上海交大附中2018届高三上学期开学考试数学试题
2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷含参考答案
2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为．4．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为厘米．5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若, 则f（a+4）＝．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为．10．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z216．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．20．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1, a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．2018年上海市交大附中高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12小题, 1-6题每题4分, 7～12题每题5分, 满分54分）1．（4分）函数f（x）＝的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．【解答】解：∵∴∴﹣1＜x≤1且x≠0,∴f（x）的定义域为（﹣1, 0）∪（0, 1]．故答案为：（﹣1, 0）∪（0, 1]．2．（4分）双曲线3x2﹣y2＝12的两渐近线的夹角大小为60°．【解答】解：由双曲线3x2﹣y2＝12, 可知双曲线的两条渐近线方程为y＝±x, ∴两条渐近线的倾斜角分别为60°, 120°,∴双曲线3x2﹣y2＝12的两条渐近线的夹角是60°,故答案为：60°．3．（4分）用行列式解线性方程组, 则D y的值为﹣9．【解答】解：行列式解线性方程组, 则D y＝＝2×（﹣1）﹣7×1＝﹣9,故答案为：﹣94．（4分）湖面上浮着一个球, 湖水结冰后将球取出, 冰上留下一个直径为24厘米, 深为8厘米的空穴, 则这个球的半径为13厘米．【解答】解：设球的半径为Rcm,由将球取出, 扭留下空穴的直径为24cm, 深8cm则截面圆的半径r＝12cm, 球心距d＝（R﹣8）cm,由R2＝r2+d2得：R2＝144+（R﹣8）2,即208﹣16R＝0解得R＝13故答案为：13cm5．（4分）直线2x+y﹣4＝0经过抛物线y2＝2px的焦点, 则抛物线的准线方程是x＝﹣2．【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（, 0）,又焦点在直线2x+y﹣4＝0上,∴p﹣4＝0,解得p＝4,则抛物线的准线方程是：x＝﹣2．故答案为：x＝﹣2．6．（4分）已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0, 0＜φ≤）的部分图象如图所示, 则点P （ω, φ）的坐标为（2, ）．【解答】解：∵T═﹣＝, ω＞0,∴T＝＝π,∴ω＝2；又曲线过（, 0）且为单调递减区间上的零点,∴ω+φ＝π+2kπ（k∈Z）,∴φ＝+2kπ（k∈Z）, 而0＜φ≤,∴φ＝,∴点P（ω, φ）的坐标为（2, ）．故答案为：（2, ）．7．（5分）设函数f（x）＝的反函数为f﹣1（x）, 若,则f（a+4）＝﹣2．【解答】解：∵,∴f（a）＝．当x≥6时, f（x）＝﹣log3（x+1）≤﹣log37＜0, 不符合条件, 舍去；当x＜6时, f（x）＝3x﹣6, 令＝3﹣2, ∴a﹣6＝﹣2, 解得a＝4, 满足条件．∴f（8）＝﹣log39＝﹣2．故答案为：﹣2．8．（5分）二项展开式（2x+3）7中, 在所有的项的系数、所有的二项式系数中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为．【解答】解：二项展开式（2x+3）7中, 所有的项的系数为•3r•27﹣r, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,即所有的项的系数共有8个, 其中, r＝7时为奇数, 其余都为偶数．有的二项式系数为, 其中, r＝0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 共有8个, 都是奇数．在所有的项的系数、所有的二项式系数中, 共有9个奇数, 7个偶数, 从中随机选取一个, 恰好为奇数的概率为＝,故答案为：．9．（5分）在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域的面积为33．【解答】解：在平面直角坐标系xOy内, 曲线|x+1|+|x﹣3|+|y|＝7所围成的区域如下图所示：其面积为：2××6×+4×6＝33,故答案为：3310．（5分）已知梯形ABCD中, AD＝DC＝CB＝AB, P是BC边上一点, 且＝x+y, 当P在BC边上运动时, x+y的最大值是．【解答】解：设AB的中点为E, 则由题意可得△BCE为等边三角形, 且＝﹣＝﹣,再根据、共线, 可得＝λ＝λ（﹣）, λ∈[0, 1],∴＝+＝（1﹣）+λ．又＝x+y, ∴, ∴x+y＝1﹣+λ＝1+≤1+＝,故x+y的最大值是,故答案为：．11．（5分）求方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0在x∈[0, 2π]的解集{, , π}．【解答】解：方程2sin x﹣sec x+tan x﹣1＝0⇒．⇒2sin x cos x﹣1+sin x﹣cos x＝0．（cos x≠0）⇒sin x﹣cos x＝（sin x﹣cos x）2, （cos x≠0）．⇒sin x﹣cos x＝0或sin x﹣cos x＝1⇒tan x＝1⇒或cos x＝﹣1．x∈[0, 2π]∴x＝, , π．故答案为：{, , π}．12．（5分）已知底面为正方形且各侧棱长均相等的四棱锥V﹣ABCD可绕着AB任意旋转, AB⊂平面α, M是CD的中点, AB＝2, VA＝, 点V在平面α上的射影点为O, 则|OM|的最大值为1+．【解答】解：设∠VNO＝θ,则∵N、M分别是AB、CD的中点, AB＝2, VA＝,∴AN＝1, VN＝2,MN＝BC＝AB＝2, VN＝VM＝2,则三角形VNM为正三角形, 则∠MNV＝60°,则ON＝2cosθ,在三角形OMN中,OM2＝MN2+ON2﹣2MN•ON cos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣2×2×2cosθcos（60°+θ）＝4+4cos2θ﹣8cosθ（cosθ﹣sinθ）＝4+4cos2θ﹣4cos2θ+4sinθcosθ＝4+2sin2θ＝（2,∴要使OM最大, 则只需要sin2θ＝1, 即2θ＝90°即可, 则θ＝45°,此时OM＝+1．故答案为：1+．二、选择题（本大题共4道小题, 每小题只有一个正确选项, 答对得5分, 满分20分）13．（5分）下列以t为参数的方程所表示的曲线中, 与曲线xy＝1完全一致的是（）A．B．C．D．【解答】解：在A中, t＞0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故A 错误；在B中, t≠0, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故B正确；在C中, t的终边不能在y轴上, 在xy＝1时, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故C错误；在D中, t的终边不能在y轴上, x, y∈（﹣∞, 0）∪（0, +∞）, 故D错误．故选：B．14．（5分）已知无穷数列{a n}是公比为q的等比数列, S n为其前n项和, 则“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：∵{a n}是公比为q的等比数列, 当0＜|q|＜1时, S n＝,|S n|＝||,即“存在M＞||, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分条件,当q＝﹣1时, |S n|＝即取M＝2|a1|即可,即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的不必要条件, 综上可知：即“0＜|q|＜1”是“存在M＞0, 使得|S n|＜M对一切n∈N*恒成立”的充分不必要条件．故选：A．15．（5分）已知z均为复数, 则下列命题不正确的是（）A．若z＝, 则z为实数B．若z2＜0, 则z为纯虚数C．若|z+1|＝|z﹣1|, 则z为纯虚数D．若z3＝1, 则＝z2【解答】解：对于A, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 由, 可得a+bi＝a﹣bi, 则2bi＝0, b＝0, ∴z为实数, 故A正确；对于B, 设z＝a+bi（a, b∈R）, 则z2＝a2+b2+2abi＜0, ∵z2＜0, ∴a＝0, 则z纯虚数, 故B正确；对于C, 当z＝0时, 有|z+1|＝|z﹣1|, 故C错误；对于D, 由z3＝1, 得z3﹣1＝0, 即（z﹣1）（z2+z+1）＝0, 可得z＝1或z＝, ∴, 故D正确．∴错误的是C．故选：C．16．（5分）直线l在平面α内, 直线m平行于平面α, 且与直线l异面, 动点P在平面α上, 且到直线l、m距离相等, 则点P的轨迹为（）A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线【解答】解：设直线m在平面α的射影为直线n, 则l与n相交,不妨设l与n垂直, 设直线m与平面α的距离为d,在平面α内, 以l, n为x轴, y轴建立平面坐标系,则P到直线l的距离为|y|, P到直线n的距离为|x|,∴P到直线m的距离为,∴|y|＝, 即y2﹣x2＝d2,∴P点轨迹为双曲线．故选：D．三、解答题（本大题共5道小题, 每一问均需写出必要步骤, 满分共76分）17．（12分）如图, 在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中, AA1＝A1B1＝4, D、E分别为AA1与A1B1的中点．（1）求异面直线C1D与BE所成角的大小；（2）求四面体BDEC1的体积．【解答】解：（1）以C为原点, 在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴,以CB为y轴, CC1为z轴, 建立空间直角坐标系,则C1（0, 0, 4）, D（2, 2, 2）, B（0, 4, 0）,A1（2, 2, 4）, B1（0, 4, 4）, E（）,＝（2, 2, ﹣2）, ＝（）,设异面直线C1D与BE所成角的大小为θ,则cosθ＝＝＝,∴θ＝arccos．∴异面直线C1D与BE所成角的大小为arccos．（2）点C1到平面BDE的距离d＝＝2,S△BDE＝﹣﹣﹣S△ADB＝＝6,∴四面体BDEC1的体积：V＝＝＝4．18．（14分）某工厂在制造产品时需要用到长度为698m的A型和长度为518m的B型两种钢管．工厂利用长度为4000m的钢管原材料, 裁剪成若干A型和B型钢管．假设裁剪时损耗忽略不计, 裁剪后所剩废料与原材料的百分比称为废料率．（1）有两种裁剪方案的废料率小于4.5%, 请说明这两种方案并计算它们的废料率；（2）工厂现有100根原材料钢管, 一根A型和一根B型钢管为一套毛胚, 按（1）中的方案裁剪, 最多可裁剪多少套毛胚？最终的废料率为多少？（1）设每根原材料可裁剪a根A型和b根B型钢管, 则, 【解答】解：方案一：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝0.35%,方案二：, 废料率最小为（1﹣）×100%＝4.3%,（2）设用方案一裁剪x根原材料, 用方案二裁剪y根原材料, 共裁剪得z套毛胚, 则, z＝2x+4y,得, z max＝320套,废料率为＝2.72%,答：最多可裁剪320套毛胚, 最终的废料率为2.72%19．（16分）设函数f（x）＝x2+|x﹣a|（x∈R, a∈R）．（1）讨论f（x）的奇偶性；（2）当a＝1时, 求f（x）的单调区间；（3）若f（x）＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时, f（x）为偶函数；当a≠0时, f（x）为非奇非偶函数（2）a＝1时, f（x）＝x2+|x﹣1|＝＝∴函数的单调减区间为（﹣∞, ）, 函数的单调增区间为（, +∞）（3）f（x）＝x2+|x﹣a|＜10对x∈（﹣1, 3）恒成立, 等价于x2﹣10＜x﹣a＜10﹣x2, 等价于对x∈（﹣1, 3）恒成立∴2≤a≤420．（16分）已知椭圆+y2＝1, A是它的上顶点, 点P n, Q n（n∈N*）各不相同且均在椭圆上（1）若P1, Q1恰为椭圆长轴的两个端点, 求△AP1Q1的面积；（2）若•＝0, 求证：直线P n Q n过一定点；（3）若＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n, 求R n的值【解答】解：（1）椭圆+y2＝1, A（0, 1）, P1（﹣2, 0）, Q1（2, 0）,△AP1Q1的面积为×1×4＝2；（2）证明：设直线AP n的方程为y＝kx+1,由•＝0, 即⊥,可得直线AQ n的方程为y＝﹣x+1,由y＝kx+1和x2+4y2＝4联立, 可得（1+4k2）x2+8kx＝0,解得x1＝﹣, x2＝0,可得P n（﹣, ）,将k换为﹣可得Q n（, ）,直线P n Q n的斜率为＝,直线P n Q n的方程为y﹣＝（x+）,化简可得y＝x﹣,则直线P n Q n过一定点（0, ﹣）；（3）＝＝1﹣, △AP n Q n的外接圆半径为R n,由椭圆方程可得＝﹣, ＝,△AP n Q n为等腰三角形, △AP n Q n的外接圆圆心在y轴上,设为（0, t）, （0＜t＜1）,由圆的定义可得1﹣t＝,化为1﹣t＝4﹣,可得R n＝4﹣,可得R n＝（4﹣）＝4﹣0＝4．21．（18分）对任意正整数m, 若存在数列a1, a2, ……, a k, 满足m＝a1•1！+a2•2！+a3•3！+L+a k•k！, 其中a1∈N, a1≤i, a k＞0, i＝1, 2, ……, k, 则称数列a1,a2, ……, a k为正整数m的生成数列, 记为A[m]．（1）写出2018的生成数列A[2018]；（2）求证：对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）求生成数列A[2025！﹣1949！]的所有项的和．【解答】（1）解：2018＝1×2!+4×4!+4×5!+2×6!,故数列A[2018]为a1＝0, a2＝1, a3＝0, a4＝4, a5＝4, a6＝2；（2）证明：对于恰有k项生成数列, 其表示的正整数最小值为k!,表示的正整数最大值为1•1!+2•2!+3•3!+…+k•k!＝（k+1）!﹣1,即k项的不同生成数列共有2•3•4…k•k＝k•k!＝（k+1）!﹣k!,而满足k!≤n≤（k+1）!﹣1的正整数n恰好有（k+1）!﹣k!个．下面只需证明两个不同的k项生成数列表示的正整数不同．设生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k表示的数为A和B, 若a k＜b k,则a1•1!+a2•2!+…+a k•k!≤1•1!+2•2!+…+（k﹣1）•（k﹣1）!+a k•k!＝（a k+1）•k!﹣1＜b k•k!．即A＜B；同理若有a k＝b k, a k﹣1＜b k﹣1, 也可到A＜B；依此类推可得A＝B的充要条件是生成数列a1, a2, a3, …, a k和b1, b2, b3, …, b k相同．综上可得, 对任意正整数m, 存在唯一的生成数列A[m]；（3）解：∵（k+1）!﹣k!＝k•k!,∴2025！﹣1949！＝1949•1949!+1950•1950!+…+2024•2024!,即数列A[2025！﹣1949！]的通项为：．故所有项的和为：＝150974．。
上海市上海交通大学附属中学2018届高三上学期开学考试数学试题Word版含答案
交大附中高三开学考2017.9一. 填空题1. 若集合{||2|3}A x x =-<，集合3{|0}x B x x-=>，则A B = 2. 一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是 3. 已知i 是虚数单位，则2-的平方根是 4. 函数2()1f x x =+(0)x <的反函数是5. 设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是6. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，i P (1,2,,16)i = 是上、下底面上其余十六个点，则i AB AP ⋅(1,2,,16)i = 的不同值的个数为 7. 数列{}n a 满足12n n n a a a --=-(3)n ≥，15a =，其 前n 项和记为n S ，若89S =，那么100S = 8. 若n a 是(2)n x +*(,2,)n n x ∈≥∈N R 展开式中2x项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+=9. 设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕπ<，若5()28f π=， ()08f π11=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=10. 已知函数||2,1()2,1x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩，设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上 恒成立，则a 的取值范围是 11. 函数1()f x x=(0)x >绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共 得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是 12. 已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为二. 选择题13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ ）A.0543- B. 1024C. 0543D. 0543-14. “要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ ） A. 如果()0f x ≥，则[,]x a b ∉ B. 如果[,]x a b ∈，则()0f x < C. 如果()0f x <，则[,]x a b ∈ D. 如果[,]x a b ∉，则()0f x ≥ 15. 参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >，t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ ）A. 图像关于原点对称B. 图像关于直线x π=对称C. 周期为2a π的周期函数D. 周期为2aπ的周期函数 16. 已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A 、B 两 点，则22||+||PA PB 的值为（ ） A. 32149 B.32449 C. 32749 D. 33049三. 解答题17. 如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB =，1AD =，11A A =. （1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.18. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1B C ⋅=，3a =，求ABC ∆的周长.19. （1）请根据对数函数()log a f x x =(1)a >来指出函数()log x g x a =(1)a >的基本性 质（结论不要求证明），并画出图像；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明. 对数可以将大数之间的乘 除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log a a a x y x y ⋅=+(0,1,,0)a a x y >≠>； （3） 2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ” 进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能. 围棋复杂度的上限约为3613M =，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为8010N =. 甲、乙两个同学都估算 了M N的近似值，甲认为是7310，乙认为是9310. 现有两种定义： ① 若实数x 、y 满足||||x m y m ->-，则称y 比x 接近m ；② 若实数x 、y 、m ，且10sx =，10t y =，10um =，满足||||s u t u ->-，则称y 比x 接近m ；请你任选取其中一种．．．．．．．定义来判断哪个同学的近似值更接近MN，并说明理由20. 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（n ∈*N ），将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ；将集合**{|,}{|,}n n x x a n x x b n =∈=∈N N 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d . （1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{}n c 的通项公式()f n ；（3）设数列{}n c 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式()g n .21. 