多边形及其内角和课件

【解析】设∠B，∠C,∠D的度数分别是3x°,4x°,5x°，
由四边形的内角和等于360°可得： 120 + 3x + 4x + 5x = 360，
12x = 240， x=20，
∴ 3x = 60， 4x = 80， 5x = 100. 答：∠B,∠C，∠D的度数分别为60°,80°,100°.
等边三角形
正方形
正五边形
正六边形
在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形
叫做正多边形.
① 多边形的边都相等，它的内角一定相等吗？ ② 多边形的内角都相等，它的边一定相等吗？
菱形
长方形
2. 已知一个多边形各个内角都相等，都等 于150°，求这个多边形的边数. 解：设此多边形的边数为n，根据题意，得
（ n－ 2） · 180°＝n · 150
A
顶点 可表示为： B 五边形ABCDE或五边形DCBAE
E
边
D C 内角 ：多边形相邻两边组成的角
对角线
读出图中所有的对角线 A E
B
C 对角线——— 连接多边形不相邻的两个顶点的线段.
D 对角线
动手操作，探究新知
D A B A
E
B
C

C
D
n边形有几个顶点、几条边、几个内角？ n 个顶点，n 条边，n 个内角
【跟踪训练】
1.十二边形的内角和是 1 800° . 180°
2.一个多边形当边数增加1时，它的内角和增加
3.一个多边形的内角和是720°，则此多边形共有 内角.
.
个
六
4. 如果一个多边形的内角和是1 440°，那么此多边形是
十
边形.
4.在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B:∠C:∠D =3:4:5，求∠B，∠C，∠D的度数.
A
D C
动手操作，探究新知
探究 类比前面的过程，你能探索五边形的内角和 吗？六边形呢？ 如图，从五边形的一个顶点 出发，可以作 2 条对角线，它 们将五边形分为____ 3 个三角形， 五边形的内角和等于 180°× 3 = 540 °． B A
E D C
动手操作，探究新知
如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____ 3 条 对角线，它们将六边形分为_____ 4 个三角形，六边形的 4 720 °． 内角和等于180°×____=_______ A F E B C
一个有信念者所开发出的力量，大于
99个只有兴趣者。
画出多边形中从一个顶点出发的对角线，写出它的条数. 1 0
2
3
5
你能写出每个图形中对角线的总条数吗？如果不能， 请画出所有对角线. 0 2
5
太难画了！
9
你能告诉我二十边形的对角线的总条数吗？五 十边形呢？一百边形呢？n边形呢？
n边形是由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次
（也称为多边形） 连接组成的平面图形。
知识回顾，导入新知
多边形的定义： 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图 形叫做多边形.
动手操作，探究新知
四边形 凸边形
五边形
四边形
凹边形
画出多边形的任何一条边所在的直线，整个多边形都 在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形
· · · · · ·
n 边形
· · · · · ·
· · · · · ·
n -3
· · · · · ·
n -2
· · · · · ·
（ n -2 ）· 180º
归纳总结，获得新知
思考 你能从四边形、五边形、六边形的内角和的 研究过程获得启发，发现多边形的内角和与边数的关系 吗？能证明你发现的结论吗？ 从n 边形的一个顶点出发，可以作（n -3） 条对角 线，它们将n 边形分为（n -2）个三角形，这（n -2） 个三角形的内角和就是n 边形的内角和，所以，n 边形 的内角和等于 （n -2）×180° ．
11.3
多边形及其内角和
图中有你认识的多边形吗？
知识回顾，导入新知
A
三角形是由三条不在同一直线上的 线段首尾顺次连接组成的平面图形。 点A、点B、点C是△ABC的顶点。
B
⌒
C
∠A、∠B、∠C是△ABC的内角。 线段AB、BC、AC是△ABC的边。
知识回顾，导入新知
三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次 （也叫三边形） 连接组成的平面图形。 四边形是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次 连接组成的平面图形。 五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次 连接组成的平面图形。
150° 2x° 120°
140°
x° (1) 80° E x° x° (2) D 150° 60° C 75° (3) x° 135° A B (4) AB∥CD x°
120°
动脑思考，例题解析
例1 填空： （1）七边形的内角和为 900 度． （2）已知一个多边形的内角和为1 080°，则它的边数 8 ． 为______ （3）从一个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边 形分成7个三角形 ， 9 边形,它的内角和是_____ 这个多边形是___ 1 260度.
O
A
B D
E
C
4 × 180°-180 ° =540°
【例题】
【例】已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°， D B
求∠B+∠D.
A
解:四边形的内角和为:(4-2) ×180 =360°， ∠A+∠C=180°， 所以∠B+∠D= 360°- (∠A+∠C)=180°.
练习：
求下列图形中x 的值.
解得 n = 12 则这个多边形的边数为12条
智慧小屋 动动脑筋？
有一张长方形的桌面，它的 四个内角和为360°,现在锯 掉它的一个角，剩下残余桌 面所有的内角和是多少？有 几种情况？
你能行
• 小明在计算某个多边形的内角和时，由于 粗心他漏掉一个内角，求得的内角和 1680° ，你能否求得正确结果呢？
D
归纳总结，梳理新知
边数 三角形 图形 从多边形的一个顶点 引出的对角线条数 分割出三角 形的个数 多边形内角和
3 -3 = 0
4 -3 = 1 5 -3 = 2
3 -2 = 1
4 -2 = 2 5 -2 = 3
180º
360º 540º
四边形
五边形 六边形
6 -3 = 3
6 -2 = 4
720º
三角形内角和是多少度?
正方形、长方形的内角和是多少度？ 任意四边形的内角和是多少度? 能否利用三角形知识求出四边形的内 角和呢？
• 方法一（拼角法）
• 方法二（测量法）
动手操作，探究新知
探究：你能你的结论吗？ 从四边形的一个顶点出发， 1 条对角线，它们将 可以作_____ 2 四边形分为 个三角形， 四边形的内角和等于 2 360 °． B 180°×____=
动手操作，探究新知
D C E A B A B D F E D C B
C A
多了什么？如何处理？ 这种分割方式，将多边形分成n-1个三角形， 故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边 上一点周围所形成的平角不是多边形的内角， 因此n边形的内角和为 （n-1）×180 °- 180 °= (n-2)×180 °
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎样得到多边形内角和公式的？ （3）在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到 什么作用？
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.n边形内角和为(n－2)×180°；n边形的外角和等于360°.
1、探索了n边形的内角和公式（n一2）· 180°。 2、未知的多边形内角和转化为已知的三角形内角和。 3、多边形的内角和公式的应用：（1）已知边数如何求内角和； （2）已知内角和如何求边数。 4.在四边形中，一组角互补，另一组角也互补。
n边形内角和=(n－2)×180°
A
G
F B
C D
E
动手操作，探究新知
你还有其他的方法求得多边形的 内角和吗？？？
D C E A B A B D F C A B C E
D
动手操作，探究新知
D C E D C A C B
E
F
D
A
B
A
B
多了什么？如何处理？ 该图中n边形共有n个三角形，故所有三角形 内角和为n×180 °，但每个图中都有一个以红 圈圈住的点，它是一个圆周角360 °，因此n边 形的内角和为 n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °