湖南长沙同升湖实验学校2015届高三文科数学高考前浏览题(统计概率) Word版含答案

合集下载

2015高考真题：文科数学(湖南卷)试卷(含答案)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知2(1)iz-=1+i【i为虚数单位】，则复数z=( )A、1+iB、1-iC、-1+iD、-1-i 【答案】D【解析】试题分析：.由题根据所给复数式子进行化简即可得到复数z的代数式；由题22(1)(1)22(1i)1,1112i i i ii z iz i i-----=+∴====--++，故选D.考点：复数的运算2、在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩【单位：分钟】如图I所示;若将运动员按成绩由好到差编为1~35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数为( )A、3B、4C、5D、6【答案】B考点：茎叶图3、设x∈R，则“x>1”是“2x>1”的【】A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：.由题根据明天的关系进行发现即可得到所给两个明天的关系；由题易知“x>1”可以推得“2x>1”，“2x>1”可以得到“x>1”，所以“x>1”是“2x>1”的充要条件，故选C.考点：命题与条件4、若变量x、y满足约束条件111x yy xx+≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则z=2x-y的最小值为( )A、-1B、0C、1D、2 【答案】A考点：简单的线性规划5、执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3，中输入的S=( )A、67B、37C、89D、49【答案】B考点：程序框图6、若双曲线22221x ya b-=的一条渐近线经过点【3，-4】，则此双曲线的离心率为A B、54C、43D、53【答案】D【解析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可、因为双曲线22221x ya b-=的一条渐近线经过点【3，-4】，2225349163c b a c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D.考点：双曲线的简单性质7、若实数a ，b 满足12a b+=，则ab 的最小值为( )A B 、2 C 、 D 、4 【答案】C考点：基本不等式8、设函数f 【x 】=ln 【1+x 】-ln 【1-x 】，则f 【x 】是( )A 、奇函数，且在【0,1】上是增函数B 、奇函数，且在【0,1】上是减函数C 、偶函数，且在【0,1】上是增函数D 、偶函数，且在【0,1】上是减函数【答案】A 【解析】试题分析：求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可、函数f 【x 】=ln 【1+x 】-ln 【1-x 】，函数的定义域为【-1，1】，函数f 【-x 】=ln 【1-x 】-ln 【1+x 】=-[ln 【1+x 】-ln 【1-x 】]=-f 【x 】，所以函数是奇函数、()2111'111f x x x x =+=+-- ，已知在【0,1】上()'0f x > ，所以f(x)在(0,1)上单调递增，故选A.考点：利用导数研究函数的性质9、已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为【2，0】，则PA PB PC ++ 的最大值为A 、6B 、7C 、8D 、9 【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为【-1，0】时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为【-1，0】时，4PB +取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质10、某工作的三视图如图3所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为【材料利用率=新工件的体积/原工件的体积】A 、89πB 、827πC D【答案】A考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11、已知集合U={}1,2,3,4，A={}1,3,B={}1,3,4,则A (U B ð)=_____.【答案】{1，2，3}.考点：集合的运算12、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=，则曲线C 的直角坐标方程为_____. 【答案】2211x y +-=（）【解析】试题分析：将极坐标化为直角坐标，求解即可、曲线C 的极坐标方程为222sn sn ρθρρθ=∴=，，它的直角坐标方程为222x y y += ，2211x y ∴+-=（）．故答案为：2211x y +-=（）、考点：圆的极坐标方程13. 若直线3x-4y+5=0与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120o AOB ∠=【O 为坐标原点】，则r=_____. 【答案】【解析】试题分析：直线3x-4y+5=0与圆2220x y r r +=（＞）交于A 、B 两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点【圆心】到直线3x-4y+5=0的距离为12r ，代入点到直线距离公式，可构造关于r 的方程，解方程可得答案、如图直线3x-4y+5=0与圆2220x y r r +=（＞）交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心【0，0】到直线3x-4y+5=0的距离为12r 12r r =∴，=2 .故答案为2.考点：直线与圆的位置关系14、若函数f 【x 】=| 2x-2 |-b 有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【答案】0＜b ＜2考点：函数零点15、已知ω>0,在函数y=2sin ωx 与y=2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为ω =_____. 【答案】2πω=考点：三角函数图像与性质三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

2015年高考真题——文科数学(新课标Ⅰ卷)Word版含答案

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,12,14},则集合A⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=（-4，-3），则向量BC=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B) 2(C) 4(D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）42015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(湖南卷)(含答案全解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试湖南文科数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015湖南,文1)已知(1-i)2z=1+i(i为虚数单位),则复数z=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i 答案:D解析:由已知得z=(1-i)2=-2i=-2i(1-i)(1+i)(1-i)=-2-2i=-1-i.2.(2015湖南,文2)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1~35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是()A.3B.4C.5D.6答案:B解析:依题意,应将35名运动员的成绩由好到差排序后分为7组,每组5人.然后从每组中抽取1人,其中成绩在区间[139,151]上的运动员恰好是第2,3,4,5组,因此,成绩在该区间上的运动员人数是4.3.(2015湖南,文3)设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:C解析:由x>1能推得x3>1,充分性成立.由x3>1得(x-1)(x2+x+1)>0,∵x2+x+1>0恒成立,∴x>1,∴“x>1”是“x3>1”的充要条件.故选C.4.(2015湖南,文4)若变量x,y满足约束条件x+y≥1,y-x≤1,x≤1,则z=2x-y的最小值为()A.-1B.0C.1D.2答案:A解析:画出满足约束条件的平面区域如图.作直线y=2x,平移直线y=2x,当x=0,y=1,即直线过点A(0,1)时,z取得最小值,此时z min=2×0-1=-1.故选A.5.(2015湖南,文5)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案:B解析:由题意得,输出的S 为数列1(2n -1)(2n +1)的前3项和,而1(2n -1)(2n +1)=112n -1-1,即S n =1 1-1=n .故当输入n=3时,S=S 3=3,故选B . 6.(2015湖南,文6)若双曲线x 2a 2−y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为( )A. 73B.54C.43D.53答案:D解析:∵双曲线的渐近线方程为y=±b ax ,且过点(3,-4),∴-4=-b ×3,∴b a =43.∴离心率e= 1+ b 2= 1+ 4 =5,故选D .7.(2015湖南,文7)若实数a ,b 满足1a +2b=ab ,则ab 的最小值为( ) A. B.2C.2D.4答案:C解析:由已知1+2= ab ,可知a ,b 同号,且均大于0.由 =1a +2b ≥2 2ab,得ab ≥2 2.即当且仅当1=2,即b=2a 时等号成立,故选C .8.(2015湖南,文8)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x ),则f (x )是( )A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案:A解析:要使函数有意义,应满足 1+x >0,1-x >0,解得-1<x<1,即函数f (x )定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x ),所以f (x )为奇函数.又f (x )=ln 1+x 1-x=ln 21-x-1 ,由复合函数的单调性可知f (x )在(0,1)上是增函数.故选A .9.(2015湖南,文9)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC ,若点P 的坐标为(2,0),则|PA +PB +PC|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:B解析:设坐标原点为O ,则PA +PB +PC =PO +OA +PO +OB +PO +OC =3PO +OB +(OA +OC ),由于AB ⊥BC ,所以AC 是圆的直径,因此OA +OC =0,于是|PA +PB +PC |=|3PO +OB |= (3PO +OB )2= 9|PO |2+6PO ·OB +|OB |2= 9×22+12-6OP ·OB= 37-6|OP ||OB |cos ∠POB= 37-12cos ∠POB ,故当∠POB=π时,cos ∠POB 取最小值-1,此时|PA +PB +PC |取最大值7.10.(2015湖南,文10)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积原工件的体积()A.89πB.8 27πC.24(2-1)3D.8(2-1)3答案:A解析:由三视图可知该几何体是一个圆锥,其底面半径r=1,母线长l=3,所以其高h=l2-r2=32-12=22.故该圆锥的体积V=πr2h=π×12×22=22π.由题意可知,加工后的正方体是该圆锥的一个内接正方体,如图所示.正方体ABCD-EFGH的底面在圆锥的底面内,下底面中心与圆锥底面的圆心重合,上底面中心在圆锥的高线上,设正方体的棱长为x.在轴截面SMN中,由O1G∥ON可得,O1G=SO1,即22x=22-x22,x=22.所以正方体的体积为V1=2233=16227.所以该工件的利用率为V1=1622722π3=8.故选A.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(2015湖南,文11)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则A∪(∁U B)=.答案:{1,2,3}解析:∁U B={2},A∪(∁U B)={1,2,3}.12.(2015湖南,文12)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,若曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C的直角坐标方程为.答案:x2+y2-2y=0解析:∵ρ=2sin θ,且ρ2=x2+y2,ρsin θ=y,∴ρ2=2ρsin θ,∴x2+y2=2y.∴曲线C的直线坐标方程为x2+y2-2y=0.13.(2015湖南,文13)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=.答案:2解析:如图所示,由题意知,圆心O到直线3x-4y+5=0的距离|OC|=3+(-4)=1,故圆的半径r=1cos60°=2.14.(2015湖南,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是. 答案:(0,2)解析:函数f(x)的零点个数即为函数g(x)=|2x-2|=2x-2,x≥1,2-2x,x<1的图象与直线y=b的交点个数.如图,分别作出函数y=g(x)与直线y=a的图象,由图可知,当0<a<2时,直线y=a与y=g(x)有两个交点.所以a 的取值范围为(0,2).15.(2015湖南,文15)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案:π解析:如图所示,在同一直角坐标系中,作出函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象.A,B为符合条件的两交点.则Aπ4ω,2,B-3π4ω,-2,由|AB|=23,得πω+(22)2=23,解得πω=2,即ω=π2.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.解:(1)所有可能的摸出结果是{A1,a1},{A1,a2},{A1,b1},{A1,b2},{A2,a1},{A2,a2},{A2,b1},{A2,b2},{B,a1},{B,a2},{B,b1},{B,b2}.(2)不正确.理由如下:由(1)知,所有可能的摸出结果共12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为{A1,a1},{A1,a2},{A2,a1},{A2,a2},共4种,所以中奖的概率为4=1,不中奖的概率为1-1=2>1.故这种说法不正确.17.(本小题满分12分)(2015湖南,文17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b tan A.(1)证明:sin B=cos A;(2)若sin C-sin A cos B=3,且B为钝角,求A,B,C.解:(1)由a=b tan A及正弦定理,得sin A=a=sin A,所以sin B=cos A.(2)因为sin C-sin A cos B=sin[180°-(A+B)]-sin A cos B=sin(A+B)-sin A cos B=sin A cos B+cos A sin B-sin A cos B=cos A sin B,所以cos A sin B=3.由(1)sin B=cos A,因此sin2B=3.又B为钝角,所以sin B=32,故B=120°.由cos A=sin B=3知A=30°.从而C=180°-(A+B)=30°.综上所述,A=30°,B=120°,C=30°.18.(本小题满分12分)(2015湖南,文18)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,CC 1的中点.(1)证明:平面AEF ⊥平面B 1BCC 1;(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC 的体积. 解:(1)证明:如图,因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以AE ⊥BB 1.又E 是正三角形ABC 的边BC 的中点,所以AE ⊥BC. 因此,AE ⊥平面B 1BCC 1.而AE ⊂平面AEF ,所以,平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)设AB 的中点为D ,连结A 1D ,CD. 因为△ABC 是正三角形,所以CD ⊥AB.又三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,所以CD ⊥AA 1.因此CD ⊥平面A 1ABB 1,于是∠CA 1D 为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角.由题设,∠CA 1D=45°,所以A 1D=CD= 3AB= 3.在Rt △AA 1D 中,AA 1= A 1D 2-AD 2= 3-1= 2,所以FC=1AA 1=2.故三棱锥F-AEC 的体积V=1S △AEC ·FC=1×3×2=6.19.(本小题满分13分)(2015湖南,文19)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=2,且a n+2=3S n -S n+1+3,n ∈N *. (1)证明:a n+2=3a n ; (2)求S n .解:(1)由条件,对任意n ∈N *,有a n+2=3S n -S n+1+3,因而对任意n ∈N *,n ≥2,有a n+1=3S n-1-S n +3.两式相减,得a n+2-a n+1=3a n -a n+1,即a n+2=3a n ,n ≥2. 又a 1=1,a 2=2,所以a 3=3S 1-S 2+3=3a 1-(a 1+a 2)+3=3a 1, 故对一切n ∈N *,a n+2=3a n .(2)由(1)知,a n ≠0,所以an +2n=3,于是数列{a 2n-1}是首项a 1=1,公比为3的等比数列;数列{a 2n }是首项a 2=2,公比为3的等比数列.因此a 2n-1=3n-1,a 2n =2×3n-1.于是S 2n =a 1+a 2+…+a 2n =(a 1+a 3+…+a 2n-1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=(1+3+…+3n-1)+2(1+3+…+3n-1)=3(1+3+…+3n-1)=3(3n -1), 从而S 2n-1=S 2n -a 2n =3(3n -1)-2×3n-1=3(5×3n-2-1). 综上所述,S n = 32(5×3n -22-1),当n 是奇数,3(3n2-1),当n 是偶数. 20.(本小题满分13分)(2015湖南,文20)已知抛物线C 1:x 2=4y 的焦点F 也是椭圆C 2:y 22+x 2b2=1(a>b>0)的一个焦点.C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ,B 两点,与C 2相交于C ,D 两点,且AC 与BD同向. (1)求C 2的方程;(2)若|AC|=|BD|,求直线l 的斜率.解:(1)由C 1:x 2=4y 知其焦点F 的坐标为(0,1).因为F 也是椭圆C 2的一个焦点,所以a 2-b 2=1. ① 又C 1与C 2的公共弦的长为2 6,C 1与C 2都关于y 轴对称,且C 1的方程为x 2=4y ,由此易知C 1与C 2的公共点的坐标为 ± 6,32,所以94a 2+6b2=1.②联立①,②得a 2=9,b 2=8,故C 2的方程为y 2+x 2=1. (2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4).因AC 与BD 同向,且|AC|=|BD|,所以AC =BD ,从而x 3-x 1=x 4-x 2,即x 1-x 2=x 3-x 4,于是(x 1+x 2)2-4x 1x 2=(x 3+x 4)2-4x 3x 4,③ 设直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y=kx+1. 由 y =kx +1,x 2=4y ,得x 2-4kx-4=0,而x 1,x 2是这个方程的两根,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4. ④由 y =kx +1,x 2+y 2=1得(9+8k 2)x 2+16kx-64=0,而x 3,x 4是这个方程的两根, 所以x 3+x 4=-16k9+8k2,x 3x 4=-649+8k2.⑤将④,⑤代入③,得16(k 2+1)=162k2(9+8k 2)2+4×649×8k2,即16(k 2+1)=162×9(k 2+1)(9+8k 2)2,所以(9+8k 2)2=16×9,解得k=± 6,即直线l 的斜率为± 64.21.(本小题满分13分)(2015湖南,文21)已知a>0,函数f (x )=a e x cos x (x ∈[0,+∞)).记x n 为f (x )的从小到大的第n (n ∈N *)个极值点.(1)证明:数列{f (x n )}是等比数列;(2)若对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,求a 的取值范围. 解:(1)f'(x )=a e x cos x-a e x sin x= 2a e x cos x +π4.令f'(x )=0,由x ≥0,得x+π=m π-π, 即x=m π-3π,m ∈N *.而对于cos x +π4 ,当k ∈Z 时,若2k π-π2<x+π4<2k π+π2,即2k π-3π4<x<2k π+π4,则cos x +π4>0;若2k π+π2<x+π4<2k π+3π2,即2k π+π4<x<2k π+5π4,则cos x +π4<0.因此,在区间 (m -1)π,mπ-3π 与 mπ-3π,mπ+π 上,f'(x )的符号总相反,于是当x=m π-3π(m ∈N *)时,f (x )取得极值,所以x n =n π-3π(n ∈N *).此时,f (x n )=a e nπ-34πcos nπ-3π =(-1)n+1 2a e nπ-34π.易知f (x n )≠0,而f (x n +1)n )=(-1)n +2 2a 2e (n +1)π-34π(-1)n +1 22a enπ-34π=-e π是常数,故数列{f (x n )}是首项为f (x 1)=2a e π4,公比为-e π的等比数列.(2)对一切n ∈N *,x n ≤|f (x n )|恒成立,即n π-3π4≤2a 2enπ-34π恒成立,亦即2a≤enπ-34πnπ-3π4恒成立(因为a>0).设g (t )=e t (t>0),则g'(t )=e t (t -1)t 2.令g'(t )=0得t=1.当0<t<1时,g'(t )<0,所以g (t )在区间(0,1)上单调递减.当t>1时,g'(t )>0,所以g (t )在区间(1,+∞)上单调递增.因为x 1∈(0,1),且当n ≥2时,x n ∈(1,+∞),x n <x n+1,所以[g (x n )]min =min{g (x 1),g (x 2)}=min g π ,g 5π =g π =4e π4,因此,x n ≤{f (x n )}恒成立,当且仅当 2≤4e π4.解得a ≥2πe -π4,故a 的取值范围是2πe -π4,+∞ .。

