6.1平方根(3)
6.1平方根(第3课时)教学设计++2022-2023学年人教版数学七年级下册
《6．1 平方根》教学设计第3课时平方根教材分析学生已经学习了算术平方根，再来接触平方根的概念，需要注意强调二者的区别与联系．部分学生已经熟悉，易将平方根也与联系在一起，而忽略前面的“±”．在教学过程中，一定要让学生理解平方根的真正含义，加深印象，将平方根与±对应起来，发展符号意识，培养抽象逻辑思维，养成严谨的数学思维习惯．备课素材一、新知导入【情景导入】由于刚学了算术平方根，在计算x2＝4时，小雪与小影出现了不同的看法，因为小雪认为22＝4，所以x＝2；小影则认为(－2)2＝2，所以x＝－2.聪明的你能判断两人谁说得对吗？【说明与建议】说明：由两位同学的认知冲突引出平方根的概念，两人的认识都存在着缺陷．建议：出示问题后由学生通过讨论确定两人说法的片面性，自然强调应当全面的认识问题，从而导入新课．【置疑导入】(1)3的平方等于9，那么3就是9的算术平方根；(2)－3的平方也等于9，那么－3叫做9的什么根呢？【说明与建议】说明：由问题(1)带领学生复习算术平方根，自然流畅．再由(2)引起学生的认知冲突，从而引出平方根的概念．建议：可引导学生主动发现(－3)2＝9，发现冲突，激发其学习的好奇心与求知欲．二、命题热点命题角度1 求一个数的平方根1．64的平方根是(A)A．±8 B．8C．－8 D.82.25的平方根是±5．命题角度2 利用平方根的性质求解3．如果一个正数的两个平方根分别是2a－1和－a＋2，那么a＝－1，这个正数是9．命题角度3 根据平方根的意义解方程4．求下列各式中x的值：(1)x2－25＝0；(2)2(x＋1)2－32＝0；(3)49(x2＋1)＝50；(4)(3x－1)2＝(－5)2.解：(1)x 2＝25，故x ＝±5.(2)2(x ＋1)2＝32，(x ＋1)2＝16，故x ＋1＝±4，解得x ＝3或x ＝－5.(3)x 2＋1＝5049，故x 2＝149，解得x ＝±149＝±17. (4)3x －1＝±5，解得x ＝2或x ＝－43. 教学设计 课题 6.1 第3课时 平方根 授课人 素养目标1.掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别．2．能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系．3．运用类比、化归等数学思想方法解决问题，提高对知识的迁移能力．4．培养探究能力和归纳问题的能力.教学重点 理解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.教学难点 会求非负数的平方根.授课类型 新授课 课时教学活动教学步骤 师生活动设计意图 回顾 填空：(1)6的平方等于36，那么36的算术平方根就是________；(2)25的平方等于425，那么425的算术平方根就是________； (3)展厅的地面为正方形，其面积为49平方米，则边长为________米．还有其他的数平方等于36，425，49吗？ 通过填空复习算术平方根，为本节课学习平方根做铺垫，加深学生对二者的理解. 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意(－3)2＝9中括号的作用.这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验. 活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】1．平方根的概念 填表：x 2 1 16 36 49 425 通过填表中的x 的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平x师生活动：学生先独立填表，教师再引导学生总结出平方根的概念.总结：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根．即如果x2＝a，那么x叫做a的平方根.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.2.平方根的性质两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1，4，9的平方根，感知平方根的性质.思考：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？归纳：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．我们知道，正数a的算术平方根可以用a表示；正数a的负的平方根，可以用－a表示，故正数a的平方根可以用±a表示，读作“正、负根号a”．注意：a只有当a≥0时有意义，当a＜0时无意义．3．平方根与算术平方根的区别引导学生归纳平方根与算术平方根的区别和联系．联系：(1)包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种．(2)只有非负数才有平方根和算术平方根．(3)0的平方根是0，算术平方根也是0.区别：(1)个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根．(2)表示方法不同：非负数a的平方根表示为±a，而算术平方根表示为 a. 方根的引入做准备.使学生对有理数的平方根有一个全面的认识，也是平方根概念的进一步深化.体验分类思想，巩固平方根概念．加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用.活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1(教材第45页例4)求下列各数的平方根：(1)100；(2)916；(3)0.25.解：(1)因为(±10)2＝100，所以100的平方根是±10.(2)因为(±34)2＝916，所以916的平方根是±34.通过例题和变式训练让学生学会如何计算一个非负数的平方根．教师注意强调书写规范，请学生理解一个非负(3)因为(±0.5)2＝0.25，所以0.25的平方根是±0.5.例2 (教材第46页例5)求下列各式的值：(1)36； (2)－0.81； (3)±499. 解：(1)因为62＝36，所以36＝6.(2)因为0.92＝0.81，所以－0.81＝－0.9.(3)因为(73)2＝499，所以±499＝±73. 【变式训练】1．49的平方根是(A)A ．±7B ．±17C ．7D ．－7 2．16的平方根是±4，16的平方根是±2．3．求下列各数的平方根：(1)121； (2)0.81； (3)425； (4)0. 解：(1)±121＝±11.(2)±0.81＝±0.9.(3)±425＝±25；(4)±0＝0. 