2018中考专题相似三角形(可编辑修改word版)

2018 中考数学专题相似形（共40 题）1.如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P 为射线BD，CE 的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC=90°时，求PB 的长；2.如图，直角△ABC 中，∠BAC=90°，D 在BC 上，连接AD，作BF⊥AD 分别交AD 于E，AC 于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB 的中点G，连接CG 交AD 于M，求证：①GM=2MC；② AG2=AF•AC．3.如图，在锐角三角形ABC 中，点D，E 分别在边AC，AB 上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE 于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．4.如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F，BF 分别交AC 于H，交CD 于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G 为CD 的中点，求的值．5．（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在BC，CD 上，AE⊥BF 于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD 改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．6.如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD，AC 平分∠BAD，点P 是AC 延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC 与BD 相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE 的长．7.△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9 时BC 的长．8.如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB，F 为CE 的中点，连接AF，BF，过点E 作EH∥BC 分别交AF，CD 于G，H 两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE 的长．9.在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，过点B 的直线MN∥AC，D 为BC 边上一点，连接AD，作DE⊥AD 交MN 于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由．10.如图1，边长为2 的正方形ABCD 中，E是BA 延长线上一点，且AE=AB，点P 从点D 出发，以每秒1 个单位长度沿D→C→B向终点B 运动，直线EP 交AD 于点F，过点F 作直线FG⊥DE 于点G，交AB 于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P 运动的时间为t，①求当t 为何值时，四边形PRBC 是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB 是等腰三角形时t 的值．11.如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，延长CB 至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF 的平分线分别交AF，AB，BD 于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD 的边长；（2）猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．12.将两块全等的三角板如图1 摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1 中△A1B1C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C 与AB 的交点，点Q 是A1B1与BC 的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2 中，若AP1=a，则CQ 等于多少？（3）将图2 中△A1B1C 绕点C 顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C 与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．13.把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与E 重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ 的面积为y（cm2），试探究y 的最大值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．14.△ABC，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，一条直线DE 与边AC 相交于点D，与边AB 相交于点E．（1）如图①，若DE 将△ABC 分成周长相等的两部分，则AD+AE 等于多少；（用a、b、c 表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE 将△ABC 分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE 将△ABC 分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？15.