矢量与矩阵

阶数相同，对应元素相等
条件？
结果？
1 4
2 5
3 6
3 6
2 5
1 4
4 10
4 10
4 10
3、矩阵和标量相乘，如 S ·A 所有元素分别乘 S
1 2
4 10
6 12
8 14
2 5
3 6
4 7
4、矩阵相乘，如 AB 条件？ 规则？ 结果？
1 4
2 5
2
3 6
23
1 7
4 3 8
6
5 9 33
25 55
e3
称之为矢量基 (简称基) 点O 称为该矢量基的基点
O
e1
e2
三个正交的单位矢量称为这个基的基矢量
矢量基的表示：
将基矢量构成一个矢量列（凡矢量阵用上面
加一箭头的黑斜体字符表示，以区别于标量
矩阵）：
def e
e1 e2 e3
e1
e2
e3
T
对于不同的基，基矢量加上标进行区分。
eb e1b e2b e3b T er e1r e2r e3r T
a
b
ab
cos
其中，a，b设为矢量的模，θ 为两个矢量正方向的夹角
点积与向量的位置无关，即符合交换率。
（5）矢量的叉积：结果为一矢量，如
c 的大小为： c absin
c
a
b
为a,b夹角
c 的方向：
按照右手法则
c
b
θ a
矢量叉积的几个问题：
（1）服从分配率和结合率；
（2）两个a矢量b交换叉b乘a位置，结果方向相反；
A-2 方向余弦矩阵
A-0 矩阵
A-0-1 矩阵的定义和运算
A11
ABiblioteka Baidu
A21
A12 A22
Am1
Am2
A1n
A2n
Amn
称为 m×n 阶矩阵 m 行， n 列
采用黑体字
方括号或圆括号
注意与行列式的区别
若干常用、特殊矩阵：
1、方阵
行数等于列数，如：
1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1
（3）矢量多重积
矢量的二重叉积和矢量混合积旋转法则
a
(
b
c)
ba c
b
ac
a
(
b
c)
c
a
b
b
c
a
3、矢量基与基矢量
矢量的几何描述很难处理复杂的运算。通常采 用比较多的是矢量的代数表达方法。
为此需要构成一个参考空间，具体的做法是
用过点O的三个正交的单位矢量依 次按右手法则构成一个坐标系
7、正交矩阵
每一列（行）均为单位向量
何谓正交矩阵？ 任意两列（行）的积等于零
若A为正交矩阵，则有： A-1 = AT
例如：
2 2
2 2
A
2 2
2
2 2 2
B
2 2
2 2
2 2
由于 AB = BA = I，所以二者互为逆矩阵。
且A、B均为正交矩阵，即有 A-1 = AT ， B-1 = BT 。 8、矩阵的特征值λ
1、矩阵对时间的导数 条件是： 矩阵的元素为时间的函数，如：A = A(t)，元素为Aij(t) 结果为：
同阶矩阵，各元素为原矩阵各元素对时间的导数。
表达式：
d dt
A
dAij dt
mn
简记为：
以下关系 成立：
d A A A
dt
d A B A B
dt
d AB AB AB
dt
A Aij mn
2、零矩阵 所有元素都为零 记为：0
3、单位矩阵 记为：I
主对角线元素为1其余 元素均为零的方阵
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
4、对称矩阵 元素满足： aij a ji
5、反对称矩阵 元素满足：
aij a ji
矩阵的主要运算规则：
1、矩阵相等，如 A = B 2、矩阵相加，如A + B
2、矩阵对变量的偏导数
今有一 m 阶列阵 Φ Φ1q Φ2q ΦmqT
其中， 元素 Φi i 1, ,m 为 q 的函数
q 为 n 个变量组成的列阵： q q1 q2 qn T
于是，Φ 对变量 q 的偏导数定义为：
Φ1
Φq
Φ q
Φi qi
mn
q1 Φ2
q1
Φm
Φ1
q2 Φ2
34 79
43 103 23
注意： AB = BA
5、矩阵的转置，记为 AT
1 4
2 5
3T 6
1 2
4 5
3 6
矩阵和的转置与积的转置：
(A B)T AT BT
AB T BT AT
6、矩阵的逆矩阵，如 A-1
何谓逆矩阵？ 若 BC = I ，B与C互为逆矩阵
B与C必须是方阵，且为满秩矩阵—非奇异阵
q2
Φm
Φ1
qn Φ2
qn
Φm
q1 q2
qn
A-1 矢量
A-1-1 矢量、矢量基和基矢量 1、矢量的定义：
加一矢箭量头是表一示个，具如有：大小a和, 方向的量，用字母上面
矢量的大小称为模，记为： a,
模为1的矢量称为单位矢量，模为零则为零矢量 几何矢量：
矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述， 线段的长度表示它的模（大小），箭头的指向即为 其方向。
设 A 是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量q，
使得 Aq=λq 成立，则称λ是A的一个特征值
(eigenvalue)
| A λI | 0
若λ1， λ2…. λn为矩阵的特征值，则
| A | λ1 * λ2....* λn
矩阵的迹是所有特征值之和即 tr( A) n λi i1
A-0-2 矩阵的导数
数学基础
理论力学中涉及到的参数多为矢量
理论力学主要的数学工具 是几何矢量。矢量的描述及其
运算依靠矩阵。
注意：一般科技书中，矢 量也是一种矩阵，但是，理论 力学中，二者必须加以区别。
主要内容
A-0 矩阵 # 矩阵的定义与运算 # 矩阵的导数
A-1 矢量 # 矢量、矢量基和基矢量 # 矢量的代数描述 # 矢量对时间的导数
矢量阵的运算：
参照矩阵运算进行，只是在运算中将一个 矢量当作一个标量元素处理。
a
e
a
e1 e2 e3
a a
e1 e2
a e3
e1 e1 a
e
a
e2 e3
a
e2 e3
a a
a
e
a
e1 e2 e3
a a a
e1 e2 e3
e eT
e1
2、矢量的运算
（1）矢量相等：模相等且方向一致，如：
a
b
（2）与标量相乘： 结果为一矢量，如： c a
（3）两个矢量的和：结果为一矢量，如：
c
a
b
求和（也称为合成）按 平行四边形法则进行。
a c
b
求和运算遵循结合率和交换率 多个矢量的和可以两两合成
（4）两个矢量的点积（数量积或标量积）：
结果为一标量，如：
e2 e3
e1
e2
e3
e1 e2 e3
e1 e1 e1
e1 e2 e2 e2 e3 e2
e1 e3
e2 e3
e3 e3