北京市朝阳区2015届高三4月第一次综合练习数学(文)试题带答案
北京市朝阳区2015届高三上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（理工类） 2015．1 （考试时间120分钟满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．为虚数单位，则复数在复平面内对应的点所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点．若中点到抛物线准线的距离为6，则线段的长为 A． B． C． D．无法确定 3．设函数的图象为，下面结论中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．图象关于点对称 C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到 D．函数在区间上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A．．C． D．表示不重合的两个平面，，表示不重合的两条直线．若，，，则“∥”是“∥且∥”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，，则的最大值是 A． B． C． D． 7．点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 A． B． 3 C． D．2 8.设连续正整数的集合，若是的子集且满足条件：当时，，则集合中元素的个数最多是（） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值是．（）的离心率是；渐近线方程是．表示平面区域为，在区域内随机取一点，则点落在圆内的概率为． 12．有一口大钟每到整点就自动以报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声 (12)响12声，且每次报时时相邻两次之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待秒才能确定．的边上有异于顶点的6个点，边上有异于顶点的4个点，加上点，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．已知函数．下列命题：①函数既有最大值又有最小值；②函数的图象轴对称；③函数在区间上零点；④函数在区间上单调递增． 其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）15．40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”. （Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望． 1 6．中，底面是正方形，侧面底面，，点是的中点，点在边上移动． （Ⅰ）若为中点，求证：//平面； （Ⅱ）求证：； （Ⅲ）若，二面角的余弦值等于，试判断点在边上的位置，并说明理由. 17．（本小题满分13分） 若有穷数列，，（是正整数）满足条件：，则称其为“对称数列”．例如，和都是“对称数列”． （Ⅰ）若是25项的“对称数列”，且，是首项为1，公比为2的等比数列．求的所有项和； （Ⅱ）若是50项的“对称数列”，且，是首项为1，公差为2的等差数列．求的前项和，. 18．（本小题满分13分） 设函数． 时,求函数的单调区间； （Ⅱ）设为的导函数，当时，函数的图象总在的图象的上方，求的取值范围． 19．（本小题满分14分） 已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由． 20．（本小题满分13分） 已知函数，，，,且． （Ⅰ）当，，时，若方程恰存在两个相等的实数根，求实数的值； （Ⅱ）求证：方程有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程的两个实数根是，试比较与的大小并说明理由． E A F B C P D 年龄 0.02 0.03 0.01 70 80 60 50 40 30 20。
北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学文试题
北京市旭日区高三年级第一次综合练习数学测试（文史类）2013.4（考试时间120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共40 分）和非选择题（共110 分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 .（ 1）i为虚数单位，复数1的虚部是11i111C．iA ．B．i D .2222（ 2）若会合M x2x 3 ，N x 2x 11，则M NA. (3,)B.( 1,3)C.[ 1,3)D. (2, 1]（ 3）已知向量OA3,4 ,OB6,3， OC2m, m1.若AB / /OC，则实数m的值为1B．331A ．C．D．557（ 4）已知命题p ：x R ，x2x10 ；命题q：x R， sin x cos x 2 .则以下判断正确的选项是A ．p是假命题B．q是假命题C．p q 是真命题 D ．( p) q是真命题（ 5）若直线y x m与圆x2y24x 20 有两个不一样的公共点，则实数m 的取值范围是A ．22,22B．4,0 C．22, 22 D .0,4x0,（ 6）“m2x y0,3”是“对于 x, y 的不等式组y表示的平面地区为三角形”的x 1 0,x y m0A ．充足不用要条件 B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 既不充足也不用要条件（ 7）某个长方体被一个平面所截，获取的几何体的三视图以下图，则这个几何体的体积为A.4１B. 2 2１C.20１322D.8正视图侧视图22俯视图（ 8）已知函数**f ( x)2x1, x N.若x0 , n N，使f (x ) f (x1) f ( xn)63，则0称 ( x0 , n) 为函数 f ( x) 的一个“生成点”.函数 f ( x) 的“生成点”共有A.1 个B.2个C.3个D.4 个第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30分 . 把答案填在答题卡上 .（ 9）以双曲线x2y21的右焦点为焦点，极点在原点的抛物线的标准方程是.3（ 10）履行以下图的程序框图，输出结果S=.开始i=0S=0S=S+2i -1i=i+2否i≥ 6?是输出 S结束（ 11）在等比数列a n中，2a3a2 a40 ，则 a3，若 b n为等差数列，且 b3a3，则数列b n 的前 5 项和等于.（ 12）在ABC中，a , b , c分别为角A , B , C所对的边，且知足 b 7a sin B ，则 sin A，若 B60 ，则sinC.（ 13）函数f( x) 是定义在R上的偶函数，且知足 f (x2) f ( x) .当 x [0,1] 时， f (x) 2x.若在区间[ 2, 2] 上方程 ax a f ( x)0 恰有三个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是.（）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是半圆x24x y20（ 2 ≤x≤ 4 ）上的一个动点，点C14在线段 OA 的延伸线上．当OA OC 20时，则点 C 的纵坐标的取值范围是．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分 . 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（ 15）（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)3sin x sin 2x1（0）的最小正周期为. 222（Ⅰ）求的值及函数 f ( x) 的单一递加区间；（Ⅱ）当 x[0, ] 时，求函数 f ( x) 的取值范围.2（16）（本小题满分 13 分）国家环境标准拟订的空气质量指数与空气质量等级对应关系以下表：空气质量指数0-5051-100101-150151-200201-300300 以上空气质量等级1级优 2 级良 3 级轻度污染 4 级中度污染 5 级重度污染 6 级严重污染由全国要点城市环境监测获取 2 月份某五天甲城市和乙城市的甲城市乙城市空气质量指数数据用茎叶图表示以下：9243173558578610北京市朝阳区2013届高三4月第一次综合练习数学文试题（Ⅰ）试依据上边的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）；（Ⅱ）试依据上边的统计数据，预计甲城市某一天空气质量等级为2 级良的概率；（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级同样的概率．(注： s 21[( x x) 2 ( xx)2( xx) 2]，此中x 为数据 x 1 , x 2 , , x n 的均匀数 .)n12 n（ 17） （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，平面 PAC平面 ABCD ，且 PAAC ， PA AD 2 ．四边形 ABCD 知足 BC AD ，ABAD ， ABBC 1． E 为侧棱 PB 的中点， F 为侧棱 PC 上的随意一点 .（Ⅰ）若 F 为 PC 的中点，求证： EF 平面 PAD ；P（Ⅱ）求证：平面 AFD 平面 PAB ；（Ⅲ）能否存在点F ，使得直线 AF 与平面 PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若不存在，请说明原因．（ 18） （本小题满分 13 分）E F已知函数 f ( x)x 2 (a2) xa ln x ，此中 a R ．（Ⅰ）若曲线 yf ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线的斜率为1，求 a 的值；ADBCf (x) 的单一区间 .（Ⅱ）求函数（ 19） （本小题满分14 分）x 2 y 2 1 a b 0 过点 A(2,0) , 离心率为3已知椭圆 C :2 b 2.a2（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）点B(1,0)且斜率k （ k0 ）的直l 与 C 订交于E, F两点，直AE ， AF 分交直x 3 于 M，N两点,段MN 的中点P.直PB 的斜率k，求 :k k定.（20）（本小分 13 分）由 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 按随意序成的没有重复数字的数，( x1, x2 , , x10 ) ，10S( )| 2x k 3x k 1 |，此中 x11 x1.k 1（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1) ，求 S( ) 的；（Ⅱ）求：S( ) 55 ；（Ⅲ）求 S( ) 的最大.(注：随意a, b R ，a b a b a b 都建立.)北京市旭日区高三年级第一次综合练习数学测试答案（文史类）2013.4一、：（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）答案A C B D D A D B 二、填空：（ 9）（10）（ 11）（12）（ 13）（14）答案y 28x20 2 ；101；130,15,5714（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答：（ 15）（本小分13 分）解：（Ⅰ） f ( x)3x1 cos x11 分sin2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯223sin x1cos x22sin(x) .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分6因 f ( x) 最小正周期，因此2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分于是( ) sin(2) .f xx 6由k2 xk，kZ，得kx k.22 6 2236因此 f ( x) 的 增区 [ k, k6]， kZ .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3 , 7（Ⅱ）因 x[0, ] ，因此 2x6 [ ] ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分1 26 6sin(2x ) 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分2 6.1,1].因此 f (x) 在 [0, ] 上的取 范 是 [⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分22（ 16）（本小 分 13 分）解：（Ⅰ）甲城市的空气 量指数的方差大于乙城市的空气 量指数的方差.⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（Ⅱ）依据上边的 数据，可得在 五天中甲城市空气 量等2 良的 率 3，2 良的概率 3．⋯⋯⋯⋯⋯⋯5估 甲城市某一天的空气 量等6 分,5（Ⅲ） 事件 A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分 任取一个， 两个城市的空气 量等 相同，由 意可知，从甲城市和乙城市的 数据中分 任取一个，共有 25 个 果，分：（ 29， 43），（ 29， 41），（ 29， 55），（ 29，58）（ 29，78） （ 53， 43），（ 53， 41），（ 53， 55），（ 53，58），（ 53， 78）， （ 57， 43），（ 57， 41），（ 57， 55），（ 57，58），（ 57， 78）， （ 75， 43），（ 75， 41），（ 75， 55），（ 75，58），（ 75， 78），（ 106， 43），（ 106， 41），（ 106，55），（ 106， 58），（ 106， 78） . 其数据表示两城市空气 量等 同样的包含同 1 的 甲29，乙 41，乙 43，同 2良的 甲53，甲 57，甲 75，乙 55，乙 58，乙 78.空气 量等 同样的 ： （ 29，41），（ 29， 43），（ 53，55），（ 53， 58），（53， 78） , （ 57，55），（ 57， 58），（57， 78），（ 75，55），（ 75， 58），（75， 78） .共 11 个 果 .11P(A).25因此两个城市空气量等同样的概率11 ．2513 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 17）（本小分14 分）P明：（Ⅰ）因 E, F 分棱 PB , PC 的中点，因此 EF BC ．因 BC AD ，因此 EF AD ．E F而 EF平面 PAD ， AD平面 PAD ，因此 EF平面 PAD ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分DA（Ⅱ）因平面ABCD平面 PAC ，B C平面 ABCD平面 PAC AC ，且 PA AC，PA 平面 PAC.因此 PA平面 ABCD ，又 AD平面 ABCD ，因此 PA AD ．又因 AB AD， PA AB A ，因此 AD平面 PAB ，而 AD平面 AFD ，因此平面AFD平面 PAB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分（Ⅲ）存在点 F ，使得直 AF 与平面 PCD 垂直.在棱 PC 上然存在点 F ,使得 AF PC .由已知， AB AD，BC AD，AB BC1， AD 2 ．由平面几何知可得CD AC ．由（Ⅱ）知， PA平面 ABCD ，因此 PA CD ，因 PA AC A ，因此 CD平面 PAC ．而 AF平面 PAC ，因此 CD AF ．又因 CD PC C ,因此 AF平面 PCD .在PAC 中，PA2, AC2,PAC90，2 6可求得， PC6, PF．3可 直 AF 与平面 PCD 能 垂直，此 段PF 的2 6．⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分3（ 18）（本小 分 13 分）解： ( Ⅰ)由 f ( x)x 2 (a 2) x a ln x 可知，函数定 域x x 0 ，且( ) 2 ( 2) a.由 意，a，xaf (2) 4 (a2)1f xx2解得 a 2 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（Ⅱ） f (x)2x (a2) a(2x a)( x 1) (x0) .xax令 f ( x)0 ，得 x 11， x 2.0 ， a2（ 1）当 a0 ，令 f (x)0 ，得 x 1 ;令 f (x)0 ，得 0 x 1.2函数 f ( x) 的 减区 (0,1) ， 增区(1, ) .20 a 1，即 0 a 2 ，令 f (x) 0，得 0xa或 x 1 .（ ）当22(0, a) ， (1,函数 f (x) 的 增区) .，得a2令 f (x)0 x1 .2( a,1) . 函数 f (x) 的 减区a23 1，即 a2 ， f (x)0 恒建立， 函数f ( x) 的 增区(0, ).（ ）当24 a 1，即 a 2 ，令 f ( x)0 ，得 0 x 1 或 xa ，（ ）当22(0,1) ， ( a,函数 f (x) 的 增区) .a2令 f (x)0 ，得 1x.2(1,a) . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯函数 f (x) 的 减区13 分2（ 19）（本小 分 14 分）a 2b 2c 2 , 解：（Ⅰ）依 得 c3 , 解得 a 24 ， b 21.a 2a 2.因此 C 的方程x 2y 2 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分4（Ⅱ）依据已知可 直 l 的方程 yk(x 1) .y k( x 1),8k 2 x 4k24 0 .由4 y 2 4得 (4 k 21)x 2x 2E( x 1 , y 1), F ( x 2 , y 2 ) , x 1 x 28k 2 , x 1 x 2 4k 2 4 .4k 2 1 4k 2 1直 AE ， AF 的方程分 ：yy 1 ( x 2), y y 2 ( x 2) ，x 1 2x 2 2令 x 3 ，M (3,y 1 ), N (3, y 2 ),因此 P(3,1( y 1 y 2 )) .x 1 2 x 2 22 x 1 2 x 2 2因此 k kk k (x 1 1)( x 2 2) k ( x 2 1)(x 1 2)4( x 1 2)( x 2 2)k 2 2x 1x 2 3(x 1 x 2 ) 4 4 x 1 x 2 2( x 1 x 2 ) 4k 2 8k 2 8 24k 2 16k 2 44k 2 144k 2 4 16k 2 16k 2 44k 2 1k 241 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分44k 2.4（ 20）（本小 分13 分）10解：（Ⅰ） S( )| 2x k 3x k 1 | 7 6 5 4 3 2 1 0 1 28 57 .⋯⋯⋯ 3 分k 1（Ⅱ）明：由a b a b 及其推行可得，S( )2x13x22x23x32x103x112(x1x2x10 ) 3(x2x3x11 )= x1x210(110)55 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分x102（Ⅲ） 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与 3倍共 20个数以下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,30,27,24,21,18,15,12,9,6,3此中最大数之和与最小数之和的差20372131，因此 S( ) 131 ，于0 (1,5,6,7, 2,8,3,9,4,10) ， S( 0 )131 ，131⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分因此 S( ) 的最大.注：使得 S( ) 获得最大的有序数中，只需保数字1， 2，3， 4 互不相，数字7， 8，9， 10 也互不相，而数字5和 6既不在7，8， 9，10之一的后边，又不在1，2， 3，4之一的前方都切合要求 .。
2015.4高三文科一模试题答案1