如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与1C 、2C 都有公共点，则称P 为“12C C -型点”. （1）证明：1C 的左焦点是“12C C -型点”；（2）设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“12C C -型点”； （3）求证：{(,)|||||1}x y x y +<内的点都不是“12C C -型点”.2018届交大附中高三第一学期数学摸底测试 时间：120分钟 满分：150分 姓名：__________命题：季风、陈云鹤 审题：王敏杰一、填空题（前6题，每题4分；后6题，每题5分，共54分） 1、若集合{}23A x x =-<，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=03x x xB ，则A B ⋃=____R_______. 2、一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a 为半径的圆，则该几何体的体积是_____343a π_____.3、已知i 是虚数单位，则-24、函数2()1(0)fx x x =+<的反函数是__1)y x =>____________.5、设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+ 的最小值是_____-15__________.6、如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,16)i P i = 是上、下底面上其余十六个点，则(1,2,,16)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为______2______ .8167、数列{}n a 满足12=(3)n n n a a a n ---≥，15a =，其前n 项和记为n S ，若89S =，那么100S =__3____.8、若n a 是()()*2,2,nx n N n x R +∈≥∈展开式中2x 项的系数，则2323222lim()nn n a a a →∞++⋅⋅⋅+=____8_____. 9、设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则ϕ=___12π____. 10、已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是_____[2,2]-_______. 11、函数1()(0)f x x x=>绕原点逆时针旋转，每旋转15度得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图像的概率是____1592______. 12、已知两正实数a 、b ，满足4a b +=，则2211a ba b +++的最大值为__________. 二、选择题（每题5分，共20分） 13、关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中行列式x D 为（ C ）（A ）0543- （B ） 1024 （C ）0543 （D ） 0543-14、“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”等价于（ D ）（A ）如果()0f x ≥，则[,]x a b ∉ （B ）如果[,]x a b ∈，则()0f x < （C ）如果()0f x <，则[,]x a b ∈ （D ）如果[,]x a b ∉，则()0f x ≥15、参数方程(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩（0a >， t 为参数）所表示的函数()y f x =是（ C ）（A ）图像关于原点对称（B ）图像关于直线x π=对称 （C ）周期为2a π的周期函数（D ）周期为2aπ的周期函数 16、已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点(1, 0)P ，直线l 交椭圆C 于A B 、两点，则22||+||PA PB 的值为（ B ）（A ）32149 （B ）32449 （C ）32749 （D ） 33049三、解答题（14+14+14+16+18，共76分）17（6+8）、如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1211AB AD A A ===，，， （1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ；（2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.解：因为1111ABCD A BC D -为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故11ABC D 为平行四边形，故11//BC AD ， ----------4分显然B 不在平面1D AC 上，于是直线1BC 平行于平面1D AC ， --------2分（2）直线1BC 到平面1D AC 的距离即为点B 到平面1D AC 的距离设为h 考虑三棱锥ABCD 1的体积，以面ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=---------3分而1AD C ∆中，11AC DC AD ===132AD C S ∆=-----------------2分C 11所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线1BC 到平面1D AC 的距离为23．---------3分18（6+8）、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ⋅；（2）若6cos cos 1,3B C a ⋅==，求ABC ∆的周长.解：（1）由题意可得21sin 23sin ABCa S bc A A∆==，化简可得2223sin a bc A =，---3分 根据正弦定理化简可得：2222sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B =⇒=.--------3分 （2）由2sin sin 13cos cos()sin sin cos cos 123cos cos 6B C A B C B C B C A B C π⎧=⎪⎪⇒=-+=-=⇒=⎨⎪=⎪⎩--3分 由余弦定理22221cos ()9322b c a A b c bc bc +-==⇒+-=------------------2分 又22=4R sin sin ()sin sin 8sin a bc B c B c A==所以b c +=分故而三角形的周长为分 19（4+4+6）、（1）请根据对数函数()log (1)a f x x a =>来指出函数()log (1)x g x a a =>的基本性质（结论不要求证明），并画出图像.（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍增”的发明．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算， 请证明：log ()log log (0,1,,0)a a a x y x y a a x y ⋅=+>≠> （3） 2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind 公司开发的程序“AlphaGo ”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能.围棋复杂度的上限约为M=3361，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为N=1080. 甲、乙两个同学都估算了M N的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093.现有两种定义：(I): 若实数,x y 满足m y m x ->-，则称y 比x 接近m .(II): 若实数,,x y m 且10,10,10s t u x y m ===，满足s u t u ->-，则称y 比x 接近m .请你任选取．．．其中一种．．．．定义来判断哪个同学的近似值更接近MN ，并说明理由. （1） 解：1()log log x a g x a x==，基本性质为： 定义域：(0,1)(1,)+∞ ；值域：(-,0)(0,)∞+∞ ；单调减区间(0,1)(1,)+∞和（判断奇偶性、周期性不予给分）-------------2分（ 渐近线画出和原点挖去，需要都画好才能给满分）-------------------2分（2）证明： 设log ,log ,log ()N M N M N M a a a N x M y x a y a x y a a a N M x y +==⇒==⇒⋅==⇒+=⋅即log ()log log a a a x y x y ⋅=+----------------------------------------------4分证明完毕 （3）采用定义（I ）：3617393803=lg 361lg38092.24101010MM MN N N ⇒=⋅-≈⇒<<-----------------------2分而361173361173361173153lg(23)lg2361lg3172.54173lg1023102310+10⋅=+⋅≈<=⇒⋅<⇒⋅<-------2分36136136193737393808080333210+101010101010⇒⋅<⇒-<- --------------------------1分所以甲同学的近似值更接近M N----------------------------1分采用定义（II ）：361803=lg 361lg38092.2410MMN N ⇒=⋅-≈-------------------------------------2分甲的估值107373lg1073⇒=，乙的估值109393lg1093⇒=----------------------------2分因为7393lg10-lglg10-lgM M NN>，------------------------------------------1分所以乙同学的近似值更接近MN -------------------------------------------------1分20（4+6+6）、已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*n N ∈），将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n c c c c ．将集合**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,n d d d d ．（1）求数列{}n d 的通项公式()h n ； （2）求数列{c }n 的通项公式()f n ；（3）设数列{c }n 的前n 项和为n S ，求数列{}n S 的通项公式()g n .解：（1）设213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即213n n a b --=-------------------2分假设26627n k a n b k =+==+，等式左侧为偶数，右侧为奇数，矛盾， 2{}n n a b ∉1分所以，21()=63n h n a n -=+ -----------------------------------------------1分 （2）21323123n n n n n a b b a b ---=<<<∴4321423141243,,,n n n n n n n nc a c b c a c b -----====--------------------------------2分∴ 数列{}n c 的通项公式*63(43)65(42)(),66(41)67(4)k n k k n k f n k N k n k k n k +=-⎧⎪+=-⎪=∈⎨+=-⎪⎪+=⎩.-------------------4分等价形式：*36(21)()65(42),67(4)k n k f n k n k k N k n k +=-⎧⎪=+=-∈⎨⎪+=⎩，*315(21)2316()(42),2314(4)2n n k n f n n k k N n n k +⎧=-⎪⎪+⎪==-∈⎨⎪+⎪=⎪⎩（3）令4-34-24-14+++n n n n n e c c c c =，由（2）得知：{}n e 是等差数列---------------1分 ∴①当*4()n k k N =∈时，22412333=12334n kk n nS S e e e k k +=++⋅⋅⋅+=+=②当*4-1()n k k N =∈时，2113332=4n n n n n S S c ++++-=③当*4-2()n k k N =∈时，22213332=4n n n n n n S S c c +++++--=④当*4-3()n k k N =∈时，23321333=4n n n n n n nS S c c c +++++---=----------4分∴2*2*33344-3()4()=33324-14-2()4n nn k k k N g n n n n k k k N ⎧+=∈⎪⎪⎨++⎪=∈⎪⎩，，，，--------------------1分等价形式：22*2212334122774-1()=,1221134-21215184-3k k n k k k n k g n k N k k n k k k n k ⎧+=⎪+-=⎪∈⎨+-=⎪⎪+-=⎩，，，，21（4+6+8）、如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”． (1) 证明：1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证：||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”；(3)求证：(){},1x y x y +<内的点都不是“C 1—C 2型点”． 解：（1）C 1的左焦点为(F ，-----------------1分过F的直线x =C 1交于(，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =-------------------------3分（2） 直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kx k x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >；-------------------------3分直线y kx =与C 1有交点，则2222(12)222y kxk x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩， 若方程组有解，则必须212k <------------------------3分故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”． （3）以1x y +=为边界的正方形区域记为Ω．1）若点P 在Ω的边界上，则该边所在直线与1C 相切，与2C 有公共部分，即Ω边界上的点都是“12C C -型点”；-------------------------1分2）设()00,P x y 是区域Ω内的点，即001x y +<，假设()00,P x y 是“12C C -型点”，则存在过点P 的直线l ：()00y y k x x -=-与1C 、2C 都有公共点．i ）若直线l 与2C 有公共点，直线l 的方程化为00y kx y kx =+-，假设1k ≤，则0000001kx y kx kx y kx x y x x +-≤++≤++<+，可知直线l 在2:1C y x =+之间，与2C 无公共点，这与“直线l 与2C 有公共点”矛盾，所以得到：与2C 有公共点的直线l 的斜率k 满足1k >．-------------------------2分ii ）假设l 与1C 也有公共点，则方程组002212y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨-=⎪⎩有实数解． 从方程组得()()()2220000124210k x k y kx x y kx ⎡⎤-----+=⎣⎦，()222222200000082128()1y kx y k x k y kx k k ⎡⎤∆=-++-=-+--⎣⎦．由1k >，001x y +< 因为()22000000000(1)(1)y kx y k x y k y k y k k y kx k -≤+⋅<+⋅-=+-<⇒-<所以，222008()+10y kx k k ⎡⎤∆=---<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”矛盾，于是可知P 不是“12C C -型点”．------------------------5分证明完毕另解：()222200008212y kx y k x k ∆=-++-令()()222000012f k x k kx y y =--+，因为001x y +<，所以01x <，即2010x -<．于是可知()f k 的图像是开口向下的抛物线，且对称轴方程为00201x y k x =-，因为()()()0000200011111x x x y x x x ⋅-<<--⋅+，所以()f k 在区间(),1-∞-上为增函数，在()1,+∞上为减函数． 因为()()2200001110f x y x y =--≤+-<，()()2200001110f x y x y -=+-≤+-<，所以对任意1k >，都有()0f k <，()2810f k k ⎡⎤∆=+-<⎣⎦，即直线l 与1C 没有公共点，与“直线l 与1C 有公共点”矛盾，于是可知P 不是“12C C -型点”．---------------------5分证明完毕。
上海交通大学附属中学2023届高三上学期开学考试数学试题(解析版)
（2）求证：当且仅当 时，函数 存 最小值.
（3）已知存在 ，使得 对一切 恒成立，求满足 的 的最小值.
【答案】（1） ，
（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据切点坐标和导数的几何意义可得出关于 、 、 的方程组，即可解得这三个未知数的值；
（2）对 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性，即可得出结论；
【答案】
【分析】求导后，代入 即可得到结果.
【详解】 ， ，
即小球在 时的瞬时速度为 .
故答案为： .
8.已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________________．
【答案】
【分析】由已知可得c=2，利用4=（m2+n）+（3m2﹣n），解得m2=1，又（m2+n）（3m2﹣n）＞0，从而可求n的取值范围．
【详解】原不等式等价于 ，两边平方得 ，
整理得 ，解得 ，故原不等式的解集为 .
故答案为： .
3.已知点 ，则 的单位向量为（用坐标表示）________
【答案】
【分析】由单位向量的定义求解即可
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 的单位向量为 ，
故答案为：
4.已知 ，若实数 满足 ，则 ________
【答案】 ##-0.2
由（2）可知，当且仅当 时，函数 存在最小值，且 ，
由已知 可得 ，则 ，
所以， ，
由题意可得 ，因为 ，可得 ，
令 ，可得 ，
令 ，其中 ，
，当且仅当t= 0.5时取等，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，所以， ，
所以，函数 在 上为增函数，
高三数学-【数学】上海交大附中2018届高三上学期期中考试19精品
2 sin( x 2
) ，若对任意 5
x
R ，都有 f (x1)
f ( x)
f ( x2 ) 成立，则 x1 x2
的最小值为
；2
8．将函数 y tan( 3x) 的图像上的各点经过怎样的平移 _________________ ，可以得到函 4
数 y tan3 x 的图像？ 向左平移 个单位 12
1 9．已知函数 y sin( x ) ( 0) 与直线 y 的交点中，距离最近的两点间距离为
1 23 1 32
和都是 12，所以， b1+b2+…＋b6=- 12+2 12- 3 12=-24 ．那么，在用 1，2，3，4， 2 1 3
5 形成的数阵中， b1+b2+…＋b120=
．
2 31 3 12
321
二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
A．－ 2 － 10； B．－ － 5； C． 2kπ－ 2 － 10（ k Z）； D． kπ－ － 5（ k Z）
3
3
3
3
17．若函数 y
2x 2x
1 的值域为 M ，则只能以 M 或 M 的子集为定义域的函数可以是（ 1
）
A． y lg 1 x ； B． y 1x
1 x ； C． y 1x
1x
出同时满足上述两个条件的一个函数解析式 ___________；
14．用 n 个不同的实数 a1， a2， … ， an 可得 n! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个
n!
