配套K12中考数学一轮复习 第3课 分式与分式方程导学案

第3课 分式与分式方程【考点梳理】： 1.分式的概念:形如B A(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B叫做分式的分母整式和分式统称有理式, 即有有理式 整式，分式. 2.分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.3.分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为原来的分式相等的同分母的分式.通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）.4.分式的乘除法:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 5.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.6.可化为一元一次方程的分式方程概念：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验思想【考点一】：分式的意义及分式的基本性质【例题赏析】（2015•黔西南州）（第2题）分式有意义，则x的取值范围是（）A． x＞1 B．x≠1 C． x＜1 D．一切实数考点：分式有意义的条件．分析：分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．解答：解：由分式有意义，得x﹣1≠0．解得x≠1，故选：B．点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：分式无意义⇔分母为零；分式有意义⇔分母不为零；分式值为零⇔分子为零且分母不为零．【考点二】：分式的化简求值【例题赏析】（1）（2015•山西,第7题3分）化简﹣的结果是（）A ．B．C．D．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式第一项约分后，利用同分母分式的减法法则计算，即可得到结果．解答：解：原式=﹣=﹣==，故选A．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（2）（2015•甘南州第12题 6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=．考点：分式的化简求值．.分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=•（x+1）（x﹣1）=x2+1，当x=时，原式=（）2+1=3．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键【考点三】：分式方程的解法【例题赏析】（2015•天津,第8题3分）（2015•天津）分式方程=的解为（）A．x=0 B．x=5 C．x=3 D．x=9考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：2x=3x﹣9，解得：x=9，经检验x=9是分式方程的解，故选D．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【考点四】：分式方程的应用【例题赏析】（2015，广西玉林，10，3分）某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km．设提速前列车的平均速度为xkm/h方程是（）A．sx=B．=C．sx=D．=考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：首先根据行程问题中速度、时间、路程的关系：时间=驶的路程除以提速前的速度，求出列车提速前行驶skm用的时间是多少；行驶的路程除以提速后的速度，求出列车提速后行驶s+50km车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，列出方程即可．解答：解：列车提速前行驶skm用的时间是小时，列车提速后行驶s+50km用的时间是小时，因为列车提速前行驶skm和列车提速后行驶s+50km时间相同，所以列方程是sx=．故选：A．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程问题，找出相等关系，（1如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．【考点五】：已知方程的解的情况，求方程中待定字母的取值范围【例题赏析】（2015•齐齐哈尔,第7题3分）关于x的分式方程=有解，则字母a值范围是（）A． a=5或a=0 B．a≠0 C．a≠5 D．a≠5且a≠0考点：分式方程的解．分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“关于x的分式方程=即x≠0且x≠2建立不等式即可求a的取值范围．解答：解： =，去分母得：5（x﹣2）=ax，去括号得：5x﹣10=ax，移项，合并同类项得：（5﹣a）x=10，∵关于x的分式方程=有解，∴5﹣a≠0，x≠0且x≠2，即a≠5，系数化为1得：x=，∴≠0且≠2，即a≠5，a≠0，综上所述：关于x的分式方程=有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0，故选：D．点评：此题考查了求分式方程的解，由于我们的目的是求a出关于a的不等式．另外，解答本题时，容易漏掉5【真题专练】1.（2015•辽宁阜新）（第7题，3分）函数y=的自变量取值范围是．2.（2015•甘南州第21题 10分）已知若分式的值为0，则x的值为．3.（2015，福建南平，13，4分）计算：﹣= ．4．（2015•广东茂名10，35个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，确的是（）A．= B．= C．= D．=5.（2015•吉林，第8题3分）计算：•= ．6.（2015•黑龙江省大庆,第12题3分）已知xy=13，则的值为．7.（2015•宁德第18题 4分）化简：•．8.（2015•甘南州第17题 7分）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．9.（2015福建龙岩19，8分）解方程：1+=．10.（2015•湖南郴州，第21题8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．11.（2015•丹东，第20题10分）从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？12.（2015•黑龙江哈尔滨，第25题10分）购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？【真题演练参考答案】1.（2015•辽宁阜新）（第7题，3分）函数y=的自变量取值范围是．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．