第19讲数学：微分方程(二)(2010新版)

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高等数学之微分方程课件

8-4 二阶微分方程
精品课程
例８求微分方程的通解
解特征方程为共轭虚根为原方程的通解（共轭虚根时，由欧拉公式有再根据该方程的线性组合仍是解而消去i ）
8-5 数学建模：微分方程应用(2)
精品课程
战争模型用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方在时刻t的兵力，可视为双方的士兵人数，一个简化模型是,假设一支军队参站人数减少（死亡或受伤）的比率(如 ) 是与另一支军队集中向其开火的次数成正比，而这开火的次数又与该方军队中参战人数成正比。于是x、y服从微分方程：（１）下面分析求解此微分方程组
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CLICK TO ADD TITLE来自八章微分方程精品课程
8-1 什么是微分方程
精品课程
引例1：曲线过点（1，2），且在该曲线上任意一点M (x , y) 处的切线的斜率为2x，求这曲线的方程? 解设所求曲线y=f ( x ) ，根据导数的几何意义得（1）此外还应满足条件把方程（1）两边积分，得即把条件代入（2），得C=1 把 C=1代入（2）式，即得所求曲线方程
8-4 二阶微分方程
精品课程
解解特征方程得于是微分方程的通解（可以证明，二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解，只要他们不成比例，则为该方程的通解）例7 求方程的通解解特征方程则通解为重根时，得一个特解，再用待定法令或等等，求得另一个特解
3、如果把某个函数代入微分方程，能使方程恒等，这个方程称为微分方程的解；求微分方程的解的过程，叫做解微分方程
4、微分方程的解有不同的形式，常用的两种形式是：一种是解中含有任意常数并且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解；另一种是解不含任意常数，称为特解

微分方程

3 2 y d x + ( x − 3 x y )d y = 0 *(2)
例 5 写出下列方程在极坐标系下的形式，并由此求其通解
y d x = ( x + x 2 + y 2 )d y
[19讲一2(2)]
例 6
f ( x ) 在 (0, +∞ ) 上有定义，且对一切正实数 x 、 y 有
f ( x ) = yf ( x ) + xf ( y ) 。若 f ( x ) 在 x = 1点处可导，且 f ′(1) = 1 ，
(1) 特征值方法求解常系数线性齐次方程 (2) 待定系数法求常系数非齐次方程的一个特解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积
n 阶常系数齐次线性方程的通解情况表：
特征方程 λn + pn−1λn−1 + L + p1λ
+ p0 = 0
n 阶常系数齐次线性方程
y ( n ) + pn−1 y ( n−1) + L + p1 y′ + p0 y = 0
y′′ + a1 ( x ) y′ + a2 ( x ) y = 0
如果已知一个特解为
y1 ( x ), 则另一特解可设为
代入原方程可得到 u(x)
y2 ( x ) = y1 ( x )u( x )
从而 y2 ( x ) = y1 ∫
1 − ∫ a1 ( x )dx e dx 2 y1
例 19
以
u = ye
u′ + P ( x )u = Q( x )
(6)可化为齐次型的方程
c1 = c2 = 0 时,
dy a1 x + y + c2

《微分方程》课件

总结词
需要选择合适的代换变量。
详细描述
在使用变量代换法时，需要选择合适的代换变量，使得微分方程能够被转化为更简单的形式。这个过程需要一定的技巧和经验。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分方程，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定形式的一阶非线性微分方程。
总结词
通过引入新的变量代换，简化微分方程的形式。
详细描述
变量代换法是通过引入新的变量代换，将微分方程转化为更简单的形式，从而简化求解过程。这种方法适用于具有特定形式的高阶微分方程。
总结词
适用于高阶微分方程。
详细描述
变量代换法主要适用于高阶微分方程，通过引入新的变量代换，可以将高阶微分方程转化为更简单的形式，从而简化求解过程。
解法
通常需要使用迭代法、级数法或摄动法等非线性求解方法。
3
特例
当 p(x,y,y') = 0, q(x,y,y') = a（常数）时，方程简化为 y'' + ay = f(x)，其解法与二阶线性微分方程类似。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 y'' + ay' + by = f(x) 的微分方程称为二阶常系数线性微分方程。
《微分方程》PPT课件
目录
• 微分方程简介 • 一阶微分方程 • 二阶微分方程 • 高阶微分方程 • 微分方程的解法 • 微分方程的应用实例
01
微分方程简介
微分方程的定义
总结词
微分方程是描述数学模型中变量之间动态关系的方程，通过微分来描述函数的变化率。