4．一个正数的平方根分别为2a ＋1和a －4，求这个数．解：由题意，得2a ＋1＋a －4＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.数a 的平方根用“±a ”表示，切不可忘记“±”. 活动四： 课堂检测【课堂检测】1.下列说法错误的是(D)A.0.16＝0.4 B ．±0.25＝±0.5C ．3是9的一个平方根D ．0没有平方根2．a 是116的平方根，b 是14的算术平方根，则a ＋b ＝(B) A ．－14 B.34或14C.34 D ．－34或－143．已知一个正数x 的两个平方根是a ＋1和a －3，则a 的值是1．4．求下列各式的值：(1)± 2.89；(2)－256169；(3)1916；(4)±（－11）2. 课堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.解：(1)±1.7.(2)－1613.(3)54.(4)±11. 师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.课堂小结1.课堂小结：(1)什么叫做一个数的平方根？(2)正数、0、负数的平方根有什么规律？(3)怎样求出一个数的平方根？数a 的平方根怎样表示？2．布置作业：教材第46～47页练习第1，2，3，4题.小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.教学反思反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.。
第4套人教初中数学七下 6.1 平方根课件3 【经典初中数学课件 】
2、平行公理：经过 直线外 一点，有且只有 一 条 直线与这条直线平行；
3、推论：如果两条直线都与第三条直线‗‗‗平‗‗行‗‗‗， 那么这两条直线也互相平行. 即：如果b∥a，c∥a，那么‗‗‗b‗∥‗‗c‗‗‗‗‗‗；
（2）
5 6
是 25
36
的一个平方根.（√
）
X X （3） 42 的平方根是－4. （ ） （4） 25 的平方根是±5. （ ）
2.求出下列各数的平方根.
⑴0.04
⑵ 81
121
⑶6 1
4
⑷
(2) 81 9 121 11
(3) 25 5 42
4、学习反思： ‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗ ‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗‗。
五、强化训练
判断题 ①不相交的两条直线叫做平行线( × ) ②两条直线的关系只有相交、平行两种（ × ）
直线b相交逐步变为在直线c 的右侧与b相交。想象一下， 在这个过程中，有没有直线 a与直线b不相交的位置呢？
c a
A
B
b
二、学习目标
1 理解平行线的意义，了解 同一平面内两条直线的两种位 置关系；
2 理解并掌握平行公理及其 推论，会根据几何语句画图、 用直尺和三角板画平行线.
知平
识行
点 一
线 的
8.求满足下列各式的 x 的值.
（1） 25x2 36 0 ; (2) 21 x2 1 ; (3) 1 2x 32 52 .
人教版七年级数学下册教案 6.1 平方根(3课时)
第六章实数教材简析本章的内容包括：平方根、立方根、实数．在学习了有理数的基础上，加强与实际的联系，从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数，即无理数，开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比，数的范围由有理数扩充到实数，与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．在中考中，本章的考点有平方根、立方根的定义及运算，实数的运算及大小比较等，考查基本概念及基本计算．教学指导【本章重点】平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．【本章难点】对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】1．体会分类的数学思想，如：对实数进行分类．2．掌握分类讨论思想，如：由于一个正数的平方根有两个，且这两个数互为相反数，因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．3．掌握转化思想，如：学习了平方根和立方根后，运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．4．体会数形结合思想，如：数的范围由有理数扩充到实数，实数与数轴上的点建立了一一对应关系，这样可以通过观察“形”的特点，解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划6．1平方根3课时6．2立方根1课时6．3实数1课时6．1 平方根第1课时算术平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根．3．了解算术平方根的性质．【过程与方法】加强概念形成过程的教学，提高学生的思维水平，鼓励学生进行探索和交流，培养他们的创新意识和合作精神．【情感态度与价值观】通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．二、重难点目标【教学重点】算术平方根的概念．【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P40的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数.2．规定：0的算术平方根是0.3．算术平方根具有双重非负性：(1)a≥0；(2)a≥0.4．求下列各数的算术平方根：(1)81；(2)0.25；(3)23.解：(1)9.(2)0.5.(3)23.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】求下列各数的算术平方根：(1)64；(2)0.36；(3)214；(4)412－402.【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？ 【解答】(1)∵82＝64，∴64的算术平方根是8. (2)∵0.62＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6. (3)∵⎝⎛⎭⎫322＝94＝214，∴214的算术平方根是32. (4)∵412－402＝81，92＝81，∴81＝9.∵32＝9， ∴412－402的算术平方根是3.