多元函数的极值与拉格朗日乘数法49684
合集下载
【2019年整理】多元函数的极值与拉格朗日乘法
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值; (2) AC B2 0时没有极值;
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
注 驻点
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 fxx( x0 , y0 ) A, f xy( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值,
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是
z
容易判断的.
例 函数 z 3x2 4 y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
•O
y
xz
例 函数 z x2 y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 z xy
在(0,0)点无极值.
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0. 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
注 驻点
极值点
如, 点(0,0)是函数z xy的驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0, 令 fxx( x0 , y0 ) A, f xy( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下: (1) AC B2 0时有极值,
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是
z
容易判断的.
例 函数 z 3x2 4 y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
•O
y
xz
例 函数 z x2 y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 z xy
在(0,0)点无极值.
第7节 多元函数的极值及其求法
z(1,0) 1为函数在 D上的最大值.
例 6 用铁板做一个体积为 2m3的有盖长方体水箱.
问当长
宽
`
高怎样选取
`
,
才能使用料最省
.
解 设水箱的长为 x, 宽为 y , 则高为 2 . xy
水箱表面积
A
2
xy
y
2 xy
x
2 xy
2
xy
2 x
2 y
AC B2 12 6 0 , 又 A 0 , f (1, 0) 5为极小值 .
二阶偏导数 f xx (x, y) 6x 6 , f xy (x, y) 0 , f yy (x, y) 6 y 6 . (2) 对点 (1, 2), A f xx (1, 2) 12 , B f xy (1, 2) 0 , C f yy (1, 2) 6 .
(2) AC B2 0时, f (x0 , y0 )不为极值 . (3) AC B2 0时, 不能判别 .
根据极值存在的充分条件 . 求二元函数 z f (x, y)的步骤如下 :
(1)
解方程组
fx (x, y) 0 f y (x, y) 0
, 求得一切驻点 .
0 0
第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .
2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
如求二元函数 z f (x, y)在条件(x, y) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f (x, y) (x, y)
解方程组
求驻点 .
多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法
多元函数的条件极值和拉格朗日乘数法、条件极值、拉格朗日乘数法1. 转化为无条件极值在讨论多元函数极值问题时，如果遇到除了在定义域中寻求驻点（可能的极值点）外，对自变量再无别的限制条件，我们称这类问题为函数的无条件极值。
如求的极值，就是无条件极值问题。
然而在实际中，我们也会遇到另一类问题。
比如，讨论表面积为的长方体的最大体积问题。
若设长方体的三度为,则体积，同时应满足于是我们的问题的数学含义就是：当自变量满足条件下取何值时能使函数取得最大值。
（这里我们暂不论证指出这个最大值就是极大值）。
一般抽象出来，可表为如下形式：即函数在条件下的取极大（小）值问题。
今后，我们称这种问题为函数的条件极值问题。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
一般称为目标函数，为约束条件( 或约束方程) 。
对于有些实际问题, 可以把条件极值问题化为无条件极值问题。
例如上述问题, 由条件,解得,于是得V .只需求V 的无条件极值问题。
例6 求函数在约束条件下的条件极值。
解由约束条件可解出代入目标函数，有：令得驻点由于当时，，当时，在时取极大值，又当时，由约束条件可解出，而，此例说明条件极值可有如下一种解法：如果能从约束方程中解出一个自变量，代入目标函数后，就可转化为无条件极值。
通过讨论无条件极值可得问题的解答。
但在很多实际问题中，往往不容易从约束条件中解出一个自变量，从而上述方法就失效了。
因此，对条件极值我们应讨论一般解法。
2. 关于条件极值的拉格朗日乘数法在很多情形下, 将条件极值化为无条件极值并不容易。
需要另一种求条件极值的专用方法, 这就是拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法：要找函数z = f ( x , y ) 在条件j( x , y ) = 0 下的可能极值点, 可以先构成辅助函数F ( x , y ) = f ( x , y ) + lj ( x , y) , 其中l 为某一常数。
然后解方程组.由这方程组解出x , y 及l , 则其中( x , y )就是所要求的可能的极值点。
(条件极值)多元函数的极值与拉格朗日乘数法
17
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
18
下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
13
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
14
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？ 解 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z ,
由题意知，周长： x y z 18
长方体的体积为 V xyz
18
下面要介绍解决条件极值问题的一般 方法: 拉格朗日乘数法
13
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法: 现要寻求目标函数 z f ( x, y ) 在约束条件 ( x , y ) 0
利用隐函数的概念与求导法 (1)
(2)
下取得 极值的必要条件. 如函数(1)在( x0 , y0 ) 取得所求的极值, 那末首先有 ( x0 , y0 ) 0 (3) 由条件 ( x, y ) 0 确定y是x的隐函数 y y( x ). 不必将它真的解出来,则 z f ( x , y ( x )),于是函数(1) 在( x0 , y0 ) 取得所 求的极值. 即, x x0 取得极值.
