1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

合集下载

1997年考研数学三真题

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设()(ln )f x y f x e=,其中f 可微,则dy =___________.(2)若1201()()1f x f x dx x =++,则10()f x dx =⎰___________.(3) 差分方程12tt t y y t +-=的通解为___________.(4) 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是___________.(5) 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ,而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X Y 和的简单随机样本,则统计量929X U Y++=++服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()()()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有 ( ) (A) ()0f x '>,()0f x ''< (B) ()0f x '>,()0f x ''> (C) ()0f x '<,()0f x ''< (D) ()0f x '<,()0f x ''>(3) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) 12αα+,23αα+,31αα- (B) 12αα+,23αα+,1232ααα++ (C) 122αα+,2323αα+,313αα+(D) 123ααα++,1232322ααα-+,123355ααα+-(4) 设,A B 为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) AB BA = (B) 存在可逆矩阵P ,使1P AP B -= (C) 存在可逆矩阵C ,使TC AC B = (D) 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ B = (5) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：{}{}111,2P X P Y =-==-={}1P X = {}112P Y ===,则下列各式中成立的是 ( )(A) {}12P X Y == (B) {}1P X Y ==(C) {}104P X Y +== (D) {}114P XY ==三、(本题满分6分)在经济学中,称函数1()[(1)]xxxQ x A KL δδ---=+-为固定替代弹性生产函数,而称函数1Q AK L δδ-=为Cobb-Douglas 生产函数(简称C —D 生产函数).试证明：但0x →时,固定替代弹性生产函数变为C —D 生产函数,即有lim ()x Q x Q →=.四、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续偏导数,()y y x =和()z z x =分别由方程0xye y -=和0x e xz -=所确定,求du dx.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数31C x =+(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,)+∞上连续、单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()0,0,x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰若若在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).七、(本题满分6分)从点1(1,0)P 作x 轴的垂线,交抛物线2y x =于点1(1,1)Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ,然后又从2P 作x 轴的垂线,交抛物线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;n n P Q P Q P Q .(1) 求n OP ；(2) 求级数1122n n Q P Q P Q P ++++的和.其中(1)n n ≥为自然数,而12M M 表示点1M 与2M 之间的距离.八、(本题满分6分)设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰, 求()f t .九、(本题满分6分)设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵0,T T E A P Q AA b ααα*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ ；(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1TA b αα-≠.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是12(1,1,1),(1,2,1)T T αα=--=--.(1) 求A 的属于特征值3的特征向量； (2) 求矩阵A .十一、(本题满分7分)假设随机变量X 的绝对值不大于1；11{1},{1}84P X P X =-===；在事件 {11}X -<<出现的条件下,X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X 的分布函数(){}F x P X x =≤.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第X 分钟到达底层候梯处,且X 在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度()f t 、数学期望和方差.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】()()()()1[ln ln ]f x ef x f x f x dx x''+ 【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln )f x y f x e= 可知()()()()()()()()()1ln ln 1[ln ln ].f x f x f x dy f x e dx f x e f x dx xe f x f x f x dx x''=+''=+(2)【答案】4ππ-【分析】本题中1()f x dx ⎰是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令1()f x dx A =⎰,则21()1f x x=++,两边从0到1作定积分得1201dx A A x =++⎰⎰10arctan 444x A A πππ=+=+, 解得4A ππ=-.【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分⎰表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】(2)2tt y C t =+-【解析】对应的齐次差分方程是10t t y y +-=,显然有不恒等于零的特解1t y =. 因方程的右端函数()2tf t t =,可设非齐次差分方程的特解有形式()2t y At B *=+,代入方程得 (2)22,0,1,2,.ttAt A B t t ++==由于20t ≠,于是2,0,1,2,.At A B t t ++==可确定1,2A B ==-,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2ty t *=-.从而,差分方程的通解是(2)2tt y C t =+-.(4)【答案】t <<【解析】二次型123(,,)f x x x 对应的矩阵为210112012t A t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因为f 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.又2123211211112,,A t ∆=∆==∆==-, 故f 正定⇔21102t ->,即t <<(5)【答案】t 分布,参数为9 【解析】由19,,X X 是来自总体X 的简单随机样本,故19,,X X 独立,且都服从正态分布2(0,3)N .类似有19,,Y Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N .又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即219~(,)X X X N '=++μσ.其中19()()E X E X X '==++μ,219()()D X D X X σ'==++.由期望的性质,19129()()0E X E X X EX EX EX '==++=+++=μ；由独立随机变量方差的性质,21919()()81D X D X X DX DX σ'==++=++=,故2~(0,9)X N '.因219,,~(0,3)Y Y N ,故~(0,1),(1,2,,9)3i Y N i -=,所以,2921~(9)3i i Y Y χ=⎛⎫'= ⎪⎝⎭∑.由t 分布的定义,现已有2~(0,9)X N ',将其标准化得0~(0,1)9X N '-,~(9)X t '-.~(9)t ',919229~(9)X X X t Y Y++++=++.【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,其中,,a b c 为常数.2.方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.3.2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则22~(1)iZ χ,221~()ni i Z n χ=∑.4.若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-.5.t 分布的定义：若~(0,1)X N ,2~()Y n χ,,X Y 独立,则~()T t n =.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(B)【分析】只要求出极限 0()lim()x f x g x →就能判断出正确的选项. 【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得1cos 2205640005244000sin ()(sin )sin(1cos )lim lim lim ()(1)5611(1cos )4lim lim lim 0,1xx x x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x xx -→→→→→→-==++-===+⎰故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法1：由()()f x f x -=(,)-∞+∞知,()f x 的图形关于y 轴对称.由在(,0)-∞内,()0f x '>且()0f x ''<知,()f x 的图形在(,0)-∞内单调上升且是凸的；由对称性知,在(0,)+∞内,()f x 的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法2：由()()f x f x -=可知()(),()()f x f x f x f x ''''''--=-=.当(0,)x ∈+∞时,(,0)x -∈-∞,此时由题设知()0f x '->,()0f x ''-<,则()0,()0,(0,)f x f x x '''<<∈+∞,故应选(C).方法3：排除法.取2()f x x =-,易验证()f x 符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4：由题设可知()f x 是一个二阶可导的偶函数,则()f x '为奇函数,()f x ''为偶函数,又在(,0)-∞内()0,()0f x f x '''><,则在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''<<,故应选(C). (3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,,)(,,)C βββααα=技巧相结合. 【解析】对于(A),()()()1223310αααααα+-++-=,即存在一组不全为零的数1, -1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,,αααααα++-线性相关,排除(A)；对于(B),()()()122312320ααααααα+++-++=,即存在一组不全为零的数1,1, -1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知1223123,,2ααααααα++++线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数123k ,k ,k ,使得()()()11222331322330k k k αααααα+++++=,整理得 ()()()13112223322330.k k k k k k a αα+++++=已知1α,2α,3α线性无关,上式成立,当且仅当1312230220330k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ①因①的系数行列式101220120033=≠,故①有唯一零解,即1230k k k ===.故原向量组122αα+,2323αα+,313αα+线性无关.应选(C).或者也可以将122αα+,2323αα+,313αα+用123,,ααα线性表出,且写成矩阵形式,有[][][]1223311231231012,23,3,,220,,033C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦记,120C =≠,则C 可逆,故两向量组是等价向量组,由1α,2α,3α线性无关知122αα+,2323αα+,313αα+线性无关.(4)【答案】(D)【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.例如,若10100302A ,B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若10100302A ,B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 111012030206AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,101111020306BA ,---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB BA ≠. 故(A)不成立；应取(D).方法2：因,A B 是同阶(设为n )可逆阵,故有()()r A r B n,==而()()r A r B =⇔,A B 等价⇔存在可逆阵P,Q 使得PAQ B.=(这里只需取1P A ,Q B,-==既有1PAQ A BA B -==成立),故应选(D).或者,因,A B 是同阶可逆阵,故,A B 均可以通过初等行变换化成单位阵,A E,B E,→→行变换行变换即存在初等阵1212s r P P ,P ,P ,W W ,W W ,==使得PA E,WB E ==,从而有PA E WB ==,得1PAWPAQ B -==()1W Q -=.故(D)成立.(5)【答案】(A)【解析】因X 和Y 相互独立, 而{}{}{}{}1111,1122P X P Y P X P Y =-==-=====,故有：{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y =-=-==-=-=⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y =-===-==⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y ==-===-=⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y ======⨯=；{}{}{}1111,11,1442P X Y P X Y P X Y ===-=-+===+=,故(A)正确,(B)错；{}{}{}11101,11,1442P X Y P X Y P X Y +===-=+=-==+=, 故(C)错；{}{}{}11111,11,1442P XY P X Y P X Y ===-=-+===+=, 故(D)错.三、(本题满分6分.)【分析】要证明0lim ()x Q x Q →=,只须证明0limln ()ln x Q x Q →=即可,因为()Q x 为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算. 【解析】因为1ln ()ln ln[(1)]x x Q x A K L x--=-+-δδ,而且 001ln[(1)]lim ln (1)ln lim (1)ln (1)ln ln(),x x x x x x x x K L xK K L L K L K L K L --→----→-+----=+-=---=-δδδδδδδδδδ所以, 110limln ()ln ln()ln()x Q x A K LAK L --→=+=δδδδ,于是, 10lim ()x Q x AK LQ -→==δδ.四、(本题满分5分.) 【解析】由题设有du f f dy f dz dx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂. (*) 在0xye y -=中,将y 视为x 的函数,两边对x 求导,得2()011xy xyxydy dy dy ye y e y x dx dx dx xe xy+-=⇒==--. (1) 在0ze xz -=中,将z 视为x 的函数,两边对x 求导,得0zz dz dz dz z z e z x dx dx dx e x xy x--=⇒==--. (2) 将(1)、(2)两式代入(*)式,得21du f y f z f dx x xy y xy x z∂∂∂=++∂-∂-∂. 【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分6分)【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系()x π,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出()x π后,满足0()0x π'=的0x 即为利润最大时的销售量,此时,0()x t 是t 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额()T tx t =,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t . 【解析】(1)设T 为总税额,则T tx =.商品销售总收入为2(70.2)70.2R px x x x x ==-=-.利润函数为 2270.2310.2(4)1R C T x x x tx x t x =--=----=-+--π.令()0x π'=,即0.440x t -+-=,得45(4)0.42t x t -==-. 由于()0.40x π''=-<,因此,5(4)2x t =-即为利润最大时的销售量. (2)将5(4)2x t =-代入T tx =,得5(4)2T t t =⋅-25102t t =-.由()1050T t t '=-=,得惟一驻点2t =；由于()50T t ''=-<,可见当2t =时T 有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分6分)【分析】当0x >时,()F x 显然连续,故只要证0lim ()(0)x F x F +→=,且当0x >时,()0F x ''≥即可.【解析】方法1：显然0x >时,()F x 连续,又由洛必达法则知()lim ()lim lim ()0(0)xn n x x x t f t dt F x x f x F x+++→→→====⎰, 所以()F x 在[0,)+∞上连续.当(0,)x ∈+∞时,11022()()()()(),0xn n n n x f x t f t dtx f x f xF x x x x ++--'==<<⎰ξξξ.由于()f x 单调不减,故()()f x f ξ≥,又n nx ξ>,从而()()nnx f x f ≥ξξ.于是有()()00F x x '≥<<+∞.故()F x 在[0,)+∞上单调不减.方法2：连续性证明同上.由于10222()()()()()[()()]0,xn n x xxn n n n x f x t f t dtF x xx f x dt t f t dtx f x t f t dtxx +-'=--==≥⎰⎰⎰⎰可见,()F x 在[0,)+∞上单调不减.【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于()F x '的不同处理方法.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.七、(本题满分6分)【分析】先作出草图,再求出曲线2y x =在任一点2(,)a a 上的切线方程及其与x 轴的交点,然后依此类推,得出一系列与x 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. 【解析】(1)由2y x =,得2y x '=.对于任意(01)a a <≤,抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22()y a a x a -=-.且该切线与x 轴的交点为(,0)2a,故由11OP =可见21322111,221111,22221.2n n OP OP OP OP OP -====⋅==(2)由于()22211124n n n nn Q P OP --⎛⎫===⎪⎝⎭,可见 11101144mn n n n n m Q P ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑. 利用几何级数求和公式1(1)1n n x x x∞==<-∑即得 1011414314mn n n m Q P ∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭-∑∑. 【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和.八、(本题满分6分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于2222220004()2()22t t x y t r r f dxdy d f rdr rf dr +≤==⎰⎰⎰⎰⎰πθπ,可得2240()2()2t t r f t erf dr =+⎰ππ.在积分中作换元2rs =,又有200()4()2t t r r f dr sf s ds =⎰⎰.于是,()f t 满足积分关系式240()8()tt f t sf s ds e =+⎰ππ.在上式中令0t =得(0)1f =.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t 求导,得24()8()8t f t tf t te '-=πππ.上述方程为关于()f t 的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得224()(4)t f t t C e =+ππ,其中常数C 待定.由(0)1f =可确定常数1C =,因此,224()(41)t f t t e =+ππ. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dx p x dx y e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.九、(本题满分6分)【解析】(1)由**AA A A A E ==及1*A A A -=,有()*10.0T T TT T T EA A PQ A A A A A A b A b A A b A ααααααααααα**-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有0T E P A A Aα*==-,()()2110TT A P Q PQ Ab A A b A ααααα--===--又因A 是非奇异矩阵,所以0A ≠,故()1T Q A b A αα-=-.由此可知Q 可逆的充要条件是0Q ≠,即10Tb A αα--≠,亦即1TA b αα-≠. 评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1TA αα-是1阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵,则*,*A O A AB BO B==⋅()*1*mnO A AA B BB O==-⋅.2.行列式乘积公式：设,A B 是两个n 阶矩阵,则乘积AB 的行列式等于A 和B 的行列式的乘积,即AB A B =.十、(本题满分10分)【解析】(1)设A 的属于3λ=的特征向量为[]3123Tx ,x ,x =α,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故1312323123020T Tx x x ,x x x .⎧=--+=⎪⎨=--=⎪⎩αααα 解上述方程组,设方程组的系数矩阵为111121B --⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦,对B 进行初等行变换：111111101121030010B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为1,解得 []101T,,,即A 的对应于3λ=的特征向量为[]3101Tk ,,,α=其中k 为非零常数.(2)方法1：令[]123111120111P ,,-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ααα,则有1100020003P AP ,-⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦即1A P P -=Λ,其中1P -计算如下：[][][]()[][][][][]()[][]()[][][]()211311312223131311211111001111001200100311101110010021011111103332211010011111030101022636001001111100222P E +⨯-+⨯⎛⎫⨯- ⎪+⨯-⎝⎭+⨯-+⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 122211216303P ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11111002221325111200201212102661110033035213A P P -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.方法2：因A 是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q (对P单位化),使1T QAQ Q AQ -==Λ,TA QQ =Λ,其中Q ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣. 10000200030132510210265210T A Q Q ⎡⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎡⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎢⎥-⎢⎥⎢==-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣3.⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦方法3：由于矩阵A 的特征值是1,2,3,特征向量依次为123,,ααα,利用分块矩阵有123123(,,)(,2,3)A =αααααα.因为123,,ααα是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵123(,,)ααα可逆.故11123123123111(,2,3)(,,)1401201231111232221325111401212102.661233035213A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααααα 【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出3α,另一个难点就是反求矩阵A .十一、(本题满分7分)【分析】求分布函数(){}F x P X x =≤实质上是求{}X x ≤的概率. 【解析】由X 的绝对值不大于1,可得当1x <-时,{}()0F x P X x =≤=；当1x ≥时,{}()1F x P X x =≤=；又11{1},{1}84P X P X =-===,则 115{11}1{1}{1}1848P x P X P X -<<=-=--==--=；由题意X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当X 的值属于(1,1)-的条件下,事件{}1X x -<≤的条件概率为：{}(1)11|111(1)2x x P X x X kk --+-<≤-<<==--(其中k 为比例正常数),又 {}11|111P X X -<<-<<=,而 {}1111|112P X X k k +-<<-<<==, 所以1k =,故{}11|112x P X x X +-<≤-<<=；当11x -<<时,{}{}{}1111X x X x X -<≤=-<≤-<<,所以{}{}11,11P X x P X x X -<≤=-<≤-<<.由条件概率公式,有{}{}{}11,111|11{11}1555,2816P X x P X x X P X x X P X x x -<≤=-<≤-<<=-<≤-<<-<<++=⨯= {}{}{}()11F x P X x P X P X x =≤=≤-+-<≤,而 {}{}{}11111088P X P X P X ≤-==-+<-=+=, 所以 {}{}{}15557()1181616x x F x P X x P X P X x ++=≤=≤-+-<≤=+=, 故所求的X 的分布函数为0,157(),11161,1x x F x x x <-⎧⎪+⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ .十二、(本题满分6分)【解析】已知X 在[0,60]上均匀分布,则其密度函数为：1,160,()600,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他.设Y 表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,55分钟起行,则当05X ≤≤时,游客需等候时间5Y X =-；当525X <≤时,游客需等候时间25Y X =-；当2555X <≤时,游客需等候时间55Y X =-；当5560X <≤时,游客需等候时间60565Y X X =-+=-(这个时间段到达,就需要等下个整点的第５分钟,所以是605X -+).故Y 是关于到达时刻X 的函数：5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -≤≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩由随机变量函数期望的定义,有525556005255511()()()()60601(5)(25)(55)(65)601(12.520045037.5)11.67.60EY g x f x dx g x dx g x dx x dx x dx x dx x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞===⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：若随机变量()Y g X =,且EY 存在,则有()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十三、(本题满分6分)【解析】设12X X 和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总时间为12T X X =+.由于每台无故障工作的时间都服从参数为５的指数分布,则12X X 和的概率密度函数为55,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩. 因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即12X X 和独立,应用两个独立随机变量之和的卷积公式：当0t >时,T 的概率密度为55()5120()()()2525tx t x t f t f x f t x dx e e dx te +∞-----∞=-==⎰⎰.当0t ≤时,()0f t =,即525,0,()0,0.t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩ 由指数分布的期望和方差的结论,有12115EX EX λ===,1221125DX DX λ===, 由期望的性质,有1212112()555ET E X X EX EX =+=+=+=,由独立随机变量方差的性质,有1212112()252525DT D X X DX DX =+=+=+=. 【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：若X 服从参数为λ的指数分布,则其期望1EX λ=,方差21DX λ=.2. X 与Y 相互独立,数学期望和方差的性质:()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.。