行的数阵．
对第
i
行
ai1 ，ai2，┄，ain，记
上海市交通大学附属中学2018-2019学年高三上期末考试数学试题(简略答案)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷2019.1一、填空题1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.2.若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =______.3.函数()()4,43,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦______. 4.已知1sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______. 5.已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______.6.已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.7.已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______. 8.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.14.某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它的三视图，则货架上的红烧牛肉便面至少有A.8桶B.9桶C.10桶D.11桶15.已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是A.()()33f x f a a -≤+B.()()5f x f a a -≤+C.()()24f x f a a -≤+D.()()()231f x f a a -≤+ 16.若2a b c ===&&&，且0a b ⋅=&&，()()0a c b c --≤&&&&，则a b c +-&&&的取值范围是A.0,2⎡⎤⎣⎦B.[]0,2C.2⎡⎤⎣⎦D.2,2⎡⎤⎣⎦三、解答题17.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，已知()cos23cos 1A B C -+=.（1）求角A 的值；（2）若2a =，求ABC ∆周长的取值范围。
上海市2018-2019学年交大附中高三上期末数学期末试卷(详细答案)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷2019.1一、填空题1.已知集合{}02A x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =U ______.答案：{}20<<x x2. 若复数43z i =+，其中i 是虚数单位，则2z =_____. 答案：25解析：25;24722=+=z i z3. 函数()()4,43,4x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则()1f f -=⎡⎤⎣⎦______. 答案：1；解析：1)5()2()1(===-f f f4. 已知1sin 43πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为______.答案：31-； 解析：31)4(sin ))4(2sin()4cos(-=-=+-=+αππαππα 5. 已知数列{}n a 的前n 项和()2*2n S n n n N =+∈，数列{}n a 的通项公式为n a =______. 答案：12+n解析：12)1(2)1(2221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n6、已知实数x 、y 满足约束条件222441x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为______.答案：]6,1[ 解析：最大值在()2,0A 上取，最小值在()0,1B )1,0(上取得6. 已知函数()()sin 2cos2,,0f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图像关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______. 答案：π32 解析：)2sin()(22ϕ++=x b a x f ， ππϕπk +=+⨯262， ππϕk +=6，,33tan ==a b ϕ则20ax by ++=的倾斜角32,3tan παα=-=-=b a . 7. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的椎卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等长的正四棱柱分成三组，经90︒样卯起来，如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）______.答案：41π414414Sππ=⨯=.9、已知()()()()()2320121111n nnx x x x a a x a x a x n N*++++++++=++++∈L L且012126na a a a++++=L，那么n展开式中的常数项为_____答案：20-；解析：126)12(221)21(2222232=-=--=++++nnnΛ6=n，则常数为20)1()(3336-=-xxC10、已知正实数x y、满足2342xy x y++=，那么54xy x y++的最小值为____答案：55解析一：yxyxyxxyyxxy++=++++=++34233245)14(3342)2(yyyx-=-=+，2)14(3+-=yyx139221442)162(92)14(93≥-+++=+++--=++-=+yyyyyyyyyx5545≥++∴yxxy解析二：()()23423248xy x y x y++=⇒++=，()()245452x yx y+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭11、已知等边ABC ∆的边长为2，点P 在线段AC 上，若满足等式PA PB λ⋅=u u u r u u u r的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_____答案：]0,41(-解析：设)3,0(),0,1(),0,1(B C A -，)11)(0,(≤≤-x x Pλ=+=⋅x x PB PA )1(02=-+λx x 在]1,1[-上有两个根，则]0,41(-∈λ12、过直线:2l x y +=上任意点P 向圆22:1C x y +=作两条切线，切点分别为A B 、，线段AB 的中点为Q ，则点Q 到直线l 的距离的取值范围为_________答案：]2,22(解析：第一种方法：作l OC ⊥，θ=∠POC ，)2,0[πθ∈.θcos 2=PO ，θθθθcos 2cos 2cos 21cos 212222-=-=-==PO PO PO PA PQ点Q 到直线l 的距离为)2,22[2cos 22∈-θ 第二种方法：设),(00y x P ，则AB 方程为100=+y y x x ，OP 方程为x x y y 0=， ⎪⎩⎪⎨⎧==+x x y y y y x x 00001，则Q 坐标为),(02000200y x y y x x ++， A→ →PQABCOQ 到l的距离为22212224422222202002020202000-+-=-+-+=-++x x x x x y x y x 取值范围即为)2,22[二、选择题13.已知定义域为R 的函数()()(]23121,22,2,21,055x k x k k k N f x x x *⎧---∈-∈⎡⎤⎣⎦⎪=⎨⎪-≤⎩，则此函数图像上关于原点对称的点有（ ）A 、7对B 、8对C 、9对D 、以上都不对 答案：B解析：作出)(x f 的图像，右边是一个周期函数，为了找对称点，就是求5152+=x y 与)(x f 的右边的 图像的交点。
2017-2018年上海市交大附中高三下开学考
上海交大附中2017-2018学年第二学期高三数学摸底考试卷一、填空题（第1题至第6题，每题4分；第7题至12题，每题5分，共54分）1. 已知a 是实数，i 是虚数单位，若21(1)z a a i =-++是纯虚数，则a =____________．2. 已知二元一次方程组111222a x b y c a x b y c ì+=ïïíï+=ïî的增广矩阵是111113骣-÷ç÷ç÷ç÷桫，则此方程组的解是____________．3. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频数分布统计图如图所示，如果得分值的中位数为a ，众数为b ，平均数为c ，则a 、b 、c 中的最大者是____________．4. 命题：“若a 、b 、c 成等比数列，则2b ac =”及其逆命题、否命题、逆否命题（这四个命题）中正确的个数是____________．5. 已知正数a 、b 满足430a b +=，使得14a b+取最小值的实数对(,)a b 是____________． 6. 不等式10x x ->的解集为____________．7. 已知2(1)(1)(1)f x x x +=-?，则1(1)f x -+=____________．8. 在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 正半轴为始边的钝角a 的终边与圆22:4O x y +=交于点11(,)P x y ，点P 沿圆顺时针移动23p个单位弧长后到达点22(,)Q x y ，则12y y +的取值范围是____________．9. 已知三棱锥V ABC -，底面是边长为2的正三角形，VA ^底面ABC V ，2VA =，D 是VB 中点，则异面直线VC 、AD 所成角的大小为____________．（用反三角函数表示） 10. 如表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数，则112在这“等差数阵”中出现的次数为____________．11. 在平面直角坐标系xOy 中，设(1,1)A -，,B C 是函数1(0)y x x=>图像上的两点，且ABC V 为正三角形，则ABC V 的高为____________．12. 如图，平面上两点(0,1),(3,6)P Q ，在直线y x =上取两点,M N 使MN =，且使PM MN NQ ++的值取最小，则N 的坐标为____________．二、选择题（每题5分，共20分）13. 某电商设计了一种红色，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则它获奖的概率为（ ）A.38B.58C.49D.7914. 设,,l m n 表示三条直线，,,a b g 表示三个平面，给出下列四个命题： ①若,l m a a ^^，则//l m ；②若m b Ì，n 是l 在b 内的射影，m l ^，则m n ^； ③若,//m m n a Ì，则//n a ；④若,a g b g ^^，则//a b ，其中真命题为（ ） A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ①③④15. 在平面内，定点,,,A B C O 满足2OA OB OC ===uu r uu u r uuu r ，AC AB BC BA OB AC AB BC BA骣骣鼢珑鼢珑鼢珑-=?鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫桫uuu r uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu u r uu u r uu r 0=，动点P 满足1,AP PM MC ==uu u r uuu r uuu r ，则2BM uuu r 的最大值是（ ）A.434B.494C.374D.37216. 设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a --=+，4,2k a k Z p 刮且公差(1,0)d ?，若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是（ ）A. 3,22pp 轾犏犏臌B. 3,22pp 骣÷ç÷ç÷ç桫C. 7,24pp 轾犏犏臌D. 7,24pp 骣÷ç÷ç÷ç桫三、解答题17. （本题满分14分）已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为钝角三角形，角A所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABCV 的面积．18. （本题满分14分，第1小题6分，第2 小题8分）如图1，在高为2的梯形ABCD 中，//,2,5AB CD AB CD ==，过A 、B 分别作,AE CD BF CD ^^，垂足分别为E 、F ，已知1DE =，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得,//AF BD DE CF ^，得空间几何体ADE BCF -，如图2． （1）证明：//BE 面ACD ；（2）求三棱锥B ACD -的体积．19. （本题满分14分）某小区有一块三角形空地，如图ABC V ，其中180AC =米，90BC =米，90C ?o ，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在ABC V 内的点P 处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点D ，，然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ，在ADE V 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所，现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米，与BC 距离为100米，设DC d =米，试问d 取何值时，运动场所面积最大？20. （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知O 为坐标原点，圆22:(1)16M x y ++=，定点(1,0)F ，点N 是圆M 上一动点，线段NF 的垂直平分线交圆M 的半径MN 于点O ，点Q 的轨迹为E ． （1）求曲线E 的方程；（2）已知点P 是曲线E 上但不在坐标轴上的任意一点，曲线E 与y 轴的交点分别为1B 、2B ，某直线1B P 和2B P 分别与x 轴交于C 、D 两点，请问线段之积OC OD ×是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点C 坐标为(1,0)-，过点C 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点，求ABD V 面积的最大值．21. （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设()f x 是定义在[,]a b 上的函数，若存在(,)x a b Î，使得()f x 在[,]a x 单调递增，在[,]x b 上单调递减，则称()f x 为[,]a b 上的单峰函数，x 为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：b a -．（1）判断下列函数中，哪些是“[0,1]上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；2123241()2,()121,()log ,()sin 42f x x x f x x f x x f x x 骣÷ç=-=--=+=÷ç÷ç桫； （2）若函数3()(0)f x ax x a =+<是[1,2]上的单峰函数，求实数a 的取值范围； （3）若函数()f x 是区间[0,1]上的单峰函数，证明：对于任意的1212,(0,1),x x x x ?，若12()()f x f x ³，则2(0,)x 为含峰区间；若12()()f x f x £，则1(,1)x 为含峰区间；试问当12,x x 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．参考答案一、填空题 1. 12. 21x y ì=ïïíï=ïî3. c4. 2个5. 15,154骣÷ç÷ç÷ç桫 6. (0,1)(1,)+?U7. )2[0,)x -??8.9. 1arccos410. 711. 212. 99,44骣÷ç÷ç÷ç桫二、选择题 13. C 14. A 15. B 16. D三、解答题17. （1）,2pp 轹÷ê÷÷êøë； （2）4 18. （1）证明略； （2）2319. 6020. （1）22143x y +=； （2）定值为4； （3）9221. （1）①21()2f x x x =-是[0,1]上的单峰函数，峰点为14； ②2()121f x x =--不是[0,1]上的单峰函数； ③321()log 2f x x 骣÷ç=+÷ç÷ç桫不是[0,1]上的单峰函数； ④4()sin 4f x x =是[0,1]上的单峰函数，峰点为8p（2）11,312a 骣÷ç?-÷ç÷ç桫 （3）证明略；120.40.6x x ì=ïïíï=ïî。
2018-2019学年交大附中高三下学期开学考试卷
2018-2019学年交大附中高三下学期开学考数学试卷一. 填空题1. 已知集合2{|log 1}A x x =<，1{|0}2x B x x -=<+，则A B = 【答案】()0,12. 已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re z = 【答案】03. 已知点(2,1)A ，(3,5)B ，(5,2)C ，则△ABC 面积是 【答案】1124. 若1()21x f x a =+-是奇函数，则实数a = 【答案】125. 已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行，则k = 【答案】35或6. 已知P 为2214x y -=上动点，O 为坐标原点，M 为OP 中点，则点M 的轨迹方程为【答案】2241x y -=7. 已知平面向量PA 、PB 满足22||||4PA PB +=，||2AB =，设2PC PA PB =+，则||PC ∈【答案】[]0,28. 已知()3sin()6f x x πω=-（0ω>）和()2c o s (2)1gx x ϕ=++的图像的对称轴完全相同，则[0,]2x π∈时()f x 的取值范围是【答案】3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9. 已知α、β均为锐角，且cos()sin()αβαβ+=-，则tan α= 【答案】110. 关于x 不等式|2|6ax +<解集为(1,2)-，则实数a = 【答案】4-11. 甲、乙、丙三人传球，每个人得到球后，等可能地传给其余两人，从甲开始传，设传n次球后回到甲手中的概率为()P n ，则(1)P n +可用()P n 表示为 【答案】1(1)(1())2P n P n +=- 【解析】若球不在甲手中，则传回甲手中概率为12，若在甲手中，传回甲的概率为0，所以()()()()()()11110122P n P n P n P n +=⨯-+⨯=⨯- 12. 从1，2，3，⋅⋅⋅，n 这n 个连续正整数中，任取3个不同的数构成等差数列，已知这样的等差数列最多有180个，则n = 【答案】20【解析】若,,a b c 能构成等差数列，则2b a c =+，所a c +为偶数，则,a c 同奇偶， 当n 为偶数时，等差数列的个数为22222180n n C C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得20n =当n 为奇数时，等差数列的个数为22-1+1222180n n C C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，无解，所以20n =二. 选择题13. 不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（ ） 【A 】 3个【B 】 4个 【C 】 6个 【D 】 7个 【答案】D 14. 设2019220190122019(12)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则20191222019222a a a ++⋅⋅⋅+的值为（ ） 【A 】 2 【B 】 0 【C 】 1- 【D 】 1 【答案】C15. 若()|1||2|f x x x a =+++的最小值是3，则实数a 的值为（ ） 【A 】 5或8 【B 】 1-或5 【C 】 1-或4 【D 】 4-或8 【答案】D16. 已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ） 【A 】 椭圆 【B 】 双曲线 【C 】 圆 【D 】 以上都不是 【答案】A【解析】,=2a xy y b xz z =设直线为平面上的直线为平面的()()()22,0,0,2,,,,s 24,4412,A s B t M x y z t x AB x xy y ===+=设中点则解得旋转之后为椭圆三. 解答题17. 已知0a >，1a ≠，0b >，1b ≠，0M >. （1）求证：log log n a a M n M =； （2）求证：log log log a b a MM b=.【答案】（1）证明略；（2）证明略【解析】()1log log log log log log na a a a a a M M M M M M M n M =⨯⨯⨯=+++=()log log log 2log ,=,log log log log t ta a ab b a a a M b t bM t M b t M b b b=====设即 18. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 、S 分别为棱AD 、DC 、1CC 、11A B 的中点.（1）求证：P 、Q 、R 、S 共面；（2）求直线AB 与平面PQRS 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明略；（2【解析】()111BC M PQ SM PQSM P QSM ∴取中点四点共面，所以在平面上()()()()()()()()111111122,0,22,2,21,0,20,1,20,2,10,,,1,1,10sin RM CB QS RMSQ R QSM PRSM D D A x D C y D D z A B P Q R n PQ PQRS n x y z n n PR PQRS AB θθ∴∴⎧⋅=⎪==⎨⋅=⎪⎩=四点共面，所以在平面上四点共面以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系设边长为2,则设平面的法向量为则解得一组法向量为设平面与直线所成角为，则3AB n AB n⋅=⋅ 19. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，)c BA BC cCB CA -⋅=⋅. （1）求角B 的大小；（2）若||6BA BC -=ABC 面积的最大值. 【答案】（1）4B π=；（2）1)2. 【解析】())1cos cos c c a B c ab C -⋅⋅=⋅⋅⋅()cos sin cos sin cos cos sin cos +sin cos sin B C sin cosB 4A B C B B CA B C B B C A B π-===+=== ()()22222632311sin 22ABCBA BCAC b a c b ac ac S ac B ∆-===+-=≥-≤+=≤20.给定椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），称圆心在原点O圆C 的“准圆”，若椭圆C 的一个焦点为F ，其短轴上一个端点到F （1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；（2）设点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作椭圆C 的切线1l 、2l ，试判断直 线1l 、2l 是否垂直，并说明理由；（3）过点(,)22a b 作椭圆C 的“准圆”的动弦MN ，过点M 、N 分别作“准圆”的切线， 设两切线交于点Q ，求点Q 的轨迹方程.【答案】（1）椭圆方程为2213x y +=，准圆方程为224x y +=；（2）1l 、2l 垂直；（38y += 【解析】()11c a b ==由题可知22221,43x y x y +=+=所以椭圆方程式为准圆方程式为()()()()()()()()()0000222222222222002220000201220211,,,13633013641333031031032101P x y P x y y kx m m y kx y kx m k x kmx m x y km k m m k y kx k xk x y k y y k k x ±==±=+=-=+⎧⎪+++-=⎨+=⎪⎩∆=-⋅+⋅-=--=---=--+-=-=-当切线斜率不存在时，此时切线分别为相互垂直当切线斜率存在时，设，设切线为此时解得202041133x x --==--所以两直线垂直()()()()()()()()1122002211111111222222222210100020203,,,0,40,4=4=4=4114228M x y N x y Q x y M x x x y y y x x y y x y N x x x y y y x x y y x y x x y y Q MN xx yy x x y y MN x y Q y -+-=+=+=-+-=+=+=+⎧∴+⎨+⎩⎫+=⎪⎪⎝⎭+=过点的切线为过点的切线为在两切线上则，直线为又过点，所以21. 定义：对任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，称[]x 为x 的整数部分，{}x 为其相应的小数部分，{}[]x x x =-，函数()[]f x x =，(){}g x x =.（1）求方程2[]10x x --=的解；（2）用周期函数定义证明()g x 是周期函数；（3）对数列{}n a ，2nn a =，*n ∈N ，设函数()[][]n n n a x h x a x-=，212(,)n n x a a -∈，令()n h x 值域中元素和为n b ，求数列{}n b 前2019项和. 【答案】（1）x =（2）证明略；（3）2019201912(12)2n b =⋅-【解析】()[][][]2211x x y x y x =+==∈有函数和的图像可知，交点的横坐标1,2{}{}(){}{}{}){}()[]{}[](){}(){}()()221,1110,210,112,111,1x x x x x x x x x x x x x x g x x g x g x ∴=++--=+-=∴=-±∴=+==++=+++==负舍所以周期为()3(){}212112,22,21,,21n n n n n n n xx a a ---⎡⎤∈∴∈+-⎢⎥⎣⎦()()()()111112019201920192019201911,1222212342221141123112122142122n n n n n n n n n n a a x x b T -----⎛⎫--⎡⎤⎛⎫⎛⎫∈--∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭+-⋅⋅-∴=-=-⎛⎫⋅-⋅- ⎪=-⋅-⋅=⋅- ⎪--⎝⎭。
