现代控制理论第3章1

t1
T
= − ∫ U (t ) B e
T T 0
t1
− AT t
X 0 dt = 0
又
B e
T − AT t
X0 = 0
∀ t ∈ [ 0 , t1 ]
所以 X 0 = 0 。 这表明， X 0 ≠ 0 的假设是和系统完全能控相矛盾。因此，反 设不成立，即 Wc [0, t1 ] 为非奇异。 必要性得证。
0 = X (t1 ) = e X 0 + ∫ e At1 e − At BU (t )dt
At1 0
t1
由此得出 X = − t1 e − At BU ( t ) dt 0 ∫
0
X0
2
= X T ⋅ X 0 = − ∫ e − At BU ( t ) dt X 0 0 0
α T [λi I − A, B ] = 0
T
考虑到一般性，上式得到
α A = λ iα
T
α TB = 0
进而，
α T [B, AB , L , A n−1 B ] = α T Qc = 0
α T B = 0 α T AB = λiα T B = 0, L, α T An−1B = 0
由α 的任意性，得到 rankQc < n 这表明系统为不完全能控，与已知条件矛盾。反设不成立。 充分性：略。 [例3.3] 设线性定常系统的状态方程为 0 1 0 0 0 0 0 − 1 0 1 & X + X = 0 0 0 1 0 0 0 5 0 2 可直接导出 1 0 U , 1 0
T − AT t
dtWc−1[0, t1 ] X 0
= e X 0 − e Wc [0, t1 ]W [0, t1 ] X 0 = 0
At1 At1
−1 c
充分性得证。 必要性：已知系统为完全能控，欲证Wc [0, t1 ] 非奇异。
n 反证法。反设 Wc 为奇异，也即反设存在某个非零 X 0 ∈ R ， 使成立 T X 0 Wc [0, t1 ] X 0 = 0
现将上式求导直至 (n − 1) 次，再在所得结果中令 t 可得到：
= 0，那么
α B=0, αTAB=0 αTA2B=0 L
T
T n−1
α A B =0
进而，表上式为
α [ B AB L A
T
n −1
B] = α Qc = 0
T
由于α ≠ 0 ，所以上式意味着Qc 为行线性相关，与假设矛盾。 反设不成立，系统为完全能控。充分性得证 必要性：已知系统完全能控，欲证 反证法。反设 rankQc < n ,这意味着 Qc 行线性相关，因此 必存在一个非零 n 维常向量 ，使成立
rankQc = n.
α
α TQc = α T [ B AB L An −1B ] = 0
考虑到问题的一般性，由上式进一步得到
α T A i B = 0,
i = 1, L , n − 1
再据凯莱－哈密顿定理，A n , A n + 1 , L ,均可表示为 I，A，A2,…,An-1 的线性组合，由此得到
定义的几点解释： (1) 对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性； (2) 容许控制的分量幅值不加限制，且在 J 上平方可积； (3) 线性定常系统的能控性与 t 0 无关；
(4) 如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非零状 态，则称为系统的能达性。 (5) 系统不完全能控为一种“奇异”情况。 3.1.3 定常系统状态能控性判据 考虑线性连续时间系统
det Q C = det [ B M AB ] =
即
1 0
1 0
= 0
QC 为奇异，所以该系统是状态不能控的。
& 1 x1 0 [例3.3] 考虑由下式确定的系统： x1 = 1 x 2 − 1 x + 1 u 2 &2
（ 定义2 定义2：对线性时变系统 ∑ A, B, C , D) ，如果状态空间中的所 （ 有非零状态都是在时刻t0为能控的，那么称系统 ∑ A, B, C , D) 在时刻t0是能控的。 （ 定义3 ，取定初始时刻 t 0 ∈ J ， 定义3：对上述线性时变系统 ∑ A, B , C , D ) 如果状态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t 0 是不能控的， 则称系统在时刻 t 0是不完全能控的。
W c [ 0 , t1 ] =
∫0
t1
e
− At
BB e
T
− ATt
奇异。这意味着存在某个非零向量
α
dt
使成立
0 = α W c [ 0 , t1 ]α =
T
∫0 α
t1
T − At
e
BB e
T − ATt
α dt
=
∫0
t1
[α e
T
− At
B ][ α e
T
− ATt
B ] T dt
由此可得
α Te− At B = 0 ∀t ∈ [0, t1] ，
& Σ(A,B,C,D)： X (t ) = AX(t ) + BU(t)
(3.2）