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．5的算术平方根为( A ) A.5 B ．25 C ．±25D ．±52．一个数的算术平方根是34，这个数是( C )A.32 B ．34C.916D ．不能确定3．要切一块面积为0.81 m 2的正方形钢板，它的边长是0.9m. 4.4的算术平方根是 2.5．已知3＋a 的算术平方根是5，求a 的值．解：因为52＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a ＝25，所以a ＝22. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知x 、y 为有理数，且x －1＋3(y －2)2＝0，求x －y 的值．【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性，即a ≥0，a 2≥0，由几个非负数相加和为0，可得出什么结论？【解答】由题意，得x －1＝0，y －2＝0， 所以x ＝1，y ＝2. 所以x －y ＝1－2＝－1.【互动总结】(学生总结，老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性，即a ≥0，|a |≥0，a 2≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a性质：双重非负性⎩⎨⎧a ≥0a ≥0练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 估算算术平方根教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识． 3．会用计算器求一个数的算术平方根． 【过程与方法】体验“无限不循环小数”的含义，感受存在着不同于有理数的一类新数． 【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】夹值法及估计一个(无理)数的大小． 【教学难点】夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想． 教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P41～P44的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．实际上，许多正有理数的算术平方根(例如3，5，7)都是无限不循环小数．2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩小)到原来的100倍⎝⎛⎭⎫1100，10000倍⎝⎛⎭⎫110000…时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来的10倍⎝⎛⎭⎫110，100倍⎝⎛⎭⎫1100… 3．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法： 大多数计算器都有 键，用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按ON 键开机，再按键、“被开方数”、＝，即可显示“算术平方根”． 4．与37最接近的整数是( B ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】通过估算比较下列各组数的大小： (1)5与1.9； (2)6＋12与1.5. 【互动探索】(引发学生思考)(1)估算5的大小，或先求1.9的平方，再比较5与1.92的大小；(2)先估算6的大小，再比较6与2的大小，从而进一步比较6＋12与1.5的大小．【解答】(1)(方法一)因为5>4，所以5>4，即5>2，所以5>1.9. (方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5，所以5>1.9.(2)因为6>4，所以6>4，所以6>2，所以6＋12>2＋12＝1.5，即6＋12>1.5.【互动总结】(学生总结，老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内，再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值，再比较它与有理数的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．估计5＋1的值，应在(C)A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．估算19－2的值(B)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间3．计算：(1)1225；(2)36.42(精确到0.001)；(3)13(精确到0.001)．解：(1)1225＝35.(2)36.42≈6.035.(3)13≈3.606.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，则冰川约是在多少年前消失的？【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．【解答】(1)当t＝16时，d＝7×16－12＝7×2＝14.即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．(2)当d＝35时，即7×t－12＝35，所以t－12＝25，解得t＝37.即冰川约是在37年前消失的．【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查算术平方根的实际应用，注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．2．用计算器求一个正数的算术平方根．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．【过程与方法】通过带领学生探究一个数的平方根，使学生理解数的开方、平方根的概念．【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力．二、重难点目标【教学重点】平方根的概念．【教学难点】求一个数的平方根．教学过程环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P44～P46的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根或叫二次方根．也就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．