1997年考研数学试题详解及评分参考

（A）为正常数
（B）为负常数
（C）恒为零
（D）不为常数
【答】应选(A).
【解】因函数 e sin t s in t 是以 2p 为周期的周期函数，故
ò ò ò ò F (x) = x+2p esint sin tdt = 2p esint sin tdt = - 2p esint d cos t = 0 + 2p cos2 t esint dt > 0.
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题详解及评分参考
【解】由题意， f (x) 在 x 轴的上方、单调下降且是上凹的，
（如右图所示），设 S1 、S2 、S3 分别为图中所示区域的面积，显然有 S1 < S2 < S3 . 故选（B）.
ò (3) 设 F (x) = x + 2p e sin t s in td t ，则 F (x) x
(B) 连续, 偏导数不存在.
(C) 不连续, 偏导数存在.
(D) 不连续, 偏导数不存在.
【答】应选(C).
【解】
令y
= kx ，则 lim x®0 y =kx
xy x2 + y2
k = 1+ k2
，因 k 不同时， k 1+ k2
的值不同，
( ) 故极限 lim x®0 y®0
xy x2 + y2
……2 分
Ñò ò 于是 I = (z - y)dx + (x - z)dy + (x - y)dz = - 0 (2(sinq + cosq ) - 2cos 2q -1)dq
C
2p
=
-[2(- cosq