解答：解：根据题意得，2﹣x≠0，解得：x≠2．故答案是：x≠2．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．2.（2015•甘南州第21题 10分）已知若分式的值为0，则x的值为．考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先根据分式值为零的条件，可得；然后根据因式分解法解一元二次方程的步骤，求出x的值为多少即可．解答：解：∵分式的值为0，∴解得x=3，即x的值为3．故答案为：3．点评：（1）此题主要考查了分式值为零的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．（2）此题还考查了因式分解法解一元二次方程问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3.（2015，福建南平，13，4分）计算：﹣= ．考点：分式的加减法．分析：因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．解答：解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．4．（2015•广东茂名10，3分）张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工5个零件，张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时经过这种零件x个，则下面列出的方程正确的是（）A．= B．= C．= D．=考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：根据每小时张三比李四多加工5个零件和张三每小时加工这种零件x个，可知李四每小时加工这种零件的个数，根据张三加工120个这种零件与李四加工100个这种零件所用时间相等，列出方程即可．解答：解：设张三每小时加工这种零件x个，则李四每小时加工这种零件（x﹣5）个，由题意得，=，故选B．点评：本题考查的是列分式方程解应用题，根据题意准确找出等量关系是解题的关键．5.（2015•吉林，第8题3分）计算：•= ．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：原式变形后，约分即可得到结果．解答：解：原式=•=x+y．故答案为：x+y．点评：此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.（2015•黑龙江省大庆,第12题3分）已知xy=13，则的值为．考点：比例的性质．分析：根据已知设x=k，y=3k，代入求出即可．解答：解：∵xy=13，∴设x=k，y=3k，∴==﹣23，故答案为：﹣23．点评：本题考查了比例的性质的应用，能选择适当的方法求出结果是解此题的关键，难度不大．7.（2015•宁德第18题 4分）化简：•．考点：分式的乘除法．分析：先把分子分母分解因式，进一步约分计算得出答案即可．解答：解：原式=：•=．点评：此题考查分式的乘除法，把分子分母因式分解约分是解决问题的关键．8.（2015•甘南州第17题 7分）已知x﹣3y=0，求•（x﹣y）的值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：首先将分式的分母分解因式，然后再约分、化简，最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可．解答：解：=（2分）=；（4分）当x﹣3y=0时，x=3y；（6分）原式=．（8分）点评：分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．9.（2015福建龙岩19，8分）解方程：1+=．考点：解分式方程．分析：根据解分式方程的步骤进行解答，注意进行检验．解答：解：方程两边同乘以（x﹣2）得，（x﹣2）+3x=6，解得；x=2，检验：当x=2时，x﹣2=0，∴x=2不是原分式方程的解，∴原分式方程无解．点评：本题考查了解分式方程，解决本题的关键是熟记解分式方程的步骤，一定要进行检验．10.（2015•湖南郴州，第21题8分）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．考点：分式方程的应用．分析：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可．解答：解：设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得+=30解得：x=200经检验x=200是原方程的解．则（1+50%）x=300=20（棵）答：樱花树的单价为200元，有20棵．点评：此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．11.（2015•丹东，第20题10分）从甲市到乙市乘坐高速列车的路程为180千米，乘坐普通列车的路程为240千米．高速列车的平均速度是普通列车的平均速度的3倍．高速列车的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时．高速列车的平均速度是每小时多少千米？考点：分式方程的应用．分析：设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意可得，坐高铁走180千米比坐普通车240千米少用2小时，据此列方程求解．解答：解：设普通列车平均速度每小时x千米，则高速列车平均速度每小时3x千米，根据题意得，﹣=2，解得：x=90，经检验，x=90是所列方程的根，则3x=3×90=270．答：高速列车平均速度为每小时270千米．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．12.（2015•黑龙江哈尔滨，第25题10分）（2015•哈尔滨）华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？考点：分式方程的应用；一元一次不等式的应用．分析：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式解决问题．解答：解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需x+30元，由题意得=×2解得：x=50经检验x=50是原方程的解，x+30=80答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，由题意得50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260解得a≤31∵a是整数，∴a最大等于31，答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球．点评：此题考查二元一次方程组与分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系与不等关系是解决问题的关键．。