4=-⨯=a ，所以10.2 4.4y t =+. 当8t =时，10.28 4.486y =⨯+=. 故答案为：8615．一个二元码是由0和1组成的数字串12n x x x ⋅⋅⋅．（n *∈N ），其中k x （k ＝1，2，…，n ）称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1或由1变为0）．已知某个二元码126x x x ⋅⋅⋅的码元满足如下校验方程组：2461341450,1,0.x x x x x x x x x ⊕⊕=⎧⎪⊕⊕=⎨⎪⊕⊕=⎩ 其中⊕的运算法则：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=．若这个二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了100101，则利用上述校验方程组可判定，这个二元码为______． 【答案】101101【分析】利用题目给的校验方程组直接检验即可.【详解】假设这个二元码为100101．经计算2460x x x ⊕⊕=成立，1450x x x ⊕⊕=也成立．但1341x x x ⊕⊕=不成立．因此，1x ，3x ，4x 有一个错误，由2460x x x ⊕⊕=与1450x x x ⊕⊕=，知1x ，2x ，4x ，5x ，6x 没有错误，则3x 错误．故这个二元码为101101．故答案为：10110116．如图，若程序框图的运行结果20212022S =，则t 的取值范围为___________.【答案】(]2021,2022【分析】根据程序的功能和数列的裂项相消法求解. 【详解】解：根据程序，运行过程如下： 1111122232233S =+=+-=⨯，3k =，不符合题意，所以3t ≥不成立； 111111132233422344S =++=+--=⨯⨯，4k =，不符合题意，所以4t ≥不成立； (11111111120201223202020212232020202120212021)S =++⋅⋅⋅+=+-+⋅⋅⋅+-=-=⨯⨯，2021k =，不符合题意，所以2021t >不成立，即2021t >； 11111111120211223202120222232021202220222022S =++⋅⋅⋅+=+-+⋅⋅⋅+-=-=⨯⨯，2022k =，符合题意，所以2022t ≥成立.故t 的取值范围为(]2021,2022. 故答案为：(]2021,2022 三、解答题17．已知()1i 62i z +=-． (1)求z 的虚部； (2)求1zz+． 【答案】(1)-4【分析】（1）利用复数商的运算得到复数z ，即可得到虚部. （2）计算出1zz+，利用模的公式计算即可. 【详解】(1)因为()1i 62i z +=-，所以()()62i 1i 62i 48i24i 1i 22z ----====-+， 所以z 的虚部为－4．(2)因为24i z =-，所以24i z =+．所以()212i 24i 12i 34i 24i 12i 555z z +++====-+--，故1z z +=．18．新高考的选课走班模式在全国陆续展开，为进一步了解学生在选择高考科目时的情况，某学校对高一年级部分学生的选课情况进行统计，其中是否选择地理和化学的学生数量统计情况如表所示：(1)求出列联表中a ，b ，c 的值并估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率； (2)能否有90%的把握（即在犯错误的概率不超过0.1的前提下）认为学生是否选择地理和化学有关联？参考公式和数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++，【答案】(1)413(2)没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联【分析】（1）根表中所给数据求出a ，b ，c ，同时选择地理和化学的频率为65a，求解即可.（2）将已知数据代入2K 公式，求得近似值与2.706比较，即可判断是否有把握.【详解】(1)由列联表可知32,1833,1830,a b c b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得20,12,15.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩估计该校高一年级学生同时选择地理和化学的频率为46513a =. (2)因为()226520181215 1.899 2.70632333035K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 所以没有90%的把握认为学生是否选择地理和化学有关联.19．已知直线l 的参数方程为3322x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 40ρρθ+-=． (1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)若点P 为直线l 上的动点，点Q 是曲线C 上的动点，求PQ 的最小值． 【答案】(1)23120x y --=，2214x y +=【分析】（1）直接消去参数t ，可得l 的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求得曲线C 的普通方程；（2）求出曲线C 的参数方程，设()2cos ,sin Q θθ，然后利用点到直线的距离公式表示出点Q 到直线23120x y --=的距离，化简变形后可求出其最小值【详解】(1)由3322x t y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），消去参数t ，可得l 的直角坐标方程为23120x y --=．由曲线C 的极坐标方程2223sin 40ρρθ+-=及222,sin ,x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩可得222340x y y ++-=，整理得2214x y +=，所以曲线C 的普通方程是2214x y +=．(2)直线l 的普通方程为23120x y --=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，02θπ≤<）．设()2cos ,sin Q θθ，则点Q 到直线23120x y --=的距离d =3tan 4ϕ=）．当()cos 1θϕ+=时，min d =所以min PQ =20．已知实数x ，y 满足250x y +-=． (1)求关于x 的不等式2x y +>的解集； (2)若12x >，3y >，求14213x y +--的最小值． 【答案】(1)()1,7 (2)9【分析】（1）去绝对值，得到不等式组，即可解出不打算的解集； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】(1)原不等式可化为252x x -<+，即252,252x x x x -<+⎧⎨->--⎩，解得17x <<，故所求不等式的解集为()1,7． (2)由25x y +=，得2131x y -+-=． 因为()()4211414321259213213213x y x y x y x y x y -⎛⎫-+=+-+-=++≥ ⎪------⎝⎭， 当且仅当23x =，113y =时，等号成立． 所以14213x y +--的最小值为9． 21．为研究男体育特长生的身高与体重之间的关系，从某校的男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：(1)根据最小二乘法的思想与公式求得身高与体重的线性回归方程为0.875.9y x =-.利用已经求得的线性回归方程，完善下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R （保留两位有效数字）. e(2)通过残差分析，对于残差绝对值最大的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58kg.请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程.参考公式：()()221211nii i n ii yy R yy==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-，i i e y bx a =--.参考数据：8178880i i i x y ==∑，821226112i i x ==∑，168=x ，58.5=y ，()821226i i y y=-=∑.【答案】(1)填表答案见解析，2R 约为0.91 (2)0.67555.9y x =-【分析】（1）根据0.875.9y x =-，结合残差的定义完成残差表，再根据所提供数据，求相关指数；（2）利用最小二乘法求解；【详解】(1)解：对编号为6的数据：6660.817375.9 3.5e =-⨯+=； 对编号为7的数据：7570.816675.90.1e =-⨯+=； 对编号为8的数据：8570.816975.9 2.3e =-⨯+=-. 完成的残差表如下所示：e()()()()()22222222210.10.30.9 1.50.5 2.30.5 3.52ˆ 1.2ni i i y y=-=+++-+-+-+-+=∑，()()2212121.2110.91226ni ii n ii y y R y y ==-=-=-≈-∑∑， 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91. (2)由（1）可知，第六组数据的体重应为58，此时8178880817377496i i i x y ==-⨯=∑，又821226112i i x ==∑，168=x ，57.5=y ，8182221877496816857.50.67522611281688i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯===-⨯-∑∑，57.50.67516855.9a =-⨯=-，所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为0.67555.9y x =-.22．