微分方程PPT课件

x
ln u 1 3 ln(u 2) u 2 1 ln u ln x ln C ,
2
2
u1 3 Cx.
u(u 2)2
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2 x)3 . 20
三. 一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) (1) dx
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y),
y(
x0
)
y0
.
过定点的积分曲线;
y f ( x, y, y),
过定点且在定点的切线
二阶:
y(
x0
)
y0 ,
y(x0 )
y0
.
的斜率为定值的积分曲线.
n
阶:
f (x, y, y( x0 )
y, y y0 , y(
x A, dx 0,
t 0
dt t0
C1 A,
而
dx dt
kC1
s in kt
kC2
cos kt,
C2 0.
所求特解为 x Acoskt.
9
注意： 1. 有些方程可能无解.
( y)2 y2 1 0 无实函数解.
2. 方程可能有解而无通解. ( y)2 y2 0 只有特解 y 0 . 3. 通解不一定能包含所有的解.
y 3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.
11
6.2 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式是
F( x, y, y) 0
如果一阶导数可解出，则可写为
dy f ( x, y), dx 或 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0

初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法

初中数学知识归纳微分方程的基本概念和解法微分方程是数学中重要的分支之一，它在很多领域都有广泛的应用。

本文将介绍初中数学中微分方程的基本概念和解法。

一、微分方程的基本概念微分方程是含有一个或多个未知函数的方程，其中未知函数与其导数之间存在一定的关系。

微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

在初中数学中，我们主要学习常微分方程。

1.1 一阶微分方程一阶微分方程是指只含有未知函数的一阶导数的微分方程。

一阶微分方程的一般形式可以表示为dy/dx=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数。

1.2 高阶微分方程高阶微分方程是指含有未知函数的高阶导数的微分方程。

高阶微分方程的一般形式可以表示为d^n y/dx^n=f(x)，其中y是未知函数，x是自变量，f(x)是已知函数，n为正整数。

二、微分方程的解法解微分方程的关键是确定未知函数的表达式，常用的解法有分离变量法、齐次法、一阶线性微分方程和二阶齐次线性微分方程等。

2.1 分离变量法对于一阶微分方程dy/dx=f(x)，如果可以将方程两边的变量分离到方程两侧，则可以通过积分的方式解得未知函数y的表达式。

具体步骤如下：- 将方程化为dy=f(x)dx的形式；- 将dy和dx分离到方程两侧；- 对方程两边同时积分，得到y的表达式；- 添加常数C，得到通解。

2.2 齐次法对于一阶微分方程dy/dx=f(x,y)，如果可以将方程通过变量代换化为dy/dx=g(x/y)的形式，则可以通过变量代换和分离变量的方式解得未知函数y的表达式。

具体步骤如下：- 令y=ux，其中u是关于x的函数；- 对x求导并代入方程，化简得到关于u和x的方程；- 将方程分离变量并积分，得到u的表达式；- 将u代回方程，得到y的表达式。

2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的一般形式是dy/dx+p(x)y=q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。

解一阶线性微分方程的关键是构造一个积分因子，使得方程变为可积的形式。

大学课件高等数学微分方程

rx
将 y , y , y 代入微分方程中, 得
r 3r 2 0
2
( r 2 )( r 1 ) 0
r1 2 , r2 1
得两个解 y1 e 2 x , y 2 e x .
15
微分方程的基本概念
最后,看一个相反的问题
例求含有两个任意常数C1, C2的曲线族
一般的n阶微分方程为
, , y ( n ) ) 0 , F ( x, y, y
已解出最高阶导数的微分方程今后讨论
y
(n)
f ( x , y , y , , y
( n 1 )
).
y f ( x, y ) 一阶几何意义是过定点的积分曲线; y x x0 y 0 y f ( x , y , y ) 二阶 y x x0 y 0 , y x x0 y 0
微分方程的基本概念
问题的提出基本概念
(differential equation)
小结
思考题
作业
第十二章
微分方程
4
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例一曲线通过点 (1 , 2 ), 且在该曲线上任一点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为 2 x , 求这曲线的方程.
解设所求曲线为 y y ( x )
第十二章
微分方程
2
本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法,讨论如下几个问题: 1. 微分方程的基本概念; 2. 一阶微分方程; 3. 几种可积的高阶微分方程; 4. 线性微分方程及其通解的结构; 5. 常系数齐次线性方程;
6. 常系数非齐次线性方程.

