江苏省南京市秦淮中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

2017--2018学年度第二学期高二期中考试数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）将正确的答案填在题中的横线上．1. 已知集合，则______．【答案】【解析】试题分析：考点：集合的表示方法和交集的运算.2. 已知复数z满足，则复数的模为______．【答案】【解析】分析：由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．详解：由（1﹣i）z=i，得=，则z的模为：．故答案为：．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，复数模的求法，属于基础题.3. 某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩都在[50，100]内，且频率分布直方图如图所示(成绩分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为______．【答案】120【解析】分析：由频率分布直方图求出得分不低于80分的频率，由此能求出得分不低于80分的人数．详解：由频率分布直方图得：得分不低于80分的频率为：1﹣（0.015+0.025+0.030）×10=0.3，∴得分不低于80分的人数为：400×0.3=120人．故答案为：120．点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．4. 如图是一个算法流程图，则输出的的值是______．【答案】127【解析】分析：执行程序框图，依次写出每次循环得到的a的值，当a=127时，满足条件a＞64，退出循环，输出a的值为127．详解：执行程序框图，可得a=1a=3不满足条件a＞64，a=7不满足条件a＞64，a=15不满足条件a＞64，a=31不满足条件a＞64，a=63不满足条件a＞64，a=127满足条件a＞64，退出循环，输出a的值为127．故答案为：127．点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括顺序结构、条件结构、循环结构，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5. 某单位要在4名员工(含甲、乙两人)中随机选2名到某地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是______．【答案】【解析】试题分析：在四名员工（含甲乙两人）中随机选两名，共有6种方法，其中甲乙两人都未被选中，有1种方法，所以甲乙两人中至少有一人被选中有5种方法，故所求概率为考点：古典概型概率【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 函数的定义域为______．【答案】【解析】分析：利用真数大于零与被开方式大于等于零布列不等式组，解出范围即可.详解：函数的定义域为：,解得0＜x≤e．故答案为：．点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．7. 设实数x，y满足，则的最大值为______．【答案】2【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论．详解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=2x+y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时z max=2×1+0=2，故答案为：2点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.8. 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为______．【答案】【解析】分析：分别求出两个函数的导函数，求得两函数在x=1处的导数值，由题意知两导数值的乘积等于﹣1，由此求得a的值．详解：：由y=ax3﹣x2+2x，得y′=3ax2﹣2x+2，∴y′|x=1=3a，由y=e x，得y′=e x，∴y′|x=1=e．∵曲线C1：y=ax3﹣x2+2x与曲线C2：y=e x在x=1处的切线互相垂直，∴3a•e=﹣1，解得：a=﹣．故答案为：﹣．点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．9. 若圆锥的侧面展开图是半径为且圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______．【答案】【解析】∵圆锥侧面展开图的半径为5，∴圆锥的母线长为5．设圆锥的底面半径为r，则，解得r=3，∴圆锥的高为4．∴圆锥的体积 .点睛：旋转体要抓住“旋转”特点，弄清底面、侧面及展开图形状．10. 若抛物线的焦点到双曲线C：的渐近线距离等于，则双曲线C的离心率为______．【答案】【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．详解：抛物线的焦点为（0，1），双曲线C2：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=，即有b2=4a2，则c2=5a2，即有双曲线的离心率为：．故答案为：．点睛：本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于ee的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．11. 已知直线（其中a，b为非零实数）与圆相交于A,B两点，O为坐标原点，且，则的最小值为______．【答案】8【解析】【分析】由直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=4相交于A，B两点，且，可得圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=，可得2a2+b2=1．