已知函数()()2e e x g xf x =+.(1)证明：22ln 1x x -≥.(2)若函数()32ln 3f x x x x =--，证明：()0g x >.【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）令()22ln h x x x =-，利用导数法求解；（2）易得()()222ln 3e e x g x x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，再（1）转化为()()23e e x g x x ≥-+，然后令()()23e e ϕ=-+x x x ，用导数法证明()0x ϕ>即可.【详解】(1)解：令()22ln h x x x =-，则()()22122x h x x x x-'=-=，0x >， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，所以()()()min 11h x h x h >==， 故22ln 1x x -≥.(2)若()32ln 3f x x x x =--， 则()()222ln 3e e x g x x x x ⎡⎤=--+⎣⎦，由（1）可得()()23e e x g x x ≥-+.令()()23e e ϕ=-+x x x ，则()()2e x x x ϕ'=-，当02x <<时，()0x ϕ'<，当2x >时，()0x ϕ'>， 所以()()()min 20x x ϕϕϕ≥==， 则()0g x ≥，又12≠， 所以()0g x ≥中的等号不成立， 故()0g x >.23．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线2C 的极坐标方程为()()22221cos 1sin ραρα-=-．(1)求曲线1C 的参数方程和2C 的直角坐标方程；(2)射线()π03θρ=≥与曲线1C ，2C 分别交于M N ，两点，求线段MN 的长． 【答案】(1)3cos {33sin x y θθ==+（θ为参数），221x y +=.(2)1【分析】（1）根据已知条件直接利用转换关系，把极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的互化即可，（2）根据已知条件及ρ的几何意义，联立方程组得出M N ，的极坐标，进而可以求解线段MN 的长.【详解】(1)因为1C 的直角坐标方程为()2239x y +-=，所以曲线1C 的参数方程为3cos {33sin x y θθ==+（θ为参数）．由()()22221cos 1sin ραρα-=-，得21ρ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为221x y +=．(2)由1C ：()2239x y +-=及222,sin x y y ρρθ=+=， 得6sin ρθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为6sin ρθ=， 设12ππ,,33M N ρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则因为射线()π03θρ=≥与曲线1C 交于 M 点， 所以6sin {π3ρθθ==，解得1ρ=π3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.又因为射线()π03θρ=≥与曲线2C 交于 N 点， 21{π3ρθ==,解得21ρ=，即π1,3N ⎛⎫⎪⎝⎭121MN ρρ∴=-=所以线段MN的长为1．24．已知函数()423f x x a x =---+，a ∈R ． (1)当2a =时，求不等式()7f x ≥-的解集； (2)若()2f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】(1)[]5,6- (2)51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）分类讨论法求解不等式即可得出结果；（2）由绝对值的三角不等式得到2323x a x a -++≥+，进而可得232a +≥，解不等式即可求出结果.【详解】(1)当2a =时，()443f x x x =---+，()7f x ≥-等价于()()34437x x x <-⎧⎨+-++≥-⎩或()()344437x x x -≤≤⎧⎨+--+≥-⎩或()()44437x x x >⎧⎨---+≥-⎩， 即53x -≤<-或34x -≤≤或46x <≤， 故不等式()7f x ≥-的解集为{}56x x -≤≤．(2)不等式()2f x ≤可转化为232x a x -++≥，因为2323x a x a -++≥+，所以()2f x ≤等价于232a +≥， 可得12a ≥-或52a ≤-，即a 的取值范围是51,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。

辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

辽宁省鞍山市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题含答案

2023-2024学年度下学期期中考试高二数学（A ）（答案在最后）时间：120分钟满分：150分命题范围：选择性必修二，选择性必修三结束.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设随机变量X 服从正态分布()3,4N ，若()()263P X a P X a >-=<-，则a =（）A.2-B.1- C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求得答案.【详解】由题意随机变量X 服从正态分布()3,4N ，即正态分布曲线关于3x =对称,因为()()263P X a P X a >-=<-，故2(63)3,12a a a -+-=∴=-，故选：B2.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且213S a =，则公比q=A.12B.13C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】将已知转化为1,a q 的形式，解方程求得q 的值.【详解】依题意1113a a q a +=，解得2q =，故选C.【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量1,a q ，属于基础题.基本元的思想是在等比数列中有5个基本量1,,,,n n a q a S n ，利用等比数列的通项公式或前n 项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列1,a q ，进而求得数列其它的一些量的值.3.已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（）A.1100B.160 C.150D.130【答案】B 【解析】【分析】利用全概率公式可求解得出.【详解】设B 表示汽车中途停车修理，1A 表示公路上经过的汽车是货车，2A 表示公路上经过的汽车是客车，则()123P A =，()213P A =，()10.02P B A =，()20.01P B A =，则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为()()()()()11222110.020.013360P B P A P B A P A P B A =+⋅=⨯+⨯=.故选：B.4.函数()sin cos f x x x x =+的导数()f x '的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据已知，利用函数的求导公式以及函数的奇偶性、函数值进行排除.【详解】因为()sin cos f x x x x =+，所以()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，令()()cos g x f x x x '==，R x ∈，则()()cos g x x x g x -=-=-，所以函数()cos g x x x =是奇函数，故A ，C 错误；又()ππcos π=-π<0g =，故B 错误.故选：D.5.若(2nx 二项展开式的第二项的二项式系数等于第五项的二项式系数，则该展开式中的含4x 项的系数为（）A.80B.14- C.14D.80-【答案】A 【解析】【分析】根据二项式定理，以及组合数的性质，建立方程，可得答案.【详解】由二项式(2nx ，则其展开式的通项()(()()121C 2C 210,N rn n rrrr n rr nnT x xr n r ---+==-≤≤∈，展开式的第二项和第五项的二项式系数分别为1C n ，4C n ，则14C C n n =，解得5n =，则通项为()()155215C 2105,N rr rr T xr r --+=-≤≤∈，令1542r -=，解得2r =，则展开式中含4x 项的系数为()22523554C 2128021-⨯⋅⋅-=⨯=⨯.故选：A.6.有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（）A.89B.19 C.79D.59【答案】A 【解析】【分析】由条件概率公式求解即可.【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件A ，灯泡寿命超过800小时为事件B ，则()()0.9,0.8P A P AB ==，所以()()()0.88|0.99P AB P B A P A ===.故选：A7.数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为A.333412963C C C B.33341296433C C C A A C.33331296444C C C A D.333312964C C C 【答案】A 【解析】【详解】将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题只需每个课题依次选三个人即可，共有3331296C C C 中选法，最后选一名组长各有3种，故不同的分配方案为：333412963C C C ，故选A.8.