2．一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．3．求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算．4．下列说法不正确的是(C)A．－2是2的平方根B.2是2的平方根C ．2的平方根是 2D ．2的算术平方根是 2 5．求下列各数的平方根： 16,0，49，242.解：16的平方根是±4. 0的平方根是0. 49的平方根是±23. 242的平方根是±24. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生对学) 【例1】求下列各数的平方根： (1)12425； (2)0.0001； (3)(－4)2； (4)81.【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．【解答】(1)∵12425＝4925，⎝⎛⎭⎫±752＝4925，∴12425的平方根是±75，即±12425＝±75. (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01. (3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±(－4)2＝±4. (4)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.【互动总结】(学生总结，老师点评)正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个，它们之间有什么关系呢？ 【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0. 即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.【互动总结】(学生总结，老师点评)一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．活动2 巩固练习(学生独学)1．关于平方根，下列说法正确的是( B ) A ．任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数 B ．负数没有平方根C ．任何一个数只有一个算术平方根D ．以上都不对2．如果a 、b 分别是16的两个平方根，那么ab ＝－16. 3．若25x 2＝16，则x 的值为±45.4．求下列各数的平方根：(1)196； (2)10－4； (3)144169； (4)3625.解：(1)±14. (2)±10－2. (3)±1213. (4)±95.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】求下列各式中x 的值． (1)x 2＝361； (2)81x 2－49＝0； (3)(3x －1)2＝(－5)2.【互动探索】上述方程都可以化成一个数或代数式的平方的形式，结合平方根的定义，你能算出x 的值吗？【解答】(1)∵x 2＝361，∴开平方，得x ＝±361＝±19. (2)整理，得x 2＝4981，∴开平方，得x ＝±4981＝±79. (3)∵(3x －1)2＝(－5)2，∴开平方，得3x －1＝±5. 当3x －1＝5时，x ＝2；当3x －1＝－5时，x ＝－43.综上所述，x ＝2或－43.【互动总结】(学生总结，老师点评)利用平方根的定义进行开平方解方程，从而求出未知数的值，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；开平方时，不要漏掉负平方根．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)平方根⎩⎪⎨⎪⎧平方根的概念平方根的性质开平方及相关运算练习设计请完成本课时对应练习！。
人教版数学七年级下册6.1平方根(第3课时)教学设计
（1）计算一个面积为64平方米的正方形的边长。
（2）已知一个长方体的长、宽、高分别为2米、1米、0.5米，求它的对角线长。
3.请学生撰写一篇关于平方根在生活中的应用的短文，要求至少包含两个实例，字数不限。
4.鼓励学有余力的学生，研究平方根的估算方法，如牛顿迭代法，并尝试编写一个计算平方根的程序或公式。
2.学生回答后，教师指出，要解决这个问题，我们需要学习一个新的数学概念——平方根。由此引出本节课的主题：平方根。
（二）讲授新知
1.教师首先介绍平方根的定义：如果一个数a的平方等于b，那么a是b的平方根。强调平方根有两个，且互为相反数。
2.通过具体例子（如4的平方根是2和-2）来说明平方根的概念，并解释负数没有平方根的原因。
3.教师巡回指导，参与各小组的讨论，解答学生的疑问，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.教师设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
（1）求下列数的平方根：9、16、25、0、-1。
（2）判断下列各数是否有平方根，如果有，求出它的平方根：2、3、-4、5。
（3）求解实际问题时，列出算式并计算平方根，如：一个正方形的对角线长为10厘米，求正方形的边长。
（1）通过具体的例子，让学生体会负数没有平方根的原因。
（2）针对实际问题，引导学生列出算式，并指导他们如何进行计算。
（3）教授平方根的估算和近似值求解方法，如牛顿迭代法等，提高学生的数学素养。
6.设计分层练习，针对不同水平的学生提供不同难度的题目，使每位学生都能得到有效的训练。
7.课后作业布置注重实践性，让学生运用平方根知识解决生活中的实际问题，提高学生的实际应用能力。
人教版七年级数学下册课件：6.1平方根(3)
平 方 运 算
底数
幂
a的平方根 被开方数
已知底数和指数求幂 已知幂和指数求底数
开平方与平方的对比填空
运算 适用 运算结 符号 范围 果名称
性质
开 方
正 数 与 零
平 方 根
正数有 2 个平方根,它们是互为相反,数 零的平方根是 0 ,
负数 没有平方根 .
平 方
a2
任 何
幂
数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
36的平方根是 ± 6； ４的平方根是 2；
（ 5）2的平方根是 5 ； 9的算术平方根是 3 ； 16的算术平方根的平方根是 ± 2 。
2. 求下列各数的平方根:
9 （1） 81 （2）10 （3）4 （4）0.49 （5）169
分析 问：解题思想方法是？ 答：根据平方根的定义，把求平方根转化为求平方。 即求出平方等于81的所有数。
（× ）
（6）7的平方根是±49.