则f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下:
(1) AC B 2 0时有极值,
当A 0时有极大值, 当A 0时有极小值;
(2) AC B 2 0时没有极值; (3) AC B 2 0时 可能有极值,也可能无极值.
7
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
14
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z f ( x , y ( x ))在 x x0 取得极值.
z f ( x , y ) (1) ( x , y ) 0 ( 2)
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
f dy f dz 0 (4) x x y 0 dx x x 0 x0 dx x x0 x x y y0 y y0 ( x, y ) 0 x ( x 0 , y0 ) dy 其中 代入(4)得: y ( x 0 , y0 ) dx x x0 ( x0 , y0 ) 0 ( 3) x ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 0 ( 5) y ( x 0 , y0 ) (3) ,(5)两式 就是函数(1)在条件(2)下的在( x0 , y0 ) 取得极值的必要条件.
多元函数的极值与拉格朗日乘法
THANKS
感谢观看
充分条件
如果多元函数$f(x)$在点$x_0$处的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）是正定的或 负定的，则该点为极小值或极大值点。
多元函数的极值示例
球面函数
考虑函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$，该函数在原点$(0,0,0)$ 处取得极小值。
倒立方体函数
考虑函数$f(x,y,z)=-(x^2+y^2+z^2)$，该函数在原点 $(0,0,0)$处取得极大值。
拉格朗日乘法的应用场景
拉格朗日乘法适用于求解受约束条件 限制的多元函数的极值问题，如线性 规划、非线性规划、最优控制等问题。
在实际应用中，拉格朗日乘法可以用 于求解生产计划、资源分配、物流优 化等问题，以实现最优资源配置和最 大经济效益。
拉格朗日乘法的计算步骤
第一步
构造拉格朗日函数，将约束条件与目标函数 相结合。
第二步
对拉格朗日函数求极值，得到可能的极值点。
第三步
验证得到的极值点是否满足约束条件，并确 定是否为真正的极值点。
第四步
根据实际情况选择合适的算法进行求解，如 梯度下降法、牛顿法等。
04
拉格朗日乘法在多元函数极值中的应
用
应用方法
定义拉格朗日乘数
对于多元函数$f(x,y)$，引入F(x,y,lambda) = f(x,y) + lambda(g(x,y))$。
求解条件极值
将拉格朗日函数$F(x,y,lambda)$分别对$x, y, lambda$求偏导数，并令偏导数等于零，得到条件 极值方程组。
解方程组求极值
解条件极值方程组，得到可能的极值点，再 根据函数的性质判断这些点是否为极值点。
多元函数的极值和最值条件极值拉格朗日乘数法
Cx, y 400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y
x 1
y1
10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x
x
x,
y
6
x
6;
f
yy
x,
y
6
y
6;
f
xy
x,
y
f
yx
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
当两种产品产量 为多少时？ 可获得利润最大？ 最大利润是多少？
解： 收益函数是 Rx, y pAx pB y 10x 9y
利润函数是
Lx, y Rx, y Cx, y
(10x 9 y) [400 2x 3y 0.013x2 xy 3y2 ]
（1）B2 AC 0 时具有极值，当 A 0或C 0时 有极大值， 当 A 0或C 0 时有极小值；
（2） B2 AC 0 时没有极值；
（3）B2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值．
求函数 z=f(x,y)极值的一般步骤：
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
f x, y 3y2 6y 0 y
x 1
y1
10或
x 3 2 y2 2
得驻点 1,0, 1,2, 3,0, 3,2
（2）求二阶偏导数
f
x
x
x,
y
6
x
6;
f
yy
x,
y
6
y
6;
f
xy
x,
y
f
yx
减去总广告费， 两种方式的广告费共25千元， 怎样分配两种方式的广告费能使利润最大，最大
利润是多少？
解
约束条件下的利润函数为
Lx, y S 25,
5
具体利润函数为 L(x, y) 40x 20y 5 x 10 y
多元函数的极值及其求法-多元函数极值驻点的求法
Fx yz (2 y 2z) 0,
则
Fy Fz
xz xy
(2x (2 y
2z) 2x)
0, 0,
2 x y 2 y z 精2 选x ppt z a 2 0 .