已知函数32()1f x x ax x =-+--在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.(,)-∞⋃+∞B.[C.(,)-∞⋃+∞D.(【答案】B 【解析】【分析】由题得()0f x '≤在R 上恒成立，解不等式24120a ∆=-≤即得解.【详解】由题意知，2()321f x x ax '=-+-，因为()y f x =在R 上是单调函数，且()y f x '=的图象开口向下，所以()0f x '≤在R 上恒成立，故24120a ∆=-≤，即a ≤≤故选：B【点睛】结论点睛：一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是增函数⇒'()f x ≥0.一般地，函数()f x 在某个区间可导，()f x 在这个区间是减函数⇒'()f x ≤0.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.对两个变量x 与y 进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，则下列说法正确的是（）A.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好B.由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心()x yC.用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，则变量x 与y 之间具有很强的线性相关性【答案】ABD 【解析】【分析】根据残差的平方和的性质判断A ，根据回归方程的性质判断B ，根据相关指数的性质判断C ，根据相关系数的定义判断D.【详解】对于A ，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A 正确；对于B ，若回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则ˆˆy bx a =+，即回归方程表示的直线必过样本点的中心(,x y ，B 正确；对于C ，相关指数2R 越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C 正确；对于D ，变量x 与y 之间的相关系数0.80r =，故相关系数较为接近1，所以变量x 与y 之间具有很强的线性相关性.D 正确；故选：ABD.10.设等差数列{}的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，100S >，60a <，则（）A.数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B.2445d -<<-C.50a > D.0n S >时，n 的最大值为5【答案】ABC 【解析】【分析】利用数列的单调性结合不等式的基本性质可判断A 选项的正误；根据已知条件列出关于d 的不等式组，求出d 的取值范围，可判断B 选项的正误；利用等差数列求和公式及等差数列下标和性质可判断C ，D 选项的正误.【详解】对于C 选项，由()()110105610=502a a S a a +=+>且60a <，可知50a >，故C 正确；对于B 选项，由53635632122031230252450a a d d a a d d a a a d d =+=+>⎧⎪=+=+<⎨⎪+=+=+>⎩，可得2445d -<<-，故B 正确；对于D 选项，因为100S >，()111116111102a a S a +==<，所以，满足0n S >的n 的最大值为10，故D 错误；对于A 选项，由上述分析可知，当15n ≤≤且*N n ∈时，0n a >；当6n ≥且*N n ∈时，0n a <，所以，当15n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a >，当610n ≤≤且*N n ∈时，0nnS a <，当11n ≥且*N n ∈时，0nnS a >.由题意可知{}单调递减，所以当610n ≤≤且*N n ∈时，6789100a a a a a >>>>>，由题意可知{}n S 单调递减，即有6789100S S S S S >>>>>，所以678910111110a a a a a ->->->->->，由不等式的性质可得6789106789100S S S S Sa a a a a ->->->->->，从而可得6789106789100S S S S S a a a a a <<<<<，因此，数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项，故A 正确.故选：ABC.11.如果函数()f x 对定义域内的任意实数，都有()()0f x xf x '+>，则称函数()y f x =为“F 函数”．下列函数不是“F 函数”的是（）A.()e xf x = B.()ln f x x =C.()2f x x= D.()sin f x x=【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”，逐项验证可得答案．【详解】令()()g x xf x =，则()()()0g x f x xf x ''=+>，即函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．对于A ，()e xf x =，()()()e=∈=xg xf x x x x R ，()()e e 1e x x x g x x x '=+=+，当1x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x <-时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()e xf x =不是“F 函数”．故A 正确；对于B ，()ln f x x =，()()()ln 0>==g xf x x x x x ，()ln 1g x x '=+，当10e x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1ex >时，()0g x '>，()g x 单调递增，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()ln f x x =不是“F 函数”．故B 正确；对于C ，()2f x x =，()()()3=∈=g xf x xx x R ，()203'=≥x x g ，所以()g x 单调递增函数，则函数()2f x x =是“F 函数”．故C 错误；对于D ，()sin f x x =，()()()sin ∈==g x xf x x x x R ，()sin cos g x x x x '=+，当3ππ2<<x 时，()0g x '<，()g x 单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，则函数()sin f x x =不是“F 函数”．故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数()()g x xf x =，根据()0g x '>可得函数()g x 在定义域内是单调递增函数，称函数()y f x =为“F 函数”．第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念.要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法.(用数字作答)【答案】72【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，易得指导教师有3种站法，②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；②，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有4424A =种情况，则有32472⨯=种不同的站法；故答案为72．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．13.已知随机变量X ，Y 满足21Y X =+，且随机变量X 的分布列如下：X 012P1613a则随机变量Y 的方差()D Y 等于______；【答案】209##229【解析】【分析】根据分布列中概率和为1可得a ，再由期望、方差公式计算出()D X ,最后利用()()2D aX b a D X +=计算可得答案.【详解】因为11163a ++=，所以12a =，()11140126323=⨯+⨯+⨯=E X ，()22214141450126333239⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D X ，所以()()()520214499=+==⨯=D Y D X D X .故答案为：209.14.若函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围为______.【答案】1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,分为0a =、0a <和0a >进行讨论,利用函数的单调区间和()01f =即可得到答案.【详解】由已知()()'23632fx ax ax ax x =-=-,当0a =时,函数()0f x =无解,不符合题意;当0a <时,()'0fx >得02x <<,()'0f x <得0x <或2x >,即函数()f x 的增区间为()0,2,减区间为()(),0,2,-∞+∞,又()01f =,所以函数()f x 有且仅有1个零点,与题意不符;当0a >时,()'0fx >得0x <或2x >,()'0f x <得02x <<,即函数()f x 的增区间为()(),0,2,-∞+∞,减区间为()0,2,又()01f =,要使函数()3231f x ax ax =-+有3个不同的零点,则需()20f <,即81210a a -+<,解得14a >.