海淀区高三年级第二学期期中练习数学（文）答案及评分参考 2015.4一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）B （5）C （6）B （7）D （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）1 （10）0 （11）12；-54 （12）y x = （13）[0,1] （14）100110；4 三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为 12(*)n n a a n +=∈N ,所以 21211123S a a a a a =+=+=. ………………1分 因为 2a 是2S 与1的等差中项, 所以 2221a S =+, 即112231a a ⨯=+.所以 11a =. ………………3分 所以 {}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列.所以 11122n n n a --=⨯=. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：111()2n n a -=. 所以111a =, 1111(*)2n nn a a +=⋅∈N . 所以 1{}n a 是以1为首项, 12为公比的等比数列. ………………9分 所以 数列1{}n a 的前n 项和11122(1)1212n n nT -==--. ………………11分 因为 102n >，所以 12(1)22n n T =-<. 若2b <，当22log ()2n b>-时，n T b >.所以 若对*n ∀∈N ,n T λ<恒成立，则2λ≥.所以 实数λ的最小值为2. ………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）0.015a =； ………………2分………………6分（Ⅱ）2212s s <. ………………9分（Ⅲ）乙种酸奶平均日销售量为：50.20150.10250.30350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（箱）. ………………11分乙种酸奶未来一个月的销售总量为：26.530795⨯=（箱）. ………………13分 （17）（共13分）解：（Ⅰ）方法一：因为 2sin sin sin ,A B C =且CcB b A a sin sin sin ==， 所以 2a bc =. ………………2分 又因为 ,cos 2222A bc c b a -+= π3A ∠=， ………………4分 所以 22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-.所以 2()0b c -=.所以 b c =. ………………6分 因为 π3A ∠=， 所以 ABC ∆为等边三角形. 所以 π3B ∠=. ………………7分 方法二： 因为 πA B C ++=，所以 sin sin()C A B =+. ………………1分因为 2sin sin sin B C A =，π3A ∠=， 所以 2ππsin sin()sin33B B +=.所以 13sin sin )24B B B +=. ………………3分所以11cos 232224B B -+⨯=.所以12cos 2122B B -=. 所以 πsin(2)16B -=. ………………5分 因为 (0,π)B ∈，所以 ππ112(,π)666B -∈-. 所以 ππ262B -=，即π3B ∠=. ………………7分 （Ⅱ）因为 2sin sin sin ,A B C =1bc =，且CcB b A a sin sin sin ==， 所以 21a bc ==.所以 222221cos 22b c a b c A bc +-+-== ………………9分21122bc -≥=（当且仅当1==c b 时，等号成立）. ………………11分 因为 (0,π)A ∈，所以 π(0,]3A ∈.所以 sin (0,2A ∈.所以 11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤. 所以 当ABC ∆是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值43. ………………13分（18）（共14分）证明：（Ⅰ）因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以1BE AB ⊥.因为 平面ABCD ⊥平面11ABE F ，且平面ABCD I 平面11ABE F AB =，1BE ⊂平面11ABE F ，所以 1BE ⊥平面ABCD . ………………3分 因为 DC ⊂平面ABCD ，所以 1BE DC ⊥. ………………5分 （Ⅱ）证明：因为 四边形11ABE F 为矩形， 所以 1//AM BE .因为 //AD BC ，AD AM A =I ，1BC BE B =I ，所以 平面//ADM 平面1BCE . ………………7分因为 DM ⊂平面ADM ，所以 //DM 平面1BCE . ………………9分 （Ⅲ）直线CD 与1ME 相交，理由如下： ………………10分 取BC 的中点P ，1CE 的中点Q ，连接AP ，PQ ，QM . 所以 1//PQ BE ，且112PQ BE =. 在矩形11ABE F 中，M 为1AF 的中点， 所以 1//AM BE ，且112AM BE =. 所以 //PQ AM ，且PQ AM =.所以 四边形APQM 为平行四边形.所以 //MQ AP ，MQ AP =. ………………12分 因为 四边形ABCD 为梯形， P 为BC 的中点，2BC AD =， 所以 //AD PC ，AD PC =. 所以 四边形ADCP 为平行四边形. 所以 //CD AP ，且CD AP =. 所以//CD MQ 且CD MQ =. 所以 CDMQ 是平行四边形. 所以 //DM CQ ，即//DM 1CE . 因为 DM ≠1CE ，所以 四边形1DME C 是以DM ，1CE 为底边的梯形.所以 直线CD 与1ME 相交. ………………14分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为 椭圆M 过点(0,1)A -，所以 1b =. ………………1分 因为222 c e a b c a ===+， 所以 2a =.所以 椭圆M 的方程为22 1.4x y += ………………3分（Ⅱ）方法一： 依题意得0k ≠.因为 椭圆M 上存在点,B C 关于直线1y kx =-对称，所以 直线BC 与直线1y kx =-垂直，且线段BC 的中点在直线1y kx =-上. 设直线BC 的方程为11221,(,),(,)y x t B x y C x y k=-+. 由221,44y x t k x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩得 22222(4)8440k x ktx k t k +-+-=. ………………5分由2222222222644(4)(44)16(4)0k t k k t k k k t k ∆=-+-=-+>， 得22240k t k --<.（*） 因为 12284ktx x k +=+， ………………7分 所以 BC 的中点坐标为2224(,)44kt k tk k ++.又线段BC 的中点在直线1y kx =-上，所以 2224144k t ktk k k =-++.所以 22314k t k =+. ………………9分代入（*），得2k <-或2k >. 所以{|}22S k k k =<->或. ………………11分 因为 22143k t k =+，所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分方法二：因为 点(0,1)A -在直线1y kx =-上，且,B C 关于直线1y kx =-对称， 所以 AB AC =，且0k ≠.设1122(,),(,)B x y C x y （12y y ≠），BC 的中点为000(,)(0)x y x ≠.则22221122(1)(1)x y x y ++=++. ………………6分又,B C 在椭圆M 上，所以 2222112244,44x y x y =-=-.所以 2222112244(1)44(1)y y y y -++=-++. 化简，得 2212123()2()y y y y -=-.所以 120123y y y +==. ………………9分 又因为 BC 的中点在直线1y kx =-上， 所以 001y kx =-. 所以 043x k=. 由221,413x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得3x =±所以4033k <<，或4033k -<<，即2k <-，或2k >. 所以{|}22S k k k =<->或. ………………12分 所以 对于k S ∀∈，线段BC 中点的纵坐标恒为13，即线段BC 的中点总在直线13y =上. ………………13分 （20）（共14分） 解：（Ⅰ）2211'()(0)a ax f x x x x x-=-=>. ………………1分当0a <时，'()0f x <，则函数()f x 的单调递减区间是(0,)+∞. ………………2分 当0a >时，令'()0f x =，得1x a=.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下：所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)a ，单调递增区间是(,)a+∞. ………………4分（Ⅱ）因为 存在两条直线1y ax b =+，212()y ax b b b =+≠都是曲线()y f x =的切线，所以 '()f x a =至少有两个不等的正实根. ………………5分 令21ax a x-=得210ax ax -+=，记其两个实根分别为12,x x . 则 21240,10.a a x x a ⎧∆=->⎪⎨=>⎪⎩解得4a >. ………………7分 当4a >时，曲线()y f x =在点1122(,()),(,())x f x x f x 处的切线分别为11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-.令()()(0)F x f x ax x =->.由'()'()0F x f x a =-=得12,x x x x ==（不妨设12x x <），且当12x x x <<时，'()0F x >，即()F x 在12[,]x x 上是单调函数.所以 12()()F x F x ≠.所以 11()y ax f x ax =+-，22()y ax f x ax =+-是曲线()y f x =的两条不同的切线. 所以 实数a 的取值范围为(4,)+∞. ………………9分 （Ⅲ）当0a <时，函数()f x 是(0,)+∞内的减函数.因为 1111111(e)ln(e )1e 10eeaaaaaf a ----=+=-+=-<，而1e(0,1)a-∉，不符合题意. ………………11分当0a >时，由（Ⅰ）知：()f x 的最小值是()1()ln 1ln f a a a a a a=-+=⋅-. （ⅰ）若1()0f a >，即0e a <<时，{|()0}(0,1)x f x ≤=∅⊆，所以，0e a <<符合题意.（ⅱ）若1()0f a=，即e a =时，1{|()0}{}(0,1)ex f x ≤=⊆.所以，e a =符合题意.（ⅲ）若1()0f a <，即e a >时，有101a<<. 因为 (1)10f =>，函数()f x 在1(,)a+∞内是增函数， 所以 当1x ≥时，()0f x >.又因为 函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以 {}()0(0,1)x f x ≤⊆. 所以 e a >符合题意.综上所述，实数a 的取值范围为{|0}a a >. ……………… 14分。
朝阳区2015年4月高三一模答案Final version
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习英语参考答案2015.4第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）1—5 CCBAA第二节（共10小题；每小题1.5分，共15分）6—10 CACCA 11—15 BBABC第三节（共5小题；每小题1.5分，共7.5分）每小题1.5分。
如出现拼写错误不计分；出现大小写、单复数错误扣0.5分；如每小题超过一个词不计分。
16．Carter 17．6295992 18．Sunshine 19．August 20．downtown第二部分：知识运用（共两节，45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）21—25 ABBBA 26—30 DDBCA 31—35 CCDCA第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）36—40 ACBCA 41—45 DDCBD 46—50 BADCC 51—55 ABBDA第三部分：阅读理解（共两节，40分）第一节（共15小题；每小题2分，共30分）56—60 BBACA 61—65 ACABB 66—70 CADAD第二节（共5小题；每小题2分，共10分）71—75 EABDG第四部分：书面表达（共两节，35分）第一节（15分）一、评分原则：1．本题总分为15分，按4个档次给分。
2．评分时，先根据文章的内容和语言质量初步确定其档次，然后以该档次的要求来衡量，确定或调整档次，最后给分。
3．评分时应考虑：内容是否完整，条理是否清楚，交际是否得体，语言是否准确。
4．拼写、标点符号或书写影响内容表达时，应视其影响程度予以考虑。
英、美拼写及词汇用法均可接受。
5．词数少于50，从总分中减去1分。
三、One possible version:Hi Chris,Good news! There will be a lecture in our school this Friday afternoon. Professor Zhang from University of Agriculture will tell us about the history and spread of Chinese tea. This will be followed by a tea party and you can taste different kinds of tea while chatting with teachers and students of our school. I wonder if you want to participate in it. Don’t worry about the language. I’ll be with you and explain what you don’t understand.If you do not have any prior appointment then, I am looking forward to your coming.Yours,Joe第二节（20分）一、评分原则：1．本题总分为20分，按5个档次给分。
北京市朝阳区2015届高三4月第一次综合练习(一模)数学文试题及答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()U A B ð等于A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R , sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R , 0sin 1x ≥D ．:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x > （3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为A ．2B ．2C ．4D ．22（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值 （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<结束 是1,2S t ==否输出S开始100?S ≤S S t =⨯1t t =+第（4）题图（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是A ．π6x = B. π3x = C. 5π12x = D. 2π3x =（7）已知实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若3z x y =+的最大值为5，则z 的最小值为A ．52B ．1C ．0D ．1- （8）已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CD 上的动点（不含端点），过M 作//MH DE 交CE 于H ，作//MG AD 交BD 于G ，连结GH ．设CM x =(03)x <<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是O x3yO x3yO x3yO x3yABC D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）i 为虚数单位，计算1i1i+-= ． （10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ．（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ．（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为： （1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为 元． （14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．第（12）题图11 正视图 侧视图俯视图（16）（本小题满分13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）： （Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校 随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1； （Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在DD BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．（18）（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．（19）（本小题满分14分）ABCDA 1B 1C 1甲校 乙校3 2 9 0 1 5 6 86 * 2 1 8 0 * 22 * 7 36 6 58 5已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为63．过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程． （20）（本小题满分13分）已知函数()()e xaf x x x=+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 答案B DC B A C DA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 题号 （9）（10）（11）（12）（13）（14）答案i3290︒36 7428003三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）因为6cos 3B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=， 所以3sin 3B =. 由正弦定理得，sin sin AC BCB A=. 所以63332AC =. 所以4AC =. ……… 6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+13sin cos 22B B =+ =1336+2323⨯⨯ =3+326. 所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯3+326=23+62. ……13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分 （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B ======= 分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能． 所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC ．因为BD Ì底面ABC ，所以1CC BD ^． 由已知可得，底面ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以BD AC ^． 因为1AC CC C ?，所以BD ^平面11ACC A ． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ． 又因为OD Ì平面1BC D ，1AB Ë平面1BC D ，AB CDA 1B 1C 1O所以直线1//AB 平面1BC D ． ……… 10分（Ⅲ）在DD BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD ^平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ^．又1CE C D ⊥，1BD C D D =I ，所以CE ^平面D BC 1． 又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． ……… 14分（18）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=． ……… 3分（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==． 所以4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩ ……… 6分 （Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩ 所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，C 1AB CDA 1B 1ME所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,6,3,c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得6a =，2b =. 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k+-=+． 解得33k =±．故直线l 的方程为3(2)3y x =±-． ……… 14分（20）（本小题满分13分）解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e xx x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x x +. 所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --. ……… 3分（Ⅱ） 当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x+-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0xx x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分（Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数. （Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ¢<，在()0,1x 上，()0f x ¢>，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x Î()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ¢>，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。