18
令 F ( x ,y ,z ) x y ( 2 x z 2 y y 2 z x a 2 z ),
解 令 F ( x ,y ,z ) x 3 y 2 z ( x y z 1 ) , 2
则
F
x
F
y
F z
3x 2x x3
2y2z 0 3 yz 0 y2 0
x
y
z
12
3x2y2z ,
2
x
3
yz
,
x3
y2
,
x
y
z
12 ,
(1) ( 2) ( 3) (4)
一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结
精选ppt
1
一、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数z f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域内有定义，
对于该邻域内异于(x0, y0)的点(x, y) ：
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
求 出 所 有 驻 点 .
第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ( x 0 , y 0 ) ， 求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A 、 B 、 C .
第 三 步 定 出 A B 2 的 C 符 号 ， 再 判 定 是 否 是 极 值 .
精选ppt
8
例4 求函数 f(x,y)x3y33xy 的极值。
多元函数极值与拉格朗日乘数法
dx
2
24
又在端点(1,0)处, 有 z(1,0) 1.
15
z 1 x x2 2y
y
x y1
③在边界线 x y 1, 0 x 1上,
D
O
x
z 1 x x2 2(1 x) 3 3x x2
dz 3 2x 0 (0 x 1), 函数单调下降,
dx
所以, 最值在端点处.
z(0,0) 1
(3)比较 z(0,0), z(1,0), z(0,1) 及z(1 ,0)
2
z( 1 ,0) 3 为最小值; 24
z(0,1) 3
z(1,0) 1
1 z(
,0)
3
24
z(0,1) 3 为最大值.
16
例 5 求二元函数z f ( x, y) x2 y(4 x y)
解 法1 将方程两边分别对x, y求偏导数,
2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0
由函数取极值的必要条件,令
zx
zy
0 0
得驻点为 P(1,1),
将P(1,1) 代入原方程, 有 z1 2, z2 6
17
z f ( x, y) x2 y(4 x y) 且 f (2,1) 4,
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0, y
在边界x y 6上，即y 6 x
x y6
于是 f ( x, y) x2(6 x)(2),
18 y 2xy
多元函数的极值及其求法(精)
求出实数解，得驻点.
第二步
对于每一个驻点
(
x 0
,
y 0
)
，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC - B 2 的符号，再判定是否是极值.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求 函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界
都有
f
(x,
y) <
f (x , 0
y0 ),
2005.5
湖北经济学院数学教研室
故当 y = y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) < f ( x0 , y0 ),
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x = x0处有极大值,
必有 f x ( x0 , y0 ) = 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) = 0.
l j (x, y,z,t) + l y (x, y,z,t)
1
2
其中
l 1
,
l
2 均为常数，可由偏导数为零及条件解出
x , y , z , t ，即得极值点的坐标.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
例7 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积。 解 设长方体的三棱长为 x, y, z, 则问题就是在条件下
+
z0 c2
(z
-
z0 )
=
0,
化简为
x x0 a2
+
y y0 b2
+
z z0 c2
= 1,
该切平面在三个轴上的截距各为
第二步
对于每一个驻点
(
x 0
,
y 0
)
，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC - B 2 的符号，再判定是否是极值.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
3、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求 函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界
都有
f
(x,
y) <
f (x , 0
y0 ),
2005.5
湖北经济学院数学教研室
故当 y = y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) < f ( x0 , y0 ),
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x = x0处有极大值,
必有 f x ( x0 , y0 ) = 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) = 0.