故答案为:1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说阴、证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123n = ，，，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：55a =；条件②：12n n a a +-=；条件③：24S =-.）选择条件和．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足n n b a =，并求数列{}n b 的前n 项的和n T 【答案】（1）25n a n =-（2）当12n ≤≤时2=4n T n n -+，当3n ≥时248n T n n =-+【解析】【分析】（1）根据12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，然后求出首项，即可得通项.（2）由52,12;25,3n n n b n n -≤≤⎧=⎨-≥⎩，分情况讨论即可得nT 【小问1详解】选①②，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，又55a =得13a =-，故()32125n a n n =-+-=-选②③，由12n n a a +-=可知数列{}n a 是以公差2=d 的等差数列，由24S =-可知124,a a +=-13a ∴=-，()32125n a n n =-+-=-选①③，无法确定数列.【小问2详解】52,12;252525,3n n n n n a n b a n n n -≤≤⎧=-∴==-=⎨-≥⎩ ，其中n N ∈,当12n ≤≤，n N ∈时，2=4n T n n-+当3n ≥，n N ∈时，数列{}n b 是从第三项开始，以公差2=d 的等差数列()()21252=4+482n n n T n n +--=-+.16.已知函数()ln 22f x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =的斜率等于1的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）1y x =-；（2）极小值ln 21-，无极大值．【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据()01f x '=，求切点坐标，再求切线方程；（2）根据极值的定义，利用导数求极值.【详解】（1）设切点为()00,x y ，因为()12f x x=-+'，所以0121x -+=，01x =，0ln1220y =-+-=，所以切线方程l 为()011y x -=⨯-，即1y x =-．（2）()f x 的定义域为0,+∞．令()0f x '=即120x -+=，12x =，令()0f x '>，得12x >，令()0f x '<，得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 存在极小值1ln 212ln 212f ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭，无极大值．17.随着人们生活水平的提高，国家倡导绿色安全消费，菜篮子工程从数量保障型转向质量效益型.为了测试甲、乙两种不同有机肥料的使用效果，某科研单位用西红柿做了对比实验，分别在两片实验区各摘取100个，对其质量的某项指标值进行检测，质量指数值达到35及以上的为“质量优等”，由测量结果绘成如下频率分布直方图.其中质量指数值分组区间是：[)20,25，[)25,30，[)30,35，[)35,40，[]40,45.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关；甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等质量非优等合计（2）在摘取的用乙种有机肥料的西红柿中，从“质量优等”中随机选取2个，记区间[]40,45中含有的个数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.()20P x χ≥0.1000.0500.0100.0050.001x 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为，“质量优等”与使用不同的肥料有关（2）分布列见解析，2()3E X =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合独立性检验公式，即可计算并判断结果.（2）随机变量X 的可能取值有0，1，2，服从超几何分布，利用超几何分布的公式可计算概率值，从而列出分布列并计算期望.【小问1详解】解：由题意可得22⨯列联表为：甲有机肥料乙有机肥料合计质量优等603090质量非优等4070110合计100100200则()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++2200(42001200)20018.18210.8281001001109011⨯-=≈>⨯⨯=⨯.所以有99.9%的把握认为“质量优等”与使用不同的肥料有关.【小问2详解】由频率分布直方图可得“质量优等”有30个，区间[]40,45中含有10个，随机变量X 的可能取值有0，1，2，021020230C C 19038(0)C 43587P X ====，111020230C C 20040(1)C 43587P X ====，210230C 459(2)C 43587P X ====，随机变量X 的分布列如下：X012P38874087987384092()0128787873E X =⨯+⨯+⨯=.18.已知数列{}n a 满足11a =，11n n S a n +=--.（1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）设1n n nb a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）222n nn S +=-.【解析】【分析】（1）利用给定的递推公式，结合12,n n n n a S S -≥=-推理判断作答.（2）由（1）求出n b ，再利用错位相减法求和作答.【小问1详解】当1n =时，122S a =-，解得23a =，当2n ≥时，11n n S a n +=--，1n n S a n -=-，两式相减得11n n n a a a +=--，即121n n a a +=+，即有()1121n n a a ++=+，而21142(1)a a +==+，则N n *∀∈，()1121n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知12nn a +=，于是12n n n n nb a ==+，则231232222n n n S =++++ ，于是231112122222n n n n n S +-=++++ ，两式相减得2311111(1)11222112221212222121n n n n n n n n n S +++-+=++++-=-=--，所以222n n n S +=-.19.设函数()e xf x ax =-，0x ≥且R a ∈．（1）求函数()f x 的单调性；（2）若()21f x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）e 2a ≤-【解析】【分析】（1）求导后分1a ≤与1a >两种情况讨论即可；（2）方法一：讨论当0x =时成立，当0x >时参变分离可得2e 1x x a x --≤，再构造函数()2e 1x x g x x --=，0x >，求导分析最小值即可；方法二：将题意转化为2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，再构造函数()21e xx ax h x ++=，求导分类讨论单调性与最大值即可.【小问1详解】()e x f x a '=-，0x ≥，当1a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 在[)0,+∞上单调递增；当1a >时，[)0,ln x a ∈时，()0f x '≤，则()f x 在[)0,ln a 上单调递减；()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '≥，则()f x 在[)0,ln a 上单调递增．【小问2详解】方法一：2e 1x ax x -≥+在0x ≥恒成立，则当0x =时，11≥，显然成立，符合题意；当0x >时，得2e 1x x a x --≤恒成立，即2min e 1x x a x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭记()2e 1x x g x x --=，0x >，()()()2e 11x x x g x x'---=，构造函数e1xy x =--，0x >，则e 10x y '=->，故e 1xy x =--为增函数，则0e 1e 010x x -->--=.故e 10x x -->对任意0x >恒成立，则()g x 在()0,1递减，在()1,+∞递增，所以()()min 1e 2g x g ==-∴e 2a ≤-．方法二：211e xx ax ++≤在[)0,+∞上恒成立，即2max11e x x ax ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭．记()21e x x ax h x ++=，0x ≥，()()()11e xx x a h x '-+-=-，当1a ≥时，()h x 在()0,1单增，在()1,+∞单减，则()()max 211ea h x h +==≤，得e 2a ≤-，舍：当01a <<时，()h x 在()0,1a -单减，在()1,1a -单增，在()1,+∞单减，()01h =，()21ea h +=，得0e 2a <<-；当0a =时，()h x 在()0,∞+单减，成立；当a<0时，()h x 在()0,1单减，在()1,1a -单增，在()1,a -+∞单减，()01h =，()121eaah a ---=，而1e 11a a -≥-+，显然成立．综上所述，e 2a ≤-．。