(× ) 7
思考？
• 6.平方根与算术平方根有什么异同？
• 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系
（1）具有包含关系:平方根包含算术平方根，算术平
方根是平方根的一种。
（2） 存在条件相同：平方根和算术平方根都具有非
负性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
区别
(6)若 3 是x的一个平方根，那么x的另一个平方根是
（ 3 ）；
(7)平方根等于它本身的数是（ 0 ），算术平方根等于 它本身的数是（ 0，1）；
(8) 一个数的平方等于 0.01 ，这个数是（±0.1）；
(9) (5)2 = 5
25 (10)求下列各数的平方根：0.81 , 0， 81 49
人教版七年级数学下册 教学设计6.1 第3课时《算术平方根和平方根》
人教版七年级数学下册教学设计6.1 第3课时《算术平方根和平方根》一. 教材分析本节课的教学内容是算术平方根和平方根。
这是人教版七年级数学下册第六章第一节的一部分，主要介绍了平方根和算术平方根的概念、性质和运算。
这一部分内容是学生学习平方根和算术平方根的基础，对于后续学习二次根式、勾股定理等知识具有重要意义。
教材通过例题和练习题，帮助学生掌握平方根和算术平方根的求法，提高学生的运算能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方、平方根的概念，为本节课的学习奠定了基础。
然而，对于算术平方根的概念和求法，部分学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际需求进行有针对性的教学。
三. 教学目标1.理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质和运算方法。
2.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题，提高运算能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.平方根和算术平方根的概念及其区别。
2.平方根和算术平方根的求法。
3.运用平方根和算术平方根解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方根和算术平方根的概念，激发学生的学习兴趣。
2.小组讨论法：让学生在小组内讨论平方根和算术平方根的性质和运算方法，培养学生的团队合作精神。
3.案例教学法：通过例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高运算能力。
4.启发式教学法：引导学生思考问题，培养学生的逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平方根和算术平方根的概念、性质和运算方法。
2.练习题：准备一些有关平方根和算术平方根的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如正方形的面积公式，引入平方根的概念。
引导学生思考：什么是平方根？如何求一个数的平方根？2.呈现（10分钟）介绍平方根的性质和运算方法，引导学生总结平方根的定义和求法。
6.1平方根(3)
类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
一般的，如果一个数的平方等于 a ， 那么这个数叫作 a 的 平方根 或 二次方 根 即 如果 X2 = a，那么x 叫作 a 的平 方根。
例如 3和-3的平方等于9，简记为±3 是9的平方根
求一个数a的平方根的运算叫作开平方。
2．认识开平方运算 填空： 平方
例1
3．例题解析 求下列各数的平方根： 9 1 （） 1 100 ；（） 2 ; （） 3 0.25 ; （） 4 2 ; （） 5 0. 16 4 解：（5）因为 0 0 ，
2
例1
所以0的平方根是0．
试一试: (1) 1.44的平方根是 ±1.2 (2) 0的平方根是 0 . 8 64 (3) 的平方根是 ± .
所以100的平方根是 10 ．
3．例题解析 求下列各数的平方根： 9 1 （） 1 100 ；（） 2 ; （） 3 0.25 ; （） 4 2 ; （） 5 0. 16 4
9 3 解：（2）因为 4 16
16
2
例1，Biblioteka 4所以 9 的平方根是 3 ．
3．例题解析 求下列各数的平方根： 9 1 （） 1 100 ；（） 2 ; （） 3 0.25 ; （） 4 2 ; （） 5 0. 16 4 解：（3）因为 0.5 0.25 ，
正数a的算术平方根可以表示用 a 表示； 正数a的负的平方根，可以用符号 a 表示， 正数a的平方根用符号 a 表示．
读作“正、负根号a ”．
6．例题解析
例3 判断下列各式计算是否正确，并说明理由．
(1) 4 2； (2) 4 2； (3) 4 2．
6．例题解析
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
人教版七年级数学下册教学课件-6.1 平方根3
归纳小结 深化新知
• 知识： • 方法： • 收获： • 疑问：
小结与提升 ：
活动 课外探究 深化新知
解下列方程： （1）x2=9； （2）4x2=9；
（3）x2-81=0； （4）（x+1）2=1.
活动六 分层作业 提高能力
作业(必做题）：
1.下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根，如果没有说明理由.
1616 4
4
(3) ∵(±0.5)2＝0.25，
∴0.205.的25平方根0.5是. ±0.5.
口答：1.
下列哪些 (1) 5 数可以求 平方根 (3) - 5
(5) -｜-5︳
（2）0 (4)-(-5）
(6)(- 3)2
(7) –32
(8)
9
2.用符号
表示下列
各数的平 方根
（1） 2 16 （3）
81
(1) 169 13 (2) 0.004 9 0.07 (3) 64 8
81 9
巩固提升
例6：如果一个正数的两个平方根是a-1 和a+3,求a的值及这个正数。
举一反三
1.若(x+1)2+ =y 02，则x+y的值＿＿＿. 2.如果一个正数的两个平方根为2a＋1和 3a－11,则a的值为( ) A. ±1 B. 1 C. 2 D. 9 3.已知2a－1的平方根是±3，b－1的算术平 方根是4，求a＋2b的值.
25
（2）0.2 (4)-(-5）
（5) (-3)2
(6)
81
3.判断正 误（对的 打√,错的 打×）
5
（1） 是5的平方根；
5 （2）- 是5的平方根；
(3）5的5 平方根是 ；
第六章 6.1 平方根(3)
【典例剖析】求下列各数的平方根： 9 (1)100; (2) ; (3)0.25.
16
解：（1）因为(±10)2=100， 所以100的平方根是±10；
3 2 9 9 3 (2)因为 ( ) ; 所以 平方根是 ; 4 16 16 4
（3）因为(±0.5)2=0.25, 所以0.25的平方根是±0.5.