l j (x, y,z,t) + l y (x, y,z,t)
1
2
其中
l 1
,
l
2 均为常数，可由偏导数为零及条件解出
x , y , z , t ，即得极值点的坐标.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
例7 求表面积为 a 2 而体积为最大的长方体的体积。 解 设长方体的三棱长为 x, y, z, 则问题就是在条件下
+
z0 c2
(z
-
z0 )
=
0,
化简为
x x0 a2
+
y y0 b2
+
z z0 c2
= 1,
该切平面在三个轴上的截距各为
多元函数求极值拉格朗日乘数法精编WORD版
多元函数求极值拉格朗日乘数法精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。
熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学重点：多元函数极值的求法。
教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。
教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式00(,)(,)f x y f x y <，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。
如果都适合不等式),(),(00y x f y x f >，则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。
使函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。
因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。
从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。
例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。
因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。
例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。
因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。
定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。
多元函数的极值及其求法
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
拉 格 朗 日 乘 数 法
要 找 函 数zf(x,y)在 条 件(x,y)0下 的 可 能
极 值 点 ,
先构造函数 F(x, y) f (x, y) (x, y)，其中
为某一常数，可由
fx(x, y) x(x, y) 0,
0,
Ft(x, y,z,t) 0,
(x, y,z,t) 0, ( x , y , z , t ) 0 .
解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.
例6 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.
解 设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V . 则问题就是条件 2 x y 2 y z2 x z a 2 0 下， 求函数 V x( x y 0 ,y z 0 , z 0 )的最大值.
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极大值；
若满足不等式
f (x, y) f (x0, y0)，
则称函数在(x0, y0)有极小值；
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 .
使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
例1 函数z 3x2 4y2
例 5求 zx 2x y 2 y 1的 最 大 值 和 最 小 值 .
解令
zx(x2(y x2 2 1y )2 21 x)(2xy)0, zy(x2(y x2 2 1y )2 21 y)(2xy)0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1),
22
22
四、小结
多元函数的极值 （取得极值的必要条件、充分条件） 多元函数的最值 拉格朗日乘数法
多元函数极值与拉格朗日乘数法
22
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
推广: 自变量多于两个，
约束条件多于一个的情况.
例 目标函数 u f ( x, y, z, t)
约束条件 ( x, y, z, t) 0 (x, y, z,t) 0
拉格朗日函数
L( x, y, z, t, 1, 2 ) f ( x, y, z, t) 1( x, y, z, t) 2 (x, y, z, t)
20
说明 上例的条件极值问题,是通过将约束条件代入 目标函数中求解; 但并不是所有情况下都能这样做，更多时候 用到的是下面要介绍的，解决条件极值问题的 一般方法—— 拉格朗日乘数法
21
Lagrange(拉格朗日)乘数法
求函数 z f ( x, y) 在条件 ( x, y) 0
下的可能极值点, 先构造拉格朗日函数
(2) AC B2 0时, f ( x0 , y0 ) 不是极值;
(3)AC B2 0时 f ( x0 , y0 ) 可能是极值,
也可能不是极值.
4
求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤:
第一步
解方程组
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
0 0
求出实数解, 得驻点.
第二步 对于每一个驻点 ( x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
2
说明
1、驻点
具有偏导的极值点
如,点(0,0)是函数z xy的 驻点,但不是极值点.
2、偏导数不存在的点， 也可能是极值点.
例 z x2 y2
z
在点(0,0)处的偏导数不存在,
O•
x
y
但(0,0)是函数的极大值点.
3
二元函数极值的充分条件
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
不是. 例如 f ( x, y) x 2 y 2,
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值;
当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值;
小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
3/29
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
4/29
2、多元函数取得极值的条件
必有 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
上的最大值与最小值.