2017-2018学年上海交大附中高三(上)开学数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷一、填空题1．（3分）若集合A＝{x||x﹣2|＜3}，集合，则A∪B＝．2．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，则该几何体的体积是．3．（3分）已知i是虚数单位，则﹣2的平方根是．4．（3分）函数f（x）＝x2+1（x＜0）的反函数是．5．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．6．（3分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i＝1，2，…，16）是上、下底面上其余十六个点，则•（i＝1，2…，16）的不同值的个数为．7．（3分）数列{a n}满足a n＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3，a1＝5），其前n项和记为S n，若S8＝9，那么S100＝．8．（3分）若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的系数，则＝．9．（3分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若f（）＝2，f （）＝0，且f（x）的最小正周期大于π，则φ＝．10．（3分）已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是．11．（3分）函数f（x）＝（x＞0）绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图象的概率是．12．（3分）已知两正实数a，b，满足a+b＝4，则+的最大值为．二、选择题13．（3分）关于x，y的二元一次方程组，其中行列式D x为（）A．B．C．D．14．（3分）“要使函数f（x）≥0成立，只要x不在区间[a，b]内就可以了”的意思是（）A．如果f（x）≥0，则x∉[a，b]B．如果x∈[a，b]，则f（x）＜0C．如果x∉[a，b]，则f（x）≥0D．前面三个都不正确15．（3分）参数方程（a＞0，t为参数）所表示的函数y＝f（x）是（）A．图象关于原点对称B．图象关于直线x＝π对称C．周期为2aπ的周期函数D．周期为的周期函数16．（3分）已知椭圆C：+＝1，直线l：y＝x﹣1，点P（1，0），直线l交椭圆C于A，B两点，则|P A|2+|PB|2的值为（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝A1A＝1．（1）证明直线BC1平行于平面D1AC；（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．19．（1）请根据对数函数f（x）＝log a x（a＞1）来指出函数g（x）＝log x a（a＞1）的基本性质（结论不要求证明），并画出图象；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：log a（x•y）＝log a x+log a y（a＞0，a≠1，y＞0）；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能．围棋复杂度的上限约为M＝3361，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为N＝1080．甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093．现有两种定义：①若实数x，y满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称y比x接近m；②若实数x，y，m，且x＝10s，y＝10t．m＝10u x＝10，满足|s﹣u|＞|t﹣u|，则称y比x接近m；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．20．已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n＝3n+6，b n＝2n+7（n∈N*），将集合{x|a n，n∈N*}∪{x|x＝b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…；将集合{x|x＝a n，n∈N*}∩{x＝b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列d1，d2，d3，…，d n，…．（1）求数列{d n}的通项公式h（n）；（2）求数列{c n}的通项公式f（n）；（3）设数列{c n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式g（n）．21．如图，已知曲线C1：﹣y2＝1，曲线C2：|y|＝|x|+1，P是平面上一点，若存在过点P 的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”．（1）证明：C1的左焦点是“C1﹣C2型点”；（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证：|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：{（x，y）||x|+|y|＜1}内的点都不是“C1﹣C2型点”．2017-2018学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：集合A＝{x||x﹣2|＜3}＝{x|﹣3＜x﹣2＜3}＝{x|﹣1＜x＜5}，集合＝{x|x＜0或x＞3}，所以A∪B＝（﹣∞，+∞）＝R故答案为：R．2．【解答】解：∵几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，∴该几何体是以a为半径的球，故体积V＝，故答案为：3．【解答】解：﹣2的平方根是．故答案为：．4．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+1（x＜0）．∴x＝﹣，互换x，y，得：y＝﹣（x＞1）．故答案为：y＝﹣（x＞1）．5．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：z＝2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由，解得A（﹣6，﹣3），则z＝2x+y的最小值是：﹣15．故答案为：﹣15．6．【解答】解：当（i＝1，2…，8）时，＝+，则•＝•（+）＝||2+•，∵⊥，即•＝0，∴⊥＝||2＝1，∴当（i＝9，10，…，16）时，⊥，即•＝0，故•的值为0或1，故答案为：2．7．【解答】解：∵a n＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3，a1＝5），∴a3＝a2﹣a1，a4＝a3﹣a2，a5＝a4﹣a3，a6＝a5﹣a4，a7＝a6﹣a5．∴a4＝﹣a1，a5＝﹣a2，a6＝﹣a2+a1，a7＝a1，a8＝a2，…，∴a n+6＝a n，S6＝a1+a2+a2﹣a1﹣a1﹣a2﹣a2+a1＝0．∵S8＝9，a1＝5，∴a2+a1＝9．解得a2＝4．∴S100＝16S6+a1+a2+a3+a4＝0+9+a2﹣2a1＝9+4﹣10＝3．故答案为：3．8．【解答】解：∵a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的系数，又（2+x）n的展开式的通项公式为T r+1＝•2n﹣r•x r，令r＝2，可得x2项的系数为．∴a n＝．∴＝＝＝＝＝＝＝8，故答案为：8．9．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若f（）＝2sin（+φ）＝2，f（）＝2sin（+φ）＝0，∴+φ＝2kπ+①，且+φ＝k′π，其中，k、k′∈Z②，相减可得ω＝（2k﹣k′）π+．再根据f（x）的最小正周期＞π，可得0＜ω＜2．∴ω＝，再把ω＝代入②，可得+φ＝k′π，令k′＝1，可得φ＝，故答案为：．10．【解答】解：根据题意函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故答案为：[﹣2，2]．11．【解答】解：函数f（x）＝（x＞0）绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），其中有14条曲线是函数图象，的10条是曲线的图象，从中任选其二，基本事件总数n＝＝176，∴从中任选其二，均不是函数图象的概率：p＝＝．故答案为：．12．【解答】解：a，b＞0且a+b＝4，由a+b≥2，可得0＜ab≤4，则+＝＝＝＝，令1+ab＝t（1＜t≤5），则ab＝t﹣1，可得+＝＝＝，由t+≥2＝4（当且仅当t＝2∈（1，5]时取得等号），则≤＝，当且仅当ab＝2﹣1时，+取得最大值，故答案为：＝．二、选择题13．【解答】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx＝．故选：C．14．【解答】解：设条件P：函数f（x）≥0成立，条件Q：x不在区间[a，b]内．题中“要使函数f（x）≥0成立，只要x不在区间[a，b]内就可以了”，这句话反映了P为Q的必要条件，Q是P的充分条件即Q⇒P，换句话就是“若P，则Q”，也就是说“如果x∉[a，b]，则f（x）≥0”故选：C．15．【解答】解：∵（a＞0，t为参数），∴，即f（﹣x）＝f（x），故函数图象关于y轴对称，不关于原点对称，故A错误；即f（2aπ﹣x）＝f（x），即函数的图象关于x＝aπ对称，由于a＝1不一定成立，故B错误；即f（2aπ+x）＝f（x），即函数是周期为2aπ的周期函数，故C正确，D错误；故选：C．16．【解答】解：联立，得7x2﹣8x﹣8＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴＝．|P A|•|PB|＝2|（1﹣x1）（x2﹣1）|＝2|﹣x1x2+（x1+x2）﹣1|＝2||＝．∴|P A|2+|PB|2＝（|P A|+|PB|）2﹣2|P A|•|PB|＝．故选：B．三、解答题17．【解答】（1）证明：∵AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，又BC1⊄平面D1AC，AD1⊂平面D1AC，∴BC1∥平面D1AC．（2）解：∵BC1∥平面D1AC，∴直线BC1到平面D1AC的距离为B到平面D1AC的距离，连接BD交AC于O，则O为BD的中点，则B到平面D1AC的距离等于D到平面D1AC 的距离，∵AB＝2，AD＝A1A＝1．∴AC＝CD1＝，AD1＝，∴cos∠ACD1＝＝，∴sin∠ACD1＝，∴＝＝．设D到平面D1AC的距离为d，则＝•d＝．又＝＝＝＝，∴，即d＝．∴直线BC1到平面D1AC的距离为．18．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．19．【解答】解：（1）∵g（x）＝log x a＝，函数的定义域为：（0，1）∪（1，+∞），值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），在区间（0，1）和（1，+∞）上均为减函数；函数的图象如下图所示：证明：（2）设log a x＝M，log a y＝N，则a M＝x，a N＝y，则log a（x•y）＝log a（a M•a N）＝log a（a M+N）＝M+N，log a x+log a y＝M+N，即log a（x•y）＝log a x+log a y；解：（3）若采用定义（I）：＝，则lg（）＝lg（）＝361•lg3﹣80≈92.24，则∈（1073，1093），而lg（2•3361）＝lg2+lg3361≈172.54＜173＝lg10173，即2•3361＜10173，即2•3361＜10173+10153，即2•＜1093+1073，即|﹣1073|＜|﹣1093|，即甲同学的近似值更接近若采用定义（II）：＝，则lg（）＝lg（）＝361•lg3﹣80≈92.24，甲的估计值1073，则lg1073＝73，乙的估计值1093，则lg1093＝93，因为|lg1073﹣lg|＞|lg1093﹣lg|即乙同学的近似值更接近20．【解答】解：（1）设a2n﹣1＝3（2n﹣1）+6＝6n+3＝b k＝2k+7，则k＝3n﹣2．即a2n﹣1＝b3n﹣2．假设a2n＝3×2n+6＝6n+6＝b k＝2k+7，左边为偶数，右边为奇数，矛盾，a2n∉{b n}，舍去．∴h（n）＝a2n﹣1＝6n+3．（2）对于a n＝3n+6，当n为奇数时，设为n＝2k+1，则3n+6＝2（3k+1）+7∈{b n}，当n为偶数时，设n＝2k，则3n+6＝6k﹣1+7不属于{b n}，∴在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（2）b3k﹣2＝2（3k﹣2）+7＝a2k﹣1b3k﹣1＝6k+5，a2k＝6k+6，b3k＝6k+7，∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴当k＝1时，依次有b1＝a1＝c1，b2＝c2，a2＝c3，b3＝c4…∴c n＝f（n）＝．（3）令e n＝c4k﹣3+c4k﹣2+c4k﹣1+c4k，由（2）可得：数列{e n}为等差数列．∴①n＝4k时，S n＝e1+e2+…+e k＝＝12k2+33k＝．∴②n＝4k﹣1时，S n＝S n+1﹣c n+1＝．③n＝4k﹣2时，S n＝S n+2﹣c n+2﹣c n+1＝．④n＝4k﹣3时，S n＝S n+3﹣c n+3﹣c n+2﹣c n+1＝．∴g（n）＝，k∈N*．21．【解答】证明：（1）C1的左焦点为（﹣，0），存在直线x＝﹣时，与双曲线C1的交点为（﹣，±），与曲线C2交点为（﹣，±（1+）），则C1的左焦点是“C1﹣C2型点”；（2）因为直线y＝kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|＝＞1．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx（|k|＞1）．显然直线x＝0与C1无公共点．如果直线为y＝kx（|k|＞1），则由方程组，得x2＝，矛盾．所以直线y＝kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）以|x|+|y|＝1为边界的正方形区域为D，①若点P在D的边界上，则边所在直线与C1相切，且与C2有公共点，即边界上的点是“C1﹣C2型点”．②设P（x0，y0）是D内的点，则|x0|+|y0|＜1，设P是“C1﹣C2型点”，则存在过点P的直线l：y﹣y0＝k（x﹣x0）与C1，C2都有公共点．若直线l与C2有公共点，l：y＝kx+y0﹣kx0，假设|k|≤1，则|kx+y0﹣kx0|≤|kx|+|y0|+|kx0|≤|x|+|y0|+|x0|≤|x|+1，可得l在C2之间，与C2无公共点，与直线l与C2有公共点，矛盾，所以与C2有公共点的直线l的|k|＞1；假设l与C1也有公共点，有解，可得（1﹣2k2）x2﹣4k（y0﹣kx0）x﹣2[（y0﹣kx0）2+1]＝0，△＝16k2（y0﹣kx0）2+8（1﹣2k2）[（y0﹣kx0）2+1]＝8[（y0﹣kx0）2+1﹣k2﹣k2]，由|k|＞1，|x0|+|y0|＜1，可得|y0﹣kx0|≤|y0|+|kx0|≤|y0|+|k|（1﹣|y0|）＝|k|+|y0|（1﹣|k|）＜|k|，可得（y0﹣kx0）2＜k2，所以△＝8[（y0﹣kx0）2+1﹣k2﹣k2]＜0，即l与C1无公共点，这与l与C1也有公共点，矛盾．于是P不为“C1﹣C2型点”．。
上海市上海交通大学附属中学2018届高三上学期开学考试英语试题 含答案 精品
When we think of green buildings, we tend to think of new ones-the kind of high-tech, solar-paneled masterpieces that make the covers of architecture magazines. But the US has more than 100 million existing homes, and it would be_____wasteful to tear them all down and _____ them with greener versions. A(n )_____ amount of energy and resources went into the construction of those houses. And it would take an average of 65 years for the_____carbon emissions from a new energy-efficient home to make up f or the resources lost by destroying an old one. So in the broadest_____, the greatest home is the one that has already been built. But at the same time, nearly half of US carbon emissions come from heating, cooling and_____our homes, offices and other buildings. "You can't deal with climate change without dealing with existing building," says Richard Moe, the president of the National Trust.With some_____, the oldest homes tend to be the least energy-efficient. Houses built before1939 use about 50% more energy per square foot than those built after 2000, mainly due to the tiny cracks and gaps that _____over time and let in more outside air.Fortunately, there are a vast number of relatively simple changes that can green older homes, from_____ ones like Lincoln's Cottage to your own postwar home. And efficiency upgrades can save more than just the earth, they can help_____property owners from rising power costs.Ask most people how they define the American Dream and chances are they’ll say, “Success.”The dream of individual opportunity has been home in America since Europeans discovered a “new world”in the Western Hemisphere. Early immigrants like Hector St. Jean de Crevecoeur praised highly the freedom and opportunity to be found in this new land. His glowing descriptions of a_____society where anyone could attain success through honesty and hard work fired the imaginations of many European readers: in Letters from an American Farmer (1782) he wrote. “We are all excited at the spiritof an industry which is unfettered (无拘无束的) and unrestrained, because each person works for himself … We have no princes, for whom we labor，starve, and bleed: weare the most perfect society now existing in the world.”The promise of a land where “the rewards of a man’s _____follow with equal steps the progress of his labor”drew poor immigrants from Europe and_____ national expansion into the western territories.Our national mythology is full of_____ of the American success story. There’s Benjamin Franklin, the very model of the self-educated, self-made man, who rose from_____origins to become a well-known scientist, philosopher, and statesman. Inthe nineteenth century, Horatio Alger, a writer of fiction for young boys, became American’s best-selling author with rags-to-riches tales. The_____of success haunts us: we spend million every year reading about the rich and famous, learning how to “make a fortune in real estate with no money down,” and “dressing for success.”The myth of success has even_____our personal relationships: today it’s as importantto be “successful”in marriage or parenthoods as it is to come out on top in business.But dreams easily turn into nightmares. Every American who hopes to “make it”also knows the fear of failure, because the myth of success_____ implies comparison between the haves and the have-nots, the stars and the anonymous crowd. Under pressureof the myth, we become indulged in _____symbols: we try to live in the “right”neighborhoods, wear the “right” clothes, eat the “right” foods. These symbolsof distinction assure us and others that we believe_____in the fundamental equalityof all, yet strive as hard as we can to separate ourselves from our fellow citizens. 