1997-2018年考研数学1真题

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线eθρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________. (5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x yx y ≠+=,在点(0,0)处 (A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令 1231(),()(),[()()](),2b a S f x dx S f b b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S << (B)213S S S << (C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线 1112223330,0,0a xb yc a x b y c a x b y c ++=++=++= (其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16 (C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),Ix y dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y z x ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰Ñ其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z 轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t=时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k>求().x t四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,x z zz x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分) 设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,()(1,2,),2n n na a a n a +==+=L 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量. 1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆. (2)求1.-AB九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+ 01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X L 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)0x →(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________. (3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰Ñ=_____________. (4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()xd tf x t dt dx -⎰= (A)2()xfx (B)2()xfx -(C)22()xf x(D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x=---不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy xα∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于 (A)2π(B)π(C)4e π(D)4e ππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy xy x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦L八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αA αA αL是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=L L ML的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b L L L L 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=L L ML的通解,并说明理由.设两个随机变量,X Y相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t 分布表{()()}p P t n t n p ≤=1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x x x x→-=_____________. (2)20sin()x d x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =U U 则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数 (C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设2 0()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos na f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n =L ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB(B)当m n >时,必有行列式||0=AB(C)当nm >时,必有行列式||0≠AB(D)当n m >时,必有行列式||0=AB(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P XY +≤=(B)1{1}2P XY +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dzdx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥-七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?(说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰设40tan :n na xdx π=⎰(1)求211()n n n a a n∞+=+∑的值. (2)试证:对任意的常数0,λ>级数1nn a nλ∞=∑收敛.十、(本题满分8分)设矩阵153,10a c b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值.十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,T B 为B 的转置矩阵,试证T B AB 为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X L 是取自总体X 的简单随机样本(1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________.(3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x >(B)()()()()f x g a f a g x > (C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a > (2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有(A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nnn un ∞=-∑ (B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示(B)向量组1,,m ββL可由向量组1,,m ααL 线性表示(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价(D)矩阵1(,,)m =AααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Yξ=+与 X Yη=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x xz f xy g y y=+,其中f具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydx Ix y -=+⎰Ñ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e0,xSxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰Ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nnnn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k>),求球体的重心位置.九、(本题满分6分) 设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,1010038⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x L 是X的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设e (sin cos )(,x y a x b x a b =+为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222z y x r++=,则(1,2,2)div(grad )r -= _____________.(3)交换二次积分的积分次序:⎰⎰--0112),(y dx y x f dy ＝_____________.(4)设24+-=AA E O ,则1(2)--A E = _____________.(5)()2D X =,则根据车贝晓夫不等式有估计≤≥-}2)({X E X P _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图形如右图所示,则)(x f y '=的图形为(A) (B)(C) (D)(2)设),(y x f 在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f 则(A)(0,0)|3dz dx dy =+ (B)曲面),(y x f z=在(0,0,(0,0))f 处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{1,0,3}(D)曲线 (,)z f x y y ==在(0,0,(0,0))f 处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(=f 则)(x f 在x =0处可导⇔(A)20(1cos )lim h f h h →-存在(B)0(1e )limh h f h→-存在 (C)2(sin )limh f h h h→-存在(D)hh f h f h )()2(lim-→存在(4)设1111400011110000,11110000111100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A B ,则A 与B (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X 和Y 相关系数为 (A) -1 (B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctan e e x xdx ⎰.四、(本题满分6分)设函数),(y x f z =在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(='='=y x f f f ,)),(,()(x x f x f x =ϕ,求13)(=x x dx dϕ.五、(本题满分8分)设()f x = 21arctan 010x x x x x +≠=,将)(x f 展开成x 的幂级数,并求∑∞=--1241)1(n n n的和.六、(本题满分7分) 计算222222()(2)(3)LIy z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰Ñ,其中L 是平面 2=++z y x 与柱面1=+y x 的交线,从Z 轴正向看去,L 为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(x f 在(1,1)-内具有二阶连续导数且0)(≠''x f .证明:(1)对于)1,0()0,1(Y -∈∀x ,存在惟一的)1,0()(∈x θ,使 )(x f =)0(f +))((x x f x θ'成立.(2)5.0)(lim 0=→x x θ.设有一高度为t t h )((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22t h y x t h z +-=(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分) 设12,,,s αααL为线性方程组=AX O 的一个基础解系,1112221223121,,,s s t t t t t t =+=+=+βααβααβααL ,其中21,t t 为实常数,试问21,t t 满足什么条件时12,,,s βββL也为=AX O 的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 和三维向量x ,使得2,,A A x x x 线性无关,且满足3232=-A A A x x x .(1)记2(,,),=PA A x x x 求B 使1-=A PBP .(2)计算行列式+A E .设某班车起点站上客人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<且中途下车与否相互独立.Y 为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 人下车的概率. (2)二维随机变量(,)X Y 的概率分布.十二、(本题满分7分) 设2~(,)XN μσ抽取简单随机样本122,,,(2),n X X X n ≥K样本均值∑==ni i X n X 2121,∑=+-+=ni i n i X X X Y 12)2(,求().E Y2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)⎰∞+exx dx2ln = _____________.(2)已知2e 610yxy x ++-=,则(0)y ''=_____________.(3)02='+''y y y 满足初始条件1(0)1,(0)2y y '==的特解是_____________. (4)已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则a =_____________.(5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程42=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质:①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在.则有:(A)②⇒③⇒① (B)③⇒②⇒① (C)③⇒④⇒①(D)③⇒①⇒④(2)设0≠nu ,且1lim=∞→nn u n ,则级数)11()1(11+++-∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(x f 在+R 上有界且可导,则(A)当0)(lim =+∞→x f x 时,必有0)(lim ='+∞→x f x(B)当)(lim x f x '+∞→存在时,必有0)(lim ='+∞→x f x(C) 当0)(lim 0=+→x f x 时,必有0)(lim 0='+→x f x(D) 当)(lim 0x f x '+→存在时,必有0)(lim 0='+→x f x .(4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X和)(y F Y ,则(A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数(C))(x F X ＋)(y F Y 必为某一随机变量的分布函数 (D) )(x F X )(y F Y 必为某一随机变量的分布函数.三、(本题满分6分)设函数)(x f 在0x =的某邻域具有一阶连续导数,且0)0()0(≠'f f ,当0→h 时,若)()0()2()(h o f h bf h af =-+,试求b a ,的值.四、(本题满分7分) 已知两曲线)(x f y =与2arctan 0e x t y dt-=⎰在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限)2(lim nnf n ∞→.五、(本题满分7分) 计算二重积分22max{,}e xy Ddxdy ⎰⎰,其中}10,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D .设函数)(x f 在R 上具有一阶连续导数,L 是上半平面(y >0)内的有向分段光滑曲线,起点为(b a ,),终点为(d c ,).记dy xy f y yxdx xy f y y I]1)([)](1[1222-++=⎰,(1)证明曲线积分I 与路径L 无关. (2)当cd ab =时,求I 的值.七、(本题满分7分)(1)验证函数∑∞==03)!3()(n n n x x y (+∞<<∞-x )满足微分方程e xy y y '''++=.(2)求幂级数∑∞==03)!3()(n nn x x y 的和函数.八、(本题满分7分)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy 面,其底部所占的区域为}75|),{(22≤-+=xy y x y x D ,小山的高度函数为),(y x h xy y x +--=2275.(1)设),(00y x M 为区域D 上一点,问),(y x h 在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为),(00y x g ,写出),(00y x g 的表达式.(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D 的边界线上找出使(1)中),(y x g 达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.已知四阶方阵1234(,,,)=A αααα,1234,,,αααα均为四维列向量,其中234,,ααα线性无关,1232=-ααα.若1234=+++βαααα,求线性方程组x =A β的通解.十、(本题满分8分) 设,A B 为同阶方阵,(1)若,A B 相似,证明,A B 的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立.(3)当,A B 为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.十一、(本题满分7分) 设维随机变量X 的概率密度为()f x =1cos 0220 xx x≤≤其它对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π的次数,求2Y 的数学期望.十二、(本题满分7分) 设总体X 的概率分布为其中θ(02θ<<)是未知参数,利用总体X 的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3.求θ的矩估计和最大似然估计值.2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1))1ln(12)(cos lim xx x +→ = .(2)曲面22y x z+=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . (3)设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a xn n ,则2a = .(4)从2R 的基1211,01⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αα到基1211,12⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββ的过渡矩阵为 . (5)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =60x01x y ≤≤≤其它,则=≤+}1{Y X P .(6)已知一批零件的长度X (单位:cm)服从正态分布)1,(μN ,从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注:标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设函数()f x 在),(+∞-∞内连续,其导函数的图形如图所示,则()f x 有(A)一个极小值点和两个极大值点 (B)两个极小值点和一个极大值点 (C)两个极小值点和两个极大值点 (D)三个极小值点和一个极大值点(2)设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列,且0lim =∞→nn a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A)n n b a <对任意n 成立(B)n n c b <对任意n 成立(C)极限n n n c a ∞→lim 不存在(D)极限n n n c b ∞→lim 不存在(3)已知函数(,)f x y 在点(0,0)的某个邻域内连续,且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ,则 (A)点(0,0)不是(,)f x y 的极值点(B)点(0,0)是(,)f x y 的极大值点(C)点(0,0)是(,)f x y 的极小值点(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点(4)设向量组I:12,,,r αααL 可由向量组II:12,,,s βββL 线性表示,则(A)当s r<时,向量组II 必线性相关(B)当s r>时,向量组II 必线性相关(C)当s r <时,向量组I 必线性相关(D)当s r >时,向量组I 必线性相关(5)设有齐次线性方程组0x =A 和0x =B ,其中,A B 均为n m ⨯矩阵,现有4个命题: ① 若0x =A 的解均是0x =B 的解,则秩()≥A 秩()B ② 若秩()≥A 秩()B ,则0x =A 的解均是0x =B 的解 ③ 若0x =A 与0x =B 同解,则秩()=A 秩()B ④ 若秩()=A 秩()B , 则0x =A 与0x =B 同解以上命题中正确的是 (A)①② (B)①③(C)②④(D)③④(6)设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>,则(A)2~()Y n χ(B)2~(1)Y n χ-(C)~(,1)Y F n(D)~(1,)YF n三、(本题满分10分) 过坐标原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D .(1)求D 的面积A . (2)求D 绕直线e x =旋转一周所得旋转体的体积V.四、(本题满分12分) 将函数x xx f 2121arctan)(+-=展开成x 的幂级数,并求级数∑∞=+-012)1(n n n 的和.五、(本题满分10分) 已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界.试证:(1)sin sin sin sin ee e e yx y x LLx dy y dx x dy y dx ---=-⎰⎰蜒.(2)sin sin 2e e 2.y x Lx dy y dx π--≥⎰Ñ六、(本题满分10分)某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为.0k k>).汽锤第一次击打将桩打进地下a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数(01)r r <<.问(1)汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.)七、(本题满分12分) 设函数()y y x =在),(+∞-∞内具有二阶导数,且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1)试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dy x d 变换为()y y x =满足的微分方程.(2)求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.八、(本题满分12分) 设函数()f x 连续且恒大于零,⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ,⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ,其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω,}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1)讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性. (2)证明当0t >时,).(2)(t G t F π>九、(本题满分10分)设矩阵322232223⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,010101001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ,1*-=B P A P ,求2+B E 的特征值与特征向量,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 为3阶单位矩阵.十、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ,:2l 032=++a cy bx ,:3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++cb a十一、(本题满分10分)已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(本题满分8分) 设总体X 的概率密度为()f x =2()2e 0x θ-- 0x x θ>≤其中>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本nX X X ,,,21Λ,记).,,,min(ˆ21n X X X Λ=θ(1)求总体X 的分布函数()F x .(2)求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ. (3)如果用θˆ作为θ的估计量,讨论它是否具有无偏性.2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线ln y x =上与直线1=+y x 垂直的切线方程为__________ .(2)已知(e )e x x f x -'=,且(1)0f =,则()f x =__________ .(3)设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分,则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为__________.(4)欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dxy d x 的通解为__________ . (5)设矩阵210120001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ,矩阵B 满足**2=+ABA BA E ,其中*A 为A 的伴随矩阵,E 是单位矩阵,则B=__________ .(6)设随机变量X 服从参数为λ的指数分布,则}{DX X P >= __________ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把+→0x时的无穷小量dt t dt t dt t xx x⎰⎰⎰===03002sin ,tan ,cos 2γβα,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)γβα,, (B)βγα,, (C)γαβ,,(D)αγβ,,(8)设函数()f x 连续,且,0)0(>'f 则存在0>δ,使得(A)()f x 在(0,)δ内单调增加 (B)()f x 在)0,(δ-内单调减少(C)对任意的),0(δ∈x 有()(0)f x f > (D)对任意的)0,(δ-∈x 有()(0)f x f >(9)设∑∞=1n na为正项级数,下列结论中正确的是(A)若n n na ∞→lim =0,则级数∑∞=1n na收敛(B)若存在非零常数λ,使得λ=∞→nn na lim ,则级数∑∞=1n na 发散(C)若级数∑∞=1n na收敛,则0lim 2=∞→n n a n(D)若级数∑∞=1n na发散, 则存在非零常数λ,使得λ=∞→nn na lim(10)设()f x 为连续函数,⎰⎰=ttydx x f dy t F 1)()(,则)2(F '等于(A)2(2)f(B)(2)f(C)(2)f -(D) 0(11)设A 是3阶方阵,将A 的第1列与第2列交换得B ,再把B 的第2列加到第3列得C ,则满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110 (12)设,A B 为满足=ABO 的任意两个非零矩阵,则必有(A)A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (B)A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 (C)A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 (D)A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关(13)设随机变量X 服从正态分布(0,1),N 对给定的)10(<<αα,数αu 满足αα=>}{u X P ,若α=<}{x X P ,则x 等于(A)2αu(B)21α-u(C)21α-u(D)α-1u(14)设随机变量)1(,,,21>n X X X n Λ独立同分布,且其方差为.02>σ 令∑==ni iX n Y 11,则(A)21Cov(,)X Y nσ=(B)21Cov(,)X Y σ=(C)212)(σnn Y X D +=+(D)211)(σnn Y X D +=-三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分) 设2e e a b <<<,证明2224ln ln ()eb a b a ->-.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).100.66⨯=k问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg 表示千克,km/h 表示千米/小时)(17)(本题满分12分) 计算曲面积分,)1(322233dxdy z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-++=其中∑是曲面)0(122≥--=z y x z 的上侧.(18)(本题满分11分) 设有方程10n x nx +-=,其中n 为正整数.证明此方程存在惟一正实根n x ,并证明当1α>时,级数1n n x α∞=∑收敛.(19)(本题满分12分) 设(,)z z x y =是由2226102180x xy y yz z -+--+=确定的函数,求(,)z z x y =的极值点和极值.(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组。