2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二年级下册学期期中考试数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二年级下册学期期中考试数学(文)试题【含答案】

2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．命题“，使”的否定是（ ）0x ∃<2310x x -+≥A ．，使B ．，使0x ∃<2310x x -+<0x ∃≥2310x x -+<C ．，使D ．，使0x ∀<2310x x -+<0x ∀≥2310x x -+<【答案】C【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.【详解】命题“，使”的否定是“∀x ，x 2﹣3x +1<0”,0x ∃<2310x x -+≥0<故选C.【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.2．已知，向量，，则“”是“”的（ ）R λ∈()3,a λ=()1,2b λ=-3λ=//a bA ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.λ【详解】若向量，则，即//a b ()3210λλ⨯--=260λλ--=解得：或,2λ=-3λ=所以“”是“”的充分不必要条件.3λ=//a b故选：B 3．已知多项式 ，当 时的函数值时用秦九韶算法计算V 2的值是()764221f x x x x x ++++＝2x ＝A ．1B ．5C ．10D ．12【答案】C 【详解】，当时的函数值时用秦()()()()()()()76422121111f x x x x x x x x x x x x =++++=++++2x =九韶算法计算：，故选C.0122,2215,5210v v v ==⨯+==⨯=4．已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面，p qα，，若，，，则．则下列命题为真命题的是（ ）βγαγ⊥βγ⊥l αβ= l γ⊥A ．B ．C ．D ．p q ∧p q∧⌝p q∨⌝p q⌝∧【答案】D【分析】根据直线与直线的位置关系定义、面面垂直的性质，结合与、或、非的真假性质逐一判断即可.【详解】因为空间中两条直线没有公共点，两条直线可以是异面直线，所以命题是假命题，p 因此是真命题，p ⌝由面面垂直的性质可知命题是真命题，为假命题，qq ⌝所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，p q ∧p q ∧⌝p q ∨⌝p q ⌝∧故选：D5．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少A =有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（ ）A A ．都是黑球B ．恰好有1个黑球C ．恰好有1个红球D ．至少有2个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故错误，A A 在中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确，B B 在中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误，C C 在中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故错误．D D 故选：．B 6．若函数，则（ ）()3sin2x f x x=+A ．()3ln32cos2x f x x=+'B ．()32cos2x f x x =+'C ．()3ln3cos2x f x x=+'D ．()3ln32cos2x f x x=-'【答案】A【分析】用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.【详解】因为，()3sin2x f x x=+所以.()3ln32cos2x f x x=+'故选：A.7．“天津之眼”摩天轮是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用，是天津地标建筑之一，摩天轮的整体高度为，如图，摩天轮底座中心为（即为圆的最低点，且与地面的距120m A 离忽略不计），过点且距离处有一标志点，、之间距离处有一遮挡物，A A 120m B A B A 90m CD 高为，将旋转轮看成圆，把游客看成圆上的点，若游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点30m 的概率为（ ）BA ．B ．C ．D ．1413π8π6【答案】A【分析】设圆心为，延长交圆于、两点，取线段的中点，连接、O BD O E F EF G OE 、，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求OF OG A AB AO x y xAy 出，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.EOF ∠【详解】如下图所示，设圆心为，延长交圆于、两点，取线段的中点，O BD O E F EF G 连接、、，OE OF OG 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，A AB AO x y xAy因为，，BC CD ⊥1209030BC CD =-==则为等腰直角三角形，所以，，则直线的倾斜角为，BCD △π4CBD ∠=BD 3π4易知点、，直线的方程为，即，()120,0B ()0,60O BD ()120y x =--1200x y +-=，所以，，sin OFG ∠=π4OFG ∠=所以，，ππ22EOF OFG ∠=-∠=因此，游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点的概率为.B π122π4P ==故选：A.8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数除以正()mod N n b m ≡N 整数后的余数为，例如 表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输m n ()112mod 3b ≡出的等于N A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．【详解】第一次，7除以3的余数是1，不满足条件，除以3的余数是2满足条件，N=7,N=8,88除以5的余数是3满足条件，输出N=8故选B【点睛】本题考查程序框图的相关内容，根据框图模拟运算即可得出结果，比较基础．9．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的x π=图象.【详解】因为，则，()cos sin f x x x x=+()()cos sin f x x x x f x -=--=-即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且时，，据此可知选项B 错误.x π=cos sin 0y ππππ=+=-<故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()21ln 2f x x a x x =-+[)1,+∞a A ．B ．C ．D ．0a ≤01a ≤≤2a ≤2a <【答案】C【解析】由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可.[)1,+∞()'0f x ≥【详解】由题,在上恒成立.即在上恒成立.()'10af x x x =-+≥[)1,+∞2a x x ≤+[)1,+∞又,其导函数恒成立.故的最小值为[)2,1,y x x x =+∈+∞'210y x =+>[)2,1,y x x x =+∈+∞.故.2112y =+=2a ≤故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题.11．已知抛物线的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于M ，N 两点，则的最216y x =l 49NFMF-小值为A ．B ．-C ．-D ．23231313【答案】D【分析】根据抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系，将所求的表达式转化成一个量的函数求最值.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标为.设，，216y x =(40)，11(,)M x y 22(,)N x y 将：代入抛物线方程，l 4x my =+可得，且有，216(4)y my =+1216y y m +=1264y y =-所以，又因为.212121244()8168x x my my m y y m +=+++=++=+221212161616y y x x =⋅=由抛物线的定义可得，.14MF x =+24NF x =+故，121212811111()44(4)(4)4x x MF NF x x x x +++=+==*++++由可得，()*1114MF NF=-从而有，，441MF NF-=-4441119933NFNF MF NF -=+-≥-=当且仅当时取等号.6NF =故选D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于将问题转化为关于一条线段的长的函数的最值问题，属于中档题.12．已知函数，，若，，使得，则实数()exf x x -=()21ln 2g x x x a =-+1x ∃[]212x ∈，()()12f x g x =a 的取值范围是 （ ）A ．