2015届高三第一次半月考数学试题(文)答
2015届高三第一次半月考数学试题(文科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝( C )A ．(－3，0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3，3)2. 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( A )A ．f (x )＝1x 2B ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x 3.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则( B )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b4. 下列叙述中正确的是( D )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2>cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β5．已知f ′（x ）是f （x ）的导函数，在区间[0，+∞）上f ′（x ）<0，且偶函数f （x ）满足1(21)()3f x f -<，则x 的取值范围是（ C ）A.2(,)3+∞B. 1(,)3-∞C. 1(,)3-∞⋃2(,)3+∞D. 12(,)336．如下图所示，函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(|θ|<π2)的图象，那么( A ) A ．ω＝2，θ＝π6 B ．ω＝1011，θ＝－π6 C ． ω＝1011，θ＝π6 D ．ω＝2，θ＝－π67.在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图像可能是( D )A BC D8．将函数f (x )＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移θ(θ>0)个单位，所得函数是奇函数，则实数θ的最小值为( D )A.π6B.5π6C.π12D.5π129．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是( B ) A ．(－∞，－92]∪[6，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[32，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D ．(－∞，－92]∪[32，＋∞) 10. 若0＜x 1＜x 2＜1，则( C )A ．e x 2－e x 1＞ln x 2－ln x 1B ．e x 2－e x 1＜ln x 2－ln x 1C ．x 2e x 1＞x 1e x 2D ．x 2e x 1＜x 1e x 2二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.请把正确答案填在题中横线上)11. ⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝____278____ 12. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是__ x ≤8.______． 13. 曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 e 2214. 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____⎝⎛⎭⎫－22，0____． 15．若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝___516 ___． 16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k ∈Z}； ③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位得到y ＝3sin2x 的图象； ⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数． 其中真命题的序号是___①④_____．17．规定[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2,3]＝2，[－2.7]＝－3，函数y ＝[x ]的图象与函数y ＝ax 的图象在[0,2014)内有2014个交点，则a 的取值范围是__(20132014，1]______． 三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(本题满分12分) 已知p ：函数y=x 2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，q ：函数y=4x 2+4（m ﹣2）x+1大于0恒成立．若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求m 的取值范围．解：若函数y=x 2+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则﹣≤﹣1，∴m ≥2，即p ：m ≥2 …（3分）若函数y=4x 2+4（m ﹣2）x+1大于0恒成立，则△=16（m ﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m ＜3，即q ：1＜m ＜3 …（6分）∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 、q 一真一假 …（7分）当p 真q 假时，由得m ≥3 …（9分）当p 假q 真时，由得1＜m ＜2 …（11分）综上，m 的取值范围是{m|m ≥3或1＜m ＜2} …（12分）19．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax ＋1x 2(x ≠0，常数a ∈R)． (1)讨论常数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．解：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称；当a ＝0时，f (x )＝1x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )， ∴a ＝0时，f (x )是偶函数；当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ，若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾，若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1),1＝－1矛盾，∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数．(2)任取x 1>x 2≥3，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21－ax 2－1x 22 ＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 21x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22)， ∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，∴a >x 1＋x 2x 21x 22，即a >1x 1x 22＋1x 21x 2在[3，＋∞)上恒成立， ∵1x 1x 22＋1x 21x 2<227，∴a ≥227. 20(本题满分13分)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)由y ＝sin x 的图象经过怎样变换得到y ＝f (x )的图象，试写出变换过程；(3)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及最小值． 解：(1)∵f (x )＝a·b＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.(2)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到y ＝sin(x ＋π4)的图象；再把y ＝sin(x ＋π4)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝sin(2x ＋π4)的图象；再把y ＝sin(2x ＋π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变得到y ＝2sin(2x ＋π4)． (3)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤54π. ∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2， 当2x ＋π4＝54π，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.21．(本题满分13分)已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2.(1)求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间;(2)△ABC 中,()()sin 44f A f B A B ππ-+-=,角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c,且C=60︒,c=3,求△ABC 的面积.【解析】(1)由题意,()f x .而0m >,于是m =π()2sin()4f x x =+. ()f x 为递减函数,则x 满足ππ3π2π+2π+242k x k +≤≤ ()k ∈Z , 即π5π2π+2π+44k x k ≤≤()k ∈Z . 所以()f x 在[]0π，上的单调递减区间为ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. (2)设△ABC 的外接圆半径为R ,由题意,得32=23sin sin 60c R C ==.化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=,得sin sin sin A B A B +=.由正弦定理,得()2R a b +=,a b +=. ①由余弦定理,得229a b ab +-=,即()2390a b ab +--=. ②将①式代入②,得()22390ab ab --=.解得3ab =,或 32ab =-(舍去).1sin 2ABC S ab C ∆==. 22．(本题满分14分) 已知函数f （x ）=e x ﹣1﹣x ．（1）求y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）若存在41,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使a ﹣e x+1+x ＜0成立，求a 的取值范围；（3）当x≥0时，f（x）≥tx2恒成立，求t的取值范围．解（1）∵函数f（x）=e x﹣1﹣x．f′（x）=e x﹣1，f（1）=e﹣2，f′（1）=e﹣1．∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+2=（e﹣1）（x﹣1），即y=（e﹣1）x﹣1．（3分）（2）a＜e x﹣1﹣x，即a＜f（x）．令f′（x）=e x﹣1=0，x=0．∵x＞0时，f′（x）＞0，x＜0时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，0）上减，在（0，+∞）上增．又时，∴f（x）的最大值在区间端点处取到，，，∴，∴f（x）在上最大值为，故a的取值范围是，（8分）（3）由已知得x≥0时，e x﹣x﹣1﹣tx2≥0恒成立，设g（x）=e x﹣x﹣1﹣tx2．∴g′（x）=e x﹣1﹣2tx．由（2）知e x≥1+x，当且仅当x=0时等号成立，故g′（x）≥x﹣2tx=（1﹣2t）x，从而当1﹣2t≥0，即时，g′（x）≥0（x≥0），∴g（x）为增函数，又g（0）=0，于是当x≥0时，g（x）≥0，即f（x）≥tx2，∴时符合题意．（11分）由e x＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0），从而当时，g′（x）＜e x﹣1+2t（e﹣x﹣1）=e﹣x（e x﹣1）（e x﹣2t），故当x∈（0，ln2t）时，g′（x）＜0，∴g（x）为减函数，又g（0）=0，于是当x∈（0，ln2t）时，g（x）＜0，即f（x）≤tx2，故，不符合题意．综上可得t的取值范围为（14分）。
2015年朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学〔理工类〕2015．4〔考试时间120分钟 总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.假设B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.假设点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，假设π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如下图的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A . 12B.C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69 D.84第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.假设383a a +=，31S =,则通项公式n a =______. 11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . 〔用数字作答〕13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．假设z 的最大值为5，则实数t的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．〔本小题总分值13分〕已知函数2()cos cos f x x x x =+，x ∈R . 〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期和单调递减区间；〔Ⅱ〕设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin4m 的值．如下图，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．〔Ⅰ〕求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；〔Ⅱ〕现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14分〕如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.〔Ⅰ〕求证:BF //平面CDE ；〔Ⅱ〕求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？假设存在，求出EM EC的值；假设不存在，说明理由.0.0375 0.0125O0.025 A BF E D C已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．〔Ⅰ〕 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.〔本小题总分值14分〕已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕求四边形AMBN 面积的最大值．假设数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． 〔Ⅰ〕假设数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ； 〔Ⅱ〕假设数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)假设2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++〔其中常数,,p q r ∈Z 〕？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？假设存在，求出)(n g ；假设不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案〔理工类〕 2015．4一、选择题〔总分值40分〕〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕三、解答题〔总分值80分〕 15.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时〔k ∈Z 〕，即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分〔Ⅱ〕由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++〔k ∈Z 〕，即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分17.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分〔Ⅱ〕因为平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD =AD ，CDAD ，CD 平面ABCD ，所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ，故CDED .而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE 又AD CD ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos|cos,|DAθ=<>==n. ……………….9分所以平面BDF与平面CDE.(Ⅲ)假设M与C重合，则平面()BDM C的一个法向量(0,0,1)m，由〔Ⅱ〕知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n，则10m n=，则此时平面BDF与平面BDM不垂直. 假设M与C不重合，如图设EMECλ=01λ，则(0,2,1)Mλλ-，设平面BDM的一个法向量000(,,)x y z=m，则DBDM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm，即00002(1)0x yy zλλ+=⎧⎨+-=⎩，令1x=，则0021,1y zλλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m，假设平面BDF⊥平面BDM等价于0⋅=m n，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈.所以，EC上存在点M使平面BDF⊥平面BDM，且12EMEC=.……………….14分18. 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕函数()f x的定义域为{}0x x>.当1a=-时，2()ln2xf x x=-+.211(1)(1)()x x xf x xx x x-+-'=-+==.由(1)(1)x xx+->0x解得1x>；由(1)(1)x xx+-<0x解得01x<<.所以()f x在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x=时,函数()f x取得最小值1(1)2f=. ……………….5分〔Ⅱ〕(1)()()x x a f x x--'=,0x >. 〔1〕当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. 〔ⅰ〕当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x ，2x ，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；〔ⅱ〕当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；〔ⅲ〕当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.〔ⅳ〕当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →〔从右侧趋近0〕时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →〔从右侧趋近0〕时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a，b =， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分〔Ⅱ〕当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =，四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k-=+，所以||AB==． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+====< 当0k =时，四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为 …………………………14分20．〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕假设11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 〔Ⅱ〕因为数列{}n a 的每项都是自然数，假设2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；假设12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 〔Ⅲ〕假设2(1,2,)n a n n ==，则数列n a 单调递增，显然数列m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21m k k N 时，因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-； 当2mk kN 时，22122m k =，所以，22m b k =. 综上，2222,21(2,2(mk k m k k b k mk kN )N )，即当0m且m 为奇数时，212mm b ；当0m 且m 为偶数时，22mm b . 假设数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(nN ). ………13分。
朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，若π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的A ．充分必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x << 7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A .12B.C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69 D.84第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=，31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =+，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin4m 的值． 16．（本小题满分13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）0.03750.0125O0.025如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？若存在，求出EM EC的值；若不存在，说明理由. 18．（本小题满分13分） 已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数. 19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(2,0)F，离心率为3F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值． 20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． （Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ； （Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出)(n g ；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2015．4ABFE D C三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时（k ∈Z ），即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分（Ⅱ）由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++（k ∈Z ），即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10-++=人. 分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4创份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为 随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分17.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分 （Ⅱ）因为平面ADEF ^平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD =AD ， C D A D^，CD Ì平面ABCD ， 所以CD ^平面ADEF .又DE Ì平面ADEF ，故CD ED ^. 而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE ^又AD CD ^，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)=m ，由（Ⅱ）知平面BDF 的一个法向量(1,1,1)=--n ，则010??m n =，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合，如图设EMECλ=()01λ?，则(0,2,1)M λλ-，设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ，则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则0021,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m ， 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以，EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ，且12EM EC =.……………….14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->()0x >解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<()0x >解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >. （1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x =，2x =，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a，b =， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =，四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB=． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 当0k ¹时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+==< 当0k =时，四边形AMBN面积的最大值AMBN S =综上四边形AMBN面积的最大值为 …………………………14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{}n a 的每项都是自然数，若2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；若12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 （Ⅲ）若2(1,2,)n a n n ==，则数列{}n a 单调递增，显然数列{}m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21m k =-()k *ÎN 时，因为222211222222122kk m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-； 当2m k =()k *ÎN时，22122m k =，所以，22m b k =.综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k **ìï-=-?ï=íï=?ïîN )N )， 即当0m >且m 为奇数时，212m m b -=；当0m >且m 为偶数时，22m mb =. 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(n *ÎN ). ………13分。
2015届北京市朝阳区高三第一次综合练习 文科数学
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是 A ．12 B ．12- C ．1i 2- D . 1i 2【答案】A111111(1)(1)222i i i i i i ++===+--+，所以虚部是12，选A.（2）若集合{}23M x x =-<<，{}121x N x +=≥，则MN =A. (3,)+∞B. (1,3)-C. [1,3)-D. (2,1]-- 【答案】C{}121{10}{1}x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，所以{13}MN x x =-≤<，选C.（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．15 B ．3- C ．35- D ．17- 【答案】B(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选B.（4）已知命题p ：x ∀∈R ，210x x +->；命题q ：x ∃∈R ，sin cos x x +=则下列判断正确的是A ．p ⌝是假命题B ．q 是假命题C ．p q ∨⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题 【答案】D因为22131()24x x x +-=+-，所以p 为假命题。
sin cos )4x x x π+=+，所以q 为真命题，所以()p q ⌝∧是真命题，选D.（5）若直线y x m =+与圆22420x y x +++=有两个不同的公共点，则实数m 的取值范围是A．(22 B ．()4,0-C．(22-- D . ()0,4【答案】D圆的标准方程为22(2)2x y ++=，所以圆心为(2,0)-，<即22m -<，解得04m <<，选D.（6）“3m ≥”是“关于,x y 的不等式组0,20,10,0x x y x y x y m ≥⎧⎪-≤⎪⎨-+≥⎪⎪+-≤⎩表示的平面区域为三角形”的A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A当3m ≥时，不等式对应的区域为三角形OBC..当1m =时，此时直线0x y m +-=经过点C ，此时对应的区域也为三角形，所以3m ≥是不等式组表示的平面区域为三角形的充分不必要条件，选A.（7）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C. 203D. 8 【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为122482⨯⨯⨯=。
北京市朝阳区2015届高三下学期第一次综合练习数学(理)试卷 Word版含答案
北京市朝阳区2015届高三下学期第一次综合练习数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{1,2,},{1,}A m B m ==，若B A ⊆，则M = A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或22、已知点00(1,)(0)A y y >为抛物线22(0)y px p =>上一点，若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A ．2 C ．．43、在ABC ∆中，若,cos 633A B BC π===，则AC =A ．．4 C ．．34、“2,10x Rx a x ∀∈++≥成立”是“2a ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入，在如图所示的 框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场的人 次，S 表示面某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进 入商场的总人次数，则判断框内可以填A ．17?t ≤B ．19?t ≥C ．18?t ≥D ．18?t ≤ 6、设123,,x x x 均为实数，且312213223111()log (1),()log (1),()log 333x xx x x x =+=+=，则A ．132x x x <<B ．321x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x << 7、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0),(1,1)A B ，且090BOP ∠=，设()OP OA kOB k R =+∈，则OP =A ．12 BC．2 8、设集合22000000{(,)|20,,}M x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则M 中元素的个数为A ．61B ．65C ．69D ．84第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、i 为虚数单位，计算121ii-=+ 10、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3833,1a a S +==，则通项公式n a =11、在极坐标系中，设0,02ρθπ>≤<，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ= 焦点的极坐标为 12、已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排除一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 （用数字作答）13、设3z x y =+，实数,x y 满足20200x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，其中0t >，若z 的最大值为5，则实数t 的值为 ，此时z 的最小值为 .14、将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再讲剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了次，则第一次挖去的几何体的体积是 ；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分）已知函数()2cos cos ,f x x x x x R =+∈.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设()x m m R =∈是函数()y f x =图像的对称轴，求sin 4m 的值.17、（本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的无损，其中，频率分布直方图的分组分布为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题：（1）求全班人数及分数在[]80,100之间的频率；（2）现从分数在[]80,100之间的试卷中任取3份学生失分情况，设抽取的试卷分数在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知1//,,2AB CD AD CD AB AD CD ⊥==. （1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？ 若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由.18、（本小题满分12分）已知函数()2ln (1),2x f x a x a x a R =+-+∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （2）当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过的直线交椭圆于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形AMBN 面积的最大值.20、（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()m b m N +∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}n b 的控制函数，设()2f m m =. （1）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11b =，求1a ； （2）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11a b =，求1a ； （3）若2(1,2,3,)n a n n ==，是否存在{}n b 生成{}n a 的控制函数()2g n pn qn r =++（其中常数,,p q r Z ∈），使得数列{}n a 也是数列{}n b 的生成数列?若存在，求出()g n ；若不存在，说明理由.。
北京市东城区2015届高三4月综合练习(一)数学(文)试题含解析
2015 年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项）1．（ 5 分）在复平面内，复数z=1﹣ 2i 对应的点的坐标为（）A．（1，2） B．（2，1） C．（1，﹣ 2） D．（2，﹣ 1）【考点】：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】：数系的扩大和复数．【剖析】：利用复数的运算法例、几何意义即可得出；【分析】：解：复数z=1﹣2i 对应的点的坐标为（1，﹣ 2），应选： C．【评论】：本题考察了复数的运算法例、几何意义，属于基础题．2．（ 5 分）双曲线的渐近线方程为（）A ．y= ±B．y= ±x C ．y= ±2x D ．y=±4x【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就获得双曲线的渐近线方程．【分析】：解：双曲线，其渐近线方程，整理得 y= ± ．应选： A．【评论】：本题考察双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．3．（ 5 分）记函数 f （x）的导函数为 f ′（ x），若 f（ x）对应的曲线在点（x0，f （ x0））处的切线方程为 y= ﹣ x+1，则（）A ． f′（x0） =2B ． f′（ x0） =1 C． f′（ x0） =0 D ． f′（ x0） =﹣1【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：导数的观点及应用；直线与圆．【剖析】：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得f （x）对应的曲线在点（ x0， f （x0））处的切线斜率为 f′（ x0），再由切线方程，即可求得切线的斜率．【分析】：解：由导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得 f （ x）对应的曲线在点（ x0， f（ x0））处的切线斜率为 f′（ x0），曲线在点（ x0， f（ x0））处的切线方程为y=﹣ x+1，即有 f ′（ x0） =﹣1．应选 D．【评论】：本题考察导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，同时考察直线的斜率的求法，属于基础题．4．（ 5 分）已知命题p：直线 a，b 不订交，命题 q：直线 a，b 为异面直线，则 p 是 q 的（）A ．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件 D ．既不充足也不用要条件【考点】：必需条件、充足条件与充要条件的判断．【专题】：简略逻辑．【剖析】：依据充足条件和必需条件的定义进行判断．【分析】：解：若直线a，b 不订交，则直线a， b 为异面直线或许为平行直线，故 p 是 q 的必需不充足条件，应选： B．【评论】：本题主要考察充足条件和必需条件的判断，依据空间直线的地点关系是解决本题的要点．5．（ 5 分）在区间 [0 ，2] 上随机取一个实数x，则事件“3x﹣ 1＜ 0”发生的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【剖析】：利用几何概型求概率．先解不等式，再利用解得的区间长度与区间 [0，2] 的长度求比值即得．【分析】：解：由几何概型可知，事件“3x﹣1＜0”可得x，∴在区间 [0， 2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣ 1＜ 0”发生的概率为：P（ 3x﹣ 1＜ 0）=．应选： D．【评论】：本题主要考察了几何概型，简单地说，假如每个事件发生的概率只与组成该事件地区的长度（面积或体积）成比率，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．6．（ 5 分）履行以下图的程序框图，若输出的 b 的值为 4，则图中判断框内① 处应填（）A ． 2 B． 3 C． 4 D．5【考点】：程序框图．【专题】：算法和程序框图．【剖析】：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量模拟程序的运转过程，剖析循环中各变量值的变化状况，可得答案．