湖南长沙同升湖实验学校高三文科数学高考前浏览题(立体几何)

2015长沙同升湖实验学校文科数学高考考前浏览题三、立体几何综述，立体几何无非考察平行、垂直、求面积、求体积，偶尔求距离。

把握证平行的两条思路；证垂直的链式过程；求体积不要忘公式，还可以切割和补形；求面积不要漏算，仔细看好哪个才是高；求距离的两种基本方法：垂直、等积。

存在性问题和折叠问题，是高考喜欢考察的两种变式。

1．三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，平面ABB 1A 1⊥底面ABC ，1112AB BC CA AA ====，∠A 1AB ＝120°，D 、E 分别是BC 、A 1C 1的中点．（Ⅰ）试在棱AB 上找一点F ，使DE ∥平面A 1CF ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求多面体BCF －A 1B 1C 1的体积．老师要亲自做一次解（Ⅰ）F 是AB 的中点，证明如下：连结DF ，又因为D 、E 分别是BC 、A 1C 1的中点，所以1//2DF AC ，又11//AC A C ，且A 1E ＝12A 1C 1，则1//DF A E ，故四边形A 1FDE 是平行四边形，所以DE ∥A 1F ，又A 1F ⊂平面A 1CF ，DE ⊄平面A 1CF ，所以DE ∥平面A 1CF ．根据余弦定理，1AB == 则2221111AB A B A A +=，所以A 1B 1⊥AB 1，由（Ⅰ）知，F 是AB 的中点，则CF ⊥AB ，面ABB 1A 1⊥面ABC ，所以AB 1⊥底面ABC ，即AB 1是三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高． 111ABC A B C V -三棱柱34=， V 三棱锥1C A AF -＝11112sin1203228⨯⨯⨯⨯=o ，所以多面体BCF －A 1B 1C 1的体积58V =．12分2．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点．（Ⅰ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅱ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．老师要亲自做一次以下是福利贴哦解（Ⅰ）连BD 交AC 于点O ，连EO ，又因为PB ⊄面AEC ，EO ⊂面AEC ，所以PB //平面AEC ．（Ⅱ）取AD 中点F ，连接EF ．因为点E 是PD 的中点，所以1//2EF PA ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD ．所以线段EF 的长度就是点E 到平面ABCD 的距离．又因为4PA =，所以2EF =．所以点E 到平面ABCD 的距离为2．3．如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．（1）求证：DM ∥平面APC ；（2）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D —BCM 的体积．我要亲自做一次又,MD APC AP APC ⊄⊂平面平面，所以MD APC ∥平面；注：MD AP ∥，,MD APC AP APC ⊄⊂平面平面．（2）因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥，所以AP PB ⊥．又因为,AP PC PB PC P ⊥⋂=，PC PB PBC ⊂，平面，所以AP PBC ⊥平面．因为BC PBC ⊂平面，所以AP BC ⊥．又因为,BC AC AC AP A ⊥⋂=,AP AC APC ⊂，平面，所以BC APC ⊥平面，因为BC ABC ⊂平面，所以平面ABC ⊥平面APC ；（3）由题意可知，MD PBC ⊥平面，所以MD 是三棱锥D —BCM 的高，所以11073M DBC V Sh -==4．如图，直角梯形ABCD ，090=∠ADC ，CD AB //，221===AB CD AD ，点E 为AC 的中点，将ACD ∆沿AC 折起，使折起后的平面ACD 与平面ABC 垂直（如图）．在下图所示的几何体ABC D -中：（1）求证：⊥BC 平面ACD ；（2）点F 在棱CD 上，且满足//AD 平面BEF ，求几何体BCE F -的体积．我要亲自做一次以下是福利贴哦解（1）2222=+=CD AD AC 045=∠=∠ACD BAC ，4=AB ，845cos 20222=⨯⨯-+=AB AC AB AC BC∵16222=+=BC AC AB ，∴090=∠ACB （BC AC ⊥） ∵平面⊥ACD 平面ABC ，平面I ACD 平面AC ABC =，∴⊥BC 平面ACD（2）∵//AD 平面BEF ，⊂AD 平面ACD ，平面I ACD 平面EF BEF =，∴EF AD //∵点E 为AC 的中点，∴EF 为ACD ∆的中位线由（1）知，几何体BCE F -的体积BC S V V CEF CEF B BCE F ⨯⨯==∆--312141==∆∆ACD CEF S S 32222131=⨯⨯=-BCE F V 5．如图，已知AF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB 90=o ，AB//CD ，AD =AF =CD =2，AB =4．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BCE ；（Ⅱ）求三棱锥A -CDE 的体积；（Ⅲ）线段EF 上是否存在一点M ，使得BM ⊥CE?若存在，确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．我要亲自做一次 ACDEFB以下是福利贴哦解（Ⅰ）过C 作CN ⊥AB ，垂足为N ，因为AD ⊥DC ，所以四边形ADCN 为矩形．所以AN =NB =2.又因为AD =2，AB =4，所以AC =CN 2=，BC =, 所以AC 2+BC 2=AB 2，所以AC ⊥BC ；因为AF ⊥平面ABCD ，AF//BE 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BE ⊥AC ，又因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BE I BC =B 所以AC ⊥平面BCE ．（Ⅱ）因为AF ⊥平面ABCD ，AF//BE所以BE ⊥平面ABCD ，1433A CDE E ACD ACD V V EB S --∆==⋅=（Ⅲ）存在，点M 为线段EF 中点，证明如下：在矩形ABEF 中，因为点M ，N 为线段AB 的中点，所以四边形BEMN 为正方形，所以BM ⊥EN ；因为AF ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AF ⊥AD.在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，又AF ⋂AB =A ，所以AD ⊥平面ABEF ，又CN//AD ，所以CN ⊥平面ABEF ，又BM ⊂平面ABEF 所以CN ⊥BM ；M N ACDE FB所以BM ⊥CE.6．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，//EF AD ，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且2BC EF =,AE AF =，点G 是EF 的中点.（Ⅰ）证明：AG ⊥CD ；（Ⅱ）若点M 在线段AC 上，且13AMMC =，求证：GM //平面ABF ；（Ⅲ）已知空间中有一点O 到,,,,A B C D G 五点的距离相等，请指出点O 的位置.(只需写出结论)我要亲自做一次以下是福利贴哦解（Ⅰ）证明：因为AE AF =，点G 是EF 的中点，所以AG EF ⊥. FCADBG E所以AG AD ⊥.因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF I 平面ABCD AD =，AG ⊂平面ADEF ，所以AG ⊥平面ABCD . 因为CD ⊂平面ABCD ，所以AG ⊥CD .（Ⅱ）证明：如图，过点M 作MN //BC ，且交AB 于点N ，连结NF ，因为13AMMC=，所以14MNAM BCAC==，因为2BC EF =，点G 是EF 的中点，所以4BC GF =，又因为//EF AD ，四边形ABCD 为正方形，所以GF //MN ，GF MN =. 所以四边形GFNM 是平行四边形. 所以//GM FN .又因为GM ⊄平面ABF ，FN ⊂平面ABF ，所以GM //平面ABF . （Ⅲ）解：点O 为线段GC 的中点.FCA DBG EMN。