微积分课件(微分方程简介)

n阶微分方程(9.8)的常见定解条件是
y ( x0 ) y0 , y' ( x0 ) y1 ,, y
( n1)
( x0 ) yn1
(9.12)
称(9.12)为初始条件,其中x0,y0,y1,…, yn为n+1个给
定的常数.
求微分方程满足某个定解条件或初始条件的特解问题,称为微分方程的定解问题或初值问题. 例如,初值问题:
dy dt ay (t ),
a为常数
(9.1)
(9.2)
y' P( x) y Q( x)
y'' xy' x y e
2
x
(9.3) (9.4)
( y' ) 1 y
2
2
都是常微分方程.而方程
u
2
t
2
2

u
2
x
2
2
f (t , x)
u
2
(9.5)
a1 ( x) y
( n 1)
an1 ( x) y' an ( x) y f ( x) (9.9)
其中a1(x),…an(x)和f(x)均为x的已知函数.
不是线性微分方程的微分方程,统称为非线
性微分方程.
二、微分方程的解定义9.3 如果将已知函数 y ( x) 代入方程(9.8)后, 能使其成为恒等式,则称函数y ( x)为方程(9.8) 的解;如果由关系式Φ(x,y)=0确定的隐函数 y ( x) 是方程(9.8)的解,则称Φ(x,y)=0为方程(9.8)的隐式解. 例如,y=eat,y=Ceat(C为常数)都是方程(9.1)的解;而x2+y2=1是方程(9.4)的隐式解.

微分方程ppt课件

F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程.
14
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推得
c1 v0
c2 H
于是，得到满足上述初值条件的特解为
xx(t()t)H12gt122 gt2c1t v0ct 2
(1.14)
22
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它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.
求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.
于是我们称(1.14)是初值问题
4
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目
录
第一章初等积方法第二章基本定理第三章一阶线性微分方程组第四章 n阶线性微分方程第五章定性与稳定性理论简介第六章一阶偏微分方程初步
5
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第一讲
第一章初等积分法
1.1 微分方程和解
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.
12
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例如下面的方程都是常微分方程
dy 2x dx
(1.4)

高等数学-微分方程2

的特解,则 y1* (x) y2* (x) 为 y '' p(x) y ' q(x) y f1(x) f2 (x) 的特解.
4.2.2 高阶常系数齐次线性微分方程
设 ai (1 i n) 为常数,称形如
y(n) a1 y(n1) L an y f (x)
(5)
定理 4 5 设 y* (x)为
y '' p(x) y ' q(x) y f (x) (4)
的特解,则 y c1 y1(x) c2 y2 (x) y* (x) 是(4)的通解,其中c1, c2为任意常数.
叠加原理
定理 4 6 设 y1* (x), y2* (x)分别为 y '' p(x) y ' q(x) y f1(x), y '' p(x) y ' q(x) y f2 (x)
也是(2)的解. 定理 4-3 设 y%(x) 为(1)的特解, y1(x), y2 (x),L , yn (x)
n
为(2)的解,则 c j y j (x) y%(x) 为(1)的解, j 1
其中c j (1 j n)为常数.
函数的线性相关与线性无关
定义 4 1设 y1(x), y2(x),L , yn (x) 为[a,b]上的一组函数,如果存在一组不全为零的数 k1, k2,L , kn 使
(2)
解的存在唯一性定理
定理 4 1
若 ai (x)(1 i n) 及 f (x) 在[a,b] 上连续,则
对任意的 x0 [a,b]及任意的
y0
,
y (1) 0
,L
,
y ( n 1) 0

常微分方程第2讲

(2) xdy ydx 0 ;
(3)
d2x dt 2
tx dx 3 dt
x
0
;
(4)
d4x dt 4
5
d2 dt
x
2
3x sin t
;
(5) z z z ; x y
(6) 2u 2u x y uz 0 . x2 y 2
附注1：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含. 如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如
程简称为微分方程或方程.
二、微分方程的阶定义2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 在上面例1中，
(1) dy 2x 是一阶微分方程； dx
(2) xdy ydx 0 是一阶微分方程；
(3)
d2x dt 2
tx
dx dt
3
x
0
是二阶微分方程；
d4x d2x
3
x
0;
(4)
d4x dt 4
5
d2x dt 2
3自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程，如上面例1中
(5) z z z ; x y
(6) 2u 2u x y uz 0 . x2 y 2
就是偏微分方程. 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方
x 2 y 2 1 就不是微分方程. 实际上，我
们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.
附注2：如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程，如上面例1中
(1) dy 2x; dx