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
13/29
解方程组
fx( x, y) 2xy(4 x f y( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
3 abc. 2
27/29
四、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
当x 0时， f (0, y) y2在(0,0) 取极大值;
当 y 0时， f ( x,0) x 2在(0,0) 取极小值;
小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
3/29
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
4/29
2、多元函数取得极值的条件
必有 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
件为
f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
上的最大值与最小值.
解 如图,
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
13/29
解方程组
fx( x, y) 2xy(4 x f y( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
3 abc. 2
27/29
四、小结
多元函数的极值
（取得极值的必要条件、充分条件）
拉格朗日函数
y)
0,
zy
(x2
y2 1) 2 y( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
x=y
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
因为lim x
x2
x
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有 f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 0.
推广 如果三元函数u f ( x, y, z)在点P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在P( x0 , y0 , z0 )有极值的必要条
§9.10 多元函数的极值及其求法
0 多元函数的极值和最值 0 条件极值拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
观察二元函数 z
xy ex2 y2
的图形
一、多元函数的极ex2 y2
的图形
1、多元函数极值的定义
设PRn, 函数u=f(p)在p0的某邻域U(p0, )内有 定义，对任何p U(p0, ), p p0, 都有f(p)<f(p0),
y) x2 y 0 y) x2 y 0
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0,
在边界x y 6上，即y 6 x 于是 f ( x, y) x2(6 x)(2), 由 fx 4x( x 6) 2x2 0,
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
20
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？
解 设长方体的长、宽、高分别为 x、 y、 z,
由题意 xyz1,8z18 xy
长方体的体积为 V xyz x(1 y 8xy)
1x 8yx2yx2y
区域D：x 0 ,y 0 ,x y 18
5
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
推广 如果三元函数 u f ( x ,y ,z ) 在 P ( x 0 ,y 点 0 ,z 0 ) 具有偏导数, 则它在 P(x0,y0,z0)有极值的必要条件 为 fx(x 0,y 0,z0)0 , fy(x0,y0,z0)0,
fz(x 0,y0,z0)0 . 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
z
• O
y
x
4
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设 z 函 f(x ,y ) 在 数 (x 0 ,y 点 0 ) 具有偏导数,且在 (x0,点 y0)处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
fx(x0,y0)0, fy(x0,y0)0. 证 不妨设 z f(x ,y )在 (x 0 ,y 点 0 ) 处 有极大值,
14
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
4.多元函数的最值 与一元函数相类似,可利用函数的极值来
求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法
将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
15
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求 z 1 函 x x 2 2 数 y 在 x 0 ,y 0 与 直x 线 y1围成的三角形闭域D上的
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数,
2 x 2 z z x 2 4 z x 0
2 y 2 z z y 2 4 z y 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
将上方程组再分别对x, y求偏导数,
Azxx|P21z,
Bzxy|P0,
Czyy
|P
1 2z
,
10
多元函数的极值与拉格朗日乘数法 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0 确定z的 f(x 函 ,y)的 数极 . 值 解 法二 配方法 方程可变形为
(x 1 )2 (y 1 )2 (z 2 )2 16 于是 z 2 1 ( 6 x 1 ) 2 (y 1 ) 2 ※ 显然, 当 x1,y1时 ,根号中的极大值为4, 由※可知, z24为极值. 即 z6为极大值, z2为极小值.
12
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
注 由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处
取得. 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在, 这些点当然不是驻点, 但也可能是极值点.
如: 函数z x2 y2在点(0,0)处的偏导数
不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.
(x0,y0)0
(6)中的前两式的左边正是函数: L ( x ,y ) f ( x ,y ) ( x ,y ) 的两个一阶偏导数在(x0, y0) 的值. 函数 L(x,y)称为拉格朗日函数,
参数 称为拉格朗日乘子, 是一个待定常数.
