浙江省杭州高中2010-2011学年高二数学上学期期末考试试题 理

杭高2010学年第一学期期末考试高二数学试卷(理科)注意事项：1.本卷考试时间90分，满分100分。

2.本卷所有答案必须答在答题卷上，否则无效。

不能使用计算器。

一．选择题1．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则（ ）A.1sin ,:≥∈∃⌝x R x pB. 1sin ,:≥∈∀⌝x R x pC.1sin ,:>∈∃⌝x R x pD. 1sin ,:>∈∀⌝x R x p2．已知复数z a i =+(0,a i >是虚单位)，若||z =1z的虛部是（ ） A. 13- B. 13i - C. 15i - D. 15-3．当a ＞0时，设命题P ：函数()=+af x x x在区间（1，2）上单调递增；命题Q ：不等式210x ax ++>对任意x ∈R 都成立．若“P 且Q ”是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ）A ． 01<≤aB ．12≤<aC ． 02≤≤aD ．012<<≥或a a4．已知直线βαβα⊂⊥m l m l ,,,,,且平面，给出下列四个命题：①若;,//m l ⊥则βα②若;//,βα则m l ⊥③若;//,m l 则βα⊥④若.,//βα⊥则m l 其中正确的命题是（ ）A ．①④B ． ②④C ．①③④D ．①②④5．如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形， 且斜边BD 长为2；侧视图为一直角三角形； 俯视图为一直角梯形，且1==BC AB ,则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）。

.A 1 .B .C.D 126．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，BC =O 的表面积等于(球的表面积为24R S π=)（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ． π7．直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是A ．),0[πB ．),43[]4,0[πππ⋃ C ．]4,0[πD ．),2(]4,0[πππ⋃8．若圆221x y +=和224470x y x y ++-+=关于直线l对称，则l的方程是（ ）.0A x y += .20B x y +-= .20C x y --= .20D x y -+=9. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．(0,)2 D ．,1)210．双曲线)0,(12222>=-b a ax b y 的一条渐近线与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 交于点M 、N ，则MN = （ ）A.)(222b a - B. )(222b a + C. a 2 D. a +b二．填空题 11．若复数()12im R m i-∈-在复平面上对应的点位于第一象限，则m 的取值范围是 。

12．抛物线2(0)x ay a =>的准线l 与y 轴交于点P ，若l 绕点P 以每秒12π弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t 等于 ；13．设12cos x A x +=成立，可得2212cos 2x A x +=， 3312cos3,,x A x +=由此推得*1()n n x n N x+∈= ．14．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 。

15．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 _________ ．三．解答题16．(本小题满分10分)如图（1），ABC ∆是等腰直角三角形，4AC BC ==，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，将AEF ∆沿EF 折起， 使A '在平面BCEF 上的射影O 恰为EC 的中点，得到图（2）．（Ⅰ）求证：EF A C '⊥；（Ⅱ）求三棱锥BC A F '-的体积． 17．（本题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，—2）为圆心的圆与直线10x y ++=相切。

（I ）求圆C 的方程； （II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由。

18．（本题满分10分）已知函数()22f x x x =-，()2g x ax =+。

（Ⅰ）对[]1,2x ∀∈-，有()()2f x g x <+成立，求实数a 的取值范围。

（Ⅱ）对[]11,2x ∀∈-，[]01,2x ∃∈-，使()()10g x f x =，求实数a 的取值范围。

19．（本题满分10分）右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形， PD ⊥平面ABCD ，//EC PD ，且2PD EC =，（Ⅰ）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；（Ⅱ）若PDAD=，求平面PBE 与平面ABCD 所成的二面角的大小．20．已知抛物线C 的方程为y x 42=，直线 2=y 与抛物线C 相交于N M ,两点， 点B A ,在抛物线C 上. （Ⅰ）若,AMN BMN ∠=∠求证：直线AB 的斜率为定值； （Ⅱ）若直线AB 的斜率为,2且点N 到直线MB MA ,的距离的和为8，试判断MAB ∆的形状，并证明你的结论．PABCDE杭高2011年高二数学期末试卷（理科）三．解答题 16．解：（Ⅰ）证法一：在ABC ∆中，EF 是等腰直角ABC ∆的中位线，EF AC ∴⊥ -----------1分在四棱锥BCEF A -'中，E A EF '⊥，EC EF ⊥，EF ∴⊥平面A EC '， -----------3分又⊂'C A 平面A EC ',EF A C '∴⊥ -----------5分证法二：同证法一EF EC ⊥ -----------1分A O EF '∴⊥EF ∴⊥平面A EC '， -----------3分又⊂'C A 平面A EC ',EF A C '∴⊥ -----------5分（Ⅱ）在直角梯形EFBC 中，4,2==BC EC ,421=⋅=∴∆EC BC S FBC -----------7分 又A O '垂直平分EC ，322=-'='∴EO E A O A -----------8分∴FBC A BC A F V V -''-=O A S FBC '⋅=∆313431⋅⋅=334= ∴三棱锥BC A F '-的体积为334 -----------10分17．解：（1）设圆的方程是222()()x a y b R -+-=依题意得，所求圆的半径，||3R ==∴所求的圆方程是22(1)(2)9x y -++= ………………4分 （2）设存在满足题意的直线l ，设此直线方程为y x m =+设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 依题意有OA ⊥OB 即121212121,1,0OA OB y y k k x x y y x x ⋅=-∴⋅=-∴+= ………………6分 因为2222(1)(2)92440y x my x mx y x y x y =+=+⎧⎧⎨⎨-++=+-+-=⎩⎩即 消去y 得：2222(1)440x m x m m ++++-=所以2121244(1),2m m x x m x x +-+=-+= ………………8分12121122212121212320,()()0,()044(1)0x x y y y x m y x mx x x m x m x m x x m m m m m m +==+=+∴+++=+++=∴+--++=即2x 解得124,1m m =-= ………………9分 经检验124,10m m =-=∆>都符合题意12::4,:1l l y x l y x ∴=-=+存在满足题意的直线 ………………10分18．解：（Ⅰ）由题意，()()()()22240h x f x g x x a x =--=-+-<对任意[]1,2x ∈-恒成立，只需()()1102240h a h a -=-<⎧⎪⎨=--<⎪⎩成立，即21a -<<。

…………5分（Ⅱ）（1）当0a =时，()2g x ax =+在[]1,2-上的值域{}2A =，()22f x x x =-在[]1,2-上的值域[]1,3B =-，满足A B ⊆，所以0a =；（2）当0a >时，()2g x ax =+在[]1,2-上的值域[]2,22A a a =-+，()22f x x x =-在[]1,2-上的值域[]1,3B =-，由题意，A B ⊆，得102a <≤；（3）当0a <时，()2g x ax =+在[]1,2-上的值域[]22,2A a a =+-，()22f x x x =-在[]1,2-上的值域[]1,3B =-，由题意，A B ⊆，得10a -≤<；综上，11,2a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦。

………………10分（Ⅱ）若直线AB的斜率为,2由（1）可得：14AM x k =+24BM x k =+()22121212121244444AM BM ABx x k k y y x xk x x x x -++-+∴=====-- ,,0AMN BMN k k BM AM ∠=∠∴=+∴……………………8分又点N 到直线MB MA ,的距离的和为8， 所以点N 到直线MB MA ,的距离均为,4,24=MN 45,BMN AMN ︒∴∠=∠=所以MAB ∆是直角三角形． …………………………………………………10分。