二阶微分方程教学课件

两端积分，得
再积分，得
即
所以
于是所求的特解为
*
为了求出它的解，
利用复合函数的求导法则，
于是方程(4)就变为
这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .
设它的通解为
分离变量并积分，得方程(4)的通解为
方程
(4)
中不显含自变量 x ．
*
例4
解
方程不显含自变量 x ，
定理1
这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性．
叠加起来的解(7)从形式上看含有与两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解．
先讨论二阶常系数线性齐次微分方程
(6)
的解的结构．
那么
(7)
也是方程(6)的解，其中是任意常数．
*
那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？
因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解．
如果函数是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么
*
所以上式要成立就必须有
(8)
反之，若r是方程(8)的一个根，
特征方程为
特征根为
*
综上所述，
的根
特征方程
方程
通解
两个不相等的实根
两个相等的实根
一对共轭复根
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：
求二阶常系数线性齐次微分方程
的通解步骤如下：
（6）
(2) 求出特征方程的两个根与；
(1) 写出方程对应的特征方程；
特征方程的根称为特征根．

微分方程高等数学同济教材

微分方程高等数学同济教材微分方程作为高等数学的重要内容之一，在同济教材中有着详细而系统的讲解。

本文将以同济教材为基础，介绍微分方程的相关概念、解法以及应用，并对其在高等数学学习中的重要性进行探讨。

第一部分：微分方程的基本概念与分类微分方程是研究变化率与变化过程的数学工具，在实际问题中具有广泛的应用。

根据方程中出现的未知函数的阶数，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程中的未知函数仅含有一元变量，而偏微分方程中的未知函数则含有多元变量。

第二部分：常微分方程的解法及应用常微分方程的解法因方程不同形式而异，其中常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法、二阶线性齐次方程法等。

通过这些解法，可以获得常微分方程的特解，并在实际问题中进行应用。

第三部分：偏微分方程的解法及应用偏微分方程的解法相对复杂，常见的解法包括分离变量法、特征线法和变量分离法等。

通过这些解法，可以求得偏微分方程的特解，并应用于实际问题的求解过程。

第四部分：微分方程在其他学科中的应用微分方程作为一门基础数学课程，在物理学、工程学以及生物学等学科中具有广泛应用。

例如，微分方程可以用于描述物体运动的变化规律、电路中电流的变化以及生物中的种群增长模型等。

第五部分：微分方程在高等数学学习中的重要性微分方程作为高等数学的重要内容，不仅仅是为了应用于实际问题的求解，更是提高学生数学建模和解决实际问题的能力。

通过学习微分方程，学生能够培养出扎实的数学基础，并在未来的学习和实践中发挥重要作用。

结语：微分方程是高等数学中重要的内容之一，在同济教材中有着详细而系统的讲解。

通过学习微分方程的基本概念与分类、常微分方程与偏微分方程的解法与应用以及微分方程在其他学科中的应用，我们能够更好地理解并掌握微分方程的相关知识，提高数学建模和解决实际问题的能力，为未来的学习和实践打下坚实的基础。

微分方程讲稿

第一章微分方程的基本概念300多年前，由牛顿和莱布尼兹所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解其运动规律将一目了然.所以数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的关系。

但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系（即函数）往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们导数（或微分）的关系式。

这种联系着自变量，未知函数及它的导数（或微分）的关系式，数学上称之为微分方程，当然其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。

§1.1微分方程：某些物理过程的数学模型例1.1.1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为c u 1500=，10分钟后测量得温度为c u 1001=，我们要求决定此问题u 和时间t 的关系，并计算20分钟后物体的温度。

这里我们假定空气的温度保持为c u a 24=。

解：为了解决上述问题，需要了解一些热力学的基本规律： 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；2. 在一定的温度范围内，一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例（牛顿冷却定律）设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，则温度的变化速度以dtdu来表示。

注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而a u u >0，所以温差a u u -恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度dtdu恒负。