1997年考研数学一真题及答案

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1) 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+=++ . (2) 设幂级数nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为 .(3) 对数螺线e θρ=在点2(,)(,)2e ππρθ=处的切线的直角坐标方程为 .(4) 设12243311A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,B为三阶非零矩阵,且0AB =,则t = .(5) 袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 二元函数22, (,)(0,0),(,)0, (,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 ( ) (A) 连续,偏导数存在 (B) 连续,偏导数不存在 (C) 不连续,偏导数存在 (D) 不连续,偏导数不存在 (2) 设在区间[,]a b 上()0,()0,()0,f x f x f x '''><>令12(),()()baS f x dx S f b b a ==-⎰,31[()()]()2S f a f b b a =+-,则 ( )(A) 123S S S << (B) 213S S S << (C) 312S S S << (D) 231S S S << (3) 2sin ()sin ,x t xF x e tdt π+=⎰设则()F x ( )(A) 为正常数 (B) 为负常数 (C) 恒为零 (D) 不为常数(4) 设111122232333,,,a b c a b c a b c ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦则三条直线1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=, 3330a x b y c ++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是 ( )(A) 123,,ααα线性相关 (B) 123,,ααα线性无关(C) 秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα (D) 123,,ααα线性相关,12,αα线性无关(5) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是( )(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.)(1) 计算22(),I x y dV Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周形成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2) 计算曲线积分()()()Cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰,其中C 是曲线221,2,x y x y z ⎧+=⎨-+=⎩从z轴正向往z 轴负向看,C 的方向是顺时针的.(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ,在0t =时刻已掌握新技术的人数为0x ,在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()x t (将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求()x t .四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分.)(1) 设直线0,:30x y b L x ay z ++=⎧⎨+--=⎩在平面∏上,且平面∏与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5)-,求,a b 之值.(2) 设函数()f u 具有二阶连续导数,而(sin )xz f e y =满足方程22222xz z e z x y∂∂+=∂∂,求()f u .五、(本题满分6分)设()f x 连续,1()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()limx f x A x→=(A 为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11112,(),1,2,...,2n n na a a n a +==+=证明： (1) lim n n a →∞存在；(2) 级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分.)(1) 设B 是秩为2的54⨯矩阵,123(1,1,2,3),(1,1,4,1),(5,1,8,9)T T Tααα==--=--是齐次线性方程组0Bx =的解向量,求0Bx =的解空间的一个标准正交基.(2) 已知111ξ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量.(Ⅰ) 试确定参数,a b 及特征向量ξ所对应的特征值； (Ⅱ) 问A 能否相似于对角阵？说明理由.八、(本题满分5分)设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B . (1) 证明B 可逆； (2) 求1AB -.九、(本题满分7分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25.设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为(1), 01,()0, x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中1θ>-是未知参数.12,,,n x x x 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量.参考答案一、 (1)【答案】32【分析】这是00型极限.注意两个特殊极限00sin ln(1)lim 1,lim 1x x x x x x→→+==.【解析】将原式的分子、分母同除以x ,得2001sin 13sin cos 3cos3limlim .ln(1)(1cos )ln(1)2(1cos )x x x x x x x x x x x x x x→→++==++++ (2)【答案】(2,4)-【解析】考察这两个幂级数的关系.令1t x =-,则()1212111n n n nnnn n n na ttna tta t ∞∞∞+-==='==∑∑∑.由于逐项求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径,1nn n a t∞=∑的收敛半径为3⇒()1nn n a t ∞='∑的收敛半径为3.从而()2111n n n n n n t a t na t ∞∞+=='=∑∑的收敛半径为3,收敛区间即(-3,3),回到原幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑,它的收敛区间为313x -<-<,即(2,4)-.(3)【答案】2x y e π+=【解析】求切线方程的主要问题是求其斜率x k y '=,而x y '可由e θρ=的参数方程cos cos ,sin sin x e y e θθρθθρθθ⎧==⎪⎨==⎪⎩ 求得： 2sin cos sin cos ,1cos sin cos sin x x y e e y y x e e θθθπθθθθθθθθθθθθ='++''====-'--, 所以切线的方程为2(0)y e x π-=--,即2x y e π+=. (4)【答案】3t =-【解析】由0AB =,对B 按列分块,设[]123,,B βββ=,则[][][]123123,,,,0,0,0AB A A A A ββββββ===,即123,,βββ是齐次方程组0Ax =的解.又因B O ≠,故0Ax =有非零解,那么()1221024343373031131A tt t --==+=+=-, 由此可得3t =-. (5)【答案】25【解析】方法1：利用全概率公式.求第二人取得黄球的概率,一般理解为这事件与第一人取得的是什么球有关.这就要用全概率公式.全概率公式首先需要一个完全事件组,这就涉及到设事件的问题.设事件i A =“第i 个人取得黄球”,1,2i =,则完全事件组为11,A A (分别表示第一个人取得黄球和第一个人取得白球).根据题设条件可知{}1202505P A ===黄球的个数球的总数；{}1303505P A ===白球的个数球的总数；{}2120119|50149P A A -==-(第一个人取得黄球的条件下,黄球个数变成20119-=,球的总数变成50149-=,第二个人取得黄球的概率就为1949)；{}2120|49P A A =(第一个人取得白球的条件下,黄球个数亦为20,球的总数变成50-1=49,第二个人取得黄球的概率就为2049).故应用全概率公式{}{}{}{}{}21211212193202||5495495P A P A P A A P A P A A =+=⋅+⋅=.方法二：利用“抽签原理”.只考虑第二个人取得的球,这50个球中每一个都会等可能地被第二个人取到.犹如几个人抽奖,其中只有一张彩票有奖,那么这几个人先抽与后抽,抽到有奖彩票的概率是一样的,这就是我们抽奖的公平性,此题中取到黄球的可能有20个,所以第二个人取到黄球的概率为202505=. 二、(1)【答案】(C)【解析】这是讨论(,)f x y 在(0,0)点是否连续,是否存在偏导数的问题.按定义00(0,0)(0,0)(,0),(0,)x y f d f df x f y x dx y dy ==∂∂==∂∂, 由于 (,0)0(),(0,)0()f x x f y y =∀=∀,⇒∃偏导数且(0,0)(0,0)0,0f f x y∂∂==∂∂. 再看(,)f x y 在(0,0)是否连续？由于Ca bEDxyOAB222(,)(0,0)01lim(,)lim (0,0)2x y x y xx f x y f x x →→===≠+,因此(,)f x y 在(0,0)不连续.应选(C).(2)【答案】(B)【解析】方法1：用几何意义.由()0,()0,()0f x f x f x '''><>可知,曲线()y f x =是上半平面的一段下降的凹弧,()y f x =的图形大致如右图.1()baS f x dx =⎰是曲边梯形ABCD 的面积；2()()S f b b a =-是矩形ABCE 的面积；31[()()]()2S f a f b b a =+-是梯形ABCD 的面积.由图可见213S S S <<,应选(B).方法2：观察法.因为是要选择对任何满足条件的()f x 都成立的结果,故可以取满足条件的特定的()f x 来观察结果是什么.例如取21(),[1,2]f x x x=∈,则 2123213211115,,248S dx S S S S S x ====⇒<<⎰.(3)【答案】(A) 【解析】由于函数sin sin tet 是以2π为周期的函数,所以, 22sin sin 0()sin sin x t t xF x e tdt e tdt +==⎰⎰ππ,()F x 的值与x 无关.不选D,(周期函数在一个周期的积分与起点无关).估计2sin 0sin t e tdt ⎰π的值有多种方法.方法1：划分sin sin te t 取值正、负的区间.22sin sin sin 0sin sin 0sin sin 0()sin sin sin sin (sin )()sin t t t t u t t F x e tdt e tdt e tdte tdt e u due e tdt--==+=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππππ当0t π<<时,sin 0t >,sin sin 0,tt e e -->所以()0F x >.选(A).方法2：用分部积分法.22sin sin 022sin sin 00220sin 2sin 20()sin cos cos cos (11)cos cos 0.t t ttt t F x e tdt e d tettde e et dt e t dt ==-=-+=--+=>⎰⎰⎰⎰⎰ππππππ故应选(A). (4)【答案】(D)【解析】方法1：三条直线交于一点的充要条件是方程组111111222222333333000a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c a x b y c++=+=-⎧⎧⎪⎪++=⇒+=-⎨⎨⎪⎪++=+=-⎩⎩ 有唯一解.将上述方程组写成矩阵形式：32A X b ⨯=,其中112233a b A a b a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦是其系数矩阵,123c b c c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.则AX b =有唯一解⇔[]()2r A r A b ==(方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等且等于未知量的个数),即A 的列向量组12,αα线性相关.所以应选(D). 方法2：用排除法.(A)123,,ααα线性相关,当123ααα==时,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数,则①式有无穷多解,根据解的个数与直线的位置关系.所以三条直线重合,相交有无穷多点,(A)不成立.(B)123,,ααα线性无关,3α不能由12,αα线性表出,方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等,方程组无解,根据解得个数与直线的位置关系,所以一个交点也没有,(B)不成立.(C)秩123(,,)r ααα=秩12(,)r αα,当123(,,)r ααα=12(,)1r αα=时,三条直线重合,不只交于一点,与题设条件矛盾,故(C)不成立.由排除法知选(D). (5)【答案】(D)【解析】因X 与Y 独立,故3X 和2Y 也相互独立.由方差的性质,有(32)(3)(2)9()4()44D X Y D X D Y D X D Y -=+-=+=.三、(1)【分析】三重积分的计算有三种方法：直角坐标中的计算,柱面坐标中的计算,球面坐标中的计算,其中柱面坐标中又可分先z 后(,)r θ,或先(,)r θ后z 两种方法.本题的区域Ω为绕z 轴旋转的旋转体,用柱面坐标先(,)r θ后z 方便.【解析】方法1：采用柱面坐标,先(,)r θ后z ,为此,作平面z z =.{}22(,,)|2,,z D x y z x y z z z =+≤=82220()zD I x y dv dz r rdrd θΩ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰(将直角坐标化为柱面坐标)82301024.3dz d dr ππθ==⎰⎰ 方法2：将Ω投影到xOy 平面,得圆域{}22(,)|16,D x y x y =+≤用柱面坐标先z 后(,)r θ,有22248422330021024()2(8).23r r I x y dv d dr r dz r dr ππθπΩ=+==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)【解析】方法1：写出C 的参数方程,然后用曲线积分化为定积分的公式.由平面上圆的参数方程易写出C 的参数方程为：()cos ,()sin ,()2cos sin x x t t y y t t z z t t t ======-+,其中2z x y =-+.由C 的方向知,C 在Oxy 平面上的投影曲线相应地也是顺时针的,于是t 从π2到0. 在把参数方程代入被积表达式之前,先用C 的方程将被积表达式化简,有222022220()()()(2)()(2)(2())()[cos (2cos sin )]cos (2())()0[2cos sin cos 2cos ]02cos 2.C CI z y dx x z dy x y dzx dx x z dy z dzx t dx t t t t tdt z t dz t t t t t dt tdt ππππππ=-+-+-=-+-+-=-+--++-=+--+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法2：用斯托克斯公式来计算.记S 为平面2x y z -+=上C 所围有限部分,由L 的定向,按右手法则S 取下侧.原积分2SS dydzdzdx dxdy dxdy x y z z yx zx y∂∂∂==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰. S 在xy 平面上的投影区域xy D 为221x y +≤.将第二类曲面积分化为二重积分得原积分22xyD dxdy π=-=-⎰⎰.这里因S 取下侧,故公式取负号.(3)【解析】已掌握新技术人数()x t 的变化率,即dxdt,由题意可立即建立初值问题 0(),(0).dxkx N x dtx x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 把方程分离变量得,()dx kdt x N x =-111()dx kdt N x N x+=-.积分可得 11ln xkt c N N x=+-,1kNt kNt cNe x ce =+. 以0(0)x x =代入确定00x c N x =-,故所求函数为000.kNtkNtNx e x N x x e =-+四、(1)【分析】求出曲面22:0S x y z +-=在点0(1,2,5)M -(位于S 上)处的切平面方程,再写出L 的参数方程,L 上的点的坐标应满足切平面方程,由此定出参数a 与b . 【解析】曲面S 在点0M 的法向量{2,2,1}{2,4,1}M n x y =-=--.切平面∏的方程是2(1)4(2)(5)0x y z --+--=,即 2450x y z ---=.将直线L 的方程改写成参数方程,(1) 3.y x b z a x ab =--⎧⎨=---⎩将它代入平面∏方程得24()(1)350x x b a x ab -----++-=,即(5)420a x b ab +++-=.解得5,2a b =-=-.(2)【分析】(sin )xz f e y =是由一元函数()z f u =与二元函数sin xu e y =复合而成的二元函数,它满足方程22222xz z e z x y∂∂+=∂∂. (*) 为了求()f u ,我们将用复合函数求导法,导出z x ∂∂,z y ∂∂,22z x ∂∂,22zy ∂∂与(),()f u f u '''的关系,然后由(*)式导出()f u 满足的常微分方程,从而求出()f u . 【解析】先用复合函数求导法导出22222222()()sin ,()()cos ,()sin ()sin ,()cos ()sin .x x x x x xz u z u f u f u e y f u f u e y x x y y z z f u e y f u e y f u e y f u e y xy∂∂∂∂''''====∂∂∂∂∂∂''''''=+=-∂∂将后两式代入(*)得 222222()()x xz z f u e e f u x y∂∂''+==∂∂,即 ()()0f u f u ''-=. 这是二阶线性常系数齐次方程,相应的特征方程210λ-=的特征根为1λ=±,因此求得12()u u f u C e C e -=+,其中1C 、2C 为任意常数.五、(本题满分6分)【分析】通过变换将()x ϕ化为积分上限函数的形式,此时0x ≠,但根据0()limx f x A x→=,知 (0)0f =,从而1(0)(0)0f dt ϕ==⎰,由此,利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定()x ϕ'在0x =处的连续性. 【解析】由题设0()limx f x A x→=知,(0)0,(0),f f A '==且有(0)0ϕ=.又 10()()()(0),xf u du x f xt dtu xtx xϕ==≠⎰⎰于是 02()()()(0),xxf x f u dux x xϕ-'=≠⎰由导数定义,有0200()()(0)()(0)limlimlim22xx x x f u du x f x Axx x ϕϕϕ→→→-'====⎰. 而 022000()()()()lim ()limlim lim x xx x x x xf x f u duf u du f x x x x xϕ→→→→-'==-⎰⎰ (0)22A AA ϕ'=-==, 从而知()x ϕ'在0x =处连续.六、【解析】(1)先证n a 单调有界.显然0(1,2,)n a n >=,由初等不等式：对∀非负数,x y必有x y +≥,易知 1111()21(1,2,)22n n n a a n a +=+≥⋅==.再考察121111(1)(1)1221n n n a a a +=+≤+=. 因此,n a 单调下降且有界,存在极限lim n n a →+∞. (2)方法1：由n a 单调下降11110n n n n n a a a a a +++-⇒-=≥. ⇒原级数是正项级数.现适当放大,注意1n a ≥,得111101.n n n n n n n a a a a a a a ++++-≤-=≤- 11()nn n aa ∞+=-∑的部分和1111()n k k n k S a a a a ∞++==-=-∑,11lim lim n n n n S a a +→+∞→+∞⇒=-存在,可见级数11()n n n a a ∞+=-∑收敛.由比较判别法知,级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛. 方法2：令11nn n a b a +=-,利用递推公式,有 221221111lim lim 0141n n n n n n n n b a a b a a ρ+→∞→∞++-==⋅⋅=<+, 由比值判别法知级数111n n n a a ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑也收敛.七、【分析】要求0Bx =的解空间的一个标准基,首先必须确定此解空间的维数以及相应个数的线性无关的解.【解析】(1)因秩()2r B =,故解空间的维数()422n r B -=-=,又因12,αα线性无关,12,αα是方程组0Bx =的解,由解空间的基的定义,12,αα是解空间的基.用施密特正交化方法先将其正交化,令：[][][][]1121221111,1,2,3,(,)521,1,4,11,1,2,32,1,5,3.(,)153TT T T βααββαβββ===-=---=--将其单位化,有]]1212121,1,2,3,2,1,5,3T T ββηηββ====--, 即为所求的一个标准正交基.(2)(I)设ξ是矩阵A 的属于特征值0λ的特征向量,即0,A ξλξ=021*******,1211a b λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦即 0002125312a b λλλ--=⎧⎪+-=⎨⎪-++=-⎩0130,a ,b λ⇒=-=-=. (II)将(1)解得的30a ,b =-=代入矩阵A ,得212533102A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 其特征方程为3212533(1)0,102E A λλλλλ---=-+-=+=+知矩阵A 的特征值为1231λλλ===-.由于 312()5232101r E A r --⎡⎤⎢⎥--=--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 从而1λ=-只有一个线性无关的特征向量,故A 不能相似对角化.八、【解析】由于ij B E A =,其中ij E 是初等矩阵10111ij i E j ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)因为A 可逆,0A ≠,故0ij ij B E A E A A ==⋅=-≠,所以B 可逆.(2)由ij B E A =,知11111().ij ij ij ij AB A E A AA E E E -----====九、【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验,每次试验的结果只有两个(要么成功,要么失败),每次试验成功的概率都为p ,随机变量X 表示n 次试验成功的次数,则~(,)X B n p .这道题中经过三个交通岗,在各个交通岗遇到红灯的事件是独立的,概率都为25,相当于做了3次独立重复试验,试验的结果只有两个(要么遇到红灯(成功),要么不遇到(失败)),每次成功的概率都为25,X 表示遇到红灯的次数,相当于做了3次试验成功的次数,故2~(3,)5X B .【解析】由题意知：2~(3,)5X B ,由二项分布的分布律的定义,有{}33(1),0,1,2,3.k kk p X k C p p k -==-=再由离散型随机变量分布函数的定义,有()kk xF x p≤=∑,(1)当0x <时,()0kk xF x p≤==∑；(2)当01x ≤<,{}300300322327()0()(1)555125k k xF x p p P X C -≤⎛⎫=====-==⎪⎝⎭∑； (3)当12x ≤<,{}{}1131013272281()01()(1)12555125k k xF x p p p P X P X C -≤==+==+==+-=∑； (4)当23x ≤<, {}{}{}012()012kk xF x pp p p P X P X P X ≤==++==+=+=∑223238122117()(1)12555125C -=+-=； (5)当3x ≥时{}{}{}{}0123()01231k k xF x p p p p p P X P X P X P X ≤==+++==+=+=+==∑.因此X 的分布函数为：0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 2~(3,)5X B 的数学期望为26355EX np ==⋅=.十、【分析】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩,此题中被估参数只有一个,故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)；最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数. 【解析】(1)矩估计由期望的定义：1110()()(1)(1)E X xf x dx x x dx x dx θθθθ+∞+-∞==+=+⎰⎰⎰1211001(1)(1)22x x dx θθθθθθθ+++=+=+=++⎰.样本均值11n i i X X n ==∑,用样本均值估计期望有EX X =,即12X θθ+=+,解得未知参数θ的矩估计量为：^21.1X Xθ-=- (2)最大似然估计设 12,,...,n x x x 是相应于样本12,,...,n X X X 的样本值,则样本的似然函数为：1(1)01(1,2,,)0 .n n ii i x x i n L θθ=⎧+<<=⎪=⎨⎪⎩∏其他当01i x <<时,10ni i x θ=>∏,又1θ>-,故10θ+>,即()10nθ+>.所以()0L θ>.111ln ln (1)ln(1)ln ln(1)ln n n nn i i i i i i L x n x n x θθθθθθ===⎡⎤=+=++=++⎢⎥⎣⎦∑∑∏.(由于ln L 是单调递增函数,L 取最大与ln L 取最大取到的θ是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便)1ln ln 1ni i d L nx d θθ==++∑. 令1ln ln 01n i i d L nx d θθ==+=+∑, 解得θ的最大似然估计值为^11ln nii nxθ==--∑,从而得θ的最大似然估计量为：^11ln nii nXθ==--∑.。

