(推荐)高中数学必修1基本初等函数常考题型:幂函数
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幂函数
【知识梳理】
1.幂函数的概念
一般地,函数y =x
叫做幂函数.其中x 是自变量,α是常数. 2.常见幂函数的图象与性质 解析式
y =x
y =x 2
y =x 3
y =1x
y =12
x
图象
定义域 R R R {x|x≠0} [0,+∞) 值域 R [0,+∞) R {y|y≠0} [0,+∞) 奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数
单调性
在(-∞,+
∞)上单调递增
在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增
在(-∞,+∞)上单调递增
在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减
在[0,+∞)上单调递增
定点
(1,1)
(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1). (2)α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. 特别地,当α>1时,幂函数的图象下凸; 当0<α<1时,幂函数的图象上凸.
(3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴;当x 趋于+∞时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.
【常考题型】
题型一、幂函数的概念
【例1】 (1)下列函数:①y=x 3
;②y=12x
⎛⎫ ⎪⎝⎭
;③y=4x 2;④y=x 5+1;⑤y=(x -1)2
;
⑥y=x ;⑦y=a x
(a>1).其中幂函数的个数为( )
A .1
B .2
C .3
D .4
(2)已知幂函数y =(
)
22
23
1m m m m x
----,求此幂函数的解析式,并指出定义域.
(1)[解析] ②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数,故选B.
[答案] B
(2)[解] ∵y=(
)
22
23
1m m m m x
----为幂函数,
∴m 2
-m -1=1,解得m =2或m =-1.
当m =2时,m 2
-2m -3=-3,则y =x -3
,且有x≠0; 当m =-1时,m 2
-2m -3=0,则y =x 0
,且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y =x -3
,{x|x≠0}或y =x 0
,{x|x≠0}. 【类题通法】
判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y =x α
(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量;(3)系数为1.反之,若一个函数为幂函数,则该函数应具备这一形式,这是我们解决某些问题的隐含条件.
【对点训练】
函数f(x)=(
)
22
3
1m m m m x +---是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)
的解析式.
解:根据幂函数的定义得 m 2
-m -1=1.解得m =2或m =-1.
当m =2时,f(x)=x 3
在(0,+∞)上是增函数;
当m =-1时,f(x)=x -3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求. 故f(x)=x 3
.
题型二、幂函数的图象
【例2】 (1)如图,图中曲线是幂函数y =x
在第一象限的大致图象,已知α取-2,-12,1
2,2四个值,则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4
的α的值依次为( )
A .-2,-12,1
2,2
B .2,12,-1
2,-2
C .-12,-2,2,12
D .2,12,-2,-1
2
(2)如图是幂函数y =m
x 与y =n
x 在第一象限内的图象,则( ) A .-1
[解析] (1)令x =2,则22
>212>2-12
>2-2,
故相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的α值依次为2,12,-1
2
,-2.故选B.
(2)此类题有一简捷的解决办法,在(0,1)内取x 0,作直线x =x 0,与各图象有交点,则“点低指数大”.如图,0 [答案] (1)B (2)B 【类题通法】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于 y =x -1 或y =12 x 或y =x 3 )来判断. 【对点训练】 已知函数y =a x ,y =b x ,y =c x 的图象如图所示,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .c B .a