[精品]2016-2017年四川省广安市高一下学期期末数学试卷及解析答案word版(理科)

2016-2017学年四川省广安市高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）A．B．C．D．2．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞03．（5分）如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不同在任何一个平面的图是（）A．B．C．D．4．（5分）下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②③D．②④5．（5分）已知等差数列{a n}中，a3+a8=22，a6=7，则a5的值为（）A．10 B．15 C．20 D．406．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、 D．.7．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．08．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=n+（n∈N*），则数列{a n}的最小项是（）A．a12B．a13C．a12或a13D．不存在9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是（）A．πB．πC．12+π D．3+π10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定11．（5分）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6km，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB=1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（A．6km/h B．8km/h C．2km/h D．10km/h12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1 （n∈N*），等差数列{b n}中，b n＞0 （n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．则数列{a n•b n}的前n项和T n为（）A．3n﹣1 B．2n+1 C．n•3n D．﹣2n•3n二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡上相应的横线上）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），（+λ）⊥，则λ等于．14．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．15．（5分）（文）等比数列{a n}中，a1+a2=30，a3+a4=60，则a7+a8=．16．（5分）O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：=+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP通过△ABC的（请在横线上填入正确的编号）①外心②内心③重心④垂心．三、解答题（要求在答题卡上相应题号下写出解答过程，第17～22题每小题12分，22题10分，共70分）.17．（12分）已知如图是一个空间几何体的三视图．（1）该空间几何体是如何构成的；（2）求该几何体的表面积．18．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1与a4的等比中项是4，a2和a3的等差中项为6，数列{b n}满足b n=log2a n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和．19．（12分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（a，b，c∈R）（1）求a，b的值；（2）解关于x不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．20．（12分）已知锐角△ABC中，三个内角为A，B，C，两向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（sinA﹣cosA，1+sinA），若与是共线向量．（1）求∠A的大小；（2）当函数y=2sin2B+cos（）取最大值时，求角B的大小．21．（12分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？22．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）证明：．2016-2017学年四川省广安市高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）A．B．C．D．【解答】解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=cos（45°+15°）=cos60°=．故选：A．2．（5分）设a，b∈R，若a﹣|b|＞0，则下列不等式中正确的是（）A．b﹣a＞0 B．a3+b3＜0 C．a2﹣b2＜0 D．b+a＞0【解答】解：利用赋值法：令a=1，b=0b﹣a=﹣1＜0，故A错误；a3+b3=1＞0，故B错误；a2﹣b2=1＞0，故C错误；排除A，B，C，选D．3．（5分）如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS不同在任何一个平面的图是（）A．B．C．D．【解答】解：A 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项A不满足条件．B 中的PQ与RS是两条平行且相等的线段，故选项B也不满足条件．D 中，由于PR平行且等于SQ，故四边形SRPQ为梯形，故PQ与RS是两条相交直线，它们和棱交与同一个点，故选项D不满足条件．C 中的PQ与RS是两条既不平行，又不相交的直线，故选项C满足条件．故选：C．4．（5分）下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是（）A．①②③B．①②C．②③D．②④【解答】解：对于①，平行向量不一定相等，①错误；对于②，不相等的向量也可能平行，如非零向量与﹣不相等，但平行，∴②错误；对于③，平行于同一个向量的两个向量不一定是共线向量，如零向量与任何向量平行，但任何两个向量不一定是共线向量，∴③错误；对于④，相等向量一定是共线向量，∴④正确．综上，其中不正确命题是①②③．故选：A．5．（5分）已知等差数列{a n}中，a3+a8=22，a6=7，则a5的值为（）A．10 B．15 C．20 D．40【解答】解：∵等差数列{a n}中，a3+a8=22，a6=7，∴，解得a1=47，d=﹣8，∴a5=47﹣8×4=15．故选：B．6．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、 D．.【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，|+2|===故选：B．7．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．﹣2 B．2 C．1 D．0【解答】解：由约束条件变量x，y满足，得如图所示的三角形区域，由可得顶点A（0，1），令z=x+2y，平移直线z=x+2y，直线z=x+2y过点A（0，1）时，z取得最大值为2；故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n=n+（n∈N*），则数列{a n}的最小项是（）A．a12B．a13C．a12或a13D．不存在【解答】解：令f（x）=x+（x≥1），∴f′（x）=1﹣=，当x＞=2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜=2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴数列{a n}的最小项是a12=25与a13=25中的最小值，因此数列{a n}的最小项是a12或a13．故选：C．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，这个几何体的体积是（）A．πB．πC．12+π D．3+π【解答】解：由已知中的三视图可知，该几何体是一个半球和四棱柱结合而成的组合体，其中半球的半径为2，故半径的体积为=，四棱柱的底面是一个边长为2的正方形，高为3，故四棱柱的体积为2×2×3=12，故组合体的体积为：12+π，故选：C．10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选：B．