已知：如图，四边形ABCD 是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ 绕着正方形的顶点A 旋转，使它与正方形ABCD 的两个外角∠EBC 和∠FDC 的平分线分别交于点M 和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM 的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明．16.如图，在锐角△ABC 中，D，E 分别为AB，BC 中点，F 为AC 上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF 交AC 于点M．（1）点G 在BE 上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE 上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH 的长．17.△ABC 中，AB=AC，点D、E、F 分别在BC、AB、AC 上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D 为BC 中点如图2，连接EF．①求证：ED 平分∠BEF；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及的值．18.如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ，交AB 于点Q，点D 在线段BC 上，联接AD 交线段PQ 于点E，且=，点G 在BC 延长线上，∠ACG 的平分线交直线PQ 于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形．19.如图，已知△ABC 中，AC=BC，点D、E、F 分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG 时，求的值．20.如图，在△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 上的点，线段BE、CD 相交于点O，且∠DCB=∠EBC= ∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N 分别是BE、CE 的中点，过MN 的直线交AB 于P，交AC 于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？21.如图，在矩形ABCD 和矩形PEFG 中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC 交于点M，EF 与AC 交于点N，动点P 从点A 出发沿AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动，伴随点P 的运动，矩形PEFG 在射线AB 上滑动；动点K 从点P 出发沿折线PE﹣﹣EF 以每秒1 个单位长的速度匀速运动．点P、K 同时开始运动，当点K 到达点F 时停止运动，点P 也随之停止．设点P、K 运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t=1 时，KE= ，EN=；（2）当t 为何值时，△APM 的面积与△MNE 的面积相等？（3）当点K 到达点N 时，求出t 的值；（4）当t 为何值时，△PKB 是直角三角形？22.如图（1），在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，过A 点作AE∥BC 与过D 点作DE∥AB 交于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE 是平行四边形．（2）连接BE，AC 分别与BE、DE 交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG 的长．23.已知：在正方形ABCD 中，点E、F 分别是CB、CD 延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE 交AB 于点M．（1）如图1，当E、A、F 在一直线上时，求证：点M 为ED 中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．24.已知，如图1，点D、E 分别在AB，AC 上，且=．（1）求证：DE∥BC．（2）已知，如图2，在△ABC 中，点D 为边AC 上任意一点，连结BD，取BD中点E，连结CE 并延长CE 交边AB 于点F，求证：=．（3）在（2）的条件下，若AB=AC，AF=CD，求的值．25.已知△ABC，AC=BC，点E，F 在直线AB 上，∠ECF=∠A．（1）如图1，点E，F 在AB 上时，求证：AC2=AF•BE；（2）如图2，点E，F 在AB 及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF 的长．26.如图，正方形ABCD，∠EAF=45°．交BC、CD 于E、F，交BD 于H、G．（1）求证：AD2=BG•DH；（2）求证：CE=DG；（3）求证：EF=HG．27.如图，C为线段BD 上一动点，过B、D 分别作BD 的垂线，使AB=BC，DE=DB，连接AD、AC、BE，过B 作AD 的垂线，垂足为F，连接CE、EF．（1）求证：AC•DF=BF•BD；（2）点C 运动的过程中，∠CFE 的度数保持不变，求出这个度数；（3）当点C 运动到什么位置时，CE∥BF？并说明理由．28.如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上（不与A，B 重合），DE∥BC 交AC 于点E，将△ADE 沿直线DE 翻折，得到△A′DE，直线DA′，EA′分别交直线BC 于点M，N．（1）求证：DB=DM．（2）若=2，DE=6，求线段MN 的长．（3）若=n（n≠1），DE=a，则线段MN 的长为（用含n 的代数式表示）．29.如图，已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形，点E 在线段DC 上，点A、D、G 在同一直线上，且AD=3，DE=1，连接AC、CG、AE，并延长AE 交OG 于点H．（1）求证：∠DAE=∠DCG．（2）求线段HE 的长．30.如图，△ABC 中，点E、F 分别在边AB，AC 上，BF 与CE 相交于点P，且∠1=∠2= ∠A．（1）如图1，若AB=AC，求证：BE=CF；（2）若图2，若AB≠AC，①（1）中的结论是否成立？请给出你的判断并说明理由；②求证：=．31.