2015高考数学(文科)试题汇编及答案----12概率与统计

2015高考数学（文科---概率统计）试题1.（15北京文科）某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（）A ．90B ．100C ．180D ．300 类别人数老年教师900 中年教师1800 青年教师1600 合计 43002.（15北京文科）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015年5月1日12 35000 2015年5月15日 4835600 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升3.（15北京文科）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．4.（15北京文科）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．甲乙丙丁商品顾客人数100√ × √ √ 217× √ × √ 200√ √ √ × 300√ × √ × 85 √× × × 98× √ × × （Ⅰ）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（Ⅱ）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3中商品的概率；（Ⅲ）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？5.（15年广东文科）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．16.（15年广东文科）已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．7.（15年广东文科）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？8.（15年福建文科）如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（） A ．16 B ．14 C ．38 D ．12xyO B C DAF9.（15年福建文科）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．10.（15年福建文科）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组频数 1[4,5) 2 2[5,6) 8 3[6,7) 7 4 [7,8] 3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．11.（15年新课标2文科）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关12.（15年新课标2文科）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 2013年 190020002100220023002400250026002700（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.13.（15年陕西文科）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）A ．93B ．123C ．137D ．167（高中部）（初中部）男男女女60%70%14.（15年陕西文科）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.15.（15年天津文科）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. （i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.16.（15年江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.17.(15年江苏) 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.。

2015届高三文科数学综合测试(一)参考答案.doc

2015届高三文科数学综合测试（一）参考答案一、选择题1-5，CBBDB 6-10,CBCBC 二、填空题11、150 12、-9 13、3 14、213- 15、 12三、解答题16、解：（1）(0)2sin()16f π=-=- 4分（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 6分16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3c o s 5β= 8分 ∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= 10分∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯= 12分 17、解： ⑴优秀非优秀合计甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计3080110………………………3分（2）假设成绩与班级无关，则()22211010302050()7.5()()()()30805060n ad bc K a b c d a c b d ⨯-⨯-==≈++++⨯⨯⨯则查表得相关的概率为99％，故没达到可靠性要求。

………………………8分（3）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为),(y x .所有的基本事件有:)1,1(、)2,1(、)3,1(、、)6,6(共36个. ………………………10分事件A 包含的基本事件有:)6,3(、)5,4(、)4,5(、)3,6(、)5,5(、)6,4(、)4,6(共7个………………… …12分所以367)(=A P ,即抽到9号或10号的概率为367. ………………………13分18、（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ ………………………2分又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ ……………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥…………………………5分 PCAC C =， ∴BE ⊥平面PAC ……………………6分（2）取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，∵E 为PC 中点，2FA FP =，∴//EF CG . ……………7分 ∵CG ⊄平面,BEF EF ⊂平面BEF ， ∴//CG 平面BEF .…………8分同理可证：//GM 平面BEF .又CG GM G =， ∴平面//CMG 平面BEF . …………9分 ∵CD ⊂平面CDG ，∴//CD 平面BEF . …………10分（3）由（1）可知BE ⊥平面PAC ，又由已知可得22=BE .238213131=⋅⨯==∆∆PC AC S S PAC AEF …………11分∴93231=⋅==∆--BE S V V AEF AEF B ABE F …………12分所以三棱锥ABE F -的体积为932. …………13分19、解：（1）由已知和得，当2≥n 时，23))1(21)1(23()2123(221-=-----=-=-n n n n n S S b n n n ……2分又21311-⨯==b ，符合上式。

2015湖南卷高考数学试题及答案或解析下载_2015高考真题抢先版

开始输入2015年高考将于6月6、7日举行，我们将在第一时间收录真题，现在就请先用这套权威预测解解渴吧市2015届高三四月调研考试数学（文史类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页.时量120分钟，满分150分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 为虚数单位，复数对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2. 已知集合 A. B.C. D.3. 命题“若，则”的否命题是A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则4. 已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，它的长轴长等于圆的半径，则椭圆的标准方程是A ． B.C. D.5. 当时，执行如右图所示的程序框图，输出的值为A. 30B.14C. 8D.6 6. 设，则的大小关系是 A ．B ．C ．D ．7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A ．B ．C ． D.8. 不等式组围成的区域为，能够把区域的周长和面积同时分为相等两部分的曲线为 A ．B ．a2aa正视图左视图俯视图C．D．9. 已知函数，若恒成立，则的取值围是A. B. C. D.10. 如图，在△中，分别是的中点，若（），且点落在四边形（含边界），则的取值围是A．B．C. D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。

11. 在某市2015年“创建省文明卫生城市”知识竞赛中，考评组从中抽取份试卷进行分析，其分数的频率分布直方图如右图所示，则分数在区间上的人数大约有人.12. 如图所示，矩形长为3，宽为2，在矩形随机撒200颗黄豆，数得落在椭圆的黄豆数为160颗，依据此实验数据可以估计出椭圆的面积约为.（第10题图）分数（分）组距40 50 60 70 80频率O0.0313. 在极坐标系中，点A（2，）与曲线上的点的最短距离为.14. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若的图象的对称轴重合，则的值为.15. 点在直线上，记，若使取得最小值的点有无数个，则实数的取值是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)等差数列满足：，，其中为数列前n项和．(Ⅰ)求数列通项公式；(Ⅱ)若，且，，成等比数列，求的值．17.(本小题满分12分)某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，为此该城市实施了机动车尾号限行政策。

【数学】湖南长沙同升湖实验学校2015届高三高考(文)1

长沙同升湖实验学校2015届文科沙盘演习（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则中元素的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“”是 “”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线的离心率为（） A.C.2D. 5．已知，若，则的值为（）A. B. 2 C.D. 6．已知函数的图象经过点，则其反函数的解析式为（） A. B. C. D.7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为（）A.8B.12C.20D.30{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==AB (87)(3)z i i =---z a b >22a b >222214x y a a-=(0)a >(sin ,cos ),2,1a b αα==（-）a b ⊥tan α2-1212-log a y x =(0,1)a a >≠1(2,)24x y =4log y x =2xy =1()2xy =8．不等式组表示的平面区域的面积为（）A. 14B.5C. 3D. 79．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A.若；B.若；C.若D.若.10. 对任意的、，定义：=；=.则下列各式中恒成立的个数为（）① ②③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．不等式的解集为．12．在△ABC 中，的对边分别为，若，，，则． 13．已知函数对应的曲线在点处的切线与轴的交点为，若．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，,l m ,αβ//,//,//m l m l αα则,,//m l m l αα⊥⊥则//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则a b R ∈min{,}a b ,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩max{,}a b ,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩min{,}max{,}a b a b a b =++min{,}max{,}a b a b a b =--(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷23100x x --<A B C ∠∠∠、、a b c 、、3a =2B A ∠=∠cos A =b =3()f x x =(,())()k k a f a k N *∈x 1(,0)k a +11a =31010(1()3f a ++=-sin()24πρθ+=被圆截得的弦长为 .15．（几何证明选讲选做题）如图，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知则BC 边的长为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为. （1）求的值；（2）若，，求的值.17.(本小题满分12分)下图是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.=4ρ1,AE=3,AB CF ==()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈πω(,0)8πα∈-（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即，以此类推）18．（本小题满分14分）如图，已知中，，，⊥平面，、分别是、的中点．（1）求证：平面⊥平面；（2）设平面平面，求证；1300BCD ∆90,1BCD BC CD ∠===AB AB BCD E F ACAD BEF ABCBEFBCD l =//CD l（3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．19. (本小题满分14分)已知为数列的前项和，（），且．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：．20. (本小题满分14分)已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物线在第一象限的交点，且. （1）求抛物线的方程；（2）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数，，其中．（1）若函数，当时，求函数的极值；（2）若函数在区间上为减函数，求的取值范围；（3）证明：．n S {}n a n 3(1)n n S na n n =--*n N ∈212a =1a {}n a 1211113n S S S +++<C 22(0)x py p =>F P y x =C ||5PF =C :l y kx m =+C M l Q N MQ N N ()f x ax =()ln g x x =a R ∈()()()F x f x g x =-1a =()F x ()(sin(1))()G x f x g x =--(0,1)a 11sin ln(1)1nk n k =<++∑长沙同升湖实验学校2015届文科沙盘演习（一）一、选择题：BBDAC ABDCB【解析】10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B. 二、填空题： 11. ；12.；13. 3；14..【解析】13.由得曲线的切线的斜率，故切线方程为，令得，故数列是首项，公比的等比数列，又，.15．依题意得△BEA ∽△CFA 得,所以三、解答题： 16．解：（1）由得------------------------------------------------2分（2）解法1：由得 ------------------3分 ∵，∴， -----------------------------------4分 ∴------------------------------------6分 ∴-----------------------------------------------8分 ------------------------------------10分{|25}x x -<<2'()3f x x =23k k a =323()k k k y a a x a -=-0y =123k k a a +=123k k a a +⇒={}n a 11a =23q =310(f f f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--31010(31()3f a ++=-BE =AE BE ABAF FC AC==2,AF =6,AC =BC 2ππω==2ωπ2()2sin(2)63f αα=+=π1sin(2)63α+=(,0)8πα∈-π2(, )6126ππα+∈-πcos(2)63α+==cos 2cos[(2)]66ππαα=+-cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++------------------------------------------------12分即--------------------------------------------5分 --------------①---------------------------------6分将①代入并整理得，---------8分解得：--------------②---------------------10分∵ ∴，∴，故②中负值不合舍去，-------11分∴.------------------------------------------------------12分 17．解：（1）1132=⋅=1sin 2coscos 2sin663ππαα+=⇒2cos 2sin 2αα-=22sin 2cos 21αα+=24cos 212cos 2230αα--=cos 2α==(,0)8πα∈-204πα-<<cos 20α>1cos 26α+=(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，-----------9分故此人到达当天空气质量优良的概率：--------------------------------11分故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% --------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，平面，---------1分又，，平面，------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴---------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又平面BEF ，平面BEF ⊥平面ABC ----------------------------------4分（2）CD // EF ，平面，平面∴平面，----------------------------6分又平面BCD ，且平面平面∴．------------------------------------8分（3）解法1：由（1）知EF CD ∴------------------------------9分190.63>0.630P =≈CD ⊂BCD AB CD ∴⊥BC CD ⊥ABBC B =CD ∴⊥ABC //.EF CD EF ⊂∴CD ⊄BEF EF ⊂BEF //CD BEF CD ⊂BEFBCD l =//CDl //AEFACD ∆∆∴------------------11分 -------------14分19.解：（1）由和可得，-------------2分（2）解法1：当时，由得，--------------------------4分---------------6分∴数列是首项，公差为6的等差数列，∴--------8分（3）由（2）知，当时，,， ②----------------10分 ∵对有，在②式中令得，-------------------12分∴， 1,4AEF ACD S S ∆∆∴=14B AEF B ACD V V --=331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅1111428=⨯⨯⨯=2122232(21)S a a a =+=-⨯-212.a =16a =2n ≥1n n n a S S -=-13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈{}n a 16a =16(1)6n a a n n =+-=1a =()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)lnx x⇒-<k N *∀∈(0,1)1kk ∈+1k x k =+11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++11131sin sin sinln 2ln ln2312n n n++++<++++341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+即．--------------------------------------------------14分11sin ln(1)1nk n k =<++∑。