B ．2112,ln 222e e⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2112,ln 222e e⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦C ． D ．2211ln 22,ee 2⎛⎫+-- ⎪⎝⎭2211ln 22,ee 2⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】利用导数，分别求两个函数的值域，将条件转化为两个值域有交集，列不等式，即可求解.【详解】，，当时，，()e x x f x =()1e x xf x -'=[]1,2x ∈()0f x '≤函数单调递减，函数的值域是，()f x 221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，当时，，()21ln 2g x x x a =-+()211x g x x x x -'=-=[]1,2x ∈()0g x '≥函数单调递增，函数的值域是，()g x 1,2ln 22a a ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦因为，，使得，1x ∃[]212x ∈，()()12f x g x =所以，解得：，2112e 22ln 2e a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩2211ln 22e e 2a +-≤≤-所以实数a 的取值范围是.2211ln 22,e e 2⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦故选：D二、填空题13．命题“若都是实数，则”的否命题是__________,x y 220≥+x y 【答案】若不都是实数，则,x y 220+<x y 【分析】利用否命题的定义求解.【详解】因为否命题是既否定原命题的条件，也否定原命题的结论，所以命题“若都是实数，则”的否命题是“若不都是实数，则”，,x y 220≥+x y ,x y 220+<x y故答案为：若不都是实数，则,x y 220+<x y 14．若函数在处取得极小值，则实数a 的取值范围是323232af x x x ax =-+++（）（）2x =__________．【答案】6a <【分析】首先求函数的导数，再讨论零点的大小关系，即可判断极小值点，并求得实数的取值范a 围.【详解】，()()()()236223f x x a x a x x a '=-++=--当，即，，函数单调递增，不成立，23a=6a =()0f x '≥()f x 当时，即，此时或时，，23a >6a >2x <3a x >()0f x ¢>当时，，23ax <<()0f x '<所以函数的单调递增区间是和，减区间是，(),2-∞,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以是极大值点，不满足条件，2x =当时，即，此时或时，，23a<6a <3a x <2x >()0f x ¢>当时，，23ax <<()0f x '<所以函数的单调递增区间是和，减区间是，,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()2,+∞,23a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以是极小值点，满足条件，2x =综上可知：.6a <故答案为：6a <15．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足y x （为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每3216=-++y x ax xa 232年需种植莲藕 ________万千克．【答案】8【分析】由已知求参数a ，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.【详解】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则x ()g x （）．()3232112266g x x ax x x x ax =-++--=-+-010x <≤∵，()32123333262g a =-⨯+⨯-=∴，即，则，2a =()321226g x x x =-+-()()2114822g x x x x x '=-+=--当时，，当时，，()0,8x ∈()0g x '>()8,10x ∈()0g x '<∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，()g x ()0,8()8,108x =()g x 故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．故答案为：816．已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式()f x ()0,∞+()()f x xf x '>的解集为________．()21()0f x x f x -<【答案】(0,1)【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，所求不等式可化为，()()f x x x ϕ=()0,∞+1(()x x ϕϕ<进而即得.【详解】因为，()()f x xf x '>令，则，()()f x x x ϕ=2()()()0xf x f x x x ϕ'-'=<∴在上单调递减，()x ϕ()0,∞+由，可得，21()()x f f x x <1()(f x xf x x <即，1()()1f f x x x x <∴，1()()x xϕϕ<∴，又∵，1x x >0x >∴.01x <<故答案为：(0,1).三、解答题17．已知函数.3()395f x x x =-+（1）求函数的单调递减区间；()f x （2）求函数在上的最大值和最小值.()f x []3,3-【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为()1,1-5949-【解析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；()f x '()0f x '<()f x （2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.[]3,3-【详解】（1），()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=x R∈令，得，所以的减区间为.()0f x '<11x -<<()f x ()1,1-（2）由（1），令，得或知：，为增函数，()0f x ¢>1x <-1x >[]3,1x ∈--()f x ，为减函数，，为增函数.[]1,1x ∈-()f x []1,3x ∈()f x ，，，.()349f -=-()111f -=()11f =-()539f =所以在区间上的最大值为，最小值为.()f x []3,3-5949-【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．已知.()2e x x af x -=(1)当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =()()0,0f (2)若对恒成立，求的取值范围.()1f x x ≤-[)1,x ∞∈+a 【答案】(1)10x y --=(2)1a ≥【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.a 【详解】（1）当时，，，1a =()21e xx f x -=()01f =-，，()22(1)e x x xf x --'=(0)1k f '∴==所以切线方程为：，即.11(0)y x +=⨯-10x y --=（2）恒成立，即在上恒成立，()1f x x ≤-2(1)e x a x x ≥--[)1,x ∞∈+设，，2()(1)e x g x x x =--()(2e )xg x x '=-令，得，()0g x '=120,ln 2x x ==在上，，[)1,+∞()0g x '<所以函数在上单调递减，2()(1)e xg x x x =--[)1,+∞所以，，max ()(1)1g x g ==max ()a g x ∴≥故有.1a ≥19．某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了位同100学月份玩手机的时间单位：小时，并将这个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：8（）100玩手机时间[015，）[1530，）[3045，）[4560，）[6075，）[7590，）[90+∞，）人数112282415137将月份玩手机时间为小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，小时以下者视为“手机自我87575管理到位”．(1)请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位22⨯99%与性别有关”；手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生女生1240合计(2)根据（1）中的条件，在抽查的“手机自我管理不到位”的人中按性别分层抽样抽取名，这名55“手机自我管理不到位”的人中恰有位男生和位女生喜欢体育运动，现在从这名“手机自我管理115不到位”的人中随机抽取人，求这个人中男女生均有，并且个人中有人喜欢体育运动的概率．333独立性检验临界值表：2K 20P K k ≥（）0.100.050.0100.0010k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表答案见解析；没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”22⨯(2)45【分析】（1）根据题中已知数据统计出表格中的数据，题中有卡方独立性检验的计算公式，根据列联表的数据计算出卡方数值，与独立性检验临界值表进行比较得出结论.22⨯2K （2）列出满足要求的所有可能的基本事件，找出满足要求的事件，根据概率计算公式得出结果.