【分析】：解：当 a=1 时， b=1 不知足输出条件，故应履行循环体，履行完循环体后，a=2；当 a=2 时， b=2 不知足输出条件，故应履行循环体，履行完循环体后，b=4 ，a=3；当 a=3 时， b=4 知足输出条件，故应退出循环，故判断框内①处应填 a≤2，应选： A b 的值，b=2 ，【评论】：本题考察了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运转过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（ 5 分）设会合，则以下命题中正确的选项是（）A ． ? （ x， y）∈D ， x﹣2y≤0 B． ? （ x，y）∈D， x+2y ≥﹣2 C． ? （ x， y）∈D， x≥2 D ． ? （x， y）∈D ， y≤﹣ 1【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【剖析】：作出不等式组对应的平面地区，利用二元一次不等式组表示平面地区的性质分别进行判断即可．【分析】：解：会合对应的平面地区如图：由图象知对应的地区在 x+2y= ﹣ 2 的上方， y=﹣ 1 的上方，x﹣ 2y=0 的上方和下方都有， x=2 的左右都有，故知足条件的是x+2y ≥﹣2，应选： B【评论】：本题主要考察线性规划的应用，利用数形联合是解决本题的要点．8．（ 5 分）某学校餐厅每日供给500 名学生用餐，每礼拜一有 A ， B 两种菜可供选择．检查资料表示，凡是在礼拜一选 A 种菜的学生，下礼拜一会有20%改选 B 种菜；而选 B 种菜的学生，下礼拜一会有30%改选 A 种菜．用 a n，b n分别表示在第n 个礼拜的礼拜一选 A 种菜和选 B 种菜的学生人数，若a1=300 ，则 a n+1与 a n的关系能够表示为（）A ． a n+1n+1+200=+150 B ． a=C． a n+1=n+1+180 +300 D ． a=【考点】：数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【剖析】：由题意可得数列递推式，联合a n+b n=500，两式联立消去b n得数列 {a n} 的递推公式．【分析】：解：依题意得，消去 b n得： a n+1=a n+150 ．应选： A．【评论】：本题考察数列在实质问题中的应用，考察学生对数学知识的应用能力，要点是对题意的理解，是中档题二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．（ 5 分）已知会合A={1} ， B={ ﹣ 1，2m﹣ 1} ，若 A ? B ，则实数m 的值为1．【考点】：子集与真子集．【专题】：会合．【剖析】：依据题意，若 A ? B，必有 1=2m ﹣ 1，注意最后进行会合元素互异性的考证．【分析】：解：若 A ? B ，必有 1=2m ﹣ 1，解可得 m=1 ，考证可得切合会合元素的互异性，故答案为： 1．【评论】：本题考察元素的互异性即会合间的关系，注意解题时要考证互异性．10．（ 5 分）把函数的图象向右平移个单位，所获得的图象的函数分析式为y=sin2x．【考点】：函数 y=Asin （ωx+ φ）的图象变换．【专题】：计算题．【剖析】：三角函数的平移原则为左加右减上加下减．直接求出平移后的函数分析式即可．【分析】：解：把函数的图象向右平移个单位，所获得的图象的函数解析式为：=sin2x故答案为： y=sin2x【评论】：本题是基础题，考察三角函数的图象平移，注意平移的原则：左右平移 x 加与减，上下平移，y 的另一侧加与减．11．（ 5 分）在矩形 ABCD 中，=（ 1，﹣ 3），，则实数k= 4．【考点】：数目积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】：平面向量及应用．【剖析】：依据题意，画出图形，利用?=0，列出方程，求出k 的值．【分析】：解：以下图，在矩形 ABCD 中，=（ 1，﹣ 3），，∴=﹣=（ k﹣ 1，﹣ 2+3） =（k﹣ 1， 1），∴? =1 ×（ k﹣1） +（﹣ 3）×1=0 ，解得 k=4．故答案为： 4．【评论】：本题考察了利用平面向量的数目积表示向量垂直的应用问题，是基础题目．12．（ 5 分）已知函数n1n+1n ），a41 ，f（ x）的关系如表所示，数列 {a} 足 a =3，a=f（ a=a2015= 3 ．【考点】：数列的函数特征．【】：等差数列与等比数列．【剖析】：数列 {a n} 足 a1=3 ， a n+1=f （ a n），由表格可得： a2=f （ a1） =f （ 3）=1 ， a3=f （ a2） =f （ 1） =3，⋯，可得 a n+2=a n，即可得出．【分析】：解：∵数列 {a n} 足 a1=3， a n+1=f （ a n），由表格可得：a2=f （ a1）=f （ 3） =1，a3=f （ a2） =f （ 1）=3， a4=f （ a3） =f （3） =1 ⋯，∴a n+2=a n，∴a2015=a1007×2+1=a1 =3．故答案分：1； 3．【点】：本考了函数的性、数列的周期性，考了算能力，属于基．13．（ 5 分）函数 f （x）是定在R 上的偶函数，且足 f （x+2） =f （ x）．当 x∈[0， 1] ， f（ x） =2x．若在区 [ 2，3] 上方程 ax+2a f（ x） =0 恰有四个不相等的数根，数 a 的取范是．【考点】：根的存在性及根的个数判断．【】：函数的性及用．【剖析】：等价于在区 [ 2，3] 上函数 f（x）与 y=a（ x+2）的象有四个不一样的交点，由函数的性可作出它的象，由斜率公式可得界，而可得答案．【分析】：解：在区 [ 2， 3] 上方程 ax+2a f （x） =0 恰有四个不相等的数根，等价于在区 [ 2，3] 上函数 f（ x）与 y=a（ x+2）的象有四个不一样的交点，由 f （ x+2） =f （ x）可得函数的周期2，且偶函数，函数 y=a（ x+2 ）的象定点（ 2， 0）且斜率 a 的直，作出它的象可得：由可知，当直介于CB 和 CA 之切合意，而由斜率公式可得 k CB== ， k CA == ，故实数 a 的取值范围是：，故答案为：【评论】：本题考察方程根的存在性及个数的判断，数形联合是解决问题的要点，属中档题．14．（ 5 分） C 是曲线 y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A 的坐标是（﹣ 1，0）．设∠ CAO= θ（此中 O 表示原点），将 AC+CD 表示成对于θ的函数f（θ），则f（θ）= 2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，），f（θ）的最大值为．【考点】：函数的最值及其几何意义．【专题】：计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【剖析】：由题意作出图形，再连接 CO，从而可得点 C 的坐标为（﹣ cos（ 180°﹣2θ），sin（180°﹣ 2θ））；从而化简可得f（θ）=2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；再由二倍角公式化简为二次函数的形式，从而求最大值．【分析】：解：如右图，连接CO，由图可知，θ∈[，），∵∠ CAO= θ，∴∠ COA=180 °﹣ 2θ，∴点 C 的坐标为（﹣ cos（180°﹣ 2θ）， sin（ 180°﹣2θ））；即点 C 的坐标为（ cos2θ， sin2θ）；∴AC===2|cosθ|=2cosθ，CD=|cos2θ|=﹣ cos2θ，故 f （θ） =2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；f（θ）=2cosθ﹣ cos2θ2=﹣ 2cos θ+2cosθ+12=﹣ 2（ cosθ﹣）+，故当 cosθ=，即θ=时，f（θ）有最大值．故答案为： 2cosθ﹣ cos2θ，θ∈[，）；．【评论】：本题考察了三角函数的性质与应用及三角恒等变换的应用，同时考察了函数的最值的求法，属于中档题．三、解答题（共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（ 13 分）下边的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的均匀数是16.8．（Ⅰ）求x， y 的值；3 名，求恰有 2 名学生在乙组的（Ⅱ）从成绩不低于10 分且不超出20 分的学生中随意抽取概率．【考点】：列举法计算基本领件数及事件发生的概率；频次散布直方图．【专题】：概率与统计．【剖析】：（Ⅰ）依据中位数均匀数的定义求出即可；（Ⅱ）分别计算成绩不低于10 分且不超出20 分的学生中随意抽取 3 名的取法种数，和恰有 2名学生在乙组取法种数，代入古典概型概率公式，可得答案【分析】：解：（Ⅰ）甲组五名学生的成绩为9， 12， 10+x ， 24，27．乙组五名学生的成绩为9，15， 10+y， 18， 24．因为甲组数据的中位数为13，乙组数据的均匀数是16.8因此 10+x=13 ， 9+15+10+y+18+24=16.8 ×5因此 x=3， y=8 ；（Ⅱ）成绩不低于（10 分）且不超出（20 分）的学生中共有 5 名，此中甲组有 2 名，用 A ，B 表示，乙组有 3 名，用 a， b，c 表示，从中随意抽取 3 名共有10 种不一样的抽法，分别为（ A ，B ，a），（ A ，B， b），（ A ，B ，c），（ A ，a， b），（A ， a， c），（ A ， b， c），（ B ，a， b），（B， a， c），（ B， b， c），（a， b， c）恰有 2 名学生在乙组共有 6 种不一样抽法，分别为（ A ， a， b），（ A ， a， c），（A ， b，c），（ B，a， b），（B ， a，c），（ B， b， c）因此概率为 P== ．【评论】：本题考察了古典概型概率计算公式，茎叶图，掌握古典概型概率公式：概率=所求状况数与总状况数之比是解题的要点16．（ 13 分）在△ABC 中， a， b，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边，且知足 sinA+cosA=2 ．（ 1）求 A 的大小；（ 2）现给出三个条件：① a=2；② B=45 °；③ c=b．试从中选出两个能够确立△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依照求△ABC 的面积（只要写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．【考点】：正弦定理；余弦定理．【专题】：解三角形．【剖析】：（ 1）利用两角和公式对已知等式化简求得sin（A+）的值，从而求得 A ．（ 2）选择①②利用正弦定理先求得sinC 的值，从而利用三角形面积公式求得三角形的面积．【分析】：解：（1）依题意得 2sin（ A+）=2，即 sin（ A+） =1，∵ 0＜ A＜π，∴＜ A+＜，∴ A+=，∴ A=．（ 2）选择①②由正弦定理=，得 b=?sinB=2，∵ A+B+C= π，∴ sinC=sin （ A+B ） =sinAcosB+cosAsinB=+，∴ S=absinC=×2×2×=+1．【评论】：本题主要考察了正弦定理的应用．正弦定理和余弦定理是解三角形问题中重要的两个定理，应娴熟掌握．17．（ 14 分）如图甲，⊙ O 的直径 AB=2 ，圆上两点C， D 在直径 AB 的双侧，且∠CBA= ∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面相互垂直（如图乙）， F 为BC的中点，E 为AO的中点．依据乙解答以下各：（Ⅰ）求：CB⊥DE ；（Ⅱ）求三棱 C BOD 的体；（Ⅲ）在劣弧上能否存在一点G，使得 FG∥平面 ACD ？若存在，确立点G 的地点；若不存在，明原因．【考点】：棱柱、棱、棱台的体；直与平面平行的性．【】：合；空地点关系与距离．【剖析】：（Ⅰ）利用等三角形的性可得DE⊥ AO ，再利用面面垂直的性定理即可得到 DE ⊥平面 ABC ，而得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE ⊥平面 ABC ，利用底面的方法，即可求三棱的体；（Ⅲ）存在，G 劣弧的中点．接OG ， OF， FG，通明平面OFG∥平面ACD ，即可获得．【分析】：（Ⅰ）明：在△AOD中，∵， OA=OD ，∴△ AOD 正三角形，又∵ E OA 的中点，∴DE⊥ AO⋯（ 1 分）∵两个半所在平面ACB 与平面 ADB 相互垂直且其交AB ，∴ DE⊥平面 ABC ．⋯（3 分）又 CB ? 平面 ABC ，∴ CB⊥ DE．⋯5 分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面 ABC ，∴ DE 三棱 D BOC 的高．∵ D 周上一点，且 AB 直径，∴，在△ABD 中，由 AD ⊥BD ，， AB=2 ，得 AD=1 ，．⋯（6分）∵，∴== ．⋯（8 分）（Ⅲ）解：存在足意的点G，G 劣弧的中点．⋯（9分）明以下：接 OG， OF， FG，易知 OG⊥ BD ，又 AD ⊥BD ∴ OG∥ AD ，∵ OG? 平面 ACD ，∴ OG∥平面 ACD ．⋯（ 10 分）在△ABC 中， O，F 分 AB ， BC 的中点，∴OF∥ AC ，OF? 平面 ACD ，∴ OF∥平面 ACD ，⋯（ 11 分）∵OG ∩OF=O ，∴平面 OFG ∥平面 ACD ．又 FG? 平面 OFG，∴ FG∥平面 ACD ．⋯（ 12 分）【点】：本考、面、面面关系，考垂直的判断、面面垂直的性、面平行的判断及几何体高与体的算，考空想象能力、推理能力、运算求解能力及剖析研究和解决的能力．18．（ 14 分）已知x=1是的一个极点（Ⅰ）求 b 的；（Ⅱ）求函数f（ x）的减区；（Ⅲ）g（ x） =f （x），点（2，5）可作多少条直与曲y=g（ x）相切？明原因．【考点】：函数在某点获得极的条件；利用数研究函数的性；利用数研究曲上某点切方程．【】：合．【剖析】：（Ⅰ）先求出 f ′（ x），再由 x=1 是的一个极点，得 f ′（ 1）=0，由此能求出b．（II）由 f ′（x） =2+＜0，得，再合函数的定域能求出函数的减区．（ III ） g（ x） =f （ x）=2x+lnx，点（2，5）与曲g（ x）的切的切点坐（x0，y0），故2x0+lnx 05=（ 2+）（ x0 2），由此能推出点（2， 5）可作 2 条直与曲y=g （x）相切．【分析】：解：（Ⅰ）∵x=1是的一个极点，f′（ x）=2+，∴f′（1） =0 ，即 2 b+1=0，∴b=3 ，，合适意，∴b=3 ．（ II ）由 f ′（x） =2﹣+ ＜0，得，∴﹣，又∵ x＞0（定义域），∴函数的单一减区间为（0， 1]．（ III ） g（ x） =f （ x）﹣=2x+lnx ，设过点（ 2， 5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x0， y0），∴，即 2x0+lnx 0﹣5=（2+）（ x0﹣2），∴ lnx0+﹣5=（2+）（ x0﹣ 2），∴lnx 0+ ﹣ 2=0 ，令 h（ x） =lnx+，，∴ x=2．∴ h（ x）在（ 0，2）上单一递减，在（2， +∞）上单一递加，2∵ h（）=2﹣ln2＞0，h（2）=ln2﹣1＜0，h（e）=＞0，∴ h（ x）与 x 轴有两个交点，∴过点（ 2， 5）可作 2 条直线与曲线y=g （ x）相切．【评论】：本题考察实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2， 5）可作多少条直线与曲线 y=g（ x）相切，考察运算求解能力，推理论证能力；考察化归与转变思想．综合性强，难度大，有必定的研究性，对数学思想能力要求较高，是高考的要点．解题时要认真审题，认真解答．19．（ 13 分）已知椭圆C：+ =1（a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为，M 为椭圆上随意一点且△MF 1F2的周长等于 6．（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ）以 M 为圆心， MF 1为半径作圆 M ，当圆 M 与直线 l ：x=4 有公共点时，求△MF 1F2面积的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【剖析】： （ 1）依据 △MF 1F 2 的周长等于 6，再由离心率为 可求出 a 的值， 从而获得 b 的值，写出椭圆方程．（ 2）先设 M 的坐标为（ x 0， y 0）依据题意知足椭圆方程，利用圆M 与 l 有公共点可获得 M到 l 的距离 4﹣ x 0 小于或等于圆的半径 R ，整理可获得关系 2y 0 +10x 0﹣ 15≥0，再由即可消去 y 0，求出 x 0 的取值范围，再表示出 △MF 1F 2 面积即可求出最大值．【分析】： 解：（1）因为椭圆的离心率为 ， M 为椭圆上随意一点且△MF 1F 2 的周长等于 6．因此 c=1， a=2．因此 b 2=3．因此椭圆 C 的方程为．（ 2）设点 M 的坐标为（ x 0， y 0），则．因为直线 l 的方程为 x=4，圆 M 与 l 有公共点，因此 M 到 l 的距离 4﹣ x 0 小于或等于圆的半径R ．22 2 2因为 R=MF 1 =（ x 0+1） +y 0 ，因此（ 4﹣ x 0） 22 0 2，≤（x +1） +y即 y 02+10x 0﹣ 15≥0．又因为 ，因此 3﹣+10x 0﹣ 15≥0．解得 ．又﹣ 2＜x 0＜ 2，则，因此 0＜|y 0|≤因为 △MF 1F 2 面积为 |y 0||F 1F 2|=|y 0|，因此当 |y 0|= 时， △MF 1F 2 面积有最大值．【评论】： 本题主要考察椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的要点，每年必考，常常以压轴题的形式出现，要想答对本题一定娴熟掌握其基础知识，对各样题型多加练习．20．（ 13 分）已知等差数列 {a n } 中， a 1=5 ，7a 2=4a 4，数列 {b n } 前 n 项和为 S n ，且 S n =2（ b n ﹣ 1）（ n ∈N *）．（Ⅰ）求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）设数列，求 {c n } 的前 n 项和 T n ；（Ⅲ）把数列 {a n } 和 {b n } 的公共 从小到大排成新数列 {d n } ， 写出 d 1， d 2，并 明 {d n } 等比数列．【考点】： 数列的乞降；等比关系确实定． 【 】： 等差数列与等比数列． 【剖析】： （ I ） 等差数列 {a n } 的公差 d ，由 a 1=5， 7a 2=4a 4，利用等差数列的通 公式解出 d ，即可得出 a n ．由数列 {b n } 前 n 和 S n ， S n =2（b n 1）（ n ∈N ）利用 推式与等比数列的通 公式即可得出 b n ．（ II ）由数列，利用等差数列与等比数列的前 n 和公式， 先求出当 n偶数 ， T n =（ a 1+a 3+⋯+a n ﹣ 1）+（ b 2+b 4+⋯+b n ）． 当 n （ n ≥3） 奇数 ，T n =T n ﹣ 1+a n ，即可得出．（ III ）由 a n =3n+2，b n =2n ．可得 d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32 ．假 d n =a m =b k =2 k （ k ∈N *）．可得 3m+2=2 k，分 研究 b k+1 ， b k+2 是不是数列 {a n } 中的 ，即可 明．【分析】： 解：（I ） 等差数列 {a n } 的公差 d ，∵ a 1=5， 7a 2=4a 4，∴ 7（ 5+d ） =4（5+3d ），解得 d=3．∴ a n =5+3（ n 1）=3n+2 ．∵数列 {b n } 前 n 和 S n ， S n =2（ b n 1）（ n ∈N *）． ∴当 n=1 ， b 1=2（ b 1 1），解得 b 1=2． b n =S n S n ﹣ 1=2b n 2b n ﹣1，化 b n =2b n ﹣1，∴数列 {b n } 是等比数列，首2，公比2，∴ b n =2n． （ II ）∵数列，∴当 n 偶数 ， T n =（ a 1+a 3+⋯+a n ﹣ 1） +（b 2+b 4+⋯+b n ）=+=．当 n （ n ≥3） 奇数 ，T n =T n ﹣ 1+a n =+3n+2=++，n=1 上式也建立．∴ T n =．（ III ）由 a n =3n+2， b n =2n．∴ d 1=8=a 2=b 3，d 2=d 2=a 10=b 5=32． k*假 d n =a m =b k =2 （ k ∈N ）．3m+2=2 k，k+1 k∴ bk+1 =2 =2 ×2 =2（ 3m+2） =3 （2m+1） +1 不是数列 {a n } 中的 ； b k+2=4×2k=4 （ 3m+2 ）=3（ 4m+2 ） +2，是数列 {a n } 中的 ．∴d n+1=a4m+2=b k+2 =2k+2，∴==4．∴数列 {d n} 为等比数列，首项为 8，公比为 4．【评论】：本题考察了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考察了分类议论思想方法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．。
北京市朝阳区2015届高三保温练习(一)数学【文】试题及答案
y 2 1有两个不同
的交点 P 和 Q ．
（Ⅰ）求 k 的取值范围；
（Ⅱ） 设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A， B ，是否存在常数 k ，使得向量 OP OQ
与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
20．（本小题满分 14 分）
已知函数 f x ln x ax2
务宣传志愿者． 现从符合条件的志愿者中随
机抽取 100 名按年龄分组： 第 1 组 20,25 ，
第 2 组 25,30 ，第 3 组 30,35 ，第 4 组
35,40 ，第 5 组 40,45 ，得到的频率分
布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第 3，4，5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第 3，4，
则满足 PA + PC ' = 2 的点 P 的个数为（
）
A．4 C． 8
B．6 D． 12
A B
A' B'
D C
D' C'
. 上一点，
二、填空题 : 本大题共 6 小题 , 每小题 5 分 , 共 30 分 .