2015年湖南高考数学文科试卷带详解(2021年整理)

2015年湖南高考数学文科试卷带详解(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2015年湖南高考数学文科试卷带详解(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2015年湖南高考数学文科试卷带详解(word版可编辑修改)的全部内容。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

已知2(1i)z-=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ )A。

1+i B。

1—i C。

-1+i D. —1-i 【参考答案】D【测量目标】复数的运算.【试题分析】由题2(1i)1i,z-=+2(1i)2i2i(1i)1i,1i1i2z----∴====--++故选D。

2。

在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）如图所示;第2题图若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间［139,151］上的运动员人数为( )A. 3B. 4 C。

5 D。

6【参考答案】B【测量目标】考查茎叶图.【试题分析】根据茎叶图中的数据，得：成绩在区间［139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151］上的运动员应抽取207435⨯=（人）,故选B。

3。

设x∈R，则“x>1”是“2x〉1”的（）A 。

充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 。

充要条件 D. 既不充分也不必要条件【参考答案】A【测量目标】命题与充分必要条件.【试题分析】由题易知“x >1”可以推得“2x 〉1”, 而“2x >1”可以得到“x >1”或“1x <-”，所以“x >1”是“2x 〉1"的充分不必要条件，故选A 。

湖南长沙同升湖实验学校2015届高三文科数学提高系列2 (Word版含答案)

2015文科数学提高系列（二）一、选择题1．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足PA PB PC =+，则||||PD AD 的值为（A ）13 （B ）12（C ）1 （D ）22．设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130 3．已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（） A. 2- B. 1 C. 2 D. 44．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，||4PF =，则直线AF 的倾斜角等于（）A.712π B.23π C.34π D.56π 5．已知P(x,y)为区域2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x-y 的最大值是( )A ．6B ．0 C ．2 D ． 6．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 二、填空题7．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.8．已知）（x f 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，正视图侧视图俯视图关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是．9．在极坐标系中，圆24cos 30ρρθ-+=上的动点P 到直线()3R πθρ=∈的距离最小值是．三、解答题 10．（本小题满分12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点. （1）证明：PF FD ⊥；（2）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得//EG 平面PFD ？若存在，求出PGPA的值；若不存在，请说明理由.11．（本题满分14分）已知{}n a 是递增的等差数列，21242,8a a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和S n ．PDAg FE12．已知焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，焦距为32，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于,A B 两点.①证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值； ②求的最小值AB .13．（本小题满分14分）已知函数()(0)tf x x x x =+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()g t MN=，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．参考答案 1．C 【解析】试题分析：由已知及PA PB PC =+得2=，故D A P ,,三点共线且D 为PA 的中点，||||PD AD =1 考点：向量几何意义【答案】D 【解析】试题分析：分以下三种情况讨论，（1）123451x x x x x ++++=，则上述五个数中有一个为1或1-，其余四个数为零，此时集合A 有1152C C10=个元素；（2）123452x x x x x ++++=，则上述五个数中有两个数为1或1-，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有224=中，此时集合A 有25440C =个；（3）123453x x x x x ++++=，则上述五个数中有三个数为1或1-，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有328=中，此时集合A 有35880C =个；综上所述，集合A 共有104080130++=个元素.故选D. 【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题. 3．D 【解析】试题分析：()()122(12)2(4)(22)1212(12)5a i i z a i a a iz i i i +++-++===--+,又因为21z z 是纯虚数，所以40a -=，即4a =，故选D.考点：复数相关概念及运算.4．B. 【解析】试题分析：设11(,)P x y ，由题意得，(1,0)F ，∴11||143PF x x =+=⇒=，∴1y =∴(A -，011AF k ==--23π.考点：1.抛物线的性质；2.直线的倾斜角与斜率.5．A 【解析】试题分析：由2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩作出可行域，如图，由图可得，(,)A a a -，(,)B a a ，由1242AOB S a a ∆=⨯⨯=，得2a =，∴(2,2)A -，化目标函数2z x y =-为2y x z =-，∴当2y x z =-过A 点时，z 最大，max 22(2)6z =⨯--=．考点：线性规划． 6．D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D.考点：由三视图求外接球的表面积. 7．22 【解析】试题分析：因为28511211a a a +=⇒=，所以31153422.a a a +==考点：等差数列性质 8．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】令1++=k kx y ，则化为)1(1+=-x k y ，即直线1++=k kx y 恒过)1,1(-M ；根据题意，画出[]3,1),(-∈=x x f y 的图像与直线1++=k kx y ；由图像，可知当直线介于直线MA 与MB 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根；又因为0=MA k ,31-=MB k ,所以031<<-k ．考点：函数的性质、直线与曲线的位置关系．91 【解析】试题解析：圆24cos 30ρρθ-+= 和直线()3R πθθ=∈直角坐标方程分别是()2221,x y y -+==,圆心（2,0） 0y -=距离d =1．考点：考查直线和圆的极坐标方程，位置关系．点评：把直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程是解本题的关键，利用圆心到直线的距离减半径为点到直线距离的最小值求出最小值． 10．（1）详见解析；（2）存在，34PG PA =. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件中的数据说明AF DF ⊥，再由PA DF ⊥，再由线面垂直的判定可得DF ⊥平面PAF ，从而PF FD ⊥得证；（2）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则//EH 平面PFD ，且14A H A D =，再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，则//HG PFD 且14AG AP =，从而平面//GEH 平面PFD ，EG ⊂平面GEH ，即可得出结论.试题解析：（1）连结AF ，∵底面ABCD 是矩形，2AD =，1AB =，F 是线段BC 的中点，∴AF DF ==∴222AF D F A D+=，∴A F D F ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，∴PA DF ⊥，又∵PAAF A =，∴DF ⊥平面PAF ，PF ⊂平面PAF ，∴PF FD ⊥；（2）取AD 的中点O ，连结OB ，则//OB FD ，过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则//EH 平面PFD ，∵E 为AB 的中点，∴14AH AD =，再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，则//HG PFD 且14AG AP =，又∵EG EH H =，∴平面//GEH 平面PFD ，∵EG ⊂平面GEH ，∴//EG 平面PFD ，从而确定点G 的位置，34PG PA =.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面平行的判定与性质.11．（1）n a n 2=;（2）)1(3441++-+n n n ．【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差为d ，整理成关于d 的方程进行求解；（2）由（1）求出n b ，再利用等比、差数列的求和公式进行分组求和．试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，0>d ．由题意得，832)2(2++=+d d ，)2)(3(62-+=-+d d d d ,得2=d ；故n n a n 2)1(22=-+=；（2）n n b nnn 24222+=+=，则)1(3442)22(41)41(41++-=++--=+n n n n S n n n 考点：1．等差数列；2．等比数列；3．分组求和．12．（1）2214x y +=；（2）①552=d ; 【解析】试题分析：（1）根据题意知：22224,c a a b c ===+联立解得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程；（2）①根据题意对直线AB 按斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，AO B ∆为等腰直角三角形，很易得到点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：y kx m =+，联立椭圆方程消去y ，根据韦达定理得到12x x +和12x x ⋅代入OA OB ⊥即：02121=+y y x x 得到m 和k 的关系，利用点到直线的距离公式，得到点O 到直线AB 的距离，进而得到两种情况下，点O 到直线AB 的距离为定值;②因为OB OA AB d ⋅=⋅，及勾股定理222OA OB AB +=,再利用基本不等式，得到AB 的最小值.试题解析：（1） 24c a ==2,a c == 2221b a c =-=所以椭圆的标准方程为2214x y +=（2）（ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AO B ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，代入椭圆2214x y +=联立消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++=即0)()1(221212=++++m x x km x x k 所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB 的距离d =综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅ 又因为OB OA ⋅2≤222AB OBOA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2所以AB ≥2AB d ≥=，当OB OA =时取等号，即AB 考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.13．（1）)+∞；（2）()g t （3）6.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，对()f x 求导，利用'()0f x >，解不等式结合函数的定义域，求出函数的单调递增区间；第二问，设出点M 、N 的横坐标，利用导数，写出切线PM 和切线PN 的直线方程，由于它们都过点(1,0)P ，所以整理出两个表达式，由于两个表达式形式一样，所以可以看出，1x 和2x 是方程220x tx t +-=的根，利用韦达定理得到12x x +和12x x ，代入到||MN 中，即得到()g t 的关系式；第三问，结合第二问判断出()g t 在64[2,]n n+上为增函数，将不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，转化为64(2)()mg g n n<+恒成立，整理表达式，转化为m <. 试题解析：（1）当2t =时，2(),f x x x =+22222()10x f x x x -'=-=>解得(,(2,)x ∈-∞+∞.∵0x >∴函数()f x 有单调递增区间为)+∞（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，2()1tf x x '=-∴切线PM 的方程为：11211()(1)().t ty x x x x x -+=-- ∴切线PM 过点(1,0)P ，所以有112110()(1)(1).t tx x x x -+=--即21120.x tx t +-= ① 同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得22220.x tx t +-= ② 由（1）、（2），可得12,x x 是方程220x tx t +-=的两根，12122.x x t x x t +=-⎧∴⎨⋅=-⎩ ③||MN ==把③式代入，得||MN =因此，函数()g t的表达式为()g t （3）易知()g t 在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ⋅≤+++ 121()()()()m m g a g a g a g a ++++<n ∀恒成立，所以不等式64(2)()m g g n n ⋅<+n ∀恒成立，即m <n ∀恒成立，6416,n n +≥≥=m ∴<m 为正整数，6m ∴≤.又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +=====任意的正整数n 满足条件 ∴m 的最大值为6.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、均值定理.。

湖南长沙同升湖实验学校高三高考文数沙盘演习3

2 11 3 3 正视图侧视图俯视图21 长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（三）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2},{|20}A B x x ==-<，则A B = （）A ．{}0,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,22．若函数()y f x =是函数2x y =的反函数，则(2)f = （）A ．1B ．2C ．1-D ．03．已知点(1,1)A ，(4,2)B 和向量a (2,)λ=，若a //AB ，则实数λ的值为（）A ．32-B ．23C ．32D ．23- 4．已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，则456a a a ++= （）A ．45B ．43C ． 40D ．425．下列函数中周期为π且为偶函数的是（）A ．cos 22()y x π=-B ．sin 22()y x π=+C ．(sin 2)y x π=+D ．(cos 2)y x π=- 6．已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．3 7．已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于 ( )A ．35 B ．45 C ．54 D ．348．执行如图的程序框图，输出的T = （）A ．30B ．25C ．20D ．12。