历年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

【答案】（D）
【考点】初等函数的连续性
【难易度】★
【详解】
解析：因为，又，
所以，当时，，即在点处连续，当时，，即是的第一类间断点，因此，在点处的连续性
与的取值有关，故选（D）．
（9）设，则（）
（A）是的极值点，但不是曲线的拐点．
（B）不是的极值点，但是曲线的拐点．
【详解】
解析：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，，于是
即有，可见根据定义有，故应选（C）.
三、解答题（本题共9小题，满分94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（15）（共题满分8分）
方法3：与等价，经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：（1）中某两行（列）互换得，则 .
（2）中某行（列）乘得，则 .
（3）中某行倍加到另一行得，则 .
故当时，，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但，则，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若，若 .故应选（D）.
（C）是的极值点，且是曲线的拐点．
（D）不是的极值点，也不是曲线的拐点．
【答案】（C）
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】
解析：方法1：的图形是一条抛物线，
的图形如图.点是极小值点；
又在点左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，
所以点是拐点，选 .
方法2：写出的分段表达式： ,
.但在上 .
方法2：证明（A）、（B）、（C）正确.
由已知在上连续，且，则由介值定理，
至少存在一点，使得；

北京大学 1997 年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答

北京大学1997年全国硕士研究生招生考试数学分析试题及解答微信公众号：数学十五少2019.05.21一、(10分)将函数f(x)=arctan2x1−x2在x=0点展开为幂级数,并指出收敛区间.二、(10分)判断广义积分的收敛性:∫+∞0ln(1+x)x pd x.三、(15分)设f(x)在(−∞,+∞)上有任意阶导数f(n)(x),且对任意有限闭区间[a,b],f(n)(x)在[a,b]上一致收敛于ϕ(x)(n→+∞),求证:ϕ(x)=c e x,c为常数.四、(15分)设xn >0(n=1,2,…)及limn→+∞x n=a,用ε−N语言证明:limn→+∞√x n=√a.五、(15分)求第二型曲面积分∯S(x d y d z+cos y d z d x+d x d y),其中S为x2+y2+z2=1的外侧.六、(20分)设x=f(u,v),y=g(u,v),w=w(x,y)有二阶连续偏导数,满足ðfðu=ðgðv,ðfðv=−ðgðu,ð2wðx2+ð2wðy2=0,证明:(1)ð2(fg)ðu2+ð2(fg)ðv2=0,(2)w(u,v)=w(f(u,v),g(u,v))满足ð2wðu2+ð2wðv2=0.七、(15分)计算三重积分∭Ω∶x2+y2+z2≤2z(x2+y2+z2)5/2d x d y d z.一、f(x)=2∞∑n=0(−1)n2n+1x2n+1(|x|<1).详细过程见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第241页例5.二、当1<p<2时,原广义积分收敛.详细过程见林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第203页例3的(1).三、此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第235页练习题4.2.16.证明过程可参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第538页练习题5.2.28.四、因为limn→+∞x n=a,故有∀ε>0,∃N>0,当n>N时,|x n−a|<√aε.于是∣√x n−√a∣=|x n−a|√x n+√a<|x n−a|√a<ε.五、先由对称性知:所求的积分I=∯S x d y d z,再用Gauss公式得I=∭Vd x d y d z=4π3.六、此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第283页练习题5.2.23.证明过程可参考裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第670页练习题6.2.12.七、通过做极坐标变换可以算出结果为64π9.此题为林源渠、方企勤编的《数学分析解题指南》第336页练习题5.2.9的(2).。

1997考研数三真题解析

1 0
f
( x)dx
=
A
,则
f
(x)
=
1 1+ x2
+
A
1− x2
,两边从 0 到 1 作定积分得
A =A
1− x2 dx = arctan x 1 + A = + A ,
0 1+ x2
0
04 44
解得 A = . 4−
【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分 1 1− x2 dx 表示单位圆 0
【解析】由 X1, , X 9 是来自总体 X 的简单随机样本,故 X1, , X 9 独立,且都服从正态
分布 N (0, 32 ) .类似有Y1, ,Y9 相互独立,且都服从正态分布 N (0, 32 ) .
又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即
X = X1 + + X9 ~ N(, 2) .
dy = 1 f (ln x) e f (x)dx + f (ln x) e f (x) f ( x) dx
x
= e f (x)[1 f (ln x) + f ( x) f (ln x)]dx.
x
(2)【答案】 4−
1
【分析】本题中 f (x)dx 是个常数,只要定出这个数问题就解决了. 0
【解析】令
y = ( At + B)2t ,
代入方程得 (At + 2A + B)2t = t2t , t = 0,1, 2, . 由于 2t 0 ,于是
At + 2A + B = t , t = 0,1, 2, . 可确定 A = 1, B = −2 ,即非齐次差分方程有一个特解是 y = (t − 2)2t . 从而,差分方程的通解是 yt = C + (t − 2)2t . (4)【答案】 − 2 t 2