三、完型Playing organized sports is such a common experience in the United States that many children and teenagers take them for granted. This is especially true 41 children from families and communities that have the resources needed to organizeand 42 sports programs and make sure that there is easy 43 toparticipation opportunies. Children in low-income families and poor communities are less likely to take organized youth sports for granted because they often 44 the resources needed to pay for participation 45 , equipment, and transportation to practices and games as their communities do not have resources to build and 46 sports fields and facilities.Organized youth sports first appeared during the early 20th century in the United States and other wealthy nations. They were originally developed 47 some educators and developmental experts 48 that the behavior and character of children were 49 influenced by their social surroundings and everyday experiences. This 50 many people to believe that if you could organize the experiences of children in 51 ways, you could influence the kinds of adultsthat those children would become.This belief that the social 52 influenced a person’s overall development was very 53 to people interested in progress and reform in the United States at the beginning of the 20th century. It caused them to think about 54 they might control the experiences of children to 55 responsible and productive adults. They believed strongly that democracy depended on responsibilityand that a growing capitalist economy depended on the productivity of workers.41. A) among B) within C) on D) towards42. A) spread B) speed C) spin D) sponsor43. A) access B) entrance C) chance D) route44. A) shrink B) tighten C) limit D) lack45. A) bill B) accounts C) fees D) fare46. A) maintain B) contain C) sustain D) entertain47. A) before B) while C) until D) when48. A) realized B) recalled C) expected D) exhibited49. A) specifically B) excessively C) strongly D) exactly50. A) moved B) conducted C) put D) led51. A) precise B) precious C) particular D) peculiar52. A) engagement B) environment C) state D) status53. A) encouraging B) disappointing C) upsetting D) surprising54. A) what B) how C) whatever D) however55. A) multiply B) manufacture C) produce D) provide四、阅读(A)There Student thieves look out. Students can easily get many research papers off the Internet. A new Web site could help teachers catch copiers.Some students research and write their term papers. Others, however, just copy them off the Internet and turn them in as their work.Two graduate students at the University of California at Berkeley have written a program to catch the students who copy. It compares a student’s paper with every other term paper on the Web.A hundred million Web pages on the Internet are searched. The top 20 search engines are used for the search. This service can be found at www. plagiarism. com. They also have a local data base of term papers.Teachers who sign up can send their students’ papers to the Web site. Within 24 hours they know if the student did the work.Every sentence that was a word-for-word match with another sentence either found on the Internet or within our database is coded.A U.C. Berkeley professor told his class he would use the program. Still some students copied papers. All 300 papers went through the program. In 45 papers or 15 percent of students had cut and pasted large amounts of material from different World Wide Web sites.Students that say they didn’t copy can defend themselves. They can show the instructors where they got their material. Students at universities try hard to get good grades. Some students welcome the Internet research watchdog because they say it is fair to all. They think copying is wrong.56. One reason why plagiarism has increased is that ______.A. student cheat more todayB. their reasoning and survival skills improvedC. students couldn’t find information to copy before the Internet was developedD. it is so easy to cut and paste papers or parts of papers from the Internet57. Using the program developed at University of California at Berkeley, the papers are checked by using ______.A. printing and looking carefully at hundreds of papers on the InternetB. a search of many Web pages and a comparison of words usedC. asking the student where they got the information in the paperD. comparing all the papers which are turned in by the students58. If teachers want to find out if their students wrote their own papers, ______.A. they ask other teachers to read their students’ papersB. they ask their students to list their sources of informationC. they can sign up for the Internet serviceD. they search the Internet and compare papersBIn modern society there is a great deal of argument about competition. Some value it highly, believing that it is responsible for social progress and prosperity. Others say that competition is bad; that it sets one person against another; that it leads to unfriendly relationship between people.I have taught many children who held the belief that their self-worth relied on how well they performed at tennis and other skills. For them, playing well and winning are often life-and-death affairs. In their single-minded pursuit of success, the development of many other human qualities is sadly forgotten.However, while some seem to be lost in the desire to succeed, others take an opposite attitude. In a culture which values only the winner and pays no attention to the ordinary players, they strongly blame competition. Among the most vocal areyoungsters who have suffered under competitive pressures from their parents or society. Teaching these young people, I often observe in them a desire to fail. They seem to seek failure by not trying to win or achieve success. By not trying, they always have an excuse: " I may have lost, but it doesn't matter because I really didn't try." What is not usually admitted by themselves is the belief that if they had really tried and lost, that would mean a lot. Such a loss would be a measure of their worth. Clearly, this belief is the same as that of true competitors who try to prove themselves. Both are based on the mistaken belief that one's self-respect relies on how well one performs in comparison with others.Both are afraid of not being valued. Only as this basic and often troublesome fear begins to dissolve can we discover a new meaning in competition.59. What does this passage mainly talk about?A. Competition helps to set up self-respect.B. Opinions about competition are different among people.C. Competition is harmful to personal quality development.D. Failures are necessary experience in competition.60. The underlined phrase "the most vocal" in Paragraph 3 means ________.A. those who try their best to winB. those who value competition most highlyC. those who are against competition most stronglyD. those who rely on others most for success61. What is the similar belief of the true competitors and those with a "desire to fail"?A. One's worth lies in his performance compared with others.B. One's success in competition needs great efforts.C. One's achievement is determined by his particular skills.D. One's success is based on how hard he has tried.62. Which point of view may the author agree to?A. Every effort should be paid back.B. Competition should be encouraged.C. Winning should be a life-and-death matter.D. Fear of failure should be removed in competition.C篇About 40 years ago the famous British band The Beatles sang that“money can’t buy me love”. Today British economists are saying that it perhaps can’t buy you happiness either. This is showed by the happy planet index published recently by the New Economics Foundation (NEF ) in London.The index is about how well countries are using their resources. It shows how well they provide people with better health and longer and happier lives and at what cost to their environment.It would seem to be a common sense that people in richer countries live happier lives while those in developing countries are having a harder time of it. But the results are surprising , even shocking. The numbers show that some of the so-called developed countries are performing very badly. The United States, for example , comes at an unbelievable number 150th. On the other hand, some little-known developing countries are doing a much better job. A tiny is land in the Pacific, Vanuatu comes in first. There are 178 countries and areas in the index. China ranks 31.Countries are graded on the basis of information supplied in response to the following questions. How do people feel about their live? How long does an average person live ? How intensively does a country need to use its natural resources -- such as oil, land and water--to maintain standards. This is what the index calls the “ecological footprint”.The NEF found that the people of island nations enjoy the highest HPI rankings. Their populations live happier and longer lives, and use fewer resources.The results also seem to show that it is possible to live longer, happier lives with a much smaller environmental impact . The index points out that people in the US and Germany enjoy similar lives.“However, Germany ‘s ecological footprint is only about half “ that of the US. This means that Germany is around twice as efficient as the US at producing happylives,” says Nic Marks, head of NEF’s center for well-being.So happy planet Index(HPI) tells us a brand- new concept of understanding “being happy”. HPI figures out different countries or individuals’ HPI through their Ecological Footprint”and Life satisfaction Level “or ”Life Expectancy”. Clearly, people’s HPI is related to their consumption of the resources on the earth.You can find out your own HPI by visiting http://www. happy planet /survey.htm.63. The story is mainly about ____________________.A. in which countries people feel the happiest.B.why money can’t you happiness.C.what index can influence people’s happiness.D.the happy planet index published recently64.According to the passage, the index has something to do with_________________.A.wealth, education, resources and heath.B. lives, heath, resources and environmentC.pressure, accommodation, resources and heathD. education, money, environment and resources65. Countries that have low HPI rankings___________________________.A. are only developing countries.B. have far fewer happy peopleC. have a greater impact on environmentD. do not enjoy plenty of resource66. The comparison between Germany and the US shows that______________________.A. some of the so-called developed countries are performing very badly.B. it is possible to live happier and longer lives with fewer resources.C. not all the people in developed countries enjoy happy lives.D. history and culture play an important role in people”s lives.六选四Directions: complete the following passage by using the sentences in the box. Each sentence can only be used once. Note that there are two sentences more than you need.Japan's attack on Pearl Harbor in December nineteen forty-one had brought Americainto the war. And it had severely damaged American military power. But Rooseveltdecided not to strike back at Japan immediately. 67 . There were several reasons for Roosevelt’s decision.First, Germany already controlled much of Europe, as well as much of the Atlantic Ocean. Roosevelt considered this a direct threat. 68 . Second, Germanywas an advanced industrial nation. It had many scientists and engineers. Its factorieswere modern. Roosevelt was concerned that Germany might be able to develop deadlynew weapons, such as an atomic bomb, if it was not stopped quickly. Third, Britain historicall y was one of America’s closest allies. And the British people were unitedand fighting for their lives against Germany. This was not true in Asia. Japan’smost important opponent was China. But China’s fighting forces were weak and divided,and could not offer strong opposition to the Japanese.Hitler’s decision to break his treaty with Josef Stalin and attack the Soviet Unionmade Roosevelt’s final choice. The American leader recognized that the Germans wouldhave to fight on two fronts: in the west against Britain and in the east against Russia.69 . So Washington sent most of its troops and supplies to Britain to join thefight against Germany.American military leaders hoped to attack Germany quickly by launching an attackacross the English Channel. Stalin also supported this plan. Soviet forces were suffering terrible losses from the Nazi attack and wanted the British and Americansto fight the Germans on the west.However, British Prime Minister Winston Churchill and other leaders opposed launching an invasion across the English Channel too quickly. They worried that such an invasion might fail, while the Germans were still so strong. 70 . For this reason, British and American forces decided instead to attack the Italian and German occupation troops in north Africa.概要写作：It is difficult to imagine what life would be like without memory. The meanings of thousands of everyday perceptions, the bases for the decisions we make, and the roots of our habits and skills are to be found in our past experiences, which are brought into the present by memory.Memory can be defined as the capacity to keep information available for later use. It includes not only “remembering things”like arithmetic or historical facts, bur also involves any change in the way an animal typically behaves. Memory is involved when a rat gives up eating grain because he has sniffed (嗅到，闻到)something suspicious in the grain pile. Memory is also involved when a six-year-old child learn to swing a baseball bat.Memory exists not only in humans and animals but but in some physical objects and puters ,for example,contain devices for storing data for later use. It is interesting to compare the memory-storage capacity of a computer with that of a human being. The instant-access memory of a large computer may hold up to 100,000 “words”--ready for instant use.An average U.S. teenager probably recognizes the meaning about 100,000 words of English. However, this is a but fraction of the total amount of information which the teenager has stored. Consider, for example, the number of faces and places that the teenager can recognize on sight.The use of words is the basis of the advanced problem-solving intelligence of human beings. A large part of a person’s memory is in terms of words and combinations of words.翻译1.我从未想到我校篮球队会在比赛中败北。