【典例剖析】求下列各式的值：
(1) 144; (2) 0.81; 121 (3) ; 196
解：（1）因为122=144， 所以 144 12;
（2）因为0.92=0.81， 所以 0.81 0.9;
11 2 121 (3)因为 ( ) , 所以 121 11. 14 196 196 14
平方根
二次方根 平方根 逆运算 两 相反数 算术平方 没有
a a a
正、负根号a
情景导入
【活动1】王东同学说：“如果一个数的平方等于9，那么 这个数一定是3.”你觉得他说的对吗？ 学生活动：小组合作探究. 展示与点评1：王东同学说的不对. 3的平方等于9，但平方等于9的数却不一定是3，因为 （－3）2=9，所以这个数可以是3，也可以是－3，因此， 如果一个数的平方是9，那么这个数是3或－3.我们知道3 是9的算术平方根，那么－3与9除了平方关系外，还有什 么特殊关系吗？接下来，我们一起来探究平方根的秘密.
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
填空：
3
2
=( 9 )
2
(－3 ) = ( 9 ) 1 2 1 (2 ) =( 4 ) 1 1 2 (－ ) =( 4 ) 2 2 0 =( 0 ) 什么叫乘方？什么叫幂？ 乘方运算
6.1平方根(课时3)课件(新人教版七年级数学下)
【学习目标】
1.掌握平方根的概念，明确平方根与算术平方根的联系与区别. 能用符号正 确地表示一个数的平方根 2.理解开平方与平方间的互逆关系.根据这种互逆关系求一个数的平方根.
.
【重点难点】
重点：平方根的概念; 求一个数的平方根. 难点：平方根的概念; 求一个数的平方根.
9
数学活动二:数学活动二：求一个数的平方根
把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,而平方运算与开平方运算互 为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根. 例如当 2 时,x=±1; 当 2 时,则x=±4,
x = 16 x =1 2 2 当x = 36 时,x=±6; 当 x = 49 时,x=±7; 2 4 4 2 当x = ,则 ± 为 的平方根,它们的对应关系如图所示. 25 5 25
【当堂达标】
1. 169 的平方根是多少？
2.
16 的值为多少?16的平方根为多少? 16 的平方根呢?
3.若 35 的整数部分为a,小数部分为b,求a、b的值.
4. 有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为 25m2 ,求长和宽
平方 开平方
数学活动三：应用
1 （2） （3）0 36
2. 121的平方根是多少？
（4）0.01
3.
49
的算术平方根是多少？
【学习体会】
1.本节课你独立思考了那些知识？参与讨论了哪些知识？还 有那些疑惑？ 2.本节课你最成功的地方是什么？说给你小组成员听听.
创设情景
1.如果一个数的平方等于9，则这个数是________;
2.填表
【课中探究】
数学活动一：阅读教材，理解平方根的概念：
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根, 即若 x 2 = a ,则x为a的平方根,记为 x = 为±3 是9的平方根,表示为 ? 3
七年级数学下册第六章实数6、1平方根第3课时平方根习题新版新人教版
(3)114649； 解：因为±11232＝114649， 所以114649的平方根为±1123，算术平方根为1123. (4)0.
解：0 的平方根为 0，算术平方根为 0.
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提示：点击 进入习题
21 见习题 22 见习题
答案显示
1．一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的 __平__方__根____或___二__次__方__根___．这就是说，如果 x2＝a，那么 x 叫做 a 的__平__方__根__，可表示为 x＝__±___a___．
2．(2020·烟台) 4 的平方根是( C ) A．2 B．－2 C．±2
当 2m－6＝－(m－2)时，解得 m＝83. 所以这个数为 2m－6＝2×83－6＝－23. 综上可得，这个数为 2 或－23. 王老师看后说小张的解法是错误的．你知道为什么吗？请改
正．
解：小张将求出的 m 的值代入这个数的算术平方根 2m－6 中求 解，求出的不是这个数． 当 m＝4 时，这个数为(2m－6)2＝4； 当 m＝83时，2m－6＝2×83－6＝－23＜0，不符合题意． 所以这个数为 4.
19．若 m 是 169 的正的平方根，n 是 121 的负的平方根．求：
(1)m＋n 的值； 解：因为 132＝169，所以 m＝13.
因为(－11)2＝121，所以 n＝－11.
所以 m＋n＝13＋(－11)＝2. (2)(m＋n)2 的平方根． 解：因为(m＋n)2＝4＝(±2)2，
所以(m＋n)2 的平方根是±2.
A. 22＝2
B. 22＝±2
人教版七年级数学下册6.1 平方根(第3课时)
6.1 平方根
第3课时
导入新知
1.什么叫做算术平方根？
如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x叫做a的 算术平方根.