考研数学历年真题(1987-1997)年数学一-新修正版

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y = 22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处（）(A)连续,偏导数存在 (B)连续,偏导数不存在 (C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则（）(A)123S S S << (B)213S S S << (C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x （）(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:（）(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是（）(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I x y dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰其中c 是曲线 2212x y x y z +=-+=从z 轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,x z zz x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,()(1,2,),2n n na a a n a +==+=证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]T T T ==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+ 01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于（）(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则（） (A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点 (3)设0(1,2,),n a n >=且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )n n n n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),x f f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于（） (A)1(B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式1122334400000a b a b a b b a 的值等于（） (A)12341234a a a a b b b b - (B)12341234a a a a b b b b + (C)12123434()()a a b b a a b b --(D)23231414()()a a b b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +==试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x yv x ay =-=+可把方程2222260z z zx x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,z u v ∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分)求级数211(1)2nn n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.（1）写出)(x f 在点c x =处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（2）证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,T A =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明 (1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ (2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2, (1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ=== 又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)(2)求随机变量X 的数学期望().E X1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos xd x t dt dx ⎰= _____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn nx ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________. (5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L （） (A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是 (A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>-> (C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（） (A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数（） (A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010101,100001010,,2133313231232122211311121332313322212312111P P a a a a a a a a a a a a B a a a a a a a a a A 则必有（） (A)12AP P =B(B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx(2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分⎰⎰∑zdS 其中∑为锥面z =222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分) 设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''='' 八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x = e 0x - 0x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xx u y -=则2ux y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设βαTA =其中T α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有 (A)N P M <<(B)M P N << (C)N M P <<(D)P M N <<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的（） (A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)n n ∞=-∑（）(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)设2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e -→+-=-+-其中220,a c +≠则必有（）(A)4b d = (B)4b d =-(C)4a c =(D)4a c =-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组（） (A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关 (C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu==-⎰,求dydx 、22d y dx 在t =. (2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求⎰+x x dxsin 22sin .四、(本题满分6分)计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim 0,x f x x →=证明级数11()n f n ∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与点B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积. 八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵T A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________. (2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）已知随机变量),(Y X 服从二维正态分布，并且Y X 和分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X Y Z =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ (3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线 223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的（）(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小 (C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为（）(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为（） (A)6π(B)4π (C)3π (D)2π (4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于（）(A)e e 2x x--(B)e e 2x x --(C)e e 12x x-+- (D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则（） (A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰其中∑是由曲面z =z =.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点. (2)设,b a e >>证明.b a a b > 七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX(2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu =_____________.(3)设()f x =211x-+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限（） (A)等于2 (B)等于0(C)为∞ (D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos )(nn an∞=--∑常数0)a >（）(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线（） (A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f存在的最高阶数n 为（）(A)0 (B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为（）(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)设()f x = 21ex x -+ 00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分=I 323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问: (1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论. (2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论. 九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=⎰.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)曲线221e 1ex x y --+=-（）(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于（） (A)e ln 2x (B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于（）(A)3(B)7 (C)8 (D)9(4)设D 是平面xOy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于（）(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰(B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有（） (A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E (D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求20).x π+→(2)设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线 220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β (1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________. (2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+ (1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x = 10 11x x ≤>,则[()]f f x =_____________.则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求) (1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于（）(A)e(e )()xx f f x ---- (B)e (e )()x x f f x ---+ (C)e (e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n fx 是（）(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=-∑（） (A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim 2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x （）(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是（）(A)1211212()2k k -+++ββααα (B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数0(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'> 七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________. (2)设随机事件A 、B 及其和事件B A 的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim2h f h f h→--= _____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lxy ds +⎰=_____________.(4)向量场k z x j ye i xy z y x u z)1ln(),,(22++==在点(1,1,0)P 处的散度div u =_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字(1)当0x >时,曲线1siny x x=（） (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,又有铅直渐近线(D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线(2)已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点P 的坐标是（） (A)(1,1,2)-(B)(1,1,2)-(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)--(3)设线性无关的函数321,,y y y 都是二阶非齐次线性方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的解，21,c c 是任意常数,则该非齐次方程的通解是（） (A)11223c y c y y ++(B)1122123()c y c y c c y +-+(C)1122123(1)c y c y c c y +---(D)1122123(1)c y c y c c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中12()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰则1()2S -等于（）(A)12- (B)14-(C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中（） (A)必有一列元素全为0(B)必有两列元素对应成比例 (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y ∂∂∂(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分)设0()sin ()(),xf x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程0ln e x x π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、（本题满分6分）问λ为何值时,线性方程组13x x λ+=123422x x x λ++=+ 1236423x x x λ++=+有解,并求出解的一般形式. 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明 (1)1λ为1-A 的特征值. (2)λA为A 的伴随矩阵*A 的特征值.九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B 的概率()P A B =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.(3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差),而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-∑的收敛域.(2)已知2()e ,[()]1x f x f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ并写出它的定义域.(3)设∑为曲面2221x y z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上) (1)若21()lim (1),tx x f t t x→∞=+则()f t '= _____________.(2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x = 22x1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4×4矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是（） (A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x ∆同阶的无穷小 (C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x ∆高阶的无穷小(2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处（） (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加(D)某邻域内单调减少(3)设空间区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则:（） (A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处（）(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散(D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是（）(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k +++≠ααα(B)12,,,s ααα中任意两个向量均线性无关(C)12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D),,,ααα中存在一个向量都不能用其余向量线性表示设()(),x y u yf xg y x =+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u ux y x x y ∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x =六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0kk r>为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M 沿直线y =(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功.七、（本题满分6分）已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分）已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似. (1)求x 与.y(2)求一个满足1-=P AP B 的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A 在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u xx du φφ-==⎰则X 落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =的概率密度函数().Y f y1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.1x =(3)与两直线 1y t =-+及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_____________ .2z t =+(4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰的值是 _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量）（0,0,2=α在此基底下的坐标是_____________.二、(本题满分8分)求正的常数a 与,b 使等式21lim 1x =⎰成立.。

1997年考研数三试题答案与解析

d 2T dt 2
= −5 < 0,
可见当 t = 2; 时T 有极大值，这时也为最大值，此时政府税收总额最大。
六、设函数 f (x)在[0，+ ∞)上连续、单调不减且 f (0)≥ 0. 试证函数
∫ F (x) = ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩01x,
x tn f (t)dt若x > 0,
0
若x = 0,
lim Q(x) = Q.
x→0
证明因为
而且
ln
Q(x)
=
ln
A
−
1 x
ln
⎡⎢⎣δ
K
−x
+ (1− δ )
L−x
⎤⎥⎦
,
lim
x→0
ln
⎡⎢⎣δK −x
+(1−δ) L−x
x
⎤⎥⎦
=
lim
x→0
−δK −x ln K −(1−δ) L−x δK −x +(1−δ) L−x
ln
L
= −δ ln K −(1−δ)ln L = −ln(K δ L1−δ ),
在[0，+ ∞)上连续且单调不减（其中 n > 0 ）
证法 1 显然当 x > 0 时， F (x)连续，又
lim
F (x)=
lim
∫ xtn 0
f
(t)dt
=
lim
xn
f
(x)= 0 =
F (0),
x→0+
x→0+
x
x→0+
故 F (x)在[0，+ ∞)上连续。
NBF 考研辅导，全程包过，不过退款! QQ 客服：296312040

1997考研数学三真题及答案解析

(B) f (x) 0 , f (x) 0 (D) f (x) 0 , f (x) 0
()
(3) 设向量组1 ,2 ,3 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是
()
(A) 1 2 ,2 3 ,3 1 (B) 1 2 ,2 3 ,1 22 3 (C) 1 22 , 22 33 , 33 1 (D) 1 2 3 , 21 32 223 , 31 52 53
8
4
{1 X 1} 出现的条件下, X 在 (1,1) 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长
度成正比.试求 X 的分布函数 F (x) P{X x} .
十二、(本题满分 6 分) 游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟
从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第 X 分钟到达底层候梯处,且 X 在[0, 60] 上均匀分
设函数 f (x) 在[0, ) 上连续、单调不减且 f (0) 0 ,试证函数
F
(
x)
1 x
x t n f (t)dt,
0
若x 0,
0,
若x 0,
在[0, ) 上连续且单调不减(其中 n 0 ).
七、(本题满分 6 分)
从点 P1(1, 0) 作 x 轴的垂线,交抛物线 y x2 于点 Q1(1,1) ；再从 Q1 作这条抛物线的切线与 x 轴交于 P2 ,然后又从 P2 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列的点 P1,Q1; P2 ,Q2;; Pn,Qn; .
x2 y24t2
2
九、(本题满分 6 分)
设 A 为 n 阶非奇异矩阵, 为 n 维列向量, b 为常数.记分块矩阵

1997考研数学真题答案详解

x 2
x
esin t sin tdt , 则 F(x)
（B）为负常数（C）恒为零（D）不为常数
（A）为正常数
1997 年 • 第 1 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1997 年数学试题参考解答及评分标准
a1 b1 c1 (4) 设 1 a 2 , b2 , c 2 ，则三条直线 a1x b1 y c1 0, a2 x b2 y c2 0 , a b c 3 3 3 2 交于一点的充要条件是 (D) a3 x b3 y c3 0（其中 ai bi2 0, i 1, 2,3 ）

a
f ( x)dx ， S2 f (b)(b a) ,
（B）
1 则 S3 [ f (a) f (b)](b a) ， 2 (A) S1 S 2 S3 (B) S 2 S1 S3
(3) 设 F(x) =
(C) S3 S1 S 2
(D) S 2 S3 S1 （A）
C S S Dxy
……5 分
(3) 在某一人群中推广新技术是通过其中已掌握新技术的人进行的，设该人群的总人数为 N ，在 t 0 时刻已掌握新技术人数为 x 0 ，在任意时刻 t 已掌握新技术的人数为 x (t ) （将
x (t ) 视为连续可微变量），其变化与已掌握新技术人数未掌握新技术人数之积成正比，比例常数 k 0 ，求 x (t ) .
……2 分

C
( z y)dx ( x z )dy ( x y)dz
0
0
2
(2(sin cos ) 2cos 2 1)d

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

97年考研线性代数真题

97年考研线性代数真题1997年考研线性代数真题1997年的考研线性代数真题是一道经典的题目，它涉及到了线性代数的基本概念和运算。

本文将对这道题目进行分析和解答，帮助读者更好地理解线性代数的知识。

题目的内容是关于线性方程组的求解。

线性方程组是线性代数中的重要概念，也是解决实际问题的基础。

在这道题目中，我们需要求解一个由三个方程组成的线性方程组。

首先，我们可以将方程组写成矩阵形式，即AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。

接下来，我们需要对矩阵A进行初等行变换，将其化为行最简形。

行最简形是指矩阵中每一行的首个非零元素为1，且该元素所在的列其他元素都为0。

通过初等行变换，我们可以将矩阵A化为行最简形，同时对应地对矩阵X和B进行相同的初等行变换。

在这道题目中，我们可以通过高斯消元法来进行初等行变换。

高斯消元法的基本思想是通过逐行进行操作，将矩阵化为行最简形。

具体操作包括将某一行的倍数加到另一行上，交换两行的位置，以及将某一行的元素乘以一个非零常数。

在对矩阵A进行初等行变换的过程中，我们需要注意一些特殊情况。

首先，如果某一行的首个非零元素为0，则可以将该行与下一行交换位置。

其次，如果某一行的所有元素都为0，则可以将该行删除。

最后，如果矩阵A的某一行的首个非零元素所在的列其他行的对应元素都为0，则可以将该行删除。

通过对矩阵A进行初等行变换，我们可以得到行最简形矩阵。

接下来，我们可以通过回代法求解线性方程组的解。

回代法的基本思想是从最后一行开始，逐行求解未知数的值。

具体操作是将已知的未知数的值代入到上一行的方程中，求解出该行的未知数的值。

在这道题目中，我们可以通过回代法求解出未知数的值。

首先，我们可以从最后一行开始，求解出X3的值。

然后，将求解出的X3的值代入到上一行的方程中，求解出X2的值。

最后，将求解出的X2和X3的值代入到第一行的方程中，求解出X1的值。

通过以上的步骤，我们可以求解出线性方程组的解。

97年考研数学真题

97年考研数学真题1997年，数学考研真题回顾在1997年的考研数学真题中，涵盖了多个知识点和题型，全面检验了考生的数学理解和解题能力。

本文将回顾这些题目，并分析解题思路，帮助考生更好地备考。

一、解析几何1. 设P(x, y)是椭圆C: 16x^2 + y^2 = 16的位于x轴上的焦点，直线l经过P且与C的另一焦点相交于A，交C于B和C，若圆C'过点A, B, C并与C外切于点C，则C'的半径为多少？解题思路：首先，要求得椭圆C的焦点坐标，可以将方程化为标准形式：x^2/1 + y^2/16 = 1，得a=1，b=4，焦点坐标为(-c, 0)，其中c为焦距。