24
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
(x0,设y0)f y(0 x,0, fyx 0()x 0,y 0)上述fy必(x要0,条y0)件 变x y((为x x0 0:,,y y0 0))0
y(x0, y0)
f fx y ( ( x x 0 0 , ,y y 0 0 ) ) x y ( (x x 0 0 , ,y y 0 0 ) ) 0 0 (6)
O
x
z 1 x x 2 2 (1 x )33xx2
由于 dz 32x0(0x1)函, 数单调下降, dx
所以, 最值在端点处.
z(0,0)1
(3) 比较 z(0,0),z(1,0),z(0,1)及z(1 ,0)
2
13 zminz(2,0) 4
zmaxz(0,1)3
z(0,1)3
z(1,0)1
则对(于 x0,y0)的某邻域内 (x,任 y) 意 (x 0,y0), 都有 f(x ,y )f(x 0 ,y 0 )故 , y 当 y 0 ,xx 0 时 , 有 f(x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ), 说明一元函数 f(x,y0)在 xx0处 有极大值, 必有 fx(x0,y0)0;类似地可证 fy(x0,y0)0.
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是
z
容易判断的.
例 函数 z3x24y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
• O y
xz
例 函数 z x2y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 zxy
在(0,0)点无极值.
马鞍面
在点(0,0)处, A C B 2 9 a 20
故 f (x, y)在(0,0)无极值;
在点(a,a)处, A C B 22a 7 2 且 A6a0
0
故 f (x, y)在(a,a)有极大值, 即 f(a,a)a3.
9
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0 确定z的 f(函 x,y)的 数极 . 值
V V y x 1 1x y 8 8 x 2 2 x 2 x y y 2 y0 0驻(点 6,6) 由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积
一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方
体体积最大.
21
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
上例的极值问题也可以看成是求三元函数
Vxyz的极值, 但x、y、z要受到条件
最大(小)值.
解 (1) 求函数在D内的驻点
由于
zx12x
zy 2 0
所以函数在D内无极值.
y
xy1
D
O
x
(2) 求函数在 D边界上的最值 (现最值只能在边界上)
16
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z1xx22y
＊在边界线 x0, 0y1上 ,
y
z12y
xy1
由于 d z dy
2 0,z12y单调上升.
注 驻点
极值点
如, 点 (0,0)是函 zx数 的 y驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设 z 函 f(x ,y ) 在 数 (x 0 ,y 点 0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 fx(x 0 ,y 0) 0 , fy(x0,y0)0, 令 fx(x x 0,y 0)A ,fx(yx0,y0)B, fy(yx0,y0)C, 则 f(x,y)在 (x 0 点 ,y0)处是否取得极值的条件如下: (1) AC B20时 有极值,
此时 x 4y2 2 当y2时,均x有 0 f(0,0)9 f(2,0)13 f(0,2)25
故 f(x,y)在 D上的最2大 ,5最值 小为 9值 . 为
19
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
二、条件极值 拉格朗日乘数法
无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外, 并无
其他条件. 条件极值
对自变量有附加条件的极值.
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近
将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域)为极大值.
第三步 定出 ACB2的符号, 再判定是否是极值.
8
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求 f ( x , 函 y ) 3 a 数 x 3 y 3 y ( a 0 )
的极值.
解
fx fy
3ay3x2 3ax3y2
0 0
驻(点 0,0)(,a,a).
又 fxx 6x, fxy 3a , f yy 6y.
故 ACB2 (21z)2 0 (z2) 函数在P有极值.
Azxx|P21z
Bzx y|P0
2z Czyy|P 1
将P(1,1)代入原方程,有 z1 2 ,z26
当 z12时 ,A
1 4
0,
所以 zf(1 , 1 ) 2 为极小值;
当z26时 , A
1 4
0,
所以 zf(1 , 1 )6为极大值.
z( 1 ,0) 3 24
18
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求 f ( x, y) x2 4 y2 9在D : x2 y2 4上
的最大值与最小值. 解 令 fx2x0, fy 8y0 驻点(0,0)
将 x2y24 代 f(x 入 ,y)得, f(x,y)3y21 3g( y) y[2,2] 令 g(y)6y0 y 0
求的极值. 即, x x0取得极值.