其中 X (t) ∈Rn ,U(t) ∈Rm, A∈Rn×n , B∈Rn×m ， 且初始条件为 X ( t ) t = 0 = X ( 0 ) 。 如果施加一个无约束的控制信号，在有限的时间间隔 t0 ≤ t ≤ t1 内，使初始状态转移到任一终止状态，则称由式（3.2）描述 的系统在 t = t0 时为状态(完全)能控的。如果每一个状态都能 控，则称该系统为状态(完全)能控的。
3.1 线性连续系统的能控性
3.1.1 概述 能控性和能观测性就是研究系统这个“黑箱”的内部的 状态是否可由输入影响和是否可由输出反映。 [例 3.1] 给定系统的描述为 例
& x1 4 0 x1 1 x = 0 − 5 x + 2 u 2 &2
能控性(Controllability)和能观测性(Observability)深刻地 揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先 提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实 践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通 常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题 中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器 设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。 在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能 控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测 性的若干判据。
由此进而有
0 = X Wc [0, t1 ] X 0 = ∫ X e
T 0 0 T 0
t1
− At
BB e
T
− AT t
X 0 dt
=
T − AT t
∫
t1
0
B e
THale Waihona Puke − ATt2X 0 dt
要使上式成立，应有
B e
X0 = 0
∀ t ∈ [ 0 , t1 ]
另一方面，因系统完全能控，对非零 X 0 又成立
第三章
线性控制系统的能控性与能观测性分析
3.1 线性连续系统的能控性 3.2 线性连续系统的能观测性 3.3 对偶原理 3.4 线性离散系统的能控性和能观测性 3.5 线性系统的结构分解 3.6 线性连续系统的实现 3.7 传递函数与能控性及能观测性之间的关系
对能控性和能观测性的直观讨论
系统
u1 u2 M M un
+
u (t )
u (t )
R
−C
左上图：输入u（t），状态x（t），输出y（t）。 右上图：输入u（t），状态x1（t）， x2（t）。
R1
+
L r x1
i →
y
左图：输入u（t），
x 2↓ L R1 R2
−
u(t ) = 0
状态x1（t）， x2（t）， 输出y（t） 。
3.1.2 能控性的定义 线性时变系统的状态空间描述：
B]= n
i = 1, 2, L , n
( 3 .5 )
或等价地
也即 ( sI − A) 和 B是左互质的
rank [sI − A ,
B ] = n,
∀s ∈ C
(3 .6 )
[证明]：必要性：已知系统能控，欲证(3.5)成立。 证明] 。 反证法。反设对某个 λ i ，有 rank[λi I − A, B ] < n ， 则意味着， 存在一非零向量 α ，使成立
[解] 对于该系统， det QC = det [ B M AB ] =
0 1
1 −1
≠0
即QC为非奇异，因此系统是状态能控的。 3 PBH 判据 （1）秩判据 定理3] [定理3] (3.2)系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A 的 所有特征值 λi (i =1,L, n), 均成立
rank [λi I − A,
状态
x1, x2 ,L, xn
M
y1 y1 M yn
运动都可由输入 输入u(t) 每一个状态变量 , x2 ,L , xn 运动都可由输入 x1 来影响和控制，而由任意的始点达到原点——状态能 来影响和控制，而由任意的始点达到原点 状态能 控。 的任意形式的运动均可由输出完全反映 状态 x1 , x2 ,L , xn 的任意形式的运动均可由输出完全反映 ——状态能观测。 状态能观测。 状态能观测
1. 格拉姆矩阵判据 定理1 定理1：[格拉姆矩阵判据]线性定常系统(3.2)为完全能控的 充分必要条件是，存在 t1 > 0 ，使如下定义的格拉姆矩阵 t1 − At T − AT t Wc [0, t1 ] = ∫ e BB e dt (3.3)