【数学】湖南长沙同升湖实验学校2015届高三高考(文)3

长沙同升湖实验学校2015届文科沙盘演习（三）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．若函数是函数的反函数，则（）A ．B ．C ．D ． 3．已知点，和向量a ，若a //，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．4．已知数列为等差数列，且，，则（） A ．45 B ．43 C ． 40 D ．42 5．下列函数中周期为且为偶函数的是（） A ． B ．C ．D ． 6．已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( )A ．B ．C ．D ． {0,1,2},{|20}A B x x ==-<AB ={}0,2{}0,1{}1,2{}0,1,2()y f x =2xy =(2)f =121-0(1,1)A (4,2)B (2,)λ=AB λ32-233223-{}n a 12a =2313a a +=456a a a ++=πcos 22()y x π=-sin 22()y x π=+(sin 2)y x π=+(cos 2)y x π=-1213237．已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为，那么椭圆的离心率等于 ( )A ．B ．C ．D ．8．执行如图的程序框图，输出的= （）A ．30B ．25C ．20D ．129．若变量，满足约束条件，则的最大值等于（）A ．B ．C ．11D ．1010. 若直角坐标平面内的两个不同点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数=，则此函数的“友好点对”有（）对． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．221412x y -=1035455434T x y 280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩2z x y =+78P Q P Q ()y f x =P Q [,]P Q ()y f x =[,]P Q [,]Q P ()f x 21(),024,0xx x x x ⎧>⎪⎨⎪--≤⎩11．计算：= ．（为虚数单位）12．函数在处取得极小值.13．设与的等比中项，则的最小值为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是.15．（几何证明选做题）如图，是圆的直径，点在圆上，延长到使，过作圆的切线交于.若，，则.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为，且.(1) 求的表达式；(2) 设，，，求的值.17.（本小题满分12分）某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1) 根据频率分布直方图，估计这名学生百米测试成绩的平均值；(1i)(12i)+-i32()34f x x x=-+x=0,0a b>>2a2b11a b+θρsin4=)(3R∈=θπθAB O C O BC D CDBC=C O AD E8=AB4=DC DE=()sin()6f x A xπω=+(0,0)Aω>>6Tπ=(2)2fπ=()f x,[0,]2παβ∈16(3)5fαπ+=520(3)213fπβ+=-cos()αβ-501318[13,14)[14,15)[]17,1850(2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于的概率.18．（本小题满分14分）如图所示，在所有棱长都为的三棱柱中，侧棱，点为棱的中点．(1)求证：∥平面； (2)求四棱锥的体积．19．（本小题满分14分）若正项数列的前项和为，首项，点（）在曲线上.(1)求数列的通项公式；12a 111ABC A B C -1AA ABC ⊥底面D AB 1AC 1CDB 111C ADB A-{}n a n n S 11a=)1n PS +*n N ∈2(1)y x =+{}n a n a(2)设，表示数列的前项和，求证：.20.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点. 直线交椭圆于不同的两点.(1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围；(3)若直线不过点，求证：直线与轴围成一个等腰三角形.21.（本小题满分14分）已知，函数． (1)求的单调区间；(2)证明：当时，．11n n n b a a +=⋅n T {}n b n 12n T <x ,A B m M ,MA MB x a R ∈3()42f x x ax a =-+()f x 01x ≤≤()20f x a +->长沙同升湖实验学校2015届文科沙盘演习（三）参考答案一、选择1．B 【解析】试题分析：由题根据集合，不难求得A,B 的交集；由题2．A 【解析】试题分析：根据互为反函数的两个函数间的关系，原函数中时，，故反函数中当时，即3．C 【解析】试题分析：根据A 、B 两点的坐标可得＝（3，1），∵∥，∴，解得 4．D 【解析】试题分析：，5．B 【解析】试题分析：由于周期为，故排除C,D ；又由于是偶函数，而选项A ，函数，故排除A ，又选项B ，是偶函数6．C 【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得 7．B 【解析】，， 8．A 【解析】由题意可知，第一次循环S=5，n=2，T=2，不满足T>S ；第二次循环，S=10，n=4，T=2+4=6，不满足T>S ；第三次循环，S=15，n=6，T=12，不满足T>S ；第四次循环，S=20，n=8，T=20，不满足T>S ；第五次循环，S=25，n=10，T=30，满足T>S ；结束，此时T=30，故选A{}2B x x =<{}0,1A B =22xy ==1x =2x =1y =(2)1f =AB a AB 2130λ⨯-=23λ=2311113,213,23a a a d a d a d +=∴+++==∴=45613123212342a a a a d ++=+=⨯+⨯=πcos 2(sin 2)2y x x π==-sin 2()cos 22y x x π==+321333322V =⨯⨯=5a=4c ==45e =9．D 【解析】作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分，表示斜率为的直线系，表示直线在轴上的截距，由图象可知当直线过点时取得最大值，最大值为10．B 【解析】根据题意可知只须作出函数的图象关于原点对称的图象，确定它与函数交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．二．填空题11． 12． 13． 14． 15．11．【解析】因为.12．【解析】由得：，列表得：2z x y =+2-z y B z 24210z =⨯+=1()2xy =(0)x >24(0)y x x x =--≤3i -24122(1i)(12i)1223i i i i +-=-+-=-2()360f x x x '=-=02x x ==或所以在处取得极小值.13．【解析】由题意知，又，所以，所以的最小值为.14．【解析】如下图: .15. 【解析】如下图:，得.三．解答题16. （本小题满分12分）解：(1)依题意得，∴， ……………………2分由，得，即， ∴, ……………………4分 ∴ ……………………5分(2) 由，得，即，， ……………………6分=2x 2221a b a b =⋅⇒+=0,0a b >>1111()()1b a b a b a b a +=++=+14a b ++≥=11a b+42sin16d π=⨯=CDE ABC ∆∆~8424AB BC DE DC DE DE=⇒=⇒=2π2π1==T 6π3ω=x πf(x)=Asin(+)36(2)2f π=2ππAsin(+)=2365πAsin =264A =()4sin()36xf x π=+16f(3α+π)=51π164sin[(3α+π)+)]=365π164sin(α+)=254cos 5α=又∵，∴， ……………………7分由，得，即，∴， ……………………9分又∵，∴， ……………………10分…………12分17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为……………………… 5分（Ⅱ）由频率分布直方图知，成绩在的人数为人，设为、、；成绩在的人数为人，设为、、、 …………6分若时，有种情况； ……………………7分若时，有种情况； ……………………8分若分别在和内时，共有种情况. ……………………10分所以基本事件总数为种，事件“”所包含的基本事件个数有种。