【详解】（1）列联表如下：手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生52860女生281240合计8020100的观测值，2K 22()100(5212828) 4.167 6.635()()()()60408020n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯所以没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”．（2）设这5名“手机自我管理不到位”的人中，2名男生记为，，3名女生记为，，，0A 1A 0B 1B 2B 其中喜欢运动的为，，则从这5名“手机自我管理不到位”的人中随机抽取3人的所有结果组0A 0B 成的基本事件为，010011012001002012101102112012,,,,,,,,,A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B A B B A B B B B B 以上共计10个基本事件，且这些基本事件的出现是等可能的．其中这3个人中男女生均有，并且3个人中有人喜欢体育运动的基本事件为，共计8个事件，010011012001002012101102,,,,,,,A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B A B B 故所求事件的概率．84105P ==20．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，CD AB ，AB =4，AD =CD =2．将△ADC 沿AC 折//起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ﹣ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求几何体D ﹣ABC 的体积．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）方法一：作出辅助线，得出AC ⊥BC ，由面面垂直，得线面垂直，即证．方法二：得到AC ⊥BC 后，作出辅助线，由面面垂直得到DH ⊥BC ，从而证明BC ⊥平面ACD .（2）在第一问的基础上，由高和底面积，求得三棱锥B ﹣ACD 的体积即是几何体D ﹣ABC 的体积．【详解】（1）方法一：在图1中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，因为在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，，AB =4，AD =CD =2．//CD AB 所以，2AE BE CE ===由勾股定理得：，AC BC ==∴，222AC BC AB +=∴AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面ABC =AC ，BC 平面ABC ， ⊂从而BC ⊥平面ACD ；方法二：在图1中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，因为在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，，AB =4，AD =CD =2．//CD AB 所以，2AE BE CE ===由勾股定理得：，AC BC ==∴，222AC BC AB +=∴AC ⊥BC ，取AC 的中点H ，连接DH ，因为AD =DC ，所以DH ⊥AC ，因为平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面ABC =AC ，DH 平面ACD ， ⊂从而DH ⊥平面ABC ；因为BC 平面ABC ，⊂所以DH ⊥BC ，因为，平面ACD ，DH AC H ⋂=,DH AC ⊂从而BC ⊥平面ACD ；（2）由（1）知，BC 为三棱锥B ﹣ACD 的高，BC =，1122222ACD S AD CD =⋅=⨯⨯=△所以三棱锥B ﹣ACD 的体积为：11233B ACD ACD V S h -=⋅=⨯⨯=由等积性知几何体D ﹣ABC21．已知长轴长为的一个焦点为．()2222:10x y C a b a b +=>>()1,0-(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为l 的直线交椭圆于，，求直线的方程．l C A B l 【答案】(1)2212x y +=(2)或1y x =+1y x =-【分析】（1）根据题意结合椭圆性质，运算可求出结果；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合弦长公式即可求出结果.【详解】（1）由题意，，1c=a =∴，1b ==∴椭圆的方程为．C 2212x y +=（2）设直线的方程为，点，l y x m =+()11,A x y ()22,B x y 联立方程组2212x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简，得，2234220x mx m ++-=，即()2221612228240m m m ∆=--=-+>m<<且，，1243mx x +=-212223m xx -=∴1||AB x=-===解得，符合题意，1m =±∴直线的方程为或.l 1y x =+1y x =-22．设常数，函数.0a ≥()()()2ln 2ln 10,f x x x a x x =-+-∈+∞（1）令时，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；()()()0g x xf x x '=>()g x ()g x （2）求证：在上是增函数；()f x ()0,∞+（3）求证：当时，恒有.1x >2ln 2ln 1x x a x >-+【答案】（1）最小值为，最小值大于零.（2）证明见解析.（3）证明见解析()21ln 22a-+【分析】（1）对函数进行求导，确定函数的解析式，再对函数求导，列表判断出该()f x ()g x ()g x 函数的单调性以及极值，最后确定函数的最小值，再判断的最小值与零的大小即可；()g x ()g x（2）利用（1）中的结论，可以判断出函数的正负性，进而能证明出的单调性；()()0f x x '>()f x （3）利用（2）中的结论进行证明即可.【详解】（1）因为，()()()2ln 2ln 10,f x x x a x x =-+-∈+∞所以.1122ln 2()1ln (ln )1a x a f x x x x x x x x ⎡⎤'=-⋅+⋅+=-+⎢⎥⎣⎦所以，()()()2ln 20g x xf x x x a x '==-+>所以，令，得.()221x g x x x -'=-=()0g x '=2x =列表如下：x()0,22()2,∞+()g x '-+()g x 减极小值()2g 增所以在处取得极小值，()g x 2x =()222ln 22g a=-+即的最小值为，()g x ()()222ln 2221ln 22g a a=-+=-+因为，所以，ln 21<1ln 20->又，所以即的最小值大于零.0a ≥()20g >()g x （2）由（1）知，的最小值为正数，()g x 所以对一切，恒有.()0,x ∈+∞()()0g x xf x '=>从而当时，恒有，故在上是增函数.0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+（3）由（2）知在上是增函数，()f x ()0,∞+所以当时，.1x >()()1f x f >又，()211ln 12ln110f a =-+-=所以，即，()0f x >2ln 2ln 10x x a x -+->所以，2ln 2ln 1x x a x >-+故当时，恒有.1x >2ln 2ln 1x x a x >-+【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值､单调性，考查了利用函数的单调性证明不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.。

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2016-2017学年第二学期高二期中考试数学（文科）一、填空题(每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卷相应位置上)．1、 已知复数z 满足i z i +=-1)1(，则z 的模为____▲______．2、 已知集合{}|47M x x =-≤≤，{}3,5,8N =，则M N =____▲_____．3、 命题“R x ∀∈，220x +>”的否定是_ ▲ 命题．（填“真”或“假”之一）4、 函数)13lg(13)(2++-=x x x x f 的定义域是 ▲ ．5、 已知函数2()2f x x x =-在定义域[1,]n -上的值域为[1,3]-，则实数n 的取值范围 ▲ ．6、 已知数列{}n a 中，2,11≥=n a 时，,121-+=-n a a n n 猜想n a 的表达式是 ▲ ．7、 函数)34(log )(221-+-=x x x f 的递减区间为_______▲__________．8、 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =+-(b 为常数)，则(1)f -的值为 ___▲____．9、 若f (x )为奇函数，且在(-∞，0)上是减函数，又f (-2) = 0，求不等式x ·f (x )＜0的解集 为 ▲ ．10、已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是___▲___．11、已知实数a ≠0，函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a ) = f (1＋a )，则a 的值为_▲__．