如图1，在锐角△ABC 中，D、E 分别是AB、BC 的中点，点F 在AC 上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF 交AC 于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G 在BE 上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；（3）在图2 中，取CE 上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH 的长．32.如图，正方形ABCD 中，边长为12，DE⊥DC 交AB 于点E，DF 平分∠EDC 交BC 于点F，连接EF．（1）求证：EF=CF；（2）当=时，求EF 的长．33.如图，已知在△ABC 中，P 为边AB 上一点，连接CP，M 为CP 的中点，连接BM 并延长，交AC 于点D，N 为AP 的中点，连接MN．若∠ACP=∠ABD．（1）求证：AC•MN=BN•AP；（2）若AB=3，AC=2，求AP 的长．34.如图，已知AC、E C 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E在△ABC 内，∠CAE+∠ CBE=90°，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF．（1）求证：△CAE∽△CBF；（2）若BE=1，AE=2，求CE 的长．35.如图①，矩形ABCD 中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB（或AD）于点E，PN 交边AD（或CD）于点F，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．（1）特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰巧过点D，此时，△ABP △PCD（填“≌”或“～”）；（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．36.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是1、4、25．则△ABC 的面积是．37.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，CO⊥AB 于点O，D 是线段OB上一点，DE=2，ED∥AC（∠ADE＜90°），连接BE、CD．设BE、CD 的中点分别为P、Q．（1）求AO 的长；（2）求PQ 的长；（3）设PQ 与AB 的交点为M，请直接写出|PM﹣MQ|的值．38.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1 所示，已知AF，BE 是△ABC 的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．求证：a2+b2=5c2该同学仔细分析后，得到如下解题思路：先连接EF，利用EF 为△ABC 的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF=m，PE=n，用m，n 把PA，PB 分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF 中利用勾股定理计算，消去m，n 即可得证（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3 的菱形ABCD 中，O为对角线AC，BD 的交点，E，F分别为线段AO，DO 的中点，连接BE，CF 并延长交于点M，BM，CM 分别交AD 于点G，H，如图2 所示，求MG2+MH2的值．39.如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，∠AED=∠B，射线AG 分别交线段DE，BC 于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．40.如图，四边形中ABCD 中，E，F 分别是AB，CD 的中点，P 为对角线AC 延长线上的任意一点，PF 交AD 于M，PE 交BC 于N，EF 交MN 于K．求证：K 是线段MN 的中点．参考答案与试题解析（共40 题）1．（2017•阿坝州）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠ BAC=∠DAE=90°，点P 为射线BD，CE 的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC=90°时，求PB 的长；【解答】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE．∴△ADB≌△AEC．∴BD=CE．（2）解：①当点 E 在AB 上时，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE= =．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB= ．②当点 E 在BA 延长线上时，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE= =．同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC．∴=．∴=．∴PB= ．综上所述，PB 的长为或．2．（2017•常德）如图，直角△ABC 中，∠BAC=90°，D 在BC 上，连接AD，作BF⊥AD 分别交AD 于E，AC 于F．（1）如图1，若BD=BA，求证：△ABE≌△DBE；（2）如图2，若BD=4DC，取AB 的中点G，连接CG 交AD 于M，求证：①GM=2MC；② AG2=AF•AC．【解答】证明：（1）在Rt△ABE 和Rt△DBE 中，，∴△ABE≌△DBE；（2）①过G 作GH∥AD 交BC 于H，∵AG=BG，∴BH=DH，∵BD=4DC，设DC=1，BD=4，∴BH=DH=2，∵GH∥AD，∴==，∴GM=2MC；②过 C 作CN⊥AC 交AD 的延长线于N，则CN∥AG，∴△AGM∽△NCM，∴=，由①知GM=2MC，∴2NC=AG，∵∠BAC=∠AEB=90°，∴∠ABF=∠CAN=90°﹣∠BAE，∴△ACN∽△BAF，∴=，∵AB=2AG，∴=，∴2CN•AG=AF•AC，∴AG2=AF•AC．