【数学】湖南长沙同升湖实验学校2015届高三(文)2

2015文科数学提高系列（三）一、选择题1．已知集合，若，则等于（）A.9B.8C.7D.62．已知平面向量则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，已知双曲线：的右顶点为为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点.若且，则双曲线的离心率为（）ABCD 4．已知角均为锐角，且（）A ．3B ． C． D ．5．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）{}{}240,5M x x x N x m x =-<=<<{}3M N x x n ⋂=<<m n+,1),3,1(=-=→→→b a a →b []1,0[]3,1[]4,2[]4,3C 22221x y a b -=()0,0>>b a ,A O A C Q P ,60PAQ ∠=︒3OQ OP =C βα,,31)tan(,53cos -=-=βαα=βtan 则31139913A.B.C.D.6．若，其中，并且，则实数对表示平面上不同点的个数为（）A.60个B.70个C.90个D.120个二、填空题7．设P 是函数图象上的动点，则点P 到直线的距离的最小值为 8．已知数列则，数列{a n }的通项公式为．9．在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，则直线和曲线C 的公共点有个．三、解答题10．如图，直三棱柱中，，，、分别为和上的点，且.（1）求证：当时，；（2）当为何值时，三棱锥的体积最小，并求出最小体积.{}2210,1010m n x x a a a ∈=⨯+⨯+{}1,2,3,4,5,6,7,0,1,2i a i ∈=636m n +=(,)m n x y ln =x y ={}()112,(1)(1)2,,n n n a a n a n a n n *-=+=-∈N 满足：≥=13a a l ⎩⎨⎧+==4t y tx )4sin(24πθρ+=l ABC A B C '''—5AC BC =='6AA AB ==D E AB BB 'AD BEDB EB λ=='=1λA B CE '⊥λA CDE '—11．在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列为等差数列；（ⅱ）求数列的通项公式. （Ⅱ）设数列的前项和为，证明：，．12．已知动圆Q 过定点，且与直线相切，椭圆的对称轴为坐标轴，点为坐标原点，是其一个焦点，又点在椭圆上.（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的标准方程和椭圆的标准方程；（Ⅱ）若过的动直线交椭圆于点，交轨迹于两点，设为的面积，为的面积，令,试求的最小值.}{n a 12a =24a =12212,,+-n n n a a a 22122,,++n n n a a a ,3,2,1=n }{2n a }{n a }1{na n n S 43(3)n n S n >+*n ∈N ()1,0-F 1:=y l N O F ()2,0A N Q M N F m N C B ,M E D ,1S ABC ∆2S ODE ∆21S S Z =Z13．已知函数,，且为偶函数．设集合．（Ⅰ）若，记在上的最大值与最小值分别为,求; （Ⅱ）若对任意的实数，总存在，使得对恒成立，试求的最小值.23()4f x ax bx =+-()0>a 4124)(++=b x g x x⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x f y 41{}11A x t x t =-+≤≤abt 2-=()x f A N M ,N M -t 21,x x A ∈12()()()f x f x g x -≥[]1,0∈∀x a参考答案1．C【解析】，，若，则，则.考点：集合的运算. 2．B 【解析】试题分析：由于，所以向量对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以的取值范围是为考点：向量的几何意义 3．B 【解析】试题分析：取PQ 的中点D ，连接AD ，则，且，因为，，则，，由于，则，则，，则，选B.考点：求离心率 4．A 【解析】试题分析：由于均为锐角，，则，，{}()4,004|2=<-=x x x M ()5,m N =()n N M ,3= ⎩⎨⎧==73n m 7=+n m 1a b -=b →b [1,3]AD PQ ⊥AD b =60PAQ ∠=︒AP AQ =060PQA ∠=0tan 60,b DQ b DQ =∴=3OQ OP =AP PD ==DQ 3OD b=2223tan 1243bb a DOA e a b∠==⇒⇒=-=2742e e =⇒=βα,3cos 5α=4sin 5α=4tan 3α=tan[()]ααβ--=考点：凑角求值 5．A. 【解析】试题分析：直观图如图所示四棱锥，，故选A.考点：空间几何体的表面积计算. 6．C 【解析】试题分析：记A={x|x=a 0+a 1•10+a 2•100}，求实数对（x ，y）表示坐标平面上不同点的个数也就是要找x+y=636在A 中的解的个数，按10进制位考察即可．解：记A={x|x=a 0+a 1•10+a 2•100}，实数对（x ，y ）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A 中的解的个数，按10进制位考察即可．首先看个位，a 0+a 0=6，有5种可能．再往前看：a 1+a 1=3且a 2+a 2=6，有2×5=10种可能， a 1+a 1=13且a 2+a 2=5，有2×4=8种可能，所以一共有（10+8）×5=90个解，对应于平面上90个不同的点．故选C ．点评：本题考查排列、组合及其简单计数问题，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转tan tan(-)1tan tan()ααβααβ-+-4133=341133+=-⨯P ABCD -PAB PAD PBD ABC S S S S ∆∆∆∆===160232=⨯=化，属于中档题． 7．【解析】试题分析：设点P 到直线的距离为，，易得在上单调递减，在上单调递增，所以考点：导数及其应用 8．，【解析】试题分析：当，，当时，，；，利用累乘法得：考点：累乘法求数列通项公式； 9．1 【解析】试题分析：将直线的参数方程为转化为直角坐标方程，将曲线C 的极坐标方程为两边同时乘以，可得，整理可得，即由两点间距离公式圆心（2,2）到直线2x y =2ln x x d -=xx x d 21211'-=-=2ln x x d -=)1,0(),1(+∞222ln 1min =⎪⎭⎫⎝⎛-==x x x d 164(1)n a n n =+12,a =2n =211233a a ==3n =321123a a ==3116a a ∴=2341123112312,,,, (3451)n n a a a a n a a a a a n --=====+4(1)n a n n =+l ⎩⎨⎧+==4t y tx 4+=x y )4sin(24πθρ+=ρ)4sin(242πθρρ+=y x y x 4422+=+82()2(2)2=-+-y x的距离为，因而此时直线与圆相切，故只有一个公共点．考点：10．（1）详见解析；（2）时，有最小值为. 【解析】试题分析：（1）时，平行四边形为正方形，，由已知得，由此即可证明；（2）设，则，，，由已知可得到面距离即为的边，从而可得，将其进一步转化为关于的函数，则只需求出函数最值，因此能求出当时，即时，有最小值为.试题解析：（1）∵，∴，分别为和的中点，又∵，且三棱柱为直三棱柱， ∴平行四边形为正方形，∴， 2分∵，为的中点，∴，且三棱柱为直三棱柱， ∴平面，∴， 4分又∵， ∴平面，∵平面，∴； 6分（2）设，则，，，由已知可得到面距离即为的边，所对应的高， 8分∴ （），10分4+=x y 22242-2=+1λ=A CDE V '-181λ=ABB A '''DE A B ⊥CD A B '⊥A B CE '⊥=BE x AD x =6DB x =-6B E x '=-C A DE 'ABC ∆AB()13A CDE C A DE AA D DBE AB E ABB A V V S S S S h '''''''--∆∆∆==---⋅四边形x 3x =1λ=A CDE V '-181λ=D E AB BB 'AA AB '=ABC A B C '''—ABB A ''DE A B '⊥AC BC =D AB CD AB ⊥ABC A B C '''—CD ⊥ABB A ''CD A B '⊥CDDE D =A B '⊥CDE CE ÜCDE A B CE '⊥=BE x AD x =6DB x =-6B E x '=-C A DE 'ABC ∆AB 4h ==()13A CDE C A DE AA D DBE A B E ABB AV V S S S S h '''''''--∆∆∆==---⋅四边形()11=[363(6)36]32x x x x h -----⋅22(636)3x x =-+22[(3)27]3x =-+06x <<∴当时，即时，有最小值为. 12分考点：1.线面垂直的判定和性质；2.空间几何体体积的计算；3.二次函数的最值. 11．（1）紧扣等差数列定义证明，（2）当为偶数时，当为奇数时.（3）证明见解析【解析】试题分析：要证明数列为等差数列，只需证明成立，由于数列首项为正，数列为单调递增，说以，由成等差数列，得……（1），由因为，成等比数列，则，于是代入（1）式整理得：得证；先求，备用，由于数列为等差数列，可借助等差数列通项公式求出，再由求出，最后分为奇数和偶数两种情况表达，由于数列的通项公式分为奇数和偶数两种情况表达的，所以需要合在一起，合成公式是，合成后对进行放缩，这里技巧很重要，，再求，最后利用裂项相消法求和达到证明不等式的目的；试题解析：（ⅰ）因为数列为单调递增数列，，所以（）.由题意3x =1λ=A CDE V '-18n n a =21(2)4n +n n a =(1)(3)4n n ++}{2n a +=-2222n n a a 22+n a 0n a >12212,,+-n n n a a a 221212n n n a a a -+=+2,n a 21n a +22n a +221222n n n a a a ++=21n a +=21n a -=+=-2222n n a a 22+n a 3a 4a 2{}n a 2n a 221222n n n a a a ++=21n a +n n a n 11[1(1)]2n n a +=+-1()[1(1)]()2n f n g n ++-n a 217(1)48nn a n n +-=++≤2111(2)(3)44n n n n ++<++14114()(2)(3)23na n n n n >=-++++{}n a 120a =>0n a >*n ∈N 12212,,+-n n n a a a成等差数列，成等比数列，．得,，于是，化简得，所以数列为等差数列.（ⅱ）又，，所以数列的首项为，公差为，所以，从而.结合可得.因此，当为偶数时，当为奇数时. （2）所以数列的通项公式为：.因为 , 所以;则有，所以，．考点：数列与不等式12．（1），；（2）；【解析】22122,,++n n n a a a ,3,2,1=n 2212n n a a -=21n a ++221222n n n a a a ++=+=-n n n a a a 22222222+n n a a +=-2222n n a a 22+na 32126a a a =-=23429a a a ==2=1d ==1n =+22(1)n a n =+221222n n n a a a --=21(1)n a n n -=+n n a =21(2)4n +n n a =(1)(3)4n n ++}{n a 211(1)(3)1(2)[1(1)][1(1)]2424n nn n n n a ++++=+-⋅++-⋅217(1)48n n n +-=++214n a n n =++7(1)8n +-≤2111(2)(3)44n n n n ++<++14114()(2)(3)23n a n n n n >=-++++11a S n =21a +31a + +na 1+111111114[()()()()]34451223n n n n >-+-++-+-++++14(3=-14)33(3)n n n =++43(3)n n S n >+*n ∈N y x 42-=13422=+x y 90min ==Z k 时，试题分析：（1）点不再直线上，到定点的距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线，求出抛物线的方程为，而椭圆的焦点，过，说明有得出椭圆的方程；第二步由于直线的斜率存在，可设直线斜截式方程，与椭圆方程联立方程组，消去得关于的一元二次方程，利用设而不求思想，设出交点坐标，利用根与系数关系，写出，求出弦长，在求出到直线的距离，求出，再把直线方程与抛物线联立，消去得关于一元二次方程，同样可求出面积，最后求出的最大值；试题解析：（1）设圆心为，依题意，圆心到定点与直线的距离相等，由抛物线的定义易得动点Q 的轨迹M 的标准方程为：，又依题意可设椭圆N 的标准方程为显然有∴椭圆N 的标准方程为（2）显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：， ① 联立椭圆N 的标准方程，有，设则有：又A （0,2）到直线m 的距离，∴； (0,1)F -1y =y x 42-=()1,0-F ()2,0A 1,2,c a ==b =y x 1212,x x x x +BC m d 1S y x 42-=y x 2S 12Z S S =⋅(,)Q x y (0,1)F -:1l y =y x 42-=)0(12222>>=+b a bx a y 32,1=∴==b a c 13422=+x y 1-=kx y 13422=+x y 096)43(22=--+kx x k ),(),,(2211y x C y x B 43)1(12431121122222212++=+++=-+=k k k k k x x k BC 2113k d +=43118212211++==k k d BC S再将①式联立抛物线方程，有，同理易得∴ ，∴，∴当考点：1.定义法求轨迹方程；2.设而不求思想；3.弦长公式；4.求最值；13．【解析】试题分析:先利用函数为偶函数，求出，由于二次函数，在区间上求出最大值和最小值,求出；第二步令，由x 的范围找出t 范围，因，得的最大值为，从题意分析：在上，总存在连个点，使得成立，只需证明在A 上对任意的t 成立即可；试题解析：（1）为偶函数，所以．在区间上，（2）设，所以的最大值为，依题意原命题等价于在上，总存在两个点即只需满足y x 42-=0442=-+kx x 22211),1(4k d k DE +=+=2212k S +=2122236(1)1112(1)12(1)934344k Z S S k k +===--=++≥90min ==Z k 时，1()4f x a+b 0a >]141,141[+-a a 1(1)4M f a =+1()4N f a=N M -2x t =()4122+-=t t x g ()x g 41A 12,x x 121()()4f x f x -≥max min 1()()4f x f x -≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x f y 41434161212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a b a x b ax 21-=b ]141,141[+-aa )16143()41(),16143()141(aa f N a a a f M +-==+-=+= a N M =-∴t x =2]2,1[2],1,0[∈=∴∈x t x ()4122+-=t t x g ()x g 41A 12121,()()4x x f x f x -、使得≥在上，因为对任意的都成立，所以当也成立，由（１）知，，下面证明在上总存在两点使得成立. 当时，在上是增函数，当时，在上是减函数，综上所述，的最小值为. 考点：函数与不等式；A max min 1()()4f x f x -≥t a b t 2-=14a ≥1)1(41)(412--==x x f a 时，当]1,1[+-t t ,21x x 、121()()4f x f x -≥1t ≥()f x [,+1]t t 12max 111()()(1)()244f x f x f t f t t ∴-≥+-=-≥1t <()f x [1,]t t -12max 311()()(1)()424f x f x f t f t t ∴-≥--=->a 14。

湖南长沙同升湖实验学校高三文科数学高考前浏览题(导数)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015长沙同升湖实验学校文科数学高考考前浏览题六、函数导数综述：导数题难度大，但是有很多分是可以争取的。

比如第一问求单调性、求极值、求切线方程等；再比如性质“()a f x <恒成立min a f ⇔<”和“()a f x <有解m a x a f ⇔<”转换题目条件；再比如讨论时注意规则：二次函数的开口方向、判别式、两根的大小关系、区间和对称轴关系等；采用一些特殊值的手段也可以拿到很多分。