上海市交大附中2018-2019学年上学期高一数学期末试卷(含精品解析)
2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1．（4分）已知集合A＝{1，2，m}，B＝{2，3}，若A∪B＝{1，2，3}，则实数m＝．2．（4分）“成立”是“x＜2成立”的条件．（选择确切的一个填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）3．（4分）函数的定义域为．4．（4分）若函数的反函数是其本身，则实数a＝．5．（4分）函数f（x）＝2|x﹣3|﹣1，则不等式f（x）＜1的解集为．6．（4分）函数f（x）＝9x﹣3x+1﹣10的零点为．7．（5分）已知x，y∈R+，且满足xy﹣x﹣2y＝0，则x+y的最小值为．8．（5分）若定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，则函数的单调递增区间为．9．（5分）集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0}，集合B＝{x|x2+lgx≤1000}，且满足A∩∁R B＝∅，则实数a 的取值范围是．10．（5分）已知函数y＝f（x）的图象与函数y＝a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，记g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]．若y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围是．11．（5分）下列四个命题中正确的是．①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），则f（1+x）＝f（1﹣x）；②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A是两个不同的函数；③已知函数，x∈N*，既无最大值，也无最小值；④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6的所有零点构成的集合共有4个子集．12．（5分）已知函数f（x）＝x2+e x（x＜0）与函数图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．（5分）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（5分）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），[x]表示不超过x的最大整数，则下面关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．D．[x]≥[y]15．（5分）函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C．D．16．（5分）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A．B．C．pq D．﹣1三、简答题17．（14分）解关于x的不等式kx2﹣（k+2）x+2＜0．18．（14分）动物园需要用篱笆围成两个面积均为50m2的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．（1）设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？19．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数，函数的图象关于直线y＝x对称，记F（x）＝f（x）+g（x）．（1）求函数f（x）的解析式和定义域；（2）在F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求A，B 的坐标；若不存在，说明理由．20．（16分）已知函数f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2（a为负整数），y＝f（x）的图象经过点（m﹣2，0）（m∈R）．（1）求f（x）的解析式；（2）设函数g（x）＝bx+2，若g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空，求实数b的取值范围；（3）证明：方程有且仅有一个解．21．（18分）若实数x、y、m（x≠m，y≠m）满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称y比x接近m．（1）若x2﹣1比1接近0，求x的取值范围；（2）对正实数a，b，如果比接近2，求证：当x＞0时，比接近2；（3）已知函数f（x）等于和|x﹣a|中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的单调区间（结论不要求证明）．2018-2019学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1．【解答】解：∵集合A＝{1，2，m}，集合B＝{2，3}，A∪B＝{1，2，3}根据集合并集运算的定义，可知，集合A中元素最多和A∪B中元素一致，∴m＝3故答案为：3．2．【解答】解：由得0＜x＜2，则“成立”是“x＜2成立”的充分不必要条件，故答案为：充分非必要3．【解答】解：要使函数有意义，则≥0，当x＝1时，不等式成立，当x≠1时，不等式等价为≥0，即x＞2或x≤﹣1，综上x＞2或x≤﹣1或x＝1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}∪（2，+∞）4．【解答】解：由y＝得x＝，所以f（x）的反函数为f﹣1（x）＝，依题意可得a＝﹣2．故答案为：﹣2．5．【解答】解：不等式f（x）＜1即2|x﹣3|＜2，故|x﹣3|＜1，解得：2＜x＜4，故答案为：（2，4）．6．【解答】解：由f（x）＝9x﹣3x+1﹣10＝0得（3x）2﹣3•3x﹣10＝0，即（3x+2）（3x﹣5）＝0，∵3x＞0，∴3x﹣5＝0，即3x＝5，即x＝log35，即函数零点为x＝log35，故答案为：x＝log357．【解答】解：由题知x，y，满足xy﹣x﹣2y＝0，则xy＝x+2y，同除xy，得＝1，x+y＝（x+y）（）＝3+≥3+2，当且仅当x＝2+，y＝+1时取到等号．故答案为：3+2．8．【解答】解：∵x2+1有最小值为1，定义在R上的函数（其中a＞0，a≠1）有最大值，∴0＜a＜1．则函数的单调递增区间，即函数t＝x2﹣2x＝x（x﹣2）＞0时的减区间，为（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．9．【解答】解：解不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＜0得：a＜x＜a+1即A＝[a，a+1]，解不等式x2+lgx≤1000得：（2+lgx）lgx﹣3≤0，即≤x≤10，即B＝[，10]，即∁R B＝（﹣∞，）∪（10，+∞），又A∩∁R B＝∅，得，即，即实数a的取值范围是[]，故答案为：[]10．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象与函数y＝a x（a＞0且a≠1）的图象关于直线y＝x对称，∴f（x）＝log a x（x＞0）．g（x）＝f（x）[f（x）+f（2）﹣1]＝log a x（log a x+log a2﹣1）＝（log a x+）2﹣，①当a＞1时，y＝log a x在区间[，2]上是增函数，∴log a x∈[log a，log a2]．由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，化为log a2≤﹣1，解得a，舍去．②当0＜a＜1时，y＝log a x在区间[，2]上是减函数，∴log a x∈[log a2，log a]．由于y＝g（x）在区间[，2]上是增函数，∴，解得0＜a．综上可得：0＜a．故答案为：（0，]．11．【解答】解：①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），设F（x）＝f（1+x），可得F（﹣x）＝F（x），则f（1+x）＝f（1﹣x），故①正确；②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A，即y＝f﹣1（x），x∈A，由于A≠D是两个不同的函数，故②正确；③已知函数，x∈N*，由f（x）在1≤x＜3递减，x＞3递减，可得x＝2时，f（2）取得最小值﹣1，故③错误；④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6，由f（x）＝0，可得2|x|﹣1＝2或3，解得x＝±log23或x＝±2，f（x）的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．故答案为：①②．12．【解答】解：由题意，存在x＞0，使f（﹣x）＝g（x），即x2+ln（x+a）+＝x2+e﹣x，即ln（x+a）+＝（）x，即ln（x+a）＝﹣+（）x，设h（x）＝﹣+（）x，h（0）＝﹣+1＝，当y＝ln（x+a）经过点（0，）时，则lna＝，得a＝＝，作出y＝ln（x+a）和h（x）的图象，要使两个图象恒有交点，则a＜．即实数a的取值范围是a∈（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．【解答】解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B＝∅”；若“A∩B＝∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的充分必要的条件．故选：C．14．【解答】解：当0＜a＜1时，由a x＜a y得x＞y，A．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y但＝，故A错误，B．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，ln（x2+1）＝ln（y2+1），但ln（x2+1）＞ln（y2+1）不成立，故B错误，C．当x＝1，y＝﹣1，满足x＞y，但x﹣y＝1+1＝2，﹣＝1+1＝2，则不成立，故C错误，D．∵x＞y，∴[x]≥[y]成立，故D正确故选：D．15．【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B．函数的导数f′（x）＝﹣4x3+2x＝﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此时函数单调递减，排除C，也可以利用f（1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A，B，故选：D．16．【解答】解：设该市这两年生产总值的年平均增长率为x，则（1+p）（1+q）＝（1+x）2，解得x＝﹣1，故选：D．三、简答题17．【解答】解：将原不等式化为（kx﹣2）（x﹣1）＞0，（1）当k＝0时，有x＜1；（2）当k＞0时，有k（x﹣）（x﹣1）＞0，∴（x﹣）（x﹣1）＞0，∵1﹣＝，当k＞2时＜1，∴x＜或x＞1；当a＝2时，＝1，∴x∈R，且x≠1；当0＜k＜2时，有＞1，∴x＜1或x＞；（3）当k＜0时，（x﹣）（x﹣1）＜0，有＜1，所以＜x＜1．综上，k＝0时，不等式的解集为{x|x＜1}；0＜k＜2时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞}；当k＝2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；当k＞2时，不等式的解集为{x|x＜或x＞1}；当k＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜1}18．【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为x，则每个长方形平行于墙的边长，则l＝3x+，∵x≥2且≥2，∴2≤x≤25，由x可得函数的定义域为[2，25]；（2）l＝3x+≥2＝20，当且仅当3x＝，即x＝时取等号，故当垂直于墙的边长为m时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是20m．19．【解答】解：（1）由y＝﹣1得10x＝，x＝lg，∴f（x）＝lg，∵g（x）＝，∴g﹣1（x）＝，依题意得g（x）＝g﹣1（x），∴a＝1，∴g（x）＝，∴F（x）＝lg+，定义域为（﹣1，1），（2）设F（x）的图象上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且﹣1＜x1＜x2＜1，则y1﹣y2＝F（x1）﹣F（x2）＝lg+﹣lg﹣＝lg（•）+（﹣）＝lg（•）+，∵﹣1＜x1＜x2＜1，则＞1，＞1，x2﹣x1＞0，（x1+2）（x2+2）＞0，∴lg（•）＞0，＞0，∴y1＞y2，故F（x）在（﹣1，1）上单调递减，故不存在A，B两点，使AB与y轴垂直．20．【解答】解：（1）在f（x﹣2）＝ax2﹣（a﹣3）x+a﹣2中令x＝m得f（m﹣2）＝am2﹣（a﹣3）m+a﹣2＝0，∴a＝﹣，因为a为负整数，所以为正整数，当≥2时，2m2﹣5m+4≤0，因为△＝（﹣5）2﹣4×2×4＝﹣7＜0，所以2m2﹣5m+4≤0无解，所以＝1，解得m＝1．m＝3，所以a＝﹣1，∴f（x﹣2）＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴f（x）＝﹣x2+1（2）g（x）≥f（x）在x∈[1，3]上解集非空⇔b≥﹣（x+）在[1，3]上有解，令h（x）＝﹣（x+），则b≥h（x）min，∵h′（x）＝﹣1+≤0在x∈[1，3]上恒成立，所以x＝3时，h（x）min＝h（3）＝﹣，故b≥﹣．（3）证明：即证y＝与y＝﹣x2+1的图象有且只有一个交点，当x＞0时，﹣（﹣x2+1）＝+x2﹣1＝++x2﹣1≥3﹣1＝3﹣1＝﹣1＞0，即x＞0时，y＝与y＝﹣x2+1的图象无交点，当x＜0时，令y＝+x2﹣1，y′＝﹣+2x＜0恒成立，所以y＝+x2﹣1在（﹣∞，0）上为递减函数，又x＝﹣时，y＝﹣3+＜0，x＝1时，y＝1＞0，根据零点存在性定理知：+x2﹣1＝0在（﹣∞，0）上有且只有一个零点，综上得﹣f（x）＝0有且只有一个解．21．【解答】解：（1）由题意得，∴，∴x的范围为：（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）；（2）∵比接近2，∴|a+﹣2|＜|b+﹣2|，∵a＞0，b＞0，∴a+≥2，b+≥2，∴a+﹣2＜b+﹣2，即a+＜b+，∴|a x+﹣2|＜|b x+﹣2|，当x＞0时，比接近2；（3）当a≤﹣1时，f（x）＝|x﹣a|，此时f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；a＞﹣1时，，当﹣1＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；当a≥0时，f（x）在（﹣∞，a+2﹣2）上单调递减，在（a+2﹣2）上单调递增．。
2018-2019学年上海市交大附中高三数学开学考(2018.09)
交大附中高三数学开学考2018.09一.填空题1.方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是2.若直线l 的参数方程为323x y t⎧=+⎪⎨=--⎪⎩，t ∈R ，则直线l 的倾斜角是3.022222lim 34nn n nnn C C C →∞++⋅⋅⋅+=-4.已知数列{}n a 的前n 项的和212n nn n S n -⎧=⎨⎩为正奇数为正偶数，则当n 为正偶数时，n a =5.函数22()(1)(1)x axf x x x +=+-是奇函数，那么a =6.若函数2()lg(2)f x x ax =-+无最值，则a 的取值范围是7.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知△ABC 的面积为23sin a A，6cos cos 1B C =，则A =8.设b ∈R ，i 是虚数单位，已知集合{||i|2}A z z =-≤，11{|1i,}B z z z b z A ==++∈，若A B ≠∅ ，则b 的取值范围是9.从双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若M 是线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -的值为10.胡涂涂同学用一颗均匀的骰子来定义递推数列{}n a ，首先，他令11a =，当1n ≥时，他掷一次骰子，若所得点数大于n a ，即令11n n a a +=+，否则，令11n n a a +=-，则40a =的概率为（结果用最简分数表示）11.关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=12.由无理数论引发的数字危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机，所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q = ，M N =∅ ，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称{,}M N 为戴德金分割，试判断，对于任一戴德金分割{,}M N ，下列选项中，可能成立的是①M 没有最大元素，N 有一个最小元素；②M 没有最大元素，N 也没有最小元素；③M 有一个最大元素，N 有一个最小元素；④M 有一个最小元素，N 没有最小元素；二.选择题13.已知集合{|1}A x x =>-，则下列选项正确的是（）A.0A⊆ B.{0}A⊆ C.A∅∈ D.{0}A∈14.在空间直角坐标系O xyz -中，若点P 在第Ⅵ卦限，则与点P 关于y 轴对称的点在（）A.第Ⅰ卦限B.第Ⅲ卦限C.第Ⅴ卦限D.第Ⅶ卦限15.设A 、B 、C 为实数，则“0ABC <”是“方程22Ax By C +=表示的曲线为双曲线”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件16.已知O 、A 、B 、C 是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数1λ、2λ、3λ，使得1230OA OB OC λλλ++=，则三个角AOB ∠、BOC ∠、COA ∠（）A.都是钝角B.至少有两个钝角C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角三.解答题17.如图所示，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合的一个点.（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C 是弧AB 的中点时，求异面直线1A C 与AB 的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥111A BCC B -与圆柱的体积比.18.（1）已知())lg f x ax b =-是定义在R 上的奇函数，求实数a 、b 的值；（2）已知())lg f x ax b =-是定义在R 上的函数，求实数a 的值.19.某工厂在生产产品时需要用到长度为698mm 的A 型和长度为518mm 的B 型两种钢管，工厂利用长度为4000mm 的钢管原材料，剪裁成若干A 型和B 型钢管，假设裁剪时损耗忽略不计，剪裁后所剩废料与原材料的百分比称为废料率.（1）要使剪裁的废料率小于4.5%，共有几种方案剪裁？请写出每种方案中分别被剪裁A 型钢管和B 型钢管的根数；（2）假设一根A 型钢管和一根B 型钢管能成为一套毛坯，假定只能按（1）中的那些方案剪裁，若公厂需要生产320套毛坯，则至少需要采购多少根长度为4000mm 的钢管原材料？最终的废料率为多少？20.在平面上，给定非零向量b ，对任意向量a ，定义22()||a b a a b b ⋅=-.（1）若(2,3)a = ，(1,3)b =- ，求a；（2）若(2,1)b = ，证明：若位置向量a 的终点在直线0Ax By C ++=上，则位置向量a的终点也在一条直线上；（3）已知存在单位向量b ，当位置向量a 的终点在抛物线2:C x y =上时，位置向量a 终点总在抛物线2:C y x '=上，曲线C 和C '关于直线l 对称，问直线l 与向量b 满足什么关系？21.设函数2()f x ax bx =+，,a b ∈R ，若231()62x f x x --≤≤+对任意x ∈R 成立，且数列{}n a 满足12a =，11()12n n a f a +=-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：11231n n a a a a a +-=⋅⋅⋅⋅；（3）求证：20181220181111112018a a a -<++⋅⋅⋅+<.参考答案一.填空题1.211132-⎛⎫⎪-⎝⎭2.120°3.12-4.223n n a n =-+5.1a =-6.8a ≥或0a ≤7.3π8.b ≤≤9.b a-10.22711.212.③二.选择题13.B 14.A15.D16.B三.解答题17.（1）2）2:3π.18.（1）1a =±，b =；（2）[1,1]a ∈-.19.（1）方案一：25a b =⎧⎨=⎩，废料率最小为26985518(1)100%0.35%4000⨯+⨯-⨯=；方案二：42a b =⎧⎨=⎩，废料率最小为46982518(1)100% 4.3%4000⨯+⨯-⨯=；（2）最多可剪裁320套毛坯，最终的废料率为2.72%.20.（1）176(,55a =- ；（2）证明略；（3）直线l 与向量b垂直.21.（1）2()22f x x x =-+；（2）证明略；（3）证明略.。
精品解析：上海市交通大学附属中学2018-2019学年高三上学期期末数学试题(解析版)