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【详解】∵直线ax+by=1（其中a，b为非零实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，且，∴圆心O（0，0）到直线ax+by=1的距离d==1，化为2a2+b2=1．∴+=（+）（2a2+b2）=2+2++≥4+2=8，当且仅当b2=2a2=取等号．∴+的最小值为8．故答案为：8．【点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.12. 在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（点为靠近点的三等分点），则的值是______．【答案】【解析】因为，，因此，【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．视频13. 已知数列是递增的等比数列且，设是数列的前项和，数列前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】由已知求出等比数列的公比，得到等比数列的通项公式和前n项和公式，代入b n=，整理后利用裂项相消法求得数列{b n}的前n项和T n，然后求出T n的最小值即可.【详解】设等比数列{a n}的公比为q，由a1+a4=9，a2a3=8．得a1+a4=9，a1a4=8．即a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两根．解得或．∵数列{a n}是递增的等比数列，∴a1=1，a4=8．则，∴q=2．则，．∴b n===．∴T n ==1﹣．∵T n =1﹣是关于n的单调增函数，∴1﹣不等式对任意的恒成立即∴，实数的最大值是故答案为：【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.14. 设函数，其中，若仅存在两个的整数使得，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】分析：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，则存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=ax﹣a 的下方，由此利用导数性质能求出a的取值范围．详解：函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，∵存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f（x2）都小于0，∴存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，∴当x=﹣时，[g（x）]min=g（﹣）=﹣2．当x=0时，g（0）=﹣1，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过（1，0），斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1，且g（﹣1）=﹣3e﹣1＜﹣a﹣a，解得a＜．g（﹣2）≥﹣2a﹣a，解得a≥，∴a的取值范围是[，）．故答案为：点睛：：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、解答题（本大题共6个小题，共90分,需写出必要的解题过程）15. 在△ABC中，已知角所对的边分别为，且.(1) 求角的大小；(2) 若，求边的长．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由三角形内角关系及诱导公式、两角和正切公式得，再由三角形内角范围得（2）已知两角一边，求另一边，应用正弦定理得，所以先根据同角三角函数关系求对应角正弦值：，，再代入可得试题解析：（1）因为，，，所以…………………………………2分，………………………………4分又，所以．……………………………………………………6分（2）因为，且，又，所以，……………………………………………8分同理可得，．…………………………………………………10分由正弦定理，得．……………………………14分考点：正弦定理，两角和正切公式，同角三角函数关系【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.16. 如图，在四棱锥中，平面⊥平面，四边形为矩形，⊥，分别为的中点．求证：(1) 直线∥平面；(2) 直线⊥平面 .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）取BE中点F，连结CF，MF，证明四边形MNCF是平行四边形，所以MN∥CF，即可证明直线MN∥平面EBC；（2）证明BC⊥平面EAB，得到BC⊥EA，又EA⊥EB，BC∩EB=B，EB，BC⊂平面EBC，即可证明直线EA⊥平面EBC．详解：证明：(1)取BE中点F，连结CF，MF，又M是AE的中点，所以MF∥AB，且MF=AB因为N是矩形ABCD的边CD的中点，所以NC∥AB，且NC=AB.所以MF∥NC且MF=NC，所以四边形MNCF是平行四边形．所以M N∥CF.又MN⊄平面EBC，CF⊂平面EBC，所以直线MN∥平面EBC.(2) 在矩形ABCD中，BC⊥AB.又平面EAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面EAB＝AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面EAB.又EA⊂平面EAB，所以BC⊥EA.又EA⊥EB，BC∩EB＝B，EB，BC⊂平面EBC，所以直线EA⊥平面EBC.点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17. 