11．（5分）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6km，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB=1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度为（A．6km/h B．8km/h C．2km/h D．10km/h【解答】解：设客船在静水中的速度大小为km/h，水流速度为，则=2km/h，则船实际航行的速度=．t==0.1h，由题意得||≤=10，把船在静水中的速度正交分解为=．∴||==6，在Rt△ABC中，BC==0.8，∵||=||+||==8，∴||=8﹣2=6，∴||==6，∴=6km/h．设＜＞=θ，则tanθ==1，∴cosθ=．此时，||=||===10≤10，满足条件．故选：A．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n+1 （n∈N*），等差数列{b n}中，b n＞0 （n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．则数列{a n•b n}的前n项和T n为（）A．3n﹣1 B．2n+1 C．n•3n D．﹣2n•3n【解答】解：∵，∴，﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），∴a n+1﹣a n=2a n，∴a n+1=3a n，（n∈N*，n＞1），∴a n+1而a2=2a1+1=3=3a1，∴a n=3a n（n∈N*），+1∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴，n∈N*，在等差数列{b n}中，∵b1+b2+b3=15，∴b2=5，又∵a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{b n}的公差为d，∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64，解得d=﹣10或d=2，∵b n＞0（n∈N*），∴舍去d=﹣10，取d=2，∴b1=3，∴b n=2n+1，n∈N*，∴a n•b n=3n﹣1•（2n+1），∴数列{a n•b n}的前n项和：T n=3×30+5×3+7×32+…（2n+1）×3n﹣1，①3T n=3×3+5×32+7×33+…+（2n+1）×3n，②①﹣②，得：﹣2T n=3+2（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）×3n=3+2×﹣（2n+1）×3n=﹣2n×3n，∴T n=n•3n．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡上相应的横线上）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），（+λ）⊥，则λ等于﹣．【解答】解：=（1，0），=（1，1），（+λ）⊥，∴（+λ）•=+λ=1×1+0×1+λ（12+12）=0，解得λ=﹣，故答案为：﹣14．（5分）如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．【解答】解：根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底AD=1，高AB=2A'B'=2，下底为BC=1+，∴．故答案为：2+．15．（5分）（文）等比数列{a n}中，a1+a2=30，a3+a4=60，则a7+a8=240．【解答】解：由等比数列的性质可得：a3+a4=（a1+a2）q2，∵a1+a2=30，a3+a4=60，∴q2=2，∴q6=（q2）3=8，则a7+a8=（a1+a2）q6=30×8=240．故答案为：24016．（5分）O是平面上一定点，△ABC中AB=AC，一动点P满足：=+λ（+），λ∈（0，+∞），则直线AP通过△ABC的①②③④（请在横线上填入正确的编号）①外心②内心③重心④垂心．【解答】解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，由向量的运算法则可得，可得=2，可得A、P、D三点共线，又AB=AC，所以点P一定过△ABC的重心、外心、内心、垂心，答案为：①②③④．三、解答题（要求在答题卡上相应题号下写出解答过程，第17～22题每小题12分，22题10分，共70分）.17．（12分）已知如图是一个空间几何体的三视图．（1）该空间几何体是如何构成的；（2）求该几何体的表面积．【解答】解：（1）这个空间几何体的下半部分是一个底面边长为2正方形，高为1长方体…．（2分）上半部分是一个底面边长为2正方形高为1四棱锥…．（4分）（2）由题意可知，该几何体是由长方体ABCD﹣A'B'C'D'，P﹣A'B'C'D'AB=AD=2，AA'=1，PO'=1，A'B'⊥PQ，PQ=，S=（A'B'+B'C'+C'D'+D'A'）PQ+（A'B'+B'C'+C'D'+D'A'）AA'+AB•AD=4+12．18．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1与a4的等比中项是4，a2和a3的等差中项为6，数列{b n}满足b n=log2a n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和．【解答】解：（1）∵a1与a4的等比中项是4，a2和a3的等差中项为6，∴解得或由公比q＞1，可得a2=4，a3=8，则q=2．故数列{a n}的通项公式为a n=a2q n﹣2=2n．（2）b n=log2a n=n数列{b n}是首项为1，公差为1 的等差数列．令{b n}的前n项和为s n．．19．（12分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}（a，b，c∈R）（1）求a，b的值；（2）解关于x不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【解答】解：（1）不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，∴方程ax2﹣3x+2=0的实数根为1和b，由根与系数的关系知，，解得a=1，b=2；（2）由（1）知，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0为x2﹣（c+2）x+2c＜0，即（x﹣c）（x﹣2）＜0，则不等式对应方程的实数根为c和2，当c=2时，不等式化为（x﹣2）2＜0，解集为∅；当c＞2时，不等式的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式的解集为{x|c＜x＜2}．20．（12分）已知锐角△ABC中，三个内角为A，B，C，两向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（sinA﹣cosA，1+sinA），若与是共线向量．（1）求∠A的大小；（2）当函数y=2sin2B+cos（）取最大值时，求角B的大小．【解答】解：（1）∵向量=（2﹣2sinA，cosA+sinA），=（sinA﹣cosA，1+sinA），若与是共线向量，∴=，即2（1﹣sinA）（1+sinA）=（sinA﹣cosA）（sinA+cosA），整理得：2（1﹣sin2A）=sin2A﹣cos2A，即cos2A=，∵A为锐角，∴cosA=，即A=60°；（2）函数y=2×+cos（）=1﹣cos2B+cos2B+sin2B=sin2B ﹣cos2B+1=sin（2B﹣30°）+1，当2B﹣30°=90°，即B=60°时，函数y取得最大值为2．21．（12分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，cosC=．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×=，由正弦定理=，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得：d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200[37（t﹣）2+]，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．22．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）证明：．【解答】解：（I）∵a n=2a n+1（n∈N*），∴a n+1+1=2（a n+1），+1∴{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n+1=2n．即a n=2n﹣1（n∈N*）．（II）证明：∵，∴．∵，∴，∴．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。