9． 已知复数 z 满足 1 2i 1 2i ，则复数 z =_____________．
z
x2 y2 10．已知双曲线 a 2 4 1的渐近线方程为 y
23 x ，则此双曲线的离心率为 _______．
3
11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图有半径为
为
．
2 的四分之一个圆弧，则该几何体的体积
2
2
2 正 视图
2 左视图俯视图ຫໍສະໝຸດ 12．在 ABC 中， A
， AB 2 ，且 ABC 的面积为 3 ，则边 BC 的长为 __________ ．
朝阳高三一模数学卷理科有答案
2015年朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或2 2.已知点0(1,)A y 0(0)y>为抛物线22ypx =()0p >上一点.若点A到该抛物线焦点的距离为3，则0y = A.B. 2C.D. 43.在ABC∆中，若π3A =，cos B =，6BC =,则AC =A.B.4C.4.“x∀∈R,210 Array x ax++≥成立”是“2a≤”的A．充分必要条件B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如图所示的框图中，t表示整点时刻，()a t表示时间段[1,)-内进入商场人次，t tS表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t≤B．19?t≥C．18?t≥D．18?t≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x << B. 321x x x << C. 312x x x << D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A . 12B. C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为A.61B. 65C. 69D.84第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i 1i-=+ ______. 10.设nS 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=，31S =,则通项公式na =______.11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______.12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答） 13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()coscos f x x x x=，x ∈R .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin 4m的值．16．（本小题满分13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．0.0 0.0 0.0O 0.0 0.（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X，求X的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知//,⊥，12AB CD AD CD==.AB AD CD（Ⅰ）求证:BF//平面CDE；（Ⅱ）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC上是否存在点M，使E得平面BDM⊥平面BDF？F若存在，求出EM EC 的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．20.（本小题满分13分）若数列{}na 中不超过()f m 的项数恰为mb()m ∈*N ，则称数列{}mb 是数列{}na 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}na 生成{}mb 的控制函数．设2()f m m =．（Ⅰ）若数列{}na 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ；（Ⅱ）若数列{}na 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)若2(1,2,3)nan n ==，是否存在{}mb 生成{}na 的控制函数2()g n pnqn r=++（其中常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}mb 的生成数列？若存在，求出)(n g ；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类）2015．4 一、选择题（满分40分）二、填空题（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时（k ∈Z ），即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分（Ⅱ）由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++（k ∈Z ），即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m =. ………………….13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=， 所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望为1131601236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,ABAF A =所以平面//ABF 平面CDE ， 因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE. ……………….4分（Ⅱ）因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，CD AD，CD平面ABCD，所以CD平面ADEF.又DE平面ADEF，故CD ED.而四边形ADEF为正方形，所以AD DE又AD CD，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D xyz-.设1AD=，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E，取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则0DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos ,|DA θ=<>=n . ……………….9分所以平面BDF 与平面CDE所成锐二面角的余弦值是. (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量(0,0,1)m ，由（Ⅱ）知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n ，则010mn =，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直. 若M 与C 不重合，如图设EM ECλ=01λ，则(0,2,1)M λλ-，设平面BDM 的一个法向量0(,,)x y z =m ，则0DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即002(1)0x y y zλλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则0021,1yz λλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m ， 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈.所以，EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ，且12EM EC =.……………….14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >. 当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==. 由(1)(1)x x x+->0x 解得1x >；由(1)(1)x x x+-<0x 解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >.（1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数;(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x=-，由于0x >，令()f x ，2x，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点； （ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点. （ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时， 由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有两个零点. (2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--. 当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数. 且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞.所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<< ()f x 有两个零点.…………….13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN = 四边形AMBN 面积为1||||42AMBNSMN AB =⋅=．当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBNS AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k xk x k +-+-=，则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB=．因为121224(4)13k y yk x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k 时，直线OD 方程为30x ky +=， 由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,xky =-232213y k =+．所以121||()2AMBNSAB d d =+12====．当0k =时，四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN面积的最大值为． (14)分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若11b =，因为数列{}na 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{}na 的每项都是自然数，若2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；若12a ≥，则因{}na 单调递增，故不存在21na≤，即10b =，也与11a b =矛盾.当11=a时，因{}na 单调递增，故2≥n 时，1>na，所以11b =，符合条件，所以，11a =.………6分 （Ⅲ）若2(1,2,)na n n ==，则数列na 单调递增，显然数列mb 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，mb 为不超过212m 的最大整数，当21mk kN时，因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+，所以222mb k k=-； 当2mk kN时，22122m k =，所以，22mbk =.综上，2222,21(2,2(mk k m k k b k mk kN )N )，即当0m且m 为奇数时，212mm b；当0m且m 为偶数时，22mm b .若数列{}na 是数列{}mb 的生成数列，且{}mb 生成{}na 的控制函数为()g n ，则mb 中不超过()g n 的项数恰为na ，即mb 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()nn b g n b +≤<，即222222npn qn r n n≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-； 所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(n N ).………13分。
2015年北京朝阳高三一模数学试题及答案
2015年北京朝阳一模数学试题及答案北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px=()0p >上一点.若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，若π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A . 12B. 2C.D.28. 设集合M ={}220000(,)20,,x y xy x y +≤∈∈Z Z，则M 中元素的个数为A.61B. 65C. 69D.84第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.i 为虚数单位，计算12i1i -=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若383a a +=，31S =,则通项公式n a =______.11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______.12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . （用数字作答）13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若z 的最大值为5，则实数t 的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos cos f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin 4m 的值．16．（本小题满分13分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．（Ⅰ）求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；（Ⅱ）现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD==.（Ⅰ）求证:BF //平面CDE ；0.0375 0.01250.025（Ⅱ）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？ 若存在，求出EMEC 的值；若不存在，说明理由.18．（本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x=+-+，a ∈R ．（Ⅰ） 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （Ⅱ） 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F，离心率为3F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求四边形AMBN 面积的最大值．20.（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． （Ⅰ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ； （Ⅱ）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)若2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++（其中ABFED C常数,,p q r ∈Z ）？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？若存在，求出)(n g ；若不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类） 2015．4（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x =π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时（k ∈Z ），即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分（Ⅱ）由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++（k ∈Z ），即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m = ………………….13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分（Ⅱ）因为平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD =AD ，CDAD ，CD平面ABCD ，所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ，故CD ED .而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE 又AD CD ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos |cos ,|DA θ=<>==n . ……………….9分 所以平面BDF 与平面CDE. (Ⅲ)若M 与C 重合，则平面()BDM C 的一个法向量0(0,0,1)m ，由（Ⅱ）知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n，则010m n =，则此时平面BDF 与平面BDM 不垂直.若M 与C 不重合，如图设EMECλ=01λ，则(0,2,1)M λλ-，设平面BDM 的一个法向量000(,,)x y z =m ，则00DB DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即000002(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩，令01x =，则0021,1y z λλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m ， 若平面BDF ⊥平面BDM 等价于0⋅=m n ，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈. 所以，EC 上存在点M 使平面BDF ⊥平面BDM ，且12EM EC =.……………….14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+.211(1)(1)()x x x f x x x x x -+-'=-+==. 由(1)(1)0x x x +->0x 解得1x >；由(1)(1)0x x x+-<0x解得01x <<.所以()f x 在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x =时,函数()f x 取得最小值1(1)2f =. ……………….5分 （Ⅱ）(1)()()x x a f x x--'=,0x >.（1）当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数. 所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. （ⅰ）当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x ，2x ，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；（ⅱ）当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；（ⅲ）当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.（ⅳ）当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →（从右侧趋近0）时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值.21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →（从右侧趋近0）时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a =b 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN = 四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k -=+，所以||AB==因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+．所以121||()2AMBN S AB d d =+12=====．当0k =时，四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为． …………………………14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）若11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 （Ⅱ）因为数列{}n a 的每项都是自然数，若2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；若12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 （Ⅲ）若2(1,2,)n a n n ==，则数列n a 单调递增，显然数列m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21mkk N 时，因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-； 当2mk kN 时，22122m k =，所以，22m b k =.文档供参考，可复制、编制，期待您的好评与关注！11 / 11 综上，2222,21(2,2(m k k m k k b k m k k N )N )，即当0m 且m 为奇数时，212m m b ；当0m 且m 为偶数时，22m m b . 若数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ， 所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立， 故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈. 又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-； 所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(n N ). ………13分。