交大附中2018-2019学年度第一学期高三年级期末数学试卷一、填空题1.已知集合{}02A x x =<≤，集合{}12B x x =-<<，则A B =_____．【答案】(]1,2- 【解析】{}{}(]02121,2A B x x x x ⋃=<≤⋃-<<=-2.若复数43i z =+，其中i 是虚数单位，则2z =______． 【答案】25 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数模的公式计算得答案． 【详解】由43z i =+，得()2224316249724z i i i i =+=++=+，则272425z i =+==． 故答案为：25．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数模的求法，是基础题． 3.函数()()4434x x f x f x x -≥⎧=⎨+⎩，，，＜则()1f f -=⎡⎤⎣⎦________. 【答案】0 【解析】 【分析】先求出(1)f -的值，再求()1f f -⎡⎤⎣⎦的值.【详解】(1)(13)(2)(23)(5)541f f f f f -=-+==+==-=, 所以()1(1)(13)(4)440f f f f f -==+==-=⎡⎤⎣⎦. 故答案为：0【点睛】本题主要考查根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．4.已知1sin()43πα-=,则cos()4πα+的值等于.【答案】1 3 -【解析】试题分析：由题设可知,故.故应填.考点：诱导公式及运用．5.已知数列{}n a的前n项和为2*()2nS n n n N=+∈，则数列{}n a的通项公式n a=______．【答案】*2)1(n n N+∈【解析】【分析】由2*2nS n n n N=+∈，，当n＝1时，a1＝S1＝3．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，即可得出．【详解】当2n≥，且*n N∈时，()()()2212121n n na S S n n n n-⎡⎤=-=+--+-⎣⎦()2222122n n n n n=+--++-21n=+，又211123S a==+=，满足此通项公式，则数列{}n a的通项公式()*21na n n N=+∈．故答案为：()*21n n N+∈【点睛】本题考查求数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，注意检验n=1是否符合，属于中档题．6.已知实数,x y满足约束条件222441x yx yx y+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y=+的取值范围为_____．【答案】[]1,6【解析】先作可行域，如图三角形ABC及其内部，则直线3z x y=+过点A(2,0)取最大值6，过点B(0,1)取最小值1，所以取值范围为[]1,6点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.已知函数sin 2cos ()(2,,0)f x a x b x a b R ab =+∈≠，若其图象关于直线6x π=对称，则直线20ax by ++=的倾斜角α=______．【答案】23π 【解析】 【分析】化简函数y ＝a sin2x +b cos2x 为一个角的函数形式，利用x 6π=是函数y ＝a sin2x +b cos2x 图象的一条对称轴，求出a ，b 的值，然后求直线l 的斜率与倾斜角．【详解】∵函数 sin2cos2y a x b x =+(,a b 不全为0)的图象关于直线6x π=对称，设sin θ=，cos θ=，∴sin2cos2y a x b x x x ⎫=+=+⎪⎭()2x θ=+，当6x π=时，()2,32x k k Z ππθθπ+=+=+∈，∴(),326k k k Z πππθππ=-++=+∈，不妨取0k =时，得6πθ=；∴1sin 2θ==，cos θ==，解得a =1b =；∴直线l ：0ax by c ++=0y c ++=，它的斜率为k =23π； 故答案为：23π． 【点睛】本题考查了三角函数性质，两角和的正弦公式，直线倾斜角，熟记三角函数性质及公式是关键，是综合题目．8. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为__________．（容器壁的厚度忽略不计）【答案】41π 【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。
2018上海市交大附中自招试卷数学试题(含答案)
2018年上海市交大附中自主招生试卷第一部分1. 已知13x x +=-，求3311000x x ++.2.11(1)x x x t x x x x +++=++有增根，求所有可能的t 之和.3. AB ∥CD ，15AB =，10CD =，3AD =，4CB =，求ABCD S .4. 346y x x =-+，若a x b ≤≤时，其中x 的最小值为a ，最大值为b ，求a b +.5. 22(2)y x m =-+，若抛物线与x 轴交点与顶点组成正三角形，求m 的值.6. DE 为BC 的切线，正方形ABCD 边长为200，BC 以BC 为直径的半圆，求DE 的长.7. 在直角坐标系中，正ABC ∆，(2,0)B ，9(,0)2C 过点O 作直线DMN ，OM MN =，求M 的横坐标.8. 四圆相切⊙B 与⊙C 半径相同，⊙A 过⊙D 圆心，⊙A 的半径为9，求⊙B 的半径.9. 横纵坐标均为整数的点为整点，（12m a <<），y mx a =+（1100x ≤≤），不经过整 点，求a 可取到的最大值.10. G 为重心，DE 过重心，1ABC S ∆=，求ADE S ∆的最值，并证明结论.第二部分（科学素养）1. 已知直角三角形三边长为整数，有一条边长为85，求另两边长（写出10组）.2. 阅读材料，根据凸函数的定义和性质解三道小题，其中第（3）小题为不等式证明 1212[(1)]()1()f bx b x bf x bf x ++<+-（1）14b =；（2）13b =.（注：选（1）做对得10分，选（2）做对得20分）3. 请用最优美的语言赞美仰晖班（80字左右）（17分）4. 附加题（25分）（2 points ） solve the following system of equations for 2122.2221w x y z w x y z w w x y z w x y z +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩（4 points ）Compute 98∞ （6 points ）Solve the equation 1=.Express your answer as a reduced fraction with the numerator written in their prime factorization.The gauss function []x denotes the greatest less than or equal to xA ）（3 points ）Compute 2018!2015!2017!2016!+⎡⎤⎢⎥+⎣⎦B ）（4points ）Let real numbers 12,,,n x x x ⋅⋅⋅ be the solutions of the equation 23[]40x x --=，find the value of 22212n x x x ++⋅⋅⋅+ C ）（6 points ）Find all ordered triples (,,)a b c of positive real that satisfy ：[]3a bc =，[]4a b c =，and []5ab c =。
2020-2021学年上海交大附中高三(上)开学数学试卷
2020-2021学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.0分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={0.2.3}.则A∩B=___ ．2.（填空题.0分）已知i 是虚数单位.则复数z=（1+i ）（2-i ）的虚部是___ ．3.（填空题.0分）已知一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则a 的值是___ ．4.（填空题.0分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.观察向上的点数.则点数和为5的概率是___ ．5.（填空题.0分）（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为___ ．6.（填空题.0分）如果方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2.则x 1x 2的值为___ ．7.（填空题.0分）设{a n }是公差为d 的等差数列.{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.则d+q 的值是___ ．8.（填空题.0分）如图.六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半径为0.5cm.则此六角螺帽毛坯的体积是___ cm 3．9.（填空题.0分）将函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度.则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是___ ．10.（填空题.0分）已知5x 2y 2+9y 4=1（x.y∈R ）.则x 2+y 2的最小值是___ ．11.（填空题.0分）在△ABC 中.AB=4.AC=3.∠BAC=90°.D 在边BC 上.延长AD 到P.使得AP=9．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数）.则CD 的长度是 ___ ．12.（填空题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知P （ √32 .0）.A 、B 是C ：x 2+（y- 12 ）2=36上的两个不同的动点.满足PA=PB.且 PA⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.则实数a 最小值是___ ．13.（单选题.0分）函数y=xcosx+sinx在区间[-π.π]上的图象可能是（）A.B.C.D.14.（单选题.0分）已知A.B.C为球O的球面上的三个点.⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π.AB=BC=AC=OO1.则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π15.（单选题.0分）若点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.y=f-1（x）为函数y=f （x）的反函数．设P1（y0.x0）.P2（-y0.x0）.P3（y0.-x0）.P4（-y0.-x0）.则有（）A.点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f-1（x）的图象上B.只有点P2不可能在函数y=f-1（x）的图象上C.只有点P3不可能在函数y=f-1（x）的图象上D.点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上16.（单选题.0分）设集合S.T.S⊆N*.T⊆N*.S.T中至少有2个元素.且S.T满足：① 对于任意的x.y∈S.若x≠y.则xy∈T；∈S．下列命题正确的是（）② 对于任意的x.y∈T.若x＜y.则yxA.若S有4个元素.则S∪T有7个元素B.若S有4个元素.则S∪T有6个元素C.若S有3个元素.则S∪T有5个元素D.若S有3个元素.则S∪T有4个元素17.（问答题.0分）在三棱锥A-BCD中.已知CB=CD= √5 .BD=2.O为BD的中点.AO⊥平面BCD.AO=2.E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；BC.设二面角F-DE-C的大小为θ.求sinθ的值．（2）若点F在BC上.满足BF= 1418.（问答题.0分）在锐角△ABC中.角A.B.C所对的边分别为a.b.c．已知2bsinA- √3 a=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=|3x+1|-2|x-1|．（1）画出y=f（x）的图象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集；.对于任意的x∈R.任意的a∈[-1.1]恒成立.求实数t的取值范（3）若不等式f（x）≥-t2+at−23围．20.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆E ：x 24 + y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2.点A 在椭圆E 上且在第一象限内.AF 2⊥F 1F 2.直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P.直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q.求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上.记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1.S 2.若S 2=3S 1.求点M 的坐标．21.（问答题.0分）已知数列{a n }（n∈N*）的首项a 1=1.前n 项和为S n ．设λ和k 为常数.若对一切正整数n.均有Sn+11k -S n 1k =λan+11k 成立.则称此数列为“λ-k”数列．（1）若等差数列{a n }是“λ-1”数列.求λ的值；（2）若数列{a n }是“ √33 -2”数列.且a n ＞0.求数列{a n }的通项公式；（3）对于给定的λ.是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.且a n ≥0？若存在.求出λ的取值范围；若不存在.说明理由．2020-2021学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.0分）已知集合A={-1.0.1.2}.B={0.2.3}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]{0.2}【解析】：运用集合的交集运算.可得所求集合．【解答】：解：集合B={0.2.3}.A={-1.0.1.2}.则A∩B={0.2}.故答案为：{0.2}．【点评】：本题考查集合的交集运算.考查运算能力.属于基础题．2.（填空题.0分）已知i是虚数单位.则复数z=（1+i）（2-i）的虚部是___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】：解：∵z=（1+i）（2-i）=2-i+2i+1=3+i.∴复数z=（1+i）（2-i）的虚部是1．故答案为：1．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．3.（填空题.0分）已知一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则a的值是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：运用平均数的定义.解方程可得a的值．【解答】：解：一组数据4.2a.3-a.5.6的平均数为4.则4+2a+（3-a）+5+6=4×5.解得a=2．故答案为：2．【点评】：本题考查平均数的定义的运用.考查方程思想和运算能力.属于基础题．4.（填空题.0分）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.观察向上的点数.则点数和为5的概率是___ ． 【正确答案】：[1] 19【解析】：分别求得基本事件的总数和点数和为5的事件数.由古典概率的计算公式可得所求值．【解答】：解：一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次.可得基本事件的总数为6×6=36种. 而点数和为5的事件为（1.4）.（2.3）.（3.2）.（4.1）.共4种. 则点数和为5的概率为P= 436= 19． 故答案为： 19．【点评】：本题考查古典概率的求法.考查运算能力.属于基础题． 5.（填空题.0分）（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为___ ． 【正确答案】：[1]15【解析】：分析条件与所求.先求（x+y ）5的展开式中x 2y 3.x 4y 的系数即可求解结论．【解答】：解：因为（x+y ）5的展开式中x 2y 3.x 4y 的系数分别为C 53.C 54.所以（x+ y 2x ）（x+y ）5的展开式中x 3y 3的系数为C 53+C 55=15.故答案为：15．【点评】：本题考查二项式系数的性质.关键是熟记二项展开式的通项.是基础题． 6.（填空题.0分）如果方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2.则x 1x 2的值为___ ． 【正确答案】：[1] 16【解析】：利用韦达定理以及对数的运算法则化简求解即可．【解答】：解：方程（lgx ）2+lg6•lgx+lg2•lg3=0的两根为x 1.x 2. 可得lgx 1+lgx 2=lg （x 1x 2）=-lg6． ∴x 1x 2= 16 ． 故答案为： 16【点评】：本题考查函数的零点与方程根的关系.对数运算法则的应用.考查计算能力． 7.（填空题.0分）设{a n }是公差为d 的等差数列.{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.则d+q 的值是___ ． 【正确答案】：[1]4【解析】：由{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.由{a n }是公差为d 的等差数列.设首项为a 1；求出等差数列的前n 项和的表达式；{b n }是公比为q 的等比数列.设首项为b 1.讨论当q 为1和不为1时的前n 项和的表达式.由题意可得q≠1.由对应项的系数相等可得d.q 的值.进而求出d+q 的值．【解答】：解：因为{a n +b n }的前n 项和S n =n 2-n+2n -1（n∈N*）.因为{a n }是公差为d 的等差数列.设首项为a 1；{b n }是公比为q 的等比数列.设首项为b 1. 所以{a n }的通项公式a n =a 1+（n-1）d.所以其前n 项和S a n = n [a 1+a 1+(n−1)d ]2 = d 2 n 2+（a 1- d2）n. 当{b n }中.当公比q=1时.其前n 项和S b n =nb 1.所以{a n +b n }的前n 项和S n =S a n +S b n = d2 n 2+（a 1- d2 ）n+nb 1=n 2-n+2n -1（n∈N*）.显然没有出现2n .所以q≠1. 则{b n }的前n 项和为S b n = b 1(q n −1)q−1 = b 1q n q−1 - b 1q−1 . 所以S n =S a n +S b n = d 2n 2+（a 1- d 2）n+b 1q n q−1 - b1q−1 =n 2-n+2n -1（n∈N*）. 由两边对应项相等可得： {d2=1a 1−d 2=−1q =2b 1q−1=1解得：d=2.a 1=0.q=2.b 1=1.所以d+q=4. 故答案为：4【点评】：本题考查等差数列及等比数列的综合及由前n 项和求通项的性质.属于中档题． 8.（填空题.0分）如图.六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm.高为2cm.内孔半径为0.5cm.则此六角螺帽毛坯的体积是___ cm 3．【正确答案】：[1]12 √3−π2【解析】：通过棱柱的体积减去圆柱的体积.即可推出结果．【解答】：解：六棱柱的体积为： 6×12×2×2×sin60°×2=12√3 . 圆柱的体积为：π×（0.5）2×2= π2.所以此六角螺帽毛坯的体积是：（12 √3− π2 ）cm 3. 故答案为：12 √3− π2 ．【点评】：本题考查柱体体积公式.考查了推理能力与计算能力.属于基本知识的考查． 9.（填空题.0分）将函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度.则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是___ ． 【正确答案】：[1]x=- 5π24【解析】：利用三角函数的平移可得新函数g （x ）=f （x- π6）.求g （x ）的所有对称轴x= 7π24+ kπ2 .k∈Z .从而可判断平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程.【解答】：解：因为函数y=3sin （2x+ π4 ）的图象向右平移 π6 个单位长度可得 g （x ）=f （x- π6 ）=3sin （2x- π3 + π4 ）=3sin （2x- π12 ）. 则y=g （x ）的对称轴为2x- π12 = π2 +kπ.k∈Z . 即x= 7π24 + kπ2 .k∈Z . 当k=0时.x= 7π24 . 当k=-1时.x= −5π24 .所以平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是x= −5π24. 故答案为：x= −5π24.【点评】：本题考查三角函数的平移变换.对称轴方程.属于中档题． 10.（填空题.0分）已知5x 2y 2+9y 4=1（x.y∈R ）.则x 2+y 2的最小值是___ ． 【正确答案】：[1] 13【解析】：用y 2表示x 2+y 2.求出y 2的范围.再利用换元法求出函数最小值．【解答】：解：由5x 2y 2+9y 4=1可得x 2= 1−9y 45y 2. 由x 2≥0可得0＜y 2≤ 13 . 于是x 2+y 2=1−9y 45y 2+y 2= 15y 2 - 4y 25 . 令y 2=t.f （t ）= 15t −4t5 （0＜t≤ 13 ）. 显然f （t ）在（0. 13 ]上单调递减.∴f （t ）的最小值为f （ 13）= 13.即x 2+y 2的最小值为 13． 故答案为： 13．【点评】：本题考查函数最值计算.属于中档题．11.（填空题.0分）在△ABC 中.AB=4.AC=3.∠BAC=90°.D 在边BC 上.延长AD 到P.使得AP=9．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC⃗⃗⃗⃗⃗ （m 为常数）.则CD 的长度是 ___ ．【正确答案】：[1]0或 185【解析】：以A 为坐标原点.分别以AB.AC 所在直线为x.y 轴建立平面直角坐标系.求得B 与C 的坐标.再把 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标用m 表示．由AP=9列式求得m 值.然后分类求得D 的坐标.则CD 的长度可求．【解答】：解：如图.以A 为坐标原点.分别以AB.AC 所在直线为x.y 轴建立平面直角坐标系. 则B （4.0）.C （0.3）.由 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +（ 32 -m ） PC ⃗⃗⃗⃗⃗ .得 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(32−m)(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ) . 整理得： PA⃗⃗⃗⃗⃗ =−2mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(2m −3)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m （4.0）+（2m-3）（0.3）=（-8m.6m-9）． 由AP=9.得64m 2+（6m-9）2=81.解得m= 2725 或m=0． 当m=0时. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，−9) .此时C 与D 重合.|CD|=0； 当m= 2725 时.直线PA 的方程为y= 9−6m8mx. 直线BC 的方程为 x4+y3=1 .联立两直线方程可得x= 83 m.y=3-2m ． 即D （ 7225 . 2125）.∴|CD|= √(7225)2+(2125−3)2=185 ．∴CD 的长度是0或 185 ． 故答案为：0或 185．【点评】：本题考查向量的概念与向量的模.考查运算求解能力.利用坐标法求解是关键.是中档题．12.（填空题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知P （ √32 .0）.A 、B 是C ：x 2+（y- 12 ）2=36上的两个不同的动点.满足PA=PB.且 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.则实数a 最小值是___ ． 【正确答案】：[1]49【解析】：原问题可转化为求 PA⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值；易知PC 垂直平分AB.设PC 与AB 交于点E.CE=x （0＜x ＜6）.由勾股定理表示出AB 2、BP 2和AP 2；再在△ABP 中.由余弦定理求出cos∠APB .而 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB .代入所得结论.即可得解．【解答】：解：∵PA=PB .∴PC 垂直平分AB.设PC 与AB 交于点E.如图所示.其中点C （0.12）.PC=1．设CE=x （0＜x ＜6）.则AE 2=AC 2-CE 2=36-x 2. ∴AB 2=4AE 2=4（36-x 2）.BP 2=AP 2=AE 2+EP 2=36-x 2+（1+x ）2=2x+37． ∵ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜a 恒成立.∴只需求出 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值即可. 在△ABP 中.由余弦定理知.cos∠APB=AP 2+BP 2−AB 22AP•BP = 2(2x+37)−4(36−x 2)2(2x+37) = 2x 2+2x−352x+37. ∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |•| PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠APB=（2x+37）• 2x 2+2x−352x+37 =2x 2+2x-35. ∵0＜x ＜6.∴2x 2+2x-35＜2×62+2×6-35=49.即 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ •PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＜49. ∴a 的最小值为49． 故答案为：49．【点评】：本题考查平面向量在几何中应用.牢记平面向量数量积的定义和余弦定理是解题的基础.考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力.属于中档题． 13.（单选题.0分）函数y=xcosx+sinx 在区间[-π.π]上的图象可能是（ ）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：先判断函数的奇偶性.再判断函数值的特点．【解答】：解：y=f（x）=xcosx+sinx.则f（-x）=-xcosx-sinx=-f（x）.∴f（x）为奇函数.函数图象关于原点对称.故排除C.D.当x=π时.y=f（π）=πcosπ+sinπ=-π＜0.故排除B.故选：A．【点评】：本题考查了函数图象的识别.掌握函数的奇偶性额函数值得特点是关键.属于基础题．14.（单选题.0分）已知A.B.C为球O的球面上的三个点.⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π.AB=BC=AC=OO1.则球O的表面积为（）A.64πB.48πC.36πD.32π【正确答案】：A【解析】：画出图形.利用已知条件求出OO1.然后求解球的半径.即可求解球的表面积．【解答】：解：由题意可知图形如图：⊙O1的面积为4π.可得O1A=2.则3 2 AO1=ABsin60°. 32AO1=√32AB .∴AB=BC=AC=OO1=2 √3 .