代入椭圆方程可得16 = a^2 + c^2，解得c=√3。

由题意可知，直线l的斜率为√3。

设直线l的方程为y = √3x + b，则焦点P的坐标为(4-b/√3, 0)。

将直线l代入椭圆方程求交点即可得到点A的坐标为(-√3/3, -√3/√3)，再由A点与椭圆C的交点可得到B和C的坐标为(5√3/3, 1/√3)和(-5√3/3, 1/√3)。

以点C为圆心，BC为半径作圆，可以利用圆的标准方程求得C'的半径为4。

二、解线性规划问题2. 求解线性规划问题：max z = 3x1 + 2x2s.t. 2x1 + x2 ≤ 10x1 + 2x2 ≤ 8x1, x2 ≥ 0解题思路：该线性规划问题为一个最大化目标函数z的问题，受约束条件为两个不等式约束。

首先，将不等式约束化为等式约束，并引入松弛变量，得到如下形式的标准型：max z = 3x1 + 2x2s.t. 2x1 + x2 + x3 = 10x1 + 2x2 + x4 = 8x1, x2, x3, x4 ≥ 0然后，根据单纯形法进行求解。

首先，设置初始单纯形表，并选择入基变量和出基变量。

通过迭代计算，找到最优解(x1=2, x2=3)，目标函数达到最大值z=13。

97年考研线性代数真题

97年考研线性代数真题线性代数是数学中的一个重要分支，也是计算机科学、物理学等众多学科领域的基础。

为了更好地学习和掌握线性代数，我们需要通过做一些经典的考试真题来提高自己的能力。

本文将为大家提供一道97年考研线性代数真题，并结合详细的解析，帮助读者更好地理解这个问题。

题目如下：已知线性变换A将三维欧氏空间上的向量旋转180°后再按$xoy$平面上周向旋转逆时针$30°$，最后按$z$轴正方向平移，向量$\mathbf{x} = [2, 1, 1]$转化为$\mathbf{y}$。

解析：我们需要根据题目提供的信息来求解线性变换矩阵。

首先，根据题目描述，变换步骤为旋转180°、然后按$xoy$平面逆时针旋转30°，最后沿着$z$轴平移。

我们可以将这三个操作分别表示为矩阵$A_1$、$A_2$、$A_3$。

1. 旋转180°：这个旋转操作可以表示为一个关于原点的镜像变换。

根据线性代数的知识，镜像变换的矩阵为$$A_1 =\begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$2. 按$xoy$平面逆时针旋转30°：这个旋转操作可以表示为绕$z$轴逆时针旋转30°。