3．（2017•杭州）如图，在锐角三角形ABC 中，点D，E 分别在边AC，AB 上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE 于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴=由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴=4．（2017•眉山）如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F，BF 分别交AC 于H，交CD 于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G 为CD 的中点，求的值．【解答】解：（1）∵BF⊥DE，∴∠GFD=90°，∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∴△BCG≌△DCE（ASA），∴BG=DE，（2）设CG=1，∵G 为CD 的中点，∴GD=CG=1，由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），∴CG=CE=1，∴由勾股定理可知：DE=BG=，∵sin∠CDE= =，∴GF= ，∵AB∥CG，∴△ABH∽△CGH，∴=，∴BH= ，GH= ，∴=5．（2017•河池）（1）如图1，在正方形ABCD 中，点E，F 分别在BC，CD 上，AE⊥BF 于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD 改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF 于点M，探究AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE 和△BCF 中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AE= BF，理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AE= BF．6．（2017•泰安）如图，四边形ABCD 中，AB=AC=AD，AC 平分∠BAD，点P 是AC 延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC 与BD 相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE 的长．【解答】（1）证明：∵AB=AD，AC 平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC+∠PDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点 C 作CM⊥PD 于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴ = ，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC= x，∵AB=AD=AC=1，∴= ，解得：x=，故AE=1﹣= ．7．（2017•天水）△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠ EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合，将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P，线段EF 与射线CA 相交于点Q．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP=AQ 时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9 时BC 的长．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E 是BC 的中点，∴BE=CE，在△BPE 和△CQE 中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴=，∵BP=2，CQ=9，BE=CE，∴BE2=18，∴BE=CE=3 ，∴BC=6 ．8．（2017•绥化）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 边上一点，EC 平分∠DEB，F 为CE 的中点，连接AF，BF，过点E 作EH∥BC 分别交AF，CD 于G，H 两点．（1）求证：DE=DC；（2）求证：AF⊥BF；（3）当AF•GF=28时，请直接写出CE 的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥CD，∴∠DCE=∠CEB，∵EC 平分∠DEB，∴∠DEC=∠CEB，∴∠DCE=∠DEC，∴DE=DC；（2）如图，连接DF，∵DE=DC，F 为CE 的中点，∴DF⊥EC，∴∠DFC=90°，在矩形ABCD 中，AB=DC，∠ABC=90°，∴BF=CF=EF= EC，∴∠ABF=∠CEB，∵∠DCE=∠CEB，∴∠ABF=∠DCF，在△ABF 和△DCF 中，，∴△ABF≌△DCF（SAS），∴∠AFB=∠DFC=90°，∴AF⊥BF；（3）CE=4 ．理由如下：∵AF⊥BF，∴∠BAF+∠ABF=90°，∵EH∥BC，∠ABC=90°，∴∠BEH=90°，∴∠FEH+∠CEB=90°，∵∠ABF=∠CEB，∴∠BAF=∠FEH，∵∠EFG=∠AFE，∴△EFG∽△AFE，∴=，即EF2=AF•GF，∵AF•GF=28，∴EF=2 ，∴CE=2EF=4 ．9．（2017•雨城区校级自主招生）在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，过点B 的直线MN∥AC，D 为BC 边上一点，连接AD，作DE⊥AD 交MN 于点E，连接AE．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD 与DE 有何数量关系？并请说明理由．