总之，本题虽难，却不能放弃。

1．设函数()ln af x x x x=+，32()3g x x x =-- （Ⅰ）讨论函数()()f x h x x=的单调性（Ⅱ）如果存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M（Ⅲ）如果对任意的1,[,2]2s t ∈，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围我要亲自做一次请对照，你应该能抢到多少分？【答案】（Ⅰ）2()ln a h x x x =+，233212()a x ah x x x x-'=-+=， ①00,()a h x '≤≥，函数()h x 在0(,)+∞上单调递增 ②0a >，02(),h x x a '≥≥，函数()h x 的单调递增区间为2(,)a +∞（Ⅱ）存在12,[0,2]x x ∈，使得12()()g x g x M -≥成立等价于：12max [()()]g x g x M -≥，考察32()3g x x x =--，22'()323()3g x x x x x =-=-，由上表可知：min max 285()(),()(2)1327g x g g x g ==-==，12max max min 112[()()]()()27g x g x g x g x -=-=，所以满足条件的最大整数4M =;（Ⅲ）当1[,2]2x ∈时，()ln 1af x x x x=+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立，记2()ln h x x x x =-，所以max ()a h x ≥x 02(0,)3 23 2(,2]3 2'()g x 0-+()g x3-递减极（最）小值8527-递增 1记'()(1)2ln h x x x =--，1[,1)2x ∈，10,ln 0,'()0x x x h x -><>即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增，记'()(1)2ln h x x x =--，(1,2]x ∈，10,ln 0,'()0x x x h x -<>< 即函数2()ln h x x x x =-在区间(1,2]上递减，1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =所以1a ≥另解()12ln m x x x x =--，'()32ln m x x =--，由于1[,2]2x ∈，'()32ln 0m x x =--<，所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1[,2]2上递减，当1[,1)2x ∈时，'()0h x >，(1,2]x ∈时，'()0h x <，即函数2()ln h x x x x =-在区间1[,1)2上递增，在区间(1,2]上递减，所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥ 2．已知函数2()2ln f x x x a x =-+（Ⅰ）当a ＝2时，求函数()f x 在（1, f （1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 有两个极值点1x , 2x （12x x <），不等式12()f x mx ≥恒成立，求实数m 的取值范围．我要亲自做一次请对照，你应该能抢到多少分？【答案】（Ⅰ）当a ＝2时，2()22ln f x x x x =-+，2()22f x x x'=-+，则(1)1f =-，(1)2f '=，所以切线方程为23y x =-． 4分（Ⅱ）222()22a x x af x x x x-+'=-+=（0x >），令()0f x '=，得2220x x a -+=，（1）当480a ∆=-≤，即12a ≥时，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（2）当480a ∆=->，即12a <时，由2220x x a -+=，得1,21122a x ±-=，①若102a <<，由()0f x '>，得11202a x --<<或1122a x +->；由()0f x '<，得11211222a ax --+-<<； ②若0a =，则2()2f x x x =-，函数()f x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ③若0a <，则函数()f x 在112(0,)2a+-上递减，在112(,)2a +-+∞上递增．综上，当12a ≥时，()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当102a <<时， ()f x 的单调递增区间是112(0,)2a--，112(,)2a +-+∞；单调递减区间是112112(,)22a a--+-；当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是112(,)2a +-+∞，单调递减区间是112(0,)2a+-．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数()f x 有两个极值点1x , 2x ，则102a <<，由'，得2220x x a -+=，则，112a x --=，112ax +-=，由102a <<，可得1102x <<，2112x <<，222111*********()2ln 2(22)ln f x x x a x x x x x x x x x -+-+-==221111112(22)ln 1x x x x x x -+-=- 1111112ln 1x x x x =-++-，令1()12ln 1h x x x x x =-++-（102x <<），则21()12ln (1)h x x x '=-+- 因为102x <<，1112x -<-<-，21(1)14x <-<，2141(1)x -<-<--，又2l n 0x <，所以()0h x '<，即102x <<时，()h x 单调递减，所以3()ln 22h x >--，即12()3ln 22f x x >--，故实数m 的取值范围是3ln 22m ≤--．3．已知函数x a x x f ln 21)(2+=．（1）若1-=a ，求函数)(x f 的极值，并指出极大值还是极小值；（2）若1=a ，求函数)(x f 在],1[e 上的最值；（3）若1=a ，求证：在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方．我要亲自做一次请对照，你应该能抢到多少分？【答案】（1）)(x f 的定义域是),0(+∞，xx x x x x x x f )1)(1(11)(2-+=-=-='. 当)1,0(∈x 时)(0)(x f x f ⇒<'在)1,0(上递减；当),1(+∞∈x 时)(0)(x f x f ⇒>' 在),1(+∞上递增，)(x f ∴的极小值是21)1(=f ，无极大值．（2）01)(ln 21)(2>+='⇒+=xx x f x x x f 恒成立对],1[e x ∈，)(x f ∴在],1[e 上递增，.21)1()(,121)()(min 2max ==+==∴f x f e e f x f证明：令)1(32ln 21)()()(32≥-+=-=x x x x x g x f x h ，0)12)(1(1221)(2232≤++--=++-=-+='xx x x x x x x x x x h 在),1[+∞上恒成立，)(x h ∴在区间),1[+∞上递减，0613221)1()(<-=-=≤∴h x h∴在区间),1[+∞上，函数)(x f 的图象在332)(x x g =的图象下方-4．已知函数4)(23++=ax x x f （R a ∈是常数），曲线)(x f y =在点))1( , 1(f 处的切线在y 轴上的截距为5．（1）求a 的值；（2）0≤k ，讨论直线kx y =与曲线)(x f y =的公共点的个数．我要亲自做一次请对照，你应该能抢到多少分？【答案】（1）R x ∈∀，ax x x f 23)(2/+= a f 23)1(/+=，a f +=5)1(切线方程为)1)(23()5(-+=+-x a a y 切线在y 轴上的截距5)23()5(=+-+a a 解得3-=a（2）由（1）得43)(23+-=x x x f ，解063)(2/=-=x x x f 得0=x ，2=x x )0 , (-∞ 0)2 , 0( 2) , 2(∞+)(/x f+－+)(x f↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗记43)()(23+--=-=kx x x kx x f x g ，则直线kx y =与曲线)(x f y =的公共点的个数①0<k 时，4)0(=g ，k g =-)1(，04)1()0(<=-k g g ， )(x g 在)0 , 1(-至少有一个零点∵kx x f x g -=)()(在)0 , (-∞单调递增， ∴)(x g 在)0 , (-∞上有且仅有一个零点) , 0[∞+∈x 时，0)2()(=≥f x f （等号当且仅当2=x 时成立）从而0)()(>-=kx x f x g ，)(x g 在) , 0[∞+上没有零点 ②0=k 时，)()(x f x g =，由①讨论知，)(x g （即)(x f ）有两个零点。

湖南长沙同升湖实验学校高考数学考前浏览题(统计概率)文

图3625x 0611y 11988967乙甲2015长沙同升湖实验学校文科数学高考考前浏览题二、统计、概率应用题综述：题目不难，拿满分不易。

本题是一道作文题，需要用准确的数学语言把实际问题转化成数学问题，再作出符合题意的解释。

例如题目中很多数字都是很容易得到，甚至口算都能得到，但是你只写个结果就败了。

另外，诸如“估计、预计”这类的字眼要标准，不要随便自造术语。

1.某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83．（1）求错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

的值；（2）计算甲组7位学生成绩的方差错误！未找到引用源。

；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率．请您亲自试一试——————————华丽丽的分界线———————————————— 对照一下，有没有忽略了哪些内容？解：（1）∵甲组学生的平均分是85，∴.∴.…………………………1分∵乙组学生成绩的中位数是83，∴.…………………………2分（2）甲组7位学生成绩的方差为：……………5分（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. ………………6分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：. ……9分其中甲组至少有一名学生共有7种情况：.…………………………10分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件，则.…………………………11分答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为.…………………………12分2. （2015深二模）PM2.5 是指空气中直径小于或等于2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车（1）根据上表数据，请在下列坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x的线性回归方程y bx a；（3）若周六同一时间段的车流量是25 万辆，试根据（2）求出的线性回归方程，预测此时PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？请您亲自试一试——————————华丽丽的分界线————————————————对照一下，有没有忽略了哪些内容？解：（1）散点图如下图所示. ………………………………………………………………2分（2）5051545758545x++++==Q，6970747879745y++++==，………6分51()()4534344564i iix x y y=--=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，5222221()(4)(3)3450ii x x =-=-+-++=∑，51521()()641.2850()iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑$，74 1.2854 4.88a y bx =-=-⨯=$， …………………………………………………9分故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ1.28 4.88y x =+.…………………………………10分（3）当25x =时， 1.2825 4.8836.8837y =⨯+=≈所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37.…………………………………………12分3.．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（量大供应量）如下表所示：请您亲自试一试——————————华丽丽的分界线———————————————— 对照一下，有没有忽略了哪些内容？解：设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨．获得利润z 万元依题意可得约束条件：错误！未找到引用源。

湖南长沙同升湖实验学校高考数学考前浏览题(三角函数)文

2015长沙同升湖实验学校文科数学高考考前浏览题一、三角函数与解三角形综述：三角题属于简单题，高考不会很难，但是遇上比较冷僻的知识点还是有可能的，遇上这种情况不用慌，慢慢想想一般能想出解决办法。

三角题很简单，扣分很严格，注意细节，注意不要漏点，不要轻易省略文字说明。

1．已知错误!未找到引用源。

（1）求错误!未找到引用源。

的值；（2）求错误!未找到引用源。

的值。

请您亲自试一试——————————华丽丽的分界线————————————————对照一下，你是不是做得比参考答案还棒？解：(Ⅰ)由错误!未找到引用源。

，得错误!未找到引用源。

，…………..2分所以错误!未找到引用源。

＝错误!未找到引用源。

………………..7分（Ⅱ）∵错误!未找到引用源。

，…………….9分∴错误!未找到引用源。

……………..12分2.已知函数错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

．（1）求错误!未找到引用源。

的值；（2）设错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

的值．请您亲自试一试——————————华丽丽的分界线————————————————对照一下，你是不是做得比参考答案还棒？3.已知函数错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

的图像关于直线错误!未找到引用源。

对称，且图像上相邻两个最高点的距离为错误!未找到引用源。

.(1)求错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的值；(2)若错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

的值．请您亲自试一试——————————华丽丽的分界线————————————————对照一下，你是不是做得比参考答案还棒？解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f(x)的图像关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因为－π2≤φ＜π2，所以φ＝－π6.(2)由(1)得错误!未找到引用源。

湖南长沙同升湖实验学校届高三数学试题及答案高考(文)2

长沙同升湖实验学校2015届文科沙盘演习（二）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A ．B ．{ }C ．{ }D ．{}2．已知复数满足：（是虚数单位），则的虚部为（）A ．B ．C ．D ． 3．设，，若，则实数的值为（）A ．B ．C ．D ．4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（）A. B. C. D.5．已知研究与之间关系的一组数据如表所示，则对的回归直线方程必过点（）A ．B ．C ．D ． 6．一个棱锥的三视图如图（单位为），则该棱锥的体积是（）A.B. C. D. (1,)A =+∞{}220B x x x =--=A B ⋂=∅202-z i zi +=2i z i 2-i 222-(1,2)a =(2,)b k =(2)a b a +⊥k 2-4-6-8-x Z ∈A B :,2p x A x B ∀∈∈:,2p x A x B ⌝∃∈∉:,2p x A x B ⌝∀∉∉:,2p x A x B ⌝∃∉∈B x A x p ∉∉∃⌝2,:x y y x a bx y+=ˆ(2,2)3(,0)2(1,2)3(,4)2cm 334cm 332cm 32cm 34cm7．已知函数的图象与直线有三个交点的横坐标分别为，那么的值是（）A ．B ．C ．D ．8．在区间上随机选取一个数M ，不变执行如图所示的程序框图，且输入的值为1，然后输出的值为N ，则的概率为（）A ．B ．C ．D ．9．过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，则（）A ．B ．C ．D ．10．从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（）74sin 2,(0,)66y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦y m =123123,,()x x x x x x <<1232x x x ++]3,2[-x n 2M N ≤-51525354A.2097B.1553C.1517D.2111二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则． 12．不等式的解集为 .13．已知直线与函数的图象恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围是．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为．若圆关于直线对称，则的值为15．（几何证明选讲选做题）如图，，是圆上的两点，且，，为的中点，连接并延长交圆于点，则= ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别是，若，且．（1）求的值；（2）若，求的面积．17．（本小题满分12分）参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布{}n a d 19a d =k a 1a 2k a k =222log (4)log (3)x x ->()y mx m R =∈312(),02()11,02x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩m x l 51x aty t=+⎧⎨=--⎩tC )4πρθ=-C l a A B O OB OA ⊥2=OA C OA BC O DCD ABC ∆,,A B C ,,a b c 3B π=3()()7a b c a b c bc -++-=cos A 5a =ABC ∆直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（1）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；（2）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率．18．（本小题满分14分）如图，在四面体中，，点是的中点，点在线段上，且．（1）若∥平面，求实数的值；（2）求证：平面平面．19．（本小题满分14分）已知函数的图像过点，且在处n [)80,90[]90,100[]80,100[]90,100ABCD AB AC DB DC ===E BC F AC AF AC λ=EF ABD λBCD ⊥AED bx ax x f +=2)()0,(n -))0(,0(f的切线的斜率为，（为正整数）（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）若数列满足：，，令，求数列的通项公式；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，令，求数列的前项的和．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：，且过点，过椭圆的左顶点A 作直线轴，点M 为直线上的动点，点B 为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C 于P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数，，其中，是自然对数的底数．函数，．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）将的全部零点按照从小到大的顺序排成数列，求证：n n )(x f {}n a 211=a )1('11n n a f a =+11++=n a b nn {}n b {}n a 2n nnc n a =+{}n c n n S 22221x y a b +=(0)a b >>2l x ⊥l AP OM ⊥OP OM ⋅()1xf x e x =--x R ∈e ()1g x xsinx cosx =++0x >()f x ()g x {}n a（1），其中；（2）．参考答案及评分标准(21)(21)22n n n a ππ-+<<*n N ∈222212311112ln 1ln 1ln 1ln 13n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭一．选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二．填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．11．412．13．． 14．215．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（1）；（2）．【解析】（1）∵， ∴---------------------------2分 ∴，--------------------------------------4分 ∴；----------------------------------6分（2）∵，∴，-----------------7分在中，由正弦定理，---------------8分-----------10分∴．--------------------------------12分17．（1）73,4,2;（2）．【解析】1）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人． -----------------------------------------------------------1分由，得，---------------------------------2分茎叶图可知抽测成绩的中位数为． ---------------------------3分()0,13(,)2+∞511cos 14A =ABC S ∆=3()()7a b c a b c bc -++-=222223()27a b c a b c bc bc --=--+=222117a b c bc =+-22211cos 214b c a A bc +-==(0,)A π∈sin A ==ABC ∆7sin sin b ab B A=⇒=sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=1sin 2ABC S ab C ∆==158[)50,60[]90,10022100.008n=⨯25n =73分数在之间的人数为，----------4分参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为人、人． -----------5分（2）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件，----------------------------6分（无设扣1分）将内的人编号为；内的人编号为，在内的任取两人的基本事件为：共15个，----8分其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个，-------------------------10分故所求的概率得---------------------------------------12分答：恰好有一人分数在内的概率为．18．解：（1）因为∥平面，易得平面，平面平面，所以， -------------------------------------4分又点是的中点，点在线段上，所以点为的中点，由得； ---------------------------------7分（2）因为，点E 是BC 的中点，所以，， -------------------------9分又，平面，所以平面， -----------------------------11分而平面，∴[)80,90()25271024-+++=25n =[)80,90[]90,10042[]80,100[]90,100M [)80,904a b c d ,,,[]90,100A B ,[]80,100,,ab ac ad aA aB ,,,bc bd ,,,bA bB ,cd cA cB dA dB AB ,,,,,[]90,100,aA aB ,,bA bB ,,cA cB dA ,,dB ,()8=15P M []90,100815EF ABD EF ⊂ABCABCABD AB =//EF AB E BC F AC F AC AF λ=12λ=AB AC DB DC ===BC AE ⊥BC DE ⊥AEDE E =AE DE ⊂、AED BC ⊥AED BC ⊂BCD所以平面平面AED ． ------------------------- 14分19．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】（Ⅰ）由已知，------1分解得 --------------------------------3分所以 ---------------------------4分（Ⅱ）由-----------------5分即---------------7分所以数列是首项为，公比的等比数列-------8分 ∴ ----------------------------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ----------------------------------10分------------12分两式相减-------------------------------------14分 20．（1）（2）详见解析（3）4．【解析】BCD ⊥2()f x x nx =+11422n n n b -+=⋅=2(1)(1)242n n n n S n ++=-⋅+-2()0,'(0)f n an bn f b n -=-===1,a b n ==2()f x x nx =+1112'()n n n f a a a n+==+111(2)21n n n n a a +⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭12n n b b +={}n b 1124a +=2q =11422n n n b -+=⋅=12n n C n n +=⋅-23134212222(123)2122222(123)n n n n S n n S n n ++=⋅+⋅++⋅-++++∴=⋅+⋅++⋅-++++23122222(222)2(123)22(1)2122(1)(1)242n n n n n n S n n n n n n n n +++++-=+++-⋅+++++-+=-⋅+-+=-⋅-+2(1)(1)242n n n n S n ++∴=-⋅+-22142x y +=（1）∵椭圆C ：∴，--------------------------------1分又椭圆C 过点，∴ -------------2分 ∴，则椭圆C 的方程． ------------------------3分（2）设直线BM 的斜率为，则直线BM 的方程为，设，将代入椭圆C 的方程中并化简得： -------------------------5分解之得， ∴． ------------7分令，得，∴，． ---------8分又， ------------------9分 ∴， ∴． --------------------------------11分（3）． ∴为定值4。