2015年北京市朝阳区高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c} 2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1 3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．24．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x26．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣18．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为．12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为元．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c}，则∁U（A ∪B）等于（）A．{b}B．{d}C．{a，c，d}D．{a，b，c}【解答】解：∵A＝{a，b}，B＝{b，c}，∴A∪B＝{a，b，c}，则∁U（A∪B）＝{d}，故选：B．2．（5分）命题p：∀x∈R，都有sin x≤1，则（）A．￢p：∃x0∈R，使得sin x0≥1B．￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1C．￢p：∀x0∈R，使得sin x0≥1D．￢p：∀x0∈R，使得sin x0＞1【解答】解：命题p为全称命题，则根据全称命题的否定是特此命题得：￢p：∃x0∈R，使得sin x0＞1．故选：B．3．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2＝2的右焦点重合，则p的值为（）A．B．2C．4D．2【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），双曲线x2﹣y2＝2即﹣＝1的右焦点为（2，0），由题意可得＝2，解得p＝4．故选：C．4．（5分）如图所示的程序框图表示的算法功能是（）A．计算S＝1×2×3×4×5×6的值B．计算S＝1×2×3×4×5的值C．计算S＝1×2×3×4的值D．计算S＝1×3×5×7的值【解答】解：模拟执行程序，可得S＝1，t＝2满足条件S≤100，S＝1×2＝2，t＝3满足条件S≤100，S＝1×2×3＝6，t＝4满足条件S≤100，S＝1×2×3×4＝24，t＝5满足条件S≤100，S＝1×2×3×4×5＝120，t＝6不满足条件S≤100，退出循环，输出S的值为120．故程序框图的功能是求S＝1×2×3×4×5的值．故选：B．5．（5分）已知x 1＝log2，x2＝2，x3满足（）＝log3x3，则（）A．x1＜x3＜x2B．x1＜x2＜x3C．x2＜x1＜x3D．x3＜x1＜x2【解答】解：∵x3满足＝log3x3，∴x3＞0，∴0，∴x3＞1．又∵x 1＝2＜0，0＜x2＝＜1，∴x1＜x2＜x3．故选：B．6．（5分）函数f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【解答】解：f（x）＝2sin（x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x﹣），令：2x﹣＝kπ+（k∈Z），解得：x＝（k∈Z），当k＝0时，x＝，故选：C．7．（5分）已知实数x，y满足其中t＞0．若z＝3x+y的最大值为5，则z的最小值为（）A．B．1C．0D．﹣1【解答】解：由题意作出其平面区域，将z＝3x+y化为y＝﹣3x+z，z相当于直线y＝﹣3x+z的纵截距，故结合图象可得，，解得，x＝1，y＝2；故t＝2；由解得，x＝﹣1，y＝2；故z的最小值为z＝﹣1×3+2＝﹣1；故选：D．8．（5分）已知边长为3的正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，M为线段CD上的动点（不含端点），过M作MH∥DE交CE于H，作MG ∥AD交BD于G，连结GH．设CM＝x（0＜x＜3），则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C﹣GHM的体积y与变量x变化关系的是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，因为正方形ABCD与正方形CDEF所在的平面互相垂直，又过M作MH∥DE交CE于H，作MG∥AD交BD于G，所以GM⊥HM，设CM＝x（0＜x＜3），则HM＝CM，GM＝DM＝3﹣x，所以三棱锥的体积为V＝＝＝，（0＜x ＜3）令V'＝﹣＝0，解得x＝0或者x＝2，体积在（0，2）随x的增大而增大，在（2，3）增大而减小，V关于x的图象如下：故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）若i为虚数单位，则＝i．【解答】解：＝＝＝i故答案为：i．10．（5分）若向量a，b满足||＝||＝1，的夹角为60°，则＝．【解答】解：∵，∴＝1+＝．故答案为11．（5分）圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8与y轴相交于A，B两点，则弦AB所对的圆心角的大小为90°．【解答】解：当x＝0时，得（y﹣2）2＝4，解得y＝0或y＝4，则AB＝4﹣0＝4，半径R＝＝，∵OA2+OB2＝（）2+（）2＝8+8＝16＝（AB）2，∴△AOB是直角三角形，∴∠AOB＝90°，即弦AB所对的圆心角的大小为90°，故答案为：90°12．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是，四棱锥侧面中最大侧面的面积是．【解答】解：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥底面为ABCD为边长为1的正方形，△P AD是边长为1的等边三角形，PO垂直于AD于点O，其中O为AD的中点，所以四棱锥的体积为V＝＝，四棱锥侧面中最大侧面是△PBC，PB＝PC＝，BC＝1，面积是＝．故答案为：；．13．（5分）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用．适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为：（1）每次收入不超过4000元的：应纳税额＝（每次收入额﹣800）×20%×（1﹣30%）（2）每次收入在4000元以上的：应纳税额＝每次收入额×（1﹣20%）×20%×（1﹣30%）．已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费（扣税前）为2800元．【解答】解：由题意，设这个人应得稿费（扣税前）为x元，则280＝（x﹣800）×20%×（1﹣30%）所以x＝2800，故答案为：2800．14．（5分）记x2﹣x1为区间[x1，x2]的长度．已知函数y＝2|x|，x∈[﹣2，a]（a≥0），其值域为[m，n]，则区间[m，n]的长度的最小值是3．【解答】解：；∴①x∈[﹣2，0）时，；∴此时1＜y≤4；②x∈[0，a]时，20≤2x≤2a；∴此时1≤y≤2a，则：0≤a≤2时，该函数的值域为[1，4]，区间长度为3；a＞2时，区间长度为2a﹣1＞3；∴综上得，区间[m，n]长度的最小值为3．故答案为：3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，A＝，cos B＝，BC＝6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cos B＝，B∈（0，π），又sin2B+cos2B＝1，解得sin B＝．由正弦定理得：，即，∴AC＝4；（Ⅱ）在△ABC中，sin C＝sin（B+60°）＝sin B cos60°+cos B sin60°＝＝．∴＝．16．（13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）：（Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．【解答】解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试的数学成绩平均分高于甲校10名学生的考试的数学成绩，故乙学校的数学成绩平均水平较高（Ⅱ）设事件M为分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩，由茎叶图可以看出，甲校数学成绩不低于90分的有2人，记为a、b，甲校数学成绩不低于90分的有5人，记为A、B、C，D，E，其中a＝92，b＝93，A＝90，B＝91，B＝95，D＝96，E＝98，分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的学生其情况有（aA）、（aB）、（aC）、（aD）、（aE）、（bA）、（bB）、（bC）、（bD）、（bE），共10种情况；甲校学生成绩高于乙校学生成绩共有（aA）、（aB）、（bA）、（bB）四种可能，故P（M）＝＝17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）求证：直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使CE⊥DM，并说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴CC1⊥底面ABC，∵BD⊂底面ABC，∴CC1⊥BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点．∴BD⊥AC，又AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1A1；（Ⅱ）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，如图则O为B1C的中点，∵D是AC的中点，∴AB1∥OD，又OD⊂平面BC1D，OD⊄平面BC1D∴直线AB1∥平面BC1D；（Ⅲ）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上；证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，由（Ⅰ）可知BD⊥平面ACC1A1，而CE⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CE，由CE⊥C1D，BD∩C1D＝D，所以CE⊥平面BC1D，DM⊂平面BC1D，所以CE⊥DM．18．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝4，a n+1＝S n，n∈N*．（Ⅰ）写出a2，a3，a4的值；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{b n}中，有b2＝a2，b3＝a3，求数列{a n•b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝4，a n+1＝S n，∴a2＝S1＝a1＝4，a3＝S2＝a1+a2＝4+4＝8，a4＝S3＝a1+a2+a3＝4+4+8＝16；（Ⅱ）由a n+1＝S n，得a n＝S n（n≥2），﹣1两式作差得：a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n（n≥2），∴数列{a n}从第二项起为公比是2的等比数列，当n≥2时，．∴；（Ⅲ）依题意，b2＝a2＝4，b3＝a3＝8，则，得，∴b n＝4（n﹣1）．∴，则，T n＝a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1+a n b n＝0+1×24+2×25+3×26+…+（n﹣2）×2n+1+（n﹣1）×2n+2，，两式作差得：＝．∴．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），离心率为．过焦点F2的直线l（斜率不为0）与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为D，O为坐标原点，直线OD交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）当四边形MF1NF2为矩形时，求直线l的方程．【解答】解：（I）由已知可得：，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（II）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l方程为y＝k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．联立，化为（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，∴x1+x2＝，y1+y2＝k（x1+x2﹣4）＝，∴线段AB的中点D，∴直线OD的方程为：x+3ky＝0（k≠0）．联立，解得＝，x3＝﹣3ky3．∵四边形MF1NF2为矩形，∴＝0，∴（x3﹣2，y3）•（﹣x3﹣2，﹣y3）＝0，∴＝0，∴＝0，解得k＝，故直线方程为y＝．20．（13分）已知函数f（x）＝（x+）e x，a∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＝﹣1时，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅲ）若f（x）在区间（0，1）上有且只有一个极值点，求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝（x+）e x的定义域为{x|x≠0}，f′（x）＝e x；（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝xe x，f′（x）＝（x+1）e x，所以f（1）＝e，f′（1）＝2e；所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y﹣e＝2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e＝0；（Ⅱ）证明：当a＝﹣1时，f′（x）＝e x，设g（x）＝x3+x2﹣x+1，则g′（x）＝3x2+2x﹣1＝（3x﹣1）（x+1），故g（x）在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数，所以g（x）≥g（）＝＞0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＝e x＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数．（Ⅲ）f′（x）＝e x；设h（x）＝x3+x2+ax﹣a，h′（x）＝3x2+2x+a，（1）当a＞0时，h′（x）＞0恒成立，故h（x）在（0，+∞）上为增函数；而h（0）＝﹣a＜0，h（1）＝2＞0，故函数h（x）在（0，1）上有且只有一个零点，故这个零点为函数f（x）在区间（0，1）上的唯一的极小值点；（2）当a＝0时，x∈（0，1）时，h′（x）＝3x2+2x＞0，故h（x）在（0，1）上为增函数；又h（0）＝0，故f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；（3）当a＜0时，h（x）＝x3+x2+a（x﹣1），当x∈（0，1）时，总有h（x）＞0成立，即f（x）在（0，1）上为增函数；故函数f（x）在区间（0，1）上没有极值；综上所述，a＞0．。
2015年朝阳高三一模数学卷(理科)(有答案)
4.axA .充分必要条件 C .充分而不必要条件0成立”是“ aB •必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件2 ”的5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入.在 如图所示的框图中，t 表示整点时刻，a （t ）表示时间 段［t 1,t ）内进入商场人次， S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总 人次数，则判断框内可以填A. 17? 19? 18? 18?x26•设冷冷公3均为实数，且 log 3 x 2, log 2 X 3 则北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理工类）2015. 4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项.B.C. 2 2D. 43•在ABC 中，若cosB_63，BC 6，则 AC B.4C. 2 3 x31.已知集合A 1,2, m2, B 1,m .若B A，则mA. 0B. 2C. 0 或2D. 1 或22•已知点A(1,y°) (y°0）为抛物线y22px p 0上一点.若点A到该抛物线焦点的距离为3,则y°第二部分(非选择题 共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5 分, 共30分.把答案填在答题卡上.9.i 为虚数单位，计算 1 2i10.设S n 为等差数列 1 i a n 的前n 项和若a 3比 3 , S 3 1，则通项公式a n = .11.在极坐标中，设 0,02 n,曲线2与曲线sin2交点的极坐标为12. 已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为.(用数字作答)2x y 0,13. 设z 3x y ，实数x ，y 满足2x y 0,其中t 0•若z 的最大值为5,则实数t 的0 y t,值为 ______ ，此时z 的最小值为 ______ . 14.将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n(n N )次.则第一次挖去的几何体的体积是 __________ ;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15. (本小题满分13分)已知函数 f (x) cos 2 x3sinxcosx , x R .(I)求f (x)的最小正周期和单调递减区间；A. x 1 x 3 x 2B. x 3 x 2 x (C.X 2D. x 2 x 1 x 3uuu uuu uurOP OA kOB (k R), A .1 B.2已知两点C. .2A(1,0) , B(1,1)，且 BOP 90o .设D. 28.设集合 M = (x o , y o ) X Q 2 y o 2 20,x o Z, y o Z,则M 中元素的个数为 A. 61B. 65C. 69D.847.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, luu 则OP 22(n)设x m (m R)是函数y f (x)图象的对称轴，求si n4m的值.16. (本小题满分13分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为50,60 ，60,70 ，70,80 ，80,90 , ［90,100］.据此解答如下问题.(I)求全班人数及分数在［80,100］之间的频率；(H)现从分数在［80,100］之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在［90,100］的份数为X，求X的分布列和数学期望.17. (本小题满分14分)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB // CD, AD CD , 1AB AD CD .2(I)求证：BF //平面CDE ;(H)求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值(川)线段EC上是否存在点M，使得平面BDM 平面BDF ?若存在，求出的值；若不存在，说明理由•EC18. (本小题满分13分)2已知函数 f (x) alnx(a 1)x , a R .(I)当a 1时，求函数f (x)的最小值； (n) 当a 1时，讨论函数f(x)的零点个数.19. (本小题满分14分)的直线I 与椭圆C 交于A, B 两点，线段 AB 中点为D ， O 为坐标原点，过 O , D 的直线 交椭圆于M,N 两点.(I)求椭圆C 的方程；(n)求四边形 AMBN 面积的最大值. 20. (本小题满分 13 分)若数列 ｛a n ｝ 中不超过 f (m) 的项数恰为 b m (m N * ) ，则称数列 ｛b m ｝ 是数列 ｛a n ｝ 的生成数 列，称相应的函数f(m)是｛a n ｝生成｛b m ｝的控制函数.设f(m) m 2 . (I)若数列｛a n ｝单调递增，且所有项都是自然数， b 1，求a i ； (n)若数列｛a n ｝单调递增，且所有项都是自然数，a ib i ,求a i ；(川)若a n 2n(n 1,2,3L )，是否存在｛b m ｝生成©｝的控制函数g(n) pn 2 qn r (其中 常数 p,q,r Z )？使得数列 ｛a n ｝也是数列 ｛b m ｝ 的生成数列？若存在，求出 g(n) ；若 不存在，说明理由 .2 2已知椭圆C ：笃每1(a ba b0)的一个焦点为F (2,0)，离心率为一6•过焦点F3北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案（理工类）2015. 4三、解答题（满分80分）15.（本小题满分13分）解：（I ）由已知，函数 f （x ） coS x 73 si n xcosxcos2x) + sin2x22 .函数f （x ）的最小正周期为16. （本小题满分13分）0.0125 10 0.125,4所以全班人数为32人.0.125所以分数在［80,100］之间的人数为32- （4+ 8+ 10）= 10人. 分数在［80,100］之间的频率为10 0 3125 (4)32 '（n ）由（I ）知，分数在 ［80,100］之间的有10份，分数在［90,100］之间的人数有0.0125创10 32=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3 .1 2(1 sin (2x函数f （x ）的单调减区间为 （n ）由x m 是函数yk Z .则 4m 2k空时（k Z ），即k n + n2 一k n + n , k n +-2n , 6 3 f （x ）图象的对称轴, 2m x k n + 3时，函数f （x ）为减函数.即3.9分n n—=k n — ( k Z )，即卩 m6 2•则 sin 4m — 3 2.13分解：（I ）由茎叶图可知，分布在［50,60）之间的频数为 由直方图，频率为1 C0 6X 0 1 2 3P11 3 1 6 21030随机变量X 的数学期望为EX 0 1 1 12 —3 —6210 3017. (本小题满分14分)解：(I)因为 AB//CD,AB 平面 CDE,CD 平面 CDE , 所以AB//平面CDE ，同理，AF //平面CDE ， 又ABI AF A,所以平面 ABF //平面CDE , 因为BF 平面ABF,所以BF //平面CDE . ••…(n)因为平面 ADEF A 平面ABCD ，平面ADEF I 平面ABCD = AD ,CD A AD , CD 1 平面 ABCD ,所以CD A 平面ADEF .又DE 1平面ADEF ，故CD A ED . 