【解答】（1）证明：如图1，过点D 作DF⊥BC，交AB 于点F，则∠BDE+∠FDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠FDE+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠C=45°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=135°，∵∠BFD=45°，DF⊥BC，∴∠BFD=45°，BD=DF，∴∠AFD=135°，∴∠EBD=∠AFD，在△BDE 和△FDA 中，∴△BDE≌△FDA（ASA），∴AD=DE；（2）解：DE= AD，理由：如图2，过点D 作DG⊥BC，交AB 于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴=，在Rt△BDG 中，=tan30°= ，∴DE= AD．10．（2017•深圳模拟）如图1，边长为2 的正方形ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，且AE=AB，点P 从点D 出发，以每秒1 个单位长度沿D→C→B 向终点B 运动，直线EP 交AD 于点F，过点F 作直线FG⊥DE 于点G，交AB 于点R．（1）求证：AF=AR；（2）设点P 运动的时间为t，①求当t 为何值时，四边形PRBC 是矩形？②如图2，连接PB．请直接写出使△PRB 是等腰三角形时t 的值．【解答】（1）证明：如图，在正方形ABCD 中，AD=AB=2，∵AE=AB，∴AD=AE，∴∠AED=∠ADE=45°，又∵FG⊥DE，∴在Rt△EGR 中，∠GER=∠GRE=45°，∴在Rt△ARF 中，∠FRA=∠AFR=45°，∴∠FRA=∠RFA=45°，∴AF=AR；（2）解：①如图，当四边形PRBC 是矩形时，则有PR∥BC，∴AF∥PR，∴△EAF∽△ERP，∴，即：由（1）得AF=AR，∴，解得：或（不合题意，舍去），∴，∵点P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度沿D→C→B 向终点 B 运动，∴（秒）；②若PR=PB，过点P 作PK⊥AB 于K，设FA=x，则RK=BR= （2﹣x），∵△EFA∽△EPK，∴，即：= ，解得：x=±﹣3（舍去负值）；∴t= （秒）；若PB=RB，则△EFA∽△EPB，∴=，∴，∴BP= AB= ×2=∴CP=BC﹣BP=2﹣=，∴（秒）．综上所述，当PR=PB 时，t= ；当PB=RB 时，秒．11．（2017•江汉区校级模拟）如图，正方形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，延长CB 至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF 的平分线分别交AF，AB，BD 于点E，N，M，连接EO．（1）已知BD=，求正方形ABCD 的边长；（2）猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD= ，∴AB=1，∴正方形ABCD 的边长为1；（2）CN=2EM证明方法一、理由：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，OA=OC∵CF=CA，CE 是∠ACF 的平分线，∴CE⊥AF，AE=FE∴EO 为△AFC 的中位线∴EO∥BC∴∴在Rt△AEN 中，OA=OC∴EO=OC= AC，∴CM= EM∵CE 平分∠ACF，∴∠OCM=∠BCN，∵∠NBC=∠COM=90°，∴△CBN∽△COM，∴，∴CN= CM，即CN=2EM．证明方法二、∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAC=45°=∠DBC，由（1）知，在Rt△ACE 中，EO=AC=CO，∴∠OEC=∠OCE，∵CE 平分∠ACF，∴∠OCE=∠ECB=∠OEC，∴EO∥BC，∴∠EOM=∠DBC=45°，∵∠OEM=∠OCE∴△EOM∽△CAN，∴，∴CN=2CM．12．（2017•济宁二模）将两块全等的三角板如图1 摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图1 中△A1B1C 绕点C 顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C 与AB 的交点，点Q 是A1B1与BC 的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图2 中，若AP1=a，则CQ 等于多少？（3）将图2 中△A1B1C 绕点C 顺时针旋转到△A2B2C（如图3），点P2是A2C 与AP1的交点．当旋转角为多少度时，有△AP1C∽△CP1P2？这时线段CP1与P1P2之间存在一个怎样的数量关系？．【解答】（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°；又B1C=BC，∠B1=∠B，∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）∴CQ=CP1；（2）解：如图：作P1D⊥AC 于D，∵∠A=30°，∴P1D= AP1；∵∠P1CD=45°，∴=sin45°= ，∴CP1= P1D= AP1；又AP1=a，CQ=CP1，∴CQ= a；（3）解：当∠P1CP2=∠P1AC=30°时，由于∠CP1P2=∠AP1C，则△AP1C∽△CP1P2，所以将图2 中△A1B1C 绕点C 顺时针旋转30°到△A2B2C 时，有△AP1C∽△CP1P2．这时==，∴P1P2=CP1．13．（2017•惠阳区模拟）把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与E 重合），点B、C（E）、F 在同一条直线上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 匀速移动；当点P 移动到点B 时，点P 停止移动，△DEF 也随之停止移动．DE 与AC 交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）．