微分方程学科介绍

微分方程学科介绍一、什么是微分方程？微分方程是描述自然界中许多现象和过程的数学工具。

它是一个包含未知函数及其导数的方程。

微分方程描述了未知函数的变化率与函数本身的关系，通过求解微分方程可以获得未知函数的解析表达式或数值解。

二、微分方程的分类微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。

常微分方程只包含单个未知函数的导数，而偏微分方程包含多个未知函数的偏导数。

2.1 常微分方程常微分方程是最常见的一类微分方程。

根据方程中未知函数及其导数的次数不同，常微分方程可以进一步分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。

2.1.1 一阶常微分方程一阶常微分方程只包含一阶导数，形式通常为 dy/dx=f(x,y)，其中 y 是未知函数，x 是自变量，f 是已知函数。

一阶常微分方程的解可以通过分离变量、齐次化和Bernoulli 等方法求解。

2.1.2 高阶常微分方程高阶常微分方程包含高于一阶的导数。

形式通常为 d^n y/dx n=f(x,y,y’,y’’,…,y(n-1))，其中 y 是未知函数，x 是自变量，f 是已知函数，n 是正整数。

高阶常微分方程的求解需要利用特征方程、常数变易法、Laplace 变换等高级技巧。

2.2 偏微分方程偏微分方程描述了多个未知函数的偏导数之间的关系。

它在物理学、工程学和经济学等领域具有重要应用。

2.2.1 泊松方程泊松方程是最常见的二阶偏微分方程之一。

形式为∇^2 u=f(x,y,z)，其中 u 是未知函数，f 是已知函数，∇^2 是拉普拉斯算子。

泊松方程在电势场、热传导等问题中有广泛应用。

2.2.2 热传导方程热传导方程描述了物体温度随时间和空间的变化规律。

形式为∂u/∂t=k∇^2 u，其中 u 是未知函数，t 是时间，k 是热导率。

热传导方程在材料科学、天文学等领域具有重要意义。

三、微分方程的应用微分方程在自然科学和工程技术领域中有广泛的应用。

以下列举了一些常见的应用领域：1.物理学：微分方程在描述运动、电磁场、量子力学等物理现象中起着重要作用。

微分方程及其分类课件

一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
例1 一曲线通过点 (1, 2) ，且在该曲线上任一点 M( x, y) 切线的斜率为 2x ，求这曲线的方程。
解设所求曲线为 y y( x)。则有 y 2x 对上式两边积分有 y x 2 C
由于所求曲线通过点 (1, 2) 即满足 y x1 2 则 C 1. 所求曲线方程为 y x 2 1 .
又因为这个解中含有两个独立的任意常数 C1 ,C 2 ，而方程为二阶微分方程，所以函数 y C1 sin2x C2 cos 2x, 是原方程的通解。
把条件y x0 0 代入 y C1 sin2x C2 cos 2x, 得 C2 1
把条件y x0 1 代入 y 2C1 cos2x 2C2 sin2x, 得
微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解（2）微分方程的特解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解（3）微分方程的初始条件
确定通解中的任意常数的附加条件。 5.微分方程解的几何意义
通解的图象: 积分曲线族.
特解的图象: 微分方程的积分曲线.
d2y
例3 验证: y C1 sin2x C2 cos 2x 是 dx2 4 y 0 的解, 并求满足初始条件 y x0 0, y x0 1 的特解.
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于这种类型．
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
面的讨论，只不过得到的
和
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是

(完整word版)微分方程及其应用

第九章微分方程及其应用§9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。

例如，以下各式都是微分方程：⑴ 2x dxdy =. ⑵ ).(22t f kx dt dx hx dt x d m =++ ⑶)()(x Q y x P dxdy =+. ⑷0sin 22=++θθθl g dt d h dt d . ⑸0)',,()(=n y y y x F .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。

本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。

微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。

例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n 阶方程。

微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。

微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。

如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。

例如331x y =显然是⑴的解，因为23)31(x dxx d =。

若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如π+=331x y 就是⑴的通解。

从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。

例如π+=331x y 就是⑴的一个特解。

用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。

在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。

例如，如果⑴的初始条件为()π=0y ，则在代入到通解c x y +=331后，可以求得π=c ，从而得到特解π+=331x y 。

一般的，因为n 阶微分方程的通解中含有n 个独立的任意常数。