2.判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它 们的算术平方根.
100； 1； 36 ; 0; －0.0025; (-3)2 ; －25.
121
导入新知
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6;
④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8. 2.下列说法不正确的是___B___ A.0的平方根是0 B. 22 的平方根是2 C.非负数的平方根互为相反数 D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
课堂检测
3. 判断下列说法是否正确.
1. 了解平方根的概念,掌握平方根的特征.
探究新知
知识点 1 平方根的概念及性质
要做一张边长是3分米的方桌 面，它的面积是多少？
这个问题实际上就是求：
32 ？
答：9平方分米. 乘方运算
这是已知底数和指数，求幂的运算.
3分米
探究新知 反过来，要做一张面积是9平方分米的方桌面，它的
边长是多少分米？
实际上就是要求出一个数，使
∴0.49的平方根为±0.7． 即 0.49 0.7 .
探究新知
知识点 3 平方与开方的关系 已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
平方
+1
-1
1
+2
-2
4
+3
-3
9
探究新知
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
+1
？运算
-1
1
6.1.3.第3课时 平方根
625 5 的平方根是 ± 16 2.
课件目录
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第3课时
平方根
【点悟】 (1)任何一个正数的平方根都是一对相反数， 不能漏掉其中的一个； (2)对于求 a(a≥0)的平方根，先要对 a进行化简，再求它的平方根，即要正确 区分 a的平方根与 a 的平方根的差别．
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第3课时
平方根
12．王老师给同学们布置了这样一道习题：一个数的算术平方根为 2m－6， 它的平方根为± (m－2)．求这个数． 小张的解法如下： 依题意可知，2m－6 是 m－2 或者是－(m－2)两数中的一个．① 当 2m－6＝m－2 时，解得 m＝4，② 2m－6＝2×4－6＝2，③ 这个数为 4；
第3课时
平方根
2019年春人教版数学七年级下册课件
6.1 平方根
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第3课时
平方根
第六章
实数
6.1 平方根 第3课时 平方根
学习指南 知识管理
归类探究
当堂测评
分层作业
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第3课时
平方根
学习指南
教学目标
[教用专有]
1．理解平方根的概念，会求一个非负数的平方根． 2．能运用平方根进行计算求值．
所以±
13 136＝±
49 7 ＝ ± 36 6.
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第3课时
平方根
9．[2018· 广东]一个正数的平方根分别是 x＋1 和 x－5，则 x＝ ____ 2 .
2021-2022学年人教版数学七年级下册6.1 平方根(三)练习
6.1 平方根(三)【笔记】1.平方根的定义:一般地,如果一个数的平方等于a ,这个数就叫做a 的 或 .a (a ≥0)的平方根记作 .2.平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为 ;0有一个平方根,它是 ;负数没有平方根.注:一个正数a 的正的平方根,叫做a 的算术平方根.3.开平方运算:求一个数a 的平方根的运算,叫做 .开平方与 互为逆运算.【训练】1.“425的平方根是±25”,用数学式子可以表示为 () A.√425=±25B.±√425=±25C.√425=25D.-√425=-252.如果一个数的平方根等于这个数本身,那么这个数是( ) A.1 B.-1 C.0D.±1 3.下列各式中正确的是( ) A.√25=±5B.√(−3)2=-3C.±√36=±6D.√−100=10 4.(-6)2的平方根是 () A.-6 B.36 C.±6D.±√6 5.下列说法正确的是 () A.√4的平方根是±2B.-a 2一定没有平方根C.0.9的平方根是±0.3D.a 2+1一定有平方根6.16的算术平方根和25的平方根的和是( ) A.9B.-1C.9或-1D.-9或1 7.16的算术平方根为 ,16的平方根为 ,√16的平方根为 . 8.一个正数的两个平方根的和是 ,商是 .9.a 2=16,|b |=3且ab <0,则a +b 的值为 .10.(广东中考)一个正数的平方根分别是x +1和x -5,则x = .11.若√x +2=2,则2x +5的平方根是 .12.求下列各数的平方根:(1)9; (2)16121; (3)0.01.13.求下列各式的值.(1)√625;(2)√1−59;(3)±√11336; (4)±√(−123)2. 14.求下列各式中x 的值.(1)x 2-121=0; (2)(x -2)2-64=0.15.现在定义一种运算,其规则为a*b=a2-b2,根据此规则,如果x满足(x+2)*5=0,那么x的值为.16.自由下落物体的高度h(单位:m)与下落时间t(单位:s)的关系是h=4.9t2.有一个物体从120m高的建筑物上自由落下,到达地面需要多长时间(结果取整数)?17.已知a-1和5-2a都是m的平方根,求3m-4a+5的平方根.18.已知x-1的算术平方根为2,3x+y-1的平方根为±4,求3x+5y的平方根.19.王老师给同学们布置了这样一道习题:一个数的算术平方根为2m-6,它的平方根为±(m-2).求这个数.小张的解法如下:依题意可知,2m-6是m-2或者是-(m-2)两数中的一个,当2m-6=m-2,解得m=4,2m-6=2×4-6=2,这个数为4;当2m-6=-(m-2)时,解得m=83,2m-6=2×83-6=-23,这个数为49.