12、设函数f (x )是定义在(-1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f (a – 2) – f (4 – a 2)＜0， 实数a 的取值范围______▲________． 13、已知f (x )是定义在R 上函数，且)(1)23(x f x f -=+当x ∈[0，3)时，f (x )=|212|2+-x x ．若函数y = f (x )– a 在区间[–3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围 是__▲___．14 、已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=1,521,)(2x ax x ax x x f ，若2121,,x x R x x ≠∈∃使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤).15、设关于x 的不等式x (x －a －1)<0(a ∈R )的解集为M ,不等式x 2－2x －3≤0的解集为N .(1)当a ＝1时，求集合M ；(2)若M ⊆N ，求实数a 的取值范围．16、设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．（1）若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围；（2）若关于x 的不等式()(5)0()x m x m m R --+<∈的解集为M ；命题p 为真命题时，a 的取值集合为N ．当""N x ∈是""M x ∈的充分不必要条件时，求实数m 的取值范围．17、己知二次函数f (x ) = ax 2 + bx (a 、b 为常数)满足条件f (x – 3) = f (5 – x )，且方程f (x )= x 有等根．（1）求f (x )的解析式；（2）是否存在实数m ， n (m ＜n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[3m ，3n ]？如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．18、某隧道长2150m ，通过隧道的车辆速度不能超过20s m /．一列有55辆车身长都为10m 的同一车型的车队(这种型号车能行驶的最高速度为40s m /)，匀速通过该隧道，设车队的速度为s xm /，根据安全和车流量的需要，当100≤<x 时，相邻两车之间保持20m 的距离；当2010≤<x 时，相邻两车之间保持m x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+31612的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用时间为)(s y ．（1）将y 表示为x 的函数；（2）求车队通过隧道时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73)．19、已知函数)(x f y =是定义在[]1,1-上的奇函数，且,1)1(=f 若[]2121,1,1,x x x x ≠-∈，0)()(2121>--x x x f x f . （1）判断函数)(x f 的单调性，并证明；（2）解不等式：)11()21(-<+x f x f ; （3）若12)(2+-≤am m x f 对所有[]1,1-∈a 恒成立，求实数m 的取值范围.20、已知函数()21,f x x x a x =+-+∈R .（1）判断函数()f x 的奇偶性,并说明理由;（2）当0=a 时，求函数()f x 的单调区间；（3）求函数()f x 的最小值)(a g .2016-2017学年第二学期高二期中考试数学答案1、12、{}5,33、假4、)1,31(-5、[]3,16、2n a n =7、)2,1(8、-39、()),2(2,+∞⋃-∞- 10、 []1,0 11、43- 12、)5,2()2,3(⋃ 13、)21,0( 14、)4,(-∞15．解析 (1)当a ＝1时，由已知得x (x －2)<0，解得0<x <2.所以M ＝{x |0<x <2}----4分 (2)由已知得N ＝{x |－1≤x ≤3}． - ---------------------5分 ①当a <－1时，因为a ＋1<0，所以M ＝{x |a ＋1<x <0}因为M ⊆N ，所以－1≤a ＋1<0，所以－2≤a <－1. ． - ----------------------8分 ②当a ＝－1时，M ＝∅，显然有M ⊆N ，所以a ＝－1成立．----------------------10分 ③当a >－1时，因为a ＋1>0，所以M ＝{x |0<x <a ＋1}．因为M ⊆N ，所以0<a ＋1≤3，所以－1<a ≤2. ----------------------13分 综上所述，a 的取值范围是[－2,2] ----------------------14分16、（1）若p 真：22,0<<-<∆a ----------------------2分 若q 真：1-≥a ----------------------4分 命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假真假假，真p q q p ∴ ----------------------5分 当p 真q 假，12-<<-a当p 假q 真，2≥a综上： 12-<<-a 或2≥a ----------------------9分 （2）当""N x ∈是""M x ∈的充分不必要条件M N 是∴的真子集 ----------------------11分 ⎩⎨⎧≥-≤-∴225m m （等号不同时取） -------------------13分 32≤≤∴m -------------------14分17、（1）由)5()3(x f x f -=-，得对称轴为1=x ，即12=-ab ----------------3分 又f (x ) = x 有等根，1=b ， ---------------6分 所以解析式为x x x f +-=221)(- --------------7分 （2）213,2121)1(2121)(22≤≤+--=+-=n x x x x f --------------9分 61≤<∴n m --------------11分 所以函数在[]n m ,上单调递增，n n f m m f ==∴)(,)(--------------13分0,4=-=∴n m --------------14分18、解：（1）当0＜x ≤10时，y ＝2150＋10×55＋20×(55－1)x ＝3780x(s )； -------------3分 当10＜x ≤20时，y ＝2150＋10×55＋(16x 2＋13x )×(55－1)x ＝2700＋9x 2＋18x x--------------6分＝18＋9x ＋2700x(s )． 所以y ＝⎩⎨⎧3780x ，0＜x ≤10，18＋9x ＋2700x ，10＜x ≤20．------------7分（2）当x ∈(0，10]时，在x ＝10时，y min ＝378010＝378(s )． ------------10分 当x ∈(10，20]时，y ＝18＋9x ＋2700x ≥18＋29x ⋅2700x ＝18＋1803≈329.4(s )． 当且仅当9x ＝2700x，即x ＝103≈17.3时取等号． 因为17.3∈(10，20]，所以当x ＝17.3m /s 时，y min ＝329.4(s )． ------------14分 因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3m /s 时，车队通过隧道时间y 有最小值329.4s ． ------------16分19、（1）单调递增 ------------4分（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<+≤-≤-≤+≤-112111111211x x x x 所以不等式的解集为⎪⎭⎫⎢⎣⎡--1,23------------10分 （3）)(x f 为增函数，所以)(x f 的最大值为1)1(=f022≥-∴am m 恒成立令am m a h 2)(2-= ⎩⎨⎧≥≥-∴0)1(0)1(h h ------------13分 ⎩⎨⎧-≤≥≤≥∴2002m m m m 或或 022=-≤≥∴m m m 或或 - -----------16分20、（1）当)(,0x f a =为偶函数 ------------2分 当)()(),()(,0x f x f x f x f a -≠-≠-≠，此时函数为非奇非偶函数--------4分（2）当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥++=++==0,43)21(0,43)21(1)(,0222x x x x x x x f a所以)(x f 的单调增区间是),0(+∞，单调减区间是)0,(-∞ ------------7分(3)当21-≤a 时，a x ≥时，)(x f 的最小值为a f -=-43)21( a x <时，1)()(2+=>a a f x f而041)1()43(22≤---=+--a a a a 所以)(x f 的最小值为a a g -=43)( ------------10分 当21≥a 时，a x ≥时，)(x f 的最小值为1)(2+=a a fa x <时，)(x f 的最小值为43)21(+=a f 而041)43()1(22≥+-=+-+a a a a所以)(x f 的最小值为 a a g +=43)( ------------13分 当2121<<-a 时， )(x f 的最小值为1)(2+=a a g ------------15分 综上所述：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-≤-=21,432121,121,43)(2a a a a a a a g ------------16分。

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