（1）用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长，并写出t 的取值范围；（2）连接PE，设四边形APEQ 的面积为y（cm2），试探究y 的最大值；（3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t 的取值范围是：0≤t≤5；（2）过点P 作PG⊥x 轴于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB= （10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE= == （cm2）∴当（在0≤t≤5 内），y 有最大值，y最大值（3）若AP=AQ，则有2t=8﹣t 解得：（s）若AP=PQ，如图①：过点P 作PH⊥AC，则AH=QH=，PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如图②：过点Q 作QI⊥AB，则AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）综上所述，当或或时，△APQ 是等腰三角形．14．（2017•庐阳区一模）△ABC，∠A、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c，一条直线DE 与边AC 相交于点D，与边AB 相交于点E．（1）如图①，若DE 将△ABC 分成周长相等的两部分，则AD+AE 等于多少；（用a、b、c 表示）（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE 将△ABC 分成周长、面积相等的两部分，求AD；（3）如图③，若DE 将△ABC 分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c 满足什么关系？【解答】解：（1）∵DE 将△ABC 分成周长相等的两部分，∴AD+AE=CD+BC+BE= （AB+AC+BC）= （a+b+c）；（2）设AD=x，AE=6﹣x，= AD•AE•sinA=3，∵S△ADE即：x（6﹣x）•=3，解得：x1=（舍去），x2=，∴AD= ；（3）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵=，∴AD= b，AE= c，∴ b c= （a+b+c），∴=﹣1．15．（2017•嘉兴模拟）已知：如图，四边形ABCD 是正方形，∠PAQ=45°，将∠PAQ 绕着正方形的顶点A 旋转，使它与正方形ABCD 的两个外角∠EBC 和∠FDC 的平分线分别交于点M 和N，连接MN．（1）求证：△ABM∽△NDA；（2）连接BD，当∠BAM 的度数为多少时，四边形BMND 为矩形，并加以证明．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，∵BM、DN 分别是正方形的两个外角平分线，∴∠ABM=∠ADN=135°，∵∠MAN=45°，∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，∴△ABM∽△NDA；（2）解：当∠BAM=22.5°时，四边形BMND 为矩形；理由如下：∵∠BAM=22.5°，∠EBM=45°，∴∠AMB=22.5°，∴∠BAM=∠AMB，∴AB=BM，同理AD=DN，∵AB=AD，∴BM=DN，∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠BDN=∠DBM=90°∴∠BDN+∠DBM=180°，∴BM∥DN∴四边形BMND 为平行四边形，∵∠BDN=90°，∴四边形BMND 为矩形．16．（2017•肥城市三模）如图，在锐角△ABC 中，D，E 分别为AB，BC 中点，F 为AC 上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF 交AC 于点M．（1）点G 在BE 上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；（2）在图中，取CE 上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH 的长．【解答】（1）证明：如图 1 所示，∴D，E 分别为AB，BC 中点，∴DE∥AC∵DM∥EF，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DM=EF，如图2 所示，∵D、E 分别是AB、BC 的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∠DEG=∠C，∵∠AFE=∠A，∴∠BDE=∠AFE，∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC，∵∠BDG=∠C，∴∠GDE=∠FEC，∴△DEG∽△ECF；∴，∴，∴，∴DG•CF=DM•EG；（2）解：如图 3 所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB，∠B=∠B，∴△BDG∽△BED，∴，∴BD2=BG•BE，∵∠AFE=∠A，∠CFH=∠B，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣∠AFE﹣∠CFH=∠EFH，又∵∠FEH=∠CEF，∴△EFH∽△ECF，∴=，∴EF2=EH•EC，∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴EF=DM=DA=BD，∴BG•BE=EH•EC，∵BE=EC，∴EH=BG=1．17．（2017•肥城市模拟）△ABC 中，AB=AC，点D、E、F 分别在BC、AB、AC 上，∠EDF= ∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D 为BC 中点如图2，连接EF．①求证：ED 平分∠BEF；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及的值．【解答】（1）证明：∵△ABC 中，AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB=180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∠EDF=∠B，∴∠FDC=∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴，即DE•CD=DF•BE；（2）解：①由（1）证得△BDE∽△CFD，∴，∵D 为BC 中点，∴BD=CD，∴=，∵∠B=∠EDF，∴△BDE～△DFE，∴∠BED=∠DEF，∴ED 平分∠BEF；②∵四边形AEDF 为菱形，∴∠AEF=∠DEF，∵∠BED=∠DEF，∴∠AEF=60°，∵AE=AF，∴∠BAC=60°，∵∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B=60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE=DE，∵AE=DE，∴AE= AB，∴=．