根据旋转矩阵的性质，我们可以得到旋转30°的矩阵为$$A_2 =\begin{bmatrix}\cos(30°) & -\sin(30°) & 0 \\\sin(30°) & \cos(30°) & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$3. 沿着$z$轴正方向平移：根据平移的特点，我们可以得到平移矩阵为$$A_3 =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$接下来，我们需要求解整个变换操作的矩阵。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设()(ln )f x y f x e =,其中f 可微,则dy =___________.(2)若1201()()1f x f x dx x =++,则10()f x dx =⎰___________. (3) 差分方程12t t t y y t +-=的通解为___________.(4) 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是___________.(5) 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ,而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X Y 和的简单随机样本,则统计量U =服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()()()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有 ( ) (A) ()0f x '>,()0f x ''< (B) ()0f x '>,()0f x ''> (C) ()0f x '<,()0f x ''< (D) ()0f x '<,()0f x ''>(3) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) 12αα+,23αα+,31αα- (B) 12αα+,23αα+,1232ααα++ (C) 122αα+,2323αα+,313αα+(D) 123ααα++,1232322ααα-+,123355ααα+-2(4) 设,A B 为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) AB BA = (B) 存在可逆矩阵P ,使1P AP B -=(C) 存在可逆矩阵C ,使TC AC B = (D) 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ B = (5) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：{}{}111,2P X P Y =-==-={}1P X = {}112P Y ===,则下列各式中成立的是 ( ) (A) {}12P X Y == (B) {}1P X Y ==(C) {}104P X Y +== (D) {}114P XY ==三、(本题满分6分)在经济学中,称函数1()[(1)]xxxQ x A KL δδ---=+-为固定替代弹性生产函数,而称函数1Q AK L δδ-=为Cobb-Douglas 生产函数(简称C —D 生产函数).试证明：但0x →时,固定替代弹性生产函数变为C —D 生产函数,即有lim ()x Q x Q →=.四、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续偏导数,()y y x =和()z z x =分别由方程0xye y -=和0x e xz -=所确定,求du dx.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数31C x =+(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,)+∞上连续、单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()0,0,x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰若若在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).七、(本题满分6分)从点1(1,0)P 作x 轴的垂线,交抛物线2y x =于点1(1,1)Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ,然后又从2P 作x 轴的垂线,交抛物线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;n n P Q P Q P Q .(1) 求n OP ；(2) 求级数1122n n Q P Q P Q P ++++的和.其中(1)n n ≥为自然数,而12M M 表示点1M 与2M 之间的距离.八、(本题满分6分)设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰, 求()f t .九、(本题满分6分)设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵0,T T E A P Q AA b ααα*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ ；(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1T A b αα-≠.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是412(1,1,1),(1,2,1)T T αα=--=--.(1) 求A 的属于特征值3的特征向量； (2) 求矩阵A .十一、(本题满分7分)假设随机变量X 的绝对值不大于1；11{1},{1}84P X P X =-===；在事件 {11}X -<<出现的条件下,X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求X 的分布函数(){}F x P X x =≤.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行. 假设一游客在早晨八点的第X 分钟到达底层候梯处,且X 在[0,60]上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度()f t 、数学期望和方差.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】()()()()1[ln ln ]f x ef x f x f x dx x''+ 【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由()(ln )f x y f x e = 可知()()()()()()()()()1ln ln 1[ln ln ].f x f x f x dy f x e dx f x e f x dx xe f x f x f x dx x''=+''=+(2)【答案】4ππ-【分析】本题中1()f x dx ⎰是个常数,只要定出这个数问题就解决了.【解析】令1()f x dx A =⎰,则21()1f x x=++两边从0到1作定积分得12001dx A A x =++⎰⎰10arctan 444x A A πππ=+=+, 解得4A ππ=-.【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分⎰表示单位圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用. (3)【答案】(2)2t t y C t =+-【解析】对应的齐次差分方程是10t t y y +-=,显然有不恒等于零的特解1t y =. 因方程的右端函数()2tf t t =,可设非齐次差分方程的特解有形式()2t y At B *=+,代入方程得 (2)22,0,1,2,.ttAt A B t t ++==由于20t ≠,于是2,0,1,2,.At A B t t ++==可确定1,2A B ==-,即非齐次差分方程有一个特解是(2)2ty t *=-. 从而,差分方程的通解是(2)2tt y C t =+-. (4)【答案】t <<6【解析】二次型123(,,)f x x x 对应的矩阵为210112012t A t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 因为f 正定⇔A 的顺序主子式全大于零.又2123211211112,,A t ∆=∆==∆==-, 故f 正定⇔21102t ->,即t <(5)【答案】t 分布,参数为9 【解析】由19,,X X 是来自总体X 的简单随机样本,故19,,X X 独立,且都服从正态分布2(0,3)N .类似有19,,Y Y 相互独立,且都服从正态分布2(0,3)N .又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即219~(,)X X X N '=++μσ.其中19()()E X E X X '==++μ,219()()D X D X X σ'==++. 由期望的性质,19129()()0E X E X X EX EX EX '==++=+++=μ；由独立随机变量方差的性质,21919()()81D X D X X DX DX σ'==++=++=,故2~(0,9)X N '.因219,,~(0,3)Y Y N ,故~(0,1),(1,2,,9)3i Y N i -=,所以,2921~(9)3i i Y Y χ=⎛⎫'= ⎪⎝⎭∑.由t 分布的定义,现已有2~(0,9)X N ',将其标准化得0~(0,1)9X N '-,~(9)X t '-.~(9)t ',~(9)t =.【相关知识点】1.数学期望的性质：()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,其中,,a b c 为常数.2.方差的性质：X 与Y 相互独立时,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.3.2χ分布的定义：若1,,n Z Z 相互独立,且都服从标准正态分布(0,1)N ,则22~(1)iZ χ,221~()ni i Z n χ=∑.4.若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-.5.t 分布的定义：若~(0,1)X N ,2~()Y n χ,,X Y 独立,则~()T t n =.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)【答案】(B)【分析】只要求出极限 0()lim()x f x g x →就能判断出正确的选项. 【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得1cos 2205640005244000sin ()(sin )sin(1cos )lim lim lim ()(1)5611(1cos )4lim lim lim 0,1xx x x x x x t dt f x x x x x g x x x x x x x xx -→→→→→→-==++-===+⎰故应选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2.无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；8(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (2)【答案】(C)【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法1：由()()f x f x -=(,)-∞+∞知,()f x 的图形关于y 轴对称.由在(,0)-∞内,()0f x '>且()0f x ''<知,()f x 的图形在(,0)-∞内单调上升且是凸的；由对称性知,在(0,)+∞内,()f x 的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).方法2：由()()f x f x -=可知()(),()()f x f x f x f x ''''''--=-=.当(0,)x ∈+∞时,(,0)x -∈-∞,此时由题设知()0f x '->,()0f x ''-<,则()0,()0,(0,)f x f x x '''<<∈+∞,故应选(C).方法3：排除法.取2()f x x =-,易验证()f x 符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个选项均不正确,故应选(C).方法4：由题设可知()f x 是一个二阶可导的偶函数,则()f x '为奇函数,()f x ''为偶函数,又在(,0)-∞内()0,()0f x f x '''><,则在(0,)+∞内()0,()0f x f x '''<<,故应选(C). (3)【答案】(C)【分析】这一类题目最好把观察法与123123(,,)(,,)C βββααα=技巧相结合. 【解析】对于(A),()()()1223310αααααα+-++-=,即存在一组不全为零的数1, -1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知122331,,αααααα++-线性相关,排除(A)；对于(B),()()()122312320ααααααα+++-++=,即存在一组不全为零的数1,1, -1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知1223123,,2ααααααα++++线性相关,排除(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数123k ,k ,k ,使得()()()11222331322330k k k αααααα+++++=,整理得 ()()()13112223322330.k k k k k k a αα+++++=已知1α,2α,3α线性无关,上式成立,当且仅当1312230220330k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ ①因①的系数行列式101220120033=≠,故①有唯一零解,即1230k k k ===.故原向量组122αα+,2323αα+,313αα+线性无关.应选(C).或者也可以将122αα+,2323αα+,313αα+用123,,ααα线性表出,且写成矩阵形式,有[][][]1223311231231012,23,3,,220,,033C αααααααααααα⎡⎤⎢⎥+++==⎢⎥⎢⎥⎣⎦记,120C =≠,则C 可逆,故两向量组是等价向量组,由1α,2α,3α线性无关知122αα+, 2323αα+,313αα+线性无关.(4)【答案】(D)【解析】方法1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.例如,若10100302A ,B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若10100302A ,B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 111012030206AB --⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,101111020306BA ,---⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB BA ≠. 故(A)不成立；应取(D).方法2：因,A B 是同阶(设为n )可逆阵,故有()()r A r B n,==而()()r A r B =⇔,A B 等价⇔存在可逆阵P,Q 使得PAQ B.=(这里只需取1P A ,Q B,-==既有1PAQ A BA B -==成立),故应选(D).10或者,因,A B 是同阶可逆阵,故,A B 均可以通过初等行变换化成单位阵,A E,B E,→→行变换行变换即存在初等阵1212s r P P,P ,P ,W W ,W W ,==使得PA E,WB E ==,从而有PA E WB ==,得1PAW PAQ B -==()1W Q -=.故(D)成立.(5)【答案】(A)【解析】因X 和Y 相互独立, 而{}{}{}{}1111,1122P X P Y P X P Y =-==-=====,故有：{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y =-=-==-=-=⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y =-===-==⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y ==-===-=⨯=；{}{}{}1111,111224P X Y P X P Y ======⨯=；{}{}{}1111,11,1442P X Y P X Y P X Y ===-=-+===+=,故(A)正确,(B)错；{}{}{}11101,11,1442P X Y P X Y P X Y +===-=+=-==+=, 故(C)错；{}{}{}11111,11,1442P XY P X Y P X Y ===-=-+===+=, 故(D)错.三、(本题满分6分.)【分析】要证明0lim ()x Q x Q →=,只须证明0lim ln ()ln x Q x Q →=即可,因为()Q x 为指数函数,因此化为对数形式便于极限计算. 【解析】因为1ln ()ln ln[(1)]x x Q x A K L x--=-+-δδ,而且 001ln[(1)]lim ln (1)ln lim (1)ln (1)ln ln(),x x x x x x x x K L xK K L L K L K L K L --→----→-+----=+-=---=-δδδδδδδδδδ所以, 110limln ()ln ln()ln()x Q x A K LAK L --→=+=δδδδ,于是, 10lim ()x Q x AK LQ -→==δδ.四、(本题满分5分.) 【解析】由题设有du f f dy f dzdx x y dx z dx∂∂∂=++∂∂∂. (*) 在0xy e y -=中,将y 视为x 的函数,两边对x 求导,得2()011xy xyxydy dy dy ye y e y x dx dx dx xe xy+-=⇒==--. (1) 在0ze xz -=中,将z 视为x 的函数,两边对x 求导,得0zz dz dz dz z z e z x dx dx dx e x xy x--=⇒==--. (2) 将(1)、(2)两式代入(*)式,得21du f y f z fdx x xy y xy x z∂∂∂=++∂-∂-∂. 【相关知识点】1.多元复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.五、(本题满分6分)【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系()x π,它是商品销售总收入减去成本和政府税收.正确写出()x π后,满足0()0x π'=的0x 即为利润最大时的销售量,此时,0()x t 是t 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额()T tx t =,再由导数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值t . 【解析】(1)设T 为总税额,则T tx =.商品销售总收入为2(70.2)70.2R px x x x x ==-=-.利润函数为 2270.2310.2(4)1R C T x x x tx x t x =--=----=-+--π.令()0x π'=,即0.440x t -+-=,得45(4)0.42t x t -==-. 由于()0.40x π''=-<,因此,5(4)2x t =-即为利润最大时的销售量. (2)将5(4)2x t =-代入T tx =,得5(4)2T t t =⋅-25102t t =-.由()1050T t t '=-=,得惟一驻点2t =；由于()50T t ''=-<,可见当2t =时T 有极大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分6分)【分析】当0x >时,()F x 显然连续,故只要证0lim ()(0)x F x F +→=,且当0x >时,()0F x ''≥即可.【解析】方法1：显然0x >时,()F x 连续,又由洛必达法则知()lim ()lim lim ()0(0)xn nx x x t f t dt F x x f x F x+++→→→====⎰, 所以()F x 在[0,)+∞上连续.当(0,)x ∈+∞时,11022()()()()(),0xn n n n x f x t f t dtx f x f x F x x x x++--'==<<⎰ξξξ. 由于()f x 单调不减,故()()f x f ξ≥,又n n x ξ>,从而()()n nx f x f ≥ξξ.于是有()()00F x x '≥<<+∞.故()F x 在[0,)+∞上单调不减.方法2：连续性证明同上.由于10222()()()()()[()()]0,xn n x xxn n n n x f x t f t dtF x xx f x dt t f t dtx f x t f t dtxx +-'=--==≥⎰⎰⎰⎰可见,()F x 在[0,)+∞上单调不减.【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于()F x '的不同处理方法.【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.七、(本题满分6分)【分析】先作出草图,再求出曲线2y x =在任一点2(,)a a 上的切线方程及其与x 轴的交点,然后依此类推,得出一系列与x 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可. 【解析】(1)由2y x =,得2y x '=.对于任意(01)a a <≤, 抛物线2y x =在点2(,)a a 处的切线方程为22()y a a x a -=-.且该切线与x 轴的交点为(,0)2a,故由11OP =可见21322111,221111,22221.2n n OP OP OP OP OP -====⋅==(2)由于()22211124n n n nn Q P OP --⎛⎫===⎪⎝⎭,可见 11101144mn n n n n m Q P ∞∞∞-===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑. 利用几何级数求和公式1(1)1n n x x x∞==<-∑即得 1011414314mn n n m Q P ∞∞==⎛⎫=== ⎪⎝⎭-∑∑. 【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和.八、(本题满分6分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于2222220004()2()22t t x y t r r f dxdy d f rdr rf dr +≤==⎰⎰⎰⎰⎰πθπ,可得2240()2()2t t rf t erf dr =+⎰ππ.在积分中作换元2r s =,又有200()4()2t t rr f dr sf s ds =⎰⎰.于是,()f t 满足积分关系式240()8()tt f t sf s ds e =+⎰ππ.在上式中令0t =得(0)1f =.利用变上限积分的求导公式,将上式两端对t 求导,得24()8()8t f t tf t te '-=πππ.上述方程为关于()f t 的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得224()(4)t f t t C e =+ππ,其中常数C 待定.由(0)1f =可确定常数1C =,因此,224()(41)t f t t e =+ππ. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=⋅-⋅.2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.九、(本题满分6分)【解析】(1)由**AA A A A E ==及1*A A A -=,有()*10.0T T TT T T EA A PQ A A A A A A b A b A A b A ααααααααααα**-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有0T E P A A Aα*==-,()()2110TT A P Q PQ Ab A A b A ααααα--===--又因A 是非奇异矩阵,所以0A ≠,故()1T Q A b A αα-=-.由此可知Q 可逆的充要条件是0Q ≠,即10T b A αα--≠,亦即1T A b αα-≠. 评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清1TA αα-是1阶矩阵,是一个数.【相关知识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵,则*,*A O A A B B O B ==⋅ ()*1*mnOA A AB B B O==-⋅. 2.行列式乘积公式：设,A B 是两个n 阶矩阵,则乘积AB 的行列式等于A 和B 的行列式的乘积,即AB A B =.十、(本题满分10分)【解析】(1)设A 的属于3λ=的特征向量为[]3123Tx ,x ,x =α,因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交,故1312323123020T Tx x x ,x x x .⎧=--+=⎪⎨=--=⎪⎩αααα 解上述方程组,设方程组的系数矩阵为111121B --⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦,对B 进行初等行变换：111111101121030010B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦, 系数矩阵的秩为2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为1,解得 []101T,,,即A 的对应于3λ=的特征向量为[]3101Tk ,,,α=其中k 为非零常数.(2)方法1：令[]123111120111P ,,-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ααα,则有1100020003P AP ,-⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦即1A P P -=Λ,其中1P -计算如下：[][][]()[][][][][]()[][]()[][][]()211311312223131311211111001111001200100311101110010021011111103332211010011111030101022636001001111100222P E +⨯-+⨯⎛⎫⨯- ⎪+⨯-⎝⎭+⨯-+⨯---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤---⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得 122211216303P ---⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 11111002221325111200201212102661110033035213A P P -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=Λ=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.方法2：因A 是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵Q (对P单位化),使1T QAQ Q AQ -==Λ,T A QQ =Λ,其中Q ⎡⎢⎢⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣. 10000200030132510210265210T A Q Q ⎡⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎡⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎢⎥-⎢⎥⎢==-⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣3.⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦方法3：由于矩阵A 的特征值是1,2,3,特征向量依次为123,,ααα,利用分块矩阵有123123(,,)(,2,3)A =αααααα.因为123,,ααα是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵123(,,)ααα可逆.故11123123123111(,2,3)(,,)1401201231111232221325111401212102.661233035213A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦αααααα 【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出3α,另一个难点就是反求矩阵A .十一、(本题满分7分)【分析】求分布函数(){}F x P X x =≤实质上是求{}X x ≤的概率. 【解析】由X 的绝对值不大于1,可得当1x <-时,{}()0F x P X x =≤=；当1x ≥时,{}()1F x P X x =≤=；又11{1},{1}84P X P X =-===,则 115{11}1{1}{1}1848P x P X P X -<<=-=--==--=；由题意X 在(1,1)-内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当X 的值属于(1,1)-的条件下,事件{}1X x -<≤的条件概率为：{}(1)11|111(1)2x x P X x X kk --+-<≤-<<==--(其中k 为比例正常数),又 {}11|111P X X -<<-<<=,而 {}1111|112P X X k k +-<<-<<==, 所以1k =,故{}11|112x P X x X +-<≤-<<=；当11x -<<时,{}{}{}1111X x X x X -<≤=-<≤-<<,所以{}{}11,11P X x P X x X -<≤=-<≤-<<.由条件概率公式,有{}{}{}11,111|11{11}1555,2816P X x P X x X P X x X P X x x -<≤=-<≤-<<=-<≤-<<-<<++=⨯= {}{}{}()11F x P X x P X P X x =≤=≤-+-<≤,而 {}{}{}11111088P X P X P X ≤-==-+<-=+=, 所以 {}{}{}15557()1181616x x F x P X x P X P X x ++=≤=≤-+-<≤=+=,故所求的X 的分布函数为0,157(),11161,1x x F x x x <-⎧⎪+⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩ .十二、(本题满分6分)【解析】已知X 在[0,60]上均匀分布,则其密度函数为：1,160,()600,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他.设Y 表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第5分钟,25分钟,55分钟起行,则当05X ≤≤时,游客需等候时间5Y X =-；当525X <≤时,游客需等候时间25Y X =-；当2555X <≤时,游客需等候时间55Y X =-；当5560X <≤时,游客需等候时间60565Y X X =-+=-(这个时间段到达,就需要等下个整点的第５分钟,所以是605X -+).故Y 是关于到达时刻X 的函数：5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -≤≤⎧⎪-<≤⎪==⎨-<≤⎪⎪-<≤⎩由随机变量函数期望的定义,有525556005255511()()()()60601(5)(25)(55)(65)601(12.520045037.5)11.67.60EY g x f x dx g x dx g x dx x dx x dx x dx x dx +∞+∞+∞-∞-∞-∞===⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：若随机变量()Y g X =,且EY 存在,则有()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十三、(本题满分6分)【解析】设12X X 和表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的总时间为12T X X =+.由于每台无故障工作的时间都服从参数为５的指数分布,则12X X 和的概率密度函数为55,0()0,0x e x f x x -⎧>=⎨≤⎩. 因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即12X X 和独立,应用两个独立随机变量之和的卷积公式：当0t >时,T 的概率密度为55()5120()()()2525tx t x t f t f x f t x dx e e dx te +∞-----∞=-==⎰⎰.当0t ≤时,()0f t =,即525,0,()0,0.t te t f t t -⎧>=⎨≤⎩ 由指数分布的期望和方差的结论,有12115EX EX λ===,1221125DX DX λ===, 由期望的性质,有1212112()555ET E X X EX EX =+=+=+=,由独立随机变量方差的性质,有1212112()252525DT D X X DX DX =+=+=+=. 【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：若X 服从参数为λ的指数分布,则其期望1EX λ=,方差21DX λ=.2. X 与Y 相互独立,数学期望和方差的性质:()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.。