而四边形 ADEF 为正方形，所以 ADA DE 又AD A CD ,以D 为原点，DA , DC , DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标 系 D xyz.设 AD 1，贝U D(0,0,0), B(1,1,0), F (1,0,1),C(0,2,0), E(0,0,1), umr取平面CDE 的一个法向量DA (1,0,0), ULUn DB 则 uLu r 0，即x y，令 x 1，则 y z n DF 0x z 0设平面BDF 的一个法向量n (x, y,z), 1,所以 n (1, 1, 1).设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为P(X0)P(X1)C 4C 62C 0 2’ P(X 2)C 0P(X 3)1 30E F则cosuuu 1 忑|cos DA,n |J3 3.9分所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是—0 = (0,0,1)，由(n)知平面BDF的一个法向量n二(1,- 1,- 1)，贝V m0?n二1? 0 ,则此时平面BDF与平面BDM不垂直.若M与C不重合，如图设EMEC(0? 1)，贝U M(0,2,1 ) ，设平面BDM的一个法向量m (mu ,r m DB u UJUm DM 0,y0, z0),，即x02y°0y (1 )Z0X)1，则y°1,Z0所以m (1,若平面BDF 平面BDM等价于0,所以丄0,1 .2所以，EC上存在点M使平面BDF 平面BDM EMEC.1分18.(本小题满分13分)解：(I)函数f (x)的定义域为x x 0 .1时,f(x) In xf (x)(x由(xx1)(xx1) 0 (x>2x2 .1)(x 1)x0)解得x 1 ；由(x 1)(x1) 所以f(x)在区间(0,1)单调递减，在区间(1,12所以x 1时，函数f(x)取得最小值f(1)x)单调递增•0 (x> 0)解得0x1.•5分19.(本小题满分14分)解：(I)由题意可得c 2,c _6 解得a 6 , b 2 ,a 32 . 2 2 a b c ,22故椭圆的方程为—6也1.2 (4)(n)f(x) (X 1)(x a),x 0.X(1 )当a 0时，X (0,1)时，f (x) 0 , f(x)为减函数；X (1,)时，f (x) 0 , f (x)为增函数•所以f (x)在x 1时取得最小值f⑴2(i)当a 0 时，f(x)— 2 x，由于x 0，令f (x) = 0，x= 2，则f (x)在(0,(ii)当勺a -时,2即 f (1)0时，f(x)有一个零点;(iii) 当1a -时，即f (1)0时， f (x)无零点•有一个零点；21(iv)当a 0 时，即f(1) 0 时，2由于x 0 (从右侧趋近0)时，f (x) ; x 所以f (x)有两个零点•(2)当0 a 1 时，x (0,a)时，f (x) 0, f(x)为增函数；x (a,1)时，f (x) 0 , f (x)为减函数；x (1,)时，f (x) 0 , f (x)为增函数•所以f (x)在x a处取极大值，f (x)在x 1处取极小值时，f (x)f(a)1 2 1 2al na a (a 1)a a l na a a.2 2当0 a 1 时，f(a) 0 ,即在x (0,1)时，f(x) 0.而f (x)在x (1,)时为增函数，且x 所以此时f (x)有一个零点•(3)当a 1 时，f (x) (x 1)0在0,x且x 0 (从右侧趋近0)时，f (x) 所以f (x)有一个零点•时，f (x)上恒成立, 所以 f (x)为增函数；x时，f(x) •综上所述，0 a 1或a f (x)有两个零点•1 1时f (x)有一个零点；a 时，f (x)无零点;2 2• 13分1112A, B 的坐标分别为 R,-6) , (2, 6) , I MN I 2.6，33y 3)，点M,N 至煩线I 的距离分别为 d-d ?，则四边形 AMBN 面积为所以 |AB| ■ (1 k 2)[(X ! X 2)2 4XX 2】2 一6(1 k 2)(n)当直线1斜率不存在时四边形 AMBN 面积为 1 S AMBN ^|MN I |AB| 4 •当直线 1斜率存在时, 设其方程为 y k(x 2)，点 A(X i ,yJ , B(x 2,y 2) , M (X 3, y 3),N( X 3, S AMBN Z|AB|(d i d 2)• 22X 由~6 y 2y 2k(X i,得(1 3k 2)X 2 12k 2X2),212k6 0,则X i12k 2X 22， 1 3kXX 212k 2 6 1 3k■ (1 k 2)[( 12k 2 1 3 k 2)2--------- 212k 2 6]2 ] 1 3k因为y 1y 2 k(x 1 X 2 4)所以AB 中点 6k 2D(k2k 3k 2当k 1 0时，直线OD 方程为x 3ky 0 ,x 3ky 0, 由X 2 y 2解得X 3石T 1 2,2 3ky s , y32 1 3k 2、 1所以 S AMBN _ | AB | (d 1 d 2)2 丄 2.6(1 k 2)(| kx3 y 3 2k | | kx 3 * 2k|) 2 13k 2 .1 k 2■1 k 26 1 k 2 |2kx 3 细 1 3k 2 2、6 1 k 2 | 3k 2y 3 回1 3k 2当k 0时，四边形AMBN面积的最大值S AMBN = 2 6?、. 2 4. 3.20.(本小题满分13分)解：(I)若b 1，因为数列®｝单调递增，所以a i 12，又印是自然数，所以a 0或1. ......... 2分(H)因为数列｛a n｝的每项都是自然数，若a 0 1 ,则b 1，与a b矛盾；2若a 2，则因｛a n｝单调递增，故不存在a n 1 ,即b 0，也与a b矛盾.当a1 1时，因｛a n｝单调递增，故n 2时，a. 1，所以h 1，符合条件，所以，a1 1 . 6分(川)若a n 2n(n 1,2丄)，则数列｛a n｝单调递增，显然数列｛b m｝也单调递增,1 由a n m2，即2n m2，得n - m2,21 2所以，b m为不超过？m的最大整数，当m= 2k- 1 (k? N*)时，因为2k2 2k舟m2 2k2 2k 1 2k2 2k 1 , 所以b m 2k2 2k ；当m=2k(k?N)时，gm2 2k2，所以，b m 2k2.?2k2- 2k, m= 2k- 1(k? N*) b m彳2k2,m= 2k(k? N*)若数列｛a n｝是数列｛b m｝的生成数列，且｛b m｝生成｛%｝的控制函数为g(n),则b m中不超过g(n)的项数恰为a n，即b中不超过g(n)的项数恰为2n ,所以b2n g(n) 2 2b2n 1，即2n pn qnr 2n2 2n对一切正整数n都成立,即(P(22)n2P)n2qn r 0对一切正整数(2 q)n r 0n都成立，2，1 3k综上四边形AMBN面积的最大值为4. 3 •14分综上,即当m> 0且m为奇数时, b mm2 - 1当m > 0且m为偶数时, b m = 4.3 •13qn r 0故得p 2，且对一切正整数n 都成立，故0 q 2，q Z .(2 q)n r 0又常数r Z ，当q0时，0r2n(n1) ，所以r0，或r 1 ；当q1时，nr n(n1)，所以r0，或r 1 ；当q2时，2n r 0(n1) ，所以r2，或r 1 ；所以g(n)22n2，或2n2 1 ，或2n2n1，或2n2 n ，或2n22n 2 ，或2n22n 1(n? N*).......... 13分1 3 k24k14。
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2015．4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集{,,,}U a b c d =，集合{,},{,}A a b B b c ==，则()U AB ð等于A ．{}bB ．{}dC ．{,,}a c dD ．{,,}a b c（2）已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则A ．:p ⌝x ∀∈R ，sin 1x ≥B ．:p ⌝x ∀∈R , sin 1x >C ．:p ⌝0x ∃∈R , 0sin 1x ≥D ．:p ⌝ 0x ∃∈R ，0sin 1x > （3）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线222x y -=的右焦点重合，则p 的值为A ．2B ．2C ．4D ．22（4）如图所示的程序框图表示的算法功能是A ．计算123456S =⨯⨯⨯⨯⨯的值B ．计算12345S =⨯⨯⨯⨯的值C ．计算1234S =⨯⨯⨯的值D ．计算1357S =⨯⨯⨯的值 （5）已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<结束 是1,2S t ==否输出S开始100?S ≤S S t =⨯1t t =+第（4）题图（6）函数ππ()2sin()cos()66f x x x =--图象的一条对称轴方程是A ．π6x = B. π3x = C. 5π12x = D. 2π3x =（7）已知实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．若3z x y =+的最大值为5，则z 的最小值为A ．52B ．1C ．0D ．1- （8）已知边长为3的正方形ABCD 与正方形CDEF 所在的平面互相垂直，M 为线段CD 上的动点（不含端点），过M 作//MH DE 交CE 于H ，作//MG AD 交BD 于G ，连结GH ．设CM x =(03)x <<，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥C GHM -的体积y 与变量x 变化关系的是O x3yO x3yO x3yO x3yABC D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）i 为虚数单位，计算1i1i+-= ． （10）已知平面向量a ，b 满足1==a b ，a 与b 的夹角为60︒，则()⋅+=a a b ．（11）圆22:(2)(2)8C x y -+-=与y 轴相交于,A B 两点，则弦AB 所对的圆心角的大小为 ．（12）一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱锥的体积是 ，四棱锥侧面中最大侧面的面积是 ．（13）稿酬所得以个人每次取得的收入，定额或定率减除规定费用后的余额为应纳税所得额，每次收入不超过4000元，定额减除费用800元；每次收入在4000元以上的，定率减除20%的费用.适用20%的比例税率，并按规定对应纳税额减征30%，计算公式为： （1）每次收入不超过4000元的：应纳税额=（每次收入额－800）×20%×（1－30%） （2）每次收入在4000元以上的：应纳税额=每次收入额×（1－20%）×20%×（1－30%）. 已知某人出版一份书稿，共纳税280元，这个人应得稿费(扣税前．．．)为 元． （14）记12x x -为区间12[,]x x 的长度．已知函数2xy =，x ∈[]2,a -(0a ≥)，其值域为[],m n ，则区间[],m n 的长度的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，π3A =，6cos 3B =，6BC =． （Ⅰ）求AC 的长；（Ⅱ）求ABC ∆的面积．第（12）题图11 正视图 侧视图俯视图（16）（本小题满分13分）某次考试结束后，为了解甲、乙两所学校学生的数学考试情况，随机抽取甲、乙两校各10名学生的考试成绩，得茎叶图如图所示（部分数据不清晰）： （Ⅰ）请根据茎叶图判断哪个学校的数学成绩平均水 平较高（直接写出结果）；（Ⅱ）若在抽到的这20名学生中，分别从甲、乙两校 随机各抽取1名成绩不低于90分的学生，求抽到的学生中， 甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率．（17）（本小题满分14分）如图，在三棱柱111C B A ABC -中，各个侧面均是边长为2的正方形，D 为线段AC 的中点． （Ⅰ）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （Ⅱ）求证：直线1AB ∥平面D BC 1； （Ⅲ）设M 为线段1BC 上任意一点，在DD BC 1内的平面区域（包括边界）是否存在点E ，使CE ⊥DM ，并说明理由．（18）（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a =，1n n a S +=，n *∈N .（Ⅰ）写出2a ，3a ，4a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）已知等差数列{}n b 中，有22b a =， 33b a =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．（19）（本小题满分14分）ABCDA 1B 1C 1甲校 乙校3 2 9 0 1 5 6 86 * 2 1 8 0 * 22 * 7 36 6 58 5已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为12(2,0),(2,0)F F -，离心率为63．过焦点2F 的直线l （斜率不为0）与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点，直线OD 交椭圆于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当四边形12MF NF 为矩形时，求直线l 的方程． （20）（本小题满分13分）已知函数()()e xaf x x x=+，a ∈R ．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()f x 在(0,)+∞上为增函数；（Ⅲ）若()f x 在区间(0,1)上有且只有一个极值点，求a 的取值范围．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．题号 （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8） 答案B DC B A C DA 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 题号 （9）（10）（11）（12）（13）（14）答案i3290︒36 7428003三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） （Ⅰ）因为6cos 3B =，(0,)B ∈π，又22sin cos 1B B +=， 所以3sin 3B =. 由正弦定理得，sin sin AC BCB A=. 所以63332AC =. 所以4AC =. ……… 6分 （Ⅱ）在ABC ∆中，sin sin(60)C B =+sin cos60cos sin 60B B =+ 13sin cos 22B B =+ =1336+2323⨯⨯ =3+326. 所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅=1462⨯⨯⨯3+326=23+62. ……13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从茎叶图可以看出，乙校10名学生的考试成绩的平均分高于甲校10名学生的考试成绩平均分，故乙校的数学成绩整体水平较高． ……… 4分 （Ⅱ）设事件M ：分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩．由茎叶图可知，甲校成绩不低于90分的同学有2人，从小到大依次记为12,A A ；乙校成绩不低于90分的同学有5人，从小到大依次记为12345,,,,B B B B B ． 其中121234592,93,90,91,95,96,98.A A B B B B B ======= 分别从甲、乙两校各随机抽取1名成绩不低于90分的同学共有11121314152122232425,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B 这10种可能．其中满足“抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩”共有11122122,,,A B A B A B A B 这4种可能． 所以42()105P M ==． 即分别从甲、乙两校随机各抽取1名成绩不低于90分的同学，抽到的学生中，甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为25. ……… 13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：因为三棱柱的侧面是正方形，所以11,CC BC CC AC ^^,BC AC C =I . 所以1CC ^底面ABC ．因为BD Ì底面ABC ，所以1CC BD ^． 由已知可得，底面ABC 为正三角形． 因为D 是AC 中点，所以BD AC ^． 因为1AC CC C ?，所以BD ^平面11ACC A ． ……… 5分（Ⅱ）证明：如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．显然点O 为1B C 的中点．因为D 是AC 中点， 所以1//AB OD ． 又因为OD Ì平面1BC D ，1AB Ë平面1BC D ，AB CDA 1B 1C 1O所以直线1//AB 平面1BC D ． ……… 10分（Ⅲ）在DD BC 1内的平面区域（包括边界）存在一点E ，使CE ⊥DM ．此时点E 是在线段1C D 上. 证明如下：过C 作1CE C D ⊥交线段1C D 于E ，由（Ⅰ）可知BD ^平面11ACC A ，而CE ⊂平面11ACC A ， 所以BD CE ^．又1CE C D ⊥，1BD C D D =I ，所以CE ^平面D BC 1． 又DM ⊂平面D BC 1，所以CE ⊥DM ． ……… 14分（18）（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为14a =，1n n a S +=，所以2114a S a ===，3212448a S a a ==+=+=，4312344816a S a a a ==++=++=． ……… 3分（Ⅱ）当2n ≥时，11222n n n n n n a S S +-=-=-=．又当1n =时，114a S ==． 所以4,1,2, 2.n nn a n =⎧=⎨≥⎩ ……… 6分 （Ⅲ）依题意，224b a ==，338b a ==.则由11428b d b d +=⎧⎨+=⎩得，10b =，4d =,则4(1)n b n =-.所以20,1,(1)2, 2.n n n n a b n n +=⎧⋅=⎨-≥⎩ 所以2(1)2(*)n n n a b n n +⋅=-∈N .因为n T =1122334411...n n n n a b a b a b a b a b a b --++++++456120122232...(2)2(1)2n n n n ++=+⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，C 1AB CDA 1B 1ME所以567232122232...(2)2(1)2n n n T n n ++=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯. 所以4567232222...2(1)2n n n T n ++-=+++++--⨯41332(12)(1)216(2)212n n n n n -++-=--⨯=---⨯- .所以316(2)2n n T n +=+-⨯. ……… 13分（19）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得2222,6,3,c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得6a =，2b =. 故椭圆的方程为22162x y +=． ……… 5分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 所以21221213k x x k +=+．因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+，所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++． 因此直线OD 方程为30x ky +=()0k ¹．由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得232213y k =+，333x ky =-． 因为四边形12MF NF 为矩形，所以220F M F N ⋅=，即3333(2,)(2,)0x y x y -⋅---=．所以223340x y --=．所以222(91)4013k k+-=+． 解得33k =±．故直线l 的方程为3(2)3y x =±-． ……… 14分（20）（本小题满分13分）解：函数()f x 定义域为{0}x x ≠，322()e xx x ax a f x x++-'=. （Ⅰ）当0a =时，()e x f x x =⋅，()f x '=(1)e x x +. 所以(1)e,(1)2e f f '==.所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是e 2e(1)y x -=-，即2e e =0x y --. ……… 3分（Ⅱ） 当1a =-时，()f x '=3221e xx x x x+-+. 设()g x =321x x x +-+，则2()321(31)(1)g x x x x x '=+-=-+.令()(31)(1)0g x x x '=-+>得，13x >或1x <-，注意到0x >，所以13x >. 令()(31)(1)0g x x x '=-+<得，注意到0x >，得103x <<.所以函数()g x 在1(0,)3上是减函数，在1(,)3+∞上是增函数.所以函数()g x 在13x =时取得最小值，且122()0327g =>. 所以()g x 在(0,)+∞上恒大于零.于是，当(0,)x ∈+∞，()f x '=3221e 0xx x x x+-+>恒成立. 所以当1a =-时，函数()f x 在()0,+∞上为增函数. ……… 7分11 （Ⅱ）问另一方法提示：当1a =-时，()f x '=3221e x x x x x +-+. 由于3210x x x +-+>在()0,+∞上成立，即可证明函数()f x 在()0,+∞上为增函数. （Ⅲ）（Ⅱ）322()e ()xx x ax a f x x ++-'=. 设()h x =32x x ax a ++-，2()32h x x x a '=++.(1) 当0a >时，()0h x '>在(0,)+∞上恒成立，即函数()h x 在(0,)+∞上为增函数.而(0)0h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间()0,1上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=,且在0(0,)x 上，()0f x ¢<，在()0,1x 上，()0f x ¢>，故0x 为函数()f x 在区间()0,1上唯一的极小值点;（2）当0a =时，当x Î()0,1时，2()320h x x x '=+>成立，函数()h x 在区间()0,1上为增函数，又此时(0)0h =，所以函数()0h x >在区间()0,1恒成立，即()0f x ¢>，故函数()f x 在区间()0,1为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值；（3）当0a <时，()h x =3232(1)x x ax a x x a x ++-=++-.当()0,1x ∈时，总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间()0,1上为单调递增函数，所以()f x 在区间()0,1上无极值.综上所述0a >. ……… 13分。