18．（2017•长宁区二模）如图，在△ABC 中，点P 是AC 边上的一点，过点P 作与BC 平行的直线PQ，交AB 于点Q，点D 在线段BC 上，联接AD 交线段PQ 于点E，且= ，点G 在BC 延长线上，∠ACG 的平分线交直线PQ 于点F．（1）求证：PC=PE；（2）当P 是边AC 的中点时，求证：四边形AECF 是矩形．【解答】（1）证明：∵PQ∥BC，∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC，∴=，，∴=，∵=，∴=，∴PC=PE；（2）∵PF∥DG，∴∠PFC=∠FCG，∵CF 平分∠PCG，∴∠PCF=∠FCG，∴∠PFC=∠FCG，∴PF=PC，∴PF=PE，∵P 是边AC 的中点，∴AP=CP，∴四边形AECF 是平行四边形，∵PQ∥CD，∴∠PEC=∠DCE，∴∠PCE=∠DCE，∴∠PCE+∠PCF= （∠PCD+∠PCG）=90°，∴∠ECF=90°，∴平行四边形AECF 是矩形．19．（2017•安徽模拟）如图，已知△ABC 中，AC=BC，点D、E、F 分别是线段AC、BC、AD 的中点，BF、ED 的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG 时，求的值．【解答】解：（1）∵D、E 分别是线段AC、BC 的中点，∴DE 为△ABC 的中位线，∴DE∥AB，即EG∥AB，∴∠FDG=∠A，∵点 F 为线段AD 的中点，∴AF=DF，在△ABF 与△DGF 中，∴△ABF≌△DGF（ASA）∴AB=GD（2）∵DE 为△ABC 的中位线，∴DE= AB，CE= BC= AC∵DG=AB，∴EG=DE+DG∴EG= AB∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∵AC=BC，CG=EG∴△GEC∽△CBA∴，即，∴20．（2017•蜀山区二模）如图，在△ABC 中，D、E 分别为AB、AC 上的点，线段BE、CD 相交于点O，且∠DCB=∠EBC=∠A．（1）求证：△BOD∽△BAE；（2）求证：BD=CE；（3）若M、N 分别是BE、CE 的中点，过MN 的直线交AB 于P，交AC 于Q，线段AP、AQ 相等吗？为什么？【解答】（1）证明：∵∠BCO=∠CBO，∴∠DOB=∠BCO+CBO=2∠BCO，∵∠A=2∠BCO，∴∠DOB=∠A，∵∠ABE=∠ABE，∴△BOD∽△BAE；（2）解：延长CD，在CD 延长线上取一点F，使BF=BD，∴∠BDF=∠BFD，∵∠BDF=∠ABO+∠DOB，∠BEC=∠ABO+∠A，由（1）得∠BOD=∠A，∴∠BDF=∠BEC，∴∠BFD=∠BEC，在△BFC 与△CEB 中，，∴△BFC≌△CEB，∴BD=BF，∴BD=CE；（3）解：AP=AQ，理由：取BC 的中点G，连接GM，GN，∵M，N 分别是BE，CD 的中点，∴GM，GN 是中位线，∴GM∥CE，GM= CE，GN∥BD，GN= BD，∵BD=CE，∴GM=GN，∴∠3=∠4，∵GM∥CE，∴∠2=∠4，∵GN∥BD，∴∠3=∠1，∴∠1=∠2，∴AP=AQ．21．（2017•石家庄二模）如图，在矩形ABCD 和矩形PEFG 中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE 与AC 交于点M，EF 与AC 交于点N，动点P 从点A 出发沿AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动，伴随点P 的运动，矩形PEFG 在射线AB 上滑动；动点K 从点P 出发沿折线PE﹣﹣EF 以每秒1 个单位长的速度匀速运动．点P、K 同时开始运动，当点K 到达点F 时停止运动，点P 也随之停止．设点P、K 运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t=1 时，KE= 1 ，EN= ；（2）当t 为何值时，△APM 的面积与△MNE 的面积相等？（3）当点K 到达点N 时，求出t 的值；（4）当t 为何值时，△PKB 是直角三角形？【解答】解：（1）当t=1 时，根据题意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四边形ABCD 和PEFG 都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴=，=，∴MP=，ME=，∴NE= ；故答案为：1；；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM= t，ME=2﹣t，NE= ﹣t，∴t×t= （2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）当点K 到达点N 时，则PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①当K 在PE 边上任意一点时△PKB 是直角三角形，即，0＜t≤2；②当点k 在EF 上时，则KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③当t=5 时，点K 在BC 边上，∠KBP=90°．综上，当0＜t≤2 或t=3 或t=4 或5 时，△PKB 是直角三角形．22．（2017•农安县模拟）如图（1），在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，过A 点作AE∥BC 与过D 点作DE∥AB 交于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE 是平行四边形．（2）连接BE，AC 分别与BE、DE 交于点F、G，如图（2），若AC=6，求FG 的长．【解答】（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB．∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AE=BD，又∵BD=DC，。