综上所述,这个数为4或49.王老师看后说,小张的解法是错误的.你知道小张错在哪里吗?为什么?请予以改正.参考答案6.1平方根(三)【笔记】1.平方根二次方根±√a2.相反数03.开平方平方【训练】1.B2.C3.C4.C5.D6.C7.4±4±28.0-19.±110.211.±312.(1)∵(±3)2=9,∴9的平方根是±3.(2)∵(±411)2=16121,∴16121的平方根是±411.(3)∵(±0.1)2=0.01,∴0.01的平方根是±0.1.13.(1)25(2)23(3)±76(4)±12314.(1)x=±11(2)x=-6或x=1015.3或-716.将h=120代入h=4.9t2,解得t2≈24.49,∵t>0,∴t=√24.49≈5,答:到达地面需要5s.17.由题意,得①(a-1)+(5-2a)=0,解得a=4,∴m=(a-1)2=9,则3m-4a+5=16.∴3m-4a+5的平方根为±4.②a-1=5-2a,解得a=2,∴m=(a-1)2=1.则3m-4a+5=0,∴3m-4a+5的平方根是0.18.x-1=4且3x+y-1=(±4)2,解得x=5,y=2,∴3x+5y=25.∴3x+5y的平方根为±5.19.错在当m=83时,2m-6<0,不符合题意应舍去.∴这个数为4.。
七年级下册数学6.1 平方根(3)集体备课教案
应用
例2 下列各数有平方根？如果有，求出它的平方根，如果没有，说明理由。
－64、0， ，
如果有要用平方根的符号来表示。
例3：课本第166页的例5，求下列各式的值。
（1） ，（2）－ ，（3）
（4） ，
建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式。平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系．区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根．
使学生完成课本45页的填表练习．
给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果 =a，那么x叫做a的平方根．
求一个数的平方根的运算，叫做开平方．
例如： 3的平方等于9，9的平方根是 3，所以平方与开平方互为逆运算．
观察：课本45页中的图10.1-2.
图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
2、本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念，要以等式 =a和已有算术
平方根概念为基础，并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别，明确开平方与平方之间的互逆关系，把握了这些平方根的有关概念，正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了．
2、有关求算式的值的问题，一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义，这样才能使学生在本质上掌握其求法．
通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得，并能规范地表述一个数的平方根．这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备．
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课题：6.1平方根（第3课时）
一、教学目标
1、经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数（完全平方数）的平方根.
2、经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
二、重点和难点
1、重点：平方根的概念.
2、难点：归纳有关平方根的结论.
三、自主探究
（一）基本训练，巩固旧知
1、填空：如果一个 的平方等于a ，那么这个 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作 .
2、填空：
(1)面积为16＝ ； (2)面积为15≈ （利用计算器求值，精确到0.01）.
3、填空：
(1)因为1.72＝2.89，所以2.89的算术平方根等于 ，即＝ ；
(2)因为1.732
＝2.9929，所以3的算术平方根约等于 ，即≈ . （二）什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题.
（三） 如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？
如果一个数的平方等于9，这个数是多少？和算术平方根的概念类似，我们把3叫做9的平方根，把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根。
我们再来看几个例子.
四、精讲精练
1、 求下面各数的平方根：
(1)100； （2）
169 (3)0.25； （4）4
12 (5)0；
从这个例题你能得出什么结论？正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？
小组讨论：正数有平方根。
平方根有什么关系？
0的平方根有个，平方根是 .负数平方根
五、精练
1.填空：
(1)因为（）2＝49，所以49的平方根是；
(2)因为（）2＝0，所以0的平方根是；
(3)因为（）2＝1.96，所以1.96的平方根是；
2.填空：
(1)121的平方根是，121的算术平方根是；
(2)0.36的平方根是，0.36的算术平方根是；
(3) 的平方根是8和－8，的算术平方根是8；
(4) 的平方根是3
5
和
3
5
，的算术平方根是
3
5
.
3.判断题：对的画“√”，错的画“×”. (1)0的平方根是0 （）(2)－25的平方根是－5；（） (3)－5的平方是25；（）(4)5是25的一个平方根；（） (5)25的平方根是5；（）
(6)25的算术平方根是5；（） (7)25的平方根是±5；（）
六、作业。