23
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
zf(x,y)(1 )
z f ( x, y( x))在 x x0 取得极值. (x,y)0(2 )
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
dz
f
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 已知长方体长宽高的和为18, 问长、宽、高 各取什么值时长方体的体积最大？
解 设长方体的长、宽、高分别为 x、 y、 z,
由题意 xyz1,8z18 xy
长方体的体积为 V xyz x(1 y 8xy)
1x 8yx2yx2y
区域D：x 0 ,y 0 ,x y 18
5
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
推广 如果三元函数 u f ( x ,y ,z ) 在 P ( x 0 ,y 点 0 ,z 0 ) 具有偏导数, 则它在 P(x0,y0,z0)有极值的必要条件 为 fx(x 0,y 0,z0)0 , fy(x0,y0,z0)0,
fz(x 0,y0,z0)0 . 仿照一元函数, 凡能使一阶偏导数同时为零的 点,均称为函数的驻点.
z
• O
y
x
4
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
2.极值的必要条件 定理1(必要条件) 设 z 函 f(x ,y ) 在 数 (x 0 ,y 点 0 ) 具有偏导数,且在 (x0,点 y0)处 有极值, 则它在该 点的偏导数必然为零:
fx(x0,y0)0, fy(x0,y0)0. 证 不妨设 z f(x ,y )在 (x 0 ,y 点 0 ) 处 有极大值,
14
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
4.多元函数的最值 与一元函数相类似,可利用函数的极值来
求函数的最大值和最小值.
求最值的一般方法
将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及 在D的边界上的最大值和最小值相互比较, 其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.
15
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求 z 1 函 x x 2 2 数 y 在 x 0 ,y 0 与 直x 线 y1围成的三角形闭域D上的
解 法一 将方程两边分别对x, y求偏导数,
2 x 2 z z x 2 4 z x 0
2 y 2 z z y 2 4 z y 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
将上方程组再分别对x, y求偏导数,
Azxx|P21z,
Bzxy|P0,
Czyy
|P
1 2z
,
10
多元函数的极值与拉格朗日乘数法 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0
11
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0 确定z的 f(x 函 ,y)的 数极 . 值 解 法二 配方法 方程可变形为
(x 1 )2 (y 1 )2 (z 2 )2 16 于是 z 2 1 ( 6 x 1 ) 2 (y 1 ) 2 ※ 显然, 当 x1,y1时 ,根号中的极大值为4, 由※可知, z24为极值. 即 z6为极大值, z2为极小值.
12
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
注 由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处
取得. 然而,如函数在个别点处的偏导数不存在, 这些点当然不是驻点, 但也可能是极值点.
如: 函数z x2 y2在点(0,0)处的偏导数
不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值. 在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外, 还应研究偏导数不存在的点.
(x0,y0)0
(6)中的前两式的左边正是函数: L ( x ,y ) f ( x ,y ) ( x ,y ) 的两个一阶偏导数在(x0, y0) 的值. 函数 L(x,y)称为拉格朗日函数,
参数 称为拉格朗日乘子, 是一个待定常数.
24
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
(x0,设y0)f y(0 x,0, fyx 0()x 0,y 0)上述fy必(x要0,条y0)件 变x y((为x x0 0:,,y y0 0))0
y(x0, y0)
f fx y ( ( x x 0 0 , ,y y 0 0 ) ) x y ( (x x 0 0 , ,y y 0 0 ) ) 0 0 (6)
O
x
z 1 x x 2 2 (1 x )33xx2
由于 dz 32x0(0x1)函, 数单调下降, dx
所以, 最值在端点处.
z(0,0)1
(3) 比较 z(0,0),z(1,0),z(0,1)及z(1 ,0)
2
13 zminz(2,0) 4
zmaxz(0,1)3
z(0,1)3
z(1,0)1
则对(于 x0,y0)的某邻域内 (x,任 y) 意 (x 0,y0), 都有 f(x ,y )f(x 0 ,y 0 )故 , y 当 y 0 ,xx 0 时 , 有 f(x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ), 说明一元函数 f(x,y0)在 xx0处 有极大值, 必有 fx(x0,y0)0;类似地可证 fy(x0,y0)0.
3
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
函数 存在极值, 在简单的情形下是
z
容易判断的.