湖南长沙同升湖实验学校高三高考文数沙盘演习1

40－50岁50岁以上40岁以下30%20%50%高中数学学习材料金戈铁骑整理制作长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为 A.5 B.52C.2D. 35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2x y =D. 1()2xy =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为图1A. 14B.5C. 3D. 7FE ACB 9．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则； C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =，则b = ． 13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为．图2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(,0)8πα∈-，求cos 2α的值.3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数4012016020017.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ；（3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证：1211113n S S S +++<．20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sin ln(1)1nk n k =<++∑．长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（一）答卷班级：姓名：考号：成绩：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11、12、13、14(15)、三、解答题16、（本题12分）17、（本题12分）18、（本题14分）19、（本题14分）20、（本题14分）21、（本题14分）长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（一）一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.26；13. 3；14.43；15.57.解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又 3331210()()()f a f a f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以333121010()()()321()3f a f a f a +++=-.15．依题意得22BE =，因△BEA ∽△CFA 得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = 2257BC BE EC =+=．三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= ------------------3分 ∵(,0)8πα∈-，∴π2(, )6126ππα+∈-， -----------------------------------4分 ∴2ππ22cos(2)1sin (2)663αα+=-+=------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ------------------------------------10分2231126132326+=⋅+⋅=------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+=得π1sin(2)63α+=，---------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=--------------------------------------------5分 ⇒2cos 23sin 23αα-=--------------①---------------------------------6分将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------8分解得：12246126cos 2726α±±==，--------------②---------------------10分 ∵(,0)8πα∈-∴204πα-<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，-------11分∴126cos 26α+=.------------------------------------------------------12分 17．解：（1）---4分 ----8分(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，-----------9分故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------11分故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% --------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，---------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC ----------------------------------4分（2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF 平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分（3）解法1：由（1）知EF //CD∴AEF ACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116.428=⨯⨯⨯⨯=-------------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分由（1）知EF ⊥平面ABC ，∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分 1611166113423228=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，-------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，--------------------------4分 ⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------6分 ∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=--------8分[解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=----------------4分可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=-131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S =,公差为3的等差数列， 63(1)33n S n n n ∴=+-=+，即233n S n n =+.∴6n a n =---------------------------------------------------------------8分（3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+，命题得证．-----------------------------------------------------------------14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52p m +=---①-----2分又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------②-----3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分[解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,-------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =得22()52p m m +-=, 即22()252p m m +-=，--------------------------------①-------------2分又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.-----②-------------3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.----------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，-------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x x y x x -=-，-----------------------------------8分令1y =-得20022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，--------------------9分 200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=---------------------------------10分 ∵点N 在以MQ 为直径的圆上， ∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-----------------13分 ∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---14分[解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2x y y x x -=-，-------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--③----10分分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=--------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=---------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，---------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-，将(0,1)的坐标代入③式得，左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边，将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，-------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)14分21.解：（1）∵当1a =时，函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，------------------------------------------------1分令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，-------------------------------------------3分∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立5分设1()cos(1)H x x x =-，则 ()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- -------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，----------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.---------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--≤-----------（*）恒成立，-------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；-----------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立，设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-----------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，-------------------------------------------------8分综上得(,1]a ∈-∞.--------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，--------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+，在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，-------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++ 341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+，即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．--------------------------------------------------14分。

湖南省同升湖实验学校高三第一次月考(数学文).doc

湖南省同升湖实验学校高三第一次月考（数学文）一．选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把答案填在答题卡的相应位置.1．如果全集{},,,U a b c d =，集合{},A a d =，{},,B b c d =，则()U C A B =【】A ．{},a dB ．{},b cC ．{},b dD ．{},c d2．给定命题p ：10x +≥；命题q ：12x -<．则命题p 是命题q 的【】A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知集合A 、B ，且A B A =，则下列各式一定错误．．．．的是【】 A ．A B ∈ B ．A B ⊆ C ．A B = D ．AB B = 4．下列函数既是奇函数，又在()0,+∞上是增函数的是【】A ．()21f x x =-B ．()1f x x x =+C ．()11f x x =-D ．()1f x x =+ 5．函数()112x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为【】 A ．()0,+∞ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．(],2-∞ D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．对于函数()f x =a 的取值范围是【】 A ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1,00,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭7．若关于x 的方程20x b x c ++=恰有三个不同的实数解，则b 、c 的取值是【】A ．0,0c b <=B ．0,0c b >=C ．0,0b c <=D ．0,0b c >=8．已知二次函数()()20f x x x a a =-+->，如果()0f t >，那么【】A ．()10f t ->B ．()10f t -<C ．()10f t -≥D ．()10f t -≤二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡的相应位置.9．函数()2f x x =的定义域为．（用集合或区间表示）10．已知函数()()()()2211f x x a x a x R =+-+-∈为偶函数，则实数a = ．11．已知函数()()()2100x x f x x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，则()2f f =⎡⎤⎣⎦ ． 12．已知函数()()330b f x ax x x =+-≠ （\a b 为常数），若()32f =，则()3f -= ．13．定义在R 上的函数()y f x =满足：()()4f x f x =-，且()()220f x f x -+-=，则()508f = ．14．已知函数()()211xf x x x =≠-+，如果()10f m =，()6f n =-，那么m n += ．15．已知函数()2f x x px q =++和()4g x x x =+都是定义在区间51,2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦上的函数．如果x A ∀∈，0x A ∃∈使得()()()()00,f x f x g x g x ≥≥，且()()00f x g x =．则()y f x =在区间A 上的最大值等于．三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（本小题满分12分）求不等式组2650255x x x ⎧+-≥⎪⎨->⎪⎩的解集．17．（本小题满分12分）已知函数()f x =（Ⅰ）当2a =-时，指出函数()f x 的单调增区间；（Ⅱ）当函数()f x 为偶函数时，求实数a 的值，并求()f x 的值域．18．（本小题满分12分）已知函数()f x x a =-，()()2210g x x ax a =++>，且函数()f x 与()g x 的图像在y 轴上的截距．．相等．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()()()F x f x g x =+的单调增区间．19．（本小题满分13分）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元，可全部租出；当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，那么每月能租出多少辆车？（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大收益是多少？本小题满分13分）已知函数()2x f x ax b=+，a 、b 为常数，且方程()120f x x -+=有两个实根分别为123, 4.x x ==（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设1k >，解关于x 的不等式()()1.2k x k f x x +-<-21．（本小题满分13分）已知函数()1x a f x a x+-=- ()a R x a ∈≠且（Ⅰ）求证：()()22f x f a x +-=-对定义域内的所有x 都成立；（Ⅱ）当()f x 的定义域为1,12a a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦时，求证：()f x 的值域为[]3,2--；（Ⅲ）设函数()()()2g x x x a f x =+-⋅, 当1a =-时，求()g x 的最小值．参考答案18BAACBCCB ~.xa x a x a x f -+-=-+--=111)()(9. [)1,+∞； 10. 1±； 11. 1-； 12. 7-； 13．0； 14．2-； 15．516．[)(]1,05,6-17．（Ⅰ）()f x 的单调增区间为11,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）1a =-，()f x 的值域为[]0,3 18．（Ⅰ）()()001f g a =⇒=（Ⅱ）当1x ≥时，()23F x x x =+的单调增区间为[)1,+∞；当1x <时，()22F x x x =++的单调增区间为1,1.2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 19．解: （Ⅰ）360030001250-= 每月能租出1＝88辆（Ⅱ）设月收益为y 元，租金定为x 元，则有300010050x --辆能租出 30003000300010010015050505050x x x y x ---⎛⎫⎛⎫=---⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2216016015033000162210005050x x x x x x =--⨯+-+=-+- ∴当4050x =时元，max 307050y =元．Ⅰ）()()222x f x x x =≠-（Ⅱ）12k <<时，()()1,2,x k ∈+∞； 2k =时，()()1,22,x ∈+∞； 2k >时，()()1,2,x k ∈+∞ 21．（Ⅰ）证明：∴()()22f x f a x +-=- （Ⅱ）证明： x a a a x a x a a x x a f x f +--+-++--+=-++21221)2(2)(01221121=--+--+-+=-+-++--+=xa x a x a a x a x x a x a a x112,211211121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+x a x a a x a a x a 时2113-≤-+-≤-x a ]2,3[)(--值域为x f （Ⅲ）解：当1a =-时，()()21g x x x x =+≠-（ⅰ）当0x ≥时，()21124g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭则函数()g x 在[)0,+∞上单调递增，()()min 00.g x g ==（ⅱ）当0x ≤时，()21124g x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则函数()g x 在(],0-∞且1x ≠-时单调递减，()()min 00.g x g ==综合得：当1x ≠-时，()g x 的最小值是0.。