外接球的半径为：R= √AO12+OO12 =4. 球O的表面积：4×π×42=64π．故选：A．【点评】：本题考查球的内接体问题.球的表面积的求法.求解球的半径是解题的关键．15.（单选题.0分）若点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.y=f-1（x）为函数y=f （x）的反函数．设P1（y0.x0）.P2（-y0.x0）.P3（y0.-x0）.P4（-y0.-x0）.则有（）A.点P1、P2、P3、P4有可能都在函数y=f-1（x）的图象上B.只有点P2不可能在函数y=f-1（x）的图象上C.只有点P3不可能在函数y=f-1（x）的图象上D.点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上【正确答案】：D【解析】：存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的.然后根据反函数的性质可判定点P1、P2、P3、P4是否有可能在函数y=f-1（x）的图象上．【解答】：解：互为反函数的两个函数在各自定义域内有相同的单调性.单调函数才有反函数；存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的根据点P（x0.y0）（x0y0≠0）在函数y=f（x）的图象上.则P1（y0.x0）在反函数y=f-1（x）的图象若点P1（y0.x0）与点P3（y0.-x0）都在反函数y=f-1（x）的图象上.则相同的横坐标对应两个函数值.不符合一一对应；若点P2（-y0.x0）在反函数图象上则点（x0.-y0）在函数y=f（x）的图象上.则相同的横坐标对应两个函数值.不符合一一对应；故点P2、P3都不可能在函数y=f-1（x）的图象上故选：D．【点评】：本题主要考查了反函数.以及存在反函数的条件.同时考查了分析问题的能力.属于基础题．16.（单选题.0分）设集合S.T.S⊆N*.T⊆N*.S.T中至少有2个元素.且S.T满足：① 对于任意的x.y∈S.若x≠y.则xy∈T；∈S．下列命题正确的是（）② 对于任意的x.y∈T.若x＜y.则yxA.若S有4个元素.则S∪T有7个元素B.若S有4个元素.则S∪T有6个元素C.若S有3个元素.则S∪T有5个元素D.若S有3个元素.则S∪T有4个元素【正确答案】：A【解析】：利用特殊集合排除选项.推出结果即可．【解答】：解：取：S={1.2.4}.则T={2.4.8}.S∪T={1.2.4.8}.4个元素.排除C．S={2.4.8}.则T={8.16.32}.S∪T={2.4.8.16.32}.5个元素.排除D；S={2.4.8.16}则T={8.16.32.64.128}.S∪T={2.4.8.16.32.64.128}.7个元素.排除B；故选：A．【点评】：本题考查命题的真假的判断与应用.集合的基本运算.利用特殊集合排除选项是选择题常用方法.难度比较大．17.（问答题.0分）在三棱锥A-BCD中.已知CB=CD= √5 .BD=2.O为BD的中点.AO⊥平面BCD.AO=2.E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；BC.设二面角F-DE-C的大小为θ.求sinθ的值．（2）若点F在BC上.满足BF= 14【正确答案】：【解析】：（1）由题意画出图形.连接OC.由已知可得CO⊥BD .以O 为坐标原点.分别以OB.OC.OA 所在直线为x.y.z 轴建立空间直角坐标系.求出所用点的坐标.得到 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，0，2) . DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) .设直线AB 与DE 所成角为α.由两向量所成角的余弦值.可得直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）由BF= 14 BC.得 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设F （x.y.z ）.由向量等式求得F （ 34 . 12.0）.进一步求出平面DEF 的一个法向量与平面DEC 的一个法向量.由两法向量所成角的余弦值求得cosθ.再由同角三角函数基本关系式求解sinθ．【解答】：解：（1）如图.连接OC.∵CB=CD .O 为BD 的中点.∴CO⊥BD ．以O 为坐标原点.分别以OB.OC.OA 所在直线为x.y.z 轴建立空间直角坐标系． ∵BD=2.∴OB=OD=1.则OC= √BC 2−OB 2=√5−1=2 ． ∴B （1.0.0）.A （0.0.2）.C （0.2.0）.D （-1.0.0）. ∵E 是AC 的中点.∴E （0.1.1）.∴ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0，−2) . DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) ． 设直线AB 与DE 所成角为α. 则cosα= |AB⃗⃗⃗⃗⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗|•|DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+4•√1+1+1=√1515 . 即直线AB 与DE 所成角的余弦值为 √1515 ； （2）∵BF= 14 BC.∴ BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 设F （x.y.z ）.则（x-1.y.z ）=（ −14 . 12 .0）.∴F （ 34 . 12 .0）．∴ DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，1) . DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(74，12，0) . DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2，0) ．设平面DEF 的一个法向量为 m ⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1) .由 {m ⃗⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1+y 1+z 1=0m ⃗⃗ •DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =74x 1+12y 1=0 .取x 1=-2.得 m ⃗⃗ =(−2，7，−5) ； 设平面DEC 的一个法向量为 n ⃗ =(x 2，y 2，z 2) .由 {n ⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2+z 2=0n ⃗ •DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+2y 2=0 .取x 2=-2.得 n ⃗ =(−2，1，1) ．∴|cosθ|= |m ⃗⃗⃗ •n ⃗ ||m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |= √4+49+25•√4+1+1=√1313． ∴sin θ=√1−cos 2θ=√1−113=2√3913．【点评】：本题考查利用空间向量求空间角.考查空间想象能力与逻辑思维能力和运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对的边分别为a.b.c ．已知2bsinA- √3 a=0． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理可得sinB= √32 .结合角的范围.即可求出. （Ⅱ）根据两角和差的余弦公式.以及利用正弦函数的性质即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）∵2bsinA= √3 a. ∴2sinBsinA= √3 sinA. ∵sinA≠0. ∴sinB= √32 .∵△ABC 为锐角三角形. ∴B= π3.（Ⅱ）∵△ABC 为锐角三角形.B= π3. ∴C= 2π3 -A.∴cosA+cosB+cosC=cosA+cos （ 2π3-A ）+cos π3=cosA- 12cosA+ √32sinA+ 12= 12cosA+ √32sinA+ 12=sin （A+ π6 ）+ 12 .△ABC 为锐角三角形.0＜A ＜ π2.0＜C ＜ π2. 解得 π6 ＜A ＜ π2 . ∴ π3 ＜A+ π6 ＜ 2π3 . ∴ √32 ＜sin （A+ π6 ）≤1. ∴ √32 + 12 ＜sin （A+ π6 ）+ 12 ≤ 32 . ∴cosA+cosB+cosC 的取值范围为（ √3+12. 32 ]．【点评】：本题考查了正弦定理.三角函数的化简.三角函数的性质.考查了运算求解能力和转化与化归能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知函数f （x ）=|3x+1|-2|x-1|． （1）画出y=f （x ）的图象；（2）求不等式f （x ）＞f （x+1）的解集；（3）若不等式f （x ）≥-t 2 +at −23 .对于任意的x∈R .任意的a∈[-1.1]恒成立.求实数t 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）将函数零点分段.即可作出图象； （2）由于f （x+1）是函数f （x ）向左平移了一个单位.作出图象可得答案；（3）将不等式转化为- 83 ≥-t 2+at- 23 .对任意a∈[-1.1]恒成立.函数g （a ）=-ta+t 2-2.由一次函数的性质列出不等式.即可求解【解答】：解：（1）由题设知f （x ）= {−x −3，x ≤−135x −1，−13＜x ≤1x +3，x ＞1 .y=f （x ）的图象如图所示．（2）函数y=f （x ）的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f （x+1）的图象.y=f （x ）的图象与y=f （x+1）的图象的交点坐标为（- 76 .- 116 ）.由图象可知当且仅当x ＜- 76时.y=f （x ）的图象在y=f （x+1）的图象上方. ∴不等式f （x ）＞f （x+1）的解集为{x|x ＜- 76}．（3）由函数图象性质可知.当x=- 13时.f （x ）取得最小值- 83. 则原问题转化为- 83 ≥-t 2+at- 23 .对任意a∈[-1.1]恒成立.记函数g （a ）=-ta+t 2-2.要使g （a ）≥0对任意a∈[-1.1]恒成立. 只需 {g (1)≥0g (−1)≥0 .解得t≤-2或 t≥2．【点评】：本题考查了绝对值函数的解法.分段作出图象是解题的关键．考查了其他不等式的解法.不等式恒成立的问题.属于中档题．20.（问答题.0分）在平面直角坐标系xOy 中.已知椭圆E ： x 24 + y 23 =1的左、右焦点分别为F 1、F 2.点A 在椭圆E 上且在第一象限内.AF 2⊥F 1F 2.直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ． （1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P.直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q.求 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值； （3）设点M 在椭圆E 上.记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1.S 2.若S 2=3S 1.求点M 的坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由椭圆标准方程可知a.b.c 的值.根据椭圆的定义可得△AF 1F 2的周长=2a+2c.代入计算即可．（2）由椭圆方程得A （1. 32 ）.设P （t.0）.进而由点斜式写出直线AP 方程.再结合椭圆的右准线为：x=4.得点Q 为（4. 32 • 4−t 1−t ）.再由向量数量积计算最小值即可．（3）在计算△OAB 与△MAB 的面积时.AB 可以最为同底.所以若S 2=3S 1.则O 到直线AB 距离d 1与M 到直线AB 距离d 2.之间的关系为d 2=3d 1.根据点到直线距离公式可得d 1= 35 .d 2= 95 .所以题意可以转化为M 点应为与直线AB 平行且距离为 95 的直线与椭圆的交点.设平行于AB 的直线l 为3x-4y+m=0.与直线AB 的距离为 95 .根据两平行直线距离公式可得.m=-6或12.然后在分两种情况算出M 点的坐标即可．【解答】：解：（1）由椭圆的标准方程可知.a 2=4.b 2=3.c 2=a 2-b 2=1. 所以△AF 1F 2的周长=2a+2c=6． （2）由椭圆方程得A （1. 32 ）.设P （t.0）.则直线AP 方程为y= 321−t (x −t ) .椭圆的右准线为：x= a 2c =4.所以直线AP 与右准线的交点为Q （4. 32 • 4−t1−t ）.OP ⃗⃗⃗⃗⃗ • QP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（t.0）•（t-4.0- 32 • 4−t 1−t ）=t 2-4t=（t-2）2-4≥-4. 当t=2时.（ OP ⃗⃗⃗⃗⃗ •QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）min =-4．（3）若S 2=3S 1.设O 到直线AB 距离d 1.M 到直线AB 距离d 2.则 12×|AB|×d 2= 12×|AB|×d 1.即d 2=3d 1.A （1. 32 ）.F 1（-1.0）.可得直线AB 方程为y= 34 （x+1）.即3x-4y+3=0.所以d 1= 35 .d 2= 95 . 由题意得.M 点应为与直线AB 平行且距离为 95 的直线与椭圆的交点. 设平行于AB 的直线l 为3x-4y+m=0.与直线AB 的距离为 95 .√9+16= 95.即m=-6或12.当m=-6时.直线l 为3x-4y-6=0.即y= 34 （x-2）.联立 {y =34(x −2)x 24+y 23=1 .可得（x-2）（7x+2）=0.即 {x M =2y N =0 或 {x M =−27y M =−127 . 所以M （2.0）或（- 27 .- 127 ）．当m=12时.直线l 为3x-4y+12=0.即y= 34 （x+4）.联立 {y =34(x +4)x 24+y 23=1 .可得 214x 2 +18x+24=0.△=9×（36-56）＜0.所以无解.综上所述.M 点坐标为（2.0）或（- 27 .- 127 ）．【点评】：本题考查椭圆的定义.向量的数量积.直线与椭圆相交问题.解题过程中注意转化思想的应用.属于中档题．21.（问答题.0分）已知数列{a n }（n∈N*）的首项a 1=1.前n 项和为S n ．设λ和k 为常数.若对一切正整数n.均有Sn+11k -S n 1k =λan+11k 成立.则称此数列为“λ-k”数列．（1）若等差数列{a n }是“λ-1”数列.求λ的值；（2）若数列{a n }是“ √33 -2”数列.且a n ＞0.求数列{a n }的通项公式；（3）对于给定的λ.是否存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.且a n ≥0？若存在.求出λ的取值范围；若不存在.说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由“λ-1”数列可得k=1.结合数列的递推式.以及等差数列的定义.可得λ的值；（2）运用“ √33 -2”数列的定义.结合数列的递推式和等比数列的通项公式.可得所求通项公式；（3）若存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.则S n+1 13 -S n 13 =λa n+1 13 .由两边立方.结合数列的递推式.以及t 的讨论.二次方程的实根分布和韦达定理.即可判断是否存在λ.并可得取值范围．【解答】：解：（1）k=1时.a n+1=S n+1-S n =λa n+1.由n 为任意正整数.且a 1=1.a n ≠0.可得λ=1；（2） √S n+1 - √S n = √33 √a n+1 .则a n+1=S n+1-S n =（ √S n+1 - √S n ）•（ √S n+1 + √S n ）= √33 • √a n+1 （ √S n+1 + √S n ）.因此 √S n+1 + √S n = √3 • √a n+1 .即 √S n+1 = 23 √3a n+1 .S n+1= 43 a n+1= 43 （S n+1-S n ）. 从而S n+1=4S n .又S 1=a 1=1.可得S n =4n-1.a n =S n -S n-1=3•4n-2.n≥2.综上可得a n = {1，n =13•4n−2，n ≥2.n∈N*； （3）若存在三个不同的数列{a n }为“λ-3”数列.则S n+1 13 -S n 13 =λan+1 13 . 则S n+1-3S n+1 23 S n 13 +3S n+1 13 S n 23 -S n =λ3a n+1=λ3（S n+1-S n ）.由a 1=1.a n ≥0.且S n ＞0.令p n =（S n+1S n ） 13 ＞0. 则（1-λ3）p n 3-3p n 2+3p n -（1-λ3）=0.λ=1时.p n =p n 2.由p n ＞0.可得p n =1.则S n+1=S n .即a n+1=0.此时{a n }唯一.不存在三个不同的数列{a n }.λ≠1时.令t= 31−λ3 .则p n 3-tp n 2+tp n -1=0.则（p n -1）[p n 2+（1-t ）p n +1]=0.① t≤1时.p n 2+（1-t ）p n +1＞0.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }；② 1＜t ＜3时.△=（1-t ）2-4＜0.p n 2+（1-t ）p n +1=0无解.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }；③ t=3时.（p n -1）3=0.则p n =1.同上分析不存在三个不同的数列{a n }．④ t ＞3时.即0＜λ＜1时.△=（1-t ）2-4＞0.p n 2+（1-t ）p n +1=0有两解α.β.设α＜β.α+β=t -1＞2.αβ=1＞0.则0＜α＜1＜β.则对任意n∈N*. S n+1S n =1或S n+1S n=α3（舍去）或S n+1S n=β3.由于数列{S n}从任何一项求其后一项均有两种不同的结果.所以这样的数列{S n}有无数多个.则对应的数列{a n}有无数多个．则存在三个不同的数列{a n}为“λ-3”数列.且a n≥0.综上可得0＜λ＜1．【点评】：本题考查数列的新定义的理解和运用.考查等差数列和等比数列的通项公式的运用.以及数列的递推式的运用.考查分类讨论思想.以及运算能力和推理论证能力.是一道难题．。
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上海交通大学附属中学2017-2018学年年度第一学期
高三物理暑期作业反馈练习
一、单项选择题（共40分，1至8题每小题3分，9至12题每小题4分，每小题只有一个正确选项）
1.物理学史上，正确认识运动和力的关系且推翻“力是维持运动的原因”的物理学家，建立惯性定律的物理学家分别是（）
A.亚里士多德伽利略
B.亚里士多德牛顿
C.伽利略牛顿
D.伽利略爱因斯坦
2.物理学中，力的合成、力的分解、平均速度这三者所体现的共同的科学思维方法是（）
A.比值定义
B.控制变量
C.等效替代
D.理想模型
3.做竖直上抛运动的物体，在任意相同时间间隔内，速度的变化量（）
A.大小相同、方向相同
B.大小相同、方向不同
C.大小不同、方向不同
D.大小不同、方向相同
4.手握轻杆,杆的另一端安放有一个小滑轮C,支持着悬挂重物的绳子,如图所示。
现保持滑轮C的位置不变,使杆向下转动一个角度,则杆对滑轮C的作用力将（）
A. 变大
B. 不变
C. 变小
D. 无法确定
5、在一根细绳下串联着两个质量不同的小球,下面小球比上面小球质量大,当手提着绳上端沿水平方向使两球一起向右作匀加速运动时(空气阻力不计),下图中能正确表示两球状态的是( )
A.
B.
C.
D.
6、伽利略创造的把实验、假设和逻辑推理相结合的科学方法,有力地促进了人类科学认识的发展。
利用如图所示的装置做如下实验：小球从左侧斜面上的O点由静止释放后沿斜面向下运动,并沿右侧斜面上升。
斜面上先后铺垫三种粗糙程度逐渐减低的材料时,小球沿右侧斜面上升到的最高位置依次为1、2、3.根据三次实验结果的对比,可以得到的最直接的结论是()
A. 如果斜面光滑，小球将上升到与O点等高的位置
B. 如果小球不受力，它将一直保持匀速运动或静止状态
C. 如果小球受到力的作用，它的运动状态将发生改变
D. 小球受到的力一定时，质量越大，它的加速度越小
7、如图所示,AC是上端带定滑轮的固定竖直杆,质量不计的轻杆AB一端通过铰链固定在A 点,另一端B悬挂一重为G的物体,且B端系有一根轻绳并绕过定滑轮C,用力F拉绳,开始时∠BAC>90∘,现使∠BAC缓慢变小,直到杆AB接近竖直杆AC.此过程中,轻杆B端所受的力()
A. 逐渐减小
B. 逐渐增大
C. 大小不变
D. 先减小后增大
8、甲、乙两物体静止在光滑水平面上,现对乙施加一变力F,力F与时间t的关系如图所示,在运动过程中,甲、乙两物体始终相对静止,则()
A. 在t0时刻，甲、乙间静摩擦力最小
B. 在t0时刻，甲、乙两物体速度最小
C. 在2t0时刻，甲、乙两物体速度最大
D. 在2t0时刻，甲、乙两物体位移最小
9、初速度不为零的匀加速直线运动，第1S内和第2S内的位移之比可能为（ )
A. 1:1
B.1:2
C.1:3
D.1:4
10、图甲是某人站在力传感器上做下蹲、起跳动作的示意图,点P是他的重心位置。
图乙是
根据力传感器采集到的数据作出的力−时间图线。
两图中a∼g各点均对应,其中有几个点在图甲中没有画出.g取10m/s2.根据图象分析可知()
A. 此人的重力为750N
B. b点是此人下蹲至最低点的位置
C. 此人在f点的加速度等于零
D. 此人在d点的加速度等于20m/s2
11、飞机以320km/h的速度在地球表面附近飞行,下列哪种情况中,飞机上的乘客可在较长时间内看见太阳不动地停在空中(己知地球半径R=6400km,cos11°=0.98,cos79°=0.19)( )
A. 在北纬79∘，由东向西飞行
B. 在北纬79∘，由西向东飞行
C. 在北纬11∘，由东向西飞行
D. 在北纬11∘，由西向东飞行
12、如图甲所示,质量为M的直角劈B放在水平面上,在劈的斜面上放一个质量为m的物体A,用一个竖直向下的力F作用于A上,物体A刚好沿斜面匀速下滑。
若改用一个斜向下的力
F′作用在A时,物体A加速下滑,如图乙所示,则在图乙中关于地面对劈的摩擦力f及支持力N的结论正确的是（）
A. f=0，N>Mg
B. f=0，N<Mg
C. f向右，N<Mg
D. f向左，N>Mg
二、填空题
13.历史上第一个在实验室里比较准确地测出万有引力常量的科学家是_________,万有引力常量G=6.67×10−11___________(填写国际单位).
14.汽车在水平地面上转弯时，是________力提供向心力；转弯时车速不能太快，当速度为v时，安全转弯的半径最小为R，若当转弯半径为3R时，该汽车安全转弯的最大速度为________.
15.如图所示是某同学在做“探究求合力的方法”的实验装置。
（1）（单选）在实验过程中，要求每次合力与分力产生相同的效果，必须（）
A.每次将结点O拉到同一位置
B.每次把橡皮条拉直
C.每次准确读出弹簧秤的示数
D.每次记准细绳方向
（2）如果“力的平行四边形定则”得到验证，图②中两挂钩码的绳子与水平线间的夹角α、β，则cosα/cosβ=_____。
16.一个质点沿直线Ox做加速运动,它离开O点的距离x随时间t的变化关系为x=5+3t+2t2,其中x的单位是m,t的单位是s.则该质点在运动中的加速度大小为______m/s2；在t=0到t=2s间的平均速度为______m/s.
17.如图所示，一名消防队员在模拟演习训练中，沿着长为12m的竖立在地面上的钢管住下滑。
已知这名消防队员的质量为60㎏，他从钢管顶端由静止开始先匀加速再匀减速下滑，滑到地面时速度恰好为零。
如果他加速时的加速度大小是减速时的2倍，下滑的总时间为3s，那么该消防队员加速与减速过程的时间之比为____________，加速与减速过程中所受摩擦力大小之比为__________.
三、综合题（共40分，第18题10分，第19题14分，第20题16分）
18.（10分）如图1所示，一端带有定滑轮的长木板上固定有甲、乙两个光电门，与之相连的计时器可以显示带有遮光片的小车在其间的运动时间。
与跨过定滑轮的轻质细绳相连的轻质测力计能显示挂钩处所受的拉力。
不计空气阻力及一切摩擦。
(1)在探究“合外力一定时，加速度与质量的关系”时，要使测力计的示数等于小车所受的
合外力，操作中必须满足______；此实验中______（填“需要”或“不需要”。
）砂和砂桶的总质量为m远小于小车和砝码的总质量M.
(2)实验时,先测出小车和砝码的总质量M,再让小车从靠近光电门甲处由静止开始运动,读出小车在两光电门之间的运动时间t.改M,测得多组M、t的值,建立坐标系描点作出图线.(图2)能直观得出“合外力一定时，加速度与质量成反比”的图线是___.
(3)如图2抬高长木板的左端,使小车从靠近乙光电门处由静止开始运动,读出测力计的示数F和小车在两光门之间的运动时间t.改变木板倾角,测得多组数据,得到的F−1t2的图线如图3所示。
实验中测得两光电门的距离L=0.80m,沙和沙桶的总质量m=0.34kg,重力加速度g 取9.8m/s2,则图线的斜率为______(保留两位有效数字);若小车与长木板间的摩擦能忽略,如图3所示测得图线斜率将______(填“变大”、“变小”或“不变”).
19、（14分）如图甲为便利运输工具双轮行李小车,送水员用双轮小车运送桶装矿泉水,图乙为小车截面示意图,在拉运过程图示角度保持不变,已知小车和桶装矿泉水的总质量为,不计桶与小车之间摩擦力的影响,取,,,送水员拉动小车使矿泉水和小车一起以的加速度水平向
右做匀
（1）送水员拉动小车使矿泉水和小车一起以a=5m/s2的加速度水平向右做匀加速直线运动时，分析矿泉水桶的受力分析，并分别求出小车P、Q侧面对桶的支持力的大小；
（2）送水员拉动小车使矿泉水和小车一起以相同的加速度水平向右做匀加速直线运动的最大加速度大小。
20.（16分）如图甲,质量为2kg的滑块受到一个沿斜面方向的外力F作用,从斜面底端开始,以初速度v0=3.6m/s沿着倾角为37∘足够长的斜面向上运动,物体与斜面间的动摩擦因数为μ=0.8.滑块开始一段时间内的速度−时间图象如图所示乙(g取10m/s2,sin37∘=0.6,cos37∘=0.8).求：
(1)滑块上滑过程中加速度的大小和方向；
(2)滑块所受外力F的大小和方向；
(3)当滑块到最高点时撤除外力，此后滑块能否返回斜面底端?若不能返回，求出滑块停在离斜面底端的距离。
若能返回，求出返回斜面底端时的速度。