例 函数 z3x24y2 椭圆抛物面
在(0,0)点取极小值. (也是最小值).
• O y
xz
例 函数 z x2y2
下半个圆锥面
O•
在(0,0)点取极大值. (也是最大值). x
y
例 函数 zxy
在(0,0)点无极值.
马鞍面
在点(0,0)处, A C B 2 9 a 20
故 f (x, y)在(0,0)无极值;
在点(a,a)处, A C B 22a 7 2 且 A6a0
0
故 f (x, y)在(a,a)有极大值, 即 f(a,a)a3.
9
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求由方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0 确定z的 f(函 x,y)的 数极 . 值
V V y x 1 1x y 8 8 x 2 2 x 2 x y y 2 y0 0驻(点 6,6) 由于V在D内只有一个驻点, 且长方体体积
一定有最大值, 故当的长、宽、高都为6时长方
体体积最大.
21
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
上例的极值问题也可以看成是求三元函数
Vxyz的极值, 但x、y、z要受到条件
最大(小)值.
解 (1) 求函数在D内的驻点
由于
zx12x
zy 2 0
所以函数在D内无极值.
y
xy1
D
O
x
(2) 求函数在 D边界上的最值 (现最值只能在边界上)
16
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
z1xx22y
＊在边界线 x0, 0y1上 ,
y
z12y
xy1
由于 d z dy
2 0,z12y单调上升.
注 驻点
极值点
如, 点 (0,0)是函 zx数 的 y驻点, 但不是极值点. 如何判定一个驻点是否为极值点
6
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
3.极值的充分条件 定理2(充分条件) 设 z 函 f(x ,y ) 在 数 (x 0 ,y 点 0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 又 fx(x 0 ,y 0) 0 , fy(x0,y0)0, 令 fx(x x 0,y 0)A ,fx(yx0,y0)B, fy(yx0,y0)C, 则 f(x,y)在 (x 0 点 ,y0)处是否取得极值的条件如下: (1) AC B20时 有极值,
此时 x 4y2 2 当y2时,均x有 0 f(0,0)9 f(2,0)13 f(0,2)25
故 f(x,y)在 D上的最2大 ,5最值 小为 9值 . 为
19
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
二、条件极值 拉格朗日乘数法
无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外, 并无
其他条件. 条件极值
对自变量有附加条件的极值.
第八节 多元函数的极值与 拉格朗日乘数法
多元函数的极值和最值 条件极值 拉格朗日乘数法 小结 思考题 作业
1
第八章 多元函数微分法及其应用
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
一、多元函数的极值和最值
1.极大值和极小值的定义 一元函数的极值的定义: 是在一点附近
将函数值比大小. 定义 设在点P0的某个邻域)为极大值.
第三步 定出 ACB2的符号, 再判定是否是极值.
8
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
例 求 f ( x , 函 y ) 3 a 数 x 3 y 3 y ( a 0 )
的极值.
解
fx fy
3ay3x2 3ax3y2
0 0
驻(点 0,0)(,a,a).
又 fxx 6x, fxy 3a , f yy 6y.
故 ACB2 (21z)2 0 (z2) 函数在P有极值.
Azxx|P21z
Bzx y|P0
2z Czyy|P 1
将P(1,1)代入原方程,有 z1 2 ,z26
当 z12时 ,A
1 4
0,
所以 zf(1 , 1 ) 2 为极小值;
当z26时 , A
1 4
0,
所以 zf(1 , 1 )6为极大值.
z( 1 ,0) 3 24
18
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
求 f ( x, y) x2 4 y2 9在D : x2 y2 4上
的最大值与最小值. 解 令 fx2x0, fy 8y0 驻点(0,0)
将 x2y24 代 f(x 入 ,y)得, f(x,y)3y21 3g( y) y[2,2] 令 g(y)6y0 y 0
求的极值. 即, x x0取得极值.
23
多元函数的极值与拉格朗日乘数法
zf(x,y)(1 )
z f ( x, y( x))在 x x0 取得极值. (x,y)0(2 )
由一元可导函数取得极值的必要条件知:
dz
f