备战中考数学二次函数综合经典题附详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．

【答案】（1）y=-2x-3；（2）．

【解析】

试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标

代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与

x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴

线段FH的长．

考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．

2．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？

（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣1

2

x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；

（3）点P（4，6）．

【解析】

【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；

（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，

设P（t，﹣1

2

t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由

S△PAB=S△PAN+S△PBN=1

2

PN•AG+

1

2

PN•BM=

1

2

PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数

的性质求解可得；

（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．

【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），

将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，

解得：a=﹣1

2

，

所以抛物线解析式为y=﹣1

2

（x﹣6）（x+2）=﹣

1

2

x2+2x+6；

（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，

设直线AB解析式为y=kx+b，

将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：

6

60

b k b =⎧⎨

+=⎩， 解得：1

6

k b =-⎧⎨

=⎩，

则直线AB 解析式为y=﹣x+6，

设P （t ，﹣

12

t 2

+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6），

∴PN=PM ﹣MN=﹣

12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1

2

t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN•AG+1

2PN•BM =1

2

PN•（AG+BM ） =

1

2PN•OB =12×（﹣1

2t 2+3t ）×6 =﹣3

2t 2+9t

=﹣32（t ﹣3）2+272

，

∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值； （3）如图2，

∵PH ⊥OB 于H ， ∴∠DHB=∠AOB=90°， ∴DH ∥AO ， ∵OA=OB=6， ∴∠BDH=∠BAO=45°， ∵PE ∥x 轴、PD ⊥x 轴， ∴∠DPE=90°，

若△PDE为等腰直角三角形，

则∠EDP=45°，

∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，

则当y=6时，﹣1

2

x2+2x+6=6，

解得：x=0（舍）或x=4，

即点P（4，6）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．

【答案】（1）y=3

8

x2﹣

3

4

x﹣3

（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是

9 10

（3）K1（1，﹣27

8

），K2（3，﹣

15

8

）

【解析】

【详解】

试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣

9 10