某景点拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中大圆弧所在圆的半径为14米，设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（弧度）．求关于x的函数关系式；已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为16元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y，求y关于x的函数关系式，并求出y的最大值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）根据扇形的周长公式进行求解即可．（2）结合花坛的面积公式，结合费用之间的关系进行求解即可．试题解析：⑴由题可知，所以.⑵花坛的面积为，装饰总费用为，所以花坛的面积与装饰总费用之比为，令，，则，当且仅当取等号，此时，，故花坛的面积与装饰总费用之比为，且的最大值为【点睛】本题主要考查函数的应用问题，结合扇形的周长和面积公式以及函数的性质是解决问题的关键18. 已知椭圆右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦，设中点分别为.求椭圆的方程；(2) 证明：直线必过定点，并求出此定点坐标；(3) 若弦的斜率均存在，求面积的最大值．【答案】（1）＋y2＝1.（2）见解析（3）S△FMN取得最大值，此时k＝±1.【解析】分析：（1）根据题意确定出c与e的值，利用离心率公式求出a的值，进而求出b的值，确定出椭圆方程即可；（2）由直线AB与CD斜率均存在，设为k，表示出AB方程，设出A与B坐标，联立直线AB 与椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出M，同理表示出N，根据M与N横坐标相同求出k的值，得到此时MN斜率不存在，直线MN恒过定点；若直线MN斜率存在，表示出直线MN斜率，进而表示出直线MN，令y=0，求出x的值，得到直线MN 恒过定点，综上，得到直线MN恒过定点，求出定点坐标即可；（3）根据P坐标，得到OP的长，由OF﹣OP表示出PF长，S△FMN＝S△FPM＋S△FPN，利用基本不等式求出面积的最大值即可．详解：(1) （1）由题意：c=1，=，∴a=，b=c=1，则椭圆的方程为+y2=1；(2) ∵AB，CD斜率均存在，∴设直线AB方程为：y=k（x﹣1），再设A（x1，y1），B（x2，y2），则有M（，k（﹣1）），联立得：，消去y得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴，即M（，），将上式中的k换成﹣，同理可得：N（，），若=，解得：k=±1，直线MN斜率不存在，此时直线MN过点（，0）；下证动直线MN过定点P（，0），若直线MN斜率存在，则k MN===×，直线MN为y﹣=×（x﹣），令y=0，得x=+×=×=，综上，直线MN过定点（，0）；(3) 由第（2）问可知直线MN过定点P（，0），故S△FMN=S△FPM+S△FPN=×||+×|=×，令t=|k|+∈[2，+∞），S△FMN=f（t）=×=×，∴f（t）在t∈[2，+∞）单调递减，当t=2时，f（t）取得最大值，即S△FMN最大值，此时k=±1．点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．19. 设数列的前n项和为，已知，，数列是公差为d的等差数列，n∈N*.求d的值；求数列的通项公式；求证：.【答案】（1）4（2）见解析【解析】试题分析：(1)由,求出,从而得到d的值;(2)根据(1)的结果先求出,得到关于和的关系式,再利用求出数列;(3)由(2)得:所以,显然可利用不等式的性质得到要证的不等式成立. 试题解析：解：（1）3分（2）因为数列是等差数列，即①当时，②①-②，得:，即则以上各式相乘得：因为，8分（3）则③因为当时，，所以上式等号不成立.则12分考点：1、数列的概念，等差数列；2、不等式的性质.20. 已知函数.若，求函数f(x)的单调减区间；若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；若，正实数满足，证明：.【答案】（1）(1，＋∞)．（2）2（3）见解析【解析】试题分析：（1）由求出的值，再利用导数求出函数的单调递减区间；（2）分离出变量，令，只要，利用导数求出令的最大值即可；（3）由，即，令，则由，利用导数法求得，从而可得所以，解得即可．试题解析：（1）因为，所以，此时，，，由，得，又，所以，所以的单调减区间为．（2）由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，令，只要，因为，令，得．设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为，当时，；当时，，所以在上是增函数，在上是减函数，所以，因为，，所以，此时，即，所以，即整数的最小值为2．（3）当时，，由，即，从而，令，则由，得，可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，所以，因此成立．考点：1、函数基本性质；2、恒成立问题；3、利用导数求函数的最值．【方法点睛】利用导数求函数单调区间的基本步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数；(3)由(或)，解出相应的的取值范围．当时，在相应的区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数．(4)结合定义域写出的单调区间．利用导数求函数的单调区间需注意的问题是首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内进行，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．本题主要考